Determinantes em Algebra Linear - Conceitos, Calculo e Aplicacoes

Álgebra Linear I Cruzeiro do Sul Virtual Educação a Distância Determinantes Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Douglas Tinti Revisão Textual Profa Ms Luciene Oliveira da Costa Santos 5 Nesta unidade abordaremos o conceito de Determinantes por meio da sua origem histórica conceitualização aplicabilidade e procedimentos de resolução É importante que você exercite e aprofunde seus estudos resolva os exercícios propostos e busque outros nas referências bibliográficas sugeridas Além disso participe do fórum de discussões assista à aula em vídeo e não se esqueça de conferir as datas de avaliação Conceituar Determinantes bem como exemplificar sua aplicabilidade Estudar Propriedades e Teoremas que contribuem para o cálculo de determinantes de matrizes de diferentes ordens Conhecer os procedimentos para a determinação da inversa de uma matriz Exercitar os conhecimentos adquiridos ao longo do estudo desta unidade Determinantes Origem histórica do conceito de determinantes Calculando Determinantes diferentes procedimentos de resolução Aplicabilidade do conceito de determinantes 6 Unidade Determinantes Contextualização Nesta unidade abordaremos o conceito e o cálculo de determinantes que serão para nós instrumentos indispensáveis para o estudo dos conceitos que integram a Álgebra Linear sobretudo no que tange ao estudo de Sistemas Lineares Acreditase que as discussões teóricas que permeiam o conceito de determinantes tenham sido desenvolvidas simultaneamente na Alemanha e no Japão As noções que conhecemos hoje sobre Determinantes foram desenvolvidas por dois matemáticos Leibniz 16461716 e Seki Shinsuke Kowa 16421708 ao solucionarem problemas de eliminações escalonamento necessárias à resolução de um sistema de m equações lineares e n incógnitas O conceito de determinantes se constitui como ferramenta para solucionar diferentes problemas envolvendo diversas áreas do conhecimento incluindo a própria matemática Enquanto aplicação dentro da própria matemática podemos destacar por exemplo o cálculo de uma inversa de uma matriz o cálculo de cofatores e a discussão de sistemas lineares Vamos juntos conhecer um pouco mais sobre determinantes 7 Origem histórica do conceito de determinantes Historicamente acreditase que o estudo dos Sistemas Lineares levou alguns matemáticos do século XVII ao desenvolvimento do que denominamos e conhecemos hoje por Teoria dos Determinantes A teoria surgiu quase simultaneamente no Japão e na Europa embora se reconheça que foi o matemático japonês Seki quem publicou pela primeira vez uma obra tratando do assunto A referida obra é Kakefukadai no ho onde Seki apresenta um método para o cálculo de determinantes Foi publicada em 1683 Nesse mesmo ano na Europa o matemático alemão Leibiniz escreveu ao matemático francês LHopital uma carta apresentando a classificação de um sistema linear em que aplicava um novo tipo de cálculo que hoje denominamos determinantes No que tange à evolução das pesquisas em matemática destacase também o século XIX por ser marcado por grandes avanços que proporcionaram o aparecimento de ferramentas e técnicas de resolução de problemas que contribuíram para o avanço do campo tecnológico e científico Definição Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar É um número obtido por meio de multiplicações e adições dos coeficientes de um Sistema Linear É importante destacar que não existe determinante de matriz que não seja quadradaRepresentaremos o determinante de uma matriz A por exemplo por detA Vejamos a seguir como calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem 1 2 ou 3 Determinante de matriz quadrada de ordem 1 