Sistemas Lineares 2x2 e 3x3 - Material Teórico Cruzeiro do Sul

Álgebra Linear I Cruzeiro do Sul Virtual Educação a Distância Sistemas Lineares Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Douglas Tinti Revisão Textual Profa Ms Luciene Oliveira da Costa Santos 5 Nesta unidade estudaremos os Sistemas Lineares 2 x 2 e 3 x 3 por meio da sua origem histórica conceitualização aplicabilidade e procedimentos de resolução Serão propostos diversos exemplos Tente resolvêlos também Esta pode ser uma estratégia de estudos para você É importante que exercite e aprofunde seus estudos resolva os exercícios propostos e busque outros nas referências bibliográficas sugeridas E participe do fórum de discussões assista à aula em vídeo e não esqueça de conferir as datas de avaliação Fique atentoa Havendo qualquer dúvida contate seu tutor para auxiliáloa Conceituar Sistemas Lineares bem como exemplificar sua aplicabilidade Estudar propriedades teoremas e métodos que contribuem para a solução de um Sistema Linear Resolver Sistemas Lineares 2 x 2 e 3 x 3 Relacionar Matrizes Determinantes e Sistemas Lineares Exercitar os conhecimentos adquiridos ao longo do estudo desta unidade Sistemas Lineares Origem Histórica Definição Métodos para solucionar um Sistema Linear Sistema Linear Escalonado Método do Escalonamento ou Eliminação de Gauss Classificação e Discussão de um Sistema Linear Representação de um Sistema Linear na forma de Matrizes 6 UnidadeSistemas Lineares Contextualização Nesta unidade abordaremos o conceito de Sistemas Lineares evidenciando sua relação com as Matrizes e os Determinantes No âmbito da história da matemática acreditase que o primeiro povo a utilizar um método sistemático para solucionar sistemas de equações lineares tenha sido os chineses Em sua essência o método utilizado pelos chineses é idêntico ao método do escalonamento ou de eliminação de Gauss Os chineses utilizavam como calculadora um tabuleiro quadriculado e um conjunto de barras de marfim ou bambu para representar os números Essa ferramenta foi batizada de ábaco chinês que foi sendo aperfeiçoado ao longo do tempo Fonte ThinkstockGetty Images Ábaco Chinês Podemos utilizar as matrizes para representar um sistema linear e o determinante para dentre outras coisas indicar se um sistema linear é possível e determinado SPD possível e indeterminado SPI ou impossível SI Além disso o avanço da produção de conhecimento matemático nos proporcionam utilizar diferentes regras e técnicas para resolver um sistema linear como por exemplo a Regra de Cramer ou a Eliminação de Gauss escalonamento Que tal aprofundarmos nossos conhecimentos acerca desses pontos Vamos lá 7 Origem Histórica A palavra Sistema deriva do grego systema sy significa junto e sta significa permanecer é o conjunto de equações que devem ser resolvidas juntas ou seja os resultados devem satisfazêlas simultaneamente Historicamente sabese que o matemático inglês Arthur Cayley em 1858 foi considerado o primeiro matemático a representar Sistemas Lineares na forma de matrizes Entretanto sabese que em civilizações antigas como Egito Babilônia China e Índia foram encontrados documentos que apresentavam situações do cotidiano e situações algébricas que eram resolvidas considerando equações simultâneas Defi nição Denominase Sistema de Equações um conjunto de equações que apresenta as mesmas incógnitas Chamase equação linear nas incógnitas x1 x2 xn toda equação que pode ser apresentada na forma a1x1 a2x2 anxn b Em que a1 a2 an são constantes reais chamadas