Derivadas de Funções de uma Variável: Conceitos e Aplicações

Derivada de funções de uma variável APRESENTAÇÃO Dentro do cálculo diferencial e integral as operações de diferenciação por meio do uso de deriv adas permitem a solução de um grande número de problemas matemáticos físicos e químicos O uso de derivadas permite calcular taxas de variação de funções que modelam comportamentos de fenômenos das mais variadas áreas do conhecimento como por exemplo a v elocidade e a aceleração Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade é necessário o conhecimento sob re limites e funções de précálculo Nesta Unidade de Aprendizagem é apresentado o estudo de derivadas de funções de uma variáv el A definição de derivada e seu significado geométrico como coeficiente angular da reta tangen te a função são conceitos presentes bem como derivadas de funções polinomiais e aplicações en volvendo taxas de variação Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Reconhecer derivada como coeficiente angular da reta tangente à função Demonstrar derivadas pela definição Reconhecer o conceito de taxa de variação instantânea e aplicações DESAFIO Na simulação de problemas físicos modelos matemáticos são idealizados e em seguida solucio nados para a previsão de um modelo experimental Considerando a área automobilística um carro de alta performance está em desenvolvimento e n ecessita de melhorias para melhor o desempenho em certas partes do circuito Diante disso a Apresente a função que represente a variação de velocidade do veículo durante a execução de sse trajeto b Qual o valor da aceleração para x 2s INFOGRÁFICO O cálculo de funções de uma variável pode necessitar da solução com o uso de derivadas Algu mas funções como as polinomiais apresentam formas gráficas distintas e difíceis de serem aval iadas quanto ao seu grau de inclinação mostrando suas tendências de alta e baixa Diante disso a derivada é um operador necessário para obter as retas tangentes de funções não li neares As técnicas de derivação também variam em função do tipo de sua estrutura trigonomét rica polinomial etc Veja no Infográfico o conceito geométrico da derivada em relação a uma função e a técnica de derivação de funções potência A DERIVADA CONCEITO GEOMÉTRICO E TÉCNICA DE DERIVAÇÃO A derivada é um operador do cálculo diferencial e integral responsável pela solução de problemas complexos Uma das possibilidades de uso da derivada é a obtenção da equação de reta tangente a uma curva mostrando assim a variação da inclinação de uma curva conforme varia o seu ponto no eixo x Derivada y fx fx₀ O gráfico apresenta a reta y kx b que tangencia a função y f x no ponto de tangência com abscissa x₀ Na medida movemos as abscissas obtemos novas retas tangentes a y f x A derivada corresponde ao coeficiente angular da reta tangente aqui denominado por k na equação da reta Em polinômios a derivação se dá pela regra da potência apresentada por d dx xⁿ n xⁿ¹ De forma prática vemos o exemplo fx x² 2x fx 4 x¹ 2 1x¹ fx 4 x 2 Por meio da regra da potência o expoente da variável cai ao lado esquerdo como uma constante multiplicando e subtrai o expoente em uma unidade mostrando que o x¹ se torna 4x¹ e 2x passa a ser 2 CONTEÚDO DO LIVRO No cálculo diferencial e integral o uso de derivadas é uma operação constante para a resoluções de problemas matemáticos físicos de engenharia e em outras áreas como biologia e economia O aprendizado das derivadas e suas aplicações em funções é necessário para a determinação de r etas tangentes ou para avaliação de taxas de variação por exemplo Existem diversas técnicas de derivação entre elas uma bem conhecida é a regra da potência que pode ser aplicada a funções polinomiais No capítulo Derivada de funções de uma variável base teórica desta Unidade de Aprendizagem você verá o que é a derivada e sua aplicação junto à definição de retas tangentes e taxas de varia ção Você também verá a técnica de derivação aplicada a funções polinomiais Boa leitura CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Reconhecer derivada como coeficiente angular da reta tangente à função Demonstrar derivadas pela definição Reconhecer o conceito de