Intervalo de Confiança para a Média Populacional

ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA APLICADA APLICADA PROF JOÃO LAMESA INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL POPULACIONAL μμ Um intervalo de confiança IC fornece um intervalo de valores centrado na estatística amostral em nosso caso a média no qual se julga com um certo risco conhecido de erro ou precisão estar o parâmetro populacional A estimativa intervalar da média populacional baseiase na hipótese de que a distribuição amostral das médias amostrais é Normal Estimativa intervalar ou intervalo de confiança IC Valor da população Valor da amostra Faixa Parâmetro Estimativa pontual IC E X E X IC Margem de erro E X X E E X IC Nível de confiança Interpretação do IC Se um no infinito de amostras aleatórias for coletado e um IC de 95 ou 90 ou 80 para for calculado a partir de cada amostra então 95 ou 90 ou 80 desses intervalos conterão o valor verdadeiro de nosso caso Na prática tomamos uma amostra de tamanho conveniente e dizemos há 95 de chance de que o IC de nossa amostra conter em nosso caso NC 1 2 2 Estamos confiantes 1001 de que estará no IC Nível de Confiança Nível de confiança NC probabilidade que nos diz o quanto estamos confiantes de que estará no IC E X E X Se NC for de 95 estamos confiantes 95 de que estará na faixa X X score X score X X E score Erro Padrão da Média X N 2n X X μ Margem de Erro e Erro Padrão da Média Margem de Erro e Erro Padrão da Média σσXX conhecido conhecido O que é o score Vimos que a Distribuição amostral das médias se aproxima da curva normal para n suficientemente grande n 30 da forma seguinte X N 2n X X μ Logo podemos utilizar a curva normal padrão com a variável reduzida z N 01 n X z σ μ score z ou ainda score zc n z E c σ NC 1 2 2 n zc σ zc zc Estamos confiantes 1001 de que estará no IC NC zc 90 1645 95 1960 99 2575 Ex1 uma pesquisa foi realizada para se estimar a renda média familiar em uma população com desvio padrão de R 5000 Para isto tomou uma amostra de 80 famílias A média nesta amostra foi de R 50000 Adotouse 95 de NC Perguntase aQual a estimativa pontual da média populacional b Qual a margem de erro da pesquisa c Qual o IC a b 500 reais X 1096 80 50 196 n z E c σ c E µ E X X 500 1096 µ 500 1096 48904 µ 51096 Com 95 de confiança Ex2 Se o desvio padrão da estatura dos alunos de uma Universidade é de 009 m qual a média populacional com o NC de 90 tomando uma amostra de 30 alunos e média amostral de 171 Distribuição Normal Padronizada Cada valor da tabela indica a proporção de área total sob a curva normal contida no segmento delimitado por uma perpendicular levantada na média e uma perpendicular levantada à distância de z desvios unitários Z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00 00000 00038 00043 00048 00057 00062 00067 00072 00077 00082 01 00398 00438 00478 00517 00557 00598 00638 00676 00714 00750 02 01179 01217 01255 01293 01331 01380 01406 01443 01481 01517 03 02054 02088 02123 02157 02190 02224 02257 02292 02324 02357 04 02810 02843 02877 02910 02946 02981 03015 03048 03080 03110 05 03498 03531 03554 03770 03790 03810 03831 03860 03883 03897 06 04015 04032 04048 04065 04078 04090 04107 04126 04141 04151 07 04515 04537 04553 04573 04584 04597 04602 04618 04624 04630 08 04830 04842 04857 04864 04878 04890 04899 04903 04917 04922 09 04919 04938 04948 04955 04961 04967 04971 04975 04980 04983 10 04998 04998 04998 04999 04998 04998 04999 04999 04999 04999 11 04998 04998 04999 04999 04999 04999 04998 04998 04999 04999 12 04998 04999 04998 04999 04999 04999 04999 04999 04999 04999 13 04999 04999 04999 04998 04999 04999 04998 04998 04999 04999 20 04999 04999 04998 04999 04999 04999 04998 04998 04999 04999 21 04982 04984 04984 04984 04984 04984 04984 04984 04985 04985 22 04996 04996 04997 04997 04997 04998 04998 04997 04998 04998 23 04962 04962 04964 04964 04965 04966 04967 04967 04968 04968 24 04969 04969 04970 04970 04971 04971 04972 04972 04972 04973 25 04973 04973 04974 04974 04974 04974 04973 04974 04974 04974 26 04974 04974 04974 04975 04975 04975 04975 04975 04976 04975 27 04975 04976 04976 04977 04977 04977 04977 04978 04978 04978 28 04978 04978 04978 04978 04979 04979 04979 04980 04980 04980 29 04980 04980 04980 04980 04980 04980 04981 04981 04981 04981 30 04981 04981 04981 04981 04981 04981 04982 04982 04982 04982 31 04982 04982 04982 04982 04982 04983 04983 04983 04983 04983 32 04983 04983 04983 04983 04984 04984 04984 04984 04984 04984 33 04984 04984 04984 04984 04984 04985 04985 04985 04985 04985 34 04985 04985 04985 04985 04985 04985 04985 04985 04985 04986 35 04986 04986 04986 04986 04986 04986 04986 04986 04986 04986 36 04986 04986 04986 04986 04986 04986 04987 04987 04987 04987 37 04987 04987 04987 04987 04987 04987 04987 04987 04987 04988 38 04988 04988 04988 04988 04988 04988 04988 04988 04988 04989 n X zc σ μ Se substituirmos por outro s n X c μ t o efeito será uma má estimação de para n pequeno Usaremos para compensar amostras pequenas a Distribuição t de