Estática e Mecânica dos Materiais Beer-Johnston-DeWolf-Mazurek - Resumo

CYAN VS Gráfica VS Gráfica MAG VS Gráfica YEL VS Gráfica BLACK wwwgrupoacombr 0800 703 3444 estática e mecânica dos materiais Beer Johnston deWolf mazurek estática e mecânica dos materiais estática e mecânica dos materiais Beer Johnston deWolf mazurek estática e mecânica dos materiais Beer Johnston deWolf mazurek Beer Johnston deWolf mazurek Mantendo a metodologia de ensino tradicional dos seus famosos livrostexto Beer e Johnston unem nesta obra conceitos e aplicações de duas importantes áreas da engenharia a estática e a mecânica dos materiais permitindo que os estudantes desenvolvam a habilidade de compreender e solucionar um deter minado problema de maneira coesa simples e lógica Os capítulos têm início com exemplos reais e com um sumário resumido dos conteúdos que serão trabalhados Os conceitos são introduzidos passo a passo de forma clara e objetiva Seções opcionais oferecem tópicos avançados As seções Problemas resolvidos são apresentadas em uma única página o que proporciona melhor visualização dos problemaschave Todos os capítulos oferecem um conjunto de problemas que devem ser resolvidos com o auxílio de programas computacionais Visite a Área do Professor no nosso site wwwgrupoacombr para ter livre acesso ao material exclusivo em inglês e português deste livro engenharia wwwgrupoacombr Recorte aqui seu marcador de página Engenharia bEEr johnston dEwolf mazurEk Estática e mecânica dos materiais BEER JOHNSTON CORNWELL Mecânica Vetorial para Engenheiros Dinâmica 9ed BEER JOHNSTON MAZUREK EISENBERG Mecânica Vetorial para Engenheiros Estática 9ed BLANK TARQUIN Engenharia Econômica 6ed BUDYNAS NISBETT Elementos de Máquinas de Shigley Projeto de Engenharia Mecânica 8ed ÇENGEL BOLES Termodinâmica Uma Abordagem da Engenharia 7ed ÇENGEL CIMBALA Mecânica dos Fluidos ÇENGEL GHAJAR Transferência de Calor e Massa 4ed CHAPRA CANALE Métodos Numéricos para Engenharia 5ed CHAPRA SC Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB para Engenheiros e Cientistas 3ed DYM LITTLE Introdução à Engenharia Uma Abordagem Baseada em Projeto 3ed GILAT A MATLAB com Aplicações em Engenharia 4ed HSU HP Sinais e Sistemas 2ed Coleção Schaum LEET UANG GILBERT Fundamentos da Análise Estrutural 3ed NAHVI EDMINISTER Circuitos Elétricos 4ed Coleção Schaum NAVIDI W Probabilidade e Estatística para Ciências Exatas NORTON RL Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos ROSA ES Escoamento Multifásico Isotérmico SMITH HASHEMI Fundamentos de Engenharia e Ciência dos Materiais 5ed TREMBLAY T Autodesk Inventor 2012 e Inventor LT 2012 Essencial WHITE FM Mecânica dos Fluidos 6ed Livro em produção no momento de impressão desta obra mas que muito em breve estará à disposição dos leitores em língua portuguesa A Bookman Editora é parte do Grupo A uma empresa que engloba diversos selos editoriais e várias plataformas de distribuição de conteúdo técnico científico e profissional disponibilizandoo como onde e quando você precisar O Grupo A publica com exclusividade obras com o selo McGrawHill em língua portuguesa 042376EstaticaMecanicaMateriasindd 2 141112 1728 E79 Estática e mecânica dos materiais Ferdinand P Beer et al tradução Antônio Eustáquio de Melo Pertence revisão técnica Antonio Pertence Júnior Porto Alegre AMGH 2013 xviii 706 p il color 28 cm ISBN 9788580551648 1 Engenharia mecânica 2 Mecânica dos materiais 3 Está tica I Beer Ferdinand P CDU 6215312 Catalogação na publicação Ana Paula M Magnus CRB 102052 iniciaisBeerindd ii iniciaisBeerindd ii 03122012 190503 03122012 190503 C A P Í T U L O8 Conceito de tensão Cap8Beerindd 303 Cap8Beerindd 303 03122012 191017 03122012 191017 304 Estática e mecânica dos materiais 8 Conceito de tensão 81 Introdução 82 Tensões nos elementos de uma estrutura 