Cálculo da Área com Retângulos e Pontos Amostrais

De fato em vez de usarmos as extremidades esquerda ou direita podemos tomar a altura do iésimo retângulo como o valor de f em qualquer número x no iésimo subintervalo xi1 xi Chamamos os números x x1 x2 xk de pontos amostrais A Figura 13 mostra os retângulos aproximantes quando os pontos amostrais não foram escolhidos como as extremidades Logo uma expressão mais geral para a área A é A limn fx1 Δx fx2 Δx fxn Δx OBSERVAÇÃO Pode ser mostrado que uma definição equivalente de área é a seguinte A é o único número que é menor que todas as somas superiores e maior que todas as somas inferiores Vimos nos Exemplos 1 e 2 por exemplo que a área A ab fx dx está presa entre todas as somas superiores aproximantes Le e todas as somas direitas aproximantes Rp A função nessas exemplos fx x2 é crescente em 0 1 e portanto suas somas inferiores decorrem das extremidades esquerdas e as somas superiores das extremidades direitas Veja as Figuras 8 e 9 Em geral formamos as somas inferiores e superiores escolhendo os pontos amostrais xi de modo que fxi é o mínimo e máximo valor de f no subintervalo iésimo Frequentemente usamos a notação de somatório notação sigma para escrever somas de muitos termos de maneira mais compacta Por exemplo i1n fxi Δx fx1 Δx fx2 Δx fxn Δx Assim as expressões para a área nas Equações 2 3 e 4 podem ser escritas da seguinte forma A limn i1n fxi Δx A limn i1n fxi Δx Também podemos reescrever a Fórmula 1 da seguinte maneira