taxa de variação instantânea e aplicações Introdução O cálculo diferencial e integral utiliza o operador de derivada para obter e solucionar diversos problemas matemáticos A princípio a derivada pode ser relacionada com a taxa de variação de uma função em razão de uma variável o que graficamente pode representar por exemplo o grau de inclinação de uma reta Esse operador é utilizado em várias áreas do conhecimento como engenharia economia química biologia etc Neste capítulo veremos como reconhecer a derivada como o coeficiente angular de uma reta Além disso vamos demonstrar derivadas pela defini ção e conceituar taxa de variação instantânea bem como exemplificar suas aplicações Derivada de funções de uma variável Everton Coelho de Medeiros Derivada e coeficiente angular De acordo com a geometria analítica uma reta descrita em um plano carte siano é definida pelo seus coeficientes linear e angular O coeficiente linear trata da translação vertical de uma reta ao passo que o coeficiente angular mostra o grau de inclinação de uma reta STEWART 2013 Veja um exemplo da equação de uma reta y a x b onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear Em uma reta o coeficiente angular pode ser dado pelo valor da tangente do ângulo dessa reta Figura 1 tg 2 1 2 1 Perceba que a diferença y2 y1 se trata do cateto oposto enquanto x2 x1 é o cateto adjacente Dessa forma a divisão entre eles gera a tangente do ângulo α Esse ângulo está entre o eixo x e a reta fx o que pode ser visto porque o cateto adjacente é paralelo ao eixo x indicado na Figura 1 Figura 1 Coeficiente angular de uma equação de reta Fonte Adaptada de Santos e Ferreira 2009 Derivada de funções de uma variável 2 A partir de dois pontos pertencentes à reta fx é possível determinar o valor do coeficiente angular de uma reta Veja no exemplo a seguir a obtenção desse valor Dado uma reta onde os pontos A 01 e B 25 a ela pertencem calcule o coeficiente angular Calculando o valor coeficiente angular como visto anteriormente 5 1 2 0 4 2 2 No entanto nem todas as funções são lineares Assim o coeficiente li near para uma função que não é uma reta passa a ser um valor instantâneo STEWART 2013 Por isso podemos utilizar a equação de uma reta como uma reta tangente à função não linear para determinar seu grau de inclinação naquele ponto Figura 2 Figura 2 Reta tangente a uma função não linear Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 133 Derivada de funções de uma variável 3 Ao escolher os pontos para determinar o coeficiente angular da reta se esses pontos forem distantes um falso valor do coeficiente angular da reta tangente pode emergir pois a reta tangente toca a curva em um único ponto ponto P Se a reta tocar em dois pontos da mesma curva teremos um coeficiente angular de uma reta chamada de secante reta que contém P e Q Veja na Figura 2 que a reta tangente toca unicamente em P quando x0 já a reta secante toca em P e Q Temos então de aproximar os pontos P e Q para o mais perto possível e assim ter o valor do coeficiente angular dessa reta HOFFMANN 2018 Por isso a equação deve ser atribuída ao operadorlimite para diminuir a diferença da distância entre os pontos lim ℎ0 lim ℎ0 0 ℎ 0 0 ℎ 0 lim ℎ0 0 ℎ 0 ℎ Deixando de uma forma mais simples vamos aplicar esse cálculo do co eficiente angular em cima da função no exemplo a seguir Calcule o coeficiente angular da função a seguir no ponto P 21 2 Para calcular o valor do coeficiente angular utilizamos a equação lim ℎ0 ℎ ℎ onde ℎ 2 ℎ 2 Derivada de funções de uma variável 4 Substituindo o ponto P 21 2 ℎ 2 2 ℎ 2 2 1 Aplicando no limite lim ℎ0 2 2 ℎ 1 ℎ lim ℎ0 1 2 ℎ 1 2 Analisando a função dada e a equação tangente no ponto P 21 o resultado é visto na Figura 3 Figura 3 Equação tangente no ponto P da função y 2x Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 133 Derivada de funções de uma variável 5 É necessário aplicar o operadorlimite no cálculo do coeficiente angular de uma reta tangente levando a diferença de valor para uma tendência de zero Caso seja feito com a diferença de pontos distintos e distantes o coeficiente angular não corresponde à reta tangente correta para o ponto P analisado Nesta