Momentos de Forças e Produtos Escalares em Mecânica Estática

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL E ENGENHARIA MECÂNICA Disciplina MECÂNICA ESTÁTICA Momento de uma força em relação a um eixo Goianésia 2021 Prof Dra Lauriane Santin Associação Educativa Evangélica CURSO DE ENGENHARIA CIVIL E ENGENHARIA MECÂNICA Disciplina MECÂNICA ESTÁTICA Definir os produtos triplos mistos Aplicálo para calcular o momento de uma força em relação a um eixo Definir Binário e momento de um binário Reduzir um sistema de forças a um sistema forçabinário OBJETIVOS Cap3 Sistemas Equivalentes de Forças Prof Dra Lauriane Santin CURSO DE ENGENHARIA CIVIL E ENGENHARIA MECÂNICA Disciplina MECÂNICA ESTÁTICA REFERÊNCIA BEER F JOHNSTON E Mecânica Vetorial para Engenheiros Estática 11ª ed Mc GrawHill Brasil 2019 Cap 3 Sistemas Equivalentes de Forças Pag 105 150 Minha Biblioteca httpsintegradaminhabibliotecacombrreaderbooks97 88580556209pageid122 Prof Dra Lauriane Santin Considerações Iniciais Prof Dra Lauriane Santin Considerações Iniciais Queremos estender a questão do momento em relação a um ponto para o conceito muitas vezes útil do momento em relação a um eixo Vimos que o produto vetorial multiplica dois vetores juntos e produz um novo vetor Aqui examinaremos o produto escalar que multiplica dois vetores juntos e produz uma quantidade escalar Prof Dra Lauriane Santin Produtos escalares Prof Dra Lauriane Santin Produto escalar O produto escalar de dois vetores é comutativo 𝑃 𝑄 𝑄 𝑃 O produto escalar é também distributivo 𝑃 𝑄1 𝑄2 𝑃 𝑄1 𝑃 𝑄2 O produto escalar de dois vetores P e Q é definido como o produto das intensidades de P e Q e do cosseno do ângulo formado entre eles Prof Dra Lauriane Santin 𝑃 𝑄 𝑃𝑄 cos 𝜃 Produto Escalar Ԧ𝒊 Ԧ𝒊 𝟏 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 0 Ԧ𝑖 𝑘 0 Ԧ𝑗 Ԧ𝑖 0 Ԧ𝒋 Ԧ𝒋 𝟏 റ𝑗 𝑘 0 𝑘 Ԧ𝑖 0 𝑘 Ԧ𝑗 0 𝒌 𝒌 𝟏 Ԧ𝒊 Ԧ𝒊 1 1 cos 0 1 Prof Dra Lauriane Santin Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 1 1 cos 90 0 𝑃 𝑄 𝑃𝑄 cos 𝜃 Produto escalar em termos de componentes retangulares 𝑷 𝑸 𝑷𝒙 Ƹ𝒊 𝑷𝒚 Ƹ𝒋 