Seja a matriz quadrada de ordem 1 indicada por A a11 por definição o determinante de A é igual ao número a11 Exemplo A 7 detA 7 8 Unidade Determinantes Determinante de matriz quadrada de ordem 2 Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 calculamos seu determinante por meio do produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária Exemplo 6 3 2 4 A detA 6 4 3 2 det A 24 6 det A 30 Assim 6 3 30 2 4 Determinante de matriz quadrada de ordem 3 Consideremos a matriz genérica 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a Podemos obter o determinante utilizando a regra de Sarrus 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a det A a a a a a a a a a a detA Importante Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal O determinante é a soma dos valores obtidos 9 Algumas propriedades dos determinantes Com relação ao estudo de determinantes convém destacar que há algumas propriedades importantes que contribuem para a minimização de cálculo Propriedade 1 fila de zeros Considere a matriz quadrada M Se todos os elementos de uma linha ou coluna desta matriz forem iguais a zero seu determinante será nulo isto édetM 0 Exemplos a 1 0 0 3 0 b 9 7 5 0 0 0 0 3 2 1 Propriedade 2 filas iguais Considere a matriz quadrada M Se os elementos correspondentes de duas linhas ou colunas forem iguais seu determinante será nulo Exemplo 2 3 4 1 2 6 0 2 3 4 Propriedade 3 filas proporcionais Considere a matriz quadrada M Se esta matriz possui duas linhas ou duas colunas proporcionais seu determinante será nulo Exemplo 2 3 4 4 6 8 0 1 3 7 Observe que a 2ª linha é o dobro da 1ª 10 Unidade Determinantes Propriedade 4 multiplicação de uma fila por uma constante Considere a matriz quadrada M Se todos os elementos de uma linha ou coluna são multiplicados por um número real k então seu determinante será multiplicado por k Exemplo 21 35 3 5 7 4 6 4 6 Propriedade 5 multiplicação da matriz por uma constante Considerando que a matriz quadrada M de ordem n foi multiplicada por um número real k então o seu determinante também será multiplicado por kn isto é det det n n n kM k M Exemplo 3 4 det 7 2 5 A A 2 15 20 5 det 5 5 7 10 25 A A Propriedade 6 determinantes da transposta Sendo M uma matriz quadrada temos que detMdetMT Exemplo 1 3 det 7 4 5 A A 1 4 det 7 3 5 AT A 11 Propriedade 7 troca de filas paralelas Sendo M uma matriz quadrada se trocarmos de posição entre si duas linhas ou duas colunas o determinante da nova matriz obtida será o oposto do determinante da matriz anterior Exemplo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A Se trocarmos a 1ª coluna pela segunda obtemos uma nova matriz 2 1 3 5 4 6 8 7 9 B Assim teremos que detA24 e que detB24 Propriedade 8 determinante de matriz triangular O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal Exemplo 3 5 det 32 6 0 2 A A Propriedade 9 teorema de Binet O teorema de Binet diz que sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto então detABdetAdetB Exemplo 1 5 det 3 10 7 2 3 A A 1 5 det 1 10 11 2 1 B B Observe que detABdetAdetB 12 Unidade Determinantes Para Pensar O que vem a ser um Teorema E um Postulado E uma Propriedade Qual a importância deles no desenvolvimento do conhecimento matemático Que tal realizar uma pesquisa e compartilhar com seus colegas no Fórum proposto no Ambiente Virtual Propriedade 10 teorema de Jacobi O Teorema de Jacobi diz que o determinante de uma matriz quadrada não se altera quando se adicionam aos elementos de uma fila linha ou coluna qualquer os elementos correspondentes de outra fila linha ou coluna paralela previamente multiplicada por uma constante Exemplo 1 2 det 4 6 2 3 4 A A Se multiplicarmos a 1ª linha por 2 e somarmos o resultado à 2ª linha