83 Carga axial e tensão normal 84 Tensão de cisalhamento 85 Tensão de esmagamento em conexões 86 Aplicação à análise e projeto de estruturas simples 87 Projeto 88 Tensão em um plano oblíquo sob carregamento axial 89 Tensão sob condições gerais de carregamento Componentes de tensão 810 Considerações de projeto 81 Introdução O principal objetivo do estudo da mecânica dos materiais é proporcionar ao futuro engenheiro os meios para analisar e projetar várias máquinas e estruturas portadoras de carga Tanto a análise quanto o projeto de uma dada estrutura envolvem a determinação das tensões e deformações Este capítulo é dedicado ao conceito de tensão A Seção 82 apresentará o conceito de tensão em um elemento estrutural e mostrará como essa tensão pode ser determinada a partir da força nesse elemento Você estudará sucessivamente as tensões normais em uma barra sob carga axial Seção 83 as tensões de cisalhamento originadas pela aplicação de forças transversais equivalentes e opostas Seção 84 e as tensões de esmagamento criadas por parafusos e pinos em barras por eles conectadas Seção 85 Esses vários conceitos serão aplicados na Seção 86 para a determinação das tensões nas barras de estrutura simples Aspectos relacionados a um projeto de engenharia serão abordados na Seção 87 Na Seção 88 examinaremos novamente um elemento de barra sob carga axial e verificaremos que as tensões em um plano oblíquo incluem as componentes de tensões normal e de cisalhamento Na Seção 89 você notará que são necessários seis componentes para descrever o estado de tensão em um ponto de um corpo sob as condições mais generalizadas de carga Finalmente a Seção 810 será dedicada à determinação do limite de resistência de um material por meio de ensaios de corpos de prova e da seleção de coeficiente de segurança aplicados ao cálculo da carga admissível de um componente estrutural feito com esse material 82 Tensões nos elementos de uma estrutura A força por unidade de área ou intensidade das forças distribuídas sobre uma determinada seção é chamada de tensão na seção e é representada pela letra grega σ sigma A tensão na seção transversal de área A de uma barra submetida a uma carga axial P Fig 81 é obtida dividindo o valor da carga P pela área A σ PA 81 Utilizamse um sinal positivo para indicar uma tensão de tração barra tracionada e um sinal negativo para indicar tensão de compressão barra comprimida Como nessa discussão são utilizadas as unidades métricas do Sistema Internacional SI com P expressa em newtons N e A em metros quadrados m2 a tensão σ será expressa em Nm2 Essa unidade é chamada de pascal Pa No entanto considerando que o pascal é um valor extremamente pequeno deverão na prática ser utilizados múltiplos dessa unidade ou seja o quilopascal kPa o megapascal MPa e o gigapascal GPa Temos 1 kPa 10³ Pa 10³ Nm² 1 MPa 10⁶ Pa 10⁶ Nm² 1 GPa 10⁹ Pa 10⁹ Nm² Figura 81 P σ PA A P P a b Capítulo 8 Conceito de tensão 305 Quando são utilizadas as unidades inglesas a força P geralmente é expressa em libras lb ou quilolibras kip e a área da seção transversal A em polegadas quadradas in² A tensão σ será então expressa em libras por polegada quadrada psi ou quilolibras por polegada quadrada ksi 83 Carga axial e tensão normal A barra mostrada na Fig 81 está sujeita a forças P e P aplicadas nas extremidades As forças estão dirigidas ao longo do eixo e dizemos que a barra está sob carga axial Um exemplo real de estrutura formada por barras sob carga axial é a ponte em treliça mostrada na Foto 81 Foto 81 Essa ponte em treliça é composta de barras simples que podem estar sob tração ou compressão Como mostra a Fig 81b a força interna e a tensão correspondente são perpendiculares ao eixo da barra e a tensão correspondente é descrita como tensão normal Assim a Eq 81 nos dá a tensão normal em