Método dos Elementos Finitos e Isoladores de Vibração

ESTS00817 Vibrações QS 20213 Semana 10 Método dos Elementos Finitos e Isoladores de vibração TMD e ID Prof Marcelo Araujo da Silva marceloaraujoufabcedubr 02 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Método dos Elementos Finitos 03 Método dos Elementos Finitos Treliças Para a treliça plana da Figura 1 determinar as frequências e modos de vibração livre não amortecidos Figura 1 Treliça plana com dois graus de liberdade Fonte Elaborado pelos autores MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID 04 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Dados Seção com dimensões Módulo de elasticidade Massa específica 05 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Considere também o esquema da Figura 2 que ilustra as coordenadas globais de um elemento de treliça plana Figura 2 Coordenadas globais em um elemento de treliça Fonte Elaborado pelos autores 06 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID A matriz de rigidez k do elemento de barra de treliça plana no sistema global de referência SGR é dada por onde E é o módulo de elasticidade A é a área da seção e L é o comprimento do elemento E também temse que e 07 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Já a matriz de massa m do elemento de barra de treliça plana no sistema global de referência SGR é dada por onde ρ é a densidade do material A é a área da seção e L é o comprimento do elemento 08 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID A Matrizes de rigidez e de massa das barras a Barras 1 e 3 A 00025 m² L 5 m c ⅗ e s ⅘ 09 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID A Matrizes de rigidez e de massa das barras b Barras 2 e 4 A 00025 m² L 5 m c ⅗ e s ⅘ 10 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID A Matrizes de rigidez e de massa das barras c Barra 5 A 00025 m² L 6 m c 1 e s 0 11 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID B Matrizes de rigidez e de massa das barras a Tabela de correspondência entre GL dos elementos e da estrutura Fonte Elaborado pelos autores Figura 3 Correspondência do elemento 1 Fonte Elaborado pelos autores Figura 4 Correspondência do elemento 2 12 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID B Matrizes de rigidez e de massa das barras a Tabela de correspondência entre GL dos elementos e da estrutura Fonte Elaborado pelos autores Figura 5 Correspondência do elemento 3 Fonte Elaborado pelos autores Figura 6 Correspondência do elemento 4 13 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID B Matrizes de rigidez e de massa das barras a Tabela de correspondência entre GL dos elementos e da estrutura Fonte Elaborado pelos autores Figura 7 Correspondência do elemento 5 14 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID B Matrizes de rigidez e de massa das barras a Tabela de correspondência entre GL dos elementos e da estrutura Barra q1 q2 q3 q4 1 0 0 u1 0 2 0 0 u1 0 3 0 0 u2 0 4 0 0 u2 0 5 u1 0 u2 0 Tabela 1 Tabela de correspondência Figura 8 Graus de liberdade da treliça Fonte Elaborado pelos autores 15 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID B Matrizes de rigidez e de massa das barras b Matriz de rigidez da estrutura 2 x 2 simétrica não singular c Matriz de massa da estrutura 2 x 2 simétrica não singular 16 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID C Determinação das frequências de vibração onde ω é cada uma das duas frequências procuradas Fazendo λ ω²10000 temse 17 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID uma equação de segundo grau em lambda cujas raízes são 18 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID D Determinação dos modos de vibração com n 1 e 2 Impõese um valor unitário para a primeira componente de cada modo obtendo e 19 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Na Figura 9 é possível observar o 1º Modo o modo de sway Figura 9 Primeiro modo de vibração da treliça sway Fonte Elaborado pelos autores 20 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID A animação da Figura 10 ilustra o 1º modo sway em movimento Figura 10 Primeiro modo de vibração da treliça sway em movimento Fonte Elaborado pelos autores 21 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID E na Figura 11 é possível observar o 2º Modo o modo de simétrico Figura 11 Segundo modo de vibração da treliça simétrico Fonte Elaborado pelos autores 22 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Finalmente na Figura 12 é possível observar uma animação do 2º Modo Figura 12 Segundo modo de vibração da treliça simétrico em movimento Fonte Elaborado pelos autores 23 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Considere as forças atuantes da Figura 13 Figura 13 Forças excitadoras atuantes Fonte Elaborado pelos autores e 24 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Por meio de uma rotina em Matlab entrase com as matrizes de massa e de rigidez E também com os coeficientes de amortecimento 25 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Sendo temse que o termo Logo temse que e 26 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Dado que a matriz C é calculada como e com os valores encontrados de a0 e a1 temse que 27 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Por integração numérica utilizando o método