Funções Exponenciais e Logarítmicas - Exercícios e Análises

Lista 9 Bases Matemáticas Funções Parte 4 Funções Exponenciais e Logarítmicas 1 Esboce o gráfico das seguintes funções utilizando o gráfico de uma função mais simples e aplicando as transformações apropriadas Para cada uma dessas funções indique as intersecções com os eixos 𝑥 e 𝑦 as regiões nas quais as funções são positivas negativas crescentes decrescentes a 𝑓 𝑥 2𝑥𝜋 b 𝑓 𝑥 3 2𝑥𝜋 c 𝑓 𝑥 1 2 𝑥𝜋 d 𝑓 𝑥 2𝑥𝜋 5 e 𝑓 𝑥 5𝑥 f 𝑓 𝑥 5𝑥2 g 𝑓 𝑥 1 3 𝑥1 2 h 𝑓 𝑥 1 3 𝑥 2 i 𝑓 𝑥 3𝑥 5 j 𝑓 𝑥 3𝑥 2 k 𝑓 𝑥 𝑒𝑥2 2 Esboce o gráfico das funções 𝑓 𝑥 e 𝑔𝑥 no mesmo sistemas de coordenadas cartesianas a 𝑓 𝑥 3𝑥 e 𝑔𝑥 3𝑥 b 𝑓 𝑥 ℎ1𝑥 com ℎ𝑥 3𝑥 e 𝑔𝑥 3𝑥 3 A explosão da usina de Chernobil em 1986 lançou aproximadamente 1000 quilogramas do elemento radioativo césio 137 na atmosfera Sa bendo que o césio 137 possui uma meia vida de 30 anos ou seja a cada 30 anos a quantidade de césio 137 cai pela metade a Escreva a função que descreve a massa de césio na atmosfera em função do tempo b Determine em quanto tempo a massa de césio na atmosfera reduzirá a 1𝑘𝑔 4 Uma lata de cerveja está a uma tempera tura de 𝑇0 25𝐶 Em seguida ela é posta numa geladeira cuja temperatura interna era 𝑇𝑔 5𝐶 A partir daquele momento a temperatura dentro da lata de cerveja passou a ser dada pela função 𝑇𝑡 𝑇𝑔 𝑇0𝑇𝑔2𝑏𝑡 em que 𝑡 é o tempo em horas e 𝑏 é uma constante real Sabendo que depois de manter a lata por 2 horas na geladeira a temperatura do líquido em seu interior atingiu 15𝐶 determine a constante 𝑏 e escreva a fórmula de 𝑇𝑡 esboce o gráfico de 𝑇𝑡 para 𝑡 0 10 5 Sabese que um artefato de madeira de uma tumba contém 65 do carbono14 presente na madeira de árvores vivas Há quantos anos a árvore de onde foi retirada a madeira utilizada para a fabricação desse artefato foi cortada A meia vida do carbono14 é 5730 anos 6 Demonstre as seguintes propriedades de funções logarítmicas a log𝑎 𝑥 𝑦 log𝑎𝑥 log𝑎𝑦 para quaisquer 0 𝑎 1 𝑥 𝑦 0 b log𝑎𝑦𝑐 𝑐log𝑎𝑦 para quaisquer 0 𝑎 1 𝑦 0 e 𝑐 R 7 Determine o domínio máximo das seguin tes funções a 𝑓 𝑥 log 1 𝑥2 b 𝑓 𝑥 log 1 𝑥2 c 𝑓 𝑥 log 1𝑥 𝑥 d 𝑓 𝑥 log cos𝑥 8 Esboce os gráficos das seguintes funções a 𝑓 𝑥 log𝑥 1 b 𝑓 𝑥 log 𝑥2 c 𝑓 𝑥 log 𝑥 d 𝑓 𝑥 log 𝑥 e 𝑓 𝑥 log3𝑥 2 f 𝑓 𝑥 log2𝑥 g 𝑓 𝑥 log22𝑥 𝑥 1 h 𝑓 𝑥 ln 𝑥 i 𝑓 𝑥 log𝑥 1 9 Use as propriedades do logaritmo para ex pandir as expressões abaixo o máximo possível a log9 9𝑥 b log9 9 𝑥 c log4 64 𝑥1 d log 3 𝑥2𝑦3 25 10 Use as propriedades do logaritmo para condensar as expressões abaixo o máximo possí vel a 1 3 log4𝑥 log4𝑦 b 4 3 log4𝑥 2 log4𝑦 c 4 log 𝑥 7 log 𝑥 log 𝑧 11 Na expansão de log 3 𝑥2𝑦3 25 encontramos a expressão log 𝑦 2 3 log 𝑥 1 𝛼 log 2 Deter mine 𝛼 12 Resolva em R as seguintes equações a 10𝑥 15 b 22𝑥 2𝑥 12 0 c 52𝑥3 3𝑥1 d log5𝑥 7 2 e log2𝑥 3 1 f log2𝑥 3 log2𝑥 log2𝑥 2 2 g 2𝑥25 24 144 h 𝑒2𝑥 2𝑒𝑥 8 0 i ln𝑥 12 0 j log28𝑥 6log82𝑥 2 13 O pH dos vinhos varia entre 28 e 38 Se o pH do vinho é muito alto digamos 40 ou acima o vinho se torna instável e adquire gosto pouco marcante Um certo vinho tinto francês tem pH de 32 e um certo vinho branco italiano tem pH de 29 Qual dos dois vinhos possui con centração mais baixa de íons de hidrogênio O pH é definido como sendo o oposto do loga ritmo da concentração dos íons 𝐻 na base 10 isto é pH log𝐻 2 Respostas dos Exercícios 1 a 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 0 1 1 2 3 4 Translação por 𝜋 2𝑥𝜋 2𝑥 e 0 05 10 15 151005 0 2 2 4 6 8 10 12 5𝑥 5𝑥 gO gráfico de 1 3 𝑥1 2 é obtido transladando o gráfico de 1 3 𝑥 uma unidade para a esquerda e duas unidades para cima 0 2 4 2 2 4 1 3 𝑥1 2 1 3 𝑥 i 0 2 2 4 6 8 10 2 4 6 𝑔 7 a R b 1 𝑥 1 c 𝑥 1 ou 𝑥 0 d O domínio é a união dos intervalos da forma 𝜋2 2 𝑘 𝜋 𝜋2 2 𝑘 𝜋 com 𝑘 N 8 b Dica log 𝑥2 2 log 𝑥 9 a 1 log9 𝑥 b 1 log9 𝑥 d log 𝑦 2 log𝑥 3 2 log5 3 10 a log4 𝑥 𝑦 1 3 12 a log10 15 b Dica faça 𝑡 2𝑥 3