Mecânica Lagrangiana e Modelos com Vários Graus de Liberdade

ESTS00817 Vibrações QS 20213 Semana 09 Mecânica Lagrangiana e Modelos com vários graus de liberdade Prof Marcelo Araujo da Silva marceloaraujoufabcedubr 02 MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Mecânica Lagrangiana 03 Mecânica Lagrangiana Agora considerase sistemas com vários graus de liberdade que podem ser representados tal como na Figura 1 MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Figura 1 Esquema de um sistema amortecido com dois grau de liberdade Fonte Elaborado pelos autores 04 Mecânica Lagrangiana Por exemplo tomase o modelo da Figura 2 de um pórtico de 3 níveis sujeito ao movimento da base na direção horizontal ub ubt MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Figura 2 Estrutura exemplo Fonte Elaborado pelos autores 05 Mecânica Lagrangiana Podese observar na Figura 3 o primeiro modo de vibração da estrutura como um todo MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Figura 3 Estrutura exemplo animada Fonte Elaborado pelos autores 06 É dado que As colunas do topo possuem seção As colunas intermediárias e na base possuem rigidezes em função da rigidez das colunas do topo k1 tal que Mecânica Lagrangiana MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE e 07 O sistema de equações do movimento de um sistema discretizado pode ser escrito em forma matricial como A posição e a velocidade de cada nível com relação a um referencial inercial absoluto são dados por Mecânica Lagrangiana MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE 08 Mecânica Lagrangiana MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Assim empregandose as equações de EulerLagrange Generalizadas que para cada grau de liberdade r se escrevem onde r 1n e onde L é a função lagrangiana dada por sendo que 09 Mecânica Lagrangiana MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE De forma geral o Vetor dos Deslocamentos é Assim os Vetores das Velocidades e das Acelerações são e 10 Mecânica Lagrangiana MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE O Vetor de Carregamento é Como fe Ku a Matriz de Rigidez de n linhas e n colunas é 11 Mecânica Lagrangiana MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Analogamente a Matriz de Amortecimento é Finalmente a Matriz de Massa é 12 Retomando o exemplo a Energia Cinética é dada por que reescrita em termos de un e ub é Mecânica Lagrangiana MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE 13 Mecânica Lagrangiana MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE A Energia de Deformação é dada na forma ou ainda onde k1 é a rigidez das colunas do topo obtida por 14 Mecânica Lagrangiana MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Aplicando as equações de Lagrange obtémse as forças de inércia 15 Mecânica Lagrangiana MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE E também as forças restauradoras elásticas 16 Mecânica Lagrangiana MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Chegase assim respectivamente às matrizes de massa e rigidez 17 Mecânica Lagrangiana MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Finalmente o vetor de carregamento Fisicamente é como se fossem aplicadas forças em cada massa suspensa de intensidade igual à massa vezes a aceleração da base no sentido contrário ao movimento 18 MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Modelos com Vários Graus de Liberdade 19 Gráficos do Exemplo MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE No gráfico da Figura 4 mostrase a aceleração da base do exemplo anterior Figura 4 Aceleração da base do pórtico ωω1 Fonte Elaborado pelos autores 20 Gráficos do Exemplo MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE A matriz de amortecimento a ser utilizada neste exemplo foi calculada como ou seja Lembrando a equação do movimento 21 Gráficos do Exemplo MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE No gráfico da Figura 5 mostrase os deslocamentos nas três direções Figura 5 Deslocamentos nas três direções C a0M a1K com diferenças finitas Fonte Elaborado pelos autores 22 Vibrações Livres não Amortecidas MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Considerandose novamente a equação do movimento para o caso livre não amortecido cuja solução é onde û compreende os chamados modos de vibração livre não amortecidos da estrutura 23 Vibrações Livres não Amortecidas MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Derivando essa solução duas vezes no tempo e substituindo na equação do movimento obtémse o sistema E excluindo soluções não triviais fazse resultando numa equação polinomial de grau n na variável ω² conhecida como equação de frequência 24 Exemplo de Análise Modal MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Encontrase as frequências e modos de vibrações livres não amortecidas resolvendose a equação Fazendose λ ω²19200 a equação será 25 Exemplo de Análise Modal MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE ou ainda uma equação cúbica cuja solução resulta nas frequências 26 Exemplo de Análise Modal MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Substituindo esses valores na equação um de cada vez e fazendo unitária a primeira componente dos vetores modais correspondentes chegase à matriz modal 27 Exemplo de Análise Modal MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE As colunas da matriz Φ são os modos normais que podem ser visualizados na Figura 6 Figura 6 Modos de vibração Fonte Elaborado pelos autores 28 Ortogonalidade e Equações Desacopladas MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Os modos de vibração livre não amortecidos possuem a propriedade de serem ortogonais com relação K e M Assim onde o escalar Kr é a rigidez modal do résimo modo e onde o escalar Mr é a massa modal do résimo modo e e 29 Ortogonalidade e Equações Desacopladas MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE A frequência de vibração livre desse modo é Retomando o exemplo pela propriedade de ortogonalidade dos modos chegase à matriz diagonal de massas modais 30 Ortogonalidade e Equações Desacopladas MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Pela propriedade de ortogonalidade dos modos chegase à matriz diagonal de rigidezes modais O sistema original de equações do movimento pode ser desacoplado pela substituição de variáveis 31 Ortogonalidade e Equações Desacopladas MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE onde y é o vetor das respostas modais yr a serem multiplicadas por cada modo para obter a resposta nas coordenadas originais Obtémse assim n equações de movimento de 1 GL uma para cada modo na forma geral onde as cargas modais Pr são 32 Ortogonalidade e Equações Desacopladas MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE No exemplo elas podem ser decompostas em um vetor de amplitudes de cargas modais P0r Na equação de movimento modal comparece ξr calculada como 33 Ortogonalidade e Equações Desacopladas MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Isso não é válido em geral a não ser que C seja uma combinação linear de M e K como no caso do assim chamado amortecimento de Rayleigh a0 e a1 podem ser obtidos impondo ξr arbitrariamente escolhidas para dois modos quaisquer escolhidos e resolvendo 34 Ortogonalidade e Equações Desacopladas MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Suponhase ter arbitrado ξ1 ξ3 5 A solução seria levando aos fatores de Rayleigh 35 Ortogonalidade e Equações Desacopladas MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE Com os fatores a0 e a1 determinados e substituídos na equação de C tal que obtémse a matriz de amortecimento C ou seja 36 Considerações Finais MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE ANÁLISES 1 Equações no sistema físico original 2 Equações no espaço dos autovetores 37 Atividade Proposta ATIVIDADES 1 Automatize os exemplos apresentado em aula e experimente com diferentes tipos de carregamentos propriedades mecânicas e graus de liberdade arbitrários 2 Rodar o problema no espaço físico original e com as equações no espaço dos autovalores e comparar com os resultados obtidos no sistema físico original MECÂNICA LAGRANGIANA E MODELOS COM VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE