Lista de Exercicios Algebra Linear Independencia Linear Bases Dimensao

Lista 3 Álgebra Linear Turma NASA 2q22 Prof Pedro Lauridsen Ribeiro Independência linear bases e dimensão Se S e1 en é base de V então x x1 xnS ni1 x iei é a representação de x V em termos de suas componentes em S se por exemplo V ℝn e S é a base canônica então x x1 xnS x1 xn Adotamos as seguintes abreviações cl combinação linear ld linearmente dependentes li linearmente independentes Exercícios estrelados são mais trabalhosos 1 Prove que os seguintes subconjuntos S V de espaços vetoriais V sobre ℝ são ld por inspeção direta dos elementos de S a V ℝ3 S 1 2 4 5 10 20 b V ℝ2 S 3 1 4 5 4 7 c V P2ℝ ver exercício 4 da Lista 2 S f1x 32x x2 f2x 64x 2x2 d V M22ℝ ver exercício 3 da Lista 1 S 3 4 2 0 3 4 2 0 2 Quais dos seguintes subconjuntos S V ℝ3 são ld Justifique a S 4 1 2 4 10 2 b S 3 0 4 5 1 2 1 1 3 c S 8 1 3 4 0 1 d S 2 0 1 3 2 5 6 1 1 7 0 2 3 Quais dos seguintes subconjuntos S V ℝ4 são ld Justifique a S 3 8 7 3 1 5 3 1 2 1 2 6 1 4 0 3 b S 0 0 2 2 3 3 0 0 1 1 0 1 c S 0 3 3 6 2 0 0 6 0 4 2 2 0 8 4 4 d S 3 0 3 6 0 2 3 1 0 2 2 0 2 1 2 1 4 Quais dos seguintes subconjuntos S V P2ℝ são ld Justifique a S 2 x 4x2 3 6x 2x2 2 10x 4x2 b S 3 x x2 2 x 5x2 4 3x2 c S 6 x2 1 x 4x2 d S 1 3x 3x2 x 4x2 5 6x 3x2 7 2x x2 5 Prove que os seguintes subconjuntos S V de espaços vetoriais V sobre ℝ não são bases de V por inspeção direta dos elementos de S isto é sem usar informação sobre a dimensão de V a V ℝ2 S 1 2 0 3 2 7 b V ℝ3 S 1 3 2 6 1 1 c V P2ℝ S f1x 1 x x2 f2x x 1 d V M22ℝ S 1 1 2 3 6 0 1 4 3 0 1 7 5 1 4 2 7 1 2 9 6 Quais dos seguintes subconjuntos S V ℝ2 são bases de V Justifique a S 2 1 3 0 b S 4 1 7 8 c S 0 0 1 3 d S 3 9 4 12 7 Quais dos seguintes subconjuntos S V ℝ3 são bases de V Justifique a S 1 0 0 2 2 0 3 3 3 b S 3 1 4 2 5 6 1 4 8 c S 2 3 1 4 1 1 0 7 1 d S 1 6 4 2 4 1 1 2 5 8 Quais dos seguintes subconjuntos S V P2ℝ são bases de V Justifique a S 1 3x 2x2 1 x 4x2 1 7x b S 4 6x x2 1 4x 2x2 5 2x x2 c S 1 x x2 x x2 x2 d S 4 x 3x2 6 5x 2x2 8 4x x2 9 Mostre que S 3 6 3 6 0 1 1 0 0 8 12 4 1 0 1 2 é uma base de V M22ℝ 10 Seja S f1x cos2 x f2x sen2 x f3x cos 2x V Fℝ ℝ f ℝ ℝ e W LS V o subespaço vetorial gerado por S a Mostre que S não é uma base de W b Encontre uma base de W 11 Calcule as componentes de x V ℝ2 na base S x1 x2 V nos seguintes casos a x 3 7 S 1 0 0 1 b x 1 1 S 2 4 3 8 c x a b S 1 0 0 1 a b ℝ 12 Calcule as componentes de x V ℝ3 na base S x1 x2 x3 V nos seguintes casos a x 3 3 3 S 2 1 3 1 0 0 2 2 0 b x 7 8 9 S 5 12 3 1 2 3 4 5 6 13 Calcule as componentes de f V P2ℝ na base S f1 f2 f3 nos seguintes casos a fx 4 3x x2 S 1 x x2 b fx 2 x x2 S 1 x 1 x2 x x2 14 Calcule as componentes de A 2 0 1 3 f g Integralab ft gt dt é um produto escalar em V 6 Seja V P2R f R R ft a0 a1 t a2 t2 a0 a1 a2 R o espaço vetorial com as operações pontuais de espaços de funções dos polinômios de ordem 2 com coeficientes reais ver Exercício 11 r da Lista 1 e S fj1t tj j 0 1 2 a base canônica de V a Mostre que se ft a0 a1 t a2 t2 gt b0 b1 t b2 t2 são vetores em V então f g Integral01 ft gt dt Sumjk02 aj bk j k 1 b Mostre que f g define um produto escalar em V Dica use o Exercício 5 Para provar que f f 0 implica f 0 notar que a primeira identidade implica pelo Exercício 5 que f se anula em qualquer ponto de 0 1 7 Se V é um espaço vetorial real e W é um subespaço vetorial de V o complemento ortogonal de W é dado por W x V x y 0 para todo y W a Mostre que W é subespaço vetorial de V b Seja Sk e1 ek uma base on de W de modo que dimW k e considere a projeção ortogonal PW ao longo de W PW x Sumj1k ej x ej2 ej Mostre que PW2 PW x W se e somente se PW x x e que PW x y PW y 0 para todo x y V Conclua daí que PW x 0 se e somente se x W c Mostre que se x V então existe uma única escolha de x0 W x1 W tais que x x0 x1 Conclua daí que W W 0 Dica use o item b d Mostre que se dimV n e dimW k então dimW n k Dica estenda a base on Sk de W a uma base S de V e ortonormalize S usando GramSchmidt Conclua usando o item c que se S e1 en é a base on de V obtida a partir de Sk então Sk S Sk ek1 en é base de W 8 Seja um produto escalar em V os pontos denotam os argumentos do produto escalar cuja norma euclidiana é dada por x x x e Sk e1 ek um conjunto ortogonal em V Seja PWx Sumj1k ej x ej2 ej a projeção ortogonal de V ao longo de W LSk com respeito a Exercício 7 a Mostre que x2 PWx2 x PWx2 para todo x V Dica demonstre primeiro a seguinte forma do Teorema de Pitágoras se x y 0 então x y2 x2 y2 b Demonstre a desigualdade de Bessel para todo x V Sumj1k ej x2 ej2 x2 com igualdade se e somente se x W Dica use o teorema de Pitágoras para obter que PWx2 Sumj1k ej x2 ej2 Conclua empregando o resultado do item a 9 Use ortonormalização de GramSchmidt para obter uma base on Sk do subespaço vetorial W LS de dimensão dimW k do espaço vetorial V a partir da base dada S de W nos seguintes casos a V R2 S f1 3 4 b V W R3 S f1 1 0 1 f2 1 0 1 f3 0 3 4 c V R4 e S f1 1 0 1 1 f2 2 3 1 2 CENTRO DE MATEMÁTICA COMPUTAÇÃO E COGNIÇÃO Universidade Federal do ABC LISTA 4 ÁLGEBRA LINEAR TURMA NASA 2Q22 Prof Pedro Lauridsen Ribeiro Produto escalar Assumimos que todo espaço vetorial real V é imbuído de um produto escalar fixo x y No caso em que V Rn 3 x x1 xn y y1 yn x y Sigmanj1 xj yj é o produto escalar canônico de modo que a base canônica de Rn é ortonormal ver eg o Exercício 1 abaixo Se S e1 en é base de V então x x1 xnS Sigmani1 xi ei é a representação de x V em termos de suas componentes em S se por exemplo V Rn e S é a base canônica então x x1 xnS x1 xn Se pt at2 bt c é um polinômio de grau 2 a b c R a 0 o discriminante de pt é dado por Delta b2 4ac de modo que as raízes de pt são dadas por t b Delta 2a Adotamos as seguintes abreviações cl combinação linear ld linearmente dependentes li linearmente independentes Exercícios ou itens estrelados são mais trabalhosos 1 Mostre que a forma bilinear x y Sigmanj1 xj yj em V Rn é um produto escalar real em V é denominado o produto escalar canônico em Rn Se S e1 en é a base canônica de V e x V mostre que podemos escrever x Sigmanj1 ej x ej 2 Seja o espaço vetorial V R2 e considere os vetores x 1 2 e y 1 1 Encontre z z1 z2 V tal que x z 1 e y z 3 3 Seja S e1 e2 a base canônica de V R2 e A M2x2R Defina ωA V2 R por ωAx y xTS A yS a Mostre que ωA é bilinear ie satisfaz as propriedades de linearidade com respeito à primeira e segunda variáveis b Mostre que ωA é um produto escalar em V se e somente se A AT A11 0 A22 0 e detA 0 4 Seja V M2x2R ver Exercício 3 da Lista 1 e A B TrAT B Sigma2ij1 Aij Bij A11 B11 A12 B12 A21 B21 A22 B22 onde TrC C11 C22 é o traço da matriz C Cij V ie Cij é a entrada de C na iésima linha e jésima coluna e CT Cji é a transposta de C Mostre que A B é um produto escalar em V 5 Seja V C0a b R espaço vetorial das funções contínuas de a b em R munido das operações vetoriais pontuais f gt ft gt α ft α ft f g V α t R Mostre que 10 Use as bases ons obtidas no Exercício 9 para escrever a projeção ortogonal PWx de x V ℝⁿ sobre W nos itens ac desse Exercício em termos das componentes de x na base canônica Use os resultados obtidos para construir uma base on S1 do complemento ortogonal W de W ver o Exercício 7 acima nos itens a e c Dica procure vetores x tais que f x PWx 0 11 Seja V M₂₂ℝ munido do produto escalar dado no Exercício 4 acima Obtenha o complemento ortogonal W ver o Exercício 7 acima dos seguintes subespaços vetoriais W V abaixo a W A Aij V Aij Aji b W A Aij V A aI¹ onde 1 1 00 1 é a matriz identidade c W A V Aij 0 se i j 12 Seja V P2ℝ e f g o produto escalar dado no Exercício 6 a Seja W Lft 1 Encontre W tal como definido no Exercício 5 b Aplique ortonormalização de GramSchmidt à base canônica de V Respostas parciais dos exercícios 3 a Notar que se x x₁ x₂ e y y₁ y₂ então ωAx y A₁¹ y₁ A₂² y₂ xA₂¹ y₁ A₂² y₂ b esboço Mostre que ωA ser simétrico é o mesmo que exigir A AT Notar ainda que se x x y e A AT então ωAx x A₁¹ x² 2A₂¹ xy A₂² y² use os casos particulares x 1 0 0 1 para mostrar que ωA ser positiva definida implica A₁¹ A₂² 0 Seja o polinômio px de grau 2 em x dado por px ωAx x y é visto aqui como uma constante mostre que o discriminante de px é dado por Δ 4y² detA e conclua daí que ωA ser positiva definida implica det A 0 Conversamente se A₁¹ A₂² 0 e det A 0 mostre que px 0 para todo y 0 e caso y 0 temos px 0 se e somente se x 0 9 a S1 e₁ 35 45 b S₃ e₁ 12 0 12 e₂ 12 0 12 e₃ 0 1 0 c S₂ e₁ 13 0 13 13 e₂ 187 2729 487 187 10 a PWx₁ x₂ 9x₁ 12x₂ 25 12x₁ 16x₂ 25 f₂ 1 0 PW1 0 1625 1225 S₁ e₂ 45 35 11 a W B Bij V Bij Bji b W B Bij V Tr B 0 c W B Bij V B₁₁ B₂₂ 0 Respostas parciais dos exercícios 1 a 5 10 20 51 2 4 c f2 2f1 d 3 4 2 0 3 4 2 0 2 O item d é ld pois consiste de quatro vetores e dim V 3 Os outros itens são li por exemplo há apenas dois vetores em S nos itens a e c mas em nenhum desses itens os dois vetores são um múltiplo escalar do outro 3 Nenhum deles os quatro itens são li Por exemplo no item b qualquer combinação linear dos dois primeiros vetores em S é da forma 3b 3b 2a 2a a b R que jamais pode ser um múltiplo escalar do terceiro vetor em S 4 Somente o item d é ld pois consiste de quatro vetores e dim V 3 Os outros itens são li por exemplo no item c S consiste de dois vetores e um não é múltiplo escalar do outro 5 a 21 2 0 3 2 7 0 logo S não é li c O polinômio fx x2 não pode ser escrito como combinação linear de f1 e f2 logo S não varre V d Os quatro últimos vetores de S são li basta encontrar a combinação linear deles que representa o primeiro vetor 6 Itens a e b pois apenas estes são li 7 Itens a b e c pois apenas estes são li 8 Itens c e d pois apenas estes são li 10 a cos 2x cos2 x sen2 x b λ1 cos2 x λ2 sen2 x λ1 λ2 sen2 x λ1 para quaisquer λ1 λ2 R Decorre dessa fórmula que sen2 x e cos2 x constitui uma base de W 11 b 1 1 27 17S 12 a 3 3 3 1 3 2S 13 b 2 x x2 0 2 1S 14 A 32 32 1 3S 15 a dim W 3 b dim W 2 c dim W 1 16 dim W 3 17 Uma maneira equivalente de formular o exercício é qual vetor da base canônica de V não pode ser escrito como combinação linear dos elementos de S 18 Uma maneira equivalente de formular o exercício é quais vetores da base canônica de V não podem ser escritos como combinação linear dos elementos de S 19 Notar que λ1 x1 λ2x1 x2 λ3x1 x2 x3 3λ1 x1 2λ2 x2 λ3 x3 Listo 3 13 a fx 4 3x x² f₁1 f₂x f₃x² fx 4f₁ 3f₂ f₃ b fx 2 x x² f₁ 1 x f₂ 1 x² f₃ x x² Quero encontrar α β γ ℝ tais que fx α f₁ β f₂ γ f₃ 2 x x² α 1 x β 1 x² γ x x² α β α γ x β γ x² α β 2 I α γ 1 II β γ 1 III III β γ 1 γ 1 β I Ou seja a b c R tais que 2a b 0 b 2a Deixam a 1 b 2 c 0 v 1 2 0 b Quero encontrar v a b c tal que det1 3 a 1 1 b 0 2 c 0 0 det1 3 a 1 1 b 0 2 c c 0 2a 0 3c 2b 2a 2b 4c 2a b 2c a b 2c 0 c a b 2 Deixam a 1 b 1 c 1 1 2 1 v 1 1 1 19 S x1 x2 x3 é base de V 0 b c R tais que a x1 b x2 c x3 0 a b c 0 3 11 Deixam α β δ R tais que α x1 β x1 x2 δ x1 x2 x3 0 α β δ x1 β δ x2 δ x3 0 Pela hipótese como S é base α β δ 0 β δ 0 δ 0 β 0 0 β 0 α 0 0 0 α 0 α β δ 0 T é base de V 9 Substituindo em II 1 α γ α 1 β β α 2 γ 1 β 1 α 2 α 1 Substituindo em I 2 α β α α 2 2α 0 α 0 β α 2 2 γ α 1 1 fx 0 1 x 2 1 x2 x x2 17 Seja A M3R A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Deixam v1 a11 a21 a31 v2 a12 a22 a32 v3 a13 a23 a33 v1 v2 v3 é LI det A 0 c Quero encontrar v a b c tal que det1 1 a 2 2 b 3 2 c 0 0 det1 1 a 2 2 b 3 2 c 2c 3b 4a 6a 2c 2b 2a b 4 Lista 4 9 sea Sv1 vk una base de W Sku1 uk tal que un vn vn u1 u1 vn un1 un1 vn vn u1 u1 vn un1 un1 n1k ui base ortonormal de W a VR2 Wf1 3 4 f1 sqrt32 42 sqrt25 5 f1 1f1 f1 15 3 4 35 45 S1 f1 35 45 ui base ortonormal de W b WVR3 Sf1 f2 f3 1 0 1 1 0 1 0 3 4 u1 f1 1f1 f1 1sqrt12012 1 0 1 1sqrt2 1 0 1 sqrt22 1 0 1 sqrt22 0 sqrt22 sqrt22 0 sqrt22 f2 u1 1 0 1 sqrt22 0 sqrt22 sqrt22 0 sqrt22 0 f2 f2 u1 u1 f2 u2 f2 f2 u2 1sqrt12 12 1 0 1 1sqrt2 1 0 1 sqrt22 1 0 1 sqrt22 0 sqrt22 u3 f3 f3 u1 u1 f3 u2 u2 f3 f3 u1 u1 f3 u2 u2 f3 u1 034 sqrt22 0 sqrt22 0 0 4 sqrt22 2 sqrt2 f3 u1 u1 2 sqrt2 sqrt22 0 sqrt22 2 0 2 f3 u2 034 sqrt22 0 sqrt22 0 0 4 sqrt22 2 sqrt2 f3 u2 u2 2 sqrt2 sqrt22 0 sqrt22 2 0 2 f3 f3 u1 u1 f3 u2 u2 0 3 4 2 0 2 2 0 2 0 3 44 0 3 0 f3 f3 u1 u1 f3 u2 u2 sqrt0 32 0 3 u3 13 0 3 0 0 1 0 S3 u1 u2 u3 sqrt22 0 sqrt22 sqrt22 0 sqrt22 0 1 0 ui base ortonormal de W R3 c V R4 S f1 f2 1 0 1 1 2 3 1 2 u1 f1 1f1 f1 1sqrt12 0 12 12 1 0 1 1 sqrt33 1 0 1 1 sqrt33 0 sqrt33 sqrt33 u2 f2 f2 u1 u1 f2 f2 u1 u1 f2 u1 2 3 1 2 sqrt33 0 sqrt33 sqrt33 2 sqrt33 0 sqrt33 2 sqrt33 5 sqrt33 f2 u1 u1 5 sqrt33 sqrt33 0 sqrt33 sqrt33 53 0 53 53 F2 F2U1U1 2312 5305353 2533153253 63 53 3 33 53 63 53 13 3 23 13 F2 F2 U1 U1 sqrt132 32 232 132 sqrt19 9 49 19 sqrt1 81 4 19 sqrt879 sqrt293 U2 1sqrt293 13 3 23 13 sqrt329 13 3 23 13 sqrt8729 13 3 23 13 sqrt8787 3sqrt8729 2sqrt8787 sqrt8787 S2 U1 U2 sqrt33 1 sqrt33 sqrt33 sqrt8787 3sqrt8729 2sqrt8787 sqrt8787 10 a Sea x x1 x2 in V R2 PWx x f1 f1 x1x2 35 45 35 45 35 x1 45 x235 45 3x1 4x25 35 45 9x1 12x225 12x1 16x225 4 W W perpendicular V R2 dim W 1 dim V 2 dim W perpendicular 1 Sea v v1 v2 in R2 tal que v PWv 0 v1 v2 9v1 12v225 12v1 16v225 v1 9v1 12v225 v2 12v1 16v225 25v1 9v1 12v225 25v2 12v1 16v225 16v1 12v225 12v1 9v225 16v1 12v225 0 425 4v1 3v2 0 4v1 3v2 0 12v1 9v225 0 325 4v1 3v2 0 4v1 3v2 0 v2 43 v1 Se v1 1 v2 0 0 43 Sea W perpendicular 10 PW10 16 12025 12 025 1625 1225 W in W W W hat W sqrt16252 12252 sqrt44 32 4254 sqrt42 322 54 sqrt52 42 54 sqrt42 52 45 5 W hat 1W W 145 1625 1225 54 1625 1225 45 35 S1 45 35 es base ortonormal de W perpendicular b Sea x x1 x2 x3 in V R3 PWx x U1 U1 x U2 U2 x U3 U3 x U1 U1 x1 x2 x3 sqrt22 0 sqrt22 sqrt22 0 sqrt22 x1 sqrt22 0 x3 sqrt22 sqrt22 0 sqrt22 x1 x32 0 x1 x32 x U2 U2 x1 x2 x3 sqrt22 0 sqrt22 sqrt22 0 sqrt22 x1 x3 sqrt22 sqrt22 0 sqrt22 x1 x32 0 x1 x32 x U3 U3 x1 x2 x3 0 1 00 1 0 x2 0 1 0 0 x2 0 6 PW x x1 x32 0 x1 x32 x1 x32 0 x1 x32 0 x2 0 x1 x3 x1 x32 x2 x1 x3 x1 x32 x1 x2 x3 Como W V foi feita uma projeção ortogonal de um elemento de W em W PW x x W W V W dim W dim V dim W 0 W 0 c Seja x x1 x2 x3 x4 V ℝ⁴ PW x x û1 û1 x û2 û2 x û1 û1 x1 x2 x3 x4 33 0 33 33 33 0 33 33 x1 x3 x4 33 33 0 33 33 x1 x3 x43 0 x1 x3 x43 x1 x3 x43 x û2 û2 x1 x2 x3 x4 8787 38729 28787 8787 8787 38729 28787 8787 x1 x2 x3 x4 8787 98787 28787 8787 8787 98787 28787 8787 x1 9x2 2x3 x4 8787 8787 98787 28787 8787 x1 9x2 2x3 x487 9x1 81 x2 18 x3 9 x487 2 x1 18 x2 4 x3 2 x487 x1 9 x2 2 x3 x487 x û1 û1 x1 x3 x43 0 x1 x3 x43 x1 x3 x43 29 x1 29 x3 29 x487 0 29 x1 29 x3 29 x487 29 x1 29 x3 29 x487 PW x 30 x1 9 x2 27 x3 30 x487 9 x1 81 x2 18 x3 9 x487 27 x1 18 x2 53 x3 27 x487 30 x1 9 x2 27 x3 30 x487 10 x1 3 x2 9 x3 10 x429 3 x1 27 x2 6 x3 3 x429 9 x1 6 x2 11 x3 9 x429 10 x1 3 x2 9 x1 10 x429 W W V ℝ⁴ dim W 2 dim V 4 dim W 2 Quero encontrar a a₁ a₂ a₃ a₄ b b₁ b₂ b₃ b₄ V ℝ⁴ tais que a PWa b PW b 0 e a PW a b PW b 0 a PWa 19 b₁ 30 a₂ a₃ 10 a₄29 3 a₁ 2 a₂ 6 a₃ 30 a₄29 9 a₁ 6 a₂ 18 a₃ 9 a₄29 7 a₁ 3 a₂ 9 a₃ 19 a₄29 Seja a 29 29 29 29 a PW a 19 3 9 10 3 2 6 3 9 6 18 9 10 3 9 19 15 10 30 15 53 2 6 3 0 ok 0 a PW a b PW b 285 b₁ 45 b₂ 135 b₃ 150 b₄ 30 b₁ 20 b₂ 60 b₃ 30 b₄29 270 b₁ 180 b₂ 540 b₃ 270 b₁29 150 b₁ 45 b₂ 135 b₂ 285 b₄29 43529 b₁ 29029 b₂ 87029 b₃ 43529 b₄ 15 b₁ 10 b₂ 30 b₃ 15 b₄ 3 b₁ 2 b₂ 6 b₃ 3 b₄ 0 b₄ 3 b₁ 2 b₂ 6 b₃ 3 Deigem b₁ 0 b₂ 0 b₃ 1 b₄ 2 b PW b 1 0 0 1 0 OK veca PW veca sqrt4292 sqrt22292 229 58 widehatveca PWveca frac1veca PWveca cdot veca PWveca frac150 29 29 29 29 leftfrac12 frac12 frac12 frac12right vecb PW vecb sqrt12 12 sqrt2 widehatvecb PW vecb frac1sqrt21 0 0 1 leftfracsqrt22 0 0 fracsqrt22right S1 leftfrac12 frac12 frac12 frac12right leftfracsqrt22 0 0 fracsqrt22right quad extes base ortonormal de Wperp