Estimativas de Área através de Retângulos: Exemplo e Cálculos

Cada retângulo tem largura de frac12 e altura de left frac12 right2 e left frac12 right3 e 1 Se Rn for a soma das áreas dos retângulos aproximados teremos Rn frac12 left left frac12 right2 left frac12 right3 12 13 right 046875 Da Figura 4b vemos que a área A de S é menor que Rn logo A 046875 Em vez de usarmos os retângulos na Figura 4b poderíamos usar os retângulos menores na Figura 5 cujas alturas seguem os valores de f nas extremidades esquerdas dos subintervalos O retângulo mais à esquerda desaparece pois sua altura é 0 A soma das áreas desses retângulos aproximados é La frac14 cdot 0 frac14 left left frac12 right2 left frac12 right3 13 right frac14 cdot frac12 left frac12 right3 frac14 cdot 1 021875 Vemos que a área de S é maior que La e então temos estimativas inferior e superior para A 021875 A 046875 Podemos repetir esse procedimento com um número maior de faixas A Figura 6 mostra o que acontece quando dividimos a região S em oito faixas com a mesma largura Calculando a soma das áreas dos retângulos menores Ls e a soma das áreas dos retângulos maiores Rs obtemos estimativas inferior e superior melhores para A 02734375 A 03984375 Assim uma resposta possível para a questão é que a verdadeira área de S está em algum lugar entre 02734375 e 03984375 Podemos obter melhores estimativas aumentando o número de faixas A tabela na lateral mostra os resultados de cálculos similares com um computador usando n retângulos cujas alturas são encontradas com as extremidades esquerdas La ou com as extremidades direitas Rn Em particular vemos que usando 50 faixas a área está entre 03234 e 03434 Com 1000 faixas conseguimos estreitar a desigualdade ainda mais A está entre 0332835 e 0333835 Uma boa estimativa é obtida fazendose a média aritmética desses números A approx 0333335 Dos valores na tabela parece que Rn aproximase de frac13 à medida que aumentamos n Confirmamos isso no próximo exemplo EXEMPLO 2 Para a região S do Exemplo 1 mostre que a soma das áreas dos retângulos aproximantes superiores tende a frac13 isto é limn o infty Rn frac13