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Matemática ·
Álgebra Linear
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Álgebra Linear I Cruzeiro do Sul Virtual Educação a Distância Matrizes Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Douglas Tinti Revisão Textual Profª Ms Luciene Oliveira da Costa Santos 5 Caroa alunoa Nesta unidade abordaremos a definição e a classificação de Matrizes As discussões teóricas apresentadas aqui alicerçamse nos seguintes questionamentos O que são matrizes Como classificálas Como representálas Participe do fórum de discussões assista aos vídeos e não se esqueça de conferir as datas de entrega de trabalhos e avaliação Fique atentoa Bom estudo e sucesso Apresentar um breve panorama histórico sobre o conceito de Matrizes Definir o conceito de Matrizes Representar Matrizes por meio de um termo geral Classificar as Matrizes quanto ao seu tamanho e aos valores de seus elementos Matrizes Matrizes raízes históricas e didáticas O conceito de Matrizes Representação de Matrizes Exercícios Complementares 6 Unidade Matrizes Contextualização Quando estudamos ou ensinamos Matemática é frequente a pergunta para que serve isso Esse questionamento decorre de um posicionamento cultural que almeja que tudo o que aprendemos deva ter uma aplicabilidade imediata ou prática em nosso cotidiano Entretanto devemos nos lembrar de que nem todo conhecimento matemático terá uma aplicação direta no dia a dia das pessoas Muitas das coisas que aprendemos em Matemática servem de base ou ferramenta para uma aplicação na própria Matemática Em todo caso o conceito de Matrizes possui inúmeras aplicações no dia a dia das pessoas No cenário computacional por exemplo os bancos de dados com as informações de clientes de qualquer instituição financeira compõem uma grande Matriz de dados com inúmeras linhas e colunas Nesse banco de dados as informações de cada cliente compõem uma linha da Matriz Outro exemplo é a resolução de uma imagem Em nossos computadores podemos definir a resolução da tela Nesse caso temos que uma resolução baixa é de 1024 x 768 1024 linhas por 768 colunas e que uma resolução alta é de 1366 x 768 1366 linhas por 768 colunas Essa configuração define uma matriz em que cada elemento dela compõe um ponto colorido mostrado na tela que denominamos de pixel Esses são alguns exemplos das aplicações do conceito de Matrizes Que tal pesquisar e conhecer outros 7 Matrizes raízes históricas e didáticas Olhando para a História da Matemática podemos identificar que uma das primeiras menções ao conceito de matrizes foi encontrada no livro chinês Nove capítulos sobre a arte matemática escrito por volta de 250 aC O matemático inglês Arthur Cayley 18211895 foi um dos primeiros matemáticos a estudar matrizes definindo a ideia de operarmos as matrizes como na álgebra Acreditase que descobriu a álgebra das matrizes em 1857 As matrizes surgiram para Cayley ligadas às transformações lineares do tipo Yaxby Xcxdy Onde a b c d são números reais e que podem ser imaginados como aplicações que levam o ponto xy no ponto XY Embora se reconheçam as contribuições de Cayley os estudos históricos apontam que o primeiro uso implícito da noção de matriz se deve a Joseph Louis Lagrange 1736 1813 em 1790 o primeiro a lhes dar um nome parece ter sido AugustinLouis Cauchy 17891857 que as chamava de tabelas o nome matriz só veio com James Joseph Sylvester 18141897 em 1850 Sylvester ainda via as matrizes como simples ingredientes dos determinantes somente com Cayley as matrizes passaram a ter vida própria e gradativamente começaram a suplantar os determinantes em importância Ao longo da História da Matemática podemos perceber que as matrizes têm se constituído em uma ferramenta indispensável para a resolução de problemas envolvendo sistemas de equações lineares e com aplicações em diferentes áreas de conhecimento como por exemplo o desenvolvimento de modelos matemáticos computacionais ou recursos de computação gráfica Não podemos desconsiderar também que se trata de um conteúdo curricular a ser desenvolvido nas aulas de Matemática do Ensino Médio 8 Unidade Matrizes O conceito de Matrizes Podemos dizer que as matrizes são tabelas que possuem linhas e colunas e têm por finalidade armazenar dados Um exemplo encontrado em nosso dia a dia são por exemplo as Planilhas Eletrônicas do software Excel No exemplo abaixo temos duas colunas que informam dia e horas dedicadas aos estudos e várias linhas que apresentam os valores para estas colunas Definição Dáse o nome de matriz a uma tabela organizada em linhas e colunas denotada por ij mxn A a Este par representa a posição de cada elemento dentro da matriz Representa o tamanho dimensão da matriz 9 Para tanto i indica a linha j indica a coluna m indica o número de linhas n indica o número de colunas Toda matriz pode ser representada genericamente por 11 12 13 1n 11 12 13 1n 21 22 23 2n 21 22 23 2n m1 m2 m3 mn m1 m2 m3 mn a a a a a a a a a a a a a a a a A ou A a a a a a a a a æ ö é ù ç ê ú ç ç ê ú ç ê ú ç ç ê ú ç ç ê ú ç ç ê ú çè ø ê ú ë û Exemplo 2 3 0 5 8 5 é ù ê ú ê ú ë û A É uma matriz do tipo 2 x 3 ou seja duas linhas e 3 colunas i 2 e j 3 Genericamente poderia ser representada por 11 12 13 21 22 23 é ù ê ú ê ú ë û a a a A a a a Considerando a Matriz A podemos concluir a11 2 Isso significa que o elemento que está na 1ª linha e na 1ª coluna assume o valor 2 a123 Isso significa que o elemento que está na 1ª linha e na 2ª coluna assume o valor 3 Exemplos 1 Represente a matriz genérica B 3 x 3 Solução Tratase de uma matriz que possui 3 linhas i 3 e 3 colunas j 3 Genericamente temos 11 12 13 21 22 23 31 32 33 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û b b b B b b b b b b 10 Unidade Matrizes 2 Represente genericamente a matriz M tal que i 3 e j 2 Neste caso temos que M 3 x 2 Genericamente temos 11 12 21 22 31 32 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û m m M m m m m Importante A construção de matrizes genéricas bem como o reconhecimento de números de linhas i e de colunas j de uma matriz são habilidades indispensáveis para a realização de operações que envolvem matrizes bem como a classificação das mesmas Alguns livros utilizam a letra m para representar o número de linhas e a letra n para representar o número de colunas ou seja i m j n Nesta unidade optamos por usar i para representar as linhas e j para representar as colunas Fique atento e pratique Classificação A classificação de uma matriz é feita mediante a análise de seus elementos e do seu tamanho ou seja observando o número de linhas i e o número de colunas j e os valores que os elementos da matriz assumem A seguir serão apresentadas algumas classificações a Matriz de um único elemento i j 1 Como o próprio nome sugere tratase de uma matriz que possui apenas um elemento Exemplo A3 b Matriz Quadrada i j Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas é denominada Matriz Quadrada Exemplo 1 3 5 7 9 11 13 15 17 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A c Matriz Retangular i j Tratase de matrizes cujo número de linhas i é diferente do número de colunas j 11 Exemplo 2 4 6 8 10 12 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A Observe que i 3 linhas j 2 colunas d Matriz Triangular Tratase de matrizes cujos elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos Neste caso em uma matriz triangular temos aij 0 para i j ou aij 0 para i j Exemplos 1 2 3 0 5 6 0 0 9 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A observe a formação de um triângulo com os elementos abaixo da diagonal principal 1 2 3 0 5 6 0 0 9 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A 1 0 0 5 5 0 9 7 9 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û B observe a formação de um triângulo com os elementos acima da diagonal principal 1 0 0 5 5 0 9 7 9 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û B O que é Diagonal Principal a diagonal principal de uma matriz quadrada une o seu canto superior esquerdo ao canto inferior direito Diagonal Secundária a diagonal secundária de uma matriz quadrada une seu canto superior direito ao canto inferior esquerdo 12 Unidade Matrizes e Matriz Identidade Tratase de uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero Exemplos 1 0 0 A 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 B 0 0 1 0 0 0 0 1 f Matriz Nula Como o próprio nome já sugere tratase de uma matriz em que todos os elementos são iguais a zero Pode ser representada também por 0ij Exemplo 0 0 0 0 0 0 0 0 0 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A Representação de Matrizes Os elementos de uma matriz podem ser representados mediante uma expressão veja os exemplos a seguir a Escreva a matriz A aij3x3 tal que aij i j 2 Solução i 3 linhas e j 3 colunas substituindo os valores de i e de j na expressão temos