Exercícios Resolvidos de Mecânica Quântica - Íons Confinados e Probabilidade

Exercício 1 Um sistema físico bastante interessante pode ser constituído por íons que por meio de um design adequado de campos eletromagnéticos podem ser confinados em uma certa região do espaço como na figura abaixo Nestes sistemas podemos preparar estados quânticos associados a um ou mais íons aprisionados que na área de computação quântica podem ser usados como qubits bits quânticos que permitem a preparação de estados quânticos como estados de superposição e estados emaranhados e o seu uso em protocolos quânticos para processamento e armazenamento de informação entre outras aplicações como metrologia quântica criptografia quântica e testes de fundamentos de mecânica quântica Considere que um íon de Estrôncio Sr é submetido a uma configuração de campos eletromagnéticos de forma que podemos considerar que ele está sob a ação efetiva de um potencial unidimensional Vx cuja função de onda que descreve a sua dinâmica é psix 09683 1 x1x onde x é dado em nm para o intervalo de 100 nm leq x leq 100 nm e psix 0 em todos os outros pontos do eixo x Qual é a probabilidade de encontrar esse íon entre as posições x1 038 nm e x2 022 nm Dica Lembrese a probabilidade é um número adimensional cujo valor está entre 0 e 1 Resposta 0523 Potencial unidimensional Vx Função de onda que descreve sua dinâmica psix 09683 1x1x Para o intervalo de 1 mm x 1 mm e psix 0 para todos os outros pontos do eixo x Qual a probabilidade de encontrar esse íon entre as posições x1 038 mm e x2 022 mm Resolução Para resolver vamos utilizar a fórmula Px1x2 x1x2 psix2 dx Substituindo temos Px1 x2 038022 09683 1x1x2 dx Px1 x2 038022 09683 1x1x2 dx Organização algébrica 096832 1x2 1x2 093760489 12xx2 12xx2 093760489 1x22x4x2x2x32x3x4 093760489 x42x31 093760489 x4 187520978 x2 093760489 Pela regra da soma c1 c2 c1 c2 xx xn fracxn1n1 x x Px1 x2 038022 093760489 x4 dx 038022 187520978 x2 dx 038022 093760489 dx Px1 x2 093760489 038022 x4 187520978 038022 x2 093760489 038022 dx Px1 x2 093760489 fracx55038022 187520978 fracx33038022 093760489 x038022 Px1 x2 093760489 frac02255 frac03855 187520978 frac02233 frac03833 093760489 022038 Px1 x2 000158 004095 0562562934 Px1 x2 052319 A interface entre um metal e um material superconduotor pode ser aproximada por um potencial degrau como o esquematizado na figura abaixo Considere um feixe de partículas de massa m e energia cinética média EK 298 eV que se move da esquerda para direita inicialmente em uma região cujo potencial é nulo No ponto x 0 essa partícula atinge uma barreira muito larga de altura V0 155 eV essa barreira de potencial mantem seu valor para todo x 0 como mostrado na figura abaixo Qual é o coeficiente de transmissão T para este feixe Resposta 0967 2 Potenciais simples em uma dimensão Problema 23 Potencial degrau Um elétron com energia E 40MeV incide em uma barreira de potencial de V0 30MeV Ou seja temos Vx 0 x0 V0 x0 14 Encontre os coeficientes de transmissão e de reflexão Solução Temos a seguinte relação para os vetores de onda das ondas transmitida e incidente ktran kinc 1 V0E 12 ktran kinc 1 V0E12 05 então encontramos o coeficiente de reflexão a partir de R 1 ktrankinc 1 ktrankinc2 R 1 0 51 0 52 0111 e o coeficiente de transmissão T 4 ktran kinc 1 ktran kinc2 T 4051052 0889 Obs Note que R T 1 Energia cinética média Ek 298 eV Em x 0 a partícula atinge uma barreira de altura V0 155 eV mantendo seu valor para todo x0 Qual o coeficiente de transmissão para este feixe Considere um elétron sujeito a um potencial tal que Vxyz 0 se 0xL 0yL e 0zL e Vxyz em qualquer outra hipótese Nesse caso a Equação de Schrödinger a ser resolvida tem a forma ħ22m 2ψx2 2ψy2 2ψz2 Vxyzψ Eψ e as soluções típicas são ψnx ny nz Cnx ny nz sin nx π xL sin ny π yL sin nz π zL de tal forma que a energia do sistema é dada por Enxnynz ħ28mL2nx2 