de coeficientes das incógnitas e b é uma constante real chamada de termo independente da equação Todo sistema de equações formado exclusivamente por equações lineares é chamado de Sistema Linear Exemplos 2 3 13 3 5 10 x y x y É um sistema linear 2 x 2 incógnitas x e y 4 2 1 3 6 x y z x y z É um sistema linear 2 x 3 incógnitas x y e z 2 0 2 1 8 x y z x y z x y z É um sistema linear 3 x 3 incógnitas x y e z 8 UnidadeSistemas Lineares Métodos para solucionar um Sistema Linear Chamase solução de um sistema linear qualquer solução comum a todas as equações do sistema O conjunto S formado por todas as soluções de um sistema linear é chamado de conjunto solução do sistema Podemos determinar a solução de um sistema linear 2 x 2 IR x IR utilizando os métodos da adição substituição e comparação dentre outros a Solucionando Sistemas Lineares 2 x 2 pelo método da adição Exemplo Vamos resolver o seguinte Sistema Linear 3 10 2 5 1 x y x y Observe que se multiplicarmos a 1ª linha por 5 e somarmos com a 2ª linha iremos cancelar a incógnita y e assim determinaremos a incógnita x 3 10 2 5 1 x y x y 15 5 50 2 5 1 17 51 51 17 3 x y x y x x x Se x 3 podemos substituir esse valor em uma das equações e determinar o valor de y 3x y 10 33 y 10 9 y 10 y 10 9 y 1 y 1 Desse modo S 3 1 9 Sistema Linear Escalonado Método do Escalonamento ou Eliminação de Gauss Com relação à resolução de Sistemas Lineares convém destacar que diferentes métodos como por exemplo o método do escalonamento Esse método exige muita atenção e habilidade algébrica É importante destacar que um sistema linear é escalonado ou está na forma escalonada se e somente se I Todas as equações apresentam as incógnitas em uma mesma ordem II Em cada equação existe pelo menos um coeficiente de alguma incógnita não nulo III Existe uma ordem para as equações tal que de uma equação para outra aumenta o número de coeficientes nulos que antecedem o primeiro coeficiente não nulo Exemplos Os Sistemas Lineares a seguir estão na forma escalonada I 3 1 x y y Observe que na segunda equação a incógnita x assume o valor 0 II 2 3 2 5 4 8 3 6 x y z y z z Observe que na segunda equação a incógnita x assume o valor 0 e na terceira equação as incógnitas x e y assumem o valor 0 III 4 2 5 3 3 1 2 4 x y t z y t z z Observe que na segunda equação a incógnita x assume o valor 0 e na terceira equação as incógnitas x y e t assumem o valor 0 Assim podemos concluir que t 0 Diante desses exemplos podemos concluir que existem dois tipos de sistemas lineares escalonados 1º tipo com o número de equações iguais ao número de incógnitas Observe I e II Todo Sistema Linear desse tipo é possível e determinado SPD 2º tipo com o número de equações menor que o número de incógnita Observe III Todo Sistema Linear desse tipo é possível e indeterminado SPI 10 UnidadeSistemas Lineares Importante Prezado aluno fique tranquilo mais adiante veremos o que significa SPD e SPI a Solucionando Sistemas Lineares 2 x 2 pelo Método do Escalonamento Exemplo Resolva o Sistema Linear a seguir pelo Método do Escalonamento 7 1 x y x y Em linhas gerais o Método do Escalonamento consiste em ir zerando as incógnitas das equações de acordo com a quantidade de equações que possui Por exemplo num sistema linear 2 x 2 precisamos que na 1ª equação haja as incógnitas x e y Já na 2ª equação precisaremos apenas da incógnita y Devemos perguntar que operação algébrica preciso resolver para zerar a incógnita que quero Voltemos ao exemplo quero que a incógnita x da 2ª equação seja zerada Desse modo preciso