Fisica Quântica - Potenciais Simples Degraus Barreiras e Tunelamento

Física Quântica Módulo 07 Potenciais Simples Degraus Barreiras e Tunelamento Eduardo Gregores eduardogregoresufabcedubr Conteúdo Potencial Degrau com 𝐸 𝑉0 Potencial Degrau com 𝐸 𝑉0 Barreira de Potencial Quadrada Tunelamento através da Barreira de Potencial Potencial Degrau com E V0 Vx 0 para x 0 e Vx V0 para x 0 Região em x 0 classicamente proibida E V0 Equação de Schroedinger para x 0 ħ22m d2ψxdx2 Eψx d2ψxdx2 k12 ψx Solução ψx Aei k1 x Bei k1 x com k1 2mE ħ Equação de Schroedinger para x 0 ħ22m d2ψxdx2 V0 ψx Eψx d2ψxdx2 k22 ψx Solução ψx Cek2 x Dek2 x com k2 2mV0 E ħ Continua Continuação Condições de Contorno Unitariedade ψ 0 C 0 Continuidade em x 0 D A B Derivadas contínuas em x 0 k2 D i k1 A B A D2 1 i k2 k1 e B D2 1 i k2 k1 Autofunção da posição ψx D2 1 i k2 k1 ei k1 x D2 1 i k2 k1 ei k1 x x 0 D ek2 x x 0 Continua Continuação Função de Onda em x 0 Ψxt ψxei ω t com ω E ħ Ψxt D2 1 i k2 k1 ei k1 x ω t D2 1 i k2 k1 ei k1 x ω t onda incidente onda refletida Coeficiente de Reflexão R R função de onda refletida2 função de onda incidente2 1 i k2 k1 1 i k2 k1 1 i k2 k11 i k2 k1 1 A probabilidade de se encontrar uma partícula refletida é igual à probabilidade de encontrar a partícula incidente Toda a partícula incidente é refletida Continua Continuação Função de Onda em x 0 Ψxt Dek₂xeiωt Ψxt² D²e2k₂x A probabilidade de se encontrar a partícula em uma região classicamente proibida é diferente de zero Δx profundidade da penetração na região classicamente proibida na qual a probabilidade de se encontrar a partícula cai a 1e do valor inicial x0 Profundidade de Penetração Δx 12k₂ Δx ħ22mV₀ E Incerteza do Momento ΔpΔx ħ2 Δp 2mV₀ E Incerteza da Energia ΔE Δp²2m ΔE V₀ E Potencial Degrau com E V₀ Vx 0 para x 0 e Vx V₀ para x0 Região em x 0 classicamente permitida E V₀ Equação de Schroedinger para x 0 ħ²2m d²ψxdx² Eψx d²ψxdx² k₁²ψx Solução ψx Aeik₁x Beik₁x com k₁ 2mEħ p₁ħ Equação de Schroedinger para x 0 ħ²2m d²ψxdx² V₀ψx Eψx d²ψxdx² k₂²ψx Solução ψx Ceik₂x Deik₂x com k₂ 2mE V₀ħ p₂ħ Continua Continuação Condições de Contorno Onda em x 0 se move apenas para a direita D 0 Continuidade em x 0 C A B Derivadas contínuas em x 0 k₂C k₁A B B k₁ k₂k₁ k₂ A e C 2k₁k₁ k₂ A Autofunção da posição ψx Aeik₁x A k₁ k₂k₁ k₂ eik₁x x 0 A 2k₁k₁ k₂ eik₂x x 0 Continua Continuação Função de Onda em x 0 Ψxt ψx eiωt com ω Eħ Ψxt Aeik₁x ωt Ak₁ k₂k₁ k₂ eik₁x ωt onda incidente onda refletida Coeficiente de Reflexão R R função de onda refletida² função de onda incidente² k₁ k₂k₁ k₂² 1 A probabilidade de se encontrar uma partícula refletida é menor do que a probabilidade de encontrar a partícula incidente Apenas parte das partículas incidentes são refletidas quando E V₀ Continua Continuação Coeficiente de Transmissão T T v₂ função de onda transmitida² v₁ função de onda incidente² v₂ v₁ 2k₁ k₁ k₂² v₁ velocidade da partícula na região x 0 v₁ p₁m v₁ ħk₁m v₂ velocidade da partícula na região x 0 v₂ p₂m v₂ ħk₂m T k₂k₁ 2k₁² k₁ k₂² T 4k₁k₂ k₁ k₂² 1 Apenas parte das partículas incidentes são transmitidas quando E V₀ A soma da probabilidade da partícula ser refletida com a dela ser transmitida é igual a 1 R T k₁ k₂² k₁ k₂² 4k₁k₂ k₁ k₂² R T 1 Barreira de Potencial Quadrada Dentro da barreira 0 𝑥 𝐿 𝑈 cte Fora da barreira 0 𝑥 𝐿 𝑈 0 𝐸 𝑈 Energia cinética da partícula livre se movimentando na direção positiva 𝑣 0 Mecânica Clássica A partícula não tem energia suficiente para passar pela barreira de potencial Ela bate na barreira e é refletida na direção negativa Mecânica Quântica A equação de Schroedinger tem solução nas três regiões Ela pode ser encontrada à esquerda dentro e à direita da barreira Ela pode ser refletida 𝑅 ou ser transmitida através da barreira 𝑇 Continua Continuação Equação de Schroedinger para 0 x L ħ²2m d²ψxdx² Eψx d²ψxdx² k₁²ψx ψIx AeikI x BeikI x x 0 ψIIIx CeikIII x DeikIII x x L com kI kIII 2mEħ Incidência pela esquerda D 0 Equação de Schroedinger para 0 x L ħ²2m d²ψxdx² Uψx Eψx d²ψxdx² kII² ψx ψIIx FekII x GekII x com kII 2mU Eħ Continua Continuação Continuidade nas autofunções e suas derivadas 4 equações 5 constantes A B C F e G 4 constantes B C F e G em função de A Coeficiente de Transmissão da região I para a III Tunelamento através da barreira de potencial T vIIIvI C C A A 1 ekII L ekII L2 16 EU 1 EU1 Para kII L 1 T 16 EU 1 EU e2 kII L Tunelamento através da Barreira de Potencial Coeficiente de Transmissão T Probabilidade da partícula tunelar através da barreira Para T 1 U E ou L muito grande T e2CL com C kII sqrt2m U E h Coeficiente de Reflexão R Probabilidade de ela ser refletida pela barreira Conservação de probabilidade T R 1 Exemplo Coeficiente de transmissão de um elétron Um elétron com energia cinética de 30 eV incide sobre uma região com energia potencial constante U 40 eV a Qual a probabilidade dele tunelar através da barreira se sua largura é de 10 nm b Qual seria a probabilidade de tunelamento se a largura da barreira fosse 01 nm a C sqrt2 me U E h sqrt2 me c2 U E h c sendo h c 1977 eVnm C sqrt2 x 0511 106 eV x 40 30 eV 1977 eVnm C 1617 nm1 2 C L 3234 T e2 C L T e3234 T 901 1015 b L 01 2 C L 323 T e323 T 394 103 Física Quântica Módulo 08 O Modelo de Schroedinger do Hidrogênio Eduardo Gregores eduardogregoresufabcedubr Conteúdo O Modelo Quântico do Átomo de Hidrogênio Função de Onda do Hidrogênio no Estado Fundamental Interpretação dos Números Quânticos Atômicos Efeito Zeeman Número Quântico de Spin Teoria Relativística do Elétron O Modelo Quântico do Átomo de Hidrogênio Equação de Schroedinger em coordenadas cartesianas ħ²2m ²ψx² ²ψy² ²ψz² Uψ Eψ Coordenadas polares x r sin θ cos φ y r sin θ sin φ z r cos θ ψxyz ψrθφ Rr Θθ Φφ Três equações três números quânticos Rr n número quântico principal 1 n Θθ l número quântico orbital 0 l n 1 Φφ ml número quântico magnético l ml l Potencial radial U Ur Rr Níveis de Energia En En ke e² 2a0 1n² 13606 eV n² com n 1 2 3 Exemplo 01 O nível n 2 do átomo de hidrogênio Determine os estados permitidos correspondentes ao número quântico principal n 2 do átomo de hidrogênio e as energias desses estados Camada Subcamada Orbital n l ml 2 0 S 0 1 P 1 0 1 Quatro estados com a mesma energia estados degenerados n l ml 2 0 0 2S 2 1 1 2 1 0 2 1 1 2P En 13606 n² E2 13606 4 E2 340 eV Função de Onda do Hidrogênio no Estado Fundamental Estado fundamental 1S n 1 l 0 m 0 ψ1Sr 1 π a0³ era0 onde a0 é o raio de Bohr Função de onda esfericamente simétrica com máximo em r 0 Função densidade de probabilidade ψ² 1 π a0³ e2ra0 Probabilidade de se encontrar o elétron entre r e r dr Pr dr ψ² dV ψ² 4πr² dr Pr 4r² a0³ e2ra0 Continua Continuação Estado Fundamental 1S ψ1Sr frac1sqrtpi a03 era0 P1Sr frac4r2a03 e2ra0 Próximo estado radialmente simétrico 2S n2 l0 ml0 ψ2S frac14sqrt2pi leftfrac1a0right32 left 2 fracra0 right er2a0 E2 frac1360622 rightarrow E2 3401 eV Exemplo 02 O estado fundamental do hidrogênio Para um átomo de hidrogênio em seu estado fundamental calcule a O valor mais provável da posição radial do elétron b A probabilidade que o elétron seja localizado para além do raio de Bohr c Qual o valor esperado valor médio do raio r a Valor mais provável máximo de Pr fracdP1Sdr 0 fracdP1Sdr 0 fracddr left left frac4r2a03 right e2ra0 right 0 fracddr left r2 e2ra0 right 0 2r e2ra0 r2 2a0 e2ra0 0 2r left 1 fracra0 right e2ra0 0 1 fracra0 0 boxedra0 left beginarrayl r0 r rightarrow infty endarray right pontos de mínimo de probalidade Continua Continuação b Probabilidade que o elétron seja localizado para além do raio de Bohr P inta0infty P1Sr dr P frac4a03 inta0infty r2 e2ra0 dr y frac2a0 r r fraca02 y e dr fraca02 dy P frac4a03 int2infty fraca024 y2 ey fraca02 dy frac12 int2infty y2 ey dy P frac12 y2 2y 2 ey Big2infty frac12 4 4 2 e2 5 e2 P 0677 ou boxedPr 677 Continua Continuação c Valor esperado valor médio do raio r r0 ψrψdr 0 rdrψ²dr 0 rPrdr r 0 r4r²a₀³e2ra₀dr 4a₀³ 0 r³ e2ra₀dr x2ra₀ ra₀2 x