Halliday Resnick - Fundamentos de Física - Óptica e Física Moderna - Décima Edição

Halliday Resnick Décima Edição Jearl Walker Fundamentos de Física Óptica e Física Moderna LTC VOLUME QUATRO Halliday Resnick FUNDAMENTOS DE FÍSICA DÉCIMA EDIÇÃO Óptica e Física Moderna abdr Respeite o direito autoral O GEN Grupo Editorial Nacional a maior plataforma editorial no segmento CTP científico técnico e profissional publica nas áreas de saúde ciências exatas jurídicas sociais aplicadas humanas e de concursos além de prover serviços direcionados a educação capacitação médica continuada e preparação para concursos Conheça nosso catálogo composto por mais de cinco mil obras e três mil ebooks em wwwgrupogencombr As editoras que integram o GEN respeitadas no mercado editorial construíram catálogos inigualáveis com obras decisivas na formação acadêmica e no aperfeiçoamento de várias gerações de profissionais e de estudantes de Administração Direito Engenharia Enfermagem Fisioterapia Medicina Odontologia Educação Física e muitas outras ciências tendo se tornado sinônimo de seriedade e respeito Nossa missão é prover o melhor conteúdo científico e distribuílo de maneira flexível e conveniente a preços justos gerando benefícios e servindo a autores docentes livreiros funcionários colaboradores e acionistas Nosso comportamento ético incondicional e nossa responsabilidade social e ambiental são reforçados pela natureza educacional de nossa atividade sem comprometer o crescimento contínuo e a rentabilidade do grupo VOLUME QUATRO Halliday Resnick FUNDAMENTOS DE FÍSICA DÉCIMA EDIÇÃO Óptica e Física Moderna JEARL WALKER CLEVELAND STATE UNIVERSITY Tradução e Revisão Técnica Ronaldo Sérgio de Biasi PhD Professor Emérito do Instituto Militar de Engenharia IME gen LTC Os autores e a editora empenharamse para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro dispondose a possíveis acertos caso inadvertidamente a identificação de algum deles tenha sido omitida Não é responsabilidade da editora nem dos autores a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação Apesar dos melhores esforços dos autores do tradutor do editor e dos revisores é inevitável que surjam erros no texto Assim são bem vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC Livros Técnicos e Científicos Editora pelo email ltcgrupogencombr Traduzido de FUNDAMENTALS OF PHYSICS VOLUME 2 TENTH EDITION Copyright 2014 2011 2008 2005 John Wiley Sons Inc All Rights Reserved This translation published under license with the original publisher John Wiley Sons Inc ISBN 9781118230732 Volume 2 Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright 2016 by LTC Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda Uma editora integrante do GEN Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na internet ou outros sem permissão expressa da editora Travessa do Ouvidor 11 Rio de Janeiro RJ CEP 20040040 Tels 2135430770 1150800770 Fax 2135430896 ltcgrupogencombr wwwltceditoracombr Capa MarCom GEN Produção digital Geethik CIPBRASIL CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS RJ H691f 10 ed v 4 Halliday David 19162010 Fundamentos de física volume 4 óptica e física moderna David Halliday Robert Resnick Jearl Walker tradução Ronaldo Sérgio de Biasi 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 il 28 cm Tradução de Fundamentals of physics 10th ed Apêndice Inclui bibliografia e índice ISBN 9788521632108 1 Óptica 2 Física I Resnick Robert 19232014 II Walker Jearl 1945 III Biasi Ronaldo Sérgio de IV Título 1629724 CDD 530 CDU 53 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 SUMÁRIO GERAL VOLUME 1 Medição Movimento Retilíneo Vetores Movimento em Duas e Três Dimensões Força e Movimento I Força e Movimento II Energia Cinética e Trabalho Energia Potencial e Conservação da Energia Centro de Massa e Momento Linear Rotação Rolagem Torque e Momento Angular VOLUME 2 Equilíbrio e Elasticidade Gravitação Fluidos Oscilações Ondas I Ondas II Temperatura Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica A Teoria Cinética dos Gases Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica VOLUME 3 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 A Lei de Coulomb Campos Elétricos Lei de Gauss Potencial Elétrico Capacitância Corrente e Resistência Circuitos Campos Magnéticos Campos Magnéticos Produzidos por Correntes Indução e Indutância Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada Equações de Maxwell Magnetismo da Matéria VOLUME 4 Ondas Eletromagnéticas Imagens Interferência Difração Relatividade Fótons e Ondas de Matéria Mais Ondas de Matéria Tudo sobre os Átomos Condução de Eletricidade nos Sólidos