Física Quântica - Lista 7 Gabarito: Degraus, Barreiras e Tunelamento

Física Quântica 20213 Quadrimestre Suplementar 4 Lista 7 Tema Degraus Barreiras e Tunelamento GABARITO Questões a Discuta qualitativamente os fenômenos de reflexão e transmissão de ondas de matéria em uma barreira de potencial e em um poço de potencial quadrado finito Resp No caso da barreira potencial três fenômenos podem ocorrer dependendo da energia total da partícula E do potencial da barreira V0 e da largura da barreira L Se E V0 A onda ou o pacote de ondas ao atingir a barreira devido a abrupta mudança de potencial em parte é refletido e em parte transmitido Esse fenômeno ocorre tanto no início quanto no fim da barreira ou seja sempre que há uma mudança repentina de potencial No caso de uma partícula clássica essa reflexão não seria esperada A porcentagem de partículas que são refletidas ou transmitidas dependendo dos valores de E e V0 Se E V0 e L é grande Todas as partículas são refletidas ao atingir a barreira Se E V0 e L é suficientemente pequeno Parte das partículas são refletidas e parte são transmitidas graças ao fenômeno de tunelamento tal fenômeno não possui aná logo clássico No caso do poço quadrado finito teremos também os fenômenos de reflexão e transmissão pra estados que nao sejam ligados Ou seja Se E V0 Ocorre o efeito de transmissão e reflexão de maneira semelhante ao caso descrito anteriormente Se E V0 Temos um estado ligado ou seja a partícula é confinada no potencial e pode possuir apenas valores específicos de energia E b Explique o que é tunelamento como ocorre e quais as condições para que ocorra Resp O fenômeno de tunelamento ocorre quando uma onda consegue penetrar e atraves sar uma barreira de potencial mesmo que classicamente ela não tivesse a energia suficiente para superar esta barreira Resolvendo a equação de Schrödinger vemos que a probabili dade deste efeito ocorrer diminui com a largura da barreira e com a altura do potencial pois nas regiões classicamente proibidas há uma supressão ou queda exponencial na fun ção de onda e consequentemente na probabilidade de se medir a partícula nessa região Se Figura 1 Gráfico de T 858105 e valor de sua raiz 3 Um elétron tem energia cinética de 12 0 eV O elétron incide sobre uma barreira retangular de altura 20 0 eV e largura de 100 nm Se o elétron absorveu toda a energia de um fóton de luz verde com comprimento de onda de 546 nm no instante em que alcançou a barreira por qual fator aumentaria a probabilidade de o elétron tunelar através da barreira Resp Para esta questão primeiramente usamos T 16 EV0 1 EV0 e22mV0 EħL para determinar a taxa de transmissão do elétron antes deste absorver o fóton que resulta em Tantes 1 01 1012 Então após a absorção do fóton o elétron passa a ter uma nova energia cinética de Ekdepois EKantes hcλ 12 0 eV 2 27eV 14 27eV e portanto devemos recalcular a taxa de transmissão que nos dá Tdepois 7 40 1011 Desse modo o fator de aumento da probabilidade de tunelamento é dado por ΔT TdepoisTantes 73 0 ou seja após o elétron absorver o fóton este elétron teria probabilidade 73 vezes maior de tunelar considerarmos um potencial degrau finito determinando as solução da equação de Schrödinger e aplicando as condições de contorno chegamos que o coeficiente de transmissão associado a probabilidade partícula atravessar a barreira para o caso de um potencial muito alto comparada a energia da partícula é proporcional a T e22mV0 EħL Podemos ver que depende da massa da partícula da diferença entre o potencial e a energia da partícula V0 E e da largura da barreira L c Considere uma feixe de partículas de massa m0 e energia cinética média Ek que incidem em uma barreira quadrada de largura L e altura V0 onde Ek V0 Escreva a expressão que descreve a taxa de transmissão de tunelamento e discuta como o valor desta taxa muda quando variamos