multiplicar a 1ª equação por 1 e somar o resultado com a 2ª equação mantendo sempre a 1ª equação Assim temos 7 1 x y x y 7 2 6 x y y multiplicar a 1ª equação por 1 e somar o resultado com a 2ª equação Observe que agora temos o sistema linear na forma escalonada 7 2 6 x y y 11 Agora podemos resolvêlo 2 6 y 6 2 3 y y Se y 3 podemos substituílo na 1ª equação Assim temos 7 7 3 7 3 4 x y x x x Desse modo temos que S 4 3 Importante Lembrese que um par ordenado P é sempre constituído por dois pontos x e y tal que P xy b Solucionando Sistemas Lineares 3 x 3 pelo método do escalonamento Exemplo Resolva o Sistema Linear a seguir pelo Método do Escalonamento 2 3 7 2 4 3 3 14 x y z x y z x y z Como vimos anteriormente precisaremos primeiramente zerar a incógnita x da 2ª equação e posteriormente zerar as incógnitas x e y da 3ª equação Se multiplicarmos a 1ª equação por 2 e somarmos com a segunda obteremos 12 UnidadeSistemas Lineares 2 3 7 2 4 3 3 14 x y z x y z x y z 2 3 7 3 5 10 3 3 14 x y z y z x y z multiplicar a 1ª equação por 2 e somar o resultado com a 2ª equação Se multiplicarmos a 1ª equação por 3 e somarmos com a terceira obteremos 2 3 7 3 5 10 3 3 14 x y z y z x y z 2 3 7 3 5 10 3 8 7 x y z y z y z Multiplicar a 1ª equação por 3 e somar o resultado com a 3ª equação Observe que para que tenhamos o sistema linear na forma escalonada precisaremos agora zerar a incógnita y da 3ª equação Importante Lembrese de que quando estamos fazendo estas manipulações algébricas só alteraremos a equação que pretendemos zerar alguma incógnita Fique atentoa Para tanto se multiplicarmos a 2ª equação por 1 e somarmos com a 3ª equação teremos 2 3 7 3 5 10 3 8 7 x y z y z y z 2 3 7 3 5 10 3 3 x y z y z z multiplicar a 2ª equação por 1 e somar o resultado com a 3ª equação Observe que agora temos o sistema linear na forma escalonada Desse modo podemos calcular o valor de cada uma das incógnitas de baixo para cima geralmente 13 3 3 1 z z 3 5 10 3 5 10 3 5 10 3 10 5 3 5 1 5 1 y z y y y y y 2 3 7 2 3 7 10 3 7 7 5 0 7 1 x z x x x y x Assim temos que S 0 5 1 Atenção Atenção Como já apontado anteriormente fique atentoa às regras de sinais pois um descuido pode gerar erros Exercícios propostos 1 Resolva os seguintes Sistemas Lineares utilizando o Método do Escalonamento a 3 1 x y x y b 2 5 1 x y x y c 2 9 2 6 2 2 1 x y z x y z x y z Expectativa de Resposta 1 a S 2 1 b S 2 1 c S 2 1 3 14 UnidadeSistemas Lineares Classifi cação e Discussão de um Sistema Linear Um Sistema Linear pode ser possível ou impossível Observe o diagrama a seguir Considerando o Determinante de um Sistema Linear com número de equações igual ao número de incógnitas temos que det 0 Sistema Possível e Determinado SPD det 0 Sistema Possível e Indeterminado SPI ou sistema impossível SI Em um sistema linear 2 x 2 podemos utilizar também o critério de proporcionalidade para classificar 1 1 1 2 2 2 a x b y k a x b y k 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 a b k SPI a b k a b k SI a b k a b SPD a b Exemplos a 7 1 x y x y Temos que 1 1 1 1 SPD 15 b 7 1 x y x y 1 1 7 1 1 1 SI c 1 1 x y x y 1 1 1 1 1 1 SPI Para Pensar Será que há outra forma não algébrica de verificar se um sistema linear é SPI SI ou SPD Representação de um Sistema Linear na forma de Matrizes Podemos representar um sistema linear utilizando a notação de matrizes utilizando os coeficientes das incógnitas Essa representação pode ser útil na utilização do escalonamento dado que só estaremos trabalhando com os coeficientes e ocultando as incógnitas Exemplo