Física Nuclear Energia Nuclear Quarks Léptons e o Big Bang 331 332 333 334 335 336 337 341 342 343 SUMÁRIO 33 Ondas Eletromagnéticas ONDAS ELETROMAGNÉTICAS O que É Física O ArcoÍris de Maxwell Descrição Qualitativa de uma Onda Eletromagnética Descrição Matemática de uma Onda Eletromagnética TRANSPORTE DE ENERGIA E O VETOR DE POYNTING Transporte de Energia e o Vetor de Poynting PRESSÃO DA RADIAÇÃO Pressão da Radiação POLARIZAÇÃO Polarização REFLEXÃO E REFRAÇÃO Reflexão e Refração REFLEXÃO INTERNA TOTAL Reflexão Interna Total POLARIZAÇÃO POR REFLEXÃO Polarização por Reflexão REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 34 Imagens IMAGENS E ESPELHOS PLANOS O que É Física Dois Tipos de Imagens Espelhos Planos ESPELHOS ESFÉRICOS Espelhos Esféricos Imagens Produzidas por Espelhos Esféricos REFRAÇÃO EM INTERFACES ESFÉRICAS 344 345 346 351 352 353 354 355 361 362 Superfícies Refratoras Esféricas LENTES DELGADAS Lentes Delgadas INSTRUMENTOS ÓTICOS Instrumentos Óticos TRÊS DEMONSTRAÇÕES REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 35 Interferência A LUZ COMO UMA ONDA O que É Física A Luz Como Uma Onda O EXPERIMENTO DE YOUNG Difração O Experimento de Young INTENSIDADE DAS FRANJAS DE INTERFERÊNCIA Coerência Intensidade das Franjas de Interferência INTERFERÊNCIA EM FILMES FINOS Interferência em Filmes Finos O INTERFERÔMETRO DE MICHELSON O Interferômetro de Michelson REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 36 Difração DIFRAÇÃO POR UMA FENDA O que É Física Difração e a Teoria Ondulatória da Luz Difração por uma Fenda Posições dos Mínimos INTENSIDADE DA LUZ DIFRATADA POR UMA FENDA Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda Método Qualitativo Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda Método Quantitativo 363 364 365 366 367 371 372 373 374 375 376 DIFRAÇÃO POR UMA ABERTURA CIRCULAR Difração por uma Abertura Circular DIFRAÇÃO POR DUAS FENDAS Difração por Duas Fendas REDES DE DIFRAÇÃO Redes de Difração DISPERSÃO E RESOLUÇÃO DAS REDES DE DIFRAÇÃO Dispersão e Resolução de uma Rede de Difração DIFRAÇÃO DE RAIOS X Difração de Raios X REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 37 Relatividade SIMULTANEIDADE E DILATAÇÃO DO TEMPO O que É Física Os Postulados da Relatividade Registro de um Evento A Relatividade da Simultaneidade A Relatividade do Tempo A RELATIVIDADE DO COMPRIMENTO A Relatividade do Comprimento A TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ A Transformação de Lorentz Algumas Consequências das Equações de Lorentz A RELATIVIDADE DAS VELOCIDADES A Relatividade das Velocidades O EFEITO DOPPLER PARA A LUZ O Efeito Doppler para a Luz MOMENTO E ENERGIA Uma Nova Interpretação do Momento Uma Nova Interpretação da Energia REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS 381 382 383 384 385 386 387 388 389 391 392 393 PROBLEMAS 38 Fótons e Ondas de Matéria FÓTON O QUANTUM DA LUZ O que É Física Fóton O Quantum da Luz O EFEITO FOTELÉTRICO O Efeito Fotelétrico FÓTONS MOMENTO ESPALHAMENTO DE COMPTON INTERFERÊNCIA DA LUZ Os Fótons Possuem Momento A Luz como uma Onda de Probabilidade O NASCIMENTO DA FÍSICA QUÂNTICA O Nascimento da Física Quântica ELÉTRONS E ONDAS DE MATÉRIA Elétrons e Ondas de Matéria A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER A Equação de Schrödinger O PRINCÍPIO DE INDETERMINAÇÃO DE HEISENBERG O Princípio de Indeterminação de Heisenberg REFLEXÃO EM UM DEGRAU DE POTENCIAL Reflexão em um Degrau de Potencial O EFEITO TÚNEL O Efeito Túnel REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 39 Mais Ondas de Matéria ENERGIA DE UM ELÉTRON CONFINADO O que É Física Ondas em Cordas e Ondas de Matéria Energia de um Elétron Confinado FUNÇÕES DE ONDA DE UM ELÉTRON CONFINADO Funções de Onda de um Elétron Confinado UM ELÉTRON EM UM POÇO FINITO 394 395 401 402 403 404 405 406 407 Um Elétron em um Poço Finito POÇOS DE POTENCIAL BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS Outros Poços de Potencial para Elétrons Poços de Potencial Bidimensionais e Tridimensionais O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO O Átomo de Hidrogênio É um Poço de Potencial para o Elétron O Modelo de Bohr do Átomo de Hidrogênio Um Golpe de Sorte A Equação de Schrödinger e o Átomo de Hidrogênio REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 40 Tudo sobre os Átomos PROPRIEDADES DOS ÁTOMOS O que É Física Algumas Propriedades dos Átomos Momento Angular e Momentos Magnéticos O EXPERIMENTO DE STERNGERLACH O Experimento de SternGerlach RESSONÂNCIA MAGNÉTICA Ressonância Magnética O PRINCÍPIO DE EXCLUSÃO DE PAULI E VÁRIOS ELÉTRONS NO MESMO POÇO DE POTENCIAL O Princípio de Exclusão