um elemento sob carga axial σ PA 81 Devemos notar também que na Eq 81 σ é obtido dividindo a intensidade P da resultante das forças internas distribuídas sobre a seção transversal pela área A da seção transversal A tensão σ representa portanto o valor médio da tensão sobre a seção transversal e não a tensão em um ponto específico da seção transversal Para definirmos a tensão em um determinado ponto Q da seção transversal devemos considerar uma pequena área ΔA Fig 82 Ao dividirmos Figura 82 ΔF ΔA Q P P 306 Estática e mecânica dos materiais a intensidade de F por A obtemos o valor médio da tensão sobre A Ao aproximarmos A de zero obtemos a tensão no ponto Q σ lim A0 F A 82 Em geral o valor obtido para a tensão σ em um determinado ponto Q da seção é diferente do valor da tensão média determinada pela Eq 81 e verificase que σ varia através da seção Em uma barra esbelta submetida a cargas concentradas P e Pʹ iguais e de sentidos opostos Fig 83a essa variação é pequena em uma seção distante dos pontos de aplicação das cargas concentradas Fig 83c mas é bastante significativa nas vizinhan ças desses pontos Fig 83b e d Pela Eq 82 vêse que a intensidade da resultante das forças internas distribuídas é dF σ dA A Mas as condições de equilíbrio de cada uma das partes da barra mostrada na Fig 83 exigem que essa intensidade seja igual à intensidade P das car gas concentradas Temos portanto P dF A σ dA 83 isso significa que a resultante sob cada uma das superfícies de tensão na Fig 83 deve ser igual à intensidade P das cargas Essa no entanto é a única informação que a estática nos fornece em relação à distribuição das tensões normais nas várias seções da barra A distribuição real das tensões em uma determinada seção é estaticamente indeterminada Para saber mais sobre essa distribuição é necessário considerar as deformações re sultantes do modo particular de aplicação das cargas nas extremidades da barra assunto que será discutido no Cap 9 Na prática consideraremos que a distribuição das tensões normais em uma barra sob carga axial é uniforme exceto nas vizinhanças imediatas dos pontos de aplicação das cargas O valor σ da tensão é então igual a σméd e pode ser obtido pela Eq 81 No entanto devemos perceber que quando assumimos uma distribuição uniforme das tensões na seção ou seja quando assumimos que as forças internas estão distribuídas uniforme mente através da seção seguese da estática elementar que a resultante P das forças internas deve ser aplicada no centroide C da seção Fig 84 Isso significa que uma distribuição uniforme da tensão será possível so mente se a linha de ação das cargas concentradas P e Pʹ passar através do centroide da seção considerada Fig 85 Esse tipo de carregamento é chamado de carga centrada e consideraremos que ele ocorre em todos os elementos de barra retos encontrados em treliças e estruturas conectados por pinos No entanto se um elemento de barra estiver carregado axial mente por uma carga excêntrica como mostra a Fig 86a perceberemos pelas condições de equilíbrio da parte da barra mostrada na Fig 86b que as forças internas em uma determinada seção devem ser equivalentes a uma a b c d P P P P P σ σ σ C σ P Figura 83 Figura 84 Cap8Beerindd 306 Cap8Beerindd 306 03122012 191019 03122012 191019 Capítulo 8 Conceito de tensão 307 Figura 85 Figura 86 força P aplicada no centroide da seção e um conjugado M cuja intensidade é dada pelo momento M Pd A distribuição das forças e a distribuição correspondente das tensões não podem ser uniformes assim como a distribuição de tensões não pode ser simétrica como mostra a Fig 83 Esse caso será discutido detalhadamente no Cap 11 84 Tensão de cisalhamento As forças internas e as tensões correspondentes discutidas nas Seções 82 e 83 eram normais à seção considerada Um tipo muito diferente de