das Diferenças Finitas no sistema físico original na direção 1 Figura 14 Figura 14 Deslocamentos na direção 1 Fonte Elaborado pelos autores 29 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Analogamente utilizando o método das Diferenças Finitas no sistema físico original deslocamento na direção 2 Figura 15 Figura 15 Deslocamentos na direção 2 Fonte Elaborado pelos autores 29 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Por integração numérica utilizando o método das Diferenças Finitas sistema físico original deslocamentos dir 1 e 2 Figura 16 Figura 16 Deslocamentos nas direções 1 e 2 Fonte Elaborado pelos autores 30 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID De forma semelhante na Figura 17 temse o deslocamento modal total do 1º e do 2º modo na direção 1 Figura 17 Deslocamento modal na direção 1 Fonte Elaborado pelos autores 31 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID E também temse o deslocamento modal total do 1º e do 2º modo na direção 2 na Figura 18 Figura 18 Deslocamento modal na direção 2 Fonte Elaborado pelos autores 32 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Na Figura 19 comparase os resultados obtidos pela análise no sistema físico original com os obtidos na análise modal na direção 1 Figura 19 Análise nas variáveis reais x análise modal direção 1 Fonte Elaborado pelos autores 33 Método dos Elementos Finitos Treliças MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Comparase os resultados obtidos pela análise nas variáveis físicas originais com os da análise modal na direção 2 na Figura 20 Figura 20 Análise nas variáveis reais x análise modal direção 2 Fonte Elaborado pelos autores 34 Método dos Elementos Finitos Vigas Considere a viga biengastada da Figura 21 determinar as frequências a rigidez a carga e a resposta modal Figura 21 Viga biengastada com dois graus de liberdade Fonte Elaborado pelos autores MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID 35 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Dados do problema Rigidez flexural Massa distribuída Massa concentrada 36 Método dos Elementos Finitos Vigas Considere agora o esquema da Figura 22 que ilustra as coordenadas globais de um elemento de viga Figura 22 Coordenadas globais em um elemento de viga Fonte Elaborado pelos autores MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID 37 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID A matriz de rigidez k do elemento de viga no sistema global de referência SGR é dada por onde E é o módulo de elasticidade I é o momento de inércia e L é o comprimento do elemento 38 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Já a matriz de massa m do elemento de viga no sistema global de referência SGR é dada por onde ρ é a densidade do material A é a área da seção e L é o comprimento do elemento 39 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID A Matrizes de rigidez e de massa das vigas a Viga 1 40 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID A Matrizes de rigidez e de massa das vigas b Viga 2 41 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID B Matrizes de rigidez e de massa da estrutura a Tabela de correspondência entre GL dos elementos e da estrutura Fonte Elaborado pelos autores Figura 23 Correspondência do elemento 1 Fonte Elaborado pelos autores Figura 24 Correspondência do elemento 2 42 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID B Matrizes de rigidez e de massa da estrutura a Tabela de correspondência entre GL dos elementos e da estrutura Elemento q1 q2 q3 q4 1 0 0 u1 u2 2 u1 u2 0 0 Tabela 2 Tabela de correspondência Figura 25 Graus de liberdade da treliça Fonte Elaborado pelos autores 43 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID B Matrizes de rigidez e de massa da estrutura b Matriz de rigidez da estrutura 2 x 2 simétrica não singular c Matriz de rigidez da estrutura 2 x 2 simétrica não singular 44 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID C Determinação das frequências de vibração onde ω é cada uma das duas frequências naturais da estrutura procuradas Fazendo λ ω² temse 45 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID uma equação de segundo grau em lambda cujas raízes são 46 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID D Determinação dos modos de vibração com n 1 e 2 Impõese um valor unitário para a primeira componente de cada modo obtendo ee 47 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Na Figura 26 é possível observar o 1º Modo de vibração da estrutura Figura 26 Primeiro modo de vibração da viga biengastada Fonte Elaborado pelos autores 48 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID A animação da Figura 27 ilustra o 1º modo da viga biengastada Figura 27 Primeiro modo de vibração da viga biengastada Fonte Elaborado pelos autores 49 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID E na Figura 28 é possível observar o 2º Modo da viga biengastada Figura 28 Segundo modo de vibração da viga biengastada Fonte Elaborado pelos autores 50 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Finalmente a animação da Figura 29 ilustra o 2º modo da viga Figura 29 Segundo modo de vibração da viga biengastada Fonte Elaborado pelos autores 51 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Por meio de uma rotina em Matlab entrase com as matrizes de massa e de rigidez E também com os coeficientes de amortecimento 52 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Sendo temse que o termo Logo temse que e Por fim o vetor das forças é Dado que a matriz C é calculada como e com os valores encontrados de a0 e a1 temse que 53 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID 54 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Considere a força atuante da Figura 30 Figura 30 Forças excitadoras atuantes Fonte Elaborado pelos autores 55 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Pelo o método das Diferenças Finitas no sistema físico original encontrase os deslocamentos na direção 1 Figura 31 Figura 31 Deslocamentos na direção 1 Fonte Elaborado pelos autores 56 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Analogamente utilizando o método das Diferenças Finitas no sistema físico original deslocamento na direção 2 Figura 32 Figura 32 Deslocamentos na direção 2 Fonte Elaborado pelos autores 57 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Na Figura 33 por sua vez podese observar o diagrama de fase da direção 1 da viga Figura 33 Diagrama de fase da direção 1 Fonte Elaborado pelos autores 58 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Similarmente na Figura 34 encontrase o diagrama de fase da viga na direção 2 Figura 34 Diagrama de fase da direção 2 Fonte Elaborado pelos autores 59 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Finalmente na Figura 35 encontrase o diagrama de fase da direção 1 x direção 2 u1 x u2 Figura 35 Diagrama de fase da direção 1 x direção 2 Fonte Elaborado pelos autores 60 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Agora observase na Figura 36 o deslocamento da estrutura na direção 1 1º Modo Figura 36 Deslocamento modal 1º modo na direção 1 Fonte Elaborado pelos autores 61 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID E também temse o deslocamento modal rotação na direção 2 1º Modo na Figura 37 Figura 37 Deslocamento modal 1º modo na direção 2 Fonte Elaborado pelos autores 62 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Na Figura 38 comparase os resultados obtidos pela análise no sistema físico original com os obtidos na análise modal na direção 1 Figura 38 Análise nas variáveis reais x análise modal direção 1 Fonte Elaborado pelos autores 63 Método dos Elementos Finitos Vigas MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Comparase os resultados obtidos pela análise nas variáveis físicas originais com os da análise modal na direção 2 na Figura 39 Figura 39 Análise nas variáveis reais x análise modal direção 2 Fonte Elaborado pelos autores 64 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Isoladores de Vibração TMD e ID 65 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Aos 022 segundos do vídeo abaixo é possível comparar a diferença entre uma estrutura não controlada e uma controlada por um TMD Vídeo 01 Um exemplo real de um TMD tuned mass damper instalado em uma arranhacéu Fonte Canal Engineering and architecture 66 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Considere o esquema da Figura 40 A carga dinâmica será devida a uma pessoa de 80 kg por m² vide Tabela 1 Figura 40 Esquema de uma passarela apoiada em duas vigas longitudinais fora de escala Fonte Elaborado pelos autores 67 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Demais dados Dados das vigas Massa distribuída da estrutura laje vigas pessoas Taxa de amortecimento 68 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Tabela 3 Valores dos parâmetros para projeto com atividades padronizadas CEB20991 12 Atividade Modo Hz α1 ϕ1 α2 ϕ2 α3 ϕ3 Densidade de projeto pessoam² Andar na vertical 20 04 01 π2 01 π2 1 24 05 para frente 20 02 01 α12 01 lateralmente 2 α12 01 α32 01 Correr 20 a 30 16 07 02 Pular normal 2 18 13 07 em treino 025 3 17 11 A 05 A em casos extremos até 05 alto 2 19 16 11 3 18 13 08 A ϕ2 ϕ3 π1 fpt 69 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Tabela 3 Valores dos parâmetros para projeto com atividades padronizadas CEB20991 22 Atividade Modo Hz α1 ϕ1 α2 ϕ2 α3 ϕ3 Densidade de projeto pessoasm² Dançando 20 a 30 05 015 01 4 casos extremos até 6 Bater palmas em pé 16 017 01 004 sem assentos fixos 4 Pulando 24 038 012 002 casos extremos até 6 com assentos fixos 2 a 3 Bater palmas sentado normal 16 0024 001 0009 2 a 3 24 0047 0024 0015 intensivamente 2 017 0047 0037 Balanço lateral do corpo sentado 06 α12 04 3 a 4 em pé 06 α12 05 70 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Considerando apenas o primeiro modo de vibração exato é possível gerar um modelo de 1 GL equivalente tal que Que é bastante próximo da frequência de uma pessoa andando 2 Hz vide Tabela 3 71 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Para se obter esse resultado a massa e a rigidez modal são A carga distribuída é g 2000 Nm 25 pessoasm e a carga modal equivalente é 72 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Consultando a Tabela 3 obtémse para a atividade de andar os seguintes coeficientes Para a modelagem das forças dinâmicas devidas ao movimento de pessoas sobre estruturas adotase a expressão 73 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Nesta expressão do tipo Fourier temse que frequência fundamental da excitação peso das pessoas em movimento proporção do peso total correspondente a cada harmônico fase de um harmônico em relação ao primeiro 74 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID O gráfico da Figura 41 mostra o histórico da carga dinâmica equivalente num tempo de 6 segundos Figura 41 Força dinâmica na passarela Fonte R M L R F Brasil M A Silva Introdução à Dinâmica das Estruturas Seg Edição Ed Blucher São Paulo 2015 75 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID O gráfico da Figura 42 mostra o histórico da carga dinâmica equivalente num tempo de 6 segundos Figura 42 Deslocamento vertical dinâmico Fonte R M L R F Brasil M A Silva Introdução à Dinâmica das Estruturas Seg Edição Ed Blucher São Paulo 2015 76 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Na Figura 43 podese notar que as acelerações no regime permanente atingem valores perto de 04 g que são intoleráveis pelo ser humano nessa frequência vide Figura 47 Figura 43 Aceleração vertical dinâmica Fonte R M L R F Brasil M A Silva Introdução à Dinâmica das Estruturas Seg Edição Ed Blucher São Paulo 2015 77 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Uma possível solução é a introdução de um TMD Figura 44 no centro do vão constituído de duas massas suspensas por molas e amortecedores no interior dos perfis de aço Figura 44 TMD a ser implementado tal que f fTMD Fonte Elaborado pelos autores 78 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Observase que o sistema de 2 GL resultante apresenta diminuição dos deslocamentos e das acelerações Figuras 45 e 46 Figura 45 Deslocamento dinâmico vertical original x com massa sintonizada Fonte R M L R F Brasil M A Silva Introdução à Dinâmica das Estruturas Seg Edição Ed Blucher São Paulo 2015 79 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Observase que o sistema de 2 GL resultante apresenta diminuição dos deslocamentos e das acelerações Figuras 45 e 46 Figura 46 Aceleração dinâmica vertical original x com massa sintonizada Fonte R M L R F Brasil M A Silva Introdução à Dinâmica das Estruturas Seg Edição Ed Blucher São Paulo 2015 80 Tuned Mass Dampers TMD MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Na Figura 47 observase um gráfico de critérios de tolerância às vibrações Figura 47 Critérios de tolerância às vibrações Fonte Shock and Vibration Handbook 1987 81 Impact Dampers ID MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Considere agora o esquema da Figura 48 Temse um shear building com um motor desbalanceado no topo Figura 48 Modelo de estrutura de fundação de motor Fonte Elaborado pelos autores 82 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Desconsiderandose a massa m3 apresentase uma função de dissipação de Rayleigh para modelar o amortecimento na forma onde c é a constante de amortecimento e a e b são constantes do motor fornecidas pelo fabricante Impact Dampers ID 83 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Substituindo as equações da energia potencial energia cinética e a função de dissipação na equação de Lagrange obtémse Onde M m1m2 S m2e J J2 m2e² Impact Dampers ID 84 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Agora considerase a massa m3 como livre para colidir com as paredes do vão Isso cria um grau de liberdade adicional no sistema q3 Cuja equação do movimento é Cujas condições iniciais são q3a e q3a no instante ta após cada colisão Impact Dampers ID 85 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Considerase as colisões como sendo inelásticas com coeficientes de restituição no intervalo 0 r 1 onde Pela conservação de momento linear temse que Impact Dampers ID 86 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Solucionando as duas equações obtémse as velocidades iniciais para resolver as equações do movimento e assim Impact Dampers ID 87 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Adotando os seguintes valores para os parâmetros estruturais do modelo Obtendo a frequência natural Adotase também e Impact Dampers ID 88 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Também adotase m3 001 kg e d 002 m A Figura 49 compara o sistema não controlado e o sistema controlado Figura 49 Comparação entre sistema não controlado x controlado Fonte Proceedings of the Workshop on Nonlinear Phenomena Modeling and Their Applications 46 May 2005 SP Brazil Impact Dampers ID 89 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Agora adotase m3 0102 kg e d 0074 m A Figura 50 compara o sistema não controlado e o sistema controlado Figura 50 Curva de ressonância para o sistema não controlado x controlado Fonte Silva Marcelo A et al Remarks on Optimization of Impact Damping for a NonIdeal and Nonlinear Structural System Journal of Low Frequency Noise Vibration and Active Control July 2020 Impact Dampers ID 90 Artigo para Leitura MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID Clique aqui para acessar o artigo 91 Atividade Proposta ATIVIDADES 1 Implemente em Matlab Excel ou QUALQUER outra ferramente de sua preferência o Método dos Elementos Finitos para o caso de treliças e vigas 1 Estude as aplicações do TMD e do ID e automatize os exemplos vistos em aula Experimente com diferentes valores para as variáveis dos problemas apresentados MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS E ISOLADORES DE VIBRAÇÃO TMD E ID