Equações de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal

Capítulo 4 Equações de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal 41 Introdução Um grande número de descobertas relativas à Eletricidade e ao Magnetismo foram realizadas no final do século 18 De maneira geral os estudos realizados naquela época tratavam essas duas áreas da Ciência de maneira totalmente independente A Eletricidade era tratada basicamente como Eletrostática estudandose galvanismo e descargas atmosféricas O Magnetismo era estudado a partir de ímãs e do campo magnético terrestre O caminho dessas ciências foi radicalmente mudado em 1820 quando um cientista dina marquês chamado Hans Christian Ørsted demonstrou que o ponteiro de uma bússola modifi cava sua orientação sempre que corrente elétrica passava por um condutor localizado em sua proximidade Para Ørsted ficou claro que a corrente elétrica induzia uma força no ponteiro magnetizado da bússola e que consequentemente Eletricidade e Magnetismo não eram áreas independentes Essa visão iniciou a unificação de ambas as áreas para o que se conhece desde então como Eletromagnetismo Nos capítulos anteriores as análises foram realizadas considerando os campos elétrico e mag nético de maneira independente Neste capítulo pretendese estabelecer as relações pertinentes ao Eletromagnetismo O capítulo se inicia tratando da evolução das principais leis do Eletro magnetismo conhecidas como equações de Maxwell até a forma como as conhecemos hoje Em seguida as equações de Maxwell são apresentadas para campos com variação harmônica Esta particularização é relevante especialmente do ponto de vista de ondas eletromagnéticas para sistemas de comunicação Na sequência será estabelecido o balanço de potência empregando a teoria de campo Finalmente a análise de campos eletromagnéticos na interface entre dois meios será desenvolvida e as relações de campo para diversas condições de contorno na interface entre dois meios homogêneos serão obtidas Prof Marcos V T Heckler 78 Equacoes de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal 42 As leis do Eletromagnetismo antes e apés Maxwell Até cerca de 1860 as principais equagdes que governavam Eletricidade e Magnetismo eram as Leis de Faraday de Ampére e de Gauss para a Eletricidade e para o Magnetismo Para o caso de circuitos operando em corrente continua as equacgdes mostradas anteriormente sao adequadas Entretanto para o caso de correntes variantes no tempo como ocorre em sistemas de comunicacao e de transmissao de energia Maxwell mostrou que a Lei de Ampére até entao enunciada como sendo Vx H JS 41 nao era capaz de modelar todos os fendmenos envolvidos Para demonstrar esta limitagao podese tomar o caso de um capacitor de placas paralelas conectado a uma fonte de tensao alternada conforme mostrado esquematicamente na Fig 41 Neste circuito a fonte é conectada ao capacitor por meio de condutores nos quais flui corrente elétrica embora as placas do capacitor estejam isoladas por um material dielétrico Assim sendo nao ha corrente elétrica fluindo entre as placas mas ha corrente chegando a placa superior e deixando a placa inferior em um dado instante de tempo to Para ilustrar melhor o que ocorre podese tomar uma superficie fechada que engloba a placa superior como ilustrado na Fig 42 e considerar que a relacaéo entre corrente e densidade de corrente elétrica seja dada por I I G8 S Por inspegao da figura 6 possivel compreender que havera densidade de corrente elétrica aden trando a superficie fechada na face superior sem que haja o fluxo de corrente deixando esta superficie Matematicamente a andlise desta figura significa dizer que fp f d5 0 42 S Finalmente o emprego do teorema da divergéncia permite adaptar 42 para II V fF dv 0 U A igualdade acima sera satisfeita desde que VL 0 43 Para verificar a validade desta observacao a partir da lei de Ampére na forma como era conhecida antes de Maxwell podese tomar o divergente de 41 que resulta em VVxHVf 44 Empregando a propriedade vetorial VVx 2 0 Prof Marcos V T Heckler 42 As leis do Eletromagnetismo antes e após Maxwell 79 Terminais Placa superior Placa inferior Figura 41 Visão esquemática de um capacitor de placas paralelas Terminais Placa superior Placa inferior Superfície de integração I I Figura 42 Superfície fechada de