Eletromagnetismo Aplicado: Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização

Eletromagnetismo Aplicado Unidade 5 Propagação de Ondas Eletromagnéticas em Meios Ilimitados e Polarização Prof Marcos V T Heckler 1 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização Conteúdo Definições e parâmetros do modo de propagação transversal eletromagnético TEM Propagação de ondas eletromagnéticas planas uniformes em meios ilimitados e sem perdas Propagação de ondas eletromagnéticas planas em meios ilimitados e com perdas Polarização de ondas eletromagnéticas Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização 2 Modo TEM Um modo de propagação é uma solução par ticular da equação de onda Cada modo é associado a uma configuração de campo eletromagnético De acordo com a configuração de campo uma possível classificação dos campos é a seguinte Modo Transversal Eletromagnético TEM Modos Transversal Elétrico TE Modos Transversal Magnético TM 3 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização Modo TEM Nos modos TEM ambos os campos e são transversais à direção de propagação da onda Podese dizer ainda que os campos elétrico e magnético encontramse sempre em um mes mo plano de fase transversal à direção de pro pagação 4 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização E H E E E H H H k k k Modo TEM Caso os diferentes planos de fase sejam paralelos então a onda é classificada como onda plana Se além disso os campos não tiverem sua am plitude variada de um ponto a outro do espaço então a onda é classificada como onda plana uniforme 5 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização E H k E H k E H k Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Para obter as expressões que descrevem os campos eletromagnéticos podese assumir sem perda de generalidade que o campo elé trico possua componente nãonula somente ao longo de x Neste caso 6 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização ˆ x y z x E E x y z x Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas A equação de onda a ser resolvida é dada por ou em sua versão expandida Considerandose a onda em questão plana uniforme e propagandose ao longo de z Ex não apresenta varia ção em x e y e a solução geral pelo método da separa ção de variáveis equivale a 7 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização 0 2 2 x y z k E x y z E x x 0 2 2 2 2 2 2 2 x y z k E x y z E z x y z E y x y z E x x x x x h z z E x y z E x x Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Uma vez que o caso em análise tratase de uma onda eletromagnética propagandose no espaço livre e em um meio sem perdas ou e 8 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização E e jkz h z 0 jkz x E e z E 0 x E e jkz E x y z 0 ˆ Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Nas equações anteriores é a amplitude do campo elétrico e k é a constante de propaga ção no meio O campo magnético correspondente pode ser obtido através da resolução da equação de onda 9 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização 0 E 0 2 2 k H x y z x y z H Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Alternativamente podese utilizar a Lei de Fa raday de forma que Aplicandose a expressão do campo elétrico na equação acima resulta que 10 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização 1 E x y z j x y z H y k E e jkz H x y z 0 ˆ Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Utilizandose a seguinte convenção e sabendose que podese escrever que onde 11 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização jkz x E e E 0 k yH y H x y z ˆ x y E H Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Impedância de onda Analisandose as unidades da expressão anterior verificase que o termo deve ser medido em ohms 12 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização y x H E Vm Am Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Impedância de onda Portanto definese como Impedância de Onda a relação entre campo elétrico e magnético que se propagam em um mesmo sentido no caso z Matematicamente onde é a impedância intrínseca do meio onde a onda se propaga 13 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização y x w H E Z Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Impedância de onda Para ondas planas e modos TEM Para modos TE e TM O uso do conceito de impedância de onda permite obter o campo magnético ou elétrico a partir do campo elétrico ou magnético para ondas TEM sem a necessidade de operação com as equações de Maxwell 14 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização w Z Zw Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Impedância de onda Para isso devese observar o seguinte procedi mento Posicionar o dedo polegar da mão direita no sentido do campo elétrico Posicionar o dedo médio da mão direita no sentido da propagação da onda A orientação do campo magnético será igual à orienta ção do dedo indicador Dividir a amplitude do campo elétrico pela impedância intrínseca do meio para obter a expressão do campo magnético correspondente 15 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Impedância de onda No espaço livre 16 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização 12 7 0 0 0 8510 8 10 4 w Z 377 0 Zw Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Campo eletromagnético no domínio do tempo Campos elétricos 17 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização z t z t x x E E t j x x z e E z t Re E k z t E x z t cos 0 E Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Campo eletromagnético no domínio do tempo Campos magnéticos 18 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização z t z t y y H H k z t E y z t cos 1 0 0 H Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Campo eletromagnético no domínio do tempo Onda propagandose no sentido z 19 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização z x E y H z Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Velocidade de fase A velocidade de fase mede a velocidade com que uma frente de onda se propaga em uma determi nada direção Definese como frente de onda a superfície na qual os campos eletromagnéticos apresentam a mesma fase Em uma frente de onda propagandose no sentido z temse 20 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização z Constante k t Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Velocidade de fase Uma expressão para a velocidade de fase pode ser obtida analisandose a variação do termo de fase com relação ao tempo Matematicamente 21 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização dt Constante d k z t dt d 0 dt k dz Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Velocidade de fase Definindose a velocidade de fase como e aplicandose na expressão anterior resulta que 22 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização 1 k vp dt dz vp 1 vp Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Vetores de Poynting para ondas planas unifor mes Domínio do tempo Onda propagandose em z 23 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização H E S k z t z E 2 0 2 0 cos ˆ S Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Vetores de Poynting médio para ondas planas uniformes Domínio espacial Onda propagandose em z 24 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização H E S 2 Re 1 0 2 0 2 ˆ E z S Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Velocidade de grupo A velocidade de grupo é um parâmetro que indica a velocidade com que a energia transportada pela onda eletromagnética se propaga no meio A velocidade de grupo é descrita matematicamen te como 25 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização m e W W S gv Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Velocidade de grupo Para uma onda que se propaga ao longo de z resulta que 26 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização 1 gv k z t E 2 0 2 cos 2 1 2 1 E We k z t E 2 0 2 cos 2 1 2 1 H Wm Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Velocidade de grupo A relação entre as velocidades de fase e de grupo deve sempre satisfazer a seguinte equação onde c é a velocidade da luz no meio de propagação 27 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização v v c2 1 g p Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Onda Estacionária Uma onda estacionária resulta da existência de duas ondas eletromagnéticas que se propagam em sentidos opostos No presente caso Se então haverá ocorrência de uma onda estacionária 28 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização jkz jkz E e x E e E x y z 0 0 ˆ Onda propagandose ao longo de z Onda propagandose ao longo de z 0 0 e 0 0 E E Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Onda Estacionária Para entender melhor a física da onda estacioná ria a expressão para o campo elétrico deve ser reescrita da forma para 29 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização jkz jkz x E e E e z E 0 0 k z E E E E j k z E E E E z Ex tan tan exp cos 2 2 0 0 0 0 1 0 0 2 0 2 0 Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Onda Estacionária O valor máximo possível para Ex ocorre quando e equivale a O valor mínimo possível para Ex ocorre quando e equivale a 30 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização 2 0 1 m m kz 0 0 mín E E z Ex 0 0 máx E E z Ex 2 0 1 50 m m kz Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Onda Estacionária Traçado da envoltória de uma onda estacionária 31 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização SWR SWR 10 SWR 5 SWR 2 SWR 1 Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Relação de Onda Estacionária SWR A relação de onda estacionária é definida como a razão entre os níveis máximo e mínimo de campo elétrico existentes em uma onda estacionária Matematicamente 32 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização 0 0 0 0 mín máx E E E E z E z E SWR x x Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Relação de Onda Estacionária SWR Podese ainda definir coeficiente de reflexão como e reescrever a expressão para SWR como A SWR assume valores na faixa 1 SWR 33 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização 1 1 SWR 0 0 E E Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Propagação Oblíqua Até o momento considerouse que a onda propagavase ao longo do eixo z Expressões semelhantes às obtidas até o mo mento seriam possíveis para casos em que a onda eletromagnética se propaga ao longo de x e y Entretanto resta descrever matematicamente como ficam os campos no caso de uma onda propagarse obliquamente aos eixos coordena dos 34 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Propagação Oblíqua Na literatura dois são os casos analisados mais frequentemente Onda com campo elétrico paralelo ao plano de propa gação Onda com campo elétrico normal ao plano de propa gação Nesta abordagem apenas o primeiro caso será analisado A obtenção das expressões matemáticas para os campos no segundo caso segue raciocínio análogo ao que será apresentado a seguir 35 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrico paralelo ao plano de propagação 36 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização x y z i i E z Ez ˆ x Ex ˆ k x kx ˆ z kz ˆ H r Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrico paralelo ao plano de propagação 37 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização x z i E z Ez ˆ x Ex ˆ k x kx ˆ z kz ˆ H O campo elétrico da onda que se propaga no sentido positivo ver gráfico ao lado é dado por Sendo a amplitude do campo então r kj z x E z e E x E ˆ ˆ 0 E E i x E E 0 cos i z E E 0 sin r Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrico paralelo ao plano de propagação 38 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização x z i E z Ez ˆ x Ex ˆ k x kx ˆ z kz ˆ H A expressão para o campo fica Sendo resulta que r kj i i e z x E E ˆsin ˆ cos 0 z k x k k i i ˆ cos ˆ sin E z z y y x x r ˆ ˆ ˆ i i z x jk i i e z x E E cos sin 0 ˆsin ˆ cos r Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrico paralelo ao plano de propagação O campo magnético pode ser obtido de duas formas Utilização da Lei de Faraday Utilização do conceito de impedância de onda 40 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrico paralelo ao plano de propagação Em notação vetorial a segunda técnica pode ser es crita de maneira conveniente como Aplicandose a expressão acima o campo magnético resultante equivale a 41 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização E n H 1 ˆ i i z e jk x y E H cos sin 0 ˆ ˆ n versor que aponta para os respectivos sentidos de propagação Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Propagação Oblíqua Impedâncias de Onda Mesmo que a propagação ocorra em direção oblíqua aos eixos coordenados a onda em estudo continua sendo do tipo TEM Desta forma na direção de propagação Entretanto a impedância de onda assume valores di ferentes ao longo dos eixos coordenados Para isto é necessário fazer a divisão das respectivas componentes de campo de modo que o produto vetorial aponte para a respectiva direção de pro pagação 42 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização k Zw Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Propagação Oblíqua Impedâncias de Onda 43 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização x z i E z Ez ˆ x Ex ˆ k x kx ˆ z kz ˆ H Para o caso ao lado Impedância de onda em x Impedância de onda em z r i i y z x H E Z sin i y x z H E Z cos Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Propagação Oblíqua Velocidades de fase e de grupo 44 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização x z k i frentes de onda direção de propagação c vg vp Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Propagação Oblíqua Velocidades de fase e de grupo 45 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização x z k i c vpz Como a onda em estudo é TEM a velocidade de propagação ao longo de é igual a c velocida de da luz no meio Para seguir o caminho de uma frente de onda a fase ao longo do eixo z a velocidade deve ser k i i pz c v cos 1 cos Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Propagação Oblíqua Velocidades de fase e de grupo 46 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização x z k i c vgz vpz A velocidade de grupo ao longo de z equivale à projeção de c sobre este eixo Desta forma i i gz c v cos cos Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Propagação Oblíqua Vetor de Poynting 47 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização O vetor de Poynting para a onda que se propaga no sentido positivo equivale a H E S 2 Re 1 2 ˆcos sin ˆ 2 0 E z x S i i Ondas Planas Uniformes em Meios sem Perdas Propagação Oblíqua Vetor de Poynting 48 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização Assim sendo as componentes x e z do vetor de Poynting são 2 cos 2 0 E S i z 2 sin 2 0 E S i x Ondas Planas em Meios com Perdas No caso de meios com perdas além da simples progressão de fase das ondas planas unifor mes devese modelar a atenuação dos cam pos Para obter as expressões que descrevem os campos eletromagnéticos assumirseá nova mente que o campo elétrico possua compo nente nãonula somente ao longo de x 49 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização ˆ x y z x E E x y z x Ondas Planas em Meios com Perdas A equação de onda a ser resolvida é dada por ou em sua versão expandida Considerandose a onda em questão plana e propagan dose ao longo de z Ex não apresenta variação em x e y e a solução geral pelo método da separação de variáveis equivale a 50 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização 0 2 2 x y z E x y z E x x 0 2 2 2 2 2 2 2 x y z E x y z z E x y z y E x y z E x x x x x h z z E x y z E x x Ondas Planas em Meios com Perdas Uma vez que no caso em análise tratase de uma onda eletromagnética propagandose em um meio com perdas ou e 51 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização E e z h z 0 z x E e z E 0 z x E e E x y z 0 ˆ Ondas Planas em Meios com Perdas Nas equações anteriores o termo é a cons tante de propagação no meio e equivale a onde 52 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização j 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 nepersm radm Ondas Planas em Meios com Perdas Os termos e são respectivamente as constantes de atenuação e de fase no meio de propagação Em casos práticos a constante de atenuação é usualmente dada em decibéis por metro dBm O fator de conversão é dado por 53 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização nepersm 8 68 dBm Ondas Planas em Meios com Perdas Introduzindose a expressão de na expressão do campo elétrico resulta 54 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização z ze j x E e E x y z 0 ˆ Termo que modela a ate nuação da onda propa gandose ao longo de z Termo que modela a progres são de fase da onda propa gandose ao longo de z Ondas Planas em Meios com Perdas Utilizandose a Lei de Faraday o campo mag nético é obtido e equivale a Utilizandose o conceito de impedância de onda sabese que Então para um meio com perdas 55 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização z E e j j y H x y z 0 ˆ z w E e y Z H x y z 0 ˆ 1 c w j j Z Ondas Planas em Meios com Perdas Resistência superficial ou pelicular Corresponde à parte real de c É a resistência para uma unidade de largura e uma unidade de comprimento do condutor para seção transversal de 1x 56 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização 2 1 Rs Ondas Planas em Meios com Perdas Resistência superficial ou pelicular Em corrente alternada a resistência de um condu tor equivale a onde l é o comprimento do condutor e S é a área útil demonstrada abaixo 57 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização S R l R s ca raio do condutor área útil de condução S Ondas Planas em Meios com Perdas Vetor de Poynting 58 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização O vetor de Poynting para a onda que se propaga no sentido positivo equivale a H E S 2 Re 1 c z e E z S 1 Re 2 ˆ 2 2 0 Ondas Planas em Meios com Perdas Profundidade de penetração de uma onda 59 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização A profundidade de penetração ou profundidade pelicular é a distância que a onda deve percorrer em um meio com perdas para que sua amplitude se reduza a 368 em relação ao ponto de partida Matematicamente 2 1 2 1 1 2 1 1 1 Ondas Planas em Meios com Perdas Simplificação das expressões para os parâmetros de ondas planas para meios bons dielétricos Neste caso ocorre que e as seguintes aproximações podem ser consideradas 60 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização 1 2 2 c Zw 1 2 Ondas Planas em Meios com Perdas Simplificação das expressões para os parâmetros de ondas planas para meios bons condutores Neste caso ocorre que e as seguintes aproximações podem ser consideradas 61 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização 1 2 2 j Z c w 2 1 2 1 2 Ondas Planas em Meios com Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrico paralelo ao plano de propagação 62 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização x y z i i E z Ez ˆ x Ex ˆ x x ˆ z z ˆ H r Ondas Planas em Meios com Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrico paralelo ao plano de propagação 63 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização x z i E z Ez ˆ x Ex ˆ x x ˆ z z ˆ H A expressão para o campo elétrico é semelhante à e quação para o caso sem per das trocandose por Assim sendo r z x E z e E x E ˆ ˆ r k i i z x i i e z x E E cos sin 0 ˆsin ˆ cos Ondas Planas em Meios com Perdas Propagação Oblíqua Campo elétrico paralelo ao plano de propagação 64 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização Pela Lei de Faraday obtémse i i z x j c y E e H cos sin 0 ˆ Ondas Planas em Meios com Perdas Propagação Oblíqua Impedâncias de Onda 65 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização x z i E z Ez ˆ x Ex ˆ x x ˆ z z ˆ H Para o caso ao lado Impedância de onda em x Impedância de onda em z r i i c y z x H E Z sin i c y x z H E Z cos Ondas Planas em Meios com Perdas Propagação Oblíqua Vetor de Poynting 66 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização O vetor de Poynting para a onda que se propaga no sentido positivo equivale a H E S 2 Re 1 c z x i i i i e E z x S 1 Re 2 ˆcos ˆsin cos sin 2 2 0 Ondas Planas em Meios com Perdas Propagação Oblíqua Vetor de Poynting 67 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização Assim sendo as componentes x e z do vetor de Poynting são c z x i x i i e E S 1 Re 2 sin cos sin 2 2 0 c z x i z i i e E S 1 Re 2 cos cos sin 2 2 0 Polarização de Ondas Eletromagnéticas O que é polarização É a propriedade da onda eletromagnética que descreve a variação no tempo do campo elétrico A variação no tempo do campo elétrico inclui amplitude e direção Tipos de polarização Elíptica Linear Circular 68 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização Polarização de Ondas Eletromagnéticas Polarização elíptica Em um dado ponto no espaço o vetor campo elétrico des creve uma figura elíptica ao longo do tempo Expressão matemática típica com ϕ 90 eou Ex Ey 69 kz t yE kz t xE y x cos ˆ cos ˆ E Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização Polarização de Ondas Eletromagnéticas Polarização linear Em um dado ponto no espaço a figura descrita pela varia ção no tempo do vetor campo elétrico é uma reta Caso particular da polarização elíptica em que o eixo menor da elipse é zero Exemplos 70 kz t xE x cos ˆ E kz t yE y cos ˆ E Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização Polarização de Ondas Eletromagnéticas Polarização circular Em um dado ponto no espaço a figura descrita pela varia ção no tempo do vetor campo elétrico é um círculo Dependendo do sentido de rotação do campo elétrico a onda pode ser polarizada à direita ou à esquerda Expressão matemática típica com ϕ 90 e Ex Ey 71 kz t yE kz t xE y x cos ˆ cos ˆ E Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização Polarização de Ondas Eletromagnéticas Razão axial É a relação entre o valor máximo em relação ao valor mínimo de campo elétrico na elipse de po larização É a grandeza que mede o quanto a elipse de polarização se apro xima de um círculo Em termos práticos a razão axial é uma medida da imperfeição de uma onda circularmente po larizada 72 menor eixo maior eixo E E AR Eixo menor xE yE Elipse de polarização Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização Polarização de Ondas Eletromagnéticas 73 Descasamento de polarização Uma medida do descasamento de polarização é forne cida pelo fator de descasamento de polarização PLF dado por 2 2 cos ˆ ˆ p a w PLF Ângulo formado entre os dois vetores unitários Vetor unitário ou vetor polarização da antena Vetor unitário ou vetor polarização da onda Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Polarização