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Engenharia de Processos Químicos e Bioquímicos ·
Cálculo 2
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Questões 1 Ache a área sob a curva 𝑓𝑥 𝑥2 42𝑥 no intervalo de x 1 até x 4 usando as regras abaixo com 5 casas decimais e n 6 subintervalos a Regra do ponto médio faça o gráfico e confirme o cálculo no winplot com a área dividida em retângulos b Regra do trapézio faça o gráfico e confirme o cálculo no winplot com a área dividida em trapézios c Calcule o valor exato da área e confirme no winplot 𝐴 𝑥2 42𝑥 𝑑𝑥 4 1 1 15 32 3𝑥2 8𝑥4 2𝑥 1 4 2 Obtenha as integrais indefinidas abaixo a 3𝑦1 𝑦2𝑑𝑦 b 2 sen 𝑥 3cos 𝑥 𝑑𝑥 3 Calcule as áreas sob as curvas nos intervalos dados usando a integral definida a 𝑓𝑥 𝑥2 3𝑥 entre x 1 e x 3 b 𝑓𝑥 𝑥 1 entre x 0 e x 4 c 𝑦 𝑥 2𝑥21 𝑥 0 𝑥 2 4 Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais observando as condições iniciais a 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑥2 4 𝑥 2 𝑦 3 b 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4𝑥3𝑦 𝑥 0 𝑦 1 5 Encontre a área limitada pela reta y x 1 e pela parábola y x2 2x 3 Mostre o gráfico e a área calculada no winplot 6 Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados Construa os gráficos usando o winplot mostrando a superfície gerada e o cálculo ver tutorial abaixo a 𝑦 𝑥2 1 𝑥 1 𝑥 3 𝑦 0 ao redor do eixo x b 𝑦 𝑥3 𝑦 1 𝑦 1 𝑥 0 ao redor do eixo y use a simetria Fórmulas 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑐 𝐴 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑓𝑥𝑖𝑥 𝑛 𝑖1 𝑥 𝑏 𝑎 𝑛 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 𝑥𝑖 2 𝐴 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑥 2 𝑓𝑥0 2𝑓𝑥1 2𝑓𝑥𝑛1 𝑓𝑥𝑛 𝑥0 𝑎 𝑥𝑛 𝑏 𝑓𝑔𝑥𝑔𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑢𝑑𝑢 𝑢 𝑔𝑥 Nomes 1ºTrabalho de Cálculo Entregar dia 14042023 Valor 40 pontos Turma Processos Químicos Grupos de 2 a 4 alunos Prof Aurimar Tutorial para gráficos de área de integração no Winplot Área entre a função e o eixo x 1º Abra o Winplot e a janela de gráficos de duas dimensões 2dim 2º vá em Equação 1Explícita digite a função exemplo fx xx 4 xx é x ao quadrado vá em Equação Biblioteca para ver como se escrevem as funções elementares 3º agora vá para Um Medidas Integrar fxdx onde a integral é calculada entre o eixo x e a função fx 4º digite os valores de x dos dois limites de integração o primeiro no lim inferior e o segundo no lim Superior da integral com pelo menos 5 casas decimais se reais 5º marque as caixas abaixo ponto médio trapezoidal e parabólico que são alguns dos procedimentos de cálculo numérico de áreas clique em visualizar e escolha a cor que você deseja para a área de integração entre as duas curvas 6º clique em definida para calcular a área integral definida Mostre que essa área é igual a área que você obteve integrando as funções Área entre duas funções 1º Abra o Winplot e a janela de gráficos de duas dimensões 2dim 2º vá em Equação 1Explícita digite a função exemplo fx xx 4 xx é x ao quadrado vá em Equação Biblioteca para ver como se escrevem as funções elementares 3º repita o 2º passo e digite a segunda função No exemplo