Mecanica Geral

1 Mostre que IICMMa2 onde ICM é o momento de inércia de um corpo de massa M em relação a um eixo passando pelo centro de massa I é o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao primeiro e distante deste de a Este resultado é conhecido como teorema dos eixos paralelos ou teorema de Steiner 2 Seja um corpo plano de espessura desprezível O eixo z é um eixo perpendicular ao plano Os eixos x e y estão neste plano e são perpendiculares entre si veja a figura Mostre que IzzIxxIyy Este resultado é conhecido como o teorema dos eixos perpendiculares 3 Uma barra uniforme de comprimento l e massa m pode girar livremente em torno de um eixo horizontal que passa pelo ponto A situado a uma distância b de seu centro de massa Deslocandose a barra de um pequeno ângulo θ0 relativo à posição de equilíbrio θ0 e abandonandoo nesta posição no instante t0 pedese a A equação diferencial do movimento da barra b A solução θt desta equação que satisfaça às condições iniciais do problema c O período de oscilação da barra 12 Um pequeno disco de massa m gira em torno de um ponto O sobre uma mesa preso a um fio de comprimento l e massa desprezível O atrito entre o disco e a mesa também é desprezível O sistema descrito está em um referencial inercial a Faça um diagrama mostrando as forças que atuam sobre o disco de acordo com um observador inercial Onde estão as reações a estas forças b Considere agora um observador localizado no ponto O e girando com a mesma velocidade angular ω Este observador é inercial Faça um diagrama das forças que atuam no disco segundo ele Onde estão suas reações c Suponha que num determinado instante o fio se rompa Esquematize a trajetória seguida pelo disco de acordo com os dois observadores descritos nos itens anteriores 13 Para um observador inercial O o movimento de uma partícula é descrito por rt57t3ex2teyez metros t em segundos Um outro observador O vê o movimento da mesma partícula só que através do seguinte vetor rt7t3exeytez metros t em segundos a Qual a velocidade do observador O em relação ao observador O b O observador O também é inercial Explique 14 Considere um sistema de partículas com massas mi i1N O potencial gerado por essa distribuição em um ponto r é Φri Gmirri 1 a Mostre que para o caso de uma distribuição homogênea e esfericamente simétrica de massa o potencial é ΦrGMr 2 onde M é a massa total b Suponha agora que rri Mostre que ΦrGimi r mi ri cosθi r2 mi r2 r3 32cos2θi121ropri3r3 3 onde cosθirrirri Esta expansão é conhecida como expansão multipolar O primeiro termo é o termo de monopolo o segundo é o de dipolo o terceiro é o de quadrupolo e assim por diante c Considere agora a origem do referencial no centro de massa do sistema Mostre que o termo de dipolo é nulo neste caso de forma que a expressão fica ΦrGMrGi mir2i32cos2θi121ropri3r3 4 Verifique que o termo de quadrupolo é nulo para o caso de uma distribuição homogênea e esfericamente simétrica de massa 5 Uma barra de comprimento l e massa M pode girar livremente em torno de um pino colocado em A num plano vertical Um projétil de massa m e velocidade v atige a barra ficando alojado nela a Calcule a velocidade angular de rotação da barra imediatamente após a colisão b Que relação deve existir entre a e l para que não haja uma força extra do pino sobre a barra no instante da colisão c Qual é a quantidade de energia transformada em calor durante o processo 6 Uma barra homogênea e estreita de massa m e comprimento l é mantida verticalmente com uma das extremidades apoiada no chão Ela é então deixada cair Supondo que a extremidade apoiada no chão não desliza determine a velocidade da outra extremidade quando toca o chão 7 Um disco de raio R e massa M está enrolado num fio e disposto como na figura Calcule a aceleração com que o centro de massa desce 8 Um truque interessante que pode ser feito com uma bola de gude colocada sobre uma mesa horizontal é pressionála com o dedo de maneira a projetála para a frente e girando