ny2 nz2 E0 nx2 ny2 nz2 Sabendo que E0 115 eV determine E em eV para os casos Potencial Vxyz 0 E0 115 eV Determine E em eV para os casos 0xL 0yL 0zL todos estão entre 0 e L Vxyz em qualquer outra hipótese Determine a energia do estado fundamental do sistema 345 eV O estado fundamental é dado pelo conjunto de números quânticos nxnynz1 Basta substituílos na equação Enxnynz ħ28mL2 nx2 ny2 nz2 E0 nx2 ny2 Uma possível resposta correta é 345 eV Determine a energia do primeiro estado excitado do sistema 69 eV O primeiro estado excitado é dado por 3 diferentes conjuntos de números quânticos nxny1 e nz2 ou nzny1 e nx2 ou nxnz1 e ny2 Basta substituílos na equação Enxnynz ħ28mL2 nx2 ny2 nz2 E0 nx2 ny2 Uma possível resposta correta é 69 eV A energia e a função de onda são caracterizadas por três números quânticos cada qual proveniente de uma condição de contorno para uma das coordenadas Nesse caso os números quânticos são independentes uns dos outros mas em problemas mais gerais o valor de um número quântico pode afetar os possíveis valores dos outros O estado fundamental é dado por n1 n2 n3 1 enquanto o primeiro nível excitado pode ser obtido de três maneiras diferentes n1 2 e n2 n31 ou n2 2 e n1 n31 ou n32 e n1 n2 1 A função de onda correspondente poderia ser escrita como Determine a energia do estado fundamental do sistema Estado fundamental para 3 coordenadas nx ny nz 1 Enxnynz E0 nx2 ny2 nz2 Enxnynz 115 eV 12 12 12 Enx ny nz 345 eV Determine a energia do primeiro estado excitado do sistema Enx ny nz E0 nx² ny² nz² Enx ny nz 115 2² 1² 1² Enx ny nz 69 eV Primeiro estado excitado para 3 coordenadas nx 2 nx 1 nx 1 ny 1 ny 2 ny 1 nz 1 nz 1 nz 2 Exercício 4 Escreva todos os números quânticos necessários para descrever a função de onda de dois elétrons com a energia mais baixa possível nesse poço Explique seu raciocínio e diga como ele se relaciona com o princípio de exclusão de Pauli Dica o objetivo desta questão não é enunciar o princípio de exclusão mas aplicálo Assim enunciar o princípio não é uma resposta parcial da questão O Princípio de Exclusão de Pauli prevê que dois férmions não podem ocupar o mesmo estado Para escrever a função de onda de dois elétrons com a energia mais baixa possível devemos colocar os dois elétrons no estado espacial nx1 ny1 nz1 contudo para que a função de onda seja compatível com o princípio de exclusão precisamos de mais um número quântico para descrever cada elétron de maneira unívoca O spin é esse numero quântico O princípio de exclusão de Pauli diz que dois férmions não podem ocupar o mesmo estado ou seja Férmions são assimétricos semiinteiros e não podem ter os nº quânticos iguais elétrons Bósons são simétricos inteiros e podem ter nº quânticos iguais Para escrever a função de onda de dois elétrons com a energia mais baixa possível colocamos os dois elétrons no estado fundamental nx1 ny1 nz1 Mas para que a função de onda esteja de acordo com o princípio de exclusão precisamos de mais um número quântico para descrever cada elétron de maneira única O spin é este número quântico Exercício 5 Use nas questões dessa página que a massa do elétron é m051 x 106 eVc² 911 x 10 31 kg ℏ 658 x 1016 eVs 105 x 1034 Js π314 1eV 16 x 1019 J Dê suas respostas numéricas dessa página em eV e nm sem colocar as unidades Assumindo E Vd podemos usar os resultados do poço infinito onde o estado de energia mais baixa é para n1 e tem energia E ℏ²π²2mL² A resposta correta é 00026 Uma maneira de entender a física por trás de uma ligação química é substituir o potencial complicado gerado pelos núcleos e sentido pelos elétrons por poços quadrados com uma barreira de tunelamento finita entre eles e a parede oposta com um potencial infinitoNa figura abaixo temos esses poços com largura L 12 nm separados por uma distância d e com uma barreira de potencial de altura Vd ad entre eles onde a0042 eVnm Calcule a energia E do estado fundamental de um elétron desconsiderando spin colocado em um dos poços quando d é muito grande ou seja podemos desconsiderar o tunelamento entre os poços mas o potencial ainda é finito e assumimos E Vd Resposta 262E3 Largura L 12nm Distância d Barreira de potencial de altura Vd ad onde a 0042 eV nm Calcule a energia E do estado fundamental de um elétron e assumimos que E Vd O estado de energia mais baixo é n1 e sabemos que a energia para diferentes estados da caixa é igual a En n² ℏ² π²8 m L² ou En n² ℏ² π²2 m L² com n1 Substituindo os valores temos Calcule a energia do estado fundamental quando d0 ou seja quando há apenas um poço e nenhuma barreira Lembre que L 12 ext nm Resposta Podemos usar os resultados do poço infinito onde o estado de energia mais baixa é para n1 e tem energia E frachbar2 pi22m2L2 A resposta correta é 00007 Quando E ll Vd encontramos que a probabilidade de tunelamento é proporcional a propto frac1Vd efrac2dhbar sqrt2mVd onde E ll Vd é a energia da partícula Qual a separação d em que a probabilidade de tunelamento é máxima De a resposta em nm Lembre que a0042 ext eV ext nm Resposta ext910E1 fracpartialpartial d left adefracsqrt8mahbarsqrtd right 0 aefracsqrt8mahbarsqrtd adfracsqrtmahbar frac1sqrtd efracsqrt8mahbarsqrtd 0 1 sqrtd fracsqrt2mahbar 0 sqrtd fracsqrt2mahbar 1 d frachbar22ma A resposta correta é 090 Explique com suas palavras como esse problema é análogo ao problema da ligação química entre dois átomos Não esqueça de incluir na sua resposta as seguintes discussões 1 por que foi sugerido um potencial com a forma Vd fracad para representar a barreira entre os dois átomos 2 o que significa haver uma distância em que o tunelamento entre os átomos é máximo 3 usando essa analogia o que você entendeu como sendo a ligação química 1 Como cada poço estaria representando um átomo a altura da barreira de potencial aumentar como o inverso da distância seria correspondente a repulsão entre os núcleos atômicos 2 Existe uma competição entre dois efeitos na expressão de tunelamento que estamos estudando Por um lado ao diminuírmos a distância entre os átomos o tunelamento deveria aumentar contudo isso vem acompanhado do aumento da altura barreira que corresponde a repulsão entre os núcleos A existência de uma distância em que o tunelamento é máximo corresponde ao compromisso entre esses dois efeitos 3 Como vimos quando o poço tem o dobro do tamanho a energia cinética é menor fato que podemos entender usando o princípio de incerteza Quando existe o tunelamento entre os dois poços nosso elétron passa a ter mais espaço para se mover que quando estava confinado em apenas um poço diminuindo sua energia cinética A ligação química corresponde exatamente a esse efeito em que existe um compromisso entre repulsão dos núcleos e o elétron poder se mover nos orbitais atômicos dos dois átomos Nesse caso em que os poços são de tamanho similar a ligacao é dita covalente já que semiclassicamente o elétron passa o mesmo tempo nos dois poços Caso os poços tivessem larguras muito diferentes seria uma ligação dita iônica já que o elétron passaria semiclassicamente mais tempo em um dos poços que no outro REGULATION AND SUPERVISION OF BANKING INDUSTRY MODULE 2 20 Banking and the Regulatory Environment 21 Evolution of Banking and the Regulatory Environment 22 Old and New Regulations 23 Basle Committee on Banking Supervision BCBS 24 Financial Stability Board FSB 25 Financial Regulators in Nigeria 26 Q A 49 of 135 Topics and Concept Outlines of CORE Module 2 Banking Industry Organizations and Regulatory Environment Sources 1 FSIB Banking Regulation and Deregulation in the US 2 Basel Committee on Banking Supervision 50of 135 Topics and Concept Outlines of CORE Module 2 Banking Industry Organizations and Regulatory Environment Sources 1 FSIB Banking Regulation and Deregulation in the US