aij i j 2 a11 1 1 2 a11 4 a12 1 2 2 a12 5 a13 1 3 2 a13 6 a21 2 1 2 a21 5 a22 2 2 2 a22 6 a23 2 3 2 a23 7 a31 3 1 2 a31 6 a32 3 2 2 a32 7 a33 3 3 2 a33 8 13 Assim 4 5 6 5 6 7 6 7 8 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A b Escreva a matriz quadrada de ordem 4 em que 2 0 2 ì ïïïï íïï ïïî ij ij ij a para i j a i j para i j a para i j Situação a11 i j a11 1 1² 4 a12 i j a12 2 a13 i j a13 2 a14 i j a14 2 a21 i j a21 0 a22 i j a22 2 2² 16 a23 i j a23 2 a24 i j a24 2 a31 i j a31 0 a32 i j a32 0 a33 i j a33 3 3² 36 a34 i j a34 2 a41 i j a41 0 a42 i j a42 0 a43 i j a43 0 a44 i j a44 4 4² 64 4 2 2 2 0 16 2 2 0 0 36 2 0 0 0 64 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A 14 Unidade Matrizes Exercícios Complementares 1 Represente a matriz B bij2x3 tal que aij 2i j 2 Escreva a matriz A aij3x2 tal que aij 3i 2j 4 3 Escreva a matriz quadrada de ordem 3 sabendo que aij 4i j² Expectativas de Respostas 1 Realizando os cálculos apontados temos aij 2i j a11 21 1 a11 3 a12 21 2 a12 4 a13 21 3 a13 5 a21 22 1 a21 5 a22 22 2 a22 6 a23 22 3 a23 7 Assim 3 4 5 5 6 7 é ù ê ú ê ú ë û B 2 Realizando os cálculos apontados temos aij 3i 2j 4 a11 31 21 4 a11 5 a12 31 22 4 a12 3 a21 32 21 4 a21 8 a22 32 22 4 a22 6 a31 33 21 4 a31 11 a32 33 22 4 a32 9 Assim 5 3 8 6 11 9 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A 15 3 Realizando os cálculos apontados temos aij 4i j² a11 41 1² a11 3 a12 41 2² a12 0 a13 41 3² a13 5 a21 42 1² a21 7 a22 42 2² a22 4 a23 42 3² a23 1 a31 43 1² a31 11 a32 43 2² a32 8 a33 43 3² a33 3 Assim 3 0 5 7 4 1 11 8 3 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A 16 Unidade Matrizes Material Complementar Explore Vídeos Matrizes e Determinantes definição e representação Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv2dO6Zquwp30 Matrizes conceitos iniciais e matriz genérica Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvC3FB6K8oVg8 Explore Objetos epistêmicos técnicas epistêmicas e dois episódios da História das Matrizes escrito por Aline Caetano da Silva Bernardes Disponível em httpwwwsbhcorgbrresourcesanais101345074112ARQUIVOartigocompleto13SNHCTpdf Explore Explore Livros ANTON Howard Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 GUELLI Oscar Contando a história da matemática Equação o idioma da álgebra Vol 2 São Paulo Ática 1993 LEON Steven J Álgebra linear com aplicações 4 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1999 17 Referências ANTON Howard Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 DANTE Luiz Roberto Matemática contexto e aplicações São Paulo Ática 2010 LEON Steven J Álgebra linear com aplicações 4 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1999 Unidade Matrizes Anotações Cruzeiro do Sul Virtual Educação a Distância wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário
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Álgebra Linear I Cruzeiro do Sul Virtual Educação a Distância Matrizes Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Douglas Tinti Revisão Textual Profª Ms Luciene Oliveira da Costa Santos 5 Caroa alunoa Nesta unidade abordaremos a definição e a classificação de Matrizes As discussões teóricas apresentadas aqui alicerçamse nos seguintes questionamentos O que são matrizes Como classificálas Como representálas Participe do fórum de discussões assista aos vídeos e não se esqueça de conferir as datas de entrega de trabalhos e avaliação Fique atentoa Bom estudo e sucesso Apresentar um breve panorama histórico sobre o conceito de Matrizes Definir o conceito de Matrizes Representar Matrizes por meio de um termo geral Classificar as Matrizes quanto ao seu tamanho e aos valores de seus elementos Matrizes Matrizes raízes históricas e didáticas O conceito de Matrizes Representação de Matrizes Exercícios Complementares 6 Unidade Matrizes Contextualização Quando estudamos ou ensinamos Matemática é frequente a pergunta para que serve isso Esse questionamento decorre de um posicionamento cultural que almeja que tudo o que aprendemos deva ter uma aplicabilidade imediata ou prática em nosso cotidiano Entretanto devemos nos lembrar de que nem todo conhecimento matemático terá uma aplicação direta no dia a dia das pessoas Muitas das coisas que aprendemos em Matemática servem de base ou ferramenta para uma aplicação na própria Matemática Em todo caso o conceito de Matrizes possui inúmeras aplicações no dia a dia das pessoas No cenário computacional por exemplo os bancos de dados com as informações de clientes de qualquer instituição financeira compõem uma grande Matriz de dados com inúmeras linhas e colunas Nesse banco de dados as informações de cada cliente compõem uma linha da Matriz Outro exemplo é a resolução de uma imagem Em nossos computadores podemos definir a resolução da tela Nesse caso temos que uma resolução baixa é de 1024 x 768 1024 linhas por 768 colunas e que uma resolução alta é de 1366 x 768 1366 linhas por 768 colunas Essa configuração define uma matriz em que cada elemento dela compõe um ponto colorido mostrado na tela que denominamos de pixel Esses são alguns exemplos das aplicações do conceito de Matrizes Que tal pesquisar e conhecer outros 7 Matrizes raízes históricas e didáticas Olhando para a História da Matemática podemos identificar que uma das primeiras menções ao conceito de matrizes foi encontrada no livro chinês Nove capítulos sobre a arte matemática escrito por volta de 250 aC O matemático inglês Arthur Cayley 18211895 foi um dos primeiros matemáticos a estudar matrizes definindo a ideia de operarmos as matrizes como na álgebra Acreditase que descobriu a álgebra das matrizes em 1857 As matrizes surgiram para Cayley ligadas às transformações lineares do tipo Yaxby Xcxdy Onde a b c d são números reais e que podem ser imaginados como aplicações que levam o ponto xy no ponto XY Embora se reconheçam as contribuições de Cayley os estudos históricos apontam que o primeiro uso implícito da noção de matriz se deve a Joseph Louis Lagrange 1736 1813 em 1790 o primeiro a lhes dar um nome parece ter sido AugustinLouis Cauchy 17891857 que as chamava de tabelas o nome matriz só veio com James Joseph Sylvester 18141897 em 1850 Sylvester ainda via as matrizes como simples ingredientes dos determinantes somente com Cayley as matrizes passaram a ter vida própria e gradativamente começaram a suplantar os determinantes em importância Ao longo da História da Matemática podemos perceber que as matrizes têm se constituído em uma ferramenta indispensável para a resolução de problemas envolvendo sistemas de equações lineares e com aplicações em diferentes áreas de conhecimento como por exemplo o desenvolvimento de modelos matemáticos computacionais ou recursos de computação gráfica Não podemos desconsiderar também que se trata de um conteúdo curricular a ser desenvolvido nas aulas de Matemática do Ensino Médio 8 Unidade Matrizes O conceito de Matrizes Podemos dizer que as matrizes são tabelas que possuem linhas e colunas e têm por finalidade armazenar dados Um exemplo encontrado em nosso dia a dia são por exemplo as Planilhas Eletrônicas do software Excel No exemplo abaixo temos duas colunas que informam dia e horas dedicadas aos estudos e várias linhas que apresentam os valores para estas colunas Definição Dáse o nome de matriz a uma tabela organizada em linhas e colunas denotada por ij mxn A a Este par representa a posição de cada elemento dentro da matriz Representa o tamanho dimensão da matriz 9 Para tanto i indica a linha j indica a coluna m indica o número de linhas n indica o número de colunas Toda matriz pode ser representada genericamente por 11 12 13 1n 11 12 13 1n 21 22 23 2n 21 22 23 2n m1 m2 m3 mn m1 m2 m3 mn a a a a a a a a a a a a a a a a A ou A a a a a a a a a æ ö é ù ç ê ú ç ç ê ú ç ê ú ç ç ê ú ç ç ê ú ç ç ê ú çè ø ê ú ë û Exemplo 2 3 0 5 8 5 é ù ê ú ê ú ë û A É uma matriz do tipo 2 x 3 ou seja duas linhas e 3 colunas i 2 e j 3 Genericamente poderia ser representada por 11 12 13 21 22 23 é ù ê ú ê ú ë û a a a A a a a Considerando a Matriz A podemos concluir a11 2 Isso significa que o elemento que está na 1ª linha e na 1ª coluna assume o valor 2 a123 Isso significa que o elemento que está na 1ª linha e na 2ª coluna assume o valor 3 Exemplos 1 Represente a matriz genérica B 3 x 3 Solução Tratase de uma matriz que possui 3 linhas i 3 e 3 colunas j 3 Genericamente temos 11 12 13 21 22 23 31 32 33 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û b b b B b b b b b b 10 Unidade Matrizes 2 Represente genericamente a matriz M tal que i 3 e j 2 Neste caso temos que M 3 x 2 Genericamente temos 11 12 21 22 31 32 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û m m M m m m m Importante A construção de matrizes genéricas bem como o reconhecimento de números de linhas i e de colunas j de uma matriz são habilidades indispensáveis para a realização de operações que envolvem matrizes bem como a classificação das mesmas Alguns livros utilizam a letra m para representar o número de linhas e a letra n para representar o número de colunas ou seja i m j n Nesta unidade optamos por usar i para representar as linhas e j para representar as colunas Fique atento e pratique Classificação A classificação de uma matriz é feita mediante a análise de seus elementos e do seu tamanho ou seja observando o número de linhas i e o número de colunas j e os valores que os elementos da matriz assumem A seguir serão apresentadas algumas classificações a Matriz de um único elemento i j 1 Como o próprio nome sugere tratase de uma matriz que possui apenas um elemento Exemplo A3 b Matriz Quadrada i j Toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas é denominada Matriz Quadrada Exemplo 1 3 5 7 9 11 13 15 17 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A c Matriz Retangular i j Tratase de matrizes cujo número de linhas i é diferente do número de colunas j 11 Exemplo 2 4 6 8 10 12 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A Observe que i 3 linhas j 2 colunas d Matriz Triangular Tratase de matrizes cujos elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos Neste caso em uma matriz triangular temos aij 0 para i j ou aij 0 para i j Exemplos 1 2 3 0 5 6 0 0 9 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A observe a formação de um triângulo com os elementos abaixo da diagonal principal 1 2 3 0 5 6 0 0 9 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A 1 0 0 5 5 0 9 7 9 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û B observe a formação de um triângulo com os elementos acima da diagonal principal 1 0 0 5 5 0 9 7 9 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û B O que é Diagonal Principal a diagonal principal de uma matriz quadrada une o seu canto superior esquerdo ao canto inferior direito Diagonal Secundária a diagonal secundária de uma matriz quadrada une seu canto superior direito ao canto inferior esquerdo 12 Unidade Matrizes e Matriz Identidade Tratase de uma matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero Exemplos 1 0 0 A 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 B 0 0 1 0 0 0 0 1 f Matriz Nula Como o próprio nome já sugere tratase de uma matriz em que todos os elementos são iguais a zero Pode ser representada também por 0ij Exemplo 0 0 0 0 0 0 0 0 0 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A Representação de Matrizes Os elementos de uma matriz podem ser representados mediante uma expressão veja os exemplos a seguir a Escreva a matriz A aij3x3 tal que aij i j 2 Solução i 3 linhas e j 3 colunas substituindo os valores de i e de j na expressão temos aij i j 2 a11 1 1 2 a11 4 a12 1 2 2 a12 5 a13 1 3 2 a13 6 a21 2 1 2 a21 5 a22 2 2 2 a22 6 a23 2 3 2 a23 7 a31 3 1 2 a31 6 a32 3 2 2 a32 7 a33 3 3 2 a33 8 13 Assim 4 5 6 5 6 7 6 7 8 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û A b Escreva a matriz quadrada de ordem 4 em que 2 0 2 ì ïïïï íïï ïïî ij ij ij a para i j a i j para i j a para i j Situação a11 i j a11 1 1² 4 a12 i j a12 2 a13 i j a13 2 a14 i j a14 2 a21 i j a21 0 a22 i j a22 2 2² 16 a23 i j a23 2 a24 i j a24 2 a31 i j a31 0 a32 i j a32 0 a33 i j a33 3 3² 36 a34 i j a34 2 a41 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Matrizes Material Complementar Explore Vídeos Matrizes e Determinantes definição e representação Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv2dO6Zquwp30 Matrizes conceitos iniciais e matriz genérica Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvC3FB6K8oVg8 Explore Objetos epistêmicos técnicas epistêmicas e dois episódios da História das Matrizes escrito por Aline Caetano da Silva Bernardes Disponível em httpwwwsbhcorgbrresourcesanais101345074112ARQUIVOartigocompleto13SNHCTpdf Explore Explore Livros ANTON Howard Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 GUELLI Oscar Contando a história da matemática Equação o idioma da álgebra Vol 2 São Paulo Ática 1993 LEON Steven J Álgebra linear com aplicações 4 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1999 17 Referências ANTON Howard Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 DANTE Luiz Roberto Matemática contexto e aplicações São Paulo Ática 2010 LEON Steven J Álgebra linear com aplicações 4 ed Rio de Janeiro Livros 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