integração envolvendo a placa superior Prof Marcos V T Heckler 80 Equacoes de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal em 44 resulta que V Jf 0 45 Este resultado é incoerente com o que foi encontrado em 43 e com a realidade mostrada na Fig 42 Como resposta a este paradoxo Maxwell propés uma correcao a lei de Ampére indicando que no exemplo do capacitor enunciado acima a entrada de corrente pela superficie fechada que envolve a placa superior causa uma variagao no tempo da carga elétrica 2 acumulada no interior dessa superficie fechada Matematicamente esta relacaéo corresponde a dizer que O J dS 2Q 46 3 Ot que é conhecida como a lei da continuidade de carga na forma integral A interpretacao desta equacaéo tornase mais facil quando se considera a andlise para um volume v envolto por uma superficie fechada S com carga elétrica inicial neutra ou seja 2 0 Considerando que o sentido convencional da corrente elétrica é resultado do deslocamento de cargas elétricas positivas entao a saida de densidade de corrente através de S resultara em carga elétrica liquida negativa 2 0 no volume v Por outro lado caso Y assuma sentido de entrada passando por S a integral de superficie fechada assumira valor negativo Este sinal cancelara o sinal negativo do lado direito de 46 resultando em carga elétrica liquida acumulada 2 0 em v Embora o raciocinio acima tenha sido elaborado para a condigao inicial 2 0 devese atentar que 46 tem validade geral destacandose que uma Y saindo de v resulta em saida de cargas positivas fazendo com que a variagao da carga total em fungao do tempo tornese negativa enquanto que Y entrando a v resulta em adigao de cargas positivas resultando em variagao positiva da carga total Pelo teorema da divergéncia a equacao 46 pode ser transformada para a sua forma diferencial resultando em O Vf p 47 com U Pela lei de Gauss na forma diferencial a densidade volumétrica de carga elétrica pode ser escrita em funcao da densidade de fluxo elétrico como sendo peVG 49 Assim introduzindo 49 em 47 chegase a Vv f DG Ot ou ad VJViZ 410 ot Prof Marcos V T Heckler 42 As leis do Eletromagnetismo antes e após Maxwell 81 Comparandose os argumentos dos operadores divergente em ambos os lados da equação Maxwell verificou que o termo t D não se constitui em uma corrente de condução dada pelo deslocamento de elétrons mas em um efeito que possui característica e unidade de medida típicas de uma densidade de corrente elétrica Assim sendo Maxwell postulou que Jd t D 411 corresponde a uma densidade de corrente elétrica de deslocamento Esta condição existe sempre que houver variação no tempo da densidade de fluxo elétrico D de forma que seu efeito inexistirá em casos estáticos respeitando a teoria aceita preliminarmente à contribuição realizada por Maxwell Como homenagem a esta importante contribuição que unificou a Eletricidade e o Magne tismo e demonstrou o acoplamento entre campos elétricos e magnéticos variantes no tempo o conjunto formado pelas quatro equações fundamentais do Eletromagnetismo é comumente chamado de Equações de Maxwell A forma diferencial dessas equações é dada por E B t M 412 H J D t 413 D ρe 414 B ρm 415 Em relação ao que é comumente mostrado em livros de Física básica verificase nas equa ções acima a existência do termo M em 412 correspondente a uma densidade de corrente magnética bem como o termo ρm em 415 correspondente a uma densidade volumétrica de cargas magnéticas Estas grandezas foram incluídas para deixar as equações com maior sime tria Embora não haja cargas magnéticas isoladas na natureza pois sempre haverá um pólo norte associado a um pólo sul e viceversa mesmo que o material seja sucessivamente dividido em partes menores a sua consideração teórica pode ser realizada pois possibilita a resolução de diversos problemas de irradiação e espalhamento eletromagnético de maneira mais eficiente e elegante O emprego dos teoremas de Stokes e da Divergência permitem escrever as Equações de Maxwell em seu formato integral resultando em L E dl t S B dS S M dS 416 L H I t S D dS 417 Prof Marcos V T Heckler 82 Equacoes de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal fp Fa8 2 418 S fp Bd5 Qn 419 S O termo Y representa a corrente elétrica em Ampéres que atravessa a superficie S englobada pelo contorno fechado L considerados no célculo dos demais termos da equagao 417 43 Equacoes de Maxwell para campos em regime per manente senoidal As equacoes de Maxwell apresentadas na secao anterior consistem em grandezas vetoriais descri tas no espaco tridimensional e variantes no tempo Em geral as funcdes de onda que governam a variacao espacial podem ser separadas da funcao de onda no tempo Assim sendo para fins de representacaéo porém sem perda de generalidade o campo elétrico pode ser escrito no sistema de coordenadas cartesianas como sendo Exy2t E xyz f wt 420 Até o momento a formulacao foi escrita de maneira completamente geral podendo a funcgao do tempo f wt assumir qualquer formato Casos tipicos sao fungdes pulso importantes para o caso de radares e funcdes trigonométricas seno ou cosseno tipicas de sinais utilizados em sistemas de comunicacaéo Assumindose que o enfoque do presente estudo do Eletromagnetismo se destine ao segundo caso podese considerar que f wt cos wt Da andlise complexa sabese que uma funcdéo exponencial com expoente imaginario pode ser representada por uma combinacéo de fungdes seno e cosseno conhecida como formula de Euler descrita matematicamente por eJ cosa jsina 421 sendo j 1 a constante imagindaria Empregandose o operador parte real te em ambos os lados de 421 resulta que Re eo Rte cosa j sina 422 ou cosa Se eto 423 Assim cos wt Re ese 424 Prof Marcos V T Heckler 43 Equacoes de Maxwell para campos em regime permanente senoidal 83 Portanto para f wt cos wt podese escrever com o uso de 424 que f wt Re eje 425 Introduzindose 420 em 425 resulta que xyz t Ey2 Re ert 426 Como deve ser uma fungao real podese modificar 426 para a forma x yzt Re Ey2 elt 427 Na equacao acima o termo representa o campo elétrico escrito no dominio do tempo enquanto que FE representa o campo elétrico no dominio espacial Esta ultima nomenclatura também aparece na literatura como dominio da frequéncia Enquanto os campos escritos no dominio do tempo sao representados por fungdes reais as suas verses no dominio espacial podem ser descritas por fungdes complexas e sao denominados como fasores Em 426 a variacao temporal esta representada pelo termo e Portanto para transfor mar as equacdes de Maxwell do dominio do tempo para o dominio espacial fazse necessario calcular 9 elt jell 428 AE j 428 Assim podemse assumir os seguintes pares transformados O as 429 Campo no dominio do tempo Campo no dominio espacial 430 Empregando os pares transformados mostrados em 429 e 430 nas equagées 412 a 415 resultam Vx EjwuH M 431 Vx H JjweE 432 VD pe 433 VBpm 434 que sao as equacdes de Maxwell na forma diferencial escritas no dominio espacial Procedimento andlogo pode ser realizado para as equacées 416 a 419 resultando em Prof Marcos V T Heckler 84 Equagoes de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal fp Eat ie ff BaS ff sias 435 L S S f Hedl1 jw ff Ba8 436 L S fp DdSQ 437 S fp BdS Qm 438 S E importante destacar que as equacdes de Maxwell em suas versdes no dominio espacial sao bastante interessantes para o presente estudo pois apresentam apenas dependéncia espacial e nao necessitam da execucao de derivadas parciais em sua aplicagao Como desvantagem verificase que para seu emprego tornase necessario dominar a matematica referente a numeros e fungdes complexas Ainda assim como as vantagens de se trabalhar no dominio espacial superam as de se operar no dominio do tempo para campos harm6nicos ie quando se assume f wt cos wt a abordagem na maior parte do restante do capitulo sera realizada no dominio espacial Exemplo 41 Dado 0 campo magnético kB Hpz ooeake Am pus ft descrito no dominio espacial obter o campo elétrico correspondente no dominio do tempo considerandose auséncia de densidade de corrente elétrica no meio Resolugao O problema dado pode ser resolvido por dois caminhos distintos conforme sera demonstrado abaixo Método 1 Obtencao de a partir de H e emprego da lei de Ampére no dominio do tempo Para 0 campo magnético a equacao 427 deve ser modificada para H p02t Re H xyz eh 439 Prof Marcos V T Heckler 43 Equacoes de Maxwell para campos em regime permanente senoidal 85 Introduzindo H em 439 resulta kEy o KH po2t Re beet 440 pf Pela propriedade da potenciagaéo podese escrever e Ske ejut ejwtkz 441 Substituindo 441 em 440 resulta kEy HK pzt Re RE eso 442 pot Aplicando