Hidrodinamica - Principios Gerais e Classificacao do Movimento de Fluidos

3 HIDRODINÂMICA 31 Princípios Gerais A Hidrodinâmica tem por objetivo geral o estudo do movimento dos fluidos O movimento dos fluidos pode ser classificado como Classificação do Movimento dos Fluidos Permanente em um mesmo ponto as propriedades não variam ao longo do tempo Uniforme as propriedades não variam ao longo do espaço NãoUniforme Acelerado Retardado Variado em um mesmo ponto as propriedades variam ao longo do tempo Em nossas aplicações trabalharemos com movimento permanente Velocidade V1 V2 Pressão P1 P2 No movimento permanente as propriedades são independentes do tempo dV1dt dV2dt dP1dt dP2dt 0 Em uma determinada seção a vazão ou descarga representa a quantidade de líquido que atravessa esta seção por unidade de tempo Na hidráulica expressamos a vazão em termos do volume de água que atravessa uma determinada seção por unidade de tempo litros por minuto metros cúbicos por segundo metros cúbicos por hora etc VAZAO VolumeUnidade de Tempo Ex Litrossegundo m3s m3h A seguinte relação pode ser estabelecida entre a vazão a área de escoamento e a velocidade média de escoamento da água na seção considerada Vazao Area Velocidade m3s m2 ms É importante ressaltar que a velocidade média se refere à área da seção de escoamento que pode ou não ser igual à área da seção tubo Área da Seção de Escoamento Área da Seção do Tubo Área da Seção de Escoamento Área da Seção do Tubo Nos textos de hidráulica é costume representar valores de vazão pelas letra Q ou q Exemplo 311 Na figura abaixo são indicadas a velocidade média e a área no interior de três tubulações diferentes Identifique a tubulação que transporta a maior vazão As vazões são a 12Av b14Av e c 12Av Desta forma a maior vazão escoa através de b 3 Exemplo 312 Verificouse que a velocidade econômica de uma tubulação é 125ms Determine o diâmetro da tubulação para uma vazão é de 72m3hora 1000 Litros 20 L s lembre que 10 m s 002 m 3600s h h 72 m Q 3 3 3 2 3 0016m 125m s 002m s V Q A V A Q Em um tubo circular 01427m 4 0016m 4 A e logo D 4 D A 2 2 π π π Exemplo 313 Considerando os diâmetros comerciais disponíveis no mercado que são dados na tabela ao lado selecione o tamanho comercial de tubo que resulta para a vazão de 72m3hora na velocidade média de escoamento mais próxima de 125ms lembrese DN diâmetro nominal dem diâmetro externo e espessura da parede De acordo com os dados da tabela os valores de diâmetro interno e velocidade média de fluxo para uma vazão de 72m3hora 002m3s nos tubos de diâmetros nominais de 125 150 e 200mm são 125 mm 2 42 mm 1166mm 4 0020 m3 s π 01166 m 2 1873 m s 150 mm 2 5 mm 140mm 4 0020 m3 s π 0140 m 2 12992 m s 200 mm 2 54 mm 1892mm 4 0020 m3 s π 01892 m 2 07114 m s Desta forma a velocidade mais próxima de 125ms é obtida com o tubo de DN150 LINHA FIXA LF SOLD PN80 NBR 14312 190 250 360 420 500 540 505 755 1016 1250 1500 2000 50 75 100 125 150 200 e mm dem mm DN LINHA FIXA LF SOLD PN80 NBR 14312 190 250 360 420 500 540 505 755 1016 1250 1500 2000 50 75 100 125 150 200 e mm dem mm DN 4 Exemplo 314 A figura abaixo indica a direção e o valor da vazão em m3h escoando em quase todos os segmentos Assumindo uma condição de fluxo permanente em todos os segmentos determine a direção