·
Matemática ·
Álgebra Linear
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Operações com Matrizes Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Douglas Tinti Revisão Textual Profa Ms Luciene Oliveira da Costa Santos Álgebra Linear I Cruzeiro do Sul Virtual Educação a Distância 5 Caroa alunoa É com satisfação que apresentaremos a você a unidade sobre Operações com Matrizes parte integrante da disciplina Álgebra Linear Nesta unidade estudaremos e aplicaremos as principais operações envolvendo matrizes Não deixe de acompanhar as tarefas propostas Contextualização Atividades de Sistematização e de Aprofundamento Não se esqueça de assistir ao vídeo Desejamos que tenha um ótimo estudo Nesta unidade abordaremos as Operações com Matrizes Dentre as principais operações destacamos Igualdade de Matrizes Adição e Subtração de Matrizes Multiplicação de um Número Real por uma Matriz Multiplicação de Matrizes Matriz Transposta Operações com Matrizes Operações com Matrizes Exercícios Propostos Expectativa de Respostas 6 Unidade Operações com Matrizes Contextualização Nesta unidade abordaremos as Matrizes e suas Operações Básicas que serão para nós instrumentos indispensáveis para o estudo dos conceitos que integram a Álgebra Linear Mas afinal qual a finalidade de estudarmos as Operações envolvendo Matrizes Para responder a esse questionamento vamos recorrer a um exemplo A Região do ABC Paulista é composta pelas cidades de Santo André São Bernardo do Campo e São Caetano do Sul A Tabela 1 apresenta uma estatística com o número de veículos que foram recuperados pela Polícia no ano de 2013 Tabela 1 Número de veículos recuperados no ano de 2013 Mês Santo André São Bernardo São Caetano Janeiro 174 134 37 Fevereiro 164 115 18 Março 183 160 28 Abril 202 121 27 Maio 185 141 30 Junho 192 152 29 Julho 193 206 42 Agosto 240 221 40 Setembro 250 172 40 Outubro 205 144 43 Novembro 205 239 29 Dezembro 196 189 20 Fonte Secretaria de Segurança Pública do Estado de São Paulo A Tabela 1 pode ser considerada uma matriz Podemos também subdividila em três Matrizes A B e C para representar respectivamente as estatísticas das cidades de Santo André São Bernardo do Campo e São Caetano do Sul Vamos supor que queremos saber qual foi o total de veículos recuperados na região O que precisaríamos fazer Exatamente basta somarmos os valores apresentados mensalmente das três cidades Em termos de matrizes iremos realizar a operação A B C que resultará em uma matriz T por exemplo em que T é o total de veículos recuperados no ABC no ano de 2013 7 174 134 37 164 115 18 183 160 28 æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç çè ø T 345 297 371 æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç çè ø T Essa é uma das operações que iremos abordar nesta unidade Vamos conhecer as demais 8 Unidade Operações com Matrizes Operações com Matrizes Nesta unidade abordaremos e exemplificaremos as principais operações envolvendo matrizes Ao final com o objetivo de praticar os conceitos estudados serão propostos alguns exercícios Não deixe de resolvêlos Em relação às operações que envolvem matrizes destacamos a Igualdade de Matrizes Duas matrizes A e B são iguais se e somente se São do mesmo tipo Seus elementos correspondentes são iguais Exemplo Sejam as matrizes 1 3 1 3 e 0 2 0 2 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø A B Concluímos que A B b Matriz Oposta Denominase matriz oposta de uma matriz A representase A a matriz que somada com A resulta na matriz nula Exemplo Seja 2 1 1 2 æ ö ç ç ç çè ø A A matriz oposta de A é definida por 2 1 1 2 æ ö ç ç ç ç è ø A c Matriz Transposta Seja A uma matriz m x n denominase matriz transposta de A indicase por At a matriz n x