Eletromagnetismo Aplicado: Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos

Eletromagnetismo Aplicado Unidade 2 Equações de Maxwell e Campos Eletromagné ticos Harmônicos Prof Marcos V T Heckler 1 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Conteúdo Introdução Equações de Maxwell Parâmetros constitutivos e suas relações Relação entre a teoria de campo e a teoria circuital Condições de contorno nas interfaces entre dois meios Teorema de Poynting Campos eletromagnéticos harmônicos Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos 2 Introdução Em Eng Elétrica e de Telecomunicações é co mum utilizarmos a teoria circuital e seus elemen tos para a resolução de problemas Na teoria circuital trabalhamos com tensão cor rente e elementos de circuito concentrados ca pacitor resistor e indutor Entretanto devese destacar que a teoria circuital só é válida quando as dimensões físicas do circui to forem muito menores que o comprimento de onda de operação 3 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Introdução Caso as dimensões do dispositivo em questão sejam comparáveis ao comprimento de onda de operação a teoria de campo deve ser em pregada Neste caso trabalhase com campos elétrico e magnético densidades de corrente e elemen tos distribuídos Além disso devese incluir a interação aco plamento entre dois ou mais elementos dis tribuídos 4 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Introdução A teoria apresentada nesse capítulo é indispensá vel para entender o princípio de funcionamento de dispositivos e sistemas nas seguintes áreas Antenas Circuitos e dispositivos operando em altas frequências Sistemas de comunicação Sensoriamento remoto Radar Comunicações ópticas e dispositivos ópticos 5 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Equações de Maxwell Eletrodinâmica antes de James Clerk Maxwell Lei de Faraday Lei de Ampère Lei de Gauss Lei de Gauss Magnetismo 6 B E t J H e D m B Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Introdução onde intensidade de campo elétrico Vm intensidade de campo magnético Am densidade de fluxo elétrico Coulm2 densidade de fluxo magnético T densidade de corrente elétrica Am2 densidade volumétrica de carga elétrica Coulm3 7 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos B E H D J e Equações de Maxwell As equações anteriores modelam perfeita mente o comportamento dos campos em Ele trostática e Magnetostática Entretanto para correntes alternadas estas equações estão incompletas Da maneira como foi apresentada a Lei de Ampère como é possível prever a corrente de carga de um capacitor sem que haja um con dutor conectando eletricamente as suas pla cas 8 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Equações de Maxwell Esta falha da Lei de Ampère pode ser matema ticamente verificada tomandose o divergente desta equação Lembrando que para qualquer vetor então 9 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos J H 0 A 0 J Equações de Maxwell De acordo com a equação não poderia existir corrente saindo de qualquer das placas de um capacitor Maxwell verificou que uma correção na Lei de Ampère era possível observandose a equação da continuidade de carga 10 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos 0 J t e J Equações de Maxwell conjuntamente com a Lei de Gauss Combinando as duas últimas equações 11 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos e D D J t Termo faltante na Lei de Ampère original correspondente à corrente de deslocamento Equações de Maxwell Equações de Maxwell na forma diferencial Lei de Faraday Lei de Ampère Lei de Gauss Lei de Gauss Magnetismo 12 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos M B E t J D H t e D m B Equações de Maxwell onde intensidade de campo elétrico Vm intensidade de campo magnético Am densidade de fluxo elétrico Coulm2 densidade de fluxo magnético T densidade de corrente magnética Vm2 densidade de corrente elétrica Am2 densidade volumétrica de carga elétrica Coulm3 densidade volumétrica de carga magnética Wbm3 13 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos B E H D M J e m Equações de Maxwell Equações de Maxwell na forma integral Lei de Faraday Lei de Ampère Lei de Gauss Lei de Gauss Magnetismo 14 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos S S C dS dS t ld M B E Qe D S S d I D H S C dS t ld m S dS Q B Equações de Maxwell sendo 15 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos S S d J I v edv e Q v mdv Qm Parâmetros Constitutivos Permissividade elétrica Fm Permeabilidade magnética Hm Condutividade Sm 16 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos E D H B E J Parâmetros Constitutivos No vácuo 17 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos 36 10 9 0 7 0 10 4 0 0 Fm Hm Sm Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das tensões de Kirchhoff Circuito RLCsérie 18 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos vs vL vC vR i Lei de Faraday S C dS t ld B E somatório de tensões variação do fluxo magnético m S dS B Caminho fechado para integração Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das tensões de Kirchhoff continuação Lembrando que é possível escrever onde Ls é a indutância de espalhamento do circuito RLC 19 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos m Ls i t i L t dS t s m S B Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das tensões de Kirchhoff continuação A integral de linha fechada representa o somatório das tensões na malha Portanto a Lei das tensões de Kirchhoff enunciada do ponto de vista da Teoria Eletromagnética equivale a 20 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos n n C v ld E 0 t i L v s n n Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das tensões de Kirchhoff Circuito RLCsérie 21 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos vs vL vC vR i vs vL vR i vC vLs Indutância de espalhamento Modelo da teoria circuital modelo da teoria de campos Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das tensões de Kirchhoff Circuito RLCsérie 22 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos vs vL vR i vC Teoria de Campo S C dS t ld B E t i L t v s m vLs Teoria Circuital Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das tensões de Kirchhoff Circuito RLCsérie 23 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos vs vL vR i vC Teoria Circuital Ls C L R s v v v v v vLs Para um circuito com dimensões muito menores que o comprimen to de onda de operação e que é a forma clássica da lei das tensões de Kirchhoff 0 C L R s v v v v sL 0 Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das correntes de Kirchhoff Circuito RLCparalelo 24 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos is iL iC iR v Lei da conservação de carga t dS e S Q J somatório das correntes que saem pela superfície de integração variação da carga elétrica acumulada dentro da super fície de integração superfície de integração Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das correntes de Kirchhoff continuação Lembrando que é possível escrever onde Cs é a capacitância de espalhamento do circuito RLC 25 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos e Cs v Q t v C t s e Q i S d S J Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das correntes de Kirchhoff continuação Portanto do ponto de vista da Teoria Eletromagnéti ca é possível escrever 26 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos 0 t v C i s n Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das correntes de Kirchhoff Circuito RLCparalelo 27 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Capacitância de espalhamento is iL iC iR v is iL iC iR v iCs Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das correntes de Kirchhoff Circuito RLCparalelo 28 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Teoria de Campo t v C i s Teoria Circuital is iL iC iR v iCs t dS e S Q J Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei das correntes de Kirchhoff Circuito RLCparalelo 29 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Teoria Circuital Cs C L R s i i i i i Para um circuito com dimensões muito menores que o comprimen to de onda de operação e que é a forma clássica da lei das correntes de Kirchhoff 0 C L R s i i i i s 0 C is iL iC iR v iCs Relação entre a Teoria de Campo e a Teoria Circuital Lei de Ohm 30 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Teoria Circuital R R R G v R v i 1 Teoria de Campo E J vR iR R G1 Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios sem correntes e car gas de excitação na interface 31 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Meio 1 1 1 1 Meio 2 2 2 2 x y z nˆ 0 0 e m e M J Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios componentes tangen ciais 32 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Meio 1 1 1 1 Meio 2 2 2 2 x y z nˆ Caminho fechado C0 Δx Δy Área S0 Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios componentes tan genciais Lei de Faraday para a interface sem fontes de cor rente Para modelar a interface fazse Δy 0 o que resulta em 33 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos M 0 0 0 SB E dS t ld C 0 ˆ ˆ 2 1 x x x x E E Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios componentes tan genciais Realizandose o produto escalar resulta que a igualdade é somente satisfeita pelas componentes tangenciais de campo elétrico ou 34 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos 0 2 1 t t E E 0 ˆ 2 1 E E n Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios componentes tan genciais Por dualidade As equações anteriores mostram que as com ponentes tangenciais dos campos elétrico e mag nético em uma interface entre dois meios sem fontes de corrente são contínuas 35 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos 0 ˆ 2 1 H H n Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios componentes nor mais 36 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Meio 1 1 1 1 Meio 2 2 2 2 x y z nˆ Volume v0 Δx Δy Área A0 Superfície fechada S0 Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios componentes nor mais Lei de Gauss para a interface sem cargas elétricas Para modelar a interface fazse Δy 0 o que re sulta em 37 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos e 0 0 0 SD S d 0 ˆ ˆ 0 1 0 2 yA yA D D Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios componentes nor mais Realizandose o produto escalar resulta que a igualdade é somente satisfeita pelas componentes normais de campo elétrico ou 38 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos 0 1 2 n n D D 0 ˆ 1 2 D D n 0 ˆ 1 1 2 2 E E n Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios componentes nor mais Por dualidade As equações anteriores mostram que as compo nentes normais das densidades de fluxo elétrico e magnético em uma interface entre dois meios sem cargas são contínuas 39 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos 0 ˆ 1 1 2 2 H H μ n μ 0 ˆ 1 2 B B n Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios sendo o meio 1 condutor elétrico perfeito 40 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Meio 1 1 1 1 Meio 2 2 2 2 x y z nˆ 1 E1 0 Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios sendo o meio 1 con dutor elétrico perfeito 41 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Meio 2 2 2 2 x y z nˆ Caminho fechado C0 Δx Δy Área S0 Meio 1 1 1 1 E1 0 1 Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios sendo o meio 1 condutor elétrico perfeito Lei de Ampère Para modelar a interface fazse Δy 0 o que resulta em 42 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos 0 0 0 S S D J H dS dS t ld C ˆ ˆ lim 2 1 0 x x x x ld C y H H H 1 xz x yz dS s y S y ˆ ˆ lim lim 0 J J J Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios sendo o meio 1 condutor elétrico perfeito Portanto Após várias manipulações matemáticas 43 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos 1 0 0 0 S S D J H dS dS t ld C ˆ ˆ ˆ 2 1 z x x x x x s J H H s n J H H 1 2 ˆ sJ densidade superficial de corrente elétrica Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios sendo o meio 1 condutor elétrico perfeito Sendo resulta que 44 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos E1 0 1 s n J H 2 ˆ Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios com correntes e car gas de excitação na interface 45 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Meio 1 1 1 1 Meio 2 2 2 2 x y z nˆ 0 0 e 0 0 S S m e S S M J cargas elétricas cargas magnéticas densidade de corrente magnética densidade de corrente elétrica J M e m Condições de Contorno na Interface entre Dois Meios Interface entre dois meios com correntes e car gas de excitação na interface 46 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos s n J H H 1 2 ˆ s n M E E 1 2 ˆ es n 1 2 ˆ D D ms n 1 2 ˆ B B sJ Ms es ms Sendo Densidade superficial de corrente elétrica Am Densidade superficial de corrente magnética Vm Densidade superficial de carga elétrica Cm2 Densidade superficial de carga magnética T 0 0 e 0 0 S S m e S S M J Teorema de Poynting Campo eletromagnético e correntes em um volume genérico v 47 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos nˆ µ ε σ v S Fontes de potência Campos gerados pelas fontes H E i Mi J c i J J J Densidade de corrente total onde E Jc Teorema de Poynting Dentro do volume v Definindo as correntes de deslocamento resultam 48 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Mi B E t D J J H c i t B Md t D Jd t i d M M E d c i J J J H Teorema de Poynting Tomandose o produto escalar das equações anteriores por e e subtraindose as equações acima resulta 49 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos i d M H M E H d c i J J J E H E H E d c i d i J J J E M H M H E E H Teorema de Poynting Utilizando a identidade vetorial e rearranjandose os termos resulta que equivale à Lei da Conservação da Potência na forma diferencial 50 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos B A A B B A 0 d c i d i J J J E M H M H E Teorema de Poynting Componentes da Lei da Conservação da Potência Vetor densidade de potência ou Vetor de Poynting Wm2 Densidade de potência fornecida pelas fontes de potência Wm3 Densidade de potência dissipada Wm3 51 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos H E S i i E J H M p s 2 E E E E J p c d Modela a densidade de potência trans portada pela onda eletromagnética Teorema de Poynting Componentes da Lei da Conservação da Potên cia continuação Variação da densidade média de energia armaze nada no campo magnético Jm3 Variação da densidade