dra₀2 dx r4a₀³ 0 a₀³8 x³ ex a₀2 dx a₀4 0 x³ ex dx ra₀4exx³3x²6x60 6a₀4 r 32 a₀ Interpretação dos Números Quânticos Atômicos Número Quântico Orbital l Momento Angular Lll1ħ l0 elétron com momento angular zero Número Quântico Magnético ml Elétron com momento angular L Átomo com momento magnético µ Quantização do momento magnético Valores discretos de momento magnético do átomo Lzml ħ Efeito Zeeman Interação com campo magnético externo B Separação das linhas espectrais referentes aos números quânticos ml µ e2meL µ momento magnético atômico L momento angular orbital Uµ B U energia potencial B campo magnético externo Número Quântico de Spin nlml Números quânticos obtidos da Eq de Schroedinger Observação precisa das raias espectrais mostrou a existência de duas linhas muito próximas para um dado estado nlml Necessidade de mais um número quântico Novo número quântico deve ser propriedade intrínsica do elétron Goudsmith e Uhlembeck 1925 Sugestão de Wolfgang Pauli O elétron possui momento angular intrínseco spin rotação Número quântico angular de spin s Número quântico magnético de spin ms s s 1 s 1 s Momento angular de spin S ss 1ħ Quantização espacial do spin Sz ms ħ Stern e Gerlach 1921 O momento magnético dos átomos de prata possui apenas dois valores μ e μ Phipps e Taylor 1927 Mesmo experimento para os átomos de hidrogênio no estado fundamental l 0 com mesmo resultado Teoria Relativística do Elétron Construída por PM Dirac em 1929 Equação de Schroedinger Equação de Dirac Soluções com energia negativa Antimatéria Elétron e Pósitron e O elétron possui massa carga elétrica e spin O spin do elétron pode assumir apenas dois valores de sinais opostos e separados por uma unidade quantum de ħ Sz 12 ħ ms 12 s 12 μspin eme S μspinz eh2me μspin momento magnético de spin do elétron Física Quântica Módulo 01 Radiação de Corpo Negro Eduardo Gregores eduardogregoresufabcedubr Conteúdo Definição do Corpo Negro Lei de Stefan Lei de Deslocamento de Wien Espectro da Radiação de Corpo Negro Lei de Planck Definição do Corpo Negro Radiação Térmica Radiação eletromagnética emitida por um objeto Distribuição de ondas eletromagnéticas de diversas frequências Depende da temperatura do objeto Corpo Negro Toda radiação incidente é absorvida pelo objeto A radiação emitida depende exclusivamente da temperatura do objeto Cavidade Toda a radiação incidente é absorvida pela cavidade Radiação de Cavidade Radiação de Corpo Negro Lei de Stefan A potência total emitida depende da temperatura do objeto P eσAT4 P Potência irradiada em Watts e Emissividade da superfície 0 e 1 σ Constante de Stefan Boltzmann σ 5670 10⁸ Wm² K⁴ A Área do objeto T Temperatura em Kelvin Para um corpo negro e 1 P σAT4 Em equilíbrio térmico a potência de emissão é igual à potência de absorção Por ser o maior absorbedor o corpo negro é também o maior emissor de radiação térmica Lei de Deslocamento de Wien O pico da distribuição de frequências deslocase com a variação da temperatura Quanto maior a temperatura Menor será o comprimento de onda Maior será a frequência λmax T 2898 103 m K Exemplo 01 Radiação Térmica do Corpo Humano A temperatura de sua pele é de aproximadamente 35C a Qual é o pico do comprimento de onda da radiação que ela emite b Qual é a potência total emitida pela sua pele supondo que ela emita radiação como um corpo negro c Porque não vemos o brilho a Lei de deslocamento de Wien λmax T 2898 103 m K T 308 K λmax 2898 103 308 941 106 λmax 941 μm b Corpo humano Caixote de tamanho h 20 m l 04 m e p 02 m Área do corpo A 2 2 04 2 02 04 02 A 3 m2 Lei de Stefan P σAeT4 57 108 3 1 3084 P 103 W c λmax 941 μm Infravermelho 390 nm λvisível 700 nm Espectro da Radiação de Corpo Negro Teoria Clássica Lei de RayleighJeans Cargas aceleradas nas paredes da cavidade emitem ondas eletromagnéticas estacionárias em todas as frequencias possíveis Teorema de Equipartição de Energia da mecânica estatística Distribuição de energia fE AeEkT Energia média