e o valor da vazão no segmento sem indicação Iniciando nocanto superior esquerdo no sentido horário a vazão que entra no sistema é 5 48 4 21 m3h Seguindo a mesma ordem a vazão de saída é 2 6 8 m3h Desta forma se não existem outras perdas a vazão no trecho sem identificação corre no sentido da saida e tem valor de 13 m3h Em um sistema com vazão constante o princípio da conservação de massa resulta na seguinte igualdade 3 3 2 2 1 1 Q A V A V A V Exemplo 315 Em uma pessoa normal em repouso a area A0 da aorta na saída do coração tem um valor médio de 3 cm2 e a velocidade média do sangue v0 nesta seção e de 30 cms Estime o número médio de capilares no corpo de uma pessoa considerando que cada capilar tem uma área média A de 3x107 cm2 e que no interior dos capilares o sangue escoa a uma velocidade v é de 005 cms A Linhas de corrente são linhas que são desenhadas no fluxo de forma a auxiliar a visualizar a movimentação das partículas de fluído As 3cm2 20 cm s 600 cm3 s n 60 cm3 s 3 10 7 cm2 005 cm s n 4 109 5 linhas de corrente são desenhadas de forma a serem tangentes a direção do vetor velocidade Linha de corrente Partícula de Fluido Linha de corrente Partícula de Fluido No fluxo permamente a forma de cada linha de corrente não se altera ao longo do tempo Fluxo Permanente Fluxo Variado Fluxo Permanente Fluxo Variado t 0 t tt Fluxo Permanente Fluxo Variado Fluxo Permanente Fluxo Variado t 0 t tt Em um dado instante as linhas de corrente não podem cortarse pois em caso positivo a partícula que se encontra no ponto de intersecção das linhas de corrente teria velocidades diferentes ao mesmo instante o que não é possível 6 32 A Equação de Euler 1 δt δs De uma maneira geral quando uma partícula de fluído se desloca de A para B as variação de velocidade v da particula são devido a mudanças no tempo t e na posição s δt δv No limite em que δt 0 dt dv a aceleração t v dt dv v s v a aceleração No fluxo permanente não existe variação da velocidade no tempo t v dt dv v s v a aceleração dt dv v s v a aceleração δv t v δs v s δt t v δt δv v s δt δs t v dt dv v s δt δs a aceleração No limite em que δt 0 v velocidade δt δs δt δs De uma maneira geral quando uma partícula de fluído se desloca de A para B as variação de velocidade v da particula são devido a mudanças no tempo t e na posição s δt δv No limite em que δt 0 dt dv a aceleração t v dt dv v s v a aceleração No fluxo permanente não existe variação da velocidade no tempo t v dt dv v s v a aceleração dt dv v s v a aceleração δv t v δs v s δt t v δt δv v s δt δs t v dt dv v s δt δs a aceleração No limite em que δt 0 v velocidade De uma maneira geral quando uma partícula de fluído se desloca de A para B as variação de velocidade v da particula são devido a mudanças no tempo t e na posição s δt δv No limite em que δt 0 dt dv a aceleração δt δv δt δv No limite em que δt 0 dt dv a aceleração dt dv dt dv a aceleração t v dt dv v s v a aceleração t v t v dt dv dt dv v s v v s v s v a aceleração No fluxo permanente não existe variação da velocidade no tempo t v dt dv v s v a aceleração t v t v dt dv dt dv v s v v s v s v a aceleração dt dv v s v a aceleração dt dv dt dv v s v v s v s v a aceleração δv t v δs v s δt t v δt δv v s δt δs δv t v δs v s δt t v δt δv v s δt δs δv t v δs v s δt δv t v t v δs v s v s δt t v δt δv v s δt δs t v t v δt δv v s δt δs δt δv δt δv v s δt δs v s v s δt δs δt δs δt δs t v dt dv v s δt δs a aceleração t v t v dt dv v s δt δs dt dv dt dv v s δt δs v s v s δt δs δt δs δt δs a aceleração No limite em que δt 0 v velocidade No limite em que δt 0 v velocidade 7 32 A Equação de Euler 2 gδm θ WS gδmcosθWs δs gδm δz Ws cosθ δz δs δm δA δsρ c na direção s a componente do peso Ws é dada por b A razão entre a projeção de δs no eixo vertical δz e δs é o cosseno de teta a a massa deste volume elementar δm é calculada pelo produto de seu volume pela sua massa específica ρ pδp δA pδA gδm av δs Considere um volume elementar de água que se desloca na direção s com velocidade v e aceleração a Se apenas as forças devido a pressão p e a gravidade g forem consideradas o seguinte diagrama pode ser estabelecido θ direção s z Onde p pressão A área g aceleração da gravidade δs δz Ws gδAδsρ θ δs δz gδm θ WS gδm θ gδm θ WS gδmcosθWs δs gδm δz δs Ws gδm δz gδm δz Ws Ws cosθ δz δs cosθ δz δs δm δA δsρ c na direção s a componente do peso Ws é dada por b A razão entre a projeção de δs no eixo vertical δz e δs é o cosseno de teta a a massa deste volume elementar δm é calculada pelo produto de seu volume pela sua massa específica ρ pδp δA pδA gδm av δs Considere um volume elementar de água que se desloca na direção s com velocidade v e aceleração a Se apenas as forças devido a pressão p e a gravidade g forem consideradas o seguinte diagrama pode ser estabelecido θ direção s z θ direção s z Onde p pressão A área g aceleração da gravidade δs δz δs δz Ws gδAδsρ θ δs δz θ δs δz 8 32 A Equação de Euler 3 Considerando agora o valor da aceleraçãono regime permamemte a equação acima fica Ao aplicar Fma Newton neste volume elementar a reseltante na direção s é pδA p pδA gδAδsρ δs δz δma pδA gδAδsρ δs δz δAδsρa p gδsρ δs δz δsρa Dividindo a expressão acima pelo produto δsρ δs p g a 0 δs z ρ 1 dt dv v s v a aceleração g δs p δs z ρ 1 v s v 0 Esta é a equação de Euler aplicada ao fluxo permanente Lembrese que na sua dedução só foram considerados os esforços devido a pressão e ao peso do fluido As forças devido à viscosidade não foram consideradas pδp δA pδA gδm av δs δm δA δsρ θ direção s z Considerando agora o valor da aceleraçãono regime permamemte a equação acima fica Ao aplicar Fma Newton neste volume elementar a reseltante na direção s é pδA p pδA gδAδsρ δs δz δma pδA p pδA gδAδsρ δs δz pδA p pδA gδAδsρ δs δz δs δz δma pδA gδAδsρ δs δz δAδsρa pδA gδAδsρ δs δz δs δz δAδsρa p gδsρ δs δz δsρa p gδsρ δs δz δs δz δsρa Dividindo a expressão acima pelo produto δsρ δs p g a 0 δs z ρ 1 δs p g a 0 δs z ρ 1 dt dv v s v a aceleração dt dv dt dv v s v v s v s v a aceleração g δs p δs z ρ 1 v s v 0 g δs p δs z ρ 1 v s v 0 Esta é a equação de Euler aplicada ao fluxo permanente Lembrese que na sua dedução só foram considerados os esforços devido a pressão e ao peso do fluido As forças devido à viscosidade não foram consideradas pδp δA pδA gδm av δs δm δA δsρ θ direção s z θ direção s z θ direção s z 9 33 A Equação de Bernoulli A equação de Euler pode ser integrada reseultando na chamanda Equação de Bernoulli i 0 v s v s z g s p 1 ρ ρ 0 ds v v z g p 1 Constante 2 V g z p 1 2 ρ Multiplicando todos os termos da