Fisica Quântica UFABC - Evidências Experimentais e Introdução à Teoria Quântica

UFABC Física Quântica Prof Germán Lugones Aula 1 Evidências experimentais da teoria quântica radiação do Corpo Negro 1 Cosmic microwave background Planck Satellite Motivações para se estudar física quântica 2 A mecânica quântica também conhecida como física quântica ou teoria quântica é a teoria física que descreve a natureza nas pequenas escalas átomos e partículas subatômicas A mecânica quântica é muito diferente da física clássica por exemplo a energia o momento e outras quantidades são freqüentemente restritas a valores discretos quantização os objetos possuem características de partículas e ondas ou seja dualidade ondapartícula e há limites para a precisão com que as quantidades podem ser conhecidas princípio da incerteza A Física Quântica muitas vezes desafia o senso comum 3 A física quântica é essencial em vários ramos da ciência e da tecnologia química nanotecnologia a dinâmica dos átomos e moléculas é regida pela mecânica quântica microeletrônica componentes como transistores e diodos que fazem parte dos dispositvos eletrônicos funcionam com base nas leis da mecânica quântica Fisica de Partículas Astrofísica Cosmologia origem do Universo etc etc A física quântica foi surgindo gradualmente a partir do início do século XX Os primeiros indícios do comportamento quântico da natureza foram obtidos por Max Planck em 1900 analisando o problema da radiação do corpo negro e por Albert Einstein em 1905 analisando o efeito fotoelétrico A primeira pista da natureza quântica da radiação veio do estudo da radiação térmica emitida por corpos opacos Quando a radiação incide sobre um corpo opaco parte dela é refletida e parte é absorvida Os corpos de cor clara refletem a maior parte da radiação visível incidente sobre eles enquanto os corpos escuros absorvem a maior parte Corpo negro 4 A parte de absorção do processo pode ser descrita brevemente da seguinte forma A radiação absorvida pelo corpo aumenta a energia cinética dos átomos constituintes que oscilam sobre suas posições de equilíbrio Como a energia cinética translacional média dos átomos determina a temperatura T do corpo a energia absorvida faz com que T aumente No entanto os átomos contêm cargas os elétrons e são acelerados pelas oscilações Cargas aceleradas devem emitir radiação eletromagnética a emissão de radiação reduz a energia cinética das oscilações dos átomos e portanto reduz T Quando a taxa de absorção é igual à taxa de emissão T fica constante e dizemos que o corpo está em equilíbrio térmico com a radiação temos radiação em equilíbrio com a matéria A radiação eletromagnética emitida nessas circunstâncias é chamada de radiação térmica 5 Alguns aspectos observacionais da radiação do corpo negro Um corpo que absorve todas as radiações que incidem sobre ele é chamado de corpo negro ideal Em 1879 Josef Stefan encontrou uma relação empírica entre a potência irradiada por um corpo negro ideal e a temperatura R σ T4 Lei de StefanBoltzmann onde R é a potência irradiada por unidade de área R também é chamada de radiância R nos diz a taxa em que a energia é emitida pelo objeto Unidades de R Wm2 T é a temperatura absoluta σ 56705108 Wm2K4 é a constante de StefanBoltzmann R de um corpo negro depende apenas de T e não de qualquer outra característica do objeto como a cor ou o material do qual é composto A lei de Stefan Boltzmann 7 Objetos que não são corpos negros ideais irradiam energia por unidade de área a uma taxa R inferior à de um corpo negro à mesma T Para esses objetos a taxa R depende de propriedades além de T como por exemplo a cor e a composição da superfície Os efeitos dessas dependências são combinados em um fator chamado de emissividade 𝜀 que multiplica o lado direito da Lei de StefanBoltzmann R 𝜀 σT4 Os valores de 𝜀 são sempre menores do que a unidade 0 𝜀 1 A emissividade 𝜀 pode depender da temperatura e de outros fatores Emissividade 8 Potência espectral A radiância total R definida antes leva em consideração a radiação emitida em todos os comprimentos de onda Definimos agora a radiância espectral R𝜆 ou distribuição espectral de maneira que dRR𝜆d𝜆 seja a potência emitida por unidade de área no intervalo de comprimentos de onda entre 𝜆 e 𝜆 d𝜆 Pela definição anterior dRR𝜆d𝜆 temos e portanto Rλ dR dλ R 0 Rλdλ 9 Na figura vemos a radiância espectral Rλ medida de corpos negros a diferentes T O eixo vertical está em unidades arbitrárias apenas para comparação O intervalo de λ está no espectro visível O Sol emite radiação muito próxima da de um corpo negro a T5800 K Para uma T dada se observa que a radiância espectral R𝜆 tem um máximo pico O comprimento de onda 𝜆m do pico da distribuição se desloca para valore menores à medida que T aumenta Wien descobriu empiricamente que Lei de deslocamento de Wien Este resultado é conhecido como lei de deslocamento de Wien Foi obtido por Wien em 1893 11 λm 1 T λmT constante 2898 103m K Questão A medição do comprimento de onda em que a radiância R𝜆 de uma determinada estrela é máxima indica que T 3000K na superfície da estrela Também é medida a potência total emitida pela estrela e o valor obtido é 100 P onde P é a potência irradiada pelo Sol Qual é o raio da estrela A temperatura da superfície do Sol é de 5800 K Resolução Suponhamos que o Sol e a estrela irradiam como corpos negros os astrônomos quase sempre fazem essa suposição com base entre outras coisas no fato de que o espectro solar é quase o de um corpo negro ideal Exemplo Determinação do tamanho de uma estrela 12 Pela Lei de StefanBoltzmann R σ T⁴ temos para a estrela Rstar Pstar areastar 100 P 4πrstar² σ Tstar⁴ para o Sol R P area P 4πr² σ T⁴ Portanto rstar² 100 r² TTstar⁴ rstar 10 r TTstar² 10 58003000² r rstar 374 r Como r 69610⁸ m esta estrela tem um raio de cerca de 2610¹⁰ m ou cerca de metade do raio da órbita de Mercúrio Esta estrela é uma gigante vermelha O corpo negro Radiacao de corpo negro Aula 3 4 21 O corpo negro e um objeto ideal que absorve toda a radiacao incidente sobre ele e irradia com emissividade ε 1 a chamada radiacao do corpo negro radiacao Modelo de um corpo negro ideal A radiacao eletromagnetica de qualquer compri mento de onda entra por um pequeno orifıcio de uma cavidade Ao bater nas suas paredes uma parte dela e absorvida e uma outra e refletida Eventualmente toda a radiacao sera absorvida pela cavidade Os atomos das paredes da cavidade absorvem a radiacao Na situacao de equilıbrio termico as paredes possuem uma temperatura T e emitem radiacao termica Eventualmente parte dessa radiacao pode escapar da cavidade atraves do orifıcio Alguns materiais pretos como o lampblack pigmento preto muito intenso se aproximam de um corpo negro ideal mas a melhor realização prática de um corpo negro ideal é uma cavidade com um pequeno orifício A radiação que incide no buraco entra na cavidade e é refletida inúmeras vezes até ser completamente absorvida A catástrofe ultravioleta Os átomos das paredes da cavidade absorvem a radiação Na situação de equilíbrio térmico as paredes possuem uma temperatura T e emitem radiação térmica Parte dessa radiação pode escapar da cavidade através do orifício e ser observada 14 A potência irradiada para fora do furo é proporcional à densidade de energia total U a energia por unidade de volume da radiação na cavidade É possível mostrar que a constante de proporcionalidade é c4 onde c é a velocidade da luz R 14 cU Da mesma forma a distribuição espectral da potência Rλ emitida a partir do furo é proporcional à distribuição espectral da densidade de energia na cavidade uλ Se uλdλ é a fração da energia por unidade de volume na cavidade no intervalo dλ então uλ e Rλ estão relacionados por Rλ 14 cuλ u𝜆 pode ser calculada a partir da Física Clássica de maneira direta O método envolve encontrar o número de modos de oscilação do campo eletromagnético na cavidade com comprimentos de onda no intervalo d𝜆 e multiplicar pela energia média por modo ver livro do Eisberg O resultado é que o número de modos de oscilação por unidade de volume n𝜆 é independente da forma da cavidade e é dado por n𝜆 8π𝜆4 De acordo com a teoria cinética clássica a energia média por modo de oscilação é Ē kT onde k é a constante de Boltzmann o mesmo que para um oscilador harmônico unidimensional Assim a teoria clássica prevê Esta previsão inicialmente derivada por Lord Rayleigh é chamada de equação de RayleighJeans 16 uλ E nλ kTnλ 8kTλ4 Para 𝜆 grande a eq de RJ concorda com a distribuição espectral determinada experimentalmente Para 𝜆 pequeno região do ultravioleta a eq de RJ prevê que u𝜆 se torne grande Mais ainda de acordo com a eq de RJ u𝜆 diverge quando 𝜆 0 No entanto os dados experimentais mostram que a distribuição realmente se aproxima de zero quando 𝜆 0 A equação de RayleighJeans RJ e a distribuição espectral de energia determinada experimentalmente Esse enorme desacordo entre a medida experimental de u𝜆 e a predição das leis fundamentais da física clássica em comprimentos de onda curtos foi chamado de catástrofe ultravioleta 17 A equação de RayleighJeans apresenta outro severo problema Se calculamos a radiância total obtemos Ou seja o corpo negro teria uma radiância infinita em contradição com os experimentos R Z 1 0 Rλdλ Z 1 0 1 4cuλdλ 2kTc Z 1 0 dλ λ4 1 18 Em 1900 o físico alemão Max Planck anunciou que ao fazer pressupostos um tanto estranhos poderia derivar uma função u𝜆 que concordava com os dados experimentais Sabemos que para qualquer cavidade quanto menor o comprimento de onda mais ondas estacionárias modos serão possíveis Planck raciocinou que para que u𝜆 se aproxime de zero quando 𝜆 é pequeno a energia média por modo devia depender de 𝜆 em vez de ser igual ao valor kT previsto pela teoria clássica A Lei de Planck Max Planck 18581947 19 Planck considerou que os átomos das paredes da cavidade emitiam radiação com apenas alguns valores de energia especificamente com valores 0 𝟄 2𝟄 n𝟄 com n inteiro Assim a energia emitida por um átomo pode ser onde h é uma constante universal e f é a frequência da radiação eletromagnética A constante h é conhecida hoje como a constante de Planck e possui o valor h66261034 Js 41361015 eVs En n nhf n 0 1 2 20 Para obter a energia média usamos a função de distribuição de Boltzmann Com a hipótese de quantização da energia emitida pelo corpo negro a função de distribuição de Boltzmann se torna discretizada onde k1381023 JK é a constante de Boltzmann Como fE é uma função de distribuição de probabilidade ela deve ser normalizada Portanto fn AeEnkT AenkT 1 X n0 fn A 1 X n0 enkT 1 A 1 P1 n0 enkT 21 A energia média dos modos de radiação é Realizando as somas acima obtemos ver Apêndice Para obter a função de distribuição de densidade de energia u𝜆 da radiação na cavidade devemos fazer isto é multiplicamos a energia média pelo número de modos de oscilação por unidade de volume E 1 X n0 Enfn 1 X n0 EnAenkT P1 n0 n enkT P1 n0 enkT E ekT 1 hf ehfkT 1 hcλ ehcλkT 1 22 uλ E nλ 23 No slide 15 mostramos que n𝜆 8π𝜆4 logo obtemos Portanto Esta função é chamada Lei de Planck É claro a partir da figura que o resultado se adequa muito bem aos dados experimentais uλ E nλ hcλ ehcλkT 1 8 λ4 uλ 8hc λ5 1 ehcλkT 1 uλ Plancks law RayleighJeans law λ nm Casos limite da lei de Planck Para comprimentos de onda grandes podemos expandir em série de potências a exponencial que aparece na lei de Planck ex 1 x x 1 ehcλkT 1 hcλkT hcλkT 1 Logo ehcλkT 1 hcλkT Substituindo na Lei de Planck temos uλ 8πhcλ5 1ehcλkT 1 8πhcλ5 λkThc 8πkTλ4 Portanto para comprimentos de onda grandes a Lei de Plank apresenta o mesmo comportamento que a Lei de RayleighJeans Para comprimentos de onda pequenos podemos negligenciar o 1 no denominador da Lei de Plank Portanto a Lei de Planck resolve o problema da catástrofe ultravioleta uλ 8hc λ5 1 ehcλkT 1 8hc λ5 ehcλkT λ0 0 26 Lei de StefanBoltzmann a partir da lei de Planck Usando a lei de Planck é possível mostrar que a densidade de energia em uma cavidade de corpo negro é proporcional a T4 de acordo com a lei de StefanBoltzmann Lista 1 questão 6 A densidade de energia total U é obtida a partir da função de distribuição uλ Lembremos que uλdλ representa a energia por unidade de volume considerando apenas a radiação com comprimento de onda entre λ e λdλ Portanto integrando sobre λ obtemos a energia por unidade de volume U que leva em consideração as ondas com todos os comprimentos de onda possíveis U 0 uλ dλ 0 8πhcλ5ehcλkT 1 dλ Para realizar a integração introduzimos a variável adimensional x x hc λkT dx hc λ2kT dλ dλ λ2 kT hc dx Substituindo na integral temos U de 0 a 8πhcλ3 ex 1 kT hc dx 8πhc kT hc4 de 0 a x3 ex 1 dx Como a integral é adimensional isso mostra que U é proporcional a T4 O valor da integral é π4 15 Portanto U 8π5 k4 15 h3 c3 T4 Lembrando que a radiância total é R 14 c U slide 14 temos Comparando com a Lei de Stefan R 𝜎 T4 descobrimos que a constante de StefanBoltzmann é R c 4U 25k4 15h3c2 T 4 σ 25k4 15h3c2 29 O fundo de radiação cósmica Energy density uf Frequency 109 Hz 31 Estrelas de nêutrons emitem como corpos negros 32