média de energia armaze nada no campo elétrico Jm3 52 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos 2 2 1 H H M w d m t 2 2 1 E E J w d e t Teorema de Poynting Fazendose a integral de volume em ambos os lados da equação anterior e aplicandose o teorema da divergência resulta que equivale à Lei da Conservação da Potência na forma integral 53 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos 0 dv dv S d v v S d c i d i J J J E M H M H E 0 dv dv dv v v v d c i d i J J J E M H M H E Teorema de Poynting Componentes da Lei da Conservação da Potên cia Potência que sai do volume v W Potência total fornecida pelas fontes de potência localizadas no volume v W 54 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos S S dS S d H E S Pe v v s s dv dv i i E J H M p P Teorema de Poynting 55 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos v v d d dv dv 2 E p P v v m m dv dv t t 2 2 H w W Componentes da Lei da Conservação da Potên cia continuação Potência dissipada no volume v W Variação da energia média armazenada dentro do volume v pelo campo magnético J Teorema de Poynting Variação da energia média armazenada dentro do volume v pelo campo elétrico J Assim a Lei da Conservação da Potência dentro do volume v pode ser reescrita por 56 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos v v e e dv dv t t 2 2 E w W e m d e s t W W P P P Teorema de Poynting Interpretação da Lei da Conservação da Potência A potência fornecida por uma fonte localizada dentro de um volume v e delimitado por uma su perfície fechada S é igual à soma da potência que deixa o volume v com a potência dissipada no vo lume v mais a taxa de variação de energia arma zenada no volume v pelos campos elétrico e mag nético 57 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos Campos Eletromagnéticos Harmônicos Considerandose que os campos tenham vari ação temporal na forma de um cosseno pode se descrever os campos com a seguinte nota ção Sendo a fórmula de Euler 58 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos t E x y z f x y z t E sin cos j e j componente espacial variação temporal Campos Eletromagnéticos Harmônicos podese escrever Portanto na forma fasorial O vetor representa o campo elétrico no domí nio do tempo O vetor é um vetor complexo e representa o campo elétrico no domínio espacial 59 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos E x y z e j t x y z t Re E Re e j cos E E Campos Eletromagnéticos Harmônicos A transformação dos campos do domínio do tempo para o domínio espacial é denominada Transformada de Fourier A transformação dos campos do domínio espacial para o domínio do tempo é denomi nada Transformada Inversa de Fourier Com a definição da transformada na equação anterior percebese que 60 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos t j Domínio do tempo Correspondência no domínio espacial Campos Eletromagnéticos Harmônicos Equações de Maxwell na forma diferencial no domínio espacial Lei de Faraday Lei de Ampère Lei de Gauss Lei de Gauss magnetismo 61 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos M j B E J jωD H D ρ 0 B Campos Eletromagnéticos Harmônicos Equações de Maxwell na forma integral no do mínio espacial Lei de Faraday Lei de Ampère Lei de Gauss Lei de Gauss magnetismo 62 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos S S C M dS B dS jω ld E e S Q D dS I D dS jω ld H S C m S Q B dS Campos Eletromagnéticos Harmônicos Todas as condições de contorno estudadas continuam válidas no domínio espacial Considerando os campos como fasores o teo rema de Poynting deve ser adaptado A Equação da Conservação da Potência na forma diferencial assume a forma 63 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos 2 2 2 4 1 4 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 E H j E E J M H H E i i Campos Eletromagnéticos Harmônicos Na forma integral a Equação da Conservação da Potência corresponde a 64 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos v v S v i i dv E H j E dv dS H E dv E J M H 2 2 2 4 1 4 1 2 2 1 2 1 2 1 Campos Eletromagnéticos Harmônicos Componentes da Equação da Conservação de Potência Potência Aparente complexa fornecida pelas fontes Potência Aparente complexa que sai do volume v 65 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos v i i s dv E J M H P 2 1 S e dS H E P 2 1 Campos Eletromagnéticos Harmônicos Componentes da Equação da Conservação de Potência continuação Potência real dissipada no volume v Energia média armazenada pelo campo magnético no volume v 66 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos v d E dv P 2 2 1 v m dv H j W 2 4 1 2 Campos Eletromagnéticos Harmônicos Componentes da Equação da Conservação de Potência continuação Energia média armazenada pelo campo elétrico no volume v 67 Equações de Maxwell e Campos Eletromagnéticos Harmônicos v e dv E j W 2 4 1 2