obtemos 1 2 det 8 10 2 5 8 B A Propriedade 11 determinante da inversa Seja A uma matriz quadrada invertível e A1 sua inversa Então detA1 1 det A Importante uma matriz A é invertível se e somente se detA0 Calculando Determinantes diferentes procedimentos de resolução Além da Regra de Sarrus há outros métodos como por exemplo o Teorema de Laplace e a Regra de Chió a Teorema de Laplace Quando nos deparamos com matrizes quadradas de ordem n n 2 o Teorema de Laplace PierreSimon Laplace 17491827 oferece uma solução prática para o cálculo dos determinantes Antes de seguirmos é importante estudar algumas definições para que possamos utilizar esta ferramenta de maneira adequada 13 Menor Complementar Dada a matriz quadrada ij mxn A a de ordem n n2 denominamos menor complementar de um elemento genérico ij a da matriz o determinante ij D que obtemos suprimindo a linha i e a coluna j de A Exemplo 2 5 0 1 3 1 4 2 1 A De acordo com a definição de menor complementar temos Cofator Dada a matriz quadrada ij mxn A a de ordem n n 2 denominamos cofator de um elemento ij a da matriz ao produto pelo determinante da submatriz obtida eliminando de A a linha i e a coluna j Assim o cofator de um elemento aij a é o menor complementar desse elemento multiplicado por1ijAssim o cofator do elemento ij a é denotado por Aij Exemplo Dada a matriz 2 1 2 1 1 0 3 3 1 A 14 Unidade Determinantes Podemos calcular por exemplo os cofatores dos elementos a23 e 31 a Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada ij mxn A a de ordem n n 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores Assim dada a matriz 11 12 1 21 22 2 1 2 n n mxn n n nn a a a a a a A a a a Assim tomando como referência por exemplo a primeira linha temos 11 11 12 12 1 1 n n det A a A a A a A Atenção Atenção Podemos aplicar o Teorema de Laplace utilizando qualquer linha ou coluna da matriz A como referência É usual escolhermos aquela que apresenta a maior quantidade de zeros com o objetivo de diminuir os cálculos Exemplo Calcule o determinante da matriz A expressa a seguir utilizando o Teorema de Laplace 1 2 0 1 3 2 3 4 2 A 15 Observe que na 3ª coluna temos um dos elementos igual a zero Escolhendo a 3ª coluna como referência temos 13 13 23 23 33 33 det A a A a A a A Assim det 2 10 2 5 20 10 30 A Deste modo 1 2 0 1 3 2 30 3 4 2 b Regra de Chió Por meio da Regra de Chió é possível diminuir de n para n 1 a ordem de uma matriz quadrada A sem alterar o valor do seu determinante Esta regra consiste em a Escolher um elemento aij 1 caso não exista aplicar as propriedades para que apareça o elemento 1 b Suprimir a linha i e a coluna j do elemento aij 1 obtendo o menor complementar do referido elemento c Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas d Multiplicar o determinante obtido no item anterior por1ij onde i e j designam as ordens da linha e da coluna às quais pertence o elemento aij 1 do primeiro item Exemplos Usando a Regra de Chió calcule 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 3 3 D 16 Unidade Determinantes Para aplicarmos a Regra de Chió precisamos que aij 1 Para tanto precisamos multiplicar os elementos da 1ª coluna por 1 2 conforme Propriedade 4 multiplicação de uma fila por uma constante Assim teremos 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 3 1 2 3 3 2 2 3 3 3 1 3 3 3 Agora precisamos subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas Assim temos 21 21 21 21 21 21 21 2 2 2 3 0 0 1 2 3 3 0 1 1 1 3 3 3 1 2 1 1 1 1 Agora precisamos multiplicar o determinante obtido no item anterior por1ij Assim 1111121 111 1 Como utilizamos a Propriedade 4 sabemos que pelo fato de multiplicarmos a matriz D por 2 temos que 1 1 2 D 1 2 1 2 2 1 1 D 2 1 1 D D 2 17 Calcule o