𝑷𝒛𝒌 𝑸𝒙 Ƹ𝒊 𝑸𝒚 Ƹ𝒋 𝑸𝒛𝒌 𝑃𝑥𝑄𝑥 Ƹ𝑖 Ƹ𝑖 𝑃 𝑄 𝑃𝑥𝑄𝑥 𝑃𝑦𝑄𝑦 𝑃𝑧𝑄𝑧 𝑃𝑥𝑄𝑦 Ƹ𝑖 Ƹ𝑗 𝑃𝑥𝑄𝑧 Ƹ𝑖 𝑘 𝑃𝑦𝑄𝑥 Ƹ𝑗 Ƹ𝑖 𝑃𝑦𝑄𝑦 Ƹ𝑗 Ƹ𝑗 𝑃𝑦𝑄𝑧 Ƹ𝑗 𝑘 𝑃𝑧𝑄𝑥𝑘 Ƹ𝑖 𝑃𝑧𝑄𝑦𝑘 Ƹ𝑗 𝑃𝑧𝑄𝑧𝑘 𝑘 𝑃 𝑄 Prof Dra Lauriane Santin Produto Triplo Misto Prof Dra Lauriane Santin Produtos Triplos Mistos Vimos até agora as duas formas possíveis para multiplicar dois vetores juntos o produto vetorial e o produto escalar Agora definiremos o produto triplo misto de três vetores S P e Q como a expressão escalar Prof Dra Lauriane Santin Ԧ𝑆 𝑃 𝑄 Essa expressão pode ser escrita de modo mais compacto se observarmos que ela representa a expansão de um determinante Ԧ𝑆 𝑃 𝑄 𝑆𝑥 𝑆𝑦 𝑆𝑧 𝑃𝑥 𝑃𝑦 𝑃𝑧 𝑄𝑥 𝑄𝑦 𝑄𝑧 𝑆𝑥 𝑆𝑦 𝑆𝑧 𝑃𝑥 𝑃𝑦 𝑃𝑧 𝑄𝑥 𝑄𝑦 𝑄𝑧 ቮ 𝑆𝑥 𝑆𝑦 𝑃𝑥 𝑃𝑦 𝑄𝑥 𝑄𝑦 Ԧ𝑆 𝑃 𝑄 𝑃𝑦𝑄𝑧𝑆𝑥 𝑃𝑧𝑄𝑥𝑆𝑦 𝑃𝑥𝑄𝑦𝑆𝑧 𝑃𝑦𝑄𝑥𝑆𝑧 𝑃𝑧𝑄𝑦𝑆𝑥 𝑃𝑥𝑄𝑧𝑆𝑦 Prof Dra Lauriane Santin Momento de uma força em relação a um eixo Prof Dra Lauriane Santin Momento de uma força em relação a um eixo Definimos o momento 𝑀𝑂𝐿 de 𝑭 em relação ao eixo 𝑂𝐿 como a projeção do momento 𝑀𝑂 sobre o eixo 𝑂𝐿 𝑀𝑂𝐿 መ𝜆 𝑀𝑂 መ𝜆 Ԧ𝑟 Ԧ𝐹 Prof Dra Lauriane Santin Momento de uma força em relação a um eixo O momento 𝑀𝑂𝐿 de 𝑭 em relação a 𝑂𝐿 mede a tendência da força 𝑭 a imprimir ao corpo rígido um movimento de rotação em torno do eixo fixo 𝑂𝐿 Prof Dra Lauriane Santin 𝑀𝑂𝐿 መ𝜆 Ԧ𝑟 Ԧ𝐹 𝜆𝑥 𝜆𝑦 𝜆𝑧 𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 Prof Dra Lauriane Santin Estratégias para resolução Encontrar o vetor unitário orientado ao longo do eixo 𝐵𝐿 Encontrar o vetor Ԧ𝑟 que liga a origem de መ𝜆 ao vetor Ԧ𝐹 Encontrar a força Ԧ𝐹 Calcular o produto triplo misto Exemplos Exemplo 1 A armação ACD é articulada em A e D e é sustentada por um cabo que passa através de um anel em B e é presa a ganchos em G e H Sabendo que a tensão no cabo é 360 N determine o momento sobre a diagonal AD exercida pela força na armação pela porção BH do cabo Prof Dra Lauriane Santin መ𝜆 Ԧ𝑟 𝑇𝐵𝐻 መ𝜆 Ԧ𝑟 𝑇𝐵𝐻 Solução 𝑇𝐵𝐻 360 𝑁 O exercício nos deu Prof Dra Lauriane Santin 𝑀𝐴𝐷 መ𝜆𝐴𝐷 Ԧ𝑟𝐴𝐵 𝑇𝐵𝐻 𝑇𝐵𝐻 360 𝑁 0375 𝑚 Ƹ𝑖 075 𝑚 Ƹ𝑗 075 𝑚𝑘 1125 𝑚 Queremos encontrar 𝑇𝐵𝐻 𝑇𝐵𝐻 𝐵𝐻 𝐵𝐻𝑥 Ƹ𝑖 𝐵𝐻𝑦 Ƹ𝑗 𝐵𝐻𝑧 𝑘 𝑇𝐵𝐻 120 𝑁 Ƹ𝑖 240 𝑁 Ƹ𝑗 240 𝑁𝑘 መ𝜆𝐴𝐷 𝐴𝐷𝑥 Ƹ𝑖 𝐴𝐷𝑦 Ƹ𝑗 𝐴𝐷𝑧 𝑘 𝐴𝐷 መ𝜆𝐴𝐷 