de Pauli Poços de Potencial Retangulares com Mais de um Elétron CONSTRUÇÃO DA TABELA PERIÓDICA Construção da Tabela Periódica OS RAIOS X E A ORDEM DOS ELEMENTOS Os Raios X e a Ordem dos Elementos O LASER A Luz do Laser Como Funcionam os Lasers REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 411 412 413 421 422 423 424 425 426 427 41 Condução de Eletricidade nos Sólidos PROPRIEDADES ELÉTRICAS DOS METAIS O que É Física Propriedades Elétricas dos Sólidos Níveis de Energia em um Sólido Cristalino Isolantes Metais PROPRIEDADES ELÉTRICAS DOS SEMICONDUTORES Semicondutores Semicondutores Dopados A JUNÇÃO pn E O TRANSISTOR A Junção pn O Diodo Retificador O Diodo Emissor de Luz LED O Transistor REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 42 Física Nuclear A DESCOBERTA DO NÚCLEO O que É Física A Descoberta do Núcleo PROPRIEDADES DOS NÚCLEOS Algumas Propriedades dos Núcleos DECAIMENTO RADIOATIVO Decaimento Radioativo DECAIMENTO ALFA Decaimento Alfa DECAIMENTO BETA Decaimento Beta DATAÇÃO RADIOATIVA Datação Radioativa MEDIDAS DA DOSE DE RADIAÇÃO Medidas da Dose de Radiação 428 431 432 433 434 435 436 441 442 443 MODELOS DO NÚCLEO Modelos do Núcleo REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 43 Energia Nuclear FISSÃO NUCLEAR O que É Física Fissão Nuclear O Processo Básico Um Modelo Para a Fissão Nuclear O REATOR NUCLEAR O Reator Nuclear UM REATOR NUCLEAR NATURAL Um Reator Nuclear Natural FUSÃO TERMONUCLEAR O PROCESSO BÁSICO Fusão Termonuclear O Processo Básico A FUSÃO TERMONUCLEAR NO SOL E EM OUTRAS ESTRELAS A Fusão Termonuclear no Sol e em Outras Estrelas A FUSÃO NUCLEAR CONTROLADA A Fusão Nuclear Controlada REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 44 Quarks Léptons e o Big Bang PROPRIEDADES GERAIS DAS PARTÍCULAS ELEMENTARES O que É Física Partículas Partículas e Mais Partículas Interlúdio LÉPTONS HÁDRONS E ESTRANHEZA Os Léptons Os Hádrons Mais Uma Lei de Conservação O Caminho Óctuplo QUARKS E PARTÍCULAS MENSAGEIRAS O Modelo dos Quarks 444 A B C D E F G As Interações Básicas e as Partículas Mensageiras COSMOLOGIA Uma Pausa para Refletir O Universo em Expansão A Radiação Cósmica de Fundo A Matéria Escura O Big Bang Conclusão REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS APÊNDICES O Sistema Internacional de Unidades SI Algumas Constantes Fundamentais da Física Alguns Dados Astronômicos Fatores de Conversão Fórmulas Matemáticas Propriedades dos Elementos Tabela Periódica dos Elementos RESPOSTAS dos Testes e das Perguntas e Problemas Ímpares PREFÁCIO POR QUE ESCREVI ESTE LIVRO Diversão com um grande desafio É assim que venho encarando a física desde o dia em que Sharon uma das alunas do curso que eu estava ministrando como aluno de doutorado me perguntou de repente O que isso tem a ver com minha vida Respondi prontamente Sharon isto é física Tem tudo a ver com a sua vida A moça me pediu um exemplo Pensei muito mas não consegui encontrar nenhum Nessa noite criei O Circo Voador da Física para Sharon mas também para mim porque percebi que o problema de Sharon também era meu Eu tinha passado seis anos estudando em dezenas de livros de física escritos com a melhor das intenções mas alguma coisa estava faltando A física é o assunto mais interessante do mundo porque descreve o modo como o mundo funciona mas não havia nos livros nenhuma ligação com o mundo real A diversão estava faltando Procurei incluir muita física do mundo real neste livro ligandoo à nova edição de O Circo Voador da Física LTC 2012 Boa parte dos assuntos vem das minhas aulas onde posso julgar pelas expressões e comentários dos alunos quais são os assuntos e as apresentações que funcionam As anotações que fiz a respeito de meus sucessos e fracassos ajudaram a estabelecer as bases para este livro Minha mensagem aqui é a mesma que dei para todos os estudantes que encontrei desde o dia em que Sharon fez aquele comentário Sim você pode usar os conceitos básicos da física para chegar a conclusões válidas a respeito do mundo real e é nesse entendimento do mundo real que está a diversão Tive muitos objetivos ao escrever este livro mas o principal foi proporcionar aos professores um instrumento por meio do qual eles possam ensinar os alunos a estudar assuntos científicos identificar conceitos fundamentais pensar a respeito de questões científicas e resolver problemas quantitativos Esse processo não é fácil nem para os alunos nem para os professores Na verdade o curso associado a este livro pode ser um dos mais difíceis do currículo Entretanto pode ser também um dos mais interessantes pois revela os mecanismos fundamentais do mundo responsáveis por todas as aplicações científicas e de engenharia Muitos usuários da nona edição professores e alunos enviaram comentários e sugestões para aperfeiçoar o livro Esses melhoramentos foram incorporados à exposição e aos problemas desta edição A editora John Wiley Sons e eu encaramos este livro como um projeto permanente e gostaríamos de contar com uma maior participação dos leitores Sintase à vontade para enviar sugestões correções e comentários positivos ou negativos para John Wiley Sons1 ou Jearl Walker endereço postal Physics Department Cleveland State University Cleveland OH 44115 USA endereço do meu site wwwflyingcircusofphysicscom Talvez não seja possível responder a todas as sugestões mas lemos e consideramos cada uma delas O QUE HÁ DE NOVO NESTA EDIÇÃO Módulos e Objetivos do Aprendizado O que eu deveria ter aprendido nesta seção Os alunos vêm me fazendo essa pergunta há décadas independentemente de serem bons ou maus alunos O problema é que mesmo os alunos mais atentos podem não ter certeza de que assimilaram todos os pontos importantes de uma seção do livro Eu me sentia da mesma forma quando estava usando a primeira edição de Halliday e Resnick no primeiro ano da faculdade Nesta edição para minimizar o problema dividi os capítulos em módulos conceituais dedicados a temas básicos e comecei cada módulo com uma lista de objetivos do aprendizado desse módulo A lista é uma declaração explícita dos conhecimentos que devem ser adquiridos através da leitura do módulo e é seguida por um breve resumo das ideiaschave que também devem ser assimiladas Para você ter uma noção de como o sistema funciona observe o primeiro módulo do Capítulo 16 em que o estudante se vê diante de um grande número de conceitos e definições Em vez de deixar por conta do aluno a tarefa de identificar e dissecar essas ideias tomei a iniciativa de fornecer uma lista que funciona como a lista de verificação consultada pelos pilotos de avião antes de cada decolagem Capítulos Reformulados Como meus alunos continuavam a ter dificuldades em alguns capítulos importantes e em certos tópicos de outros capítulos reescrevi boa parte do texto Assim por exemplo introduzi mudanças profundas nos capítulos a respeito da lei de Gauss e do potencial elétrico que a maioria dos estudantes considerava de difícil compreensão As apresentações agora são mais enxutas e têm uma ligação mais direta com as ideiaschave Nos capítulos que tratam da Mecânica Quântica expandi o estudo da equação de Schrödinger para incluir a reflexão de ondas de matéria por um degrau de potencial Atendendo a sugestões de vários professores separei a discussão do átomo de Bohr da solução de Schrödinger do átomo de hidrogênio para que o professor possa omitir o relato histórico do trabalho de Bohr se assim desejar sem prejudicar a compreensão do assunto Incluí também um novo módulo a respeito da radiação de corpo negro de Planck Novos Exemplos Perguntas e Problemas Dezesseis novos exemplos foram introduzidos nos capítulos para facilitar a compreensão de alguns tópicos considerados difíceis pelos alunos Além disso cerca de 250 problemas e 50 perguntas foram acrescentados às listas de exercícios do final dos capítulos Alguns dos problemas foram recuperados de edições anteriores do livro a pedido de vários professores 1Sugestões correções e comentários positivos ou negativos em relação à edição em língua portuguesa publicada pela LTC Editora devem ser enviados para ltcgrupogencombr AGRADECIMENTOS Muitas pessoas contribuíram para este livro SenBen Liao do Lawrence Livermore National Laboratory James Whitenton da Southern Polytechnic State University e Jerry Shi do Pasadena City College foram responsáveis pela tarefa hercúlea de resolver todos os problemas do livro Na John Wiley o projeto deste livro recebeu o apoio de Stuart Johnson Geraldine Osnato e Aly Rentrop os editores que o supervisionaram do início ao fim Agradecemos a Elizabeth Swain a editora de produção por juntar as peças durante o complexo processo de produção Agradecemos também a Maddy Lesure pela diagramação do texto e pela direção de arte da capa a Lee Goldstein pela diagramação da capa a Helen Walden pelo copidesque e a Lilian Brady pela revisão Jennifer Atkins foi brilhante na busca de fotografias inusitadas e interessantes Tanto a editora John Wiley Sons Inc como Jearl Walker gostariam de agradecer às seguintes pessoas por seus comentários e ideias a respeito das recentes edições Jonathan Abramson Portland State University Omar Adawi Parkland College Edward Adelson The Ohio State University Steven R Baker Naval Postgraduate School George Caplan Wellesley College Richard Kass The Ohio State University