Ē 0 EAeEkT dE kT Lei de RayleighJeans IλT 2πckTλ4 Quanto menor o comprimento de onda maior a emissividade Catástrofe do UltraVioleta Espectro da Radiação de Corpo Negro Proposta de Max Planck 1900 Suposições para se obter uma equação que reproduzisse os dados i A energia média deve depender também da frequência ν ii A energia de cada oscilador pode ter apenas valores discretos En nhν n 0 1 2 onde h constante de Planck fEn AeEnkT fn Ae nhνkT Ē n0 En fn n0 nhνenhνkT Ē hvehνkT 1 hcλehcλkT 1 Lei de Planck Iλ T 2πhc 2λ5 ehcλkT 1 com h 6626 1034 J s Lei de Planck Estranha suposição incompatível com a Mecânica Clássica Reproduz os dados experimentais da Radiação de Cavidade Fornece a Lei de Stefan para a potência total emitida Fornece a Lei de Deslocamento de Wien Reproduz a Lei de RayleighJeans para grandes comprimentos de onda Importante apenas para pequenos comprimentos de onda Seus efeitos são relevantes apenas em pequenas distâncias A Energia de Cavidade é quantizada Quantum diferença mínima de energia Exemplo 02 O Oscilador Quantizado Um bloco de 20 kg está ligado a uma mola sem massa com constante de força k 25 Nm A mola é esticada 040 m a partir de sua posição de equilíbrio e então é solta a Encontre a energia total e a frequência de oscilação b Suponha que o sistema seja quantizado e encontre o número n c Qual a energia de transição entre dois estados quânticos a E 12 kx 2 050 25 042 E 20 J f 12π km 12π 252 f 056 Hz b En nhν n Enhν 20663 1034 056 n 54 1033 c E hν E 663 1034 056 E 37 1034 J Física Quântica Módulo 02 Efeito Fotoelétrico e Efeito Compton Eduardo Gregores eduardogregoresufabcedubr Conteúdo O Efeito Fotoelétrico Descrição Clássica do Efeito Fotoelétrico Descrição Quântica do Efeito Fotoelétrico Espalhamento Compton Experimento de Compton O Efeito Fotoelétrico Fenômeno no qual elétrons são emitidos da superfície de um metal quando luz incide sobre ele Descoberto por Hertz em 1887 Para ΔV 0 a corrente depende apenas da intensidade da luz incidente Para ΔV 0 apenas os elétrons emitidos com energia maior que eΔV atingir ão a outra placa Para ΔV ΔVs nenhum elétron atinge a outra placa não importa a intensidade da luz incidente A energia máxima eΔVs do elétron emitido não depende da intensidade Descrição Clássica do Efeito Fotoelétrico A energia máxima dos elétrons emitidos é sua energia cinética máxima Kmax e ΔVs Foi observado que Kmax depende apenas do tipo do metal da frequência da luz incidente A Teoria Clássica predizia que Kmax deveria Depender da intensidade da luz incidente FALSO Ser independente da frequência da luz incidente FALSO Depender do tempo de exposição acumulando energia FALSO Proposta de Einstein para o Efeito Fotoelétrico Reintroduz a teoria corpuscular da luz A luz é composta por partículas indivisíveis chamadas fótons Cada fóton carrega uma quantidade de energia proporcional à frequência 𝜈 da luz A energia de cada fóton é 𝐸 ℎ𝜈 A intensidade da luz é proporcional à quantidade de fótons Cada fóton interage com um elétron transferindo a ele instantaneamente toda sua energia A absorção de energia pelo elétron não é contínua O aumento de energia do elétron é quantizado O quantum de energia é 𝐸 ℎ𝜈 Descrição Quântica do Efeito Fotoelétrico A energia cinética do elétron emitido é a diferença entre a energia fornecida ao elétron e a sua energia de ligação ao metal A energia mínima de ligação de um elétron em um dado metal é dada pela sua Função de Trabalho ϕ A energia cinética máxima Kmax do elétron emitido é a diferença entre a energia fornecida pelo fóton e a Função de Trabalho A frequência mínima vc para emissão de fotoelétrons é dada por vc ϕh ou λc hcϕ Kmax hv ϕ Exemplo 02 O efeito fotoelétrico no Sódio Uma superfície de sódio é iluminada com luz tendo comprimento de onda de 300 nm A função de trabalho para o metal sódio é 246 eV Encontre a A energia cinética máxima para os fotoelétrons ejetados em eV b O comprimento de onda de corte a E hv E hcλ 