abaixo a segunda função foi a função linear fx x2 4º se os limites de integração forem os pontos de interseção entre as duas curvas vá em Dois Interseções escolha a primeira função a superior y xx4 e a segunda função a inferior y x2 e marque os pontos de interseção entre as duas curvas Esses pontos ficarão armazenados no Inventário que é a janela onde estão as funções se os limites de integração forem especificados dados ou de fácil obtenção pule para o próximo passo 5º agora vá em Dois Integrar fx gxdx digite os valores de x dos dois limites de integração o primeiro no lim inferior e o segundo no lim Superior da integral com pelo menos 5 casas decimais se reais 6º marque as caixas abaixo ponto médio trapezoidal e parabólico que são alguns dos procedimentos de cálculo numérico de áreas se quiser marque todas clique em visualizar e escolha a cor que você deseja para a área de integração entre as duas curvas 7º clique em definida para calcular a área integral definida entre as duas curvas Mostre que essa área é igual a área que você obteve integrando as funções veja exemplo abaixo Note que essa área é igual a área dada pelas regras do ponto médio trapezoidal e parabólico Os limites de integração foram obtidos resolvendo a equação de 2º grau no integrando acima 8º por fim copie a figura Ctrl C e colea no Word Ctrl V como abaixo 𝐴 𝑥2 4 𝑥 2 𝑑𝑥 176556 226556 𝑥3 3 4𝑥 𝑥2 4 226556 176556 𝐴 444840 646924 109176 Figura 1 Área entre as curvas y x2 4 e y x2 9º escreva abaixo da figura o seu título como acima Figura 1 Área entre as curvas y x2 4 e y x2 ou Figura 2 área relacionada ao exercício 1 etc Figura 2 Área relacionada ao exercício 3d Tutorial para gerar superfícies de revolução no Winplot 1º Abra o Winplot e a janela de gráficos de duas dimensões 2dim 2º vá em Equação 1Explícita digite a função exemplo fx lnx 3º agora vá em Um Superfície de revolução escolha o eixo em torno do qual a função vai girar eixo x ou eixo y Digite os valores de x iniciais e finais do segmento de curva arco da função neste exemplo o arco inicial é 05 e o final é 2 Clique em mostrar arco para vêlo e em seguida ver superfície 4º no gráfico 3D insira os eixos vá em Ver Eixos Eixos Posicione os eixos usando as setas do teclado de modo que o eixo y fique apontando para direita e o eixo x aponte aproximadamente para o canto inferior esquerdo da tela 5º clique em Ver Caixa Caixa para envolver a figura com uma caixa como a seguir onde a figura foi copiada Ctrl C e colada nesta página Ctrl V x y y xx4 y x2 x y Figura 3 fx lnx girada ao redor do eixo x no intervalo 052 6º para calcular o volume de revolução vá em Um na janela 2dim Medidas Volume de revolução escolha o eixo e digite o início do arco e o fim do arco clique em volume V 080093 no exemplo e compare com o resultado da integração x y z 1º Trabalho de Cálculo Turma Processos Químicos Figura 1 Área sob a curva 𝑓𝑥 regra do ponto médio questão 1a Figura 2 Área sob a curva 𝑓𝑥 regra do trapézio questão 1b Figura 3 Área sob a curva 𝑓𝑥 questão 1c Figura 4 Área entre curvas questão 5 Figura 5 Volume do sólido de revolução ao redor do eixo x questão 6a Figura 6 Volume do