equação acima por 1g obtemos a Equação de Bernoulli em termos de carga hidráulica Energia por unidade de peso da água Constante 2 g V z g g p g 1 2 ρ o peso especifico 1 onde representa g como 1 γ ρ γ Constante 2 g V z P 2 γ 34 Energia da Água e a Equação de Bernoulli Na Hidrodinâmica consideramos que a energia total da água tem três componentes Energia Cinética devido à velocidade Energia Potencial devido ao posicionamento Energia de Pressão devido à pressão Energia capacidade de realizar trabalho Trabalho produto da força pelo deslocamento unidade de trabalho Newton metro Joule Como a água escoa na forma de um corpo continuo expressamos valores de energia da água em termos de energia por unidade de peso de água Desta forma podemos fazer um paralelo com os valores de energia utilizados no estudo da dinâmica de um corpo de massa m Componente da Energia Total Cálculo na Dinâmica Cálculo em termos de Energia por unidade de peso Potencial Ep Enegia potencial de um copo de massa m posicionado a um altura Z acima do referencial Ep m g Z Ep m g Z m g Z Cinética Ec Enegia Cinética de um copo de massa m dotado de velocidade V Ec 12 m V2 Ec 12 m V2 m g V2 2 g Pressão Ep No corpo de massa m não é considerada Ep Pγ 35 Teorema de Bernoulli para um Líquido Ideal Conservação da Energia No caso do líquido perfeito ou ideal não existe viscosidade não havendo dissipação de energia durante o seu movimento Na hipótese de não dissipação de energia a soma das três componentes da energia é constante P1γ V1²2g z1 P2γ V2²2g z2 constante Reprersentação gráfica Exemplo de aplicação velocidade de um jato de água Note que V1 é zero ou V1² V2² P1 P2 pressão atmosférica z1 z2 V2²2g Note que hZ1Z2 V2 2gh Exemplo de Cálculo sob a hipótese de Líquido Ideal Considerando que um líquido ideal escoa na tubulação esquematizada abaixo calcule a a velocidade da água imediatamente após passar pelo bocal localizado no final da tubulação ponto 4 b a vazão m³s ao longo da tubulação c a altura ou carga de velocidade no ponto 2 d a altura ou carga de pressão no ponto 3 a Velocidade da água no ponto 4 de acordo com o princípio da conservação Princípio da conservação da energia P1γ V1²2g Z1 P4γ V4²2g Z4 como P1γ P4γ 0 o valor referente à pressão atmosférica na escala relativa é zero como A1 a superfície de reservatório é bem maior que A4 em 1 temos V1 0 0 0 59m 0 V4²2g 5m V4 2981ms² 595m V4 3255ms b Vazão na tubulação Q A1V1 A4V4 Q 6m²10000 3255ms 00195m³s c Carga de velocidade no ponto 2 Q A2V2 A4V4 V2 6cm²36cm² 3255ms V2 5425ms V2²2g 5425ms²2981ms² 150m d Carga de pressão no ponto 3 Q A3V3 A4V4 V3 6cm²60cm² 3255ms V3 3255ms P3γ 3255ms²2981ms² 5m Z1 P3γ 59m 5m 054m 5346m 36 Teorema de Bernoulli para Líquidos Reais Conservação da Energia No caso de um líquido real que apresenta uma certa viscosidade existe dissipação de energia durante o movimento Devido à dissipação da energia perda de carga a soma das três componentes da energia total não é constante P1γ V1²2g z1 P2γ V2²2g z2 hf12 onde hf 12 é a perda de carga entre os dois pontos considerados Reprersentação gráfica Exemplo de aplicação determinação da perda de carga admissível em uma adutora por gravidade 14 37 Utilização do Teorema de Bernoulli em problemas envolvendo máquinas hidráulicas Em problemas envolvendo bombas e turbinas o teorema de Bernoulli aplicado entre um ponto localizado na entrada da máquina ponto E e um ponto localizado na saida da máquina ponto S resulta em Onde Hbomba representa a enegia que a bomba tranfere ao líquido que passa por ela Ex Hbomba20 mca significa que cada Newton de água que passa através bomba tem a sua energia total aumentada de 20 Nm Hturbina representa a enegia que o líquido transfere à tubina ao passar por ela Ex Hturbina20 mca significa que cada Newton de água que passa através da turbina tem sua energia diimuida em 20 Nm A aplicação da equação de Bernoulli na bomba esquematizada abaixo resulta em Bomba ZE ZS iB iA Bomba ZE iB iA PE Ps is iE Bomba ZE ZS iB iA Bomba ZE iB iA PE Ps is iE E S E E S S E S 2 E 2 s bomba s s S 2 s E S bomba E E E 2 E hf i Z i Z p p 2g V V H z i p 2g V hf H z i p 2g V γ γ γ s s 2 s E S turbina bomba E E 2 E z p 2g V hf H H z p 2g V γ γ 15 Considerando que o trabalho efetuado por uma bomba é expresso pela da quantidade de energia N x m Joule que deve ser transferida a cada unidade de peso N do líquido que por ela passa a potência trabalho por unidade de tempo N x ms Watt é obtida pela seguinte expressão Onde PotH Potência hidráulica da bomba WattNms Hbomba Energia total cedida pela bomba mca Nm N de água Q vazão atrávés da bomba m3s γ Peso específico da água Nm3 Obs Hbomba a energia cedida pela bomba por unidade de peso do líquido que por ela passa é normalmente referida nos catálogos comerciais da bombas como HMT altura manométrica total da bomba Exemplo 371 Calcule a potência hidráulica em W de uma bomba com vazão de 72m3h de água γ 980665Nm3 e altura manométrica total de 50mca 980665W 50 m m 3600 s 980665 kgf 1 h h 72 m Pot 3 3 H ou 9807 kW Exemplo 372 Calcule a potência hidráulica em CV de uma bomba com vazão de 72m3h de água γ 1000kgfm3 e altura manométrica total de 50mca Lembrando que 1 CV 75kgf ms 1333cv 75 kgf m s 1 cv 50 m s 3600 s 1000 kgf 1 h h 72 m Pot 3 H Da mesma forma utilizando o resultado anterior exercício 371e lembrando que 1kgf equivale a 980665N 1333cv 75 kgf m s 1 cv 980665 N 1 kgf s 980665 N m PotH γ Q H Pot bomba H 16 Exemplo 373 Calcule a potência hidráulica em HP de uma bomba com vazão de 72m3h de água γ 980665 Nm3 e altura manométrica total de 50mca Lembrando que 1 HP 550librasforça péss 1libra força lbf é o peso de uma massa de uma libra 2 m s kg 980665 045359237 lbf 444822N 1pé 12 polegadas m 03048 00254 m 12 550 Lbf pé s Hp 1 03048m pé 1 N 045359237 980665 Lbf s 980665 N m PotH 13151 HP PotH Exemplo 374 Calcule a energia cedida Hbomba e a potência hidráulica em CV da bomba esquematizada abaixo considerando um líquido ideal hfAB0 de peso específicoγ de 1000kgfm3 com vazão Q de 400m3h leitura em um manômetro na entrada da bomba PA de 07kfgcm2 leitura de um manômetro na saida da bomba PB de 30kgfcm2e que o diâmetro da tubulação na entrada da bomba é de 300mm e que o diâmetro na saida da bomba é de 150mm Bomba ZE ZS iB iA Bomba ZE iB iA PE Ps is iE Bomba ZE ZS iB iA Bomba ZE iB iA PE Ps is iE Note que neste exercício γ γ E S 2 E 2 S bomba A E B S S E E s E E S s E S 2 E 2 S bomba p p 2g V V H 0 os manômetros estão no mesmo nível i Z i Z 0 Líquido ideal hf hf i Z i Z p p 2g V V H Resposta Hbomba 249 m e PotH 369CV