MR KhoshbineKhoshnazar Research Institution for Curriculum Development Educational Innovations Teerã Craig Kletzing University of Iowa Stuart Loucks American River College Laurence Lurio Northern Illinois University Ponn Maheswaranathan Winthrop University Joe McCullough Cabrillo College Carl E Mungan U S Naval Academy Don N Page University of Alberta Elie Riachi Fort Scott Community College Andrew G Rinzler University of Florida Dubravka Rupnik Louisiana State University Robert Schabinger Rutgers University Ruth Schwartz Milwaukee School of Engineering Carol Strong University of Alabama at Huntsville Nora Thornber Raritan Valley Community College Frank Wang LaGuardia Community College Graham W Wilson University of Kansas Roland Winkler Northern Illinois University William Zacharias Cleveland State University Ulrich Zurcher Cleveland State University Finalmente nossos revisores externos realizaram um trabalho excepcional e expressamos a cada um deles nossos agradecimentos Maris A Abolins Michigan State University Edward Adelson Ohio State University Nural Akchurin Texas Tech Yildirim Aktas University of North CarolinaCharlotte Barbara Andereck Ohio Wesleyan University Tetyana Antimirova Ryerson University Mark Arnett Kirkwood Community College Arun Bansil Northeastern University Richard Barber Santa Clara University Neil Basecu Westchester Community College Anand Batra Howard University Kenneth Bolland The Ohio State University Richard Bone Florida International University Michael E Browne University of Idaho Timothy J Burns Leeward Community College Joseph Buschi Manhattan College Philip A Casabella Rensselaer Polytechnic Institute Randall Caton Christopher Newport College Roger Clapp University of South Florida W R Conkie Queens University Renate Crawford University of MassachusettsDartmouth Mike Crivello San Diego State University Robert N Davie Jr St Petersburg Junior College Cheryl K Dellai Glendale Community College Eric R Dietz California State University at Chico N John DiNardo Drexel University Eugene Dunnam University of Florida Robert Endorf University of Cincinnati F Paul Esposito University of Cincinnati Jerry Finkelstein San Jose State University Robert H Good California State UniversityHayward Michael Gorman University of Houston Benjamin Grinstein University of California San Diego John B Gruber San Jose State University Ann Hanks American River College Randy Harris University of CaliforniaDavis Samuel Harris Purdue University Harold B Hart Western Illinois University Rebecca Hartzler Seattle Central Community College John Hubisz North Carolina State University Joey Huston Michigan State University David Ingram Ohio University Shawn Jackson University of Tulsa Hector Jimenez University of Puerto Rico Sudhakar B Joshi York University Leonard M Kahn University of Rhode Island Sudipa Kirtley RoseHulman Institute Leonard Kleinman University of Texas at Austin Craig Kletzing University of Iowa Peter F Koehler University of Pittsburgh Arthur Z Kovacs Rochester Institute of Technology Kenneth Krane Oregon State University Hadley Lawler Vanderbilt University Priscilla Laws Dickinson College Edbertho Leal Polytechnic University of Puerto Rico Vern Lindberg Rochester Institute of Technology Peter Loly University of Manitoba James MacLaren Tulane University Andreas Mandelis University of Toronto Robert R Marchini Memphis State University Andrea Markelz University at Buffalo SUNY Paul Marquard Caspar College David Marx Illinois State University Dan Mazilu Washington and Lee University James H McGuire Tulane University David M McKinstry Eastern Washington University Jordon Morelli Queens University Eugene Mosca United States Naval Academy Eric R Murray Georgia Institute of Technology School of Physics James Napolitano Rensselaer Polytechnic Institute Blaine Norum University of Virginia Michael OShea Kansas State University Patrick Papin San Diego State University Kiumars Parvin San Jose State University Robert Pelcovits Brown University Oren P Quist South Dakota State University Joe Redish University of Maryland Timothy M Ritter University of North Carolina at Pembroke Dan Styer Oberlin College Frank Wang LaGuardia Community College Robert Webb Texas AM University Suzanne Willis Northern Illinois University Shannon Willoughby Montana State University FUNDAMENTOS DE FÍSICA DÉCIMA EDIÇÃO Óptica e Física Moderna Material Suplementar Este livro conta com os seguintes materiais suplementares Aulas em PowerPoint restrito a docentes Ensaios de Jearl Walker em pdf acesso livre Ilustrações da obra em formato de apresentação restrito a docentes Manuais das Calculadoras