Revisão de Matemática: Unidades de Medida e Trigonometria

Aula 02 Revisão Matemática Prof MSc Danilo Messias de Oliveira Email danillomessiasgmailcom 16 de agosto de 2022 ENGENHARIA AGRONÔMICA Topografia 20232 Unidades de medidas Revisão de Trigonometria Plana Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo Triângulo qualquer Leis do seno e cosseno Método de Gauss CONTEUDOS A SEREM ABORDADOS 2 EXEMPLO GRANDEZAS DE MEDIDAS E ANGULARES CONCEITOS FUNDAMENTAIS 2 Unidades de medida linear μm e6 mm e3 cm e2 dm e1 km e3 m polegada 254 cm 00254 m pé 3048 cm 03048 m jarda 9144 cm 09144 m milha brasileira 2200 m Unidades de medida angular 360 400 grados 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜 1rad 5729 1 grado 09 onde 𝜋 3141592 Unidade Sexagesimal grau minuto segundo EXEMPLO GRANDEZAS DE MEDIDAS E ANGULARES CONCEITOS FUNDAMENTAIS 3 Unidades de medida de superfície cm2 e4 km2 e6 m2 are 100 m2 acre 404686 m2 hectare 10000 m2 alqueire paulista 242 ha 24200 m2 alqueire mineiro 484 ha 48400 m2 Unidades de medida volume litro 0001 m3 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO CONCEITOS FUNDAMENTAIS 7 1 Conversão entre unidades lineares a Temse para a medida de distância horizontal entre dois pontos o valor de 12909078 polegadas Qual seria o valor desta medida em quilômetros b O lado de um terreno mede 2650 metros Qual seria o valor deste mesmo lado em polegadas 2 Conversão entre unidades de superfície a Determine o valor em alqueires paulista para um terreno de área igual a 1224567 m2 b Determine o valor em hectares para um terreno de área igual a 586755678 m2 3 Conversão entre unidades angulares a Determine o valor em grados e em radianos para o ângulo 157173065 b Para um ângulo de 1145678 radianos determine em graus minutos e segundos c Converta a coordenada geográfica ϕ 20249746 λ 42034706 para graus minutos e segundos 4 Conversão entre unidades volumétricas a Determine o valor em litros para um volume de 1234 m3 b Determine o valor em m3 para um volume de 1536256 litros 1 Conversão entre unidades lineares a 1 polegada 00254m 12909078 polegadas x x 327890 m 003278 km b 1 polegada 00254 m x 2650 m x 10433070 polegada inglesa 2 Conversão entre unidades de superfície a 1 alqueire paulista 24200 m2 x 1224567 m2 x 005060 alq paulista b 1ha 10000 m2 x 586755678 m2 x 58675 ha 3 Conversão entre unidades angulares a Transformação para 160 1 60 1 60 x 3065 x 051083 Logo 1571751083 160 x 1750583 x 029184 Logo 15729184 1 grado 09 x 15729184 x 1747687 grados 1 rd 5729 x 15729184 x 27312 rd 8 b 1 rd 5729 1145678 rd x x 656358 160 06358 x x 381535 1 60 01535 x x 92136 Logo 6538921 c ϕ 20249746 λ 42034706 ϕ latitude 160 0249746 x x 1498476 1 60 098476 x x 590856 Logo 20145908 λ longitude 160 0034706 x x 208236 1 60 008236 x x 49416 Logo 4202494 3 Conversão entre unidades angulares 4 Conversão entre unidades volumétricas a 1m31000 litros 1234 m3 x litros x 12340 litros b 1m31000 litros x 1536256 litros X 15362 m3 9 VAMOS PENSAR UM POUCO CONCEITOS FUNDAMENTAIS 10 1 Dado o ângulo 1205966 determine o valor correspondente em radiano rd e grau minuto e segundo 2 Sabendose que um alqueire mineiro equivale a um terreno de 220mx220m que um acre equivale a 404686 m2 e que uma porção da superfície do terreno medida possui 38 alqueires mineiro de área determine a área desta mesma porção em acres a 1205966 para e rad Transformação para 160 1 60 160 05966 x x 35796 1 60 0796 x x 4776 Logo 120354776 1 rd 5729 x 1205966 x 2105 rad b 38 alqueires mineiro para acres 1 alqueire 48400 m2 x 404686 m2 1 acres x 0083612 alqueires 1 acres 1 acres 0083612 alqueires x 38 alqueires x 45448 acres 11 EXERCÍCIOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS 12 Soma e subtração de ângulos a 2812 1034 2812 1034 b 192837 84650 192837 084650 3846 277487 160 1 60 87 6027 1 60 277427 1 277527 75 6015 1 60 271527 1 281527 EXERCÍCIOS CONCEITOS FUNDAMENTAIS 13 c 282659 251230 282659 251230 d 90 803245 90 083245 031429 8960 083245 895960 083245 092715 TEOREMA DE PITÁGORAS CONCEITOS FUNDAMENTAIS Está relacionado com o comprimento dos lados do triângulo retângulo Essa figura geométrica é formada por um ângulo interno de 90 chamado de ângulo reto Teorema de Pitágoras a2 b2 c2 a hipotenusa b cateto adjacente c cateto oposto Triângulo retângulo 1 2 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 1 3 CONCEITOS FUNDAMENTAIS EXEMPLO No triângulo abaixo determinar as relações solicitadas sen α 1 2 cos α 3 2 tg α 1 3 sen β 3 2 cos β 1 2 tg β 3 3 1 É importante lembrar que as funções trigonométricas são adimensionais ou seja para qualquer unidade que esteja sendo utilizada elas sempre se simplificarão 1 4 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO É uma representação gráfica que auxilia no cálculo das razões trigonométricas CONCEITOS FUNDAMENTAIS 1 5 EXEMPLO Um topografo foi chamado para obter a altura de um edifício Para fazer isto ele colocou um teodolito instrumento ótico para medir ângulos a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30 como indicado na figura abaixo Sabendo que a luneta do teodolito está a 15 metro do solo podese concluir que a altura do edifício em metro é R 11697 m CONCEITOS FUNDAMENTAIS 15 CÁLCULO DE ÁREA CONCEITOS FUNDAMENTAIS Retângulo Triangulo qualquer 17 Triângulo retângulo Trapézio Circunferência CÁLCULO DE ÁREA CONCEITOS FUNDAMENTAIS Triângulo qualquer 18 a2 b2 c2 2bc x cosα P a b c 2 A P x Pa x Pb x Pc Mas afinal e as figuras irregulares PLANO CARTESIANO É um método que consiste em dois eixos perpendiculares que pertencem a um plano em comum com o objetivo de demostrar a localização de alguns pontos no espaço CONCEITOS FUNDAMENTAIS 1 9 COORDENADAS CARTESIANAS CONCEITOS FUNDAMENTAIS Com essas coordenadas polares Azimute Az associando o Círculo com Trigonométrico é possível calcular as coordenadas retangulares X sen Az x DH 2 0 Y cos Az x DH EXEMPLO CONCEITOS FUNDAMENTAIS A B C D Coordenadas polares e distância horizontal Ponto A Azα 11 DH 11545 m Ponto B Azβ 34 DH 16408 m Ponto C Azγ 62 DH 6238 m Ponto D Azδ 85 DH 17978 m α β δ γ N 21 EXEMPLO CONCEITOS FUNDAMENTAIS Coordenadas retangulares Ponto X Y A 220288 1133288 B 917523 1360284 C 550782 292856 D 1790958 156688 X A B C D X sen Az x DH Y cos Az x DH 0 Y 150 200 22 MÉTODO DE GAUSS Método de Gauss baseiase no cálculo da dupla área da poligonal sendo o método utilizado pelo AutoCAD para o cálculo da área em que considera apenas as coordenadas X e Y dos pontos CONCEITOS FUNDAMENTAIS 23 EXEMPLO CONCEITOS FUNDAMENTAIS X Y 1 100 100 2 100 200 3 200 200 4 200 100 1 100 100 X Y 1 100 100 2 100 200 3 200 200 4 200 100 1 100 100 Sentido 1 Y x X i i1 Yi x Xi1 100 x 100 100 x 100 100000 Sentido 2 Xi x Yi1 Xi x Yi1 100 x 200 800 x 100 80000 S 05 x Sentido 1 Sentido 2 05 x 100000 80000 05 x 20000 10000 m2 Perceba que os pontos possuem as seguintes coordenadas X e Y Sentido 1 Sentido 2 21 VAMOS PENSAR UM POUCO CONCEITOS FUNDAMENTAIS X Y A 7000000 7000000 B 9657426 9278278 C 11638477 8999887 D 12024519 7550124 E 9436967 7797396 A E x Calcule a área do objeto com base no método de Gauss considerando as coordenadas abaixo y B C D 22 PRÓXIMAS AULAS Representação gráfica Escalas e desenhos topográficos Erros topográficos 23