Lista de Exercicios 1 Interacoes Atomicas e Moleculares - Mecanica Quantica

Interações Atômicas e Moleculares Segundo quadrimestre letivo de 2024 Professor Michel Mendoza Lista de Exercícios 1 Explique com palavras i o que significa normalizar uma função de onda ii também o significado do valor esperado de x e iii por que é necessário utilizar um operador diferencial no cálculo do valor esperado de p iv Explique o significado da função de onda que aparece na equação de Schrödinger 2 a Explique o quê é uma equação de autovalores b Qual é a importancia dessa equação na mecânica quantica c Escreva a equação de autovalores mais importante da Física Quântica d Que podemos obter a partir de uma equação de autovalores 3 a Para um poço de potencial infinito faça o gráfico da Px para n 10 depois trace a curva de probabilidade clássica de encontrar a partícula Explique a relação entre as curvas b Um poço de potencial infinito esta definido entre x a e x b com a b Qual é o valor esperado x x para o estado fundamental Encontre esse valor fazendo uma análise qualitativa c Para o caso anterior qual é o p para o estado fundamental Explique por quê d Escreva 3 equações de autovalores da mecânica quântica e explique o que elas significam 4 Normalize a função de onda x Aexpax2 A e a são constantes sobre o dominio x 5 Se as funções de onda 1x t 2x t e 3x t são três soluções da equação de Schroedinger para uma energia potencial particular Ux t mostre que a combinação linear arbitrária x t c1 1x t c2 2x t c3 3x t também é uma solução desta equação Explique o que significa fisicamente a combinação linear mostrada antes 6 Em um certo instante uma função de onda depende da posição conforme está mostrado na figura a Se fosse feita uma medida que possa localizar a partícula associada em um elemento dx do eixo x nesse instante onde seria maior a probabilidade de encontrála b Onde seria menor esta probabilidade c As chances de que ela seja encontrada em qualquer valor positivo do eixo x seriam melhores do que as chances de que seja encontrada em qualquer valor negativo Problema 6 7 a Verifique que a função de onda xt A sin 2πx a eiEtħ a2 x a2 0 x a2 ou x a2 é uma solução para a equação de Schroedinger na região a2 x a2 para uma partícula que se move livremente nessa região mas que está confinada a ela b Normalize a função de onda ajustando o valor da constante multiplicativa A de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula associada em algum ponto da região de comprimento a seja um c Calcule o valor esperado de x e o valor esperado de x2 para a partícula associada à função de onda d Calcule o valor esperado de p e o valor esperado de p2 para a partícula associada à função de onda e Use as grandezas calculadas nos dois problemas precedentes para calcular o produto das incertezas na posição e no momento da partícula neste estado Use Δx x2 x2 e Δp p2 p2 como as incertezas Δx e Δp O princípio de incerteza é cumprido 8 No cálculo do valor esperado do produto da posição pelo momento surge uma ambiguidade porque não é evidente qual das duas expressões xp Ψ x iħ x Ψ dx px Ψ i ħ x x Ψ dx deve ser usada Na primeira expressão x opera sobre Ψ na segunda opera sobre xΨ a Mostre que nenhuma das duas é aceitável porque ambas violam a exigência óbvia de que devem ser reais já que é mensurável b Mostre então que a expressão xp Ψ x iħ x iħ x x 2 Ψ dx é aceitável porque satisfaz a essa exigência Sugestão i Uma grandeza é real se ela é igual a seu complexo conjugado ii Tente integrar por partes iii Em qualquer caso realístico a função de onda sempre se anula para x Este resultado é muito importante nos cálculos algébricos feitos na mecânica quântica é sempre deve ser tomado em conta 9 a Calcule as autoenergias e autofunções funções de onda para uma partícula de massa m e elétron confinada num potencial quadrado infinito de largura a centrada na origem Esboce os estados b Para o estado fundamental calcule os valores esperados de x px x2 e px2 c Calcule as incertezas de x e px d Porque não existe o estado para n0 10 Seja uma partícula de massa m elétron confinada num potencial quadrado unidimensional Vx poço quântico 1D o potencial quadrado tem uma largura a a Determine o valor da energia E para o estado fundamental Considere que a função de onda para o estado fundamental tem uma auto função dada por ψx Acosπx a para x entre a 2 e a 2 Fora desse intervalo a autofunção é zero Faça um grafico da autofunção b Escreva a função de onda para o estado fundamental c Calcule o valor esperado para o momento linear p associado com o estado fundamental 11 Duas autofunções possíveis de uma partícula se movendo livremente em uma região de comprimento a mas estritamente limitada a esta região estão mostradas na figura Quando a partícula estiver no estado correspondente à autofunção ψI sua energia total é 4 eV a Qual é a energia total no estado correspondendo a ψII b Qual é a menor energia total possível que a partícula neste sistema pode ter 12 Explique como se produzem as transições eletrônicas 13 As transições eletrônicas entre níveis quânticos é um problema que depende do tempo da distribuição de carga e da emissão ou absorção de um fóton Este problema trata sobre esse assunto Considere um elétron confinado na direção x átomo 1D e que pode ocupar o nivel de energia n1 E1 ψ1x ou o nivel de energia n2 E2 Problema 11 ψI ψII a2 a2 ψ2x a Calcule a distribuição de carga para o átomo não excitado Explique porquê o elétron não emite um fóton b Calcule a distribuição de carga para o átomo excitado Analisando o resultado explique porquê o elétron emite radiação emite um fóton Calcule a frequência do fóton emitido 14 Mostre que a função de onda ψx t Acoskx wt iAsenkx wt satisfaz a equação de Schroedinger dependente do tempo 15 Mostre que a função de onda ψx t Aexpkx wt não satisfaz a equação de Schroedinger dependente do tempo 16 A função de onda de uma partícula de massa m movendose em um potencial Vx é ψx t Aexpikt kmx2 ħ onde A e k são constantes Encontre a forma explícita do potencial Vx 17 A função de onda do estado fundamental de uma partícula de massa m é dada por ψx expa2 x4 4 com autovalor de energia ħα2 m Qual é o potencial em que a partícula se move 18 Usando a equação de Schroedinger independente do tempo encontrar o potencial Vx e a energia E para a qual a função de onda ψx xx0n expxx0 com n e x0 constantes é uma autofunção Assumir que Vx vai para zero quando x vai para infinito 19 O autovalor e a autofunção correspondente para um potencial unidimensional Vx são E0 e Ψx A x2 a2 Encontre o potencial Vx 20 O operador Hamiltoniano de um sistema é H d2dx2 x2 Mostrar que Nxexpx2 2 é uma autofunção de H e determine o autovalor Também calcule o valor de N 3 21 Uma particula quˆantica esta confinada num poco de potencial infinito e unidimensional entre 0 x a Para t 0 a funcao de onda do sistema e ψx 0 C1sen πx a C2sen 2πx a onde C1 e C2 sao constates de normalizacao a Encontre a funcao de onda para o tempo t b Encontre o valor medio da energia do sistema para o tempo t 22 Considere uma partıcula de massa m confinada dentro de um poco quantico unidimensional e in finito O poco quˆantico se encontra definido entre 0 x a A funcao de onda da partıcula para o tempo t 0 e ψx 0 A2sen πx a sen 3πx a a Normalize ψx 0 b Encontre ψx t 23 Um espectro teoricoexperimental apresenta linhas picos de intensidade I associados com os valores de energia E do sistema Se as energias observadas no espectro IE para a partıcula de massa m sao 2 3 4 para cada uma dessas energias existe um pico Calcule o potencial que confina o sistema em funcao dos dados anteriores 24 Um oscilador harmˆonico se move num potencial V x 12kx2 cx onde c e uma constante Encontrar os autovalores de energia 25 Um eletron esta confinado num potencial V x 12kx2 onde k e uma constante e esta sujeito para um campo eletrico ϵ ao longo do eixo x En contrar os autovalores de energia 26 Um eletron e confinado no estado fundamental de um oscilador harmˆonico simples de forma que x xo m Asumindo que T V com T e V sendo as energias cinetica e potencial encon trar usando os dados anteriores a a frequˆencia do oscilador b a energia reque rida para poder excitar o eletron para o primeiro estado excitado 27 Uma partıcula de massa m se movimenta dentro de uma caixa tridimensional de lados a b y c Se o potencial e zero dentro da caixa e infinito afora encontre as autofuncoes e os autovalores 28 Se a caixa do problema anterior e cubica de lado a a Encontre as autofuncoes e os autovalores b Qual e a energia do estado fundamental do sistema c Qual e a degenerescˆencia do primeiro e segundo estado excitado 29 As transicoes eletrˆonicas entre nıveis quˆanticos e um problema que depende do tempo da distri buicao de carga e da emissao ou absorcao de um foton Este problema trata sobre esse assunto Considere o eletron do atomo de Hidrogˆenio e que pode ocupar o nivel de energia n 1 E1 ψ100 ou o nivel de energia n 2 E2 ψ200 Use estes dados para a Calcular a distribuicao de carga para o atomo nao excitado Explique porquˆe o eletron nao emite um foton b Calcular a distribuicao de carga para o atomo excitado Analizando o resultado explique porquˆe o eletron emite radiacao emite um foton Calcule a frequˆencia do foton emitido c Calcular o tempo de vida do atomo excitado 30 Considere o movimento livre de uma partıcula quˆantica de massa M restrita a um cırculo de raio r Encontre as autofuncoes e os autovalores de ener gia Dica use coordenadas esfericas projetadas no plano xy ou seja pode usar a matematica do atomo de Hidrogˆenio 31 Uma partıcula de massa m se move em um anel de raio a no qual o potencial e constante i Encontre as energias e funcoes proprias permitidas ii Se o anel tem duas voltas cada uma com um raio a quais sao as energias e funcoes proprias 32 Um eletron no estado n 2 do Hidrogˆenio perma nece ali aproximadamente ao redor de 108 s antes de transitar para o estado n 1 a Estime a in certeza na energia para o estado n 2 b Que fracao da energia de transicao e esta c Qual e o comprimento de onda e a largura de linha para esta transicao no espectro do atomo de Hidrogˆenio 33 Considere o eletron do atomo de Hidrogˆenio Usando xp ℏ mostre que o radio do orbi tal eletrˆonico para o estado fundamental e igual ao radio de Bohr 34 Explique porquˆe nao existe uma orientacao privile giada para o atomo 35 Calcule o valor esperado da energia potencial V para o eletron no estado 1s do atomo de Hidrogˆenio Usando este resultado calcule o valor esperado da energia cinetica T 36 Para um tempo t 0 a funcao de onda para o atomo de Hidrogˆenio e Ψr t 0 1 102Ψ100 Ψ210 2Ψ211 3Ψ211 onde os subındices sao os valores dos numeros quˆanticos n l m i Qual e o valor esperado para a energia do sistema ii Qual e a probabilidade de encontrar o sistema com l 1 m 1 37 Hidrogˆenio deuterio e helio monoionizado sao exemplos de atomos de um eletron O nucleo do deuterio tem a mesma carga do nucleo de hi drogˆenio e massa quase exatamente duas vezes maior O nucleo de helio tem carga duas vezes maior do que o nucleo de hidrogˆenio e massa quase 4 exatamente quatro vezes maior Faca uma previsao exata da razao entre as energias dos estados funda mentais desses atomos Sugestao Lembre a va riacao na massa reduzida 38 Verifique por substituicao que a autofuncao ψ211 e a energia E2 satisfazem a equacao de Schroedinger independente do tempo para o atomo de um eletron com Z 1 39 Explique o que e o spin origem e como poderia ser colocado dentro da representacao ondulatoria de Schroedinger 40 Usando resultados da mecˆanica quˆantica calcule os momentos magneticos orbitales que sao possıveis para um nivel n 3 41 Mostre as possıveis orientacoes do vetor momento angular orbital L para l 0 1 2 3 4 42 Determine o maximo de separacao de um feixe de atomos de Hidrogˆenio os quais se movem uma distˆancia de xo m e com uma velocidade de vo ms perpendicularmente com um campo magnetico de intensidade dada por Bz T Despreciar o mo mento magnetico do proton Faca um esquema do sistema antes de fazer os calculos algebricos usando eixos coordenados e explique qual e o pa pel das forcas magneticas que existem nos diferen tes eixos Tambem mostre no grafico a dinˆamica que seguem os atomos explique por quˆe Expli que que acontece se no lugar de Hidrogˆenio usamos atomos de Helio 43 Determine o maximo de separacao de um feixe de atomos de Hidrogˆenio os quais se movem uma distˆancia de 20 cm e com uma velocidade de 2x105 ms perpendicularmente com um campo magnetico que tem um gradiente de 2x102 Tm Despreciar o momento magnetico do proton 44 Determine a diferenca de energia entre os eletrons que estao alinhados e antialinhados com um campo magnetico uniforme de 08 T quando o feixe de eletrons livres se move perpendicularmente ao campo 45 Exprese SL em termos de j l e s 46 Calcule os possıveis valores de SL para l 1 e s 12 47 Mostrar que na presenca de acoplamento SL spin orbita o numero quˆantico de momento angular tem valores dados por j l s l s 1 l s 2 l s 48 O operador da energia de interacao spinorbita pode ser escrito como ESL 1 2m2c2 1 r dV r dr SL Esta interacao causa desdobramentos nos nıveis de energia Calcule o valor esperado desta energia de interacao 49 Em quais dos atomos a seguir o estado fundamental e desdobrado pela interacao spinorbita Li B Na Al K 50 Um atomo de Hidrogˆenio no estado fundamental e submetido a um campo magnetico Bz 0 55 T a Calcule o desdobramento dos estados de spin b Qual dos estados tem maior energia c Qual a frequˆencia da radiacao necessaria para excitar o atomo do estado de spin de menor energia para o de maior energia Em que regiao do espectro ele tromagnetico esta esta radiacao d Seria possıvel observar experimentalmente esse desdobramento com um unico atomo Explique Como poderia observar experimentalmente esse desdobramento 51 a Explique de forma qualitativa e quantitativa o prıncipio de exclusao de Pauli e suas consequˆencias b Nos atomos polieletrˆonicos os eletrons sao partıculas idˆenticas de spin 12 Explique quais sao as consequˆencias deste fato nas propriedades atˆomicas 52 Considere um sistema de 2 eletrons nao interagen tes em seus estados fundamentais em um poco uni dimensional de potencial infinito a Faca um grafico esquematico das partıculas ocupando os nıveis energeticos com seus respetivos numeros quˆanticos b Encontre a autofuncao para o sis tema no estado fundamental Essa autofuncao cumpre o prıncipio da indistinguibilidade c Qual e a energia do sistema para esse estado Qual e a energia de cada partıcula individual c Quˆe su cede quando um campo magnetico B e aplicado Grafique agora os nıveis energeticos e encontre a nova autofuncao d Para este ultimo caso cal cule a energia do sistema Qual e a energia de cada partıcula individual 53 Considere um sistema de 3 eletrons nao interagen tes em seus estados fundamentais em um poco uni dimensional de potencial infinito a Faca um grafico esquematico das partıculas ocupando os nıveis energeticos b Encontre a funcao de onda para o sistema no estado fundamental c Que su cede quando um campo magnetico e aplicado Gra fique os nıveis energeticos e encontre a nova funcao de onda 54 Escreva as equacoes de autovalores da mecˆanica quˆantica para i o momento angular orbital ii o momento angular de spin e iii o oscilador harmˆonico simples Explique o que elas signifi cam e dei um exemplo de como posso aplicar essas equacoes 55 a Escreva a configuracao eletrˆonica do atomo de H b Escreva a funcao de onda completa para o estado fundamental do H c Se o H e excitado 5 para n2 escreva agora a funcao de onda com pleta para esse estado d Se fazemos uma medida experimental quais seriam as possibilidades para o estado excitado do atomo de H e Repeta todos os itens anteriores agora para un gas de atomos de H f Considere um unico atomo de H no estado fundamental qual e a energia do eletron na pre senca de um campo magnetico B Nesta situacao poderiamos observar experimentalmente o desdo bramento Zeeman Explique g Que acontece para um gas de H nas condicoes explicitadas em f 56 a Escreva a configuracao eletrˆonica do atomo de He b Escreva a funcao de onda completa para o estado fundamental do He c Considere um unico atomo de He no estado fundamental qual e a energia dos eletrons na presenca de um campo magnetico B Nesta situacao poderiamos observar experimentalmente o desdobramento Zeeman Ex plique d Que acontece para um gas de He nas condicoes explicitadas em c 57 a Escreva as equacoes de autovalor para L2 S2 J2 Lz Sz e Jz b Qual e o valor esperado de L2 e de Lz c Para o atomo de Hidrogˆenio desenhar os orbi tais 1s 2s 2pz 2px e 2py Quˆe significam esses orbitais Como seriam os orbitais para spins opos tos Explique d O Berılio Be tem 4 eletrons faca a confi guracao eletrˆonica Posso realizar experimentos de SternGerlach usando esses atomos Explique e Por outro lado um campo magnetico pode ge rar efeito Zeeman nesses atomos de Be Explique f O Boro B tem 5 eletrons faca a configuracao eletrˆonica Calcule os possıveis mj Os eletrons de valˆencia para um gas de atomos de B podem ocupar todos esses mj Explique