tensão é obtido quando forças transversais P e P são aplicadas à barra AB Fig 87 Ao passarmos um corte na seção transversal C entre os pontos de aplicação das duas forças Fig 88a obtemos o diagrama da parte AC mostrada na Fig 88b Concluímos que devem existir forças internas no plano da seção e que a resultante dessas forças é igual a P Essas forças internas elementares são chamadas de forças de cisalhamento e a intensidade P de sua resultante é a força cortante na seção Ao dividirmos a força cortante P pela área A da seção transversal obtemos a tensão média de cisalhamento na seção Indicando a tensão de cisalhamento pela letra grega τ tau temos τméd PA 84 Devese enfatizar que o valor obtido é um valor médio da tensão de cisalhamento sobre a seção toda Ao contrário do que dissemos antes para as tensões normais a distribuição da tensão de cisalhamento por meio da seção não pode ser considerada uniforme Conforme veremos no Cap 13 o valor real τ da tensão de cisalhamento varia de zero na superfície da barra até um valor máximo τmáx que pode ser muito maior que o valor médio τméd As tensões de cisalhamento são encontradas geralmente em parafusos pinos e rebites utilizados para conectar vários elementos estruturais e Figura 87 Figura 88 Foto 82 Vista em corte de uma conexão com um parafuso em cisalhamento Figura 89 Figura 810 Figura 811 Figura 812 85 Tensão de esmagamento em conexões Parafusos pinos e rebites criam tensões ao longo da superfície de esmagamento ou de contato nos elementos que eles conectam Por exemplo Figura 813 Figura 814 86 Aplicação à análise e projeto de estruturas simples Podemos agora determinar as tensões nos elementos e nas conexões de várias estruturas simples bidimensionais e portanto projetar essas estruturas A estrutura mostrada na Fig 815 foi projetada para suportar uma carga de 30 kN Essa estrutura é composta de uma barra AB com uma seção transversal retangular de 30 50 mm e uma barra BC com uma seção transversal circular com diâmetro de 20 mm As duas barras estão conectadas por um pino em B e são suportadas por pinos e suportes em A e C respectivamente Nosso primeiro passo será desenhar um diagrama de corpo livre da estrutura separandoa de seus suportes em A e C e mostrando as reações Figura 815 Figura 816 Figura 817 Figura 818 que esses suportes exercem na estrutura Fig 816 As reações são representadas por duas componentes Ax e Ay em A e Cx e Cy em C Escrevemos as três equações de equilíbrio a seguir Σ Mc 0 Ax 06 m 30 kN08 m 0 Ax 40 kN 88 Σ Fx 0 Ax Cx 0 Cx Ax Cx 40 kN 89 Σ Fy 0 Ay Cy 30 kN 0 Ay Cy 30 kN 810 Encontramos duas das quatro incógnitas mas não podemos determinar as outras duas a partir dessas equações e tampouco obter uma equação independente adicional a partir do diagrama de corpo livre da estrutura Precisamos agora desmembrar a estrutura Considerando o diagrama de corpo livre da barra AB Fig 817 temos a seguinte equação de equilíbrio Σ MB 0 Ay08 m 0 Ay 0 811 Substituindo Ay de 811 em 810 obtemos Cy 30 kN Expressando os resultados obtidos para as reações em A e C na forma vetorial temos A 40 kN Cx 40 kN Cy 30 kN Notamos que a reação em A é dirigida ao longo do eixo da barra AB e provoca compressão nessa barra Observando que as componentes Cx e Cy da reação em C são respectivamente proporcionais às componentes horizontal e vertical da distância de B a C concluímos que a reação em C é igual a 50 kN e dirigida ao longo do eixo da barra BC o que provoca tração nessa barra Esses resultados poderiam ter sido previstos reconhecendo que AB e BC são barras simples ou seja elementos submetidos apenas a forças em dois pontos A e B para a barra AB e B e C para a barra BC Sem dúvida para uma barra simples as linhas de ação das resultantes das forças agindo em cada um dos dois pontos são iguais e opostas e passam através de ambos os pontos Se utilizássemos essa propriedade poderíamos ter obtido uma solução mais simples considerando o diagrama de corpo livre do pino B As forças no pino B são as forças FAB e FBC exercidas respectivamente pelas barras AB e BC e a carga de 30 kN Fig 818a Podemos expressar que o pino B está em equilíbrio e desenhar o triângulo de forças correspondente Fig 818b Como a força FBC está dirigida ao longo da barra BC sua inclinação é a mesma de BC ou seja 34 Então temos a proporção FAB 4 FBC 5 30 kN 3 da qual obtemos FAB 40 kN FBC 50 kN As forças FAB e FBC exercidas pelo pino B respectivamente na barra AB e haste BC são iguais e opostas a FAB e FBC Fig 819 Figura 819 Figura 820 Conhecendo as forças nas extremidades de cada um dos elementos podemos agora determinar suas forças internas Cortando a barra BC em algum ponto arbitrário D obtemos duas partes BD e CD Fig 820 Se uma carga de 50 kN deve ser aplicada em D em ambas as partes da barra para manter o equilíbrio concluímos que uma força interna de 50 kN é produzida na barra BC quando uma carga de 30 kN é aplicada em B Verificamos ainda pelas direções das forças FBC e FBC na Fig 820 que a barra está sob tração Um procedimento similar nos permitiria determinar que a força interna na barra AB é 40 kN e que a barra está sob compressão Agora podemos determinar as tensões nas barras e conexões Como mostra a Fig 821 a barra BC com diâmetro de 20 mm tem extremidades achatadas com seção transversal retangular de 20 40 mm ao passo que a barra AB tem uma seção transversal retangular de 30 50 mm e está presa com uma articulação na extremidade B Ambos os elementos são conectados em B por um pino a partir do qual é suspensa a carga de 30 kN por meio de um suporte em forma de U A barra AB é suportada em A por um pino preso em um suporte duplo enquanto a barra BC está conectada em C a um suporte simples Todos os pinos têm 25 mm de diâmetro a Determinação da tensão normal nas barras AB e BC A força na barra BC é FBC 50 kN tração Relembrando que o diâmetro da barra é 20 mm usamos a Eq 81 para determinar a tensão criada na barra para um dado carregamento Temos P FBC 50 kN 50 10³ N A π r² π 20 mm 2² π 10 10³ m² 314 10⁶ m² σBC PA 50 10³ N 314 10⁶ m² 159 10⁶ Pa 159 MPa No entanto as partes achatadas da barra também estão sob tração e na seção mais estreita na qual está localizado um furo temos A 20 mm40 mm 25 mm 300 10⁶ m² Portanto o valor médio correspondente da tensão é σBCext PA 50 10³ N 300 10⁶ m² 167 MPa 312 Estática e mecânica dos materiais 800 mm 50 mm Q 30 kN Q 30 kN 20 mm 20 mm 25 mm 30 mm 25 mm d 25 mm d 25 mm d 20 mm d 20 mm d 25 mm 40 mm 20 mm A A B B B C C B Vista frontal Vista superior da barra AB Vista da extremidade Vista superior da barra BC Extremidade achatada Extremidade achatada 600 mm Figura 821 Note que se trata de um valor médio Próximo ao furo a tensão realmente terá um valor muito maior como veremos na Seção 915 Está claro que sob uma carga crescente a barra falhará próximo de um dos furos e não na sua parte cilíndrica Seu projeto portanto poderia ser melhorado com o aumento da lar gura ou da espessura das extremidades achatadas da barra Voltando nossa atenção agora para a barra AB recordaremos que a força na barra é FAB 40 kN compressão Como a área da seção transver sal retangular da barra é A 30 mm 50 mm 15 103 m2 o valor médio da tensão normal na parte principal da barra entre os pinos A e B é σAB 40 103 N 15 103 m2 267 106 Pa 267 MPa Observe que as seções de área mínima em A e B não estão sob tensão pois a barra está em compressão e portanto empurra os pinos em vez de pu xálos como faz a barra BC b Determinação da tensão de cisalhamento em várias cone xões Para determinarmos a tensão de cisalhamento em uma conexão como um parafuso pino ou rebite primeiro mostramos