a formula de Euler para a exponencial imaginario presente em 442 resulta que eI tk cos wt kz j sin wt kz 443 Introduzindose agora 443 em 442 vem s kEo HK po zt Re 6 cos wt kz jsin wt kz 444 pf ou kEo HK pb2t 6 cos wtkz Am 445 pf Considerandose J 0 a lei de Ampére no dominio do tempo equivale a Vx 228 446 Ot Aplicandose a integral ao longo do tempo em ambos os lados da equacao acima e isolandose o campo elétrico resulta que 1 5 E v x dt 447 A partir da expressao obtida para o campo magnético no dominio do tempo verificase que H e A 0 Assim a expressao para o rotacional deste campo em coordenadas cilindricas pode ser simplificada e equivale a OH 1 APH vx p 2 48 ee 448 Oz p Op Sendo bE 0 Hs p 6 2t coswtkz 6 pull Prof Marcos V T Heckler 86 Equacoes de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal entao IH kE 7 9 k sin wt kz Oz pul 1 6 9 Op eo rotacional de equivale a 3 ko V x p sin wt kz 449 prof Introduzindo 449 em 447 resulta z 1 kB E 0 sin wt 9 dt 450 E pul Resolvendose a integral resulta em 2 E gp 0 ss 451 PweL Ww Conforme ser demonstrado mais adiante k we Portanto apds reagrupamento de termos E E po2z p coswtkz Vm 452 p Método 2 Emprego da lei de Ampére no dominio espacial e obtengao de a partir de EF Considerandose J 0 a lei de Ampére no dominio espacial equivale a Vx H jwek 453 Isolandose 0 campo elétrico resulta que 5 EVxH 454 JWE A partir da expressao dada no enunciado verificase que H 0 e H 0 Assim a expressao para o rotacional do campo magnético em coordenadas cilindricas equivale a OH 1 OpH Vxip 25 0pHe 455 Oz p Op Prof Marcos V T Heckler 43 Equacoes de Maxwell para campos em regime permanente senoidal 87 Sendo LE Hg p Q z eae pf entao oH he EB oe 80 jke Jk Oz pw pHs 0 Op O rotacional de H equivale a jk E Vx p 456 pf Introduzindo 456 em 454 resulta 1 ikEy E ie 457 jue pw Conforme jé comentado acima k wye Apos reagrupamento de termos Eo EB peJ Vm 458 p Substituindo 458 em 427 resulta que eo Lo jkz jut p2t Re 4 pe lel 459 p Utilizando as equagoées 441 e 443 resulta za L0 E p 02 t Re 4 p cos wt kz jsin wt kz 460 p ou 0 E p zt p coswt kz Vm 461 p No exemplo acima verificase que a aplicacao da lei de Ampére no dominio do tempo implica na resolucao de uma integral o que é evitado quando se resolve o problema com o método 2 Portanto sempre que possivel sugerese que a maior parte das operacdes para resolucao do problema seja conduzida no dominio espacial Isso sera novamente demonstrado no exemplo a seguir Prof Marcos V T Heckler 88 Equacoes de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal Exemplo 42 Dado 0 campo elétrico E p6zt p sin wt kz Vm p descrito no dominio do tempo obter o campo magnético correspondente no dominio espacial considerandose auséncia de densidade de corrente magnética no meio Resolugao Novamente aqui o problema pode ser resolvido por dois caminhos distintos Método 1 Emprego da lei de Faraday no dominio do tempo e obtengao de H a partir de Considerandose 0 a lei de Faraday no dominio do tempo equivale a a Vx iH 462 ot Aplicandose a integral ao longo do tempo em ambos os lados da equacao acima e isolandose 0 campo magnético resulta que 1 fe V x Edt 463 Ll A partir da expressao dada no enunciado verificase que 64 0 e 0 Assim a expressao para o rotacional deste campo em coordenadas cilindricas pode ser simplificada e equivale a z 06 1 OE Vx62 464 Seal 0 ae Sendo Eo Ep p 0 zt Sin wt ke entao ae B a 7 k cos wt kz OpEp 90 Op eo rotacional de equivale a af kE Vxé6 cos wt 465 p Prof Marcos V T Heckler 43 Equacoes de Maxwell para campos em regime permanente senoidal 89 Introduzindo 465 em 463 resulta 1 kE He cos wt k2 dt 466 lu p Resolvendose a integral resulta em kEp sinwtk of GEO w 467 pl W Apos reorganizagao dos termos chegase a okE KH b sin wtkz Am 468 prof A transformacaéo do campo magnético para o dominio espacial é realizada através do par transformado mostrado em 439 O procedimento consistem em escrever 0 campo no lado esquerdo na mesma forma da representacao do lado direito da igualdade Por comparacao podese extrair o campo no dominio espacial Para iniciar o procedimento devese reescrever a funcgao seno em sua representacéo com exponencial complexa Para isso podese iniciar multiplicandose a formula de Euler pela constante imaginaria 7 0 que resulta em jwtkz 2 je jcoswt kz 7 sin wt kz 469 ou