Lista de Exercicios Resolucao de Problemas Aplicados-Crescimento Populacional Resfriamento e Decaimento Radioativo

6 A população de um país tem uma taxa de crescimento relativo de 3 ao ano O governo está tentando reduzir a taxa de crescimento para 2 A população em 2011 era de aproximadamente 110 milhões Encontre a população projetada para o ano de 2036 para as seguintes condições a A taxa de crescimento relativo permanece em 3 ao ano b A taxa de crescimento relativo é reduzida para 2 ao ano 7 A população da Califórnia era de 2976 milhões em 1990 e 3387 milhões em 2000 Suponha que a população cresça exponencialmente a Encontre uma função que modele a população t anos após 1990 b Encontre o tempo necessário para a população dobrar c Use a função da parte a para prever a população da Califórnia no ano de 2010 Pesquise a população real da Califórnia em 2010 e compare 8 Uma tigela quente de sopa é servida em um jantar Ele começa a esfriar de acordo com a Lei de Resfriamento de Newton então sua temperatura no tempo t é dada por Tt 65 145e006t onde t é medido em minutos e T é medido em F a Qual é a temperatura inicial da sopa b Qual é a temperatura após 10 min c Depois de quanto tempo a temperatura será de 100F 9 A Lei de Resfriamento de Newton é usada em investigações de homicídio para determinar a hora da morte A temperatura normal do corpo é de 986 F Imediatamente após a morte o corpo começa a esfriar Foi determinado experimentalmente que a constante na Lei de Resfriamento de Newton é aproximadamente k 01947 assumindo que o tempo é medido em horas Suponha que a temperatura do ambiente seja 60F a Encontre uma função Tt que modele a temperatura t horas após a morte b Se a temperatura do corpo agora é 72F há quanto tempo ocorreu a morte 10 A meiavida do paládio100 é de 4 dias Após 20 dias uma amostra foi reduzida a uma massa de 0375 g a Qual era a massa inicial da amostra b Encontre uma função que modele a massa restante após t dias c Qual é a massa após 3 dias d Depois de quantos dias restarão apenas 015 g Explorar e Discutir 1 Problema 1 Certa espécie de moscadasfrutas se reproduz rapidamente surgindo uma nova geração em cerca de uma semana a Suponha que uma população comece com 200 moscas e assumamos que a população aumenta em 50 moscas a cada semana Calcule o número de moscas após 1 2 3 4 e 5 semanas b Agora suponha que a população aumente em 25 da população atual a cada semana Calcule o número de moscas após 1 2 3 4 e 5 semanas c Qual cenário você acha mais realista Por quê Crescimento Populacional Problema 2 O México tem uma população de cerca de 164 milhões de pessoas e estimase que a população dobre em 21 anos Se o crescimento populacional continuar na mesma taxa obedecendo a função At A0 2t21 qual será a população a daqui a 15 anos Resp 154 mi b daqui a 30 anos Resp 269 mi Problema 3 A bactéria Escherichia coli E coli é encontrada naturalmente no intestino de muitos mamíferos Em um determinado experimento de laboratório o tempo de duplicação para E coli é de 25 minutos Se o experimento começar com uma população de 1000 E coli e não houver alteração no tempo de duplicação quantas bactérias estarão presentes a Em 10 minutos b Em 5 horas Explorar e Discutir 2 Problema 4 Não se espera que o modelo de crescimento de tempo de duplicação forneça resultados precisos por longos períodos De acordo com o modelo de crescimento do tempo de duplicação qual era a população do México há 500 anos no auge da civilização asteca Qual será a população do México daqui a 200 anos Explique por que esses resultados não são realistas Discuta os fatores que afetam as populações humanas que não são levados em consideração pelo modelo de crescimento em tempo de duplicação 1 Um jato decola rumo N 28 E e voa 5 milhas e então faz uma curva à esquerda 90 e voa 12 milhas adiante Se o operador da torre de controle deseja localizar o avião que rumo ele deve usar 2 Suponha que a NASA queira conversar com a Estação Espacial Internacional ISS que está viajando a uma velocidade de 17700 milhas por hora 7900 metros por segundo 400 quilômetros 250 milhas acima da superfície da Terra Se as antenas da estação terrestre em Houston tiverem um erro de apontamento de até 1100 de grau ou seja 001 a estação terrestre perderá a chance de falar com os astronautas Suponha que a ISS que tem 108 metros