Método de Runge Kuuta de 4 Ordem

Método de Runge Kutta 4ª ordem y fx y yx0 y0 h incremento xn1 xn h valores de K K1 hfxn yn K2 h f xn h 2 yn k1 2 K3 h f xn h 2 yn k2 2 K4 h f xn h yn k3 yn1 yn 16 k1 2k2 2k3 k4 Repetir o processo para os pontos seguintes a Para t 01 h 01 f02 4 02 1 22 08 Cálculo do Ks k1 hf02 k1 008 f005196 4 005196 1 1962 0846 k2 hf005196 k2 00846 f00519577 4 00519577 1 195772 0848 k3 hf00519577 k3 00848 2 Para a equação diferencial dada abaixo utilize o Método de HungeKutta de quarta ordem para resolvêla a Manualmente determinando sua solução nos pontos t01 02 03 04 b computacionalmente desenvolvendo um código em MatLab Aumente gradativamente o número de pontos utilizados no intervalo 01 04 até que a variação no resultado obtido seja inferior a 1 Equação diferencial Condição Inicial Equação diferencial Condição Inicial Grupo 01 y y2 2ty 3 t2 y0 05 Grupo 07 y t y y0 3 Grupo 02 y 5t 3y y0 2 Grupo 08 y 4 ty 1 y2 y0 2 Grupo 03 y 05 t 2y y0 1 Grupo 09 y y2 2ty 3 t2 y0 05 Grupo 04 y 2t ey y0 1 Grupo 10 y t2 y2 y0 1 Grupo 05 y 2y 3t y0 1 Grupo 11 y 3 t y y0 1 Grupo 06 y t2 y2 sen y y0 1 f0119152401191521191522 0898 K4 hf0119152 00898 Calculando y01 2 16008 200846 200848 00898 y01 19152 Para t02 h01 f0119152 401191521191522 0898 Cálculo dos Ks K1 hf0119152 K100898 f01518703 4015187031187032 0952 K2 hf01518703 K200952 f01518676 4015186761186762 aprox 0953 K3hf01518676 K300953 f02181994021819911819921012 K4hf0218199 K401012 Calculando y0219152 160089820095220095301012 y021819 Para t03 h01 f02181994021819911819921012 Cálculo dos Ks K1hf0218199 K101012 f02517693 4025176931176932 1075 K2 hf02517693 K201075 f02517661 4025176611176612 1078 K3 hf02517661 K301078 f0317121 403171211171212 1148 K4 hf0317121 K401148 Calculando y0318199 1601012 201075 201078 01148 y03 1712 Para t04 h01 f03 17121 4 0317121 1 171212 1148 Cálculo dos Ks K1 h f03 17121 K1 01148 f035 16547 4 03516547 1 165472 1225 K2 h f035 16547 K2 01225 f035 16508 4 03516508 1 165082 1229 K3 h f035 16508 K3 01229 f04 15892 4 0415892 1 158922 1315 K4 h f04 15892 K4 01315 Calculando y04 17121 16 01148 201225 201229 01315 y04 1589 b O código desenvolvido em MATLAB para solução do problema segue clc clear all format long a 01 Ponto inicial do intervalo b 04 Ponto final do intervalo N 3 número de passos t zeros1 N1 w zeros1 N1 w1 19152 Valor inicial de y h b aN Tamanho do passo t1 a Valor inicial de x F t y 4ty1y2 EDO for i 1N K1 hFti wi K2 hFti 05h wi 05K1 K3 hFti 05h wi 05K2 K4 hFti h wi K3 wi1 wi K1 2K2 2K3 K46 ti1 a ih end w1N1 Valor de y no ponto final Assim considerando um dado valor para a variável n observase o valor obtido para y no final do intervalo e ele é comparado com esse mesmo valor para o valor da variável n utilizado na iteração anterior O valor inicial de y01 foi obtido na primeira iteração realizada manualmente Considerando n 2 o valor obtido é 𝑦04 1589204251838844 Considerando n 3 o valor obtido é 𝑦04 1589205475358757 𝐸𝑟𝑟𝑜 1589205475358757 1589204251838844 1589204251838844 100 𝐸𝑟𝑟𝑜 00000769 Considerando n 4 o valor obtido é y04 1589205700249299 𝐸𝑟𝑟𝑜 1589205700249299 1589205475358757 1589205475358757 100 𝐸𝑟𝑟𝑜 00000141 Podese observar pelos resultados acima que ao aumentarmos o número de pontos utilizados nos cálculos tende a ocorrer uma redução na variação do resultado entre soluções porém quando aumentamos o número de pontos de 2 para 3 e de 3 para 4 não houve uma redução do erro maior que 000000769 e 00000141 respectivamente Isso é um indicativo que de que o método de Runge Kutta de 4ª se aproxima bem solução exata do problema sem a necessidade um número elevado de iterações PÚBLICA