Programacao Linear e Aplicacoes - Resolucao Grafica e Simplex

ou programação Linear e Aplicações ividade 3 corresponde a 30 da nota da avaliação A2 1 Considere o seguinte problema de otimização de recursos Uma empresa fabrica dois produtos x1 e x2 usando três máquinas A B e C A máquina A tem 4 horas de capacidade disponível durante a próxima semana Da mesma forma a capacidade disponível das máquinas B e C durante a próxima semana é de 24 horas e 35 horas respectivamente Uma unidade do produto x1 requer uma hora da máquina A 3 horas da máquina B e 10 horas da máquina C Da mesma forma uma unidade do produto x2 requer 1 hora 8 horas e 7 horas da máquina A B e C respectivamente Quando uma unidade de x1 é vendida no mercado gera um lucro de R 500 por unidade e o de x2 é de R 700 por unidade a Formule o modelo matemático para o problema b Resolvao graficamente c Considerando os vértices do gráfico quantas soluções podem ser encontradas Assinale cada uma delas determinando se são factíveis ou não e encontre o valor da função objetivo para cada caso d Construa o modelo completo incluindo as variáveis de folga e resolva pelo método Simplex e O que pode ser dito considerando o número de iterações e a quantidade de soluções encontradas pelo método gráfico Resolução a O problema é modelado por Max 5X1 7X2 Sujeito às restrições X1 X2 4 máquina A 3X1 8X2 24 máquina B 10X1 7X2 35 máquina C X1 X2 0 nãonegatividade b Para resolver o problema graficamente desenhase a região de soluções viáveis encontrandose as retas limites dessa região e os pontos extremos da mesma X1 X2 4 3X1 8X2 24 Solução X1 16 X2 24 X1 X2 4 10X1 7X2 35 Solução X1 233 X2 166 A região de soluções viáveis é ilustrada a seguir c A região de soluções viáveis possui 5 vértices indicando soluções factíveis com os seguintes valores de função objetivo 0 3 Z 21 35 0 Z 175 0 0 Z 0 16 24 Z 248 SOLUÇÃO ÓTIMA MAIOR Z 233 166 Z 2333 d Passase o problema para a forma padrão adicionando variáveis de excesso de folga e artificiais onde for necessário Como a restrição 1 é do tipo é necessária a variável de folga X3 Como a restrição 2 é do tipo é necessária a variável de folga X4 Como a restrição 3 é do tipo é necessária a variável de folga X5 Assim o problema Max Z 5X1 7X2 sujeito a X1 X2 4 3X1 8X2 24 10X1 7X2 35 X1 X2 0 Se torna Max Z 5X1 7X2 0X3 0X4 0X5 sujeito a 1X1 1X2 1X3 4 3X1 8X2 1X4 24 10X1 7X2 1X5 35 X1 X2 X3 X4 X5 0 Constróise agora a primeira tabela do método Simplex Tabela 1 5 7 0 0 0 Base CB X0 X1 X2 X3 X4 X5 X3 0 4 1 1 1 0 0 X4 0 24 3 8 0 1 0 X5 0 35 10 7 0 0 1 Z 0 5 7 0 0 0 A variável que vai sair da base é X4 e a que entra é X2 Tabela 2 5 7 0 0 0 Base CB X0 X1 X2 X3 X4 X5 X3 0 1 0625 0 1 0125 0 X2 7 3 0375 1 0 0125 0 X5 0 14 7375 0 0 0875 1 Z 21 2375 0 0 0875 0 A variável que vai sair da base é X3 e a que entra é X1 Tabela 3 5 7 0 0 0 Base CB X0 X1 X2 X3 X4 X5 X1 5 16 1 0 16 02 0 X2 7 24 0 1 06 02 0 X3 0 22 0 0 118 06 1 Z 24 8 0 0 38 04 0 A solução ótima é Z 248 com X1 16 e X2 24 o que está de acordo com a solução obtida pelo método gráfico e Comparando os métodos observase ser mais rápida a resolução pelo método simplex pois envolve apenas 3 iterações ao passo que o método gráfico exige duas iterações para determinação das retas limites e mais 5 etapas para cálculo de Z embora seja útil para comparação dos resultados