a 3 1 x y x y Pode ser representado por 1 1 3 1 1 1 b 2 9 2 6 2 2 1 x y z x y z x y z Pode ser representado por 1 1 2 9 2 1 1 6 2 2 1 1 16 UnidadeSistemas Lineares Regra de Cramer A Regra de Cramer é utilizada para a resolução de um sistema linear a partir do cálculo de determinantes Tratase de um recurso importante na resolução de sistemas lineares possíveis e determinados especialmente quando o escalonamento se torna muito trabalhoso Considere o sistema linear ax by e cx dy f Este sistema é possível e determinado quando 0 a b D c d A solução desse sistema é dada por y Dx x D D y D a Solucionando Sistemas Lineares 2 x 2 pela Regra de Cramer Exemplo Resolva o sistema linear a seguir utilizando a Regra de Cramer 2 3 5 2 3 x y x y Temos que 2 3 5 1 2 3 Assim 2 3 4 3 7 1 2 D Como D 0 o sistema é possível e determinado e poderemos aplicar a Regra de Cramer Para calcularmos Dx iremos substituir a 1ª coluna da matriz pelo resultado da igualdade 5 3 3 10 9 19 2 Dx Para calcularmos Dy iremos substituir a 2ª coluna da matriz pelo resultado da igualdade 5 3 2 6 5 1 1 y D 17 Assim temos que 19 7 1 7 x y D x D D y D Portanto 19 1 7 7 S b Solucionando Sistemas Lineares 3 x 3 pela Regra de Cramer Exemplo Resolva o Sistema Linear a seguir utilizando a Regra de Cramer 2 5 2 3 3 4 4 x y z x y z x y z Sabemos que 1 2 1 5 1 2 3 3 4 1 1 4 Aplicando a Regra de Sarrus temos 1 2 1 1 2 3 36 0 4 1 1 D osistemaé SPD 2 1 2 3 36 1 1 5 3 4 x D 36 1 36 Dx x D 1 1 1 3 72 4 1 5 3 4 y D 72 2 36 Dy y D 18 UnidadeSistemas Lineares 1 2 1 2 5 3 72 4 1 4 z D 72 2 36 Dz z D Portanto S 1 2 2 Trocando Ideias Você pode calcular o Determinante de uma matriz utilizando o software Excel Por exemplo 1 2 1 1 2 3 4 1 1 D Primeiramente digite os valores dos elementos da matriz numa planilha em branco Depois utilize a fórmula matrizdetermmatriz digitada E aperte enter o Excel exibirá o que D 36 19 Exercícios propostos 2 Resolva os seguintes Sistemas Lineares utilizando a Regra de Cramer a 6 2 x y x y b 0 2 2 3 2 3 x y z x y z x y z Expectativa de Resposta 2 a S 4 2 b S 1 3 2 20 UnidadeSistemas Lineares Material Complementar Vídeos Sistemas Lineares 2 x 2 Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvw52ZCSD6SzA Sistemas Lineares Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvPpHbJ8Wrik Sistema Linear 3 x 3 no Winplot Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvMVI2skKtyH8 Links da Internet Portal Khan Academy Sistemas de equações e inequações Neste portal você poderá praticar um pouco mais os assuntos abordados nesta unidade Disponível em httpsptkhanacademyorgmathalgebrasystemsoflinearequations Livros ANTON H Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 GUELLI O Contando a história da matemática equação o idioma da álgebra história da matemática São Paulo Ática 1993 LEON S J Álgebra linear com aplicações 4 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1999 21 Referências ANTON H Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 COELHO F U Um curso de álgebra linear São Paulo Edusp 2001 LEON S J Álgebra linear com aplicações 4 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1999 LIPSCHUTZ S Álgebra linear teoria e problemas 3 ed São Paulo Makron Books 2004 STRANG G Álgebra Linear e suas aplicações São Paulo Cengage 2010 VALLADARES R J da C Álgebra linear Rio de Janeiro LTC 1990 22 UnidadeSistemas Lineares Anotações Cruzeiro do Sul Virtual Educação a Distância wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 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