claramente as for ças aplicadas pelas várias barras que ela conecta Assim no caso do pino C em nosso exemplo Fig 822a desenhamos a Fig 822b mostrando a 50 kN 50 kN 50 kN a C b c Fb P D D d 25 mm Figura 822 Cap8Beerindd 312 Cap8Beerindd 312 03122012 191020 03122012 191020 Figura 823 força de 50 kN aplicada pela barra BC sobre o pino e a força igual e oposta aplicada pelo suporte Desenhando agora o diagrama da parte do pino localizada abaixo do plano DD em que ocorrem as tensões de cisalhamento Fig 822c concluímos que a força cortante nesse plano é P 50 kN Como a área da seção transversal do pino é A π r² π 25 mm 2² π 125 10³ m² 491 10⁶ m² concluímos que o valor médio da tensão de cisalhamento no pino C é τméd PA 50 10³ N 491 10⁶ m² 102 MPa Considerando agora o pino em A Fig 823 notamos que ele está na condição de cisalhamento duplo Desenhando os diagramas de corpo livre do pino e da parte do pino localizada entre os planos DD e EE em que ocorrem as tensões de cisalhamento concluímos que P 20 kN e que τméd PA 20 kN 491 10⁶ m² 407 MPa Considerando o pino em B Fig 824a verificamos que ele pode ser dividido em cinco partes que estão sob a ação de forças aplicadas pelas barras e pelo suporte Considerando sucessivamente as partes DE Fig 824b e DG Fig 824c concluímos que a força cortante na seção E é PE 15 kN enquanto a força cortante na seção G é PG 25 kN Como a carga do pino é simétrica concluímos que o valor máximo da força cortante no pino B é PG 25 kN e que a maior tensão de cisalhamento ocorre nas seções G e H onde τméd PG A 25 kN 491 10⁶ m² 509 MPa c Determinação das tensões de esmagamento Para determinarmos a tensão de esmagamento nominal em A na barra AB utilizamos a Eq 87 da Seção 85 Da Fig 821 temos t 30 mm e d 25 mm Lembrando que P FAB 40 kN temos σe Ftd 40 kN 30 mm25 mm 533 MPa 314 Estática e mecânica dos materiais Para obtermos a tensão de esmagamento no suporte em A utilizamos t 225 mm 50 mm e d 25 mm σe P td 40 kN 50 mm25 mm 320 MPa As tensões de esmagamento em B na barra AB em B e C na barra BC e no suporte em C são encontradas de forma semelhante 87 Projeto Considerando novamente a estrutura da Fig 815 vamos supor que a barra BC seja feita de aço com uma tensão máxima admissível σadm 165 MPa A barra BC pode suportar com segurança a carga à qual ela está submeti da O valor da força FBC na barra já foi calculada como 50 kN e tensão σBC encontrada foi 159 MPa Como o valor obtido é menor que o valor da tensão admissível do aço utilizado σadm concluímos que a barra BC pode suportar com segurança a carga à qual ela está submetida Deveremos determinar também se as deformações produzidas pela carga são aceitá veis O estudo das deformações sob cargas axiais será discutido no Cap 9 Uma consideração adicional necessária para elementos comprimidos en volve sua estabilidade ou seja sua capacidade para suportar uma dada carga sem apresentar mudança brusca de configuração assunto que será discutido no Cap 16 O papel do engenheiro não se limita à análise das estruturas e das máquinas existentes sujeitas a uma determinada condição de carga Mais importante ainda para o engenheiro é o projeto de novas estruturas e má quinas o que implica a seleção dos componentes aptos a executar cada função específica Como exemplo de projeto vamos voltar à estrutura da Fig 815 e supor que será utilizado o alumínio que tem uma tensão admis sível σadm 100 MPa Como a força na barra BC ainda será P FBC 50 kN sob a carga dada devemos ter então da Eq 81 σadm P A A P σ adm 50 103 N 100 106 Pa 500 106 m2 e como A πr2 r A ϖ 500 106 m2 ϖ 1262 103 m 1262 mm d 2r 252 mm Concluímos que uma barra de alumínio com 26 mm ou mais de diâmetro será adequada Cap8Beerindd 314 Cap8Beerindd 314 03122012 191020 03122012 191020 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Figura 824