m cujas linhas são ordenadamente as colunas de A Exemplo 1 3 5 7 9 11 13 15 17 1 7 13 3 9 15 5 11 17 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û t A A 9 Observe que a 1ª linha da matriz A tornase a 1ª coluna da matriz At e assim por diante d Adição de Matrizes Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n denominase soma da matriz A com a matriz B que representamos por A B a matriz C do tipo m x n na qual cada elemento é obtido adicionandose os elementos correspondentes de A e de B ABAB Exemplo Dadas as matrizes A e B determine A B 1 3 2 4 e 5 7 6 8 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø A B 1 2 3 4 3 7 5 6 7 8 11 15 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø A B C 3 7 11 15 e Subtração de Matrizes Sendo A e B duas matrizes do mesmo tipo m x n denominase diferença entre A e B representada por A B a soma da matriz A com a oposta de B A B A B Exemplo Dadas as matrizes A e B determine A B 1 0 2 4 0 1 6 8 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø A B f Multiplicação de um número real por uma matriz Sendo A uma matriz m x n de elementos aij e α é um número real então αA é uma matriz m x n cujos elementos são αaij Exemplo Dada a matriz 2 4 6 8 é ù ê ú ê ú ë û A determine a matriz B 2A 2 4 2 6 8 4 8 12 16 é ù ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ë û B B 10 Unidade Operações com Matrizes g Multiplicação de Matrizes É preciso destacar que só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B Além disso notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B Definição Dada uma matriz A aij do tipo m x n e uma matriz B bij do tipo n x p o produto da matriz A pela matriz B é a matriz C cij do tipo m x p tal que o elemento cij é calculado multiplicandose ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B e somandose os produtos obtidos Para dizer que a matriz C é o produto de A por B vamos indicála por AB Exemplo Dadas as matrizes 3 0 1 3 2 e 4 2 0 5 1 1 6 é ù ê ú é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ú ë û A B determine a matriz AB Observe que a matriz A é uma matriz 2 x 3 a matriz B é uma matriz 3 x 2 É possível calcular a matriz AB pois o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B AB será uma matriz 2 x 2 Para calcularmos o ab11 devemos pegar a 1ª linha da matriz A e multiplicar pela 1ª coluna de B respeitando a ordem de seus elementos 3 0 1 3 2 4 2 0 5 1 1 6 é ù ê ú é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ú ë û A B 13 34 21 17 é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û A 11 Procedendo da mesma maneira com as demais linhas e colunas teremos 13 34 21 10 3 2 26 03 54 1 1 00 5 2 1 6 é ù ê ú ê ú ê ú ë û AB Exercícios Propostos 1 Determinar o número real x tal que 2 4 11 4 14 0 5 0 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø x x 2 Sabendo que 9 1 2 2 3 6 18 é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û a b b c b a d determine a b c e d 3 Dadas as matrizes 2 0 2 3 8 4 5 9 e 8 6 1 4 0 6 2 7 4 10 æ ö ç æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø ç ç è ø A B C determine a A B b B Ct c 2A B 4 Dadas as matrizes 2 6 4 e 1 2 1 0 3 é ù æ ö ç ê ú ç ç ê ú ç è ø ë û A B C determine se possível a A B b A C c B C d A² e B² 5 Uel 2003 adaptado Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos fruta leite e cereais necessária para uma alimentação sadia A matriz D fornece a quantidade diária mínima em gramas daqueles alimentos 200 300 600 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û fruta D leite cereais 17 6 19 16 é ù ê ú ê ú ë û AB 12 Unidade Operações com Matrizes A matriz M apresenta a quantidade de proteínas gorduras e carboidratos fornecida pelos gramas ingeridos dos alimentos citados 0006 0033 0108 proteínas 0001 0035 0018 gorduras 0084 0052 0631 carboidratos é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û fruta leite cereais M Nessas condições determine a matriz que mostra a quantidade diária mínima em gramas de proteínas gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão desses alimentos 6 UFMG Milho soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q com ajuda dos fertilizantes X Y e Z A matriz A indica a área plantada de cada cultura em hectares por região A matriz B indica a massa usada de cada fertilizante em kg por hectare em cada cultura milho soja feijão X Y Z a Calcule a matriz C AB b Explique o significado de C23 o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna Expectativa de Respostas 1 Como temos uma igualdade de matrizes precisamos igualálas deste modo temos 2 4 4 14 11 0 0 x 5 ì ïïïï ïïíï ïïï ïïî x 50 20 20 A 40 10 30 é ù ê ú ê ú ë û P Q Milho Soja Feijão 13 Resolvendo as expressões temos que x² 14 11 x² 11 14 x² 25 x 25 x 5 x 5 Assim como a única solução comum as duas equações é x 5 concluímos que as matrizes serão iguais se e somente se x 5 2 Considerando 9 1 2 2 3 6 18 é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û a b b c b a d temos a b 9 b c 1 2b 6 2a 3d 18 Determinando o valor de b temos 2b 6 b 3 Assim podemos determinar o valor de a a b 9 a 3 9 a 9 3 a 6 Calculando o valor de c temos b c 1 3 c 1 c 1 3 c 4 E por fim calculamos o valor de d 2a 3d 18 26 3d 18 12 3d 18 3d 18 12 3d 6 d 2 14 Unidade Operações com Matrizes Assim temos que a 6 b 3 c 4 e d 2 3 As matrizes são 2 0 2 3 8 4 5 9 B e 8 6 1 4 0 6 2 7 4 10 æ ö ç æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø ç ç è ø A C a A B 2 3 8 4 5 9 1 4 0 6 2 7 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø A B 2 4 3 5 8 9 A 1 6 4 2 0 7 6 8 1 7 2 7 æ ö ç ç ç ç è ø æ ö ç ç ç ç è ø B A B b B Ct Calculando 2 8 4 0 6 10 æ ö ç ç ç ç è ø t C 4 5 9 2 8 4 6 2 7 0 6 10 4 2 5 8 9 4 6 0 2 6 7 10 2 3 5 6 4 17 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø æ ö ç ç ç ç è ø æ ö ç ç ç ç è ø t t t B C B C B C c 2A B 2 3 8 4 5 9 2 2 1 4 0 6 2 7 4 6 16 4 5 9 2 2 8 0 6 2 7 4 4 6 5 16 9 2 2 6 8 2 0 7 0 1 25 2 4 10 7 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø æ ö ç ç ç ç è ø æ ö ç ç ç ç è ø A B A B A B A B 15 4 As matrizes são 2 6 4 e 1 2 1 0 3 é ù æ ö ç ê ú ç ç ê ú ç è ø ë û A B C a A B 24 63 1 4 03 26 4 æ ö ç ç ç ç è ø æ ö ç ç ç ç è ø AB AB b A C Não existe c B C 41 4 2 31 3 2 4 8 3 6 é ù ê ú ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ë û BC BC d A2 Observe que A² AA 22 6 1 26 60 ² 1 2 0 1 16 00 2 12 ² 2 6 é ù ê ú ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ë û A A e B² Não existe 5 A matriz pedida é a MD 16 Unidade Operações com Matrizes 6 a Vamos calcular a matriz CAB b C23 1900 representa a quantidade em quilogramas de fertilizante Z usado nas plantações de milho soja e feijão na região Q 17 Material Complementar Vídeos Operações com Matrizes Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvCAGQVrvgC7g Multiplicação de Matrizes Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvUDmXFeZ1dxU Links da internet Portal Khan Academy Estudo de Matrizes Neste portal você poderá praticar um pouco Disponível em httpsptkhanacademyorgmathprecalculusprecalcmatrices Conceito de Matriz Inversa Disponível em httpbrasilescolauolcombrmatematicamatrizinversahtm Livros Livros ANTON Howard Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 GUELLI Oscar Contando a história da matemática Equação o idioma da álgebra São Paulo Ática 1993 LEON Steven J Álgebra linear com aplicações 4 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1999 18 Unidade Operações com Matrizes Referências ANTON H Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 COELHO F U Um curso de álgebra linear São Paulo Edusp 2001 LEON S J Álgebra linear com aplicações 4 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1999 LIPSCHUTZ S Álgebra linear teoria e problemas 3 ed São Paulo Makron Books 2004 STRANG G Álgebra Linear e suas aplicações São Paulo Cengage 2010 VALLADARES R J da C Álgebra linear Rio de Janeiro LTC 1990 Anotações Cruzeiro do Sul Virtual Educação a Distância wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário
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Operações com Matrizes Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Douglas Tinti Revisão Textual Profa Ms Luciene Oliveira da Costa Santos Álgebra Linear I Cruzeiro do Sul Virtual Educação a Distância 5 Caroa alunoa É com satisfação que apresentaremos a você a unidade sobre Operações com Matrizes parte integrante da disciplina Álgebra Linear Nesta unidade estudaremos e aplicaremos as principais operações envolvendo matrizes Não deixe de acompanhar as tarefas propostas Contextualização Atividades de Sistematização e de Aprofundamento Não se esqueça de assistir ao vídeo Desejamos que tenha um ótimo estudo Nesta unidade abordaremos as Operações com Matrizes Dentre as principais operações destacamos Igualdade de Matrizes Adição e Subtração de Matrizes Multiplicação de um Número Real por uma Matriz Multiplicação de Matrizes Matriz Transposta Operações com Matrizes Operações com Matrizes Exercícios Propostos Expectativa de Respostas 6 Unidade Operações com Matrizes Contextualização Nesta unidade abordaremos as Matrizes e suas Operações Básicas que serão para nós instrumentos indispensáveis para o estudo dos conceitos que integram a Álgebra Linear Mas afinal qual a finalidade de estudarmos as Operações envolvendo Matrizes Para responder a esse questionamento vamos recorrer a um exemplo A Região do ABC Paulista é composta pelas cidades de Santo André São Bernardo do Campo e São Caetano do Sul A Tabela 1 apresenta uma estatística com o número de veículos que foram recuperados pela Polícia no ano de 2013 Tabela 1 Número de veículos recuperados no ano de 2013 Mês Santo André São Bernardo São Caetano Janeiro 174 134 37 Fevereiro 164 115 18 Março 183 160 28 Abril 202 121 27 Maio 185 141 30 Junho 192 152 29 Julho 193 206 42 Agosto 240 221 40 Setembro 250 172 40 Outubro 205 144 43 Novembro 205 239 29 Dezembro 196 189 20 Fonte Secretaria de Segurança Pública do Estado de São Paulo A Tabela 1 pode ser considerada uma matriz Podemos também subdividila em três Matrizes A B e C para representar respectivamente as estatísticas das cidades de Santo André São Bernardo do Campo e São Caetano do Sul Vamos supor que queremos saber qual foi o total de veículos recuperados na região O que precisaríamos fazer Exatamente basta somarmos os valores apresentados mensalmente das três cidades Em termos de matrizes iremos realizar a operação A B C que resultará em uma matriz T por exemplo em que T é o total de veículos recuperados no ABC no ano de 2013 7 174 134 37 164 115 18 183 160 28 æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç çè ø T 345 297 371 æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç çè ø T Essa é uma das operações que iremos abordar nesta unidade Vamos conhecer as demais 8 Unidade Operações com Matrizes Operações com Matrizes Nesta unidade abordaremos e exemplificaremos as principais operações envolvendo matrizes Ao final com o objetivo de praticar os conceitos estudados serão propostos alguns exercícios Não deixe de resolvêlos Em relação às operações que envolvem matrizes destacamos a Igualdade de Matrizes Duas matrizes A e B são iguais se e somente se São do mesmo tipo Seus elementos correspondentes são iguais Exemplo Sejam as matrizes 1 3 1 3 e 0 2 0 2 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø A B Concluímos que A B b Matriz Oposta Denominase matriz oposta de uma matriz A representase A a matriz que somada com A resulta na matriz nula Exemplo Seja 2 1 1 2 æ ö ç ç ç çè ø A A matriz oposta de A é definida por 2 1 1 2 æ ö ç ç ç ç è ø A c Matriz Transposta Seja A uma matriz m x n denominase matriz transposta de A indicase por At a matriz n x m cujas linhas são ordenadamente as colunas de A Exemplo 1 3 5 7 9 11 13 15 17 1 7 13 3 9 15 5 11 17 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û t A A 9 Observe que a 1ª linha da matriz A tornase a 1ª coluna da matriz At e assim por diante d Adição de Matrizes Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo m x n denominase soma da matriz A com a matriz B que representamos por A B a matriz C do tipo m x n na qual cada elemento é obtido adicionandose os elementos correspondentes de A e de B ABAB Exemplo Dadas as matrizes A e B determine A B 1 3 2 4 e 5 7 6 8 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø A B 1 2 3 4 3 7 5 6 7 8 11 15 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø A B C 3 7 11 15 e Subtração de Matrizes Sendo A e B duas matrizes do mesmo tipo m x n denominase diferença entre A e B representada por A B a soma da matriz A com a oposta de B A B A B Exemplo Dadas as matrizes A e B determine A B 1 0 2 4 0 1 6 8 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø A B f Multiplicação de um número real por uma matriz Sendo A uma matriz m x n de elementos aij e α é um número real então αA é uma matriz m x n cujos elementos são αaij Exemplo Dada a matriz 2 4 6 8 é ù ê ú ê ú ë û A determine a matriz B 2A 2 4 2 6 8 4 8 12 16 é ù ê ú ê ú ë û é ù ê ú ê ú ë û B B 10 Unidade Operações com Matrizes g Multiplicação de Matrizes É preciso destacar que só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B Além disso notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B Definição Dada uma matriz A aij do tipo m x n e uma matriz B bij do tipo n x p o produto da matriz A pela matriz B é a matriz C cij do tipo m x p tal que o elemento cij é calculado multiplicandose ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B e somandose os produtos obtidos Para dizer que a matriz C é o produto de A por B vamos indicála por AB Exemplo Dadas as matrizes 3 0 1 3 2 e 4 2 0 5 1 1 6 é ù ê ú é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ú ë û A B determine a matriz AB Observe que a matriz A é uma matriz 2 x 3 a matriz B é uma matriz 3 x 2 É possível calcular a matriz AB pois o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B AB será uma matriz 2 x 2 Para calcularmos o ab11 devemos pegar a 1ª linha da matriz A e multiplicar pela 1ª coluna de B respeitando a ordem de seus elementos 3 0 1 3 2 4 2 0 5 1 1 6 é ù ê ú é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ê ú ë û A B 13 34 21 17 é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û A 11 Procedendo da mesma maneira com as demais linhas e colunas teremos 13 34 21 10 3 2 26 03 54 1 1 00 5 2 1 6 é ù ê ú ê ú ê ú ë û AB Exercícios Propostos 1 Determinar o número real x tal que 2 4 11 4 14 0 5 0 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø x x 2 Sabendo que 9 1 2 2 3 6 18 é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û a b b c b a d determine a b c e d 3 Dadas as matrizes 2 0 2 3 8 4 5 9 e 8 6 1 4 0 6 2 7 4 10 æ ö ç æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø ç ç è ø A B C determine a A B b B Ct c 2A B 4 Dadas as matrizes 2 6 4 e 1 2 1 0 3 é ù æ ö ç ê ú ç ç ê ú ç è ø ë û A B C determine se possível a A B b A C c B C d A² e B² 5 Uel 2003 adaptado Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos fruta leite e cereais necessária para uma alimentação sadia A matriz D fornece a quantidade diária mínima em gramas daqueles alimentos 200 300 600 é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û fruta D leite cereais 17 6 19 16 é ù ê ú ê ú ë û AB 12 Unidade Operações com Matrizes A matriz M apresenta a quantidade de proteínas gorduras e carboidratos fornecida pelos gramas ingeridos dos alimentos citados 0006 0033 0108 proteínas 0001 0035 0018 gorduras 0084 0052 0631 carboidratos é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û fruta leite cereais M Nessas condições determine a matriz que mostra a quantidade diária mínima em gramas de proteínas gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão desses alimentos 6 UFMG Milho soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q com ajuda dos fertilizantes X Y e Z A matriz A indica a área plantada de cada cultura em hectares por região A matriz B indica a massa usada de cada fertilizante em kg por hectare em cada cultura milho soja feijão X Y Z a Calcule a matriz C AB b Explique o significado de C23 o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna Expectativa de Respostas 1 Como temos uma igualdade de matrizes precisamos igualálas deste modo temos 2 4 4 14 11 0 0 x 5 ì ïïïï ïïíï ïïï ïïî x 50 20 20 A 40 10 30 é ù ê ú ê ú ë û P Q Milho Soja Feijão 13 Resolvendo as expressões temos que x² 14 11 x² 11 14 x² 25 x 25 x 5 x 5 Assim como a única solução comum as duas equações é x 5 concluímos que as matrizes serão iguais se e somente se x 5 2 Considerando 9 1 2 2 3 6 18 é ù é ù ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û a b b c b a d temos a b 9 b c 1 2b 6 2a 3d 18 Determinando o valor de b temos 2b 6 b 3 Assim podemos determinar o valor de a a b 9 a 3 9 a 9 3 a 6 Calculando o valor de c temos b c 1 3 c 1 c 1 3 c 4 E por fim calculamos o valor de d 2a 3d 18 26 3d 18 12 3d 18 3d 18 12 3d 6 d 2 14 Unidade Operações com Matrizes Assim temos que a 6 b 3 c 4 e d 2 3 As matrizes são 2 0 2 3 8 4 5 9 B e 8 6 1 4 0 6 2 7 4 10 æ ö ç æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø ç ç è ø A C a A B 2 3 8 4 5 9 1 4 0 6 2 7 æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø A B 2 4 3 5 8 9 A 1 6 4 2 0 7 6 8 1 7 2 7 æ ö ç ç ç ç è ø æ ö ç ç ç ç è ø B A B b B Ct Calculando 2 8 4 0 6 10 æ ö ç ç ç ç è ø t C 4 5 9 2 8 4 6 2 7 0 6 10 4 2 5 8 9 4 6 0 2 6 7 10 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Matrizes Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvUDmXFeZ1dxU Links da internet Portal Khan Academy Estudo de Matrizes Neste portal você poderá praticar um pouco Disponível em httpsptkhanacademyorgmathprecalculusprecalcmatrices Conceito de Matriz Inversa Disponível em httpbrasilescolauolcombrmatematicamatrizinversahtm Livros Livros ANTON Howard Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 GUELLI Oscar Contando a história da matemática Equação o idioma da álgebra São Paulo Ática 1993 LEON Steven J Álgebra linear com aplicações 4 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1999 18 Unidade Operações com Matrizes Referências ANTON H Álgebra linear com aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 COELHO F U Um curso de álgebra linear São Paulo Edusp 2001 LEON S J Álgebra linear com aplicações 4 ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos 1999 LIPSCHUTZ S Álgebra linear teoria e problemas 3 ed São Paulo Makron Books 2004 STRANG G Álgebra Linear e suas aplicações São Paulo Cengage 2010 VALLADARES R J da C Álgebra linear Rio de Janeiro LTC 1990 Anotações Cruzeiro do Sul Virtual Educação a Distância wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário