Lista de Exercícios sobre o Modelo de Schrödinger do Hidrogênio

Fisica Quantica 20213 Quadrimestre Suplementar 4 Lista 8 Tema Modelo de Schrodinger do Hidrogénio e Orbitais Questoes a Compare o modelo atémico de Bohr e o de Schrédinger para o Atomo de hidrogénio co mente especificamente sobre o tratamento da energia total e do momento angular orbital do 4tomo em ambos os modelos b Explique o que significam os termos niimero quantico estado fundamental estado exci tado degenerescéncia e orbital no contexto do modelo atémico de Schrodinger c Discuta e explique o conceito de spin a partir do experimento de SternGerlach d Enuncie e explique o que é o principio de exclusao de Pauli e como este se relaciona a tabela periddica de elementos quimicos Problemas 1 Quantos conjuntos de nimeros quanticos sao possiveis para um atomo de hidrogénio para o qual i n 1 iin 2 iii n 3 iv n 4 Liste todos os estados possiveis Wniumm 79 6 para cada um dos itens anteriores 2 Considere a fungao de onda radial para o 4tomo de hidrogénio no estado fundamental 2 Rior 774 a3 0 Determine i Por substituigéo direta na equagéo de Schrédinger radial mostre que a fungao acima é solucgaéo da equacao e determine o valor da energia correspondente a este estado ii Determine o raio mais provavel para este elétron iii O valor médio da distancia elétronntcleo em termos de ao iv Calcule a probabilidade de encontrar o elétron entre os raios 0 e 3a92 3 Considere as autofungoes da equacao de Schrédinger para o elétron no atomo tipo hidro genio Wrim 79 9 Rni 7 Yim 8 os autovalores E de energia levando em conta apenas o potencial de Coulomb i Quantos orbitais existem para a energia Ey n 2 Justifique ii Explique com base nos ntimeros quénticos a que estados fisicos do elétron corres pondem essas diferentes orbitais iii Para o orbital em que a fungao radial é 1 To Roy r e 70 2y 6a9 ao determine o raio mais provavel do atomo isto é a distancia mais provavel entre o elétron eo ntcleo Dado py R2or iv Considerando agora o spin do elétron quantos estados diferentes devem existir para o elétron quando n 2 Justifique sua resposta Page 2 Física Quântica 20213 Quadrimestre Suplementar 4 Lista 8 Tema Modelo de Schrödinger do Hidrogênio e Orbitais GABARITO Questões a Compare o modelo atômico de Bohr e o de Schrödinger para o átomo de hidrogênio co mente especificamente sobre o tratamento da energia total e do momento angular orbital do átomo em ambos os modelos Resp Os dois modelos atômicos apresentam níveis de energia quantizados No caso de Bohr o modelo é planar e temos apenas a quantização do momento angular associado a órbita do elétron no átomo assim só observamos o número quântico n associado a esta quantização O modelo de Bohr é definido por meio dos três postulados definidos por ele O modelo de Schrödinger é a solução da equação de Schrödinger para a função de onda de um elétron em um potencial Coulombiano Neste modelo temos três números quânticos n l e m para definir o orbital o número quântico de spin não é utilizado para definir o orbital mas também é importante na descrição de átomos que é uma região tridimen sional onde temos alta probabilidade de encontrar o elétron O modelo de Bohr é um modelo semiclássico que incorpora conceitos da física clássica e da quântica onde ainda temos um elétron girando em uma orbita circular específica enquanto que no modelo de Schrodinger não há qualquer descrição do movimento ou trajetória do elétron mas apenas da probabilidade dele ser encontrado em um dado ponto do espaço quando realizada uma medida de sua posição Por fim o modelo de Bohr atribuía a emissão e absorção atômica a mudança de um elétron entre diferentes órbitas no modelo de Shrödinger essa emissão é de forma semelhante associada a mudanças do números quânticos do sistema Podemos em modelos simplificados associar diretamente a transição de elétrons entre orbitais Como no modelo de orbitais moleculares visto em cursos de química geral NotaAlém disso na formulação de Schrödinger é possível achar uma correspondência com a equação do eikonal equação da óptica onde o limite clássico é obtido tomando