seção estudamos sobre o coeficiente angular de retas e sua aplica ção na forma instantânea para obter retas tangentes em funções não lineares de forma a avaliar o grau de inclinação de um ponto utilizando o recurso de limite para diferenças pequenas Em seguida veremos a definição de derivada e uma de suas técnicas de aplicação em funções polinomiais Definição de derivada A inclinação da reta tangente apresentada anteriormente pode ser interpretada como variação instantânea da função fx em relação à variável x STEWART 2013 Com base na formulação a derivada pode ser conceituada como lim ℎ0 ℎ ℎ onde que f representa a derivada Outras formas de representação de deri vadas são apresentadas abaixo STEWART 2013 A primeira derivada também é conhecida como notação de Lagrange e a segunda como notação de Leibniz A terceira por fim é conhecida como notação de Newton Veja a seguir um exemplo de cálculo de derivada de uma função poli nomial de 3º grau Derivada de funções de uma variável 6 Calcule a derivada da função a seguir fx x3 x Aplicando o limite com h tendendo a zero lim ℎ0 ℎ ℎ onde fx h x h3 x h fx x3 x Substituindo no limite lim ℎ0 ℎ ℎ lim ℎ0 ℎ lim ℎ0 ℎ3 ℎ ℎ lim ℎ0 3 ℎ lim ℎ0 3 3 2ℎ 3 ℎ2 ℎ3 ℎ ℎ lim ℎ0 3 ℎ Agrupando os limites lim ℎ0 3 3 2ℎ 3 ℎ2 ℎ3 ℎ 3 ℎ lim ℎ0 3 3 2ℎ 3 ℎ2 ℎ3 ℎ 3 ℎ Simplificando e dividindo o que sobrou por h lim ℎ03 2 3 ℎ ℎ2 1 3 2 1 Derivada de funções de uma variável 7 Analisando o resultado perceba que a inclinação da reta tangente a função fx agora é uma função e vai variar em função do ponto escolhido Por isso o resultado de uma derivada será na forma de uma expressão matemática Veja na Figura 4 a função original fx e a derivada fx Figura 4 A função original fx e a derivada fx Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 145 Se percebemos bem o resultado da derivada em comparação com a função original podemos já definir uma regra de como aplicar derivada em funções polinomiais A técnica de derivação em polinômios é chamada de regra da potência e se baseia a seguir STEWART 2013 1 Em um polinômio portanto devemos olhar para o seu expoente e descer ele ao lado da variável diminuindo o valor de um HOFFMANN 2018 Vale ressaltar que se houver um número constante a derivada é nula pois uma reta constante não tem grau de inclinação e logo não terá derivada Veja a seguira um exemplo de aplicação dessa técnica Derivada de funções de uma variável 8 Calcule a derivada da função polinomial a seguir fx 4x5 2x4 x3 10x2 12x 80 Aplicando a regra da potência para cada parcela do polinômio acima 4 5 2 4 3 10 2 12 80 4 5 51 2 4 41 3 31 2 10 21 1 12 11 0 20 4 8 3 3 2 20 1 12 Também é possível realizar derivadas sucessivas ou seja após o cálculo de uma derivada realizar nova derivada Para isso a nomenclatura desse tipo de derivada passa a ter algumas modificações por exemplo 2 2 Perceba que os índices aumentam à medida que os números de derivadas aumentam Veja no exemplo a seguir o cálculo de derivada sucessiva de um polinômio Calcule a derivada sucessiva de terceira ordem da função polinomial a seguir fx x6 10x5 2x4 Derivada de funções de uma variável 9 Derivando pela primeira vez 6 10 5 2 4 6 61 10 5 51 2 4 41 6 5 50 4 8 3 Derivando pela segunda vez 6 5 50 4 8 3 6 5 51 50 4 41 8 3 31 30 4 200 3 24 2 Derivando pela terceira vez 30 4 200 3 24 2 30 4 41 200 3 31 24 2 21 120 3 600 2 48 Após vermos a definição da derivada a partir da formulação aplicada à inclinação de retas tangentes estudamos as diferentes representações matemáticas Também apresentamos a técnica de derivação de funções polinomiais e derivações sucessivas junto com exemplos Veja a seguir mais sobre o que é a taxa de variação e sua aplicação em alguns campos Derivada de funções de uma variável 10 Taxa de variação A taxa de variação é um ponto de observação que é aplicado a diversas áreas como na biologia para medir a taxa de crescimento de bactérias de uma colônia em função do tempo na engenharia para obter a taxa de dilatação de um material em função da temperatura na economia para descobrir a taxa do custo de produção em função da quantidade de produtos e na medicina para obter taxa de dilatação da artéria em função da pressão sanguínea Sua obtenção matemática passa pela aplicação da derivada sobre uma função determinada STEWART 2013 Um exemplo clássico é a taxa de variação aplicada para descobrir a velocidade de um automóvel Figura 5 Quando utilizamos dois pontos de um trajeto e anotamos a diferença do tempo para percorrer os dois pontos obtemos uma velocidade média visto que há um valor de delta entre os pontos Logo a velocidade média é dada pela função Quando desejamos saber a velocidade instantânea devemos aproximar a diferença de tempo tendendo a zero Assim a velocidade no momento será lim 0 Figura 5 Taxa de variação no cálculo de velocidade Fonte Kilhian 2009 documento online Derivada de funções de uma variável 11 Na Figura 5 a curva representa a função ft enquanto x Δx é o ponto superior do cateto oposto x é o ponto inferior do cateto oposto t é o ponto mais à esquerda do cateto adjacente e t Δt é o ponto mais à direita do cateto adjacente A divisão entre o cateto oposto e o adjacente levam a obter o valor da tangente do ângulo α de inclinação da taxa de variação Veja a seguir o exemplo de aplicação do cálculo de taxa de variação de evolução de uma bactéria em função do tempo Dada a equação que trata da evolução do crescimento de uma bac téria em função do tempo ft t2 1 1 encontre a taxa de variação média em relação ao intervalo 35 s 2 encontre a taxa de variação instantânea quando t 1 s Encontrando os valores de bactérias nos tempos fornecidos f3 32 1 9 1 10 f5 52 1 25 1 26 a taxa de variação média será taxa média 5 3 5 3 26 10 5 3 8 Para encontrar a taxa de variação instantânea aplicamos a derivada na função ft taxa instantânea 2 1 2 No instante t igual 1 s a taxa de variação instantânea será f1 2 1 2 Derivada de funções de uma variável 12 Não é possível derivar algumas funções em todo seu domínio como as funções que apresentam descontinuidade e não são diferenciáveis Neste capítulo vimos o que é a taxa de variação aplicada e a diferença entre taxa de variação média e instantânea Essas taxas podem ser aplica das a vários campos e pelo uso do operador de derivada é possível obter a taxa instantânea Também estudamos sobre derivadas de funções de uma variável começando pelos conceitos de coeficiente angular e reta tangente informações que dão a base para a introdução teórica da derivada Além disso vimos uma das técnicas de derivação chamada de regra da potência que é aplicada a funções polinomiais Referências ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 v 1 HOFFMANN L D et al Cálculo um curso moderno e suas aplicações 11 ed Rio de Janeiro LTC 2018 KILHIAN K Velocidade instantânea In O BARICENTRO da mente S l 2009 Disponível em httpswwwobaricentrodamentecom200905velocidadeinstantaneahtml Acesso em 16 jan 2021 SANTOS F J FERREIRA S F Geometria analítica Porto Alegre Bookman 2009 STEWART J Cálculo 7 ed São Paulo Cengage Learning 2013 v 1 Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu funcionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links Derivada de funções de uma variável 13 Contéudo DICA DO PROFESSOR O cálculo analítico de derivadas exige o conhecimento de técnicas de derivação As derivadas sã o utilizadas para determinação de taxas de variação e retas tangentes de funções Para funções p olinomiais a regra da potência é o recurso ideal para a solução do cálculo diferencial por deriva das Nesta Dica do Professor você verá exemplos da técnica de derivação de funções potência Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar EXERCÍCIOS 1 O cálculo diferencial e integral inclui o operador de derivação Esse operador permit e a solução e a obtenção de equações com significados gráficos Entre elas se destaca a equação A simplificada da curva B de reflexão da curva C por partes da curva D complementar à curva E da reta tangente ao ponto A partir da avaliação do crescimento populacional de mosquitos em um bairro em u 2 ma cidade foi obtida a seguinte função fx6x3300x fx é a população em milhares e x o tempo em anos Calcule a taxa de variação qu ando x for igual a 10 anos A 1000 ano B 2500 ano C 2000 ano D 1500 ano E 3000 ano 3 A partir da avaliação da dispersão de calor sobre uma parede irradiada pela luz do So l observase a temperatura em C conforme se aprofunda em mm na sua espessura se ndo obtida a seguinte função Cx é a temperatura na parede e x a profundidade em mm Qual é a profundidade p ara que a taxa de variação seja de 45oCmm A 10mm B 18mm C 20mm D 23mm E 25mm 4 A partir da avaliação da variação da quantidade de processamento de uma máquina de reciclagem de latinhas em kg conforme varia o tempo foi obtida a seguinte funçã o Wx0001x3015x275x Wx é a capacidade de reciclagem e x o tempo em horas Calcule a taxa de variação quando x for igual a 10 horas A 5kgh B 48kgh C 42kgh D 61kgh E 52kgh 5 A partir da avaliação da variação da quantidade em mg de CO retida em um filtro de uma chaminé conforme varia o tempo foi obtida a seguinte função Rx é a quantidade de CO retida e x o tempo em meses Calcule a taxa de variação CO quando x for igual a 10 meses Ainda neste exercício todas as alternativas estão com a seguinte unidade de medida mgmeses o cliente pede para que seja modificado por mgmês A 018mgmeses B 18mgmeses C 10mgmeses D 18mgmeses E 2mgmeses NA PRÁTICA O uso de derivadas permite a obtenção de retas tangentes a uma curva em análise podendose a ssim verificar o seu grau de inclinação conforme variam seus pontos Quanto mais inclinada um a reta maior seu grau de inclinação e portanto para uma curva maior seu grau de crescimento ou queda Momentos em que a reta tangente se torna paralela ao eixo horizontal são momentos i mportantes que indicam uma máxima ou mínima condição de determinada curva Na economia quando é analisada a quantidade de produto a ser ofertado em relação à demanda devese procurar um equilíbrio para que haja o número disponibilizado de um produto sem have r falta e desperdício Essa condição é chamada de otimização Acompanhe Na Prática uma relação de oferta de um produto expressada como uma função poli nomial Ao realizar a derivada é possível perceber o máximo possível de disponibilidade de pro duto OTIMIZAÇÃO DE DISPONIBILIZAÇÃO DE PRODUTO A otimização acontece quando a reta tangente de uma curva se torna paralela ao eixo x Nesse momento o valor da equação da derivada que representa a reta tangente é igual a zero Igualando a função igual a zero temse o valor de x que representa o ponto ótimo do gráfico simbolizando por exemplo o máximo de uma função antes de derivada Julia é coordenadora da produção de uma indústria de cosméticos e deseja saber o ponto ótimo de oferta para o mercado de um de seus shampoos Assim iniciou os cálculos e chegou a seguinte função de disponibilidade de produto onde x está em milhares de unidades fx 2x² 5x 2 Para obter a reta tangente é aplicada a derivada sobre a função fx 4x 5 O ponto de máximo acontece quando a derivada é igual a zero portanto 4x 5 0 x 54 125 A partir do resultado ela gerou o gráfico Dessa forma Julia compreendeu que o ponto ótimo de oferta desse shampoo no mercado é de 125 milhares de unidades e marcou uma reunião para ajustar a produção SAIBA Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professo r Derivadas definição propriedades e alguns primeiros exemplos Neste link assista a uma aula a respeito da definição de derivadas propriedades e alguns exempl os ministrada pelo professor Alexandre Lymberopoulos do IMEUSP Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar Reta tangente e aproximação linear Veja neste link uma aula a respeito da reta tangente e da aproximação linear ministrada pelo pr ofessor Claudio Possani da UNIVESP Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar Cálculo V1 Leia neste livro a partir do Capítulo 2 Derivadas mais informações importantes sobre deriva das de funções Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Problemas de otimização no contexto das derivadas Veja neste Relatório da Prática de Ensino Supervisionada da mestre Joana Filipa Oliveira Cabr al da Universidade de Lisboa um pouco mais sobre otimização e uso de derivadas Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar Lista de exercícios Para aprender Derivada de funções de uma variável é importante que você treine fazendo divers os exercícios Para tanto baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar