Integral Definida e Cálculo de Áreas

Integral definida e cálculo de áreas APRESENTAÇÃO Tradicionalmente parte do cálculo é voltada para o estudo das retas tangentes e das taxas de vari ação Essa parte é denominada de cálculo diferencial Outra parte a ser tratada neste módulo de nominada de cálculo integral é voltada à determinação de áreas volumes e muitas outras aplicaç ões No cálculo integral apresentase o conceito de antiderivada estabelecendo claramente a relação entre diferencial e antidiferencial em que é possível discutir o conceito de área sob uma curva Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade é necessário que compreenda as técnicas para a obtenção das antiderivadas das funções e esteja familiarizado com as integrais in definidas Nesta Unidade de Aprendizagem você verá uma expansão do conceito de integral Será discutid o em mais detalhes o método do retângulo ou método da antiderivada introduzindo o conceito d e integral definida o qual liga o conceito de área a outros conceitos importantes como comprim ento volume densidade probabilidade e trabalho Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Reconhecer o conceito da soma de Riemann na definição de integral definida Aplicar a integral definida no cálculo de áreas utilizando as estratégias de integração adequ adas Resolver problemas por meio de integrais definidas DESAFIO As integrais são capazes de muito mais que apenas representar áreas sob curvas ou entre curvas Elas são intimamente relacionadas com derivadas Isso pode ser facilmente observado no caso d e expressões relacionadas ao MRUV Você está estudando uma partícula que se move sobre um eixo de tal forma que a sua velocidad e no instante t é vt t2 2t ms Com base nisso você precisa encontrar a o deslocamento da partícula no intervalo 0 t 3 b a distância total percorrida por ela no mesmo intervalo INFOGRÁFICO No estudo de derivadas determinase que a aceleração de um móvel pode ser obtida como a tax a de variação da velocidade e que a velocidade é obtida como tempo do deslocamento do móvel Mas o que significaria o processo inverso Como retornar da aceleração ao deslocamento e o que isso significa No Infográfico a seguir você poderá observar os caminhos matemáticos de ida e volta entre a ac eleração e o deslocamento e suas relações CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL CONTEÚDO DO LIVRO As integrais definidas são calculadas em intervalos definidos e representam a área sob uma curv a ou ainda entre curvas e essas áreas podem ser calculadas com o uso do método do retângulo q ue divide a área demarcada em infinitos retângulos No capítulo Integral definida e cálculo de áreas base teórica desta Unidade de Aprendizagem v ocê verá a relação entre a soma de Riemann e a integral definida e estudará o uso da integral defi nida no cálculo de áreas e outras aplicações Boa leitura Integral definida e cálculo de áreas OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Reconhecer o conceito da soma de Riemann na definição de integral definida Aplicar a integral definida no cálculo de áreas utilizando as estratégias de integração adequadas Resolver problemas por meio de integrais definidas Introdução De Arquimedes a Newton o estudo das áreas sobre uma curva sempre foi objeto de interesse nas mais diversas aplicações da matemática nas ciências não somente pelo desafio intelectual que esse cálculo provoca mas especialmente pelas informações que esse resultado revela com relação aos fenômenos estudados Neste capítulo você vai explorar o uso das integrais para o cálculo de áreas e os possíveis significados que essas áreas adquirem conforme a aplicação Ao trabalhar o conceito de uma integral definida serão retomadas as técnicas de integração exploradas no estudo das integrais indefinidas Além disso você poderá identificar a relação entre a soma de Riemann e as integrais definidas bem como resolver uma série de problemas aplicados por meio do uso de integrais definidas Integral definida e a área Nesta seção serão abordados o problema do cálculo de áreas sob curvas suas técnicas e métodos