Unidade 1: Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais em Eletromagnetismo Aplicado

Eletromagnetismo Aplicado Unidade 1 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais Prof Marcos V T Heckler 1 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais Conteúdo Introdução Revisão sobre números complexos Revisão sobre álgebra vetorial Sistemas de coordenadas clássicos Integrais de linha superfície e volume Cálculo Vetorial Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais 2 Introdução Todos os fenômenos eletromagnéticos são explicados pelas equações de Maxwell Lei de Faraday Lei de Ampère Lei de Gauss Lei de Gauss Magnetismo 3 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais M B E t J D H t e D m B Introdução onde intensidade de campo elétrico Vm intensidade de campo magnético Am densidade de fluxo elétrico Coulm2 densidade de fluxo magnético T densidade de corrente magnética Vm2 densidade de corrente elétrica Am2 densidade volumétrica de carga elétrica Coulm3 densidade volumétrica de carga magnética Wbm3 4 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais B E H D M J e m Introdução Para trabalhar com as equações de Maxwell é necessário conhecer Análise complexa números e funções complexas Álgebra vetorial Sistemas de coordenadas clássicos cartesiano ci líndrico e esférico Operadores vetoriais para os sistemas de coor denadas clássicos 5 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais Números Complexos A reta real Serve para alocação sequencial dos números reais organizados dos menores à esquerda aos maiores à direita Estendese de a 6 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais 0 500 50 10 100 Números Complexos Constante imaginária Em alguns casos uma grandeza não pode ser representada por um número real Um exemplo disso é a raiz quadrada de um número negativo Como não há representação real partese para uma representação imaginária simbolizada na Engenharia pela constante imaginária j Por definição o valor da constante imaginária é 7 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais 1 j Números Complexos Número complexo De maneira mais ampla um número complexo pode ser descrito por duas parcelas independentes entre si uma parte real e uma parte imaginária Como essas parcelas são independentes necessitam se de duas retas para sua representação sendo uma para cada parte do número complexo Os números complexos não podem ser ordenados comparativamente como maiores ou menores uns em relação aos outros ficando esta comparação possível apenas entre suas magnitudes 8 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais Números Complexos Plano complexo Como os números complexos não podem ser mais alocados em uma reta real empregase o plano complexo que está apresentado abaixo para representação de um número complexo z 9 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais z z a b bj a z Eixo imaginário Eixo real Números Complexos Magnitude e fase de números complexos 10 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais z z a b z Fase Magnitude z 2 2 z z z z z arctan je z z Forma polar Números Complexos Complexo conjugado 11 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais z z a b je z bj a z z z e j bj a z b Números Complexos Propriedades e fórmulas importantes 12 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais Fórmula de Euler sin cos j e j Parte real z z cos Parte imaginária z z sin Propriedade do módulo 2 z z z Álgebra Vetorial Classificação das grandezas Escalar grandeza que só é medida por uma magnitude ou amplitude Vetor grandeza que é descrita por uma magni tude e uma orientação espacial Campo grandeza que é descrita em qualquer ponto de uma região Um campo pode ser escalar distribuição do potencial elétrico em uma região ou vetorial campo elétrico em uma dada região 13 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais Álgebra Vetorial Representação vetorial Um vetor é representado em um sistema de coor denadas tridimensionais genérico a partir de suas componentes dadas em cada uma das três direções Matematicamente 14 