Cálculo de Limites: Propriedades e Aplicações Práticas

Cálculo de limites leis básicas de limites APRESENTAÇÃO Na matemática a análise gráfica de uma função é uma ferramenta poderosa mas em algumas sit uações traçar o gráfico da função pode não ser uma tarefa trivial se não tivermos acesso a uma ferramenta digital No entanto algumas funções possuem gráficos equivalentes a menos de alguns pontos de seus domínios Nestes pontos em que as funções se distinguem o conceito de limite e suas proprieda des podem auxiliar e por isso a importância de se estudar suas leis básicas Nesta Unidade de Aprendizagem você vai estudar quatro propriedades particulares de limites a lei da soma a lei do múltiplo constante a lei do produto e a lei do quociente Essas propriedades serão fundamentais no cálculo de limites numéricos que aparecem com frequência em problema s aplicados Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Enumerar as leis básicas de limite Utilizar as propriedades de limites no cálculo de limites numéricos Analisar os resultados dos cálculos realizados DESAFIO O conceito de funções é um dos mais importantes na resolução de problemas envolvendo model agem matemática Empresas e fábricas modelam suas produções por funções de modo que ente nder o comportamento dessas funções auxilia na tomada de decisões por parte dos administrador es Na matemática o estudo do comportamento de uma função fx à medida que o valor de x se apr oxima de um dado valor a é conhecido como limite Você é gerente de produção de uma montadora de automóveis e foi incumbido da missão de ma ximizar a produção de automóveis Para essa tarefa você vai precisar modernizar a fábrica com recursos limitados e após estudos p reliminares concluiu que representa o tempo mínimo para essas adequações Se t é dado em anos qual o tempo necessário para que essas mudanças sejam concluídas INFOGRÁFICO O estudo de limites é fundamental para compreender o comportamento de uma função No entan to muitas funções podem ser apresentadas como soma produto ou quociente de funções mais si mples Nestes casos para se chegar ao valor do limite é necessário utilizar algumas propriedades básic as conhecidas como leis básicas de limites que serão apresentadas neste infográfico CONTEÚDO DO LIVRO O domínio das leis básicas de limites auxilia na determinação do comportamento das funções na vizinhança de um ponto Desta forma é possível verificar se a função em estudo é contínua em t odo o seu domínio por exemplo Acompanhe no trecho selecionado da obra Cálculo Vol 1 uma discussão das leis básicas de limites usadas para calcular os limites de funções construídas como somas múltiplos produtos ou quocientes de outras funções Inicie a leitura a partir do tópico Leis básicas de limites Bons estudos CÁLCULO JON ROGAWSKI VOLUME 1 R721c Rogawski Jon Cálculo recurso eletrônico Jon Rogawski tradução Claus Ivo Doering Dados eletrônicos Porto Alegre Bookman 2008 v 1 Editado também como livro impresso em 2009 ISBN 9788577803897 1 Cálculo 2 Matemática I Título CDU 513 Catalogação na publicação Renata de Souza Borges CRB10Prov02108 60 CÁLCULO 23 Leis básicas de limites Na Seção 22 investigamos limites e estimamos seus valores a partir de uma abordagem gráfi ca e numérica Nas quatro próximas seções iremos além dessa abordagem intuitiva e desenvolveremos ferramentas para calcular os limites de uma maneira precisa Nesta seção discutimos as leis básicas de limites usadas para calcular os limites de funções construídas como somas múltiplos produtos ou quocientes de outras funções TEOREMA 1 Leis básicas de limites Suponha que existam e Então i Lei da Soma ii Lei do Múltiplo Constante dado qualquer número k iii Lei do Produto iv Lei do Quociente se então As provas dessas leis serão discutidas na Seção 28 e no Apêndice D Contudo argumentando informalmente podemos entender as idéias subjacentes Por exemplo para provar a lei da soma observe que se f x estiver perto de L e gx estiver perto de M quando x c for sufi cientemente pequeno então f x gx deverá estar perto de L M quando x c for sufi cientemente pequeno De maneira análoga f xgx deverá estar perto de LM etc Antes de passar aos exemplos apresentamos duas observações úteis Em primeiro lugar as leis da soma e do produto são válidas para qualquer número de funções Por exemplo CAPÍTULO 2 Limites 61 Em segundo lugar a lei da soma tem o contraponto para diferenças Isso não está listado separadamente porque segue da combinação das leis da soma e do múltiplo constante EXEMPLO 1 Use as leis de limite para calcular os limites seguintes a b c Solução a Pelo Teorema 1 da Seção 22 para qualquer c Como é igual ao produto podemos aplicar a lei do produto b Primeiro utilizamos a lei da soma para três funções Em seguida calculamos cada limite usando as leis do múltiplo constante e do produto Obtemos c Usamos as leis do quociente da soma e do múltiplo constante O próximo exemplo reforça que as leis de limites somente são aplicáveis quando os limites de f x e gx existirem EXEMPLO 2 Hipóteses importam Mostre que a lei do produto não pode ser aplicada a se e Solução A função produto é para x 0 portanto o limite do produto existe As leis de limites são aplicadas passo a passo na solução do Exemplo 1 para ilustrar como elas são utilizadas Na prática consideramos as leis de limites como sendo evidentes e pulamos os passos intermediários 62 CÁLCULO Contudo não existe porque tende a quando e a quan do de modo que a lei do produto não pode ser aplicada e sua conclusão não vale 23 RESUMO As leis de limites afi rmam que se existirem ambos e então i ii iii iv se então Se não existir ou então as leis de limites não podem ser aplicadas Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra DICA DO PROFESSOR Conhecer as leis básicas de limites é fundamental na resolução de problemas É importante sabe rmos aplicálas adequadamente para que assim que nos sentirmos seguros podermos pular algu ns passos intermediários ganhando tempo nas resoluções No vídeo a seguir você verifica uma síntese das leis básicas de limites e também alguns exempl os Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar EXERCÍCIOS 1 Ao calcularmos limites muitas vezes necessitamos utilizar propriedades Uma das ma is utilizadas é conhecida como lei da soma Utilizando a lei da soma analise o compor tamento da função e marque a alternativa correta A 4 B 2 C 10 D 14 E 45 2 Ao calcularmos um limite pode ser necessário utilizar mais de uma propriedade Assi m utilizando as propriedades adequadas determine o limite da função A 2 B C D E 0 3 Em geral listamos 4 leis básicas de limites soma múltiplo constante produto e quoci ente No entanto a lei da soma tem seu contraponto para a diferença e as leis da soma e produto podem ser utilizadas para qualquer número de funções Também podemos utilizar mais de uma lei no mesmo problema Com base no exposto qual o valor de A Não existe este limite B 02 C 03 D 04 E 07 4 Na prática do cálculo de limites podemos utilizar uma ou mais leis para chegar ao re sultado Assim aplique as leis básicas de limites adequadas para calcular A 0 B Não existe limite C D E 4 5 No início do estudo das leis básicas de limites as leis são aplicadas passo a passo para compreendermos como elas são utilizadas Na prática podemos considerar as leis de l imites como sendo evidentes e pulamos os passos intermediários Assim calcule A 6 B 5 C 3 D 2 E 0 NA PRÁTICA Muitos problemas aplicados são resolvidos utilizando modelagem matemática onde procuramos um modelo matemático que possa descrever adequadamente a situação para que possamos reali zar previsões Para esse trabalho o conceito de função é fundamental sendo necessário em algu ns casos calcular o limite da função em questão Calcular o limite de uma função é estudar seu c omportamento na vizinhança de pontos que podem não pertencer ao seu domínio Acompanhe um exemplo de como esse conceito pode ser aplicado no contexto de uma indústria Os gestores de uma indústria estão preocupados em monitorar o consumo de água Para isso co ntrataram uma equipe técnica para modelar a situação Aplicando as leis básicas de limite na função consumo Ct é possível verificar que ela é contínu a nos limites dos intervalos dados Ou seja no segundo e oitavo anos não houve um aumento e nem uma queda brusco de consumo Também segundo esta função o consumo tende a manter se constante após o oitavo ano Logo saber utilizar as regras de limite auxilia na compreensão do comportamento de funções qu e descrevem o consumo de produtos por exemplo podendo assim contribuir com o seu control e SAIBA Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professo r Limites e Continuidade No capítulo 1 esse livro aborda detalhadamente os conceitos de limites e continuidade Especifi camente na seção 12 Calculando Limites são discutidas técnicas algébricas para o cálculo de limites incluindo as leis básicas de limites estudadas nesta Unidade de Aprendizagem que são apresentadas no teorema 122 Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Leis do Limite Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar Cálculo Propriedades dos Limites Aula 4 de 15 Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar