Cálculo da Área Sob Curvas: Método dos Retângulos

51 Áreas e Distâncias Nesta seção vamos descobrir que na tentativa de encontrar a área sob uma curva ou a distância percorrida por um carro encontramos o mesmo tipo especial de limite O Problema da Área Nós começamos tentando resolver o problema da área encontre a área da região S que está sob a curva y fx entre a e b Isso significa que S ilustrada na Figura 1 está limitada pelo gráfico de uma função contínua f onde fx 0 pelas retas verticais x a e x b pelo eixo x Ao tentarmos resolver o problema da área devemos nos perguntar qual é o significado da palavra área Essa questão é fácil de ser respondida para regiões com lados retos Para um retângulo a área é definida como o produto do comprimento e da largura A área de um triângulo é ½ de base vezes a altura A área de um polígono pode ser encontrada dividindoo em triângulos como na Figura 2 e seguir somandose as áreas dos triângulos FIGURA 1 S xy a x b 0 y fx FIGURA 2 A lw A ½bh Não é tão fácil no entanto encontrar a área de uma região com lados curvos Temos uma ideia intuitiva qual é a área de uma região Mas para o problema da área é tomar precisões essa ideia intuitiva dando uma definição exata dela Lembrese de que ao definir uma tangente primeiro aproximamos a inclinação da reta tangente por inclinações de retas secantes e então tomamos o limite dessas aproximações Uma ideia similar será usada aqui para as áreas Em primeiro lugar aproximamos a região S utilizando retângulos e depois tomamos o limite das áreas desses retângulos à medida que aumentamos o número de retângulos Os exemplos a seguir ilustram esse procedimento EXEMPLO 1 Use retângulos para estimar a área sob a parábola y x² de 0 até 1 a região parabólica S ilustrada na Figura 3 SOLUÇÃO Observamos primeiro que a área de S deve estar em algum lugar entre 0 e 1 pois S está contida em um quadrado com lados de comprimento 1 mas certamente podemos fazer melhor que isso Suponha que S seja dividida em quatro faixas S₁ S₂ S₃ e S₄ traçando as retas verticais x ¼ x ½ x ¾ e x 1 como na Figura 4a FIGURA 3 y x² S FIGURA 4 Podemos aproximar cada faixa por um retângulo com base igual à largura da faixa e altura igual ao lado direito da faixa veja a Figura 4b Em outras palavras as outras classes retângulos são os valores da função fx x² nas extremidades diretas dos subintervalos 0 ¼ ¼ ½ ½ ¾ ¾ 1 0 1