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais A 3 3 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ A a A a A a A Álgebra Vetorial Representação vetorial No caso do sistema de coordenadas cartesiano 15 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais A z A y A x A z y x ˆ ˆ ˆ x y z yˆ xˆ y Ay ˆ zˆ z Az ˆ x Ax ˆ x y z y Ay ˆ z Az ˆ x Ax ˆ A Álgebra Vetorial Vetor unitário Dado um vetor Um vetor unitário é definido como um vetor cuja magnitude é 1 e a orientação é a mesma de Matematicamente onde e 16 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais A A a A A a 2 2 2 z y x A A A A A z A y A x A z y x ˆ ˆ ˆ Álgebra Vetorial Vetor unitário Portanto Projeção de vetores 17 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais 2 2 2 ˆ ˆ ˆ z y x z y x A A A A z A y A x a A B θAB Projeção de sobre ou B A AB A B B cos B a B A A BA Álgebra Vetorial Soma e subtração de vetores Graficamente 18 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais B A C A B D C A B B A D A B B Álgebra Vetorial Soma e subtração de vetores Matematicamente 19 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais B A C A B D B z A y B A B x A C z z y y x x ˆ ˆ ˆ B z A y B A B x A D z z y y x x ˆ ˆ ˆ Álgebra Vetorial Soma e subtração de vetores A soma e a subtração de vetores satisfazem as se guintes propriedades Comutativa Associativa Distributiva 20 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais A B B A kB k A B A k C B A C B A Álgebra Vetorial Multiplicação de vetores Produto escalar O produto escalar entre dois vetores e é defi nido geometricamente como o produto das mag nitudes de e e do cosseno do ângulo entre eles Matematicamente ou 21 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais AB B A A B cos B A B A z z y y x x A B A B A B A B Álgebra Vetorial Multiplicação de vetores Produto escalar O resultado dessa operação é uma grandeza escalar Se os vetores e são ortogonais então Propriedades Comutativa Distributiva Propriedade do módulo 22 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais B 0 A B A B A B A A C A B C B A A 2 A A Álgebra Vetorial Multiplicação de vetores Produto vetorial O produto vetorial entre dois vetores e tem como resultado uma grandeza vetorial cuja magnitude é a área do paralelogramo formado por e A orientação do vetor é normal ao paralelogramo e o sentido de apontamento é dado pela regra da mão direita 23 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais n B sen A B A AB ˆ B A B A Álgebra Vetorial Multiplicação de vetores Produto vetorial 24 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais z y x z y x B B B A A A z y x B A ˆ ˆ ˆ z A B A B y A B A B x A B A B B A x y y x z x x z y z y z ˆ ˆ ˆ A B B A paralelogramo formado por A e B Álgebra Vetorial Multiplicação de vetores Propriedades do produto vetorial Propriedade anticomutativa A propriedade associativa não é satisfeita Propriedade distributiva 25 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais A B B A A C A B C B A C A B B C A Álgebra Vetorial Multiplicação de vetores Produtos triplos Produto escalar triplo cálculo de volumes Produto vetorial triplo 26 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais C A B B A C B C A A B C A C B B C A z y x z y x z y x C C C B B B A A A B C A Sistemas de Coordenadas Clássicos Sistemas de Coordenadas Sistema de coordenadas cartesiano 27 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais x y z P xyz yˆ x y z xˆ zˆ Localização de um ponto P Versores do sistema cartesiano no ponto P Comprimento diferencial dz z dy y dx x ld ˆ ˆ ˆ Sistemas de Coordenadas Clássicos Sistema de Coordenadas Cilíndricas Localização de um ponto P 28 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais x y z P ρϕz ϕ ρ z x y z ϕ ρ z zˆ ˆ ˆ Localização de um ponto P Versores do sistema cilíndrico no ponto P Sistemas de Coordenadas Clássicos Sistema de Coordenadas Cilíndricas Representação vetorial Limites das coordenadas Comprimento diferencial 29 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais A z A A A z ˆ ˆ ˆ z 2 0 0 dz z d d ld ˆ ˆ ˆ Sistemas de Coordenadas Clássicos Sistema de Coordenadas