jet jcos wt kz sin wt kz 470 Aplicandose 0 operador real a ambos os lados da equagéo 470 resulta que Re jellotk Re jcoswtkz sinwtkz 471 Isolandose o termo contendo a funcéo seno chegase a sin wt kz Re jeiletk 472 Introduzindo 472 em 468 resulta Z pkEo jwtkz pus ft A equagao 473 pode ser reescrita sem perda de generalidade como 5 kEp HK p2t Ref dee torent 474 prof Prof Marcos V T Heckler 90 Equacoes de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal Pela propriedade da potenciagaéo podese escrever ed wtkz clvtejkz 475 ou ainda el wtkz Skz pit 476 Substituindo 476 em 474 resulta 5 kEy 4 H p2 Re dine 477 pf Comparandose 477 com 439 0 campo magnético no dominio espacial correspondera aos termos dentro do operador real que estéo multiplicados por e Assim kB H p2 j2e 3 Am 478 pf Método 2 Obtengaéo de FE a partir de e emprego da lei de Faraday no dominio espacial A transformagao do campo elétrico segue raciocinio semelhante ao mostrado no Método 1 Empregando 472 na expressao de campo dado no enunciado resulta que Z 0 jwtkz p02t p Re Je 479 A equagao 479 pode ser reescrita sem perda de generalidade como 3 L0 jwtkz p02t Re pje 480 p Empregando 476 em 480 chegase a oO 0 jkz jut E p zt Re pje l eI 4 481 p Comparandose 481 com 427 verificase que o campo elétrico no dominio espacial correspondera aos termos dentro do operador real que estao multiplicados por e Assim 3 Lo ikz Ep02 pje 7 Am 482 p Considerandose M 0 a lei de Faraday no dominio espacial equivale a Vx Ejwpl 483 Prof Marcos V T Heckler 43 Equacoes de Maxwell para campos em regime permanente senoidal 91 Isolandose 0 campo magnético resulta que 5 1 HVxE 484 jup Apos inspegao de 482 verificase que Ey 0e BE 0 Assim a expressao para o rotacional deste campo em coordenadas cilindricas pode ser simplificada e equivale a OE 1 OE VxE2 485 ae sla 49 Sendo E Ep p Q 2 jes p entao dB E oe 50 sp eke a2 Sp jke OpE Op eo rotacional de E equivale a x kB Vx B 6 eo 486 p Introduzindo 486 em 484 resulta 1 kEo H AE ae 487 ju p Apos reorganizagao dos termos chegase a kEy H p2 j 2eJ Am 488 prof Exemplo 43 Dada a densidade de fluxo elétrico Dp62 ppcosd 2 determinar a carga elétrica total acumulada no interior de um cilindro com a base de raio equivalente a 2 m centrada na origem e altura igual a 5 m Prof Marcos V T Heckler 92 Equações de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal Resolução A solução para este problema pode ser realizada empregandose a lei de Gauss tanto na forma integral quanto diferencial Nesta última forma no entanto fazse necessário aplicar uma integral de volume para cálculo da carga total acumulada conforme será demonstrado a seguir Método 1 Emprego da lei de Gauss na forma integral A forma integral da lei de Gauss já foi descrita pela equação 437 Como a superfície de integração dada é um cilindro a integral de superfície fechada em 437 será S D dS 1 Dz 0dS1 2 Dz 5dS2 3 Dρ 2dS3 489 sendo as integrais 1 a 3 referentes às superfícies de base de topo e lateral do cilindro respecti vamente Na base do cilindro dS1 ˆzρdρdφ Assim a integral 1 equivalerá a 1 Dz 0dS1 ˆ 2 0 ˆ 2π 0 ρcosφ0 ˆρˆzρdρdφ 490 Sendo ˆρˆz 0 então 1 Dz 0dS1 0 491 No topo do cilindro dS2 ˆzρdρdφ Assim a integral 2 equivalerá a 2 Dz 5dS2 ˆ 2 0 ˆ 2π 0 ρcosφ5 ˆρ ˆzρdρdφ 492 Sendo ˆρ ˆz 0 então 2 Dz 0dS2 0 493 Na superfície lateral do cilindro dS3 ˆρρdφdz Assim a integral 3 equivalerá a 3 Dρ 2dS3 ˆ 2π 0 ˆ 5 0 2cosφz ˆρ ˆρ2dφdz 494 Sendo ˆρ ˆρ 1 então 3 Dρ 2dS3 2 ˆ 2π 0 ˆ 5 0 2cosφzdφdz 495 Prof Marcos V T Heckler 43 Equações de Maxwell para campos em regime permanente senoidal 93 ou 3 Dρ 2dS3 4 ˆ 2π 0 ˆ 5 0 cosφdφdz 2 ˆ 2π 0 ˆ 5 0 zdφdz 496 Realizando o cálculo da integral resulta que 3 Dρ 2dS3 050π 497 ou 3 Dρ 2dS3 50π 498 Portanto Qe S D dS 0050π 499 ou Qe 50π C 4100 Método 2 Emprego da lei de Gauss na forma diferencial A forma diferencial da lei de Gauss é dada pela equação 433 Para a determinação da densidade volumétrica de carga elétrica ρe no interior do cilindro devese calcular o divergente de D Do enunciado verificase que Dφ 0 e Dz 0 Assim o divergente de D é dado por D 1 ρ ρDρ ρ 4101 Sendo Dρ ρφz ρcosφz então ρe 1 ρ ρ ρρcosφz 4102 Executando o cálculo das derivadas resulta que ρe 1 ρ 2ρcosφz 4103 ou ρe ρφz 2cosφ z ρ Cm3 4104 A carga total acumulada no interior do cilindro pode ser determinada a partir de Qe v ρedv 4105 Prof Marcos V T Heckler 94 Equacoes de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal Sabendose que du pdpdédz em coordenadas cilindricas e introduzindo 4104 em 4105 resulta Qe II 2 cos pdpdddz 4106 v p ou 5 p2r 2 Qe 2pcos z dpdddz 4107 0 JO 0 Resolvendose a integral chegase a Qe 507 C 4108 44 Conservagao de poténcia do ponto de vista eletro magnético Para a demonstracao do principio da conservacao de poténcia para o caso do Eletromagnetismo considerarsea 0 volume genérico v envolto por uma superficie fechada S composto de material homogéneo com parametros constitutivos js e 7 com a convengéo mostrada na Figura 43 em que Y e sao densidades de corrente elétrica e magnética impostas pelas fontes de poténcia elétrica e magnética respectivamente existentes no interior de v A existéncia de tais fontes causam o aparecimento de campos elétrico e magnético Além dessas grandezas uma vez que em geral 0 o ov entao pode haver aparecimento de uma densidade de corrente elétrica YY o induzida no meio Assim a densidade de corrente elétrica total resultante equivalera a 4 Fit Sc 4109 com Se of Dentro do volume v as leis de Faraday e Ampére em suas formas diferenciais podem ser escritas por 5 VxBU 4110 Ot 5s 5 Os Vx fit fot 59 4111 Sendo 9 B Ma 4112 B Ms 4112 com M representando a densidade de corrente magnética de deslocamento e OG Si 4113 Ot d Prof Marcos V T Heckler 44 Conservacao de poténcia do ponto de vista eletromagnético 95 EH i af n v S E fb O Figura 43 Definigdes de campos e correntes em um volume genérico v envolto por uma super ficie fechada S com Sa descrevendo a densidade de corrente elétrica de deslocamento entao 4110 e 4111 podem ser reescritas para a forma Vx MM 4114 Vx Jit fot fu 4115 Tomandose 0 produto escalar de com 4114 e de com 4115 resultam H Vx Eb H M Ma 4116 EVxE fit fet Ja 4117 Subtraindose 4117 de 4116 resulta HVx8E Vx H M E fit fer Ja 4118 Empregando a identidade vetorial WH Vx8E Vx VEx podese reescrever 4118 como sendo V Ex H0MatM E fit fet fa 0 4119 Reagrupando os termos chegase a V Ex HHME Ji E Jot HMi Ja 0 4120 Prof Marcos V T Heckler 96 Equacoes de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal que representa a equacao de conservacaéo de poténcia do ponto de vista da teoria eletromagnética em sua forma diferencial Esta equacgéo é também conhecida por representar o teorema de Poynting que recebeu este nome em homenagem ao seu criador o cientista britanico John Henry Poynting A equagao 4120 também pode ser representada em sua versao integral Essa representagao pode ser obtida tomandose a integral de volume de 4120 resultando em J 8 EA avs fA 4b Ald For Mar fi dv0 U U 4121 Aplicandose o teorema da divergéncia a primeira integral de volume pode ser transformada em uma integral de superficie fechada equivalente Finalmente a equacao resultante sera fp Ex a8 fff HM E fy dv fff E Zao fff 2 dire Jadv o S v v v 4122 que corresponde a forma integral do teorema de Poynting Para entender o teorema devese analisar cada termo constante na equagao 4122 O termo A GE Aaw 4123 U que contém as densidades de corrente impressas corresponde a poténcia fornecida ao volume v pelas fontes de poténcia Ja o termo Aim fff Fede U que pode ser reescrito por 2 Pyo II JE av 4124 UV corresponde a poténcia dissipada no volume v A partir desta expressao é facil verificar que a poténcia dissipada em meios sem perdas é nula uma vez que esses meios apresentam como prin cipal caracteristica condutividade nula o 0 Outro fendmeno possivel é 0 armazenamento de energia no meio que é modelado por 1 5 5 2 U ou Wn iil A dv 4125 2 U no caso de energia armazenada no campo magnético e 1 5 5 Wo E Jadu 2 U Prof Marcos V T Heckler 45 Condicoes de contorno na interface entre dois meios 97 ou E 2 Wo Hf dv 4126 2 Ny no caso de energia armazenada no campo elétrico Finalmente a parcela da poténcia fornecida que nao for dissipada ou convertida em variacao da energia armazenada devera deixar o volume v atravessando a superficie fechada S Esta parcela pode ser portanto quantificada por P ff Ex d8 4127 S Portanto a conservacgao de poténcia é obtida através da substituigaéo dos termos em 4122 por seus equivalentes resultando em O Pe Pit Pat a Wet We 0 4128 Por fim cabe destacar que o termo PExH 4129 medido em Wm modela a densidade de poténcia instanténea da onda eletromagnética que deixa o volume v atravessando a superficie fechada S Em homenagem a seu descobridor o campo vetorial Y também é comumente denominado vetor de Poynting instantaneo 45 Condigoes de contorno na interface entre dois meios Como visto anteriormente a densidade de fluxo elétrico depende do meio em que se aplica o campo elétrico Assim quando o meio for nao homogéneo devemse estabelecer condicdes de transicao adequadas Serao estudados os dois casos mais tipicos e em seguida serao apresen tadas as condigoes de contorno generalizadas 451 Interface entre dois meios dielétricos Esta situagao é apresentada na Fig 44 De acordo com o sistema de coordenadas indicado ficara convencionado que o vetor normal a interface estaraé apontado para o interior do meio 2 Portanto no presente caso i 2 Além disso seraé considerado que nao haja correntes elétricas ou magnéticas em nenhum dos meios nem mesmo na interface ou seja J 0e M0 Também considerase auséncia de cargas livres em ambos os dielétricos e na interface de forma que pe 0 Pm 0 Adotandose um caminho fechado Lo que engloba uma area So com dimensdes Ay e Az conforme ilustrado na Fig 45 Para estabelecer as condigdes de contorno na interface fazse Az 0 Aplicandose a lei de Faraday descrita em 435 com M 0 resulta que p B d By GAy By GAy 4130 Lo Prof Marcos V T Heckler 98 Equacoes de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal v y Meio 1 Interfac Figura 44 Meio nao homogéneo composto de dois dielétricos x y Ay Meio 1 Figura 45 Aplicagao da lei de Faraday na interface entre dois meios dielétricos e I BdS 0 4131 So de forma que Ey GAy Ba GAy 0 4132 Efetuando os produtos escalares na equacao acima resulta Ey Ey 0 4133 Raciocinio semelhante pode ser adotado para o plano xz e a conclusao sera que Ex Exes 0 4134 Portanto verificase que as componentes de campo elétrico tangenciais a interface devem ser continuas Os resultados mostrados em 4133 e 4134 podem ser obtidos com uma tinica expressao se utilizarmos da propriedade do rotacional Matematicamente temse que fx EB Ey 0 4135 Aplicandose a lei de Ampére descrita em 436 com J 0 resulta que p Hdl Hy gAy He gAy 4136 Lo Prof Marcos V T Heckler 45 Condicoes de contorno na interface entre dois meios 99 Area Ag 2 n LC Meio 2 A v 2 Meio 1 Superficie fechada So Figura 46 Aplicacgao da lei de Gauss na interface entre dois meios dielétricos vista lateral e I Dds0 4137 So de forma que Ay GAy Ay GAy 0 4138 Efetuando os produtos escalares na equacao acima resulta Hy ys 0 4139 Fazendose 0 mesmo procedimento matematico para o plano xz obtémse Ay Ay5 0 4140 De maneira andloga ao caso para 0 campo elétrico os resultados das equacgoes 4139 e 4140 podem ser obtidos com uma tinica expresséo dada por fx Fy He 0 4141 Pelas express6es acima verificase que na interface entre dois dielétricos devese assegurar a continuidadae das componentes de campo elétrico e magnético que forem tangenciais a interface entre oS meios Tomandose agora um volume vo englobado por uma superficie fechada So com area de base Ao e altura Az que esta colocado na interface como mostrado esquematicamente na Fig 46 em vista lateral Fazendose Az 0 e aplicando a lei de Gauss na forma integral ao longo da superficie fechada e com Q 0 resulta que Dz 2A9 Dy 2Ag 0 4142 Efetuando os produtos escalares na equacao acima resulta Dz Dz 0 4143 Prof Marcos V T Heckler 100 Equacoes de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal pacoprcccccccccssst ta a Placa superior a Placa inferior Terminais a re Superficie de integracao d2 eae d ia Dielétrico 1 Dielétrico 2 Figura 47 Capacitor preenchido com duas camadas dielétricas A equacao acima pode ser generalizada por ft Dz Dy 0 4144 Fazendose 0 mesmo procedimento com a lei de Gauss para o Magnetismo e com Q 0 resulta que fv By By 0 4145 Portanto verificase que as componentes de densidade de fluxo elétrico e magnético normais a interface devem ser continuas Exemplo 44 Considerar o capacitor mostrado na Fig 47 com placas paralelas de 64 cm de area e espacadas por uma distancia d 5 mm Determinar a capacitancia deste dispositivo sendo 2 e Erg A Resolugao Admitindo que nao haja efeitos de franja podese considerar que a densidade de fluxo elétrico somente sera diferente de zero na face da superficie de integracéo que estiver entre as placas do capacitor Nessas condigoes a lei de Gauss equivale a Q gp Bias f Dy d8 S Splaca Prof Marcos V T Heckler 45 Condicoes de contorno na interface entre dois meios 101 onde Spiaca a Area de uma das placas do capacitor Considerandose que a tensdo entre as placas seja constante entao Q D4 fas D1 Sptaca Q D 1 og placa Admitindo que a tensao aplicada ao capacitor seja tal que a placa superior esteja carregada com cargas positivas o vetor densidade de fluxo elétrico no meio 1 pode ser representado por py 22 Splaca A grandeza D esté apontada normalmente A interface entre os materiais dielétricos De acordo com as condicdes de contorno estudadas devese garantir continuidade de componentes normais de densidade de fluxo entre os dielétricos 1 e 2 Assim no dielétrico 2 Dy B 22 Splaca A relacéo entre 0 campo elétrico no interior do capacitor e a tensao aplicada as placas equivale a V Edi No dielétrico 1 1s Ey D ad Ey El Splaca1 enquanto que no dielétrico 2 1s By B 22 EQ Splaca2 Assim 0 d2 v By al Ep dl d2 0 Como o campo elétrico é estatico entao 0 pd2 vé aB dl d2 0 Prof Marcos V T Heckler 102 Equacoes de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal d d y 5 4 2 5 SplacaEl 2 SplacaE2 2 d 1 1 ya et 2S placa E 2 A capacitancia é calculada por Q C V Q C Qd 1yd 2Splaca 2 a C 2Splaca1E2 dé12 Substituindo os valores na equacéo acima resulta que CK 264104288510 1 4885107 51073 28851012 48851012 C 3021107 F ou ainda C 3021 pF 452 Interface entre dielétrico e condutor perfeito Para este caso sera considerado que 0 meio 1 é um condutor perfeito Nesta situagao 01 oo e portanto nao ha campos no interior do meio 1 E 0 e Hj 0 Com isso na interface as seguintes condicdes de contorno deverao ser satisfeitas Ax Ey 0 4146 Ao contrario do caso abordado na segao anterior o meio 1 possui capacidade de condugao e portanto J 0 Assim aplicandose a lei de Ampére conforme na Fig 45 resulta para Az 0 que p di Hy Ay 4147 Lo I DdS 0 4148 So Prof Marcos V T Heckler 45 Condições de contorno na interface entre dois meios 103 e S0 J dS JS ˆxy 4149 onde JS é uma densidade superficial de corrente elétrica que se estabelece na interface entre os materiais Esta grandeza é medida em ampères por metro Am Substituindo os resultados anteriores na lei de Ampère resulta que H2 ˆyy JS ˆxy 4150 Efetuando os produtos escalares na equação acima resulta Hy2 JSx 4151 Fazendose o mesmo procedimento matemático para o plano xz obtémse Hx2 JSy 4152 Os resultados das equações 4151 e 4152 podem ser obtidos com uma única expressão dada por ˆn H2 JS 4153 Tomandose um volume v0 englobado por uma superfície fechada S0 com área de base A0 e altura z que está colocado na interface Fazendose z 0 e aplicando a lei de Gauss na forma integral ao longo da superfície fechada resulta que D2 ˆzA0 Q 4154 sendo Q a carga elétrica líquida englobada pela superfície S0 Efetuando o produto escalar presente na equação acima resulta que Dz2A0 Q 4155 ou Dz2 Q A0 4156 Definindo ρeS Q A0 4157 como sendo a densidade superficial de cargas elétricas temse que Dz2 ρeS 4158 Portanto concluise que as componentes tangenciais de campo elétrico devem ser nulas na interface de um dielétrico com um condutor perfeito podendo no entanto existir densidade de fluxo elétrico e consequentemente campo elétrico normal à interface Além disso o campo magnético induz uma densidade superficial de corrente elétrica que existirá somente na interface entre os dois meios Prof Marcos V T Heckler 104 Equacoes de Maxwell para Campos em Regime Permanente Senoidal 2 n Cargas Cargas elétricas magnéticas Meio 2 eee eee x y Densidade Densidade d Meio 1 e corrente de corrente elétrica magnética Figura 48 Meio nao homogéneo composto de dois dielétricos com cargas e correntes na inter face 453 Interface entre dois meios dielétricos com cargas e correntes na interface caso geral A Fig 48 apresenta o caso geral em que existe uma interface entre dois meios podendo haver cargas acumuladas na interface Adotandose a metodologia usada nas subsec6des anteriores resultam as seguintes expressoes nx Ey E Ms 4159 nx AM Jg 4160 fi Dz Di pes 4161 fi Bo B1 ps 4162 onde Ms corresponde a uma densidade superficial de corrente magnética e pm uma densidade superficial de cargas magnéticas existente na interface entre os meios e 2 Prof Marcos V T Heckler