de forma Integral definida e cálculo de áreas Milena Wollmann da Silva O problema do cálculo da área sob curva pode ser interpretado da seguinte forma dada uma função contínua f nãonegativa no intervalo a b achar a área entre o gráfico de f no intervalo a b e o eixo x As fórmulas para a área das figuras geométricas básicas são conhecidas desde os primeiros registros do estudo da geometria O primeiro avanço concreto na solução do problema acima foi proposto por Arquimedes 287 aC212 aC Essa técnica apesar de engenhosa era incômoda e longa ficou conhecida como o método da exaustão No século XVII matemáticos descobriram formas mais práticas e rápidas de determinar essas áreas utilizando limites Os maiores avanços neste campo podem ser atribuídos a Newton e a Leibniz que descobriram que as áreas podiam ser determinadas revertendo o processo de diferenciação Antes de falar sobre métodos para cálculos de áreas sobre as curvas é necessário ter uma definição precisa do termo área Partindo do princípio de que os cálculos de área das figuras de contornos retos polígonos e da circunferência são conhecidos como são feitos os contornos curvilíneos conforme proposto na Figura 1 a seguir Figura 1 Problema da área x a x b y fx A área X y O foco portanto é definir formalmente o que entender como área de uma região R limitada pelo eixo x lateralmente pelas retas verticais x a e x b e acima pela curva y f x onde f é contínua não negativa no intervalo a b lembrando que a área de um retângulo é o produto de sua largura por seu comprimento Veja a seguir uma sequência de passos para obter uma expressão para área da região R Integral definida e cálculo de áreas 2 1º Passo dividir o intervalo a b em n subintervalos iguais conforme a Figura 2 Figura 2 Subdivisões 1º Passo x a x b xx1 x1x2 y fx A área X y Definir a área R como sendo o limite das áreas das regiões aproximantes de Rn isto é lim Utilizando notação matemática suponha que o intervalo a b tenha sido divido em n subintervalos introduzindose n 1 pontos igualmente espaçados entre a e b assim x1 x2 xn1 Cada um desses subintervalos terá o compri mento de que seguindo a proposta histórica denotase por 2º Passo em cada subintervalo construir um retângulo cuja altura é o valor de f em algum ponto do subintervalo Em cada subintervalo é preciso escolher um ponto pelo qual a função f deve ser calculada para determinar a altura do retângulo no intervalo Se esse ponto for 1 2 Integral definida e cálculo de áreas 3 Assim as áreas dos retângulos base x altura serão dadas por fx₁Δx fx₂Δx fxn₁Δx e podese escrever a área da região R como fx₁Δx fx₂Δx fxnΔx ou ainda usando o somatório áreaRn k1ⁿ fxₖΔx Assim a melhor aproximação da área pode ser dada por A lim n n k1 fxkΔx o que leva à seguinte definição área sob uma curva se a função f for contínua em a b e fx 0 para o x em a b então a área sob a curva y fx no intervalo a b é definida por A lim n n k1 fxkΔx Fique atento Embora essa definição seja satisfatória para uso tenha em mente que para sua demonstração teria ainda que provar a existência do limite O limite da definição demonstrada frequentemente é difícil ou impossível de ser encontrado de modo que quando uma área exata é desejada deve ser usado o método da antiderivadas Porém se for suficiente uma aproximação então em vez do limite podese usar a área aproximada dada por A n k1 fxkΔx Existem diferentes resultados para a aproximação por retângulos de acordo com a forma com a qual se escolhe o ponto xk à esquerda ao centro ou à direita com relação ao retângulo de largura x Dentre elas podese utilizar aproximação por superestimação ou seja por valores superiores ao valor real da área sob a curva Para isso são utilizados retângulos cuja área supera a área da curva ou ainda podese aproximar por subestimação utilizando áreas inferiores conforme a imagem a seguir Fonte Teoria 201 documento online À esquerda temse uma aproximação por superestimação e à direita por subestimação Para saber em detalhes sobre essas diferenças consulte a obra Cálculo um novo horizonte de Anton 2000 Observe no exemplo 1 a seguir a