Taxas de Variação: Conceitos e Aplicações

Taxas de variação APRESENTAÇÃO Um dos usos bem comuns das taxas de variação ocorre em problemas envolvendo a velocidade ou seja quando se deseja analisar a taxa de variação da posição em relação ao tempo As taxas d e variação podem ser aplicadas na biologia quando há interesse em analisar a taxa segundo a qu al a quantidade de bactérias de uma colônia muda com o tempo ou na engenharia quando se de seja analisar a taxa segundo a qual o comprimento de um cano de metal muda com a temperatur a Além disso diversos problemas econômicos fazem uso das taxas de variação como por exe mplo na contagem de custos de produção em relação à quantidade de produto que está sendo pr oduzido Para que você possa acompanhar adequadamente esta unidade é necessário estar familiarizado c om conceitos básicos de álgebra como fatoração racionalização e simplificações de expressões algébricas além de conceitos básicos sobre funções limites e derivadas Nesta Unidade de Aprendizagem você reconhecerá as diferenças entre taxa de variação média e instantânea por meio de suas definições e acompanhará exemplos aplicados Bons estudos Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados Reconhecer as diferenças entre taxas de variação média e instantânea Aplicar o conceito de taxa de variação Interpretar geometricamente as taxas de variação DESAFIO As taxas de variação média e instantânea têm vasta aplicação mas cabe lembrar que em proble mas aplicados elas devem ser acompanhadas de unidades de medida apropriadas Por exemplo se y estiver em metroquilos mkg e x em horas h entao a unidade da taxa de variacao de y em relacao a x sera metroquilos por hora mkgh Seu desafio como parte da equipe é a A partir da reta secante que aparece na figura 2a estimar a taxa média de desempenho cardíaco em relação ao trabalho a ser executado quando este aumenta de 300 para 1200 k gm b A partir da reta tangente da figura 2b estimar a taxa de variação instantânea do desempenho c ardíaco em relação ao trabalho que está sendo executado no ponto onde ele é de 300 kgm INFOGRÁFICO As taxas de variação têm grande utilidade Uma delas é a descrição do movimento de um objeto ao longo de uma reta que se chama de movimento retilíneo Suponha uma função s que dá a pos ição relativa à origem de um objeto como função do tempo t Esta será chamada de função pos ição assim durante um intervalo de tempo t th o deslocamento do objeto pode ser expresso por Sthst que representa a variação da distância Neste Infográfico você verá a taxa de variação média de velocidade média e a taxa de velocidad e instantânea TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA DE VELOCIDADE MÉDIA E TAXA DE VELOCIDADE INSTANTÂNEA A taxa de variação média da distância em relação ao tempo é dada por Vm variação na distância variação no tempo Essa taxa de variação média é chamada de velocidade média Velocidade instantânea Quando o interesse é encontrar a velocidade real em um dado instante estáse em busca da velocidade instantânea ou simplesmente da velocidade do objeto quando t é igual a um dado valor Sendo assim podese definir a velocidade instantânea como Se st dá a posição no instante t de um objeto se movendo em linha reta então a velocidade do objeto no instante t é dada por ut lim h 0 st h st h Assim a velocidade pode ser interpretada como a inclinação da reta tangente à trajetória no instante t Buscando a taxa de variação média Para exemplificar a taxa de variação média e a taxa de variação instantânea observe o seguinte problema Se um objeto cai de uma altura de 30 metros sua altura s no instante t é dada pela função s 49t² 30 em que s é medido em metros e t em segundos Encontre a taxa de variação média da altura no intervalo de tempo 12 A velocidade média é negativa pois o objeto está caindo Buscando a velocidade instantânea Caso se quisesse nesse exemplo encontrar a verdadeira velocidade no instante t 1 a procura seria pela velocidade instantânea ou simplesmente a velocidade do objeto quando t 1 CONTEÚDO DO LIVRO Diariamente lidase com situações que envolvem duas grandezas e em geral as grandezas varia m Podese pensar por exemplo