Algebra-Linear-Espacos-e-Subespacos-Vetoriais-Lista-de-Exercicios-Resolvidos

Universidade Federal do ABC Álgebra Linear 20223 Lista 1 Espaços e subespaços Vetoriais 1 Para os conjuntos seguintes determine se são espaços vetoriais reais se a adição e multiplicação são as usuais a O conjunto dos polinômios de grau menor o igual a n considerando o polinômio nulo que não tem grau pertencente a este conjunto b O conjunto de todas as funções reais tais que f0 f1 c O conjunto das funções tais que f0 1 f1 d O conjunto das funções reais crescentes e O conjunto das funções reais pares f O conjunto das funções contínuas em 0 1 tais que ₀¹ fxdx 0 g O conjunto das funções contínuas em 0 1 tais que ₀¹ fxdx 0 h O conjunto dos vetores x y z que satisfaz a equação linear ax by cz 0 i O conjunto das matrizes 3 x 3 triangulares estritamente superiores ie o conjunto das matrizes da forma 0 a b c 0 0 0 0 0 2 Mostre que os seguintes conjuntos a seguir não são espaços vetoriais a O intervalo 0 1 da reta real b O conjunto x y ℝ² x 1 y 1 Que objeto geométrico é esse c O conjunto dos vetores x y z que satisfaz a equação linear ax by cz d d 0 Que objeto geométrico é esse Qual é a diferença com a questão 1 h d O conjunto do plano x y ℝ² x y t t² t ℝ 3 Seja V o conjunto de todos os pares ordenados x₁ x₂ de números reais Determine se V é um espaço vetorial se a soma e o produto escalar são definidos das formas abaixo Desconsidere a soma e multiplicação por escalar usuais a x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ x₂ y₂ ax₁ x₂ ax₁ ax₂ b x₁ x₂ y₁ y₂ x₁ y₁ x₂ y₂ ax₁ x₂ ax₁ 0 c x₁ x₂y₁ y₂ x₁y₁1 x₂y₂ ax₁ x₂ ax₁ ax₂ d x₁ x₂y₁ y₂ x₁ y₁ x₂ y₂ ax₁ x₂ ax₁ ax₂ e x₁ x₂ y₁ y₂ x₁y₁ x₂y₂ ax₁ x₂ ax₁ ax₂ 4 Dados os espaços vetorias V₁ V₂ considere o conjunto V V₁ V₂ produto cartesiano de V₁ por V₂ cujos elementos são os pares ordenados v v₁ v₂ com v₁ V₁ e v₂ V₂ Defina operações que tornem V um espaço vetorial Verifique a validade de cada um dos axiomas 5 Sejam V um espaço vetorial v V um elemento qualquer de V e α ℝ um número real Use os axiomas de espaço vetorial para provar que a v v v 3v b 0v 0 c α0 0 d se αv 0 então α 0 ou v 0 6 Defina a média uv entre dois vetores u v no espaço vetorial V pondo uv 12 u 12 v Prove que uvw uvw se e somente se u w 7 Seja V um espaço vetoriais real Verifique que V 0 são subespaços de V 8 Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais a O conjunto X ℝ³ formado pelos vetores v x y z tais que z 3x e x 2y b O conjunto Y ℝ³ formado pelos vetores v x y z tais que x y 0 c O conjunto F Fℝ ℝ formado pelas funções f tais que fx 1 fx para todo x ℝ d O conjunto dos vetores v ℝ⁵ que tem duas ou mais coordenadas nulas e O conjunto dos vetores v ℝ³ que tem pelo menos uma coordenada 0 f O conjunto dos vetores v x y ℝ² tais que x³ 3x y² 3y 9 Quais dos seguintes subconjuntos de ℝ³ são subespaços vetoriais de ℝ³ a x y z ℝ³ x 0 b x y z ℝ³ x y z c x y z ℝ³ x y 0 d x y z ℝ³ y 0 10 Seja V um espaco vetoriais real Sejam W1 e W2 dois subespacos vetoriais de V Mostre que W1W2 e ainda um subespaco vetorial de V 11 Seja S o conjunto das funcoes y satisfazendo a equacao 2dy dx 3y 0 a Mostre que o conjunto S e nao vazio b Mostre que S e um subespaco do espaco vetorial FR R 2