Lista de Exercicios Fisica Quantica - Poco Infinito e Finito - Gabarito

Física Quântica 20213 Quadrimestre Suplementar 4 Lista 6 Tema Poço infinto e finito GABARITO Questões a Discuta qualitativamente como e por que aparece a quantização de energuia para o caso de um poço quadrado infinito unidimensional Resp Ao calcular os estados possíveis do elétron no poço devemos impor as condições de contorno Nesse caso a função de onda deve ser nula nas paredes do poço e em toda região fora do poço pois o elétron sempre está confinado no poço Ao impor esta condição de confinamento verificamos que as energias associadas para cada estado são dadas por En n2 ħ2 π2 2mL2 onde m é a massa da partícula e L é a largura do poço que são valores discretos de energia Nota Ao resolver as equações chegamos em relações de senos e cossenos iguais a constantes Para tais relações serem verdadeira somente alguns ângulos e seus múltiplos são válidos Como esses ângulos dependem da energia chegamos a equação anterior para energia b Ao analisarmos a solução para o poço quadrado finito observamos que existe uma probabilidade não nula de encontrarmos um elétron com energia menor do que Vo fora do poço Esse fato não tem análogo clássico pois implicaria dizermos que aparentemente o elétron tem energia cinética negativa Como isso pode ser explicado no caso da Mecânica Quântica Resp Devido ao princípio da incerteza de Heisemberg para termos certeza de que a partícula está fora da caixa Δx deve ser suficientemente pequeno Assim crescem os valores de Δp e consequentemente de ΔEcin de forma que não temos certeza para afirmar que ΔEcin 0 Problemas 1 Uma partícula está confinada numa região unidimensional por duas barreiras de potencial localizadas em x 0 e x L Em comparação com a energia da partícula as barreiras de potencial são tão grandes que podem ser tomadas como infinitas Considere também que a partícula encontrase num estado cuja função de onda normalizada é ψx 2L sinπxL para 0 x L 0 para x 0 e x L a Escreva a função distribuição de probabilidade Px para a partícula b Esboce o gráfico de Px e indique as posições ao redor das quais seria menos provável encontrar a partícula c Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula no intervalo 0 x L2 Sua resposta pode ser justificada com base no gráfico pedido no item anterior ou por meio de um cálculo direto Resp a A função de distribuição de probabilidade é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda para cada região ou seja Px ψx2 2L sin22πxL para 0 x L Px ψx2 0 para 0 x L b Abaixo temos o gráfico da Px considerando L 1 para a região de x 0 até x 1 Figure 1 Gráfico da densidade de probabilidade Px ψx 2 2L sin22πxL para 0 x L considerando L 1 Observando o gráfico acima vemos que o menor valor de probabilidade no gráfico é Px 0 Assim os posição nas quais teríamos a menor probabilidade de encontrar a partícula seriam em torno dos pontos x 0 x L2 e x L c Observando o gráfico da função acima e a sua simetria em torno do ponto x L2 vemos imediatamente que P0L2 12 pois a área de 0 até x L2 vale 12 O mesmo resultado é obtido por meio de integração direta 0L2 2L sin22πxa dx 0L2 1L 1 cos4πxL dx 1L x L4π sin4πxL0L2 L2 2 O problema da partícula no pontencial infinito também pode ser resolvido considerando a partícula confinada entre x L2 e x L2 a Para este caso encontre as soluções possíveis note você pode partir das soluções possíveis da EDO senkn x e coskn x e encontrar as soluções que satisfazem as condições de contorno do problema Também não é necessário normalizar as funções b Mostre que as soluções e energias são análogas para o caso da partícula confinada entre 0 e L Resp a As soluções em L2 x L2 podem ser obtidas impondose An senkn L2 e Bn coskn L2 iguais a zero Notase então que ψx Bn cosnπxL com n 135 An sennπxL com n 246 b A relação da energia com as funções de onda permanece sendo En ħ2 kn2 2m ħ2 n2 π2 2mL2 com n 12345 1 E as funções de onda tem densidade de probabilidade idêntica porém deslocadas de L2 como ilustrado na Figura 2 Figure 2 Gráfico da densidade de probabilidade da partícula confinada entre 0 e L esquerda e entre L2 e L2 direita 3 Considere um elétron aprisionado em um poço de potencial unidimensional infinito com largura de L 300 pm Qual é a probabilidade para que se possa detectar o elétron no primeiro estado excitado na região entre x 05 L e x 075 L Resp Para determinar a probabilidade devemos calcular P05L 075L 05L075L 2L sin22πxL dx Podemos usar a relação trigonométrica cos2θ 12 12 cos2θ que nos leva a P05L 075L 05L075L 2L 12 12 cos4πxL dx 14 Um fóton com comprimento de onda λ 880 μm é absorvido por um elétron confinado em um poço infinito Como resultado o elétron passa do estado n 1 para n 4 i Encontre a largura do poço ii Qual é o comprimento de onda do fóton emitido na transição daquele elétron do estado n4 para n2 Resp i Sabemos que a energia para um estado ligado do poço infinito é dado por En h2 n28mL2 Assim ΔE14 E4 E1 15 h28 m L2 hcλ L 15 h2 λ8 m hc 20nm ii Sabendo a largura do poço resultado do item i temos que E1 0941 meV e ΔE42 12 E1 113 meV logo λ hcΔE42 110 μm 5 Um elétron está confinado em um poço de potencial finito com largura de 10 109 m e altura do potencial de 20 eV Existe um estado ligado correspondente a n3 para este caso Justifique a sua resposta Dica considere que a energia de um estado n para uma caixa infinita é sempre menor que a energia do estado de mesmo n para uma caixa finita de mesma largura tornaria mais adequada Resp Podemos usar o fato de que as energias para os estados de um poço finito são maiores do que para um poço finito de mesma largura Assim basta verificarmos se é verdadeira a condição E3 32 h2 π22 m L2 20 eV Usando os valores dados no problema vemos que E3 339 eV e portanto não existe um estado ligado correspondente a n3 neste poço pois a energia associada a este estado é maior do que a energia de potencial altura do poço 6 Considerando que x e x2 representam o valor médio de x e o valor médio de x2 num dado estado ψ calcule σx x2 x2 σp p2 p2 e σx σp para o estado fundamental do poço quadrado infinito O resultado do produto σx σp é consistente com o princípio de incerteza Justifique sua resposta Resp Devemos determinar os valores de x x2 p e p assim x from L2 to L2 ψx x ψx dx 2L from L2 to L2 x cos2 π xL dx 0 p from L2 to L2 ψx i ħ ddx ψx dx 2 i ħL from L2 to L2 cosπ xL πL sin π xL dx 0 As duas integrais acima são nulas pois são produtos de uma função ímpar x e sinπ xL por uma função par cos2π xL e cosπ xL integradas em um intervalo simétrico de L2 a L2 x2 from L2 to L2 ψx x2 ψx dx 2L from L2 to L2 x2 cos2 π xL dx L212 L22 π2 A integral acima pode ser resolvida aplicando a integração por partes duas vezes Usamos para a primeira integração u x2 e dv cos2 π xL e também que cos2θ 12 12 cos2 θ p2 from L2 to L2 ψx ħ2 d2dx2 ψx dx ħ2 π2L2 2L from L2 to L2 cos2 π xL dx ħ2 π2L2 Dessa forma temos que σx L 112 12 π2 e σp ħπL e o produto resulta em σx σp L 112 12 π2 ħ πL ħ2 π23 2 ħ2 114 ħ2 Portanto o resultado obtido está de acordo com o princípio de incerteza de Heisenberg Nota Caso seja utilizado o intervalo de 0 a L no lugar de L2 a L2 haverá algumas mudanças na resolução A função de onda será dada por 2L sin π xL O argumento utilizado para zerar x e p deixa de valer devido ao intervalo não ser simétrico x L2 ou seja no meio da caixa da mesma forma que utilizando o outro intervalo a interpretação física não pode ser alterada x2 L23 L22 π2 análogo a mudança de x Os demais resultados são iguais pois eles não dependem de como o intervalo de x é definido