no tempo gasto para chegar à Universidade o quanto se engord ou ou emagreceu no último mês a variação da temperatura em um dia específico entre outras si tuações bem familiares Embora a taxa média de variação tenha sua importância algumas vezes ela não fornece uma qua ntidade razoável de informações para se poder decidir como a variável dependente se comporta em relação à variável independente em um dado ponto Diminuindose o intervalo de tempo a v elocidade média passa a ser um bom estimador para a velocidade instantânea No capítulo Taxas de variação da obra Cálculo limites de funções de uma variável e derivadas você irá reconhecer as diferenças entre as taxas de variação média e instantânea com ênfase em problemas aplicados e verá como interpretálas geometricamente Boa leitura CÁLCULO LIMITES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL E DERIVADAS Cristiane da Silva Taxas de variação Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Reconhecer as diferenças entre as taxas de variação média e instantânea Aplicar o conceito de taxa de variação Interpretar geometricamente as taxas de variação Introdução Sempre estudamos as relações entre duas quantidades variáveis estamos tratando das taxas de variação Alguns exemplos desse tipo de taxa são a velocidade a taxa de variação da posição em relação ao tempo a infecção de uma epidemia novas pessoas infectadas por mês a quilometragem de um carro quilômetros por litro a variação da temperatura atmosférica em relação à altitude entre tantos outros Como as taxas de variação têm vasta aplicação prática neste capítulo serão abordados além das diferenças entre as taxas de variação média e instantânea e de seus conceitos problemas aplicados que contribuirão para o seu entendimento Você encontrará interpretações geométricas das taxas de variação bem como exemplos detalhados Definiremos o que se entende por taxa de variação de y em relação a x quando y é uma função de x variação na posição velocidade tempo No entanto cabe destacar que essa fórmula não faz sentido se a velocidade estiver variando Se o carro estiver acelerando ou freando podemos calcular a variação na posição quando a velocidade for variável Para tanto definiremos a velocidade instantânea de um objeto ROGAWSKI 2008 Podemos definir a velocidade média ao longo de um intervalo de tempo como Um carro trafega 280 quilômetros em 3 horas e meia Então sua velocidade média durante esse período de 3 horas e meia é 80 kmh Em um dado momento qualquer o carro pode estar mais rápido ou mais lento do que a média É possível estimar a velocidade instantânea por meio do cálculo das ve locidades médias ao longo de intervalos de tempo sucessivamente menores considerando que a velocidade média ao longo de um intervalo de tempo muito pequeno está muito próxima da instantânea Indicamos a variação de uma função ou variável pela letra grega delta ROGAWSKI 2008 Se st for a posição de um objeto a distância da origem no instante t e t0 t1 for um intervalo de tempo denotamos Para t1 t0 a velocidade média ao longo de A variação na posição Δs também é conhecida por deslocamento ou variação líquida da posição Taxas de variação 2 Um movimento importante é o de um objeto caindo em direção a Terra pela influência da gravidade supondo nenhuma resistência do ar Galileu descobriu que se o objeto for largado do repouso no instante t 0 como mostrado na Figura 1 a distância percorrida depois de t segundos é dada pela fórmula st 16t2 pés Figura 1 A distância percorrida por um objeto caindo depois de t segundos é st 16t2 pés Fonte Rogawski 2008 p 43 Vejamos a seguir um exemplo aplicado envolvendo velocidade média e instantânea Uma pedra é largada do repouso e cai em direção a Terra Calculando a velocidade média ao longo de vários intervalos de tempo pequenos dê uma estimativa da velocidade instantânea em t 05 Solução Pela fórmula de Galileu a distância percorrida pela pedra depois de t segundos é st 16t2 Usase isso para calcular a velocidade média ao longo dos cinco intervalos de tempo observados no Quadro 1 a seguir 3 Taxas de variação Quadro 1 Velocidade média ao longo dos cinco intervalos de tempo Intervalo de tempo Velocidade média 05 06 176 05 055 168 05 051 1616 05 0505 1608 05 05001 160016 Fonte Adaptado de Rogawski 2008 p 43 Para encontrar a velocidade média da pedra ao longo do primeiro intervalo t0 t1 05 06 calculamos as variações A velocidade média ao longo de 05 06 é o quociente O quadro apresentado mostra os resultados de contas análogas para vários intervalos de comprimento sucessivamente menores A velocidade média aproximase de 16 péss quando o intervalo de tempo diminui 176 168 1616 1608 160016 Formulamos essa tendência dizendo que a velocidade média converge a 16 ou que 16 é o limite da velocidade média quando o comprimento do intervalo de tempo encolhe para zero Isso sugere que a velocidade instantânea em t 05 seja 16 péss Taxas de variação 4 Conforme Rogawski 2008 a velocidade é apenas um exemplo de vários outros que envolvem taxas de variação abreviadas por TDV O mesmo conceito pode ser aplicado para qualquer quantidade y que seja uma função de uma variável x Qualquer intervalo x0 x1 é denotado por Para x1 x0 a taxa de variação média de y em relação a x ao longo de x0 x1 é o quociente A taxa de variação instantânea é o limite das taxas de variação médias Podemos estimar a taxa de variação instantânea em x x0 calculando a taxa de variação média ao longo de intervalos cada vez menores ROGAWSKI 2008 A palavra instantânea costuma ser omitida Quando se utiliza a expressão taxa de variação fica subentendido que se refere a taxa de variação instantânea Às vezes escrevese Δy e em vez de Δf e ROGAWSKI 2008 p 45 Aplicação da taxa de variação Dissemos anteriormente que as taxas de variação apresentam diversas apli cações Nesta seção veremos alguns problemas aplicados Acompanhe os exemplos apresentados a seguir 5 Taxas de variação Exemplo 1 Suponha que s ft 1 5t 2t2 seja a função posição de uma partícula onde s está em metros e t em segundos Encontre as velocidades médias da partícula nos intervalos de tempo a 02 e b 23 Solução a Considerando que com t0 0 e h 2 vemos que a velocidade média é b Considerando que com t0 2 e h 1 vemos que a velocidade média é A velocidade média descreve o comportamento de uma partícula em movi mento retilíneo em um intervalo de tempo Estamos interessados na velocidade instantânea da partícula que descreve seu comportamento em um instante de tempo específico A fórmula não é direta mente aplicável para calcular a velocidade instantânea pois o tempo decorrido em um instante específico é zero fazendo com que se torne indefinida Para contornar esse problema podemos calcular as ve locidades médias para intervalos de tempo pequenos entre t t0 e t t0 h Essas velocidades médias podem ser vistas como aproximações da velocidade instantânea da partícula no instante t0 Se essas velocidades médias tiverem um limite quando h tender a zero então podemos tomar esse limite como sendo a velocidade instantânea da partícula no instante t0 Taxas de variação 6 Exemplo 2 Considere a partícula do Exemplo 1 cuja função posição é s ft 1 5t 2t2 A posição da partícula no instante t 2 s é s 3 m conforme a Figura 2 ANTON BIVENS DAVIS 2014 Figura 2 s 1 5t 2t2 Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 136 Encontre a velocidade instantânea da partícula no instante t 2 s Solução Uma primeira aproximação da velocidade instantânea da partícula é a ve locidade média vm 5 ms no intervalo de tempo de t 2 até t 3 Para melhorar essa aproximação inicial calculamos a velocidade média em uma sucessão de intervalos de tempo cada vez menores como mostra o Quadro 2 a seguir 7 Taxas de variação Fonte Adaptado de Anton Bivens e Davies 2014 Intervalo de tempo Velocidade média 20 t 30 5 20 t 21 32 20 t 201 302 20 t 2001 3002 20 t 20001 30002 Quadro 2 Velocidade média em intervalos de tempo menores As velocidades médias parecem tender a um limite de 3 ms sugerindo fortemente que essa deva ser a velocidade instantânea no instante de tempo t 2 Para confirmar isso analiticamente começamos calculando a velocidade média do objeto em um intervalo de tempo arbitrário de t 2 até t 2 h A velocidade instantânea do objeto no instante t 2 é calculada como um limite quando h 0 Isso confirma nossa conjectura numérica pois a velocidade instantânea depois de 2 s é de 3 ms Taxas de variação 8 Exemplo 3 Considere uma barra uniforme de 40 cm de comprimento termicamente isolada em sua superfície lateral e com as extremidades mantidas a temperaturas constantes de 25C e 5C respectivamente conforme a Figura 3a ANTON BIVENS DAVIS 2014 Figura 3 Representação da barra com isolamento térmico Fonte Anton Bivens e Davis 2014 p 138 9 Taxas de variação Em física mostrase que sob condições apropriadas o gráfico da tempe ratura T versus a distância x da extremidade esquerda da barra será uma linha reta As Figuras 3b e 3c mostram dois desses gráficos um com x medido em centímetros e o outro em metros A inclinação nesse caso indica que a temperatura decresce a uma taxa de 05 C por centímetro de distância da extremidade esquerda da barra Já nesse a inclinação indica que a temperatura decresce a uma taxa de 50C por metro de distância da extremidade esquerda da barra Embora ambas as inclinações sejam diferentes os dois resultados são fisicamente equivalentes Exemplo 4 Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um naviotanque espalhese em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa de 2 péss Com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando seu raio for de 60 pés BRAGA 2012 Solução Sejam t o tempo em segundos contado a partir do instante do derramamento r o raio do derramamento em pés depois de t segundos e A a área do derra mamento em pés quadrados depois de t segundos O problema nos informa a taxa em relação ao tempo segundo a qual o raio está crescendo e buscamos aquela na qual a área está crescendo no instante em que r 60 pés ou seja Taxas de variação 10 Procuramos uma equação relacionando A com r a qual possamos derivar em relação a t para obter uma relação entre Mas A é a área de um círculo de raio r logo A πr2 Note que r é uma função de t e A é uma função de rt Derivando ambos os lados da igualdade em relação a t obtemos Assim quando r 60 a área do derramamento está crescendo à taxa de Exemplo 5 Suponha que o custo em dólares para produzir x máquinas de fabricação têxtil seja Cx 2000 100x 01x2 a Calcule o custo marginal para a produção de 100 máquinas b Mostre que para a produção de 100 máquinas o custo marginal é aproximadamente o custo para a produção de uma máquina a mais depois que as 100 primeiras forem fabricadas Solução a O custo marginal é a derivada da função custo em relação ao número x de unidades produzidas Assim 11 Taxas de variação Ao nível x 100 temos Isso significa que o custo total aumentará aproximadamente em 80 dólares ao se produzir a 101ª máquina b Para vermos quanto o custo total varia ao se produzir uma peça a mais a partir da centésima fazemos Observe que o valor encontrado é aproximadamente o custo marginal ao nível 100 de produção Representação geométrica das taxas de variação Nesta seção você estudará a interpretação geométrica das taxas de variação iniciando com a velocidade A discussão acerca de a velocidade média convergir para a velocidade instantânea quando encurtamos o intervalo de tempo tem uma interpretação visual interessante em termos de retas secantes Rogawski 2008 p 44 explica a velocidade média por meio de um gráfico Considere o gráfico da posição st de um objeto em movimento ao longo de uma reta como mostra a Figura 4 O quociente que utilizamos para definir a velocidade média ao longo de t0 t1 é a inclinação da reta secante pelos pontos t0 st0 e t1 st1 Para t1 t0 Taxas de variação 12 Figura 4 Velocidade média ao longo de t0 t1 é igual a inclinação da reta secante Fonte Rogawski 2008 p 44 Interpretando a velocidade média como uma inclinação é possível veri ficar o que ocorre quando os intervalos de tempo ficam menores A Figura 5 apresenta o gráfico de st 16t2 com suas retas secantes nos intervalos de tempo 05 06 05 055 e 05 051 É possível notar que à medida que o intervalo encolhe as retas secantes ficam cada vez mais próximas da reta tangente em t 05 ROGAWSKI 2008 Figura 5 A reta secante gira para a reta tangente quando o intervalo de tempo diminui Fonte Rogawski 2008 p 44 13 Taxas de variação Podemos dizer que a velocidade instantânea é igual à inclinação da reta tangente Exemplo A fórmula dá uma boa aproximação da velocidade do som v no ar seco em ms como uma função da temperatura do ar T em kelvin ROGAWSKI 2008 a Calcule a TDV média de v em relação a T ao longo do intervalo 273 300 Quais são as unidades dessa TDV Esboce a reta secante correspondente b Dê uma estimativa da TDV instantânea quando T 273 K calculando as taxas médias ao longo de intervalos pequenos que estejam tanto à esquerda quanto à direita de T 273 Solução a A TDV média ao longo do intervalo de temperatura 273 300 é Como isso é a taxa média de aumento de velocidade por aumento de grau na temperatura as unidades apropriadas são metros por segundo por kelvin Essa TDV é igual à inclinação da reta pelos pontos em que T 270 e T 300 no gráfico da Figura 6 a seguir Taxas de variação 14 Figura 6 Representação gráfica de Fonte Rogawski 2008 p 45 b Para estimar a TDV instantânea em T 273 calculamos a TDV média para vários intervalos à esquerda Figura 7 e à direita Figura 8 de T 273 Os resultados estão nos Quadros 3 e 4 a seguir e sugerem que a taxa instantânea é aproximadamente 0605 ms por K Fonte Adaptado de Rogawski 2008 Intervalo de temperatura lado esquerdo Velocidade média TDV 2725 273 060550 2728 273 060534 2729 273 060528 27299 273 060523 Quadro 3 TDV média para intervalos a esquerda 15 Taxas de variação Fonte Adaptado de Rogawski 2008 Intervalo de temperatura lado direito Velocidade média TDV 273 2735 060495 273 2732 060512 273 2731 060517 273 27301 060522 Quadro 4 TDV média para intervalos a direita Figura 7 Retas secantes para intervalos a esquerda de T 273 Fonte Rogawski 2008 p 46 Taxas de variação 16 Figura 8 Retas secantes para intervalos a direita de T 273 Fonte Rogawski 2008 p 46 Sendo assim para qualquer função linear fx mx b a taxa de variação média ao longo de qualquer intervalo é igual à inclinação m como mostra a Figura 9 a seguir Figura 9 Para uma função linear o quociente é igual a inclinação m em qualquer intervalo Fonte Rogawski 2008 p 46 17 Taxas de variação Para o intervalo x0 x1 com x1 x0 A taxa de variação instantânea em x x0 também é igual a m por ser o limite das taxas de variação médias Esse resultado faz sentido graficamente porque cada reta secante e cada reta tangente coincidem com o próprio gráfico da fx ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 2 v 1352 p BRAGA R O Cálculo I estudo da derivada São Leopoldo Unisinos 2012 190 p ROGAWSKI J Cálculo volume 1 Porto Alegre Bookman 2008 624 p Taxas de variação 18 Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra DICA DO PROFESSOR As taxas de variação são muito presentes na vida real por exemplo em situações envolvendo ve locidade aceleração taxas de crescimento populacional entre outras Podese estudar a taxa de variação de uma variável em relação a qualquer outra variável Nesta Dica do Professor você aprofundará os estudos sobre derivadas mais especificamente em um exemplo que busca obter uma estimativa da variação do espaço de freada para um aumento de uma unidade na velocidade fazendo também comparações com seus valores exatos Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar EXERCÍCIOS 1 Matheus é proprietário de uma pequena fábrica de peças Ele calcula que quando x milhares de unidades de uma peça são fabricadas e vendidas o lucro é dado por Px 400x26800x12000 reais A taxa de variação do lucro em relação ao nível de produção quando são produzidas 9000 unidades é igual a A 400 reais por mil unidades B 6800 reais por mil unidades C 800 reais por mil unidades D 800 reais por mil unidades E 200 reais por mil unidades 2 Um fabricante observa que t meses após o lançamento de um novo produto no merca do xt t² 3t centenas de unidades podem ser produzidas e vendidas por um preço unitário reais Nesse contexto a função receita é dada por centenas de reais Verifique a que taxa a receita está variando em relação ao tempo quatro meses após o lançamento do produto e assinale a alternativa correta A 4 centenas de reais por mês B 10 centenas de reais por mês C 8 centenas de reais por mês D 3 centenas de reais por mês E 14 centenas de reais por mês 3 Estimase que daqui a x meses a população de um município poderá ser representad a por Pxx220x8000 Verifique qual será a taxa de variação da população com o tempo após 15 meses e ass inale a alternativa correta A 20 moradores por mês B 50 moradores por mês C 30 moradores por mês D 15 moradores por mês E 25 moradores por mês Estimase que daqui a x meses a população de um município poderá ser representad a por Pxx220x8000 Verifique qual será a variação da população durante o 16o mês e assinale a alternativ 4 a correta A 26 moradores B 50 moradores C 51 moradores D 16 moradores E 15 moradores 5 A área A de um quadrado está relacionada com seu lado l pela equação Al2 Verifiq ue qual será a taxa de variação média da área do quadrado em relação ao lado quan do este varia de 25 a 3 cm Assinale a alternativa correta A 6 cm B 2 cm C 05 cm D 55 cm E 275 cm NA PRÁTICA Em geral pensase em variação como uma mudança em relação ao tempo mas outras variáveis t ambém podem ser tratadas da mesma maneira como por exemplo a dilatação de uma barra met álica em função da temperatura o aumento da pressão atmosférica em função da altura em relaç ão ao solo entre outros A derivada dá importantes informações sobre o comportamento de uma função além de poder ser interpretada como uma taxa de variação Neste Na Prática você verá uma situação comum envolvendo um reservatório de água que está sendo esvaziado para a limpeza em que serão utilizadas as taxas de variação para encontrar solu ções aos problemas propostos UTILIZANDO TAXAS DE VARIAÇÃO Suponha que um reservatório de água está sendo esvaziado para a limpeza A quantidade de água no reservatório em litros t horas após o escoamento ter começado é dada por V 5080 t² I Verificando a taxa de variação do volume de água no reservatório após duas horas A taxa de variação do volume de água em um instante de tempo qualquer é dada por dVdt ddt 5080 t² 50 2 80 t 1 10080 t No tempo t 2 temse dVdt t2 10080 2 7800 litrosh Observe que o sinal negativo indica que o volume no reservatório está diminuindo com o tempo 2 Verificando a taxa de variação do volume de água no reservatório após 10 horas No tempo t 10 temse dVdt t10 10080 10 7000 litrosh Observe que com o passar do tempo a taxa de variação do volume de água no reservatório tornase mais vagarosa 3 Verificando a taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de escoamento ΔVΔt V10 V0 5080 10² 5080 0²10 245000 32000010 7500 litrosh Observe que a taxa média não representa a taxa de variação naquele instante e sim uma média da variação do volume de água no intervalo 010 SAIBA Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professo r Cálculo I O que é derivada Taxa de variação e reta tangente Uma das aulas mais importantes do curso de Cálculo I o conceito de derivada tem infinitas apli cações em ciências Neste vídeo definese a derivada como sendo a taxa de variação instantânea de uma função em um dado ponto A interpretação geométrica tão rica quanto a definição most ra que a derivada é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto e m que estamos derivando Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar Derivada Velocidade Instantânea Neste vídeo o professor trabalha com um importante conceito de derivadas Em resumo a inter pretação geométrica da derivada é que ela representa a inclinação da reta tangente a uma curva n um dado ponto O professor exemplifica como calcular a aceleração de um móvel pelo conceito que a aceleração instantânea é a derivada da posição Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar Introdução à taxa de variação média Neste vídeo você acompanha exemplos de distância em função do tempo por meio de represent ação gráfica O professor explica em detalhes os elementos da equação e sua representação no pl ano cartesiano retomando alguns conceitos importantes sobre funções para então definir a taxa de variação média Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar Lista de exercícios Para aprender taxas de variação é importante que você exercite o conteúdo Para tanto baixe a l ista de exercícios a seguir e resolva as questões Aponte a câmera para o código e acesse o link do vídeo ou clique no código para acessar