1 𝑚 Ƹ𝑖 075 𝑚𝑘 125 𝑚 መ𝜆𝐴𝐷 08 Ƹ𝑖 0 6 𝑘 Ԧ𝑟𝐴𝐵 05 𝑚 Ƹ𝑖 Prof Dra Lauriane Santin 𝑇𝐵𝐻 120 𝑁 Ƹ𝑖 240 𝑁 Ƹ𝑗 240 𝑁𝑘 መ𝜆𝐴𝐷 08 Ƹ𝑖 0 6 𝑘 Ԧ𝑟𝐴𝐵 05 𝑚 Ƹ𝑖 𝑀𝐴𝐷 መ𝜆𝐴𝐷 Ԧ𝑟𝐴𝐵 𝑇𝐵𝐻 𝜆𝐴𝐷𝑥 𝜆𝐴𝐷𝑦 𝜆𝐴𝐷𝑧 𝑟𝐴𝐵𝑥 𝑟𝐴𝐵𝑦 𝑟𝐴𝐵𝑧 𝑇𝐵𝐻𝑥 𝑇𝐵𝐻𝑦 𝑇𝐵𝐻𝑧 𝑀𝐴𝐷 08 0 06 05 0 0 120 240 240 อ 08 0 05 0 120 240 𝑀𝐴𝐷 72 𝑁𝑚 መ𝜆 Ԧ𝑟 𝑇𝐵𝐻 Exemplo 2 A placa triangular ABC é sustentada por juntas rotuladas em B e D e mantida na posição mostrada pelos cabos AE e CF Se a força exercida pelo cabo CF em C é 33 N determine o momento dessa força em relação à linha que une os pontos D e B Prof Dra Lauriane Santin 𝑇𝐶𝐹 መ𝜆 Ԧ𝑟 መ𝜆𝐷𝐵 𝐷𝐵𝑥 Ƹ𝑖 𝐷𝐵𝑦 Ƹ𝑗 𝐷𝐵𝑧 𝑘 𝐷𝐵 Solução 𝑇𝐶𝐹 33 𝑁 O exercício nos deu Prof Dra Lauriane Santin 𝑇𝐶𝐹 𝑇𝐶𝐹 𝐶𝐹 𝐶𝐹𝑥 Ƹ𝑖 𝐶𝐹𝑦 Ƹ𝑗 𝐶𝐹𝑧 𝑘 𝑇𝐶𝐹 33 11 06 Ƹ𝑖 09 Ƹ𝑗 02𝑘 𝑇𝐶𝐹 18 𝑁 Ƹ𝑖 27 𝑁 Ƹ𝑗 6 𝑁 𝑘 𝑀𝐷𝐵 መ𝜆𝐷𝐵 Ԧ𝑟𝐷𝐶 𝑇𝐶𝐹 Queremos encontrar መ𝜆𝐷𝐵 𝐷𝐵𝑥 Ƹ𝑖 𝐷𝐵𝑦 Ƹ𝑗 𝐷𝐵𝑧 𝑘 𝐷𝐵 መ𝜆𝐷𝐵 12 Ƹ𝑖 035 Ƹ𝑗 125 መ𝜆𝐷𝐵 096 Ƹ𝑖 028 Ƹ𝑗 Ԧ𝑟𝐷𝐶 02 Ƹ𝑗 04𝑘 𝑇𝐶𝐹 Ԧ𝑟 መ𝜆 Solução Prof Dra Lauriane Santin 𝑀𝐷𝐵 096 028 0 0 02 04 18 27 6 อ 096 028 0 02 18 27 𝑀𝐷𝐵 95 𝑁𝑚 𝑇𝐶𝐷 18 𝑁 Ƹ𝑖 27 𝑁 Ƹ𝑗 6 𝑁 𝑘 መ𝜆𝐷𝐵 096 Ƹ𝑖 028 Ƹ𝑗 Ԧ𝑟𝐷𝐶 02 Ƹ𝑗 04𝑘 𝑀𝐷𝐵 መ𝜆𝐷𝐵 Ԧ𝑟𝐷𝐶 𝑇𝐶𝐹 𝜆𝐷𝐵𝑥 𝜆𝐷𝐵𝑦 𝜆𝐷𝐵𝑧 𝑟𝐷𝐶𝑥 𝑟𝐷𝐶𝑦 𝑟𝐷𝐶𝑧 𝑇𝐶𝐹𝑥 𝑇𝐶𝐹𝑦 𝑇𝐶𝐹𝑧 Problemas A armação ACD é articulada em A e D e é sustentada por um cabo que passa através de um anel em B e é presa a ganchos em G e H Sabendo que a tensão no cabo é 360 N determine o momento sobre a diagonal AD exercida pela força na armação pela porção BG do cabo Prof Dra Lauriane Santin Problema 1 Problema 2 A placa triangular ABC é sustentada por juntas rotuladas em B e D e mantida na posição mostrada pelos cabos AE e CF Se a força exercida pelo cabo AE em A é 44 N determine o momento dessa força em relação à linha que une os pontos D e B Prof Dra Lauriane Santin Problema 3 Determine o momento da força mostrada em relação à linha que une os pontos C e A Prof Dra Lauriane Santin Problema 4 Sabendo que a soma dos momentos em relação ao eixo x das forças exercidas pelos cabos sobre o celeiro nos pontos A e D é igual a 76 kNm 𝑀𝐴𝑥 𝑀𝐷𝑥 7600 determine a intensidade de TDF quando TAC 102 kN Lembre que o momento em relação ao eixo x é dado por Prof Dra Lauriane Santin