de comprimento e 73 metros de largura esteja em uma órbita terrestre de 400 quilômetros Se as antenas de comunicação tiverem um erro de apontamento de 001 a quantos metros estará o link de comunicação 3 Depois de quebrar um fêmur o paciente é colocado em tração A extremidade de um fêmur de comprimento l é levantada até uma elevação formando um ângulo com a horizontal ângulo de elevação 4 Depois de quebrar um fêmur o paciente é colocado em tração A extremidade de um fêmur de comprimento l é levantada até uma elevação formando um ângulo com a horizontal ângulo de elevação a Um fêmur de 18 polegadas de comprimento é colocado em tração formando um ângulo de 15 com a horizontal Encontre a altura de elevação no final do fêmur b Um fêmur de 18 polegadas de comprimento é colocado em tração com uma elevação de 62 polegadas Qual é o ângulo de elevação do fêmur 5 Uma população de esquilos cinzentos foi introduzida em um determinado condado da GrãBretanha há 30 anos Os biólogos observam que a população dobra a cada 6 anos e agora a população é de 100000 a Qual era o tamanho inicial da população de esquilos b Estime a população de esquilos daqui a 10 anos Crescimento Exponencial Problema 5 A cólera uma doença intestinal é causada por uma bactéria da cólera que se multiplica exponencialmente por divisão celular conforme modelado por A A0 e1386t onde A é o número de bactérias presentes após t horas e A0 é o número de bactérias presentes em t 0 Se começarmos com 1 bactéria quantas bactérias estarão presentes em a em 5 horas Resp 1020 b em 12 horas Resp 167000000 Decaimento Exponencial Problema 6 O isótopo radioativo gálio 67 67Ga utilizado no diagnóstico de tumores malignos tem meiavida biológica de 465 horas Sendo a função de modelagem At A0 2kt Se começarmos com 100 miligramas do isótopo quantos miligramas sobrarão depois a de 24 horas Resp 699 mg b de 1 semana Resp 817 mg Problema 7 O ouro radioativo 198 198Au usado em imagens da estrutura do fígado tem uma meiavida de 267 dias Se começarmos com 50 miligramas do isótopo quantos miligramas sobrarão depois de a Um dia b 1 semana Datação de Carbono Problema 8 Se 1000 miligramas de carbono14 estiverem presentes no tecido de um animal morto recentemente onde At A0 e0000124t quantos miligramas estarão presentes em a 10000 anos Resp 289 mg b 50000 anos Resp 203 mg Crescimento Limitado Problema 9 Pessoas designadas para montar placas de circuito para uma empresa de fabricação de computadores passam por treinamento prático A partir da experiência anterior descobriuse que a curva de aprendizado para o funcionário médio é dada por At 401 e012t onde A é o número de pranchas montadas por dia após t dias de treinamento a Quantas pranchas um funcionário médio pode produzir após 3 dias de treinamento Após 5 dias de treinamento Arredonde as respostas para o inteiro mais próximo Resp 12 e 18 b Quantos dias de treinamento serão necessários até que um funcionário médio consiga montar 25 pranchas por dia Arredonde as respostas para o inteiro mais próximo Resp 8 c A se aproxima de um valor limite quando t aumenta sem limites Explicar Resp 40 Problema 10 Uma empresa está tentando expor o maior número possível de pessoas a um novo produto por meio de publicidade na televisão em uma grande área metropolitana com 2 milhões de telespectadores em potencial Um modelo para o número de pessoas A em milhões que conhecem o produto após t dias de publicidade foi encontrado como At 21 e0037t a Quantos espectadores estão cientes do produto após 2 dias Após 10 dias Expresse as respostas como números inteiros arredondados para três dígitos significativos b Quantos dias levará até que metade dos espectadores em potencial tomem conhecimento do produto Resposta arredondada para o inteiro mais próximo c A se aproxima de um valor limite quando t aumenta sem limites Explicar Crescimento Logístico em uma epidemia Problema 11 Uma certa comunidade consiste de 1000 pessoas Um indivíduo que acabou de retornar de outra comunidade tem uma cepa de gripe particularmente contagiosa Suponha que a comunidade não tomou vacinas contra influenza e todos são suscetíveis A previsão de propagação da doença na comunidade é dada pela curva logística At 10001 999e03t onde A é o número de pessoas que contraíram influenza após t dias a Quantas pessoas contraíram influenza após 10 dias Após 20 dias Resp 20 e 288 b Quantos dias levará até que metade da comunidade contraia gripe Resposta arredondada para o inteiro mais próximo Resp 23 c A se aproxima de um valor limite quando t aumenta sem limites Explicar Resp 1000 Problema 12 Um grupo de 400 pais parentes e amigos espera ansiosamente no Aeroporto Kennedy por um voo fretado que retorna aos alunos após um ano na Europa Está tempestuoso e o avião está atrasado Um pai em particular pensou ter ouvido que o rádio do avião havia falhado e relatou a notícia a alguns amigos que por sua vez a repassaram a outros Prevêse que a propagação deste boato se dê por At 4001 399e04t onde A é o número de pessoas que ouviram o boato após t minutos a Quantas pessoas ouviram o boato depois de 10 minutos Depois de 20 minutos b Quantos minutos levará até que metade do grupo tenha ouvido o boato Resposta arredondada para o inteiro mais próximo c A se aproxima de um valor limite quando t aumenta sem limites Explicar Lei do Resfriamento de Newton Problema 13 Esta lei afirma que a taxa na qual um objeto esfria é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e o meio circundante A temperatura T do objeto t horas depois é dada por T Tm T0 Tmekt onde Tm é a temperatura do meio circundante e T0 é a temperatura do objeto Suponha que uma garrafa de vinho à temperatura ambiente seja colocada na geladeira a 72F para esfriar antes de um jantar a Se a temperatura na geladeira for mantida a 40F e k 04 encontre a temperatura do vinho após 3 horas b Depois de quanto tempo a temperatura será de 20F Explorar e Discutir 3 Problema 14 Resolva cada um dos itens a seguir para θ até o centésimo de grau mais próximo usando uma calculadora Explique por que uma mensagem de erro ocorre em um dos problemas a cos θ 02044 b tan θ 14138 c sen θ 14138 Trigonometria Problema 15 Resolva o triângulo retângulo com c 625ft e β 322 a Determine o valor de a e b b Resolva o triângulo se c 273ft e α 478 Problema 16 Encontre a altura de uma árvore crescendo no nível do solo se em um ponto a 105 pés da base da árvore o ângulo de seu topo em relação à horizontal é de 65 3 Problema 17 Para medir a altura do teto de uma nuvem sobre um aeroporto um holofote é direcionado diretamente para cima para produzir um ponto iluminado nas nuvens A quinhentos metros de distância um observador informa que o ângulo do ponto em relação à horizontal é de 322 Qual é a altura até o metro mais próximo das nuvens acima do aeroporto Problema 18 Se um avião a jato sobe em um ângulo de 1530 com uma velocidade constante de 315 milhas por hora quanto tempo levará até o minuto mais próximo para atingir uma altitude de 800 milhas Suponha que não haja vento Problema 19 Uma empresa de televisão a cabo deseja passar um cabo de uma cidade para uma ilha turística a 3 milhas da costa O cabo deve ir ao longo da costa e depois para a ilha debaixo dágua conforme indicado na figura a seguir O custo de passar o cabo ao longo da costa é de 15000 por milha e debaixo dágua 25000 por milha a Referindose à figura mostre que o custo em termos de θ é dado por Cθ 75000secθ 45000tgθ 3000000 Lembrese que secθ 1cosθ b Calcule uma tabela de custos cada custo para o dólar mais próximo para os seguintes valores de 10 20 30 40 50 Problema 20 Em um curso de física mostrase que a velocidade v de uma bola rolando em um plano inclinado desprezando a resistência do ar e o atrito é dada por v gtsenθ onde g é uma constante gravitacional aceleração devido à gravidade t é o tempo e é o ângulo de inclinação do plano veja a figura a seguir Galileu 15641642 usou esta equação na forma g vtsenθ para estimar g depois de medir v experimentalmente Naquela época não existiam dispositivos de tempo para medir a velocidade de um corpo em queda livre então Galileu usou o plano inclinado para desacelerar o movimento Uma bola de aço é rolada por um plano de vidro inclinado de 8 Aproxime g com uma casa decimal se ao final de 30 segundos a bola tiver uma velocidade medida de 42 metros por segundo Se a população dobra a cada seis anos P P0 2t6 a Se a população final é 100000 após 30 anos temos 100000 P0 2306 P0 100000 2306 3125 A população inicia era de 3125 esquilos b A população atual é de 10000 logo daqui a 10 anos teremos P 100000 2106 317480 Daqui 10 anos a população estimada de esquilos é 317480 indivíduos