6626 1034 300 108 300 109 E 663 1019 J 1 eV 16 1019 J E 414 eV Kmax hv ϕ Kmax 414 246 Kmax 168 eV b hc 6626 1034 J s 300 108 m s1 1988 1025 J m 1988 1025 1 16 1019 eV 109 nm hc 1242 eV nm λc hcϕ 1242 eV nm 246 eV λc 505 nm O Efeito Compton Compton 1922 Estudo do espalhamento de Raios X por elétrons Raios X Radiação produzida pela colisão de elétrons sobre um alvo Frenamento dos elétrons produz ondas eletromagnéticas Comprimento típico λx 10¹⁰ m Conjectura de Compton Se o fóton é uma partícula então ao colidir com o elétron no átomo ele irá transferir parte de seu momento e energia ao elétron que irá ganhar esse mesmo momento e energia Aumento do ângulo espalhado Aumento da perda de energia Diminuição de energia Diminuição de frequência Quanto maior o ângulo maior o comprimento de onda do fóton Experimento de Compton Pico em λ₀ Fótons espalhados pelos elétrons mais internos dos átomos elétrons presos Pico em λ Fótons espalhados pelos elétrons mais externos dos átomos elétrons soltos Espalhamento Compton Conservação de Energia E₀ Energia do fóton incidente E Energia do fóton espalhado Eₑ⁰ Energia relativística do elétron em repouso Eₑ Energia relativística do elétron espalhado E₀ hcλ₀ E hcλ Eₑ⁰ mₑc² Eₑ γmₑc² com γ 11v²c² sendo v velocidade do elétron E₀ Eₑ⁰ E Eₑ hcλ₀ hcλ γ1mₑc² hmₑc1λ₀ 1λ γ 1 1 Espalhamento Compton Conservação de Momento Momento do fóton p Ec hλ Momento relativístico do elétron pe γme v hλ0 hλ cos θ γme v cos ϕ 0 hλ sin θ γme v sin ϕ hme 1λ0 cos θλ γv cos ϕ hme sin θλ γv sin ϕ h²me² 1λ0 cos θλ² γ²v² cos² ϕ h²me² sin² θλ² γ²v² sin² ϕ h²me² 1λ0² 1λ² 2 cos θλ0 λ γ²v² Continua Continuação A γ²v² e γ 11 v²c² γ A c²c² 2 Conservação de momento e conservação de energia 2 1 hme c 1λ0 1λ A c²c² 1 1 hme c 1λ0 1λ² A c²c² c² 1 hme c 1λ0 1λ² h²me² 1λ0² 1λ² 2 cos θλ0 λ c² h²me² 1λ0 1λ² 2hcme 1λ0 1λ h²me² 1λ0² 1λ² 2 cos θλ0 λ Continua Continuação h²me² 1λ0 1λ² 1λ0² 1λ² 2hcme 1λ0 1λ 2h² cos θme² λ0 λ 2h²me² λ0 λ 2hc λme λ0 λλ0 λ 2h² cos θme² λ0 λ c λ λ0 hme 1 cos θ λ λ0 hme c 1 cos θ λ λ0 λc 1 cos θ com λc hmc Comprimento de onda Compton Para o elétron λc hme c 000243 nm Exemplo 03 Espalhamento Compton a 45 Raios X de comprimento de onda λ₀ 020 nm são espalhados a partir de um bloco de material Os raios X espalhados são observados a um ângulo de 450 em relação ao feixe incidente Calcule a O comprimento de onda dos raios X espalhados b A fração de energia perdida pelo fóton nessa colisão a Δλ h me c1 cos θ 6626 10³⁴ 911 10³¹ 30 10⁸ 1 cos 45 710 10¹³ m Δλ 0000 710 nm λ 0200 710 nm b ΔE E E₀ E E₀ 1 E E₀ E hc λ ΔE E 1 λ₀ λ λ λ₀ λ Δλ λ 0000 710 0200 710 0003 37 ΔE E 034 Física Quântica Módulo 03 Raias Espectrais e Modelos Atômicos Eduardo Gregores eduardogregoresufabcedubr Conteúdo Raias Espectrais Linhas Espectrais de Átomos Hidrogenóides Átomo de Thomson Experimento de Rutherford Átomo de Rutherford Átomo de Bohr Raio das Órbitas no Átomo de Bohr Níveis de Energia do Átomo de Bohr Raias Espectrais do Átomo de Hidrogênio Raias Espectrais A radiação emanada pelos elementos químicos possui espectro de comprimentos de onda característico de cada elemento Apenas algumas frequências são emitidas Sem explicação na física clássica Joham Balmer 1885 Linhas espectrais do Hidrogênio Série de Balmer λn 3646 n² n² 4 nm n 3 4 5 Linhas Espectrais de Átomos Hidrogenóides Átomos ionizados com apenas 1 elétron restante Linhas de emissão e absorção características de cada elemento A luz é emitida ou absorvida em apenas algumas frequências Fórmula de RydbergRitz 1λmn R 1m² 1n² n m R Constante de Rydberg Hidrogênio R 1096 776 10⁷ m¹ Elementos Pesados R 1097 373 10⁷ m¹ Série de Balmer m 2 e n 3 4 5 Série de Lyman m 1 e n 2 3 4 Série de Paschen m 3 e n 4 5 6 Fenômeno sem explicação na física clássica Porque os átomos só absorvem ou emitem luz em alguns comprimento de onda Átomo de Thomson Descobriu a existência do elétron em 1897 Elétron tem carga elétrica negativa mas o átomo é neutro Deveria haver alguma substância de carga positiva no átomo Proposta de Thomson Átomo formado por um fluido positivo por onde se moveriam os elétrons negativos Radiação eletromagnética gerada pela vibração dos elétrons Modos de vibração entre estados de equilíbrio gerariam as raias espectrais Problemas com o modelo Não foi possível encontrar os modos de vibração necessários O modelo prevê espalhamento a baixos ângulos de partículas pesadas Experimento de Rutherford Realizado por H Geiger e E Marsden em 1913 Deflexão de partículas alpha por uma folha fina de ouro Resultado surpreendente Observadas deflexões a grandes ângulos 90 Compatível com cálculos de Rutherford para espalhamento Coulombiano por um núcleo duro pontual e de carga positiva Conclusões O átomo possui um núcleo positivo e duro A carga positiva do átomo está no núcleo Núcleo muito menor que o átomo Os elétrons giram ao redor do núcleo O Átomo de Rutherford O elétron gira em torno do nucleo com uma certa velocidade Força centrípeta sobre o elétron devida à atração Coulombiana Órbitas planetárias dos elétrons ao redor do núcleo Problemas com o átomo de Rutherford Não consegue explicar as formação das raias espectrais Cargas aceleradas emitem radiação eletromagnética Os elétrons iriam cair no núcleo depois de um tempo Átomo de Bohr Proposto por Niels Bohr em 1913 Incorporou as idéias de Planck e Einstein ao modelo de Rutherford Postulados de Bohr O elétron pode se mover em certas órbitas sem irradiar O átomo irradia quando o elétron passa de uma órbita a outra A frequência ν da radiação emitida é dada por hν Ei Ef h constante de Planck hν energia do fóton emitido Raio das Órbitas no Átomo de Bohr Átomo hidrogenóide com número atômico Z apenas 1 elétron e Z prótons Força centrípeta coulombiana sobre o elétron kZe²r² mₑv²r v kZe²mₑr e mv²2 kZe²2r Postulado de Bohr O momento angular é quantizado L nℏ com ℏ h2π e n 1 2 3 Raios possíveis das órbitas dos elétrons L mvr v nℏmr rₙ n²ℏ²kmₑZe² ou rₙ a₀ n²Z com a₀ ℏ²kmₑe² 0529 Å 00529 nm a₀ Raio de Bohr Níveis de Energia do Átomo de Bohr Energia total do elétron Energia cinética Energia potencial E mv²2 kZe²r E kZe²2rₙ kZe²2 kmₑZe²n²ℏ² k²mₑZ²e⁴2n²ℏ² En E₀ Z²n² com E₀ k²mₑe⁴2ℏ² Energia Quantizada Transição entre dois níveis hν Eₙᵢ Eₙf E₀Z²1nf² 1ni² ν E₀Z²h 1nf² 1ni² ν cλ 1λ E₀Z²hc 1nf² 1ni² ou 1λ Z²R 1nf² 1ni² Série de Rydberg Ritz Níveis de Energia do Átomo de Bohr Valor da constante de Rydberg R E0hc mek2e44πch³ R 1097 10⁷ m¹ valor correto Níveis de energia do átomo de Hidrogênio Z1 En mek²e⁴2ħ²n² ou En E0n² com E0 136 eV 218 10¹⁸ J E0 Estado fundamental do átomo de Hidrogênio Energia necessária para ionizar o átomo de Hidrogênio Raias Espectrais do Átomo de Hidrogênio En E0n² com E0 136 eV Física Quântica Módulo 04 Dualidade OndaPartícula Eduardo Gregores eduardogregoresufabcedubr Conteúdo Fótons e Ondas Eletromagnéticas Elétrons e Ondas de Matéria Louis De Broglie 1924 Tese de Doutorado O experimento de DavissonGerner Difração de Átomos de Hélio Pacotes de Onda Construção do Pacote de Onda Velocidade de Propagação da Onda Relações de Incerteza Clássicas O Princípio da Incerteza Elétrons em Fenda Dupla Fótons e Ondas Eletromagnéticas Equações de Maxwell Luz Onda do campo eletromagnética Efeitos de difração mostram que a luz se propaga como uma onda Radiação de Corpo Negro Transferência de energia de um sistema para o campo A energia da radiação eletromagnética emitida por um material é um múltiplo inteiro de uma quantidade mínima quantum de energia Efeito Fotoelétrico Transferência de energia do campo para um sistema A energia da radiação eletromagnética absorvida por um material é um múltiplo inteiro dessa mesma quantidade mínima Efeito Compton O campo interage como se fosse uma partícula Espalhamento elástico do campo eletromagnético com elétrons do material Conclusão O Campo Eletromagnético se propaga como uma onda contínua onda eletromagnética O Campo Eletromagnético interage como se fossem partículas discretas fótons O fóton é a quantidade mínima Quantum de interação do Campo A energia desse Quantum é proporcional à frequência da onda do Campo Elétrons e Ondas de Matéria Situação experimental em 1924 Experiência de JJ Thomson 1897 O elétron interage com o campo eletromagnético como se fosse uma partícula Experiência de A Compton 1923 O campo eletromagnético interage com o elétron como se fosse uma partícula Experiência de H Hertz 1887 O campo eletromagnético se propaga no espaço vazio como se fosse uma onda Até essa data não havia experimento para verificar como o elétron se propagaria no espaço vazio falta de motivação teórica Louis De Broglie 1924 Tese de Doutorado Suposição O elétron se propaga no espaço vazio como se fosse uma onda Fóton γ Eγ hcλγ e Epc p hλ ou λγ hp Elétron e p mev λe hmev λe comprimento de onda do elétron Aplicação no modelo atômico de Bohr mvr nħ nh2π 2πr nhmv nhp p hλ 2πr nλ As órbitas permitidas pela quantização do momento angular L nħ são aquelas que apresentam um múltiplo inteiro de comprimentos de onda do elétron Exemplo 04 Comprimento de onda de De Broglie de uma bola de pingpong Qual o comprimento de onda de De Brogie de uma bola de pingpong de 20 gramas ao ser arremessada com uma velocidade de 5 ms λ h mv 663 1034 J s 20 103 kg 5 ms λ 66 1032 m Núcleo atômico 1015 m O comprimento de onda da bola de pingpong é da ordem de 1017 vezes menor que o núcleo de um átomo Exemplo 05 Comprimento de onda de De Broglie de um elétron lento Calcule o comprimento de onda de de Broglie de um elétron com energia cinética de 10 eV regime nãorelativístico λ h p Ek p2 2m λ h 2mEk 663 1034 2 911 1031 10 160 109 λ 388 1010 m ou λ 039 nm Comprimento de onda aproximadamente do tamanho de um átomo do espaçamento entre os átomos em um cristal Exemplo 06 Comprimento de onda de uma carga acelerada Uma partícula de carga q e massa m é acelerada a partir do repouso por uma diferença de potencial ΔV Supondo que a partícula deslocase com uma velocidade não relativística encontre o seu comprimento de onda de De Broglie ΔK qΔV e K0 0 12 mv2 qΔV p mv p2 2m qΔV p 2mqΔV λ h p λ h 2mqΔV Experimento de Thomson GP Thomson em 1927 Difração de elétrons com energia entre 10 e 40 keV através de uma folha metálica fina Mostrou que o elétron é uma onda Filho de JJ Thomson que descobriu em 1897 que o elétron era uma partícula Prêmio Nobel em 1937 juntamente com Davidson Raios X Elétrons O experimento de DavissonGerner CJ Davisson e LH Gerner em 1927 Espalhamento de elétrons de aproximadamente 54 eV por uma rede cristalina Distância entre os átomos do tamanho aproximado do comprimento de onda do elétron Observada difração dos elétrons Elétrons se comportam como ondas Difração de Átomos de Hélio O Stern e I Estermann em 1930 Espalhamento de átomos de Hélio por um cristal de LiF Energia térmica de 003 eV Comprimento de onda de 010 nm Núcleo composto por 2 prótons e 2 nêutrons Elétrons em Fenda Dupla A onda do campo do elétron incide sobre as duas fendas ao mesmo tempo onda plana Dependendo da posição no detector a interferência será construtiva ou destrutiva O campo do elétron interage localmente com o detector aparecendo um elétron em algum local A probabilidade de o elétron aparecer onde a interferência é construtiva é maior do que a probabilidade onde ela é destrutiva Pacotes de Onda De Broglie A matéria é uma onda assim como a luz Fótons Ondas do campo eletromagnético Elétrons Ondas do campo do elétron Ambos os campos se propagam como uma onda Ambos os campos interagem localmente como partículas Questão Como construir uma partícula localizada a partir de uma onda Solução Pacotes de Onda Pacotes de Onda Uma única onda de amplitude e frequência constante distribuise uniformemente por todo o espaço Uma superposição de duas ondas de mesma amplitude mas com frequências ligeiramente diferentes produz uma onda com amplitude variável batimento Pacote de Onda Superposição de um grande número de ondas de mesma amplitude e frequências diferentes Quanto maior o número de ondas sendo somadas mais localizado o pacote Partícula Pacote de Onda Construção do Pacote de Onda Função de onda yxt A cos kx ωt A amplitude de onda k número de onda com k 2πλ onde λ é o comprimento da onda ω velocidade angular com ω 2πv onde v é a frequência da onda Superposição de duas ondas yxt y1xt y2xt y1xt A cos k1x ω1t y2xt A cos k2x ω2t yxt A cos k1x ω1t A cos k2x ω2t Identidade trigonométrica cos a cos b 2 cos a b 2 cos a b 2 Continua Continuação Fazendo a k1x ω1t e b k2x ω2t teremos yxt 2A cos k1x ω1t k2x ω2t 2 cos k1x ω1t k2x ω2t 2 yxt 2A cos Δk 2 x Δω 2 t cos k1 k2 2 x ω1 ω2 2 t Envelope da nova onda k ω Velocidade de Propagação da Onda Velocidade de Grupo vg Propagação da crista do envelope Velocidade de Fase vf Propagação da crista da onda Velocidade de fase λf v v λ 2π 2π f vf ω k Velocidade de grupo vg Δω 2 Δk 2 vg Δω Δk Para um número muito grande de ondas sendo somadas Δω dω e Δk dk vg dω dk Multiplicando em cima e embaixo por ħ teremos vg ħ dω ħ dk d ħ ω d ħ k Continua Continuação ℏω h2π 2πv hν E ℏk h2π 2πλ hλ p vg dEdp E p22m vg ddp p22m vg pm mvm vg v A velocidade de propagação do pacote de onda é igual à velocidade da partícula representada pela soma das ondas Relações de Incerteza Clásssicas Analizando o pacote de onda em 𝑥 quando 𝑡 0 Quando o número de ondas sendo somada vai a infinito a distância até o segundo pico vai a infinito também A largura do pacote de ondas em x depende da separação entre os comprimentos das ondas sendo somadas Relação de Incerteza Clássica Δ𝑥Δ𝑘 1 Analisando em 𝑡 quando 𝑥 0 Δ𝜔Δ𝑡 1 O Princípio da Incerteza De Broglie λ hp λ 2πk k 2πλ k 2πph pℏ Δk Δpℏ Incerteza clássica ΔxΔk 1 Δx Δpℏ 1 ΔxΔp ℏ Werner Heisenberg 1927 Se uma medida da posição x de uma partícula é feita com incerteza Δx e uma medida simultânea da componente px de seu momento é feita com incerteza Δpx o produto das duas incertezas nunca pode ser menor que ℏ2 ΔxΔpx ℏ2 ΔEΔt ℏ2 Exemplo 01 A localização de um elétron A velocidade de um elétron é medida como sendo v 500 103 ms com uma precisão de 0003 Encontre a incerteza mínima da posição desse elétron px mvx 911 1031 kg 500 103 ms px 456 1027 kg ms Δpx 000003 456 1027 Δpx 137 1031 kg ms Δx ℏ2Δpx 1055 1034 2 137 1031 Δx 0385 mm Exemplo 02 A largura de uma linha de emissão espectral atômica O tempo médio que um átomo em um estado excitado de maior energia leva para decair em um estado de menor energia através da emissão de um fóton é a chamada meiavida τ desse estado Se τ 10 10⁸ seg use o princípio de incerteza para estimar a largura Δν da linha espectral emitida Física Quântica Módulo 05 Interpretação Probabilística e a Equação de Schroedinger Eduardo Gregores eduardogregoresufabcedubr Conteúdo Radiação Eletromagnética no Efeito Fotoelétrico Função de Onda do Objeto Quântico Densidade de Probabilidade Valor Esperado de um Observável Valor Esperado do Momento Operadores Momento e Energia A Equação de Schroedinger A Equação de Schroedinger Independente do Tempo Radiação Eletromagnética no Efeito Fotoelétrico Função de Onda do Objeto Quântico Operadores Momento e Energia 𝑖ℏ 𝑥 age sobre Ψ𝑥𝑡 como se fosse 𝑝 Operador Momento 𝑖ℏ 𝑥 𝑝 Similarmente para a energia 𝑡Ψ𝑥𝑡 𝑖𝜔𝐴 cos𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑖 sin𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑖𝜔Ψ𝑥𝑡 𝜔 𝐸 ℏ 𝑡Ψ𝑥𝑡 𝑖𝐸 ℏΨ𝑥𝑡 𝑖ℏ 𝑡Ψ𝑥𝑡 𝐸Ψ𝑥𝑡 Operador Energia 𝑖ℏ 𝑡 𝐸 Física Quântica Módulo 06 Potenciais Simples Poços infinito e finito Eduardo Gregores eduardogregoresufabcedubr Conteúdo Função de Onda da Partícula na Caixa de Largura 𝐿 Níveis de Energia da Partícula na Caixa Valor Esperado da Posição da Partícula na Caixa Valor Esperado do Momento da Partícula na Caixa Valor Esperado do Momento Quadrático e Energia Solução da Equação de Schroedinger para o Poço Potencial Quadrado Infinito Solução da Equação de Schroedinger para o Poço Potencial Quadrado Finito