Determinante da Matriz 1 5 7 2 4 3 3 2 4 M Observe que o elemento m11 1 portanto podemos aplicar a Regra de Chió Assim temos Atenção Atenção Só podemos aplicar a Regra de Chió se o elemento a11 1 Aplicabilidade do conceito de determinantes O estudo de determinantes possibilitou a resolução de problemas em diferentes áreas como Física Economia e mais recentemente a Robótica Dentre as aplicações destacamos a discussão dos sistemas lineares Por meio do determinante podemos concluir se um Sistema Linear é possível e determinado SPD possível e indeterminado SPI indeterminado SI Esse será o mote para avançarmos no estudo de Álgebra Linear Explore Falamos nesta Unidade sobre Matrizes inversas Aprofunde seus conhecimentos pesquisando sobre métodos para o cálculo da inversa de uma matriz 18 Unidade Determinantes Exercícios Propostos 1 Dada a matriz 3 1 0 0 1 2 5 1 3 7 1 0 4 1 2 1 A Calcular seu determinante utilizando o Teorema de Laplace 2 Calcule o determinante das seguintes matrizes a 5 0 0 1 2 0 3 1 4 M b 1 0 2 4 4 2 8 7 3 8 6 9 5 6 10 6 B c 2 3 5 1 1 2 3 4 3 A d 3 1 2 5 4 1 18 6 12 D 3 Sejam as matrizes 6 2 1 4 A e calcule detAB 4 Utilizando a Regra de Chió calcule o determinante da matriz A 3 7 4 1 2 1 0 3 2 19 Expectativa de Respostas 1 Optamos por escolher a primeira linha para aplicar o Teorema de Laplace porque ela apresenta dois elementos nulos o que facilita a aplicação do método Observe que poderíamos ter escolhido a quarta coluna que também apresenta dois zeros Lembrese podemos escolher qualquer linha ou coluna Assim temos 3 1 0 0 1 2 5 1 3 7 1 0 4 1 2 1 A 11 11 12 12 13 13 14 14 det A a A a A a A a A 1 1 1 2 1 3 1 4 2 5 1 1 5 1 1 2 1 1 2 5 det 3 1 7 1 0 1 1 3 1 0 0 1 3 7 0 0 1 3 7 1 1 2 1 4 2 1 4 1 1 4 1 2 A det 352 124 132 A 2 a Como M é uma matriz triangular o determinante será determinado pela multiplicação da diagonal principal assim detM40 b Como a 3ª coluna é o dobro da 1ª coluna temos que detB0 c Utilizando a Regra de Sarrus temos 2 3 5 2 3 1 1 2 1 1 15 16 9 6 18 20 22 3 4 3 3 4 d Como a 1ª linha e a 3ª linha são proporcionais temos que o determinante será igual a zero ou seja detD0 3 Pelo Teorema de Binet temos que det det det AB A B Assim detAB26252 4 Para aplicarmos a Regra de Chió precisamos ter a11 1 Neste caso precisaremos trocar as posições da 1ª e da 2ª linha 2 1 1 2 1 7 4 1 7 3 7 4 1 1 1 19 19 3 2 3 2 0 3 2 23 13 20 10 20 Unidade Determinantes Material Complementar Vídeos Determinantes Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv3luolxKvLrg Propriedades dos Determinantes Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvwxDyou8co Equações em forma de Determinantes Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvJExNRplPLe0 Links da Internet Portal Khan Academy Estudo de Determinantes Neste portal você poderá praticar um pouco Disponível em httpsgooglCsdu4z Livros ANTON Howard Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 GUELLI Oscar Contando a história da matemática equação o idioma da álgebra história da matemática São Paulo Ática 1993 LEON Steven J Álgebra linear com aplicações 4 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1999 21 Referências ANTON H Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 COELHO F U Um curso de álgebra linear São Paulo Edusp 2001 LEON S J Álgebra linear com aplicações 4 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1999 LIPSCHUTZ S Álgebra linear teoria e problemas 3 ed São Paulo Makron Books 2004 STRANG G Álgebra Linear e suas aplicações São Paulo Cengage 2010 VALLADARES R J da C Álgebra linear Rio de Janeiro LTC 1990 22 Unidade Determinantes Anotações Cruzeiro do Sul Virtual Educação a Distância wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário