Estudo sobre Taxas de Juros em Matemática Financeira

Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Email reginaldoizellifatecspgovbr Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxas Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxas Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira ou seja é a unidade de medida pela qual os juros são fixados na remuneração de um capital num determinado período de tempo dias meses anos etc Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxas Dentre as inúmeras variáveis que fazem parte de uma operação financeira a mais importante é a taxa de juros Nem sempre a taxa de juros informada está pronta para ser utilizada no cálculo financeiro Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxas Este tópico tem como objetivo estudar as possíveis modificações que a taxa de juros deverá sofrer como por exemplo quando ocorrer situações como em que o prazo da operação não coincide com a unidade de tempo da taxa de juros ou quando a unidade de tempo da taxa de juros não coincide com o período de capitalização Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Índice de Preços Vamos supor que um empréstimo no valor de R 5 00000 seja pago ao final de seis meses com o valor monetário de R 7 00000 O cálculo da taxa nominal de juros será feita da seguinte forma ou Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli do empréstimo Valor Juros pagos i 1 Presente Valor Valor Futuro i Índice de Preços Então pelo exemplo anterior temos ou Portanto a taxa nominal de juros de um empréstimo de R 5 00000 que teve como quitação o valor de R 7 000 teve uma taxa nominal de juros de 40 no período de seis meses ou seja 40 as Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli 40 40 5000 5000 7000 i 40 40 1 5000 7000 i Índice de Preços Suponha que temos interesse em saber a taxa mensal do índice de preço do exemplo anterior ou seja Depende do tipo de capitalização do empréstimo Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli 40 as Juros Simples Taxa Proporcional Juros Compostos Taxa Equivalente 40 as am Taxas Proporcionais Taxa Linear São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo no regime de juros simples Exemplos a 5 ao mês 30 ao semestre 5 x 6 30 b 5 ao trimestre 20 ao ano 5 x 4 20 c 18 ao ano 15 ao mês 18 12 15 Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxas Proporcionais Taxa Linear Exemplo 2 Calcule a taxa mensal da 40 ao semestre em juros simples Solução 40 𝑎 𝑠 40 6 66667 𝑎 𝑚 Ou seja 𝐹𝑉 𝑃𝑉 1 𝑖 𝑛 𝐹𝑉 5000 1 00667 6 𝐹𝑉 7000 Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxas Proporcionais Taxa Linear Vamos aplicar as seguintes Fórmulas Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxas Equivalentes São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo no regime de juros compostos Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxas Equivalentes Fórmulas Sendo que iq é a taxa de juros que deseja encontrar it é a taxa de juros que tenho no problema q período que quero t período que tenho Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Tenho Quero it iq t q 1 1 t q t q i i Taxas Equivalentes Exemplo 1 Em juros compostos qual a taxa anual equivalente a 2 am Solução Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli taxa mensal taxa anual 1 12 i i 𝑖12 1 𝑖1 12 1 1 𝑖12 1 00212 1 𝑖12 102 12 1 𝑖12 02682 𝑖12 268242 aa Taxas Equivalentes Exemplo 2 Em juros composto qual a taxa trimestral equivalente a 15 aa Solução Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli taxa anual taxa trimestral 12 3 i i 𝑖3 1 𝑖12 3 12 1 𝑖3 1 015025 1 𝑖3 115 025 1 𝑖3 10356 1 𝑖3 00356 𝑖3 35558 at Taxas Equivalentes Exemplo 3 Em juros compostos qual a taxa anual equivalente a 58 am Solução Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxas Equivalentes Exemplo 4 Em juros compostos qual a taxa mensal equivalente a 9671 aa Solução Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxas Equivalentes Site httpsdcvittifileswordpresscom201308faturacartc3a3odecrc3a9ditomodificadojpg Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxas Equivalentes Exemplo 2 Calcule a taxa mensal da 40 ao semestre em juros compostos Solução Ou seja 𝐹𝑉 𝑃𝑉 1 𝑖𝑛 𝐹𝑉 5000 1 00576816 𝐹𝑉 7000 Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli 𝑖𝑞 1 𝑖𝑡 𝑞 