ℏ 0 b Explique o que significam os termos número quântico estado fundamental estado exci tado degenerescência e orbital no contexto do modelo atômico de Schrödinger Resp No modelo de Schrodinger Números quânticos indicam o estado específico orbital que os elétrons ocupam sendo eles principal n secundário ou azimutal l magnético m e spin ms Num mesmo átomo não pode existir dois elétrons com todos os números quânticos igual assim é como se fosse um endereço Estes números quânticos estão associados quantizações dos graus de liberdade do elétron ao impor as condições de contorno do sistema quando é resolvida a equação de Schrodinger para o átomo Estado fundamental é o de mais baixa energia e corresponde aos menores valores possíveis dos números quânticos permitidos que para o átomo de hidrogênio seria n 1 l 0 e m 0 Estado excitado é qualquer estado cuja energia é maior que a do estado fundamen tal Diferentemente do estado fundamental um estado excitado possui um tempo de vida determinado para átomos costuma ser da ordem de nanossegundos durante o qual o elétron permanece neste estado até que emita um fóton e retorne para o estado fundamental Degenerescência está associada a existência de mais um estado permitido ou seja diferentes números quânticos que correspondem a um mesmo dado valor de energia Por exemplo para qualquer estado com n 2 a energia do estado será E2 mas temos 4 possibilidades de estados distintos Ψ200 Ψ211 Ψ210 e Ψ211 portanto temos 4 estados degenerados Em geral a degenerescência está associada a propriedades de simetria do sistema físico Orbital atômico representa o estado estacionário ds elétrons ligado ao átomo e de fine a região no espaço 3D na qual é distribuída a probabilidade de se encontrar este elétrons após ser realizada uma medida Dependendo dos valores dos números atônicos do estado Ψnlm temos diferentes formas geométricas tais como os orbitais s l 0 p l 1 d l 2 e assim por diante c Discuta e explique o conceito de spin a partir do experimento de SternGerlach Resp As evidências da necessidade deste novo número quântico surgiu devido a uma ca racterística incomum no espectro de certos gases como o vapor de sódio que apresentava duas linhas muito próximas um dupleto no espectro atômico quando pelo modelo vigente seria esperada uma linha única Para resolver esta questão S Goudsmit e G Uhlenbeck seguindo uma sugestão de W Pauli propuseram um novo número quântico denominado spin a origem deste quarto número quântico está nas propriedades relativísticas do elé tron que precisa de quatro números para descrevêlo no espaçotempo quadrimensional Os números quânticos associados ao spin do elétron são ms 12 para o estado de spin para cima e ms 12 para o spin para baixo Em 1921 Otto Stern e Walther Gerlarch realizaram um experimento figura abaixo que detectou os efeitos da força sobre o momento magnético em um campo magnético não uniforme O experimento demonstrou que o momento angular de um átomo é quantizado Em seu experimento um feixe de átomo de prata neutros foi lançado através de um campo magnético não uniforme Em tal situação os átomos experimentam uma força na direção vertical devido a seus momento magnéticos no campo Classicamente esperaríamos que o feixe se espalhasse em uma distribuição contínua sobre a placa fotográfica porque todas as direções possíveis dos momentos magnéticos atômicos são permitidas Stern e Gerlach descobriram no entanto que o feixe se dividia em dois componentes discretos O experi mento foi repetido com a utilização de outros átomos e em cada caso o feixe se dividiu em dois ou mais componentes discretos Esses resultados são claramente inconsistentes com a previsão de um modelo clássico De acordo com o modelo quântico entretanto a direção do momento angular total do átomo Page 2 Figura 1 Esquema do experimento de SternGerlach e consequentemente a de seu momento magnético µ é quantizada Portanto o feixe defletido possui um número inteiro de componentes discretos e o número de componen tes determina o número de valores possíveis de µz Como o experimento de SternGerlach mostrou feixes discretos a quantização do espaço foi ao menos verificada qualitativamente Hoje os físicos explicam os resultados do experimento de SternGerlach da seguinte forma Os momentos observados para a prata se devem apenas ao momento angular do spin e não ao momento angular orbital para a prata o momento angular orbital de rede para os elétrons é L 0 Os elétrons com spin 12 são defletidos em uma direção pelo campo magnético não uniforme e aqueles com spin 12 são defletidos na direção oposta O experimento de SternGerlach ofereceu dois resultados importantes Primeiro verifi cou o conceito de quantização do espaço no sentido de que o elétron só pode estar em determinadas posições no espaço então a diferença dessas orbitas pode ser chamada de quantização espacial Segundo mostrou que o momento angular de spin existe embora esta propriedade não tenha sido reconhecida até muito depois que os experimentos tives sem sido realizados O fundamento teórico veio com a extensão relativista da equação de Schrodinger feita por Dirac onde podem ser descritas partículas com spin 12 obtendo assim o quarto número quântico texto adaptado de Princípios de Física vol4 au tores R A Serway JW Jewett Jr d Enuncie e explique o que é o principio de exclusão de Pauli e como este se relaciona à tabela periódica de elementos químicos Resp O princípio de exclusão afirma que dois elétrons não podem ocupar o mesmo estado quântico simultaneamente ou seja possuir todos os números quânticos iguais Assim para átomos de muitos elétrons temos o preenchimento dos diferentes estados quânticos a partir do estado de mais baixa energia até o preenchimento completo com todos os elétrons do átomo Se observarmos a tabela periódica Figura 2 vemos que a distribuição dos átomos segue o preenchimento dos orbitais mais externos Assim por exemplo famílias 1A e 2A alcalinos e alcalinos terrosos respectivamente são formadas por átomos com Page 3 orbital mais externo tipo s os metais de transição famílias 1B a 8B por orbitais tipo d as famílias 3A a 8A tem orbitais mais externos do tipo p e os lantanídeos e actinídeos que correspondem a elementos da família 3B que possuem o orbital mais externo do tipo f Portanto as propriedades químicas dos diversos elementos estão fortemente relacionadas aos seus respectivos orbitais mais externos Figura 2 Esquema do experimento de SternGerlach Problemas 1 Quantos conjuntos de números quânticos são possíveis para um átomo de hidrogênio para o qual i n 1 iin 2 iii n 3 iv n 4 Liste todos os estados possíveis Ψnlmmsr θ φ para cada um dos itens anteriores Resp O número quântico principal n pode assumir qualquer número inteiro maior que 1 já o número quântico do momento angular l para um dado n pode assumir os valores l 0 1 2 n 1 o número quântico azimutal m para um dado l pode assumir os valores m 0 1 2 l Já o ms depende apenas do spin do elétron e pode assumir os valores ms 12 Portanto se fizermos a contagem do número de estados possíveis para um dado n vemos que teremos 2n2 estados possíveis Desse modo temos i n 1 temos 2 estados Ψ10012r θ φ e Ψ10012r θ φ ii n 2 temos 8 estados Ψ20012r θ φ Ψ20012r θ φ Ψ21012r θ φ Ψ21012r θ φ Ψ21112r θ φ Ψ21112r θ φ Ψ21112r θ φ e Ψ21112r θ φ iii n 3 temos 18 estados Ψ30012r θ φ Ψ30012r θ φ Ψ31012r θ φ Ψ31012r θ φ Ψ31112r θ φΨ31112r θ φ Ψ31112r θ φ Ψ31112r θ φ Ψ32012r θ φ Ψ32012r θ φ Ψ32212r θ φΨ32112r θ φ Ψ32112r θ φ Ψ32112r θ φ Ψ32112r θ φ Ψ32112r θ φ Ψ32212r θ φ e Ψ32212r θ φ Page 4 iv n 4 temos 32 estados W4004127 0 W400127 0 Wa104127 90 W440127 0 War14127 0 6 War1127 9 0 Warr 4i2r 0 Warrsiar 0 W4204127 0 W420127 0 Wa 99 4127 0 Wa 91127 0 Wao 14127 0 Wa 21127 0 Wa aias2lr 0 Wao1127 0 Wao 4127 0 e Wy 92127 0 V4 304127 90 V4 301275 90 V4 334127 90 433 127 9 V4 334127 9 W431127 9 9 W4314127 9 9 W431127 9 Wa 344127 9 Wa 34127 9 Wa 324127 6 U4 39127 9 Wa 334127 0 e V4 331275 0 Nota Quando descrevemos o spin como no caso do momento angular temos dois nimeros quanticos associados s e 0 ms onde s 6 0 momento angular intrinseco do elétron s h2 e Oo m corresponde as possiveis projegdes do spin m h2 em geral representadas apenas por m 12 Como sé ha um valor possivel para s em geral ele nao é representado no estado V também é comum ver em alguns livros usarem a letra s para representar 0 m uma vez que somente a projecao pode ter valores diferentes desse modo é possivel encontrar em algumas referéncia o estado desta forma V 7 ms7 0 Contudo é importante diferenciar o momento angular e o spin s de suas respectivas projegoes m Ms 2 Considere a fungao de onda radial para o 4tomo de hidrogénio no estado fundamental 2 Rior 710 a3 0 Determine i Por substituigéo direta na equagéo de Schrédinger radial mostre que a fungao acima é solucgaéo da equacao e determine o valor da energia correspondente a este estado ii Determine o raio mais provavel para este elétron iii O valor médio da distancia elétronnticleo em termos de ao iv Calcule a probabilidade de encontrar o elétron entre os raios 0 e 3a92 Resp i A equagao de Schrédinger radial é hn dod h11 1 5 52 Pr Rr Vr S Rr ERr Sur a dr r r Qur r 2 Calculando as derivadas e substituindo Rior 1 Oe Vx rita para que nao haja confusao com a exponencial a carga do elétrons foi denominada gq a esquerda da equagao de Schrédinger h Qr or g s Rior Rior Qur ag 5 107 r4meg 107 Agrupando os termos temos hi h2 q2 5 Rior rag 2wag req Ou seja Rior é solugao da equacao de Schrédinger radial se hi hi 2 Ge E rag 2wag req Page 5 Como F é uma constante ela nao pode depender de r portanto os termos dependentes de r na igualdade anterior devem se cancelar e os independentes devem valer E Matemati camente 1f FR qe r pag Ame 7 2 h E 21105 Portanto Ri07 é solugao da equacgao de Schrédinger se E e ag ee note que esse 6 0 mesmo ag do modelo de Bohr ii O valor mais provavel do raio é obtido da condigao 0 0 onde Pior rRior 0 termo r surge da utilizacaéo de coordenadas esféricas Assim d 4 2 rRigr 3 2re2ra ra0 0 ra dr ap ao iii Neste caso o raio médio é dado por oo oo 4r3 T19 RiorrRiorr2dr ze 770 dr 0 0 49 Essa é uma integral que pode ser resolvida facilmente por parte fudv uv f vdu onde usamos para u a parte polinomial neste caso u r e para du e2 Devemos aplicar a integracao por partes sucessivamente até restar apenas a integral da exponencial ou seja até fazer u constante Em especial neste caso em que fazemos a integragao em todo os valores de r podese mostrar por inducgao que co re dr nlat 0 Aplicando o resultado da integral acima temos que rg 3a92 iv A probabilidade entre 0 e 3ag2 pode ser determinada calculando a integral por partes duas vezes Veja que a expressao para a integral obtida no item anterior nao é valida pois aqui nao estamos calculando para todos os valores de r mas s6 para uma regiao limitada de 0 a 3aq2 30024 17 P0 3a92 re 280 dp 1 03002 x 3 Considere as autofungoes da equagao de Schrédinger para o elétron no 4tomo tipo hidro genio Wrim 79 9 Rni 7 Yim 8 os autovalores E de energia levando em conta apenas o potencial de Coulomb i Quantos orbitais existem para a energia Ey n 2 Justifique Page 6 ii Explique com base nos ntimeros quanticos a que estados fisicos do elétron correspon dem essas diferentes orbitais iii Para o orbital em que a fungao radial é 1 Toe Ro r e 70 24 6a9 ao determine o raio mais provavel do atomo isto é a distancia mais provavel entre o elétron eo ntcleo Dado py R2or iv Considerando agora o spin do elétron quantos estados diferentes devem existir para o elétron quando n 2 Justifique sua resposta Resp i Temos um total de 4 orbitais pois a energia s6 depende do nimero quantico principal e o nimero de estados degenerados é dado por n Assim temos os estados Wo00 Ya11 Y210 e Vai ii O estado W299 o orbital 2s momento angular nulo Y210211 e Ye11 sao orbitais 2p momento angular 1 sendo 2p 2p e 2py respectivamente Nota Devemos mencionar que na verdade os orbitais py e py nao sao autoestados do operador L e sim combinacoes lineares dos verdadeiros auto estados que chamaremos pj e pi iii Neste caso temos o mesmo calculo do problema 2ii Assim d 59 dy 1 4 rR51r sor ere 0 r4a dr 2ur dr 24a2 iv Levando em consideragao o spin do elétron temos dois valores possiveis m 12 12 portanto a degenerescéncia é dobrada ou seja teremos 2n estados possiveis Logo para n 2 serao 8 estados Page 7