sólido de revolução ao redor do eixo y questão 6b 2 a 3y 1 y2 dy Essa integral pode ser resolvida a partir de mudança de variáveis u y2 du 2y dy du2 y dy Temos então 3y 1 y2 dy 3 1 u2 du 32 1 u du Fazendo mais uma mudança de variáveis v 1 u dv du temos 32 1 u du 32 v dv 32 v12 dv 32 v32 23 C v32 C Voltando às variáveis originais v32 C 1 u32 C 1 y232 C onde C é uma constante E assim 3y 1 y2 dy 1 y232 C temos 32 1 u du 32 v dv 32 v12 dv 32 v32 23 C v32 C Voltando às variáveis originais v32 C 1 u32 C 1 y232 C onde C é uma constante E assim 3y 1 y2 dy 1 y232 C b 2 sin x3 cos x dx 2 sin x3 cos x dx Integrando novamente por mudança de variáveis u 3 cos x du sin x dx Assim 2 sin x3 cos x dx 2 duu 2 lnu C onde C é uma constante Voltando às variáveis originais 2 sin x3 cos x dx 2 ln3 cos x C 3 a fx x2 3x x 1 x 3 A área será dada por A integral from x1 to x2 of fx dx Assim A integral from 1 to 3 of x2 3x dx integral from 1 to 3 of x2 dx 3 integral from 1 to 3 of x dx A x3 3 evaluated from 1 to 3 3 x2 2 evaluated from 1 to 3 1333 1 3232 1 A 1327 1 329 1 26 3 38 2 26 3 12 A 26 36 3 10 3 ua 333 ua b fx sqrtx 1 x 0 x 4 A integral from 0 to 4 of sqrtx 1 dx por mudança de variáveis u x 1 se x 0 u 0 1 1 du dx se x 4 u 4 1 5 A integral from 1 to 5 of sqrtu du integral from 1 to 5 of u12 du u32 23 evaluated from 1 to 5 23 532 132 A 5 sqrt5 1 23 10 sqrt5 2 3 ua 68 ua c y fx x sqrt2x2 1 x 0 x 2 A integral from 0 to 2 of x sqrt2x2 1 dx mudança de variáveis u 2x2 1 se x 0 u 0 1 1 du 4x dx du 4 dx se x 2 u 222 1 9 A ₁⁹ 14 duu 14 ₁⁹ u12 du 14 u12 2 ₁⁹ 12 u ₁⁹ A 12 9 1 12 2 1 ua ④ a dydx x x² 4 x 2 y 3 Vamos resolver pelo método de separação de variáveis onde vamos isolar de um lado tudo que depende de x e do outro tudo que depende de y Assim dy x x² 4 dx Integrando Integrando dy x x² 4 dx y x x² 4 dx Por mudança de variáveis u x² 4 du 2x dx du2 x dx y 12 u du 12 u12 du 12 23 u32 C y 13 x² 432 C Das condições iniciais y yx x 2 y2 3 y2 13 2² 432 C y C 3 0 Podimos então concluir que a solução para a equação diferencial é dada por y 13 x² 432 3 b dydx 4x3 y x0 y1 Também por separação de variáveis dyy 4x3 dx integrando dyy 4x3 dx lny 4x44 c1 x4 c1 exponenciando o resultado elny ex4c1 ex4 ec1 mas ec1 c y c ex4 Das condições iniciais x0 y1 y01 Assim y0 c e0 1 c1 e assim a solução para equação diferencial será yx ex4 5 y x 1 y x2 2x 3 Interseção onde as funções se encontram x1 x2 2x 3 x2 2x x 3 1 0 x2 3x 4 0 Bhaskara x b b2 4ac 2a a1 b3 c4 x 3 32 414 21 3 9 16 2 3 25 2 x 352 x1 352 82 4 x2 352 22 1 Seja fx x 1 a curva que delimita acima gx x2 2x 3 abaixo A área entre as curvas será A x1 to x2 fx gx dx A 1 to 4 x 1 x2 2x 3 dx 1 to 4 x 1 x2 2x 3 dx A 1 to 4 3x x2 4 dx 3 1 to 4 x dx 1 to 4 x2 dx 4 1 to 4 dx Δ 3x²2 ₁⁴ x³3 ₁⁴ 4x ₁⁴ 32 4² 1² 13 4³ 1³ 44 1 A 32 16 1 13 64 1 4 4 1 32 15 13 65 4 5 A 452 653 20 135 130 1206 1256 208 ua 6 a y x²1 x 1 x 3 y 0 O volume do sólido de revolução com rotação em torno do eixo x é dado por V ₐᵇ π fx² dx Logo V ₁³ π x² 1 dx π ₁³ x² 1 dx π ₁³ x² dx π ₁³ dx V πx³3 ₁³ πx ₁³ π3 3³ 1³ π 3 1 π3 27 1 π 2 V 26π3 2π 26π 6π3 20π3 209 π uv b y x³ y 1 y 1 x 0 O volume ao redor do eixo y será V ₐᵇ π fy² dy Seja x y13 V ₁¹ π y13² dy por simetria V 2π ₀¹ y23 dy 2π a10 y103 ₀¹ a5 1 π a5 π uv 57 uv
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Questões 1 Ache a área sob a curva 𝑓𝑥 𝑥2 42𝑥 no intervalo de x 1 até x 4 usando as regras abaixo com 5 casas decimais e n 6 subintervalos a Regra do ponto médio faça o gráfico e confirme o cálculo no winplot com a área dividida em retângulos b Regra do trapézio faça o gráfico e confirme o cálculo no winplot com a área dividida em trapézios c Calcule o valor exato da área e confirme no winplot 𝐴 𝑥2 42𝑥 𝑑𝑥 4 1 1 15 32 3𝑥2 8𝑥4 2𝑥 1 4 2 Obtenha as integrais indefinidas abaixo a 3𝑦1 𝑦2𝑑𝑦 b 2 sen 𝑥 3cos 𝑥 𝑑𝑥 3 Calcule as áreas sob as curvas nos intervalos dados usando a integral definida a 𝑓𝑥 𝑥2 3𝑥 entre x 1 e x 3 b 𝑓𝑥 𝑥 1 entre x 0 e x 4 c 𝑦 𝑥 2𝑥21 𝑥 0 𝑥 2 4 Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais observando as condições iniciais a 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥𝑥2 4 𝑥 2 𝑦 3 b 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4𝑥3𝑦 𝑥 0 𝑦 1 5 Encontre a área limitada pela reta y x 1 e pela parábola y x2 2x 3 Mostre o gráfico e a área calculada no winplot 6 Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados Construa os gráficos usando o winplot mostrando a superfície gerada e o cálculo ver tutorial abaixo a 𝑦 𝑥2 1 𝑥 1 𝑥 3 𝑦 0 ao redor do eixo x b 𝑦 𝑥3 𝑦 1 𝑦 1 𝑥 0 ao redor do eixo y use a simetria Fórmulas 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑐 𝐴 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑓𝑥𝑖𝑥 𝑛 𝑖1 𝑥 𝑏 𝑎 𝑛 𝑥𝑖 𝑥𝑖1 𝑥𝑖 2 𝐴 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑥 2 𝑓𝑥0 2𝑓𝑥1 2𝑓𝑥𝑛1 𝑓𝑥𝑛 𝑥0 𝑎 𝑥𝑛 𝑏 𝑓𝑔𝑥𝑔𝑥𝑑𝑥 𝑓𝑢𝑑𝑢 𝑢 𝑔𝑥 Nomes 1ºTrabalho de Cálculo Entregar dia 14042023 Valor 40 pontos Turma Processos Químicos Grupos de 2 a 4 alunos Prof Aurimar Tutorial para gráficos de área de integração no Winplot Área entre a função e o eixo x 1º Abra o Winplot e a janela de gráficos de duas dimensões 2dim 2º vá em Equação 1Explícita digite a função exemplo fx xx 4 xx é x ao quadrado vá em Equação Biblioteca para ver como se escrevem as funções elementares 3º agora vá para Um Medidas Integrar fxdx onde a integral é calculada entre o eixo x e a função fx 4º digite os valores de x dos dois limites de integração o primeiro no lim inferior e o segundo no lim Superior da integral com pelo menos 5 casas decimais se reais 5º marque as caixas abaixo ponto médio trapezoidal e parabólico que são alguns dos procedimentos de cálculo numérico de áreas clique em visualizar e escolha a cor que você deseja para a área de integração entre as duas curvas 6º clique em definida para calcular a área integral definida Mostre que essa área é igual a área que você obteve integrando as funções Área entre duas funções 1º Abra o Winplot e a janela de gráficos de duas dimensões 2dim 2º vá em Equação 1Explícita digite a função exemplo fx xx 4 xx é x ao quadrado vá em Equação Biblioteca para ver como se escrevem as funções elementares 3º repita o 2º passo e digite a segunda função No exemplo abaixo a segunda função foi a função linear fx x2 4º se os limites de integração forem os pontos de