𝑡 1 1 040 1 6 1 𝑖𝑞 57681 Taxa Unificada Algumas situações cotidianas voltadas para a Matemática Financeira envolvem a variação dos preços de mercadorias As variações podem ocorrer no sentido dos preços aumentarem ou diminuírem ocorrendo respectivamente inflação ou deflação É comum em momentos de inflação o reajuste sucessivo de preços envolvendo índices percentuais Caso um determinado produto seja reajustado continuamente temos a incidência de vários índices percentuais sobre o preço original Nesse caso dizemos que a incidência desses índices sucessivas vezes é chamada de taxa de juros acumulada Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxa Unificada A taxa de juros acumulada ou taxa unificada de determinado produto é dada pela seguinte expressão matemática ATENÇÃO Unificar duas ou mais taxas não significa somálas i u i1 i2 Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli 1 1 1 1 2 1 n u i i i i Taxa Unificada Exemplo 1 Em três meses sucessivos um fundo de investimentos rendeu 16 18 e 2 respectivamente Qual a taxa de rentabilidade acumulada no período Solução Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli 𝑖𝑢 1 0016 1 0018 1 002 1 𝑖𝑢 54974 at Taxa Unificada Exemplo 2 Calcule o montante resultante da aplicação do capital de R 1800000 que esteve aplicado durante 3 meses no regime de juros compostos às taxas de 345 228 e 432 respectivamente Solução Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli 33 19868 0 0432 1 0 0228 1 0 0345 1 18000 1 1 1 3 2 1 FV FV i i i PV FV Taxa Unificada Exemplo 3 Ao ser pesquisado mensalmente o preço de uma mercadoria foram registrados os seguintes valores no último dia do mês Agosto R 550 Setembro R 620 Outubro R 700 Novembro R 710 Dezembro R 890 Determine a taxa de juros acumulada referente ao aumento da mercadoria em questão Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxa Unificada Solução Vamos primeiramente calcular os índices de aumento Veja Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli 620 550 550 070 550 127273 700 620 620 080 620 129032 710 700 700 010 700 14286 890 710 710 180 710 253521 Taxa Unificada Taxa acumulada A taxa acumulada dos aumentos sucessivos de preços dessa mercadoria é equivalente a 618170 Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli 𝑖𝑢 1 01273 1 01290 1 00143 1 02535 1 𝑖𝑢 618170 Taxa Unificada Vamos verificar o preço da mercadoria do exemplo 3 Sabendo que o preço de agosto é igual a R 550 Qual será o preço dessa mercadoria no mês de Dezembro sabendo que os índices de aumento foram 127273 129032 14286 e 253521 nos meses setembro outubro novembro e dezembro respectivamente Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli 550 1 0618170 𝑅 8900 Taxa Unificada Exemplo 4 O Índice de Preços ao Consumidor Amplo IPCA é um índice usado para medir a inflação no Brasil A partir do IPCA dos meses de um ano e da fórmula vista calcule o IPCA acumulado Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxa Unificada Solução 𝑖𝑢 1 𝑖1 1 𝑖2 1 𝑖𝑛 1 𝑖𝑢 1 00032 1 00043 1 00004 1 00115 1 𝑖𝑢 43060 𝑎 𝑎 Portanto o IPCA acumulado no ano de 2019 foi de aproximadamente 43060 𝑎𝑎 Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxa Real Taxa Real ir é a taxa efetiva ie corrigida pela taxa inflacionária ii do período da operação Conexão entre as taxas real efetiva e de inflação A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação Na realidade existe uma ligação íntima entre as três taxas dadas por Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli 1 1 1 i e r i i i Taxa nominal x Taxa efetiva Exemplo 1 Certa aplicação financeira obteve rendimento efetivo de 6 ao ano Sabendo que a taxa de inflação no período foi de 49 determine o ganho real dessa aplicação Solução Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli 𝑖𝑟 1 006 1 0049 1 𝑖𝑟 10486 aa Taxa Real Exemplo 2 Numa operação financeira com taxas préfixadas um banco empresta 12000000 para ser pago em um ano com 15000000 Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10 pedese calcular a taxa de aumento e taxa real deste empréstimo Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli Taxa Real Solução Índice de preço Taxa Real Disciplina Matemática Financeira Prof Me Reginaldo César Izelli 25 0 25 1 120000 150000 i 𝑖𝑟 1 025 1 010 1 𝑖𝑟 136364 aa