Student Estimação da média Estimação da média μμ com com xx desconhecido desconhecido Como é esta distribuição comparando com a curva normal padrão Ela é diferente para tamanhos de amostras diferentes Ela tem a mesma forma geral da Distrib Normal padrão mas é mais larga com pequenas amostras Distribuição Distribuição tt de Student de Student Mas o desvio padrão da distribuição t de Student varia com o tamanho amostral e é maior que 1 À medida que n aumenta ela se aproxima da Distrib Normal padrão Distribuição Distribuição tt de Student de Student Ela também tem uma média de t 0 Uso da tabela da curva t 1 Tem que ser dado o valor de n e o NC 2 Em seguida calculase o número de graus de liberdade gl n 1 3 Pegar o valor de tc Distribuição Distribuição tt de Student de Student Ex1 Em uma pesquisa para se estimar a renda média familiar tomouse uma amostra de 80 famílias A média nesta amostra foi de R 80000 e o desvio padrão foi de R 10000 Adotouse 95 de NC Perguntase aQual a estimativa pontual da média populacional b Qual a margem de erro da pesquisa c Qual o IC a b 800 reais X 80 100 n s E c c t t Com 95 de confiança c 800 2225 µ 800 2225 77775 µ 82225 Número de graus de liberdade gl n 1 79 curva t 2 caudas 005 tc 199 2225 80 100 199 n s E c t Tabela da distribuição Tabela da distribuição tt de Student de Student Tabela da distribuição Tabela da distribuição tt de Student de Student Tabela da distribuição Tabela da distribuição tt de Student de Student Ex2 Numa tentativa de melhorar o sistema de atendimento a clientes uma empresa procurou estimar o tempo médio de cada atendimento Uma amostra aleatória de 49 clientes colhida num período de 1 mês acusou uma média de 30 minutos com desvio padrão de 7 minutos aConstrua um intervalo de 95 de confiança para o verdadeiro tempo de atendimento bQual é o erro máximo provável associado a estimativa do item anterior 2 01 30 49 7 2 009 30 n s t x x a b O erro máximo provável será de 201 Ex3 Uma fábrica deseja estimar a tensão de ruptura de um fio de algodão Uma amostra de 25 medidas apresentou uma média de 75 kgf e desvio padrão de 12 kgf Supondo que a tensão de ruptura do fio seja aproximadamente Normal construa um intervalo de 98 de confiança para a tensão média de ruptura do fio de algodão Supõese que a distribuição da variável tensão de ruptura do fio de algodão seja aproximadamente Normal O intervalo de confiança considerando o desvio padrão da população desconhecido pode ser calculado com base na distribuição tStudent como 6 90 810 0 60 7 5 5 2 49212 7 5 n t S X x Ex4 Um engenheiro está investigando a duração de um pneu fabricado com um novo tipo de borracha Para a realização de testes foram fabricados 16 pneus e a duração de cada um deles foi medida A média e o desvio padrão amostrais foram 60000 km e 3648 km respectivamente Supondo que a duração dos pneus tem distribuição aproximadamente normal construa um intervalo com 95 de confiança para a verdadeira duração média dos pneus Supõese a distribuição da variável duração do pneu aproximadamente Normal Assim o intervalo de confiança considerando desconhecido o desvio padrão da população pode ser calculado com base na distribuição tStudent como 58056 5 61943 5 19435 60000 4 21313648 60000 n t S X x Tamanho da amostra Como pudemos observar o tamanho da amostra n é um parâmetro é um parâmetro imprescindível na determinação das estimativas amostrais Porém quase sempre n é um parâmetro desconhecido Para estimalo isolase n na expressão da margem de erro Ex1 Suponha que um fabricante de baterias esteja querendo estudar a vida média de seus produtos Baseado em estudos similares com outras marcas é possível admitir que a vida dessa baterias segue uma distribuição normal com desvio padrão de 45 meses De qual tamanho deverá ser a amostra para que o erro não seja superior a 1 mês e meio considerando um nível de confiança de 90 Sendo NC 90 temse zc 164 Logo Fator de correção para população finita Quando a população é finita e a amostra representa uma percentagem apreciável da população isto é mais que 5 é necessário utilizar um fator de correção nas formulações dos desvios padrões amostrais Sendo N o nº de elementos da população e n o nº de elementos da amostra o fator de correção conhecido como fator de correção finita é igual a Deste modo o valor corrigido do desvio é 1 N n N Ex 2 Para estimar a média de idade de uma população de 4 mil empregados foi selecionada uma amostra aleatória simples de 40 empregados a Você usaria o fator de correção para populações finitas ao calcular o erro padrão da média isto é desvio padrão da distribuição amostral Explique b Se o desvio padrão populacional é de 82 anos calcule o erro padrão utilizando o fator de correção e compare com o valor sem correção Qual é o fundamento lógico para se ignorar o fator de correção para populações finitas sempre que nN 005 a Não pois nN 001 b 129 com correção e 130 sem correção O fundamento lógico é a pequena diferença entre o valor corrigido e o não corrigido para nN 005