Deflexao de Vigas - Equacoes Diferenciais e Analise Estrutural

Página 1 1 Deflexão de Vigas Objetivo Determinar a equação da curva de deflexão e também encontrar deflexão em pontos específicos ao longo do eixo da viga Importância Estruturas estaticamente indeterminadasNúmero de reações excede as equações de equilíbrio Análise dinâmica Vibrações de aeronaves ou as respostas de edifícios aos terremotos 11 Equações Diferenciais da Curva de Deflexão Deflexão de vigas Equações diferenciais da curva de deflexão Considere uma viga engastada com um carregamento concentrado atuando para cima na extremidade livre Figura 1 Curva de deflexão de uma viga engastada Considerações O plano xy é um plano de simetria da viga e todos os carregamentos atuam nesse plano plano de flexão O material segue a Lei de Hooke e se considera somente deformações devido à flexão pura Deflexão n É o deslocamento na direção y de qualquer ponto no eixo da viga como apresenta a Figura 1b Como y é positivo para cima então n é positivo Pontos considerados no trecho infinitesimal da viga m1 e m2 Página 2 Considerese a curva de deflexão com mais detalhes como se apresenta na Figura 2 Figura 2 Curva de deflexão de uma viga Viga Flexionada Deflexão n em cada ponto ao longo do eixo Rotação q em cada ponto Ângulo de rotação q É o ângulo entre o eixo x e a tangente à curva de deflexão como se mostra a Figura 2b Observação q é positivo no sentido antihorário Notação Ângulo de rotação Ângulo de inclinação Ângulo de declive Ângulo de rotação em m2 qdq dq Aumento no ângulo conforme se move do ponto m1 para o ponto m2 Ângulo entre as normais às tangentes dq du Ponto de interseção entre as normais às tangentes O Centro de curvatura r Raio de curvatura Distância de O à curva e é dado pela Equação 11 onde dq é dado em radianos e ds é a distância ao longo da curva de deflexão entre os pontos m1 e m2 A curvatura k é dada por Equação 11 Equação 12 Página 3 A convenção de sinal para a curvatura é apresentada na Figura 3 Figura 3 Convenção de sinal para a curvatura 111 Vigas com Pequenos Ângulos de Rotação Exemplos de Estruturas encontradas no quotidiano Edifícios Automóveis Aeronaves navios e etc Essas estruturas sofrem pequenas variações na forma enquanto estão em serviço e não são percebidas comumente por um observador Dessa forma a curva de deflexão da maioria das vigas e colunas tem ângulos de rotação muito pequenos deflexões muito pequenas e curvaturas muito pequenas De acordo com a Figura 2 se o ângulo de rotação é muito pequeno a curva de deflexão é quase horizontal Dessa forma temse Logo a Curvatura k será Uma vez que tanθ θ quando θ é pequeno segue Cuja derivada é Assim dass Equações 12 14 e 16 temse A Equação 17 é válida para uma viga de qualquer material com a hipótese de que as rotações sejam pequenas Equação 13 Equação 14 Equação 15 Equação 16 Equação 17 Página 4 Se o material é elástico e linear e segue a Lei de Hooke a Curvatura é dada por Em que M é o Momento Fletor e EI é a Rigidez à Flexão da viga Combinandose as Equações 17 e 18 gerase a Equação Diferencial da Curva de Deflexão Básica de uma viga Assim por meio da Equação 19 para uma viga Hiperestática1 determinase o Momento Fletor considerandose todas as reações e adotandose as condições de contorno da viga 1 Estruturas estaticamente indeterminadasNúmero de reações excede as equações de equilíbrio Equação 18 Equação 19