Considere que a bola saia com velocidade v0 e velocidade angular ω0 como na figura O coeficiente de atrito estático entre a bola de gude raio R e a mesa é constante a Que relação precisamos ter entre v0 R e ω0 para que a bola deslize até parar completamente b Idem para o caso de a bola deslizar parar e depois voltar até atingir uma velocidade constante final igual a 37v0 8 Um truque interessante que pode ser feito com uma bola de gude colocada sobre uma mesa horizontal é pressionála com o dedo de maneira a projetála para a frente e girando Considere que a bola saia com velocidade v0 e velocidade angular ω0 como na figura O coeficiente de atrito estático entre a bola de gude raio R e a mesa é constante a Que relação precisamos ter entre v0 R e ω0 para que a bola deslize até parar completamente b Idem para o caso de a bola deslizar parar e depois voltar até atingir uma velocidade constante final igual a 35v0 9 Considere 4 partículas de massa m dispostas como na figura abaixo Calcule os momentos e produtos de inércia do sistema com relação aos eixos indicados Calcule os momentos principais de inércia 10 Mostre que todo eixo que passa pelo centro de massa de um cubo é principal 11 Um corpo é atirado para cima com uma velocidade v0 Prove que ele voltará a terra deslocado para o oeste de uma distância igual a 43 8h³g vg cos λ onde λ é a latitude e h v0²2g 12 Um pequeno disco de massa m gira em torno de um ponto O sobre uma mesa preso a um fio de comprimento l e massa desprezível O atrito entre o disco e a mesa também é desprezível O sistema descrito está em um referencial inercial a Faça um diagrama mostrando as forças que atuam sobre o disco de acordo com um observador inercial Onde estão as reações a estas forças b Considere agora um observador localizado no ponto O e girando com a mesma velocidade angular ω Este observador é inercial Faça um diagrama das forças que atuam no disco segundo ele Onde estão suas reações c Suponha que num determinado instante o fio se rompa Esquematize a trajetória seguida pelo disco de acordo com os dois observadores descritos nos itens anteriores 1 Considere um elemento ei x0 passando pelo CM de massa dm localizado a uma distância r do eixo Se dm estiver na região 1 r a rcm Se dm estiver na região 2 r a rcm Se dm estiver na região 3 r rcm a de todo modo r² rcm a² r² rcm² a² 2a rcm Ix Icm Iy I r² dm rcm² a² 2a rcm dm rcm² dm a² dm 2a rcm dm eixo qualquer paralelo ao primeiro x y 2 3 1 dm rcm n a r X Y O primeiro termo é o Icm O segundo termo é igual a Ma² pois dm M O terceiro termo é nulo pois por definição o centro de massa é o eixo onde essa integral é zero Então considerando esses pontos I Icm Ma² 3 IA Icm Mb² 112 Ml² Mb² O torque na barra deslocada um angulo θ é T M g b sen θ a Usando a 2ª Lei de Newton τ I d²θdt² M g b sen θ IA d²θdt² d²θdt² M g b sen θIA 0 c para angulos pequenos sen θ θ então a equação fica ö M g b θIA 0 ö w² θ 0 w² M g b IA A solução é do tipo θt Acoswt ψ θ0 θ₀ A cos ψ θ₀ ö0 0 A w sen ψ 0 ψ 0 velocidade nula em t 0 Então A cos ψ θ₀ A θ₀ θt θ₀ cos12 g b l² 12 b² t A massa no numerador e no denominador é simplificada c coswt T cosw t Sabemos que cosθ 2π cos θ Então w T 2π T 2πw T 2π l² 12 b² 12 g b 4 Momento de inércia em torno do pivô I Icm M d² MR² MR² 2 MR² O torque é τ M g R sen θ Para pequenos oscilações sen θ θ Então τ I ö Mg R θ 2 MR² ö gR θ 2 ö ö g2R θ 0 w² g2R ö w² θ 0 T 2πw conforme questão 3 T 2π 2Rg 5 ITOTAL Ml²3 ma² a Ibarra Iprojétil Pela conservação do momento angular total Linicial Lfinal O projétil tem momento angular em relação ao ponto A dado por Lprojétil m v a L r x p r x m v que no caso se reduz a L m v a omitindo a forma vetorial Então m v a Itotal w m v a 13 Ml² ma² w w m v a13 Ml² ma² b Para que não haja força extra no pino o torque gerado pelo impacto no ponto a seja compensado pelo movimento do centro de massa da barra ΣτA IA α ΣτA é o somatório dos torques em relação ao ponto A IA é o momento de inércia da barra em relação ao ponto A α é a aceleração angular da barra ΣτA Fa onde F é a força do impacto α acm l2 onde acm é a aceleração do centro de massa Usando a 2ª Lei de Newton F Macm ΣτA Fa IA αcm l2 Substituindo F temos Ma IA acm l2 a IA M l2 IA 13 M l² a 23 l c A energia transformada em calor é a diferença entre a energia cinética inicial e a energia cinética final Ei 12 mv² Ef 12 ITOTAL ω² ω² mva 13 Ml² ma²² Ef 12 13 Ml² ma²mva 13 Ml² ma²² Ef mva² 213 Ml² ma² Q Ei Ef 12 mv² mva² 213 Ml² ma² 6 Energia potencial inicial Epi mgl2 onde l2 é a altura do centro de massa em relação ao solo Energia cinética final 12 I ω² Pela conservação da energia mgl2 12 I ω² I 13 ml² mgl 13 ml² ω² ω² 3g l v ω l v l 3g l v 3gl 7 Equação do movimento na translação Mg T Ma Equação do movimento na rotação τ I α onde τ TR I 12 MR² α a R Substituindo TR 12 MR a T 12 Ma Substituindo T na eq de translação Mg 12 Ma Ma Mg 12 Ma Ma g 12 a a g 32 a a 23 g 8 a Fat μmg Translacao O sinal significa que a força esta no sentido oposto do movimento Fma μmgma aμg vtv0atv0μgt Rotacaõ o sinal indica que o torque é no sentido oposto à rotação τIα FatR 25 m R2 α μmgR 25 m R2 α α 52 μg R wt w0 5μg 2R t Condição de parada v0 w0 Pela equação de translação t v0 μg Substituindo na equação de rotação w0 5μg 2R v0 μg 0 w0 5 v0 2R b Condição de parada v0 t v0μg wt w0 5μg 2R v0 μg w1 w0 5 v0 2R Translação Fat ma μmgma aμg vt μgt v 37 v0 37 v0 μgt t 3 v0 7 μg Rotação τ Iα Fat R 25 m R2 α μmgR 25 m R2 α α 5 μg 2R wt w1 5μg 2R t wt w0 5 v0 2R 5μg 2R t No rolamento v R w Para v 37 v0 w 3 v0 7 R 3 v0 7 R w0 5 v0 2R 5 μg 2R 3 v0 7 μg 37 v0 R w0 52 v0 R 1514 v0 R w0 37 52 1514 v0 R w0 R 4 v0 9 Coordenadas Particula coordenadas 1 b 0 0 2 0 0 b 3 b 0 b 4 0 b b Os momentos de inércia são dados por Ix Σ m y2 z2 Iy Σ m x2 z2 Iz Σ m x2 y2 Ix m02 02 m 02 b2 m02 b2 m b2 b2 Ix 4 m b2 Iy m b2 02 m 02 b2 m b2 b2 m 02 b2 Iy 5 m b2 Iz m b2 02 m 02 02 m b2 02 m 02 b2 Iz 3 m b2 Os produtos de inércia são Ixy Σ mxy Ixz Σ mxz Iyz Σ myz Ixy mb0 m00 mb0 m0b Ixy 0 Ixz mb0 m0b mbb m0b Ixz mb² Ixz m00 m0b m0b mbb Ixz mb² Matriz de inércia I Ix Ixy Ixz Ixy Iy Iyz Ixz Iyz Iz 4 0 1 0 5 1 1 1 3 mb² Cálculo dos autovalores 4λ 0 1 0 5λ 1 0 1 1 3λ 4λ5λ3λ10105λ1 0 4λ158λλ²5λ 0 5646λ12λ²λ³5λ 0 λ³12λ²45λ51 0 Soluções λ₁ 21206 λ₂ 43473 λ₃ 55321 Logo I₁ 21206 mb² I₂ 43473 mb² I₃ 55321 mb² São os momentos principais de inércia 10 A matriz de inércia de um cubo por simetria é diagonal I Ix 0 0 0 Iy 0 0 0 Iz com Ix Iy Iz Logo qualquer rotação em torno desses eixos não altera a matriz de inércia e portanto todo eixo passando pelo centro do cubo é principal I R I Rᵀ I R Rᵀ I identidade I 11 Fcoriolis 2m w v h v₀²2g w v w v senπ2 λ w v cos λ Fcon 2m w v cos λ v v₀ g t acon 2 w cos λ v₀ g t vcon 2 w cos λ 0 to t v₀ g t dt 2 w cos λ v₀ t g t²2 integrando novamente dcon 2 w cos λ v₀ t²2 g t³6 t 22hg dcon 2 w co Patchouli knowledge in summer Essences are easier to obtain with high temperatures It is known to be the best oil to treat skin problems such as acne patches and scars In addition to repelling mosquitoes it helps combat asthma fatigue and depressive episodes It has antiinflammatory and antiseptic properties and is the best oil to soothe the scalp It combines excellently with lavender cedarwood bergamot lemon rosemary ginger clove patchouli and vetiver Essential oils that repel eucalyptus citronella peppermint lemon cinnamon thyme and geranium Method Absorb a 1 to 2cm diameter cotton ball with mixture of patchouli and lavender consume 10ml daily Clothing To protect do not use essential oils directly on the skin Apply loads of diluted oils on clothing and places in the house This way the oils diffuse through the air driving away annoying insects It also works well in diffusers Suggested dose Mix up to 6 drops in 100ml of water The mixture can be sprayed on furniture and as a bug spray in windows and doors Warnings To be used only with a professional can cause allergies avoid during pregnancy and breastfeeding Refrigerate opened products