Cilíndricas Relação com o sistema cartesiano 30 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais x y z P xyz P ρϕz ϕ ρ z Utilizando trigonometria x y z z x y y x arctan 2 2 z z y x sin cos Cart Cil Cil Cart Sistemas de Coordenadas Clássicos Sistema de Coordenadas Cilíndricas Relação com o sistema cartesiano Transformação de vetores entre os sistemas cartesiano e cilíndrico 31 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais z z y x y x A A A A A A A A cos sin sin cos Cart Cil Cil Cart z z y x A A A A A A A A cos sin sin cos Sistemas de Coordenadas Clássicos Sistema de Coordenadas Esféricas Localização de um ponto P 32 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais x y z ϕ r rˆ ˆ ˆ P rθϕ x y z ϕ r θ θ Localização de um ponto P Versores do sistema esférico no ponto P Sistemas de Coordenadas Clássicos Sistema de Coordenadas Esféricas Representação vetorial Limites das coordenadas Comprimento diferencial 33 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais ˆ ˆ ˆ A A A r A r 0 2 0 0 r ˆ sin ˆ ˆ d r rd dr r ld Sistemas de Coordenadas Clássicos Sistema de Coordenadas Esféricas Relação com o sistema cartesiano 34 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais x y z P xyz P rθϕ ϕ ρ z Utilizando trigonometria x y z y x x y z y x r 2 2 2 2 2 arctan arctan cos sin sin cos sin r z r y r x Cartesiano Esférico Esférico Cartesiano r θ Sistemas de Coordenadas Clássicos Sistema de Coordenadas Esféricas Relação com o sistema cilíndrico 35 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais x y z P rθϕ P ρϕz ϕ ρ z Utilizando trigonometria x y z z r arctan 2 2 cos sin r z r Cilíndrico Esférico Esférico Cilíndrico r θ Sistemas de Coordenadas Clássicos Sistema de Coordenadas Esféricas Relação com o sistema cartesiano Transformação de vetores entre os sistemas cartesiano e esférico 36 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin cos sin y x z y x z y x r A A A A A A A A A A A Cartesiano Esférico Sistemas de Coordenadas Clássicos Sistema de Coordenadas Esféricas Relação com o sistema cartesiano Transformação de vetores entre os sistemas cartesiano e esférico 37 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos cos sin A A A A A A A A A A A r z r y r x Esférico Cartesiano Sistemas de Coordenadas Clássicos Sistema de Coordenadas Esféricas Relação com o sistema cilíndrico Transformação de vetores entre os sistemas esférico e cilíndrico 38 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais sin cos cos sin A A A A A A A A r z r Esférico Cilíndrico Cilíndrico Esférico A A A A A A A A z z r sin cos cos sin Cálculo Vetorial Áreas diferenciais Sistema de coordenadas cartesianas 39 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais x y z dz yˆ xˆ zˆ Áreas diferenciais dydz x S d dxdz y S d dxdy z S d ˆ ˆ ˆ dy dz dx dy dx Cálculo Vetorial Áreas diferenciais Sistema de coordenadas cilíndricas 40 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais x y z zˆ z d d dS ˆ dz ρ dϕ dρ ˆ ˆ x ρ dϕ dz x dρ y d dz ˆ dS y z z d dz ˆ dS Cálculo Vetorial Volume diferencial Sistema de coordenadas cartesianas 41 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais x y z Volume diferencial dxdydz dv dy dz dx Cálculo Vetorial Volume diferencial Sistema de coordenadas cilíndricas 42 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais x y z d d dz dv dz ρ dϕ dρ Volume diferencial Cálculo Vetorial Áreas e volume diferenciais Sistema de coordenadas esféricas 43 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais Áreas diferenciais Volume diferencial ˆ ˆ sin ˆ sin 2 r drd S d drd r S d d d r r S d drd d r dv 2 sin Cálculo Vetorial Integral de linha A integral de linha é definida como a integral da componente tangencial do campo vetorial ao longo da curva L Realizandose o produto escalar podese escrever 44 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais L ld A A b a L dl A ld A cos A a b ld Caminho L cos Cálculo Vetorial Integral de linha fechada A integral de linha é definida como a integral de linha fechada quando o caminho L formar uma curva fechada 45 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais L ld A A ld Caminho L cos Cálculo Vetorial Integral de superfície Uma integral de superfície é definida por dentro dos limites de uma superfície S onde é o ângulo entre as linhas do campo vetorial e o vetor normal à área diferencial 46 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais S S dS A A dS cos A S d Superfície S S d A Cálculo Vetorial Integral de superfície fechada Quando a superfície S for fechada englobar um determinado volume a integral de superfície passa a ser uma integral de superfície fechada denotada por Integral de volume A integral de volume de uma grandeza escalar av é em um volume v é definida por 47 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais S dS A v vdv a Cálculo Vetorial Gradiente de um escalar O gradiente de um campo escalar V é um vetor que representa a magnitude e a orientação da máxima taxa de variação espacial de V 48 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais Campo escalar U mostrado em tons de cinza quanto mais escuro mais intenso o valor da grandeza escalar Os vetores vermelhos representam o gradiente de U U Cálculo Vetorial Gradiente de um escalar Em coordenadas cartesianas Em coordenadas cilíndricas Em coordenadas esféricas 49 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais z z V y y V x x V V ˆ ˆ ˆ z z V V V V ˆ ˆ 1 ˆ ˆ sin 1 ˆ 1 ˆ V r V r r r V V Cálculo Vetorial Divergente de um vetor A divergência do campo vetorial em um dado pon to P é o fluxo que sai por unidade de volume à medida que o volume se reduz à zero em torno de P 50 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais A A A A Fluxo que sai de P positivo Fluxo que sai de P negativo Fluxo líquido que sai de P nulo P P P Cálculo Vetorial Divergente de um vetor Em coordenadas cartesianas Em coordenadas cilíndricas Em coordenadas esféricas 51 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais z A y A x A A z y x z A A A A z 1 1 A r A r r r A r A r sin 1 sin sin 1 1 2 2 Cálculo Vetorial Teorema da Divergência O teorema da divergência estabelece que o fluxo to tal de um campo vetorial que sai de uma super fície fechada S é igual à integral de volume da divergência de Matematicamente 52 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais v S A dv dS A A A Cálculo Vetorial Rotacional de um vetor O rotacional do campo vetorial é um vetor girante cuja magnitude é a máxima circulação de por uni dade de área à medida que a área tende a zero e cuja orientação é perpendicular à essa área quando a mesma está orientada de modo a se obter a máxi ma circulação 53 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais A Rotacional em P apontando para fora da tela P Rotacional em P apontando para dentro da tela P Rotacional em P nulo P A Cálculo Vetorial Rotacional de um vetor Em coordenadas cartesianas Em coordenadas cilíndricas Em coordenadas esféricas 54 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais z y A x A y x A z A x z A y A A x y z x y z ˆ ˆ ˆ z A A A z A z A A A z z ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆ sin 1 1 ˆ sin sin 1 r r A r rA r r rA A r r A A r A Cálculo Vetorial Teorema de Stokes O teorema de Stokes estabelece que a circulação de um campo vetorial em torno de um caminho fe chado L é igual à integral de superfície do rotacional de sobre a superfície aberta S limitada por L des de que e sejam contínuos sobre S Matematicamente 55 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais L S A dS ld A A A A A Cálculo Vetorial Laplaciano de um escalar O laplaciano de um campo escalar V é o divergente do gradiente de V Laplaciano em coordenadas cartesianas Laplaciano em coordenadas cilíndricas 56 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais 2 2 2 2 2 2 2 z V y V x V V 2 2 2 2 2 2 1 1 z V V V V Cálculo Vetorial Laplaciano de um escalar Laplaciano em coordenadas esféricas 57 Sistemas de Coordenadas e Operadores Vetoriais 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1 V r V r r V r r r V Laplaciano de um vetor O laplaciano de um vetor é o gradiente do divergen te de subtraído do rotacional do rotacional de Matematicamente A A A 2 A A A