aplicação das somas de Riemann na aproximação de área de uma curva Exemplo 1 Usando 1 2 05 é possível realizar a aproximação da área da curva a seguir tanto por superestimação quanto por subestimação A curva é dada por fx logx no intervalo de 1 5 Integral definida e cálculo de áreas 6 Para que seja possível determinar a aproximação é necessário que se saiba quais os pontos no eixo x correspondem aos valores de Δx além de quais os valores fx para esses pontos 1 0 02 04 06 08 1 12 14 16 2 3 4 5 x fx 1 log 1 0 15 log 15 0176 25 log 25 0350 35 log 35 0544 2 log 2 0301 3 log 3 0477 4 log 4 0602 Lembrese de que segundo a soma de Riemann por subestimação temse Integral definida e cálculo de áreas 7 Portanto observe que existe uma diferença de 17345 entre as aproximações A integral definida de uma função contínua Na definição anterior admitese que a função f contínua e não negativa no intervalo a b é possível também admitir valores positivos ou negativos entre a b então o limite lim n n k1 fxkΔx passa a representar a diferença entre as áreas acima de a b e abaixo da curva y fx a área abaixo de a b e acima da curva y fx chamase de área líquida com sinal entre os gráficos de y fx e o intervalo a b como mostra a Figura 5 Assim se subdividir o intervalo a b como na Figura 6 a seguir em n subintervalos iguais e examinar os termos da soma n k1 fxkΔx e se fxk for positivo então o produto fxkΔx representa a área do retângulo com altura fxk e base Δx Porém se fxk for negativo então o produto será negativo da área do retângulo com altura fxk e base Δx Dessa maneira o somatório acima representa a área total com sinal entre y fx e a b O limite dessa soma quando n é tão importante que há uma terminologia e notação associada a ele chamada integral definida de f de a até b Figura 6 Subdivisões da área líquida y fx a b c X y A Integral definida e a soma de Riemann Geometricamente a integral definida representa a área com sinal entre y fx e a b e no caso de fx não negativa em a b a área entre a curva e o intervalo a b Os números a e b são chamados limites de integração inferior e superior nessa ordem e fx é o integrando Nos casos mais simples as integrais definidas podem ser calculadas usando fórmulas conhecidas de geometria plana para computar áreas com sinal Exemplo 2 Esboce a região cuja área está representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de geometria a 2 4 1 b 5 2 2 c 1 2 3 0 Integral definida e cálculo de áreas 10 Solução a O gráfico do integrando é a reta horizontal y 2 portanto a região é um retângulo com altura 2 estendendose sobre o intervalo de 1 até 4 4 1 2 dx área do retângulo 2 3 6 Solução c O gráfico de y 9 x² é o semicírculo superior de raio 3 e o centro na origem assim a região é o quarto de círculo superior direito estendendose de x 0 até x 3 3 0 9 x² dx área do quarto de círculo 14 πr² 9π4 Integrabilidade Como a integral definida é dada por um limite é possível que o limite não exista se isso ocorrer o mesmo ocorrerá com a integral definida Definição dizse que uma função f é integrável à Riemann ou simplesmente integrável em um intervalo fino e fechado a b se o limite b a fxdx lim max Δx0 n k1 fxΔx existir e não depender da escolha da partição e da escolha dos pontos x no subintervalo Exemplos 4 e 5 Teorema 1 Se f for integrável em a b e fx 0 para todo x em a b então 0 2 Se f for integrável em a b e fx gx para todo x em a b então Geometricamente a parte a do teorema 1 estabelece fato óbvio isto é se f é não negativa no intervalo então a área líquida entre a função e o intervalo a b também será não negativa Já a parte 2 terá uma interpretação simples quando f e g forem não negativas no intervalo e o gráfico de f não passa por baixo do gráfico de g então a área do gráfico abaixo de f será pelo menos tão grande quanto àquela sob o gráfico de g Em outras palavras a parte 2 estabelece que é possível integrar ambos os lados de uma desigualdade sem alterar o sentido dela Condições para a integrabilidade Determinar precisamente que funções são integráveis em quais intervalos é bastante complexo e foge ao escopo deste estudo porém é conveniente que se saiba alguns resultados sobre a integrabilidade conforme você verá a seguir Definição dizse que uma função f é limitada em um intervalo I se existir um número M positivo tal que M fx M Para todo x em I geometricamente isso significa que o gráfico de f no intervalo I fica entre as retas y M e y M Se por exemplo uma função contínua f é limitada em todo intervalo finito fechado então o teorema do valor máximo impõe que f tenha um máximo e um mínimo absolutos no intervalo logo seu gráfico está entre as retas y M e y M O teorema a seguir enumera os três resultados mais importantes sobre a integrabilidade Teorema uma função definida em todos os pontos de um intervalo finito fechado a b 1 Se f for contínua em a b então f é integrável em a b 2 Se f tiver um número finito de descontinuidades em a b mas for limitada em a b então f é integrável em a b 3 Se f não for limitada em a b então f não é integrável em a b Integral definida e cálculo de áreas 15 Teorema fundamental do cálculo Exemplos 6 Exemplo 7 Calcule 3 0 9 x2dx Solução A partir dos teoremas estudados podese escrever que 3 0 9 x2dx 3 0 9dx 3 0 x2dx 9 3 0 1dx 3 0 x2dx 9x 3 0 9x33 3 0 27 0 273 0 27 9 18 Exemplo 8 Calcule ln 3 0 5exdx Solução A partir dos teoremas estudados podese escrever que ln 3 0 5exdx 5 ln 3 0 exdx 5 ex ln 3 0 5 eln 3 e0 5 3 1 10 Solução Traçando o gráfico de gx no intervalo solicitado temse que Observe que gx encontrase abaixo do eixo das abscissas x e portanto tem área negativa Dessa forma é necessário fazer uso do conceito de área líquida com sinal A área acima de a b área abaixo de a b Como não há curva acima de x a área acima é nula Resta então apenas determinar a área abaixo da curva fazendo A 3 0 9 x2 dx 3 0 9 x2 dx do exemplo 2c 9π4 A relação entre as integrais definida e indefinida No Exemplo 9 não foi necessária a inclusão de uma constante de integração pois uma vez executado o cálculo ela desaparecerá Observe b a fxdx Fx C b a Fb C Fa C Fb Fa C C Fb Fa Portanto b a fxdx Fx que também pode ser reescrita como b a fxdx fx b a que relaciona as integrais definida e indefinida Exemplo 10 Calcule 9 3 xdx Solução 9 0 xdx xdx 0 9 1 x2dx 9 0 23 x32 9 0 23 27 0 18 A exigência da continuidade de f em a b é extremamente importante pois se o teorema fundamental do cálculo for aplicado a intervalos descontínuos ele pode levar a resultados errôneos Nesses casos sugerese a separação do domínio de integração em subintervalos para os quais f seja contínua Observe o exemplo a seguir Exemplo 10 Calcule 1 1 1 x2 dx Solução errônea ₁¹ 1x² dx 1x₁¹ 1 1 2 Observe contudo que a função fx 1x² é descontínua em x 0 E ainda fx 1x² é uma função não negativa e portanto não pode produzir uma integral definida negativa Observe que em x 0 a função tem uma assíntota vertical não sendo limitada logo não é integrável Fique atento Uma vez que as variáveis de integração definida não desempenham nenhum papel elas são chamadas de variáveis mudas Assim sempre que for conveniente mudar a letra usada para a variável de integração em uma integral definida isto pode ser feito sem alterar o valor da integral ANTON 2000 Teorema do valor médio para integrais Para mostrar que as funções contínuas têm antiderivadas é preciso desenvolver uma propriedade das integrais definidas conhecida como o teorema do valor médio Sendo f uma função contínua e não negativa em a b m e M os valores mínimos e máximos naquele intervalo considere a Figura 7 Os retângulos formados de altura m e M no intervalo a b é claro geometricamente que a área sob y fx é A ᵇₐ fxdx É razoável assumir que a área sob a curva y fx será tão grande quanto a área do retângulo de altura m e não maior do que área do retângulo de altura M Assim é possível afirmar que existe um retângulo no intervalo a b com uma altura apropriada fx entre m e M cuja área é precisamente A ou seja A ᵇₐ fxdx fxb a e pode ser reescrita como 1b a ᵇₐ fxdx fx Saiba mais Para a demonstração detalhada desse teorema leia a obra Cálculo Volume 1 de George B Thomas et al 2009 Parte II Na primeira parte do teorema trabalhouse um argumento informal para mostrar que se f for contínua e nãonegativa em a b e se Ax for a área sob o gráfico de y fx no intervalo a x das antiderivadas vem que Ax fx Mas Ax pode ser expressa como um integral Ax ax ftdt Use t como variável de integração para que não haja confusão com extremos superior de integração x Dessa forma a relação Ax pode ser expressa como ddxax ftdt fx Este é um caso especial do teorema a seguir para o qual f também assume valores negativos Teorema Se f for contínua em um intervalo l Em particular se for um ponto qualquer em l então a função F definida por Fx ax ftdt É uma antiderivada de f em l isto é Fx fx para cada x em l ou em uma notação alternativa ddxax ftdt fx O teorema acima mostra a ligação entre a derivada e a integral de uma função segundo esse teorema elas são processos inversos e reversíveis Exemplo 13 Encontre ddt1x t3 dt Aplicando a parte II do teorema fundamental do cálculo e conforme seus resultados e fazendo a integração consecutivamente a diferenciação Inicialmente realizouse a aplicação direta da segunda parte do teorema fundamental do cálculo apresentada acima Em seguida integrouse o resultado da aplicação do teorema e após derivase o resultado da integração Solução O integrando é uma função contínua então podese fazer ddt1x t3 dt x3 Calculando a integral e depois diferenciando temse 1x t3 dt t44x1 x44 14 e ddxx44 14 x3 Logo os processos invertemse Combinando todo o aprendizado prévio do capítulo encontrase o seguinte caso o cálculo das áreas entre curvas que ocorre nas mais diversas aplicações Observe o Exemplo 14 livre de contexto a seguir Solução Inicialmente trace os gráficos de ambas as curvas em um mesmo plano 3 2 1 0 0 02 04 06 08 1 Existem dois pontos de intersecção que definirão os limites de integração inferior ponto de interseção à esquerda e superior ponto de interseção à direita Para que possa determinar os pontos de intersecção é necessário que faça fx gx Assim 1 2 sen Portanto precisase encontrar os valores para os quais 1 2 sen do círculo trigonométrico temse que à esquerda 6 e à direita 5 6 e esse valores definirão os limites de integração Integral definida e cálculo de áreas 26 Consequentemente a área entre as curvas será dada por 5π6π6 fx gx dx 5π6π6 senx dx 5π6π6 12 dx cosx 5π6π6 32 32 12 5π6 π6 3 π3 Referências ANTON H Cálculo um novo horizonte 6 ed Porto Alegre Bookman 2000 v 12 TEORIA completa In RESPOSTA AI S ls n 201 Disponível em httpswwwresponsedeaicombrconteudocalculointegralsacharaintegralpelasomaderiemann447 Acesso em 3 jan 2021 THOMAS G B et al Cálculo São Paulo Pearson 2009 v 1 Leitura recomendadas ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo Porto Alegre Bookman 2014 v 110 AYRES JR F MENDELSON E Cálculo Porto Alegre Bookman 2013 FLEMING D M GONÇALVES M B Cálculo A funções limite derivação e integração 5 ed São Paulo Pearson 2006 GUIDORIZZI H L Um curso de cálculo São Paulo LTC 2001 v 1 SILVA R P Arquimedes e método 2014 95f Dissertação Mestrado Universidade Federal de Alagoas Maceió 2014 Disponível em httpwwwrepositorioufalbrbitstream riual24181Arquimedes20e20o20mC3A9todopdf Acesso em 3 jan 2021 STEWART J Cálculo 4 ed São Paulo Thompson 2008 v 1 SWOKOWSKI E W Cálculo com geometria analítica 2 ed São Paulo Makron Books 1995 v 2 ZAHN M Teoria elementar de funções Rio de Janeiro Ciência Moderna 2009 Fique atento Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu funcionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links Contéudo DICA DO PROFESSOR Ao trabalhar com integrais definidas além das técnicas de integração utilizadas sejam estas de a proximação pelas áreas de figuras conhecidas de aproximação por soma de Riemann ou menos antiderivadas é necessário conhecer os limites inferiores e superiores de integração Na Dica do Professor você vai acompanhar o processo pelo qual se escolhem os limites de integ ração ao se calcular a área entre duas curvas Serão revisadas não somente as técnicas de integra ção mas os conhecimentos sobre as curvas no plano cartesiano Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar EXERCÍCIOS 1 As integrais são utilizadas entre outras aplicações para determinar a área entre uma curva em um intervalo do eixo x Ache a área total entre a curva y1x2 e o intervalo 0 1 Assinale a alternativa corre ta A 23 B 2 C 23 D 2 E 13 As integrais foram utilizadas historicamente em seu desenvolvimento primeiro para a 2 determinação de áreas as quais uma vez determinados os limites de integração era m estabelecidas utilizandose fórmulas conhecidas para a área da figura formada pel a curva Assim a Calcule a área sob a curva ycosx e o eixo x no intervalo de x 0 a x π2 b Calcule também a área sob a curva ycosx e o eixo x no intervalo de x 0 a x π e observe o resultado Assinale a alternativa correta A 1 a área é 0 B 0 a área é 1 C 1 a área é 0 D 2 a área é 1 E 2 a área é 1 3 Sabese que a área sob a curva de uma função em um intervalo pode ser aproximada por retângulos em particular por um retângulo de altura média definido pelo teore ma do valor médio Ache o valor médio da função fxx no intervalo 14 e todos os pontos do intervalo nos quais o valor de f é igual ao valor médio Assinale a alternativa correta A 1 e 2 B 15556 e 19681 C 1 e 2 D 1556 e 19681 E 0 e 1 4 Ao apresentar inicialmente o conceito de integral definida é feita a aproximação des sa integral utilizando retângulos É possível fazer aproximações acima da curva supe restimando ou abaixo da curva subestimando Essa técnica é chamada de soma de R iemann Utilizando 8 retângulos aproxime a área sob a curva fxx24 usando a média arit mética entre a superestimação e a subestimação do intervalo 2 2 Assinale a altern ativa correta A 125 B 105 C 85 D 45 E 65 5 Uma função só é integrável em um intervalo se ela for contínua e limitada no intervalo considerado Assim calcule Assinale a alternativa correta A 1923 B 0 C 83 D 128 E 1283 NA PRÁTICA Na prática muitos profissionais utilizam matemática em seu dia a dia muitas vezes não diretam ente mas por meio de softwares Na atualidade para análise de problemas e busca de suas soluç ões as mais diversas áreas utilizamse de data science Data science é o estudo disciplinado dos dados e informações inerentes ao negócio e todas as v isões que podem cercar determinado assunto É uma ciência que estuda as informações seu proc esso de captura transformação geração e posteriormente análise de dados A ciência de dados envolve diversas disciplinas computação estatística matemática conhecimento do negócio C etax 2016 Neste Na Prática você vai acompanhar uma profissional de psicopedagogia que utiliza matemát ica e estatística para analisar transtornos de aprendizagem no rol de alunos de uma rede escolar INTEGRAIS E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS SAIBA Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professo r O jogo das operações semióticas na aprendizagem da integral definida no cálculo de área Leia no artigo a seguir uma pesquisa sobre como os alunos de um curso de licenciatura em mat emática usavam operações semióticas na aprendizagem da integral no cálculo de área Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar O surgimento do cálculo de integrais e suas aplicações Leia no artigo a seguir um resumo abordando os aspectos teóricos de origem do cálculo de inte grais disciplina que estuda as definições os atributos e a aplicação de dois conceitos associado s que são as integrais indefinidas e as integrais definidas Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar Integrais concentradas na fronteira e aplicações para problemas elípticos semilineares Acompanhe no artigo a seguir um estudo das propriedades de integrais concentradas integrais cujo integrando atua apenas em uma vizinhança do domínio em questão Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar Cálculo volume I Para aprofundar mais os seus estudos consulte o livro Cálculo volume I principalmente os C apítulos 5 e 6 Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino Lista de exercícios Para aprender integral definida e cálculo de áreas é importante que você treine fazendo diversos exercícios Para tanto baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar