Lista de Exercícios e Provas de Cálculo II - Integrais Derivadas e Equações Diferenciais

Questões cada uma vale 15 1 Resolva as seguintes integrais a 𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 b cos3 𝑥 𝑑𝑥 2 Calcule a integral definida 2 𝑥220 4𝑥2 𝑑𝑥 2 1 3 Obtenha as derivadas parciais 𝑓𝑥 𝑓𝑦 𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑦𝑦 𝑓𝑥𝑦 e 𝑓𝑦𝑥 de cada uma das funções a 𝑓𝑥 𝑦 4𝑥3 2𝑥𝑦 𝑦2 3 b 𝑓𝑥 𝑦 3𝑦 cos 𝑥 𝑥3𝑦2 𝑦 4 Resolva as seguintes integrais duplas a 𝑥 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 b 2𝑥3𝑦 2𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥2 0 2 0 Fórmulas sen2 𝜃 cos2 𝜃 1 tg2 𝜃 1 sec2 𝜃 sen2 𝜃 1 cos 2𝜃 2 cos2 𝜃 1 cos2𝜃 2 𝑓𝑔𝑥 𝑓𝑔𝑔𝑥 𝑐 𝑓𝑥 𝑐 𝑓𝑥 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑣2 𝑓𝑔𝑔𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑢𝑑𝑢 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 Nome Curso PeríodoData 08062021 Segunda Prova Cálculo II valor 60 pontos prof Aurimar Nota Questões 1 Obtenha as integrais abaixo usando a técnica de integração por partes a 𝑥 1𝑒2𝑥𝑑𝑥 b 3𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 c 𝑒𝜃 sen3𝜃𝑑𝜃 2 Calcule as integrais abaixo usando as relações trigonométricas a sen2 3𝑥 𝑑𝑥 b 5 cos 3𝑥 𝑑𝑥 c sec 𝑧 sen2 𝑧 𝑑𝑧 3 Encontre as derivadas parciais 𝑧 𝑥 𝑧 𝑦 2𝑧 𝑥2 2𝑧 𝑥𝑦 2𝑧 𝑦𝑥 2𝑧 𝑦2 de cada uma das seguintes funções a 𝑧 𝑦2 3𝑥𝑦 2𝑥2 4 b 𝑧 𝑥 cos2𝑥 𝑦 4 Calcule as seguintes integrais duplas a 𝑥𝑦2 1𝑑𝑥𝑑𝑦 b 𝑥 2𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑥2 0 1 1 c 𝑥 sen 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 𝛼 𝛽 𝑎 𝑏 5 Resolva a equação diferencial com a condição inicial dada abaixo 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑦 𝑥 𝑦0 2 Fórmulas sen2 𝜃 cos 2 𝜃 1 tg2 𝜃 1 sec2 𝜃 sen2 𝜃 1 cos 2𝜃 2 cos 2𝜃 1 cos 2𝜃 2 cossec 𝜃 𝑑𝜃 lncossec 𝜃 cotg 𝜃 sec 𝜃 𝑑𝜃 lnsec 𝜃 tan 𝜃 cotg 𝜃 1 tan 𝜃 cos 𝜃 sen 𝜃 sec 𝜃 1 cos 𝜃 cossec 𝜃 1 sen 𝜃 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣𝑑𝑢 𝑓𝑢𝑥𝑢𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑢𝑑𝑢 𝑓𝑔𝑥 𝑓𝑔𝑔𝑥 𝑐 𝑓𝑥 𝑐 𝑓𝑥 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑣2 Nomes Segundo Trabalho de Cálculo valor 40 pontos prof Aurimar grupos de até 4 alunos Entregar dia 16062023 Nota 1 a x²lnx dx Com efeito x²lnx dx lnxx² dx ddxlnx x² dx dx lnx x³3 1x x³3 dx x³3 lnx x²3 dx x³3 lnx x³9 C C ℝ b cos³x dx cosx cos²x dx cosx 1 sen²x dx cosx dx cosx sen²x dx senx sen³x3 C C ℝ 2 1² 2 x²20 9x² dx Aqui vamos fazer x 204 cosϕ Com efeito veja que dx 204 sinϕ dϕ Disso temos para a primitiva que 2 x²20 4x² dx 2 204 cosϕ² 20 4 204 cos²ϕ12 204 sinϕ dϕ 2 204 sinϕ dϕ 204 cos²ϕ 20 20 cos²ϕ12 20 sinϕ dϕ 5 cos²ϕ 20 1 cos²ϕ12 sinϕ dϕ 5 cos²ϕ sinϕ 15 sec²ϕ dϕ 15 tanϕ 2 x²20 4x² dx tanϕ 5 ϕ tg¹ x 5 x 204 cosϕ Logo temos que cosϕ x 5 então Então tanϕ 5 x² 5 5 x²5 Portanto nós temos 1² 2 x²20 4x² dx 5 x²5 ₁² 15 25 1 5 3 a fxy 4x³ 2xy y² 3 fx 12x² 2y ²fx² 24x ²fxy 2 fy 2x 2y ²fy² 2 ²fxy 2 b fxy 3y cos x x³ y² y fx 3y sinx 3x² y² ²fx² 3y cosx 6xy² e ²fyx 3 sinx 6x² y fy 3 cosx 2x³ y 1 ²fy² 2x³ ²fxy 3 sinx 6x² y 4 a xy² dx dy x² 2xy y² dx dy x³3 2x²2 y xy² gy dy x³3 y x² y²2 xy³3 gy dy hx Onde gy e hx são funções que substituem as constantes que aparecem na integral simples b ₀² ₀ˣ² 2x3y2 dy dx ₀² 6xy²2 xy ₀ˣ² dx ₀² 3x x⁴ 4x³ dx ₀² 3x⁵ 4x³ dx 3x⁶6 4x⁴4 ₀² 12 2⁶ 2⁴ 2⁵ 2⁴ 32 16 16 ₀² ₀ˣ² 2x3y2 dy dx 16 1 a x1 e²ˣ dx x e²ˣ dx e²ˣ dx x e²ˣ dx ddx x e²ˣ dx e²ˣ dx x e²ˣ 2 12 e²ˣ dx e²ˣ dx x e²ˣ 2 12 e²ˣ dx x e²ˣ 2 e²ˣ 4 C x1 e²ˣ dx x e²ˣ 2 e²ˣ 4 C C R b 3x² lnx dx 3 x² lnx dx 3 x³3 lnx x³9 C x³ lnx x³ 3 C 3x² lnx dx x³ lnx x³ 3 C c eᶿ sen3θ dθ sen3θ eᶿ dθ ddθ sen3θ eᶿ dθ dθ eᶿ sen3θ 3 cos3θ eᶿ dθ eᶿ sen3θ 3 cos3θ eᶿ dθ 3 sen3θ eᶿ dθ eᶿ sen3θ 3 eᶿ cos3θ 9 eᶿ sen3θ dθ Portanto temos que 10 eᶿ sen3θ dθ eᶿ sen3θ 3 eᶿ cos3θ C Ou seja eᶿ sen3θ dθ eᶿ 10 sen3θ 3 cos3θ C 2 a sen²3x dx 12 cos6x2 dx x2 sen6x12 C b 5 cos³ x dx 5 cos³ x dx 5 senx sen³x3 C 5 senx 53 sen³x C Basta ver o item b da questão 1 da outra lista c secz sen²z dz secz 1 cos²z dz secz cosz dz ln secz tgz senz C c R 3 a z y2 3xy 2x2 4 2zx 3y 4x zy 2y 3x 2zxy 3 2zyx 3 2zx2 4 2zy2 2 b z x cos2x y zx cos2x y2x sin2x y zy x cos sin 2x y 2zx2 2 sin2x y 2 sin2x y 4 x cos2x y 4 x cos2x y 2zy2 x cos 2x y 2zxy sin2x y 2 x cos2x y 2zyx sin2x y 2 x cos2x y 4 a xy21 dx dy x y2 x dx dy x22 y2 x22 hy dy x2y36 x22 y hy dy Fx onde hy e Fx sao funções auxiliares b 1 to 1 0 to x2 x 2y dy dx 1 to 1 xy y20 to x2 dx 1 to 1 x3 x4 dx x44 x55 1 to 1 14 15 14 13 25 1 to 1 0 to x2 x 2y dy dx 25 c b to a β to α x seny dy dx b to a x dx β to α seny dy x22b to a cosyβ to α 12 a2 b2 cos α cos β Portanto b to a β to α x seny dy dx 12 a2 b2 cos α cos β 5 dydx xy x y0 2 temos dydx xy x xy 1 dyy 1 x dx Integrando dyy1 x dx lny 1 x2 c1 y 1 ex2 c1 cex2 c ec1 Logo y 1 ex2 c Como y0 2 temos y0 2 2 1 e0 c 1 c c 1 Então a solução é y 1 ex2