os parâmetros m0 Ek L e V0 Resp A taxa de transmissão de tunelamento é proporcional à expressão T e22m0V0EkħL Assim analisando esta expressão matemática podemos ver que T diminui exponencialmente com m0 V0 e L ou seja quanto maior um destes parâmetros menor será a taxa de transmissão Ainda podemos notar que T é afetado de forma mais acentuada por L que por m0 e V0 pois o efeito de L não é atenuada pela raiz quadrada Em relação a energia cinética EK quanto maior a energia cinética da partícula maior é a transmissão Nota 1 Um cálculo exato da taxa de transmissão de tunelamento de partículas de massa m0 e com energia cinética E por uma barreira quadrada de altura V0 e largura L é dada por T 1 senh22m0V0EkħL 4EkV01EkV01 Onde senhx é o seno hiperbólico senhx ex ex2 Porém para casos onde 2m0 V0 EħL 1 a expressão pode assumir a forma aproximada mais simples utilizada na resposta das questões b e c A dedução da expressão exata da taxa de tunelamento pode ser vista no livro Física Moderna Tipler Seção 66 Problemas 1 Considere o potencial degrau Vx 0 se x 0 região I V0 se x 0 região II em que V0 é uma constante positiva i Sendo E V02 a energia de cada partícula num feixe incidindo inicialmente de x 0 e que se move em direção a x 0 calcule o coeficiente de reflexão R Nesse caso qual é o comportamento da função de onda de uma partícula na região onde x 0 É possível observar partículas nesta região em algum momento Page 2 ii Para E 2V0 calcule o coeficiente de reflexão R e o coeficiente de transmissão T Mostre que R T 1 iii No caso do item ii e considerando que o feixe contém aproximadamente um milhão de partículas qual seria o número estimado de partículas refletidas Resp i Neste caso temos um comportamento de decaimento exponencial e2mV0 Eħ para a região x 0 e não observaremos partículas nesta região assim temos T 0 e portanto R 1 iiNeste caso considerando as condições de contorno para o problema temos que R k1 k22k1 k22 e T 4k1k2k1 k22 Física ModernaTipler seção 66 e para E 2V0 Lembrando que k1 2mEħ2 e k2 2mEV0ħ2 Então k1 2k2 assim R 2 222 22 0 03 e T 82 2 22 0 97 e portanto T R 1 como esperado iii O número de partículas refletidas é dado por n NT R como NT 106 partículas então n 30000 2 Em um dispositivo semicondutor uma camada de óxido forma uma barreira com 05 nm de largura e 10 V de altura entre os dois fios condutores Elétrons chegam a barreira depois de serem acelerados por uma tensão de 5 V partindo aproximadamente do repouso i Qual fração dos elétrons incidentes consegue atravessar a barreira por tunelamento ii Qual deve ser a tensão de aceleração para que a fração dos elétrons incidentes que consegue atravessar a barreira por tunelamento seja o dobro do valor encontrado no item i Resp i Podemos usar uma expressão aproximada para a taxa de tunelamento transmissão através da barreira T 16 EV0 1 EV0 e22mV0 EħL Física ModernaTipler seção 66 que para os valores dados resulta em T 4 27 105 ii Para esta questão vemos que a taxa de tunelamento é proporcional a tensão de aceleração Assim mantendo todos os parâmetros na expressão do item i e variando apenas o valor de E vemos que para E 5 6eV nós obtemos um valor de T que é a dobro do valor obtido em i Nota O ideal para resolver este item seria a inversão da equação do item anterior porém ficamos com uma equação transcendente bastante complicada assim nós optamos pela solução fazendo tentativa e erro de valores de E até obter um valor de T que fosse o dobro do obtido no item anteriorOutra forma de resolução válida é fazer o gráfico de T 8 58105 ou seja a função menos o valor que queremos achar e procurar sua raiz como mostrado na Figura 1 Page 3 1 includes mathematical formulas and text as described in image 2 with page number Page 2 at bottom 2 includes mathematical formulas and text as described in image 3 with page number Page 3 at bottom