interseção entre as duas curvas vá em Dois Interseções escolha a primeira função a superior y xx4 e a segunda função a inferior y x2 e marque os pontos de interseção entre as duas curvas Esses pontos ficarão armazenados no Inventário que é a janela onde estão as funções se os limites de integração forem especificados dados ou de fácil obtenção pule para o próximo passo 5º agora vá em Dois Integrar fx gxdx digite os valores de x dos dois limites de integração o primeiro no lim inferior e o segundo no lim Superior da integral com pelo menos 5 casas decimais se reais 6º marque as caixas abaixo ponto médio trapezoidal e parabólico que são alguns dos procedimentos de cálculo numérico de áreas se quiser marque todas clique em visualizar e escolha a cor que você deseja para a área de integração entre as duas curvas 7º clique em definida para calcular a área integral definida entre as duas curvas Mostre que essa área é igual a área que você obteve integrando as funções veja exemplo abaixo Note que essa área é igual a área dada pelas regras do ponto médio trapezoidal e parabólico Os limites de integração foram obtidos resolvendo a equação de 2º grau no integrando acima 8º por fim copie a figura Ctrl C e colea no Word Ctrl V como abaixo 𝐴 𝑥2 4 𝑥 2 𝑑𝑥 176556 226556 𝑥3 3 4𝑥 𝑥2 4 226556 176556 𝐴 444840 646924 109176 Figura 1 Área entre as curvas y x2 4 e y x2 9º escreva abaixo da figura o seu título como acima Figura 1 Área entre as curvas y x2 4 e y x2 ou Figura 2 área relacionada ao exercício 1 etc Figura 2 Área relacionada ao exercício 3d Tutorial para gerar superfícies de revolução no Winplot 1º Abra o Winplot e a janela de gráficos de duas dimensões 2dim 2º vá em Equação 1Explícita digite a função exemplo fx lnx 3º agora vá em Um Superfície de revolução escolha o eixo em torno do qual a função vai girar eixo x ou eixo y Digite os valores de x iniciais e finais do segmento de curva arco da função neste exemplo o arco inicial é 05 e o final é 2 Clique em mostrar arco para vêlo e em seguida ver superfície 4º no gráfico 3D insira os eixos vá em Ver Eixos Eixos Posicione os eixos usando as setas do teclado de modo que o eixo y fique apontando para direita e o eixo x aponte aproximadamente para o canto inferior esquerdo da tela 5º clique em Ver Caixa Caixa para envolver a figura com uma caixa como a seguir onde a figura foi copiada Ctrl C e colada nesta página Ctrl V x y y xx4 y x2 x y Figura 3 fx lnx girada ao redor do eixo x no intervalo 052 6º para calcular o volume de revolução vá em Um na janela 2dim Medidas Volume de revolução escolha o eixo e digite o início do arco e o fim do arco clique em volume V 080093 no exemplo e compare com o resultado da integração x y z 1º Trabalho de Cálculo Turma Processos Químicos Figura 1 Área sob a curva 𝑓𝑥 regra do ponto médio questão 1a Figura 2 Área sob a curva 𝑓𝑥 regra do trapézio questão 1b Figura 3 Área sob a curva 𝑓𝑥 questão 1c Figura 4 Área entre curvas questão 5 Figura 5 Volume do sólido de revolução ao redor do eixo x questão 6a Figura 6 Volume do sólido de revolução ao redor do eixo y questão 6b 2 a 3y 1 y2 dy Essa integral pode ser resolvida a partir de mudança de variáveis u y2 du 2y dy du2 y dy Temos então 3y 1 y2 dy 3 1 u2 du 32 1 u du Fazendo mais uma mudança de variáveis v 1 u dv du temos 32 1 u du 32 v dv 32 v12 dv 32 v32 23 C v32 C Voltando às variáveis originais v32 C 1 u32 C 1 y232 C onde C é uma constante E assim 3y 1 y2 dy 1 y232 C temos 32 1 u du 32 v dv 32 v12 dv 32 v32 23 C v32 C Voltando às variáveis originais v32 C 1 u32 C 1 y232 C onde C é uma constante E assim 3y 1 y2 dy 1 y232 C b 2 sin x3 cos x dx 2 sin x3 cos x dx Integrando novamente por mudança de variáveis u 3 cos x du sin x dx Assim 2 sin x3 cos x dx 2 duu 2 lnu C onde C é uma constante Voltando às variáveis originais 2 sin x3 cos x dx 2 ln3 cos x C 3 a fx x2 3x x 1 x 3 A área será dada por A integral from x1 to x2 of fx dx Assim A integral from 1 to 3 of x2 3x dx integral from 1 to 3 of x2 dx 3 integral from 1 to 3 of x dx A x3 3 evaluated from 1 to 3 3 x2 2 evaluated from 1 to 3 1333 1 3232 1 A 1327 1 329 1 26 3 38 2 26 3 12 A 26 36 3 10 3 ua 333 ua b fx sqrtx 1 x 0 x 4 A integral from 0 to 4 of sqrtx 1 dx por mudança de variáveis u x 1 se x 0 u 0 1 1 du dx se x 4 u 4 1 5 A integral from 1 to 5 of sqrtu du integral from 1 to 5 of u12 du u32 23 evaluated from 1 to 5 23 532 132 A 5 sqrt5 1 23 10 sqrt5 2 3 ua 68 ua c y fx x sqrt2x2 1 x 0 x 2 A integral from 0 to 2 of x sqrt2x2 1 dx mudança de variáveis u 2x2 1 se x 0 u 0 1 1 du 4x dx du 4 dx se x 2 u 222 1 9 A ₁⁹ 14 duu 14 ₁⁹ u12 du 14 u12 2 ₁⁹ 12 u ₁⁹ A 12 9 1 12 2 1 ua ④ a dydx x x² 4 x 2 y 3 Vamos resolver pelo método de separação de variáveis onde vamos isolar de um lado tudo que depende de x e do outro tudo que depende de y Assim dy x x² 4 dx Integrando Integrando dy x x² 4 dx y x x² 4 dx Por mudança de variáveis u x² 4 du 2x dx du2 x dx y 12 u du 12 u12 du 12 23 u32 C y 13 x² 432 C Das condições iniciais y yx x 2 y2 3 y2 13 2² 432 C y C 3 0 Podimos então concluir que a solução para a equação diferencial é dada por y 13 x² 432 3 b dydx 4x3 y x0 y1 Também por separação de variáveis dyy 4x3 dx integrando dyy 4x3 dx lny 4x44 c1 x4 c1 exponenciando o resultado elny ex4c1 ex4 ec1 mas ec1 c y c ex4 Das condições iniciais x0 y1 y01 Assim y0 c e0 1 c1 e assim a solução para equação diferencial será yx ex4 5 y x 1 y x2 2x 3 Interseção onde as funções se encontram x1 x2 2x 3 x2 2x x 3 1 0 x2 3x 4 0 Bhaskara x b b2 4ac 2a a1 b3 c4 x 3 32 414 21 3 9 16 2 3 25 2 x 352 x1 352 82 4 x2 352 22 1 Seja fx x 1 a curva que delimita acima gx x2 2x 3 abaixo A área entre as curvas será A x1 to x2 fx gx dx A 1 to 4 x 1 x2 2x 3 dx 1 to 4 x 1 x2 2x 3 dx A 1 to 4 3x x2 4 dx 3 1 to 4 x dx 1 to 4 x2 dx 4 1 to 4 dx Δ 3x²2 ₁⁴ x³3 ₁⁴ 4x ₁⁴ 32 4² 1² 13 4³ 1³ 44 1 A 32 16 1 13 64 1 4 4 1 32 15 13 65 4 5 A 452 653 20 135 130 1206 1256 208 ua 6 a y x²1 x 1 x 3 y 0 O volume do sólido de revolução com rotação em torno do eixo x é dado por V ₐᵇ π fx² dx Logo V ₁³ π x² 1 dx π ₁³ x² 1 dx π ₁³ x² dx π ₁³ dx V πx³3 ₁³ πx ₁³ π3 3³ 1³ π 3 1 π3 27 1 π 2 V 26π3 2π 26π 6π3 20π3 209 π uv b y x³ y 1 y 1 x 0 O volume ao redor do eixo y será V ₐᵇ π fy² dy Seja x y13 V ₁¹ π y13² dy por simetria V 2π ₀¹ y23 dy 2π a10 y103 ₀¹ a5 1 π a5 π uv 57 uv