Gráficas TI86 TI89 em pdf acesso livre Respostas das perguntas em pdf restrito a docentes Respostas dos problemas em pdf restrito a docentes Simulações acesso livre Soluções dos Problemas Manual em pdf restrito a docentes Testes Conceituais restrito a docentes Testes em Múltipla Escolha restrito a docentes Testes em PowerPoint restrito a docentes O acesso ao material suplementar é gratuito bastando que o leitor se cadastre em httpgen iogrupogencombr GENIO GEN Informação Online é o repositório de materiais suplementares e de serviços relacionados com livros publicados pelo GEN Grupo Editorial Nacional maior conglomerado brasileiro de editoras do ramo científicotécnicoprofissional composto por Guanabara Koogan Santos Roca AC Farmacêutica Forense Método Atlas LTC EPU e Forense Universitária Os materiais suplementares ficam disponíveis para acesso durante a vigência das edições atuais dos livros a que eles correspondem CAPÍTULO 33 Ondas Eletromagnéticas 331 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3301 Indicar no espectro eletromagnético o comprimento de onda relativo maior ou menor das ondas de rádio AM rádio FM televisão luz infravermelha luz visível luz ultravioleta raios X e raios gama 3302 Descrever a transmissão de ondas eletromagnéticas por um circuito LC e uma antena 3303 No caso de um transmissor com um circuito oscilador LC conhecer a relação entre a indutância L a capacitância C e a frequência angular ω do circuito e a frequência f e comprimento de onda λ da onda emitida 3304 Conhecer a velocidade de uma onda eletromagnética no vácuo e aproximadamente no ar 3305 Saber que as ondas eletromagnéticas não precisam de um meio material para se propagar e portanto podem se propagar no vácuo 3306 Conhecer a relação entre a velocidade de uma onda eletromagnética a distância em linha reta percorrida pela onda e o tempo necessário para percorrer essa distância 3307 Conhecer a relação entre a frequência f o comprimento de onda λ o período T a frequência angular ω e a velocidade c de uma onda eletromagnética 3308 Saber que uma onda eletromagnética é formada por uma componente elétrica e uma componente magnética que são a perpendiculares à direção de propagação b mutuamente perpendiculares e c ondas senoidais com a mesma frequência e a mesma fase 3309 Conhecer as equações senoidais das componentes elétrica e magnética de uma onda eletromagnética em função da posição e do tempo 3310 Conhecer a relação entre a velocidade da luz c a constante elétrica ε0 e a constante magnética μ0 3311 Conhecer a relação entre o módulo do campo elétrico E o módulo do campo magnético B e a velocidade da luz c de uma onda eletromagnética em um dado instante e em uma dada posição 3312 Demonstrar a relação entre a velocidade da luz c e a razão entre a amplitude E do campo elétrico e a amplitude B do campo magnético IdeiasChave Uma onda eletromagnética é formada por campos elétricos e magnéticos que variam com o tempo As várias frequências possíveis das ondas eletromagnéticas formam um espectro uma pequena parte do qual é a luz visível Uma onda eletromagnética que se propaga na direção do eixo x possui um campo elétrico e um campo magnético cujos módulos dependem de x e t E Em senkx ωt e B Bm senkx ωt em que Em e Bm são as amplitudes de e de O campo elétrico induz o campo magnético e viceversa A velocidade de qualquer onda eletromagnética no vácuo é c que pode ser escrita como em que E e B são os módulos dos campos em um instante qualquer O que É Física A era da informação em que vivemos se baseia quase totalmente na física das ondas eletromagnéticas Queiramos ou não estamos globalmente conectados pela televisão telefonia e internet Além disso queiramos ou não estamos imersos em ondas eletromagnéticas por causa das transmissões de rádio televisão e telefone celular Há 40 anos nem os engenheiros mais visionários imaginavam que essa rede global de processadores de informação pudesse ser implantada em tão curto espaço de tempo O desafio para os engenheiros de hoje é tentar prever como serão as interconexões globais daqui a 40 anos O ponto de partida para enfrentar esse desafio é compreender a física básica das ondas eletromagnéticas que existem em tantas formas diferentes que receberam o nome poético de arcoíris de Maxwell O ArcoÍris de Maxwell A grande contribuição de James Clerk Maxwell veja o Capítulo 32 foi mostrar que um raio luminoso nada mais é que a propagação no espaço de campos elétricos e magnéticos ou seja é uma onda eletromagnética e que portanto a ótica o estudo da luz visível é um ramo do eletromagnetismo Neste capítulo passamos do geral para o particular concluímos a discussão dos fenômenos elétricos e magnéticos e estabelecemos os fundamentos para o estudo da ótica Na época de Maxwell meados do século XIX a luz visível e os raios infravermelho e ultravioleta eram as únicas ondas eletromagnéticas conhecidas Inspirado pelas previsões teóricas de Maxwell Heinrich Hertz descobriu o que hoje chamamos de ondas de rádio e observou que essas ondas se propagam à mesma velocidade que a luz visível Como mostra a Fig 331 hoje conhecemos um largo espectro de ondas eletromagnéticas o arcoíris de Maxwell Estamos imersos em ondas eletromagnéticas pertencentes a esse espectro O Sol cujas radiações definem o meio ambiente no qual nós como espécie evoluímos e nos adaptamos é a fonte predominante Nossos corpos são também atravessados por sinais de rádio televisão e telefonia celular Microondas de aparelhos de radar podem chegar até nós Temos também as ondas eletromagnéticas provenientes das lâmpadas dos motores quentes dos automóveis das máquinas de raios X dos relâmpagos e dos elementos radioativos existentes no solo Além disso somos banhados pelas radiações das estrelas e de outros corpos de nossa galáxia e de outras galáxias As ondas eletromagnéticas também viajam no sentido oposto Os sinais de televisão produzidos na Terra desde 1950 já levaram notícias a nosso respeito juntamente com episódios de I Love Lucy embora com intensidade muito baixa a qualquer civilização tecnicamente sofisticada que porventura habite um planeta em órbita de uma das 400 estrelas mais próximas da Terra Na escala de comprimentos de onda da Fig 331 e na escala de frequências correspondente cada marca representa uma variação do comprimento de onda e da frequência de 10 vezes As extremidades da escala estão em aberto o espectro eletromagnético não tem limites definidos Algumas regiões do espectro eletromagnético da Fig 331 são identificadas por nomes familiares como raios X e microondas Esses nomes indicam intervalos de comprimentos de onda não muito bem definidos dentro dos quais são usados os mesmos tipos de fontes e detectores de radiação Outras regiões da Fig 331 como as indicadas como canais de TV e de rádio AM representam bandas específicas definidas legalmente para fins comerciais ou outros propósitos Não existem lacunas no espectro eletromagnético além disso todas as ondas eletromagnéticas não importa onde elas se situem no espectro se propagam no espaço livre vácuo à mesma velocidade c Figura 331 O espectro eletromagnético A região visível do espectro é naturalmente de particular interesse para nós A Fig 332 mostra a sensibilidade relativa do olho humano a radiações de vários comprimentos de onda O centro da região visível corresponde aproximadamente a 555 nm uma luz com esse comprimento de onda produz a sensação de verdeclaro Os limites do espectro visível não são bem definidos já que a curva de sensibilidade do olho tende assintoticamente para a linha de sensibilidade zero tanto para grandes como para pequenos comprimentos de onda Se tomarmos arbitrariamente como limites os comprimentos de onda para os quais a sensibilidade do olho é 1 do valor máximo esses limites serão aproximadamente 430 e 690 nm entretanto o olho pode detectar radiações fora desses limites se essas radiações forem suficientemente intensas Figura 332 Sensibilidade relativa do olho humano a ondas eletromagnéticas de diferentes comprimentos de onda A parte do espectro eletromagnético à qual o olho é sensível é chamada de luz visível Descrição Qualitativa de uma Onda Eletromagnética Algumas ondas eletromagnéticas como os raios X os raios gama e a luz visível são produzidas por fontes de dimensões atômicas ou nucleares governadas pela física quântica Vamos agora discutir como é gerado outro tipo de onda eletromagnética Para simplificar a discussão vamos nos restringir à região do espectro comprimento de onda λ 1 m na qual a fonte de radiação as ondas emitidas é macroscópica mas de dimensões relativamente pequenas A Fig 333 mostra de forma esquemática uma fonte desse tipo O componente principal é um oscilador LC que estabelece uma frequência angular As cargas e correntes do circuito variam senoidalmente com essa frequência como mostra a Fig 311 Uma fonte externa um gerador de CA por exemplo fornece a energia necessária para compensar não só as perdas térmicas mas também a energia extraída pela onda eletromagnética O oscilador LC da Fig 333 está acoplado por meio de um transformador e de uma linha de transmissão a uma antena que consiste essencialmente em dois condutores retilíneos dispostos como na figura Por meio do acoplamento a corrente senoidal do oscilador produz correntes senoidais com a frequência angular ω do oscilador LC nos elementos da antena Como essas correntes fazem com que as cargas nos elementos da antena se aproximem e se afastem periodicamente a antena pode ser vista como um dipolo elétrico cujo momento dipolar elétrico varia senoidalmente em módulo e sentido ao longo do eixo da antena Como o módulo e o sentido do momento dipolar variam com o tempo o módulo e o sentido do campo elétrico produzido pelo dipolo também variam Além disso como a corrente elétrica varia com o tempo o módulo e o sentido do campo magnético produzido pela corrente variam com o tempo As variações dos campos elétrico e magnético não acontecem instantaneamente em toda parte mas se afastam da antena à velocidade c da luz Os campos variáveis formam uma onda eletromagnética que se propaga com velocidade c A frequência angular da onda é ω a mesma do oscilador LC Figura 333 Sistema usado para gerar uma onda eletromagnética na região de ondas curtas de rádio do espectro eletromagnético um oscilador LC produz uma corrente senoidal na antena que gera a onda P é um ponto distante no qual um detector pode indicar a presença da onda 1 2 3 4 Figura 334 ah Variação do campo elétrico e do campo magnético no ponto distante P da Fig 333 quando um ciclo da onda eletromagnética passa pelo ponto Nesta visão a onda está se propagando para fora do papel perpendicularmente ao plano do desenho O módulo e o sentido dos dois campos variam periodicamente Note que o campo elétrico e o campo magnético são mutuamente perpendiculares e perpendiculares à direção de propagação da onda Onda Eletromagnética A Fig 334 mostra de que forma o campo elétrico e o campo magnético variam com o tempo quando a onda passa por um ponto distante P da Fig 333 em todas as partes da Fig 334 a onda está se propagando para fora do papel Escolhemos um ponto distante para que a curvatura das ondas representadas na Fig 333 fosse suficientemente pequena para ser desprezada Quando isso acontece dizemos que a onda é uma onda plana e a discussão do problema se torna muito mais simples Várias propriedades importantes das ondas eletromagnéticas podem ser observadas na Fig 334 elas são sempre as mesmas independentemente da forma como as ondas foram criadas Os campos e são perpendiculares à direção de propagação da onda Como vimos no Capítulo 16 isso significa que a onda é uma onda transversal O campo elétrico é perpendicular ao campo magnético O produto vetorial aponta no sentido de propagação da onda Os campos variam senoidalmente como as ondas transversais discutidas no Capítulo 16 Além disso variam com a mesma frequência e estão em fase As propriedades anteriores são compatíveis com uma onda eletromagnética que se propaga em direção a P no sentido positivo do eixo x na qual o campo elétrico da Fig 334 oscila paralelamente ao eixo y e o campo magnético oscila paralelamente ao eixo z se estivermos usando é claro um sistema de coordenadas dextrogiro Nesse caso podemos descrever os campos elétrico e magnético por funções senoidais da posição x ao longo do percurso da onda e do tempo t em que Em e Bm são as amplitudes dos campos e como no Capítulo 16 ω e k são a frequência angular e o número de onda respectivamente Observe que não só os dois campos constituem uma onda eletromagnética mas cada campo isoladamente constitui uma onda A componente elétrica da onda eletromagnética é descrita pela Eq 331 e a componente magnética é descrita pela Eq 332 Como vamos ver daqui a pouco as duas componentes não podem existir separadamente Velocidade da Onda De acordo com a Eq 1613 a velocidade de propagação de qualquer onda progressiva é dada por v ωk No caso especial das ondas eletromagnéticas usamos o símbolo c e não v para representar essa velocidade Na próxima seção vamos ver que o valor de c é dado por que é aproximadamente igual a 30 108 ms Em outras palavras Todas as ondas eletromagnéticas incluindo a luz visível se propagam no vácuo à mesma velocidade c Vamos ver também que a velocidade c e as amplitudes do campo elétrico e do campo magnético estão relacionadas pela equação Dividindo a Eq 331 pela Eq 332 e levando em conta a Eq 334 descobrimos que os módulos dos campos em qualquer instante e em qualquer ponto do espaço estão relacionados pela equação Raios e Frentes de Onda Como mostra a Fig 335a uma onda eletromagnética pode ser representada por um raio uma reta orientada que mostra a direção de propagação da onda por frentes de onda superfícies imaginárias nas quais o campo elétrico tem o mesmo módulo ou das duas formas As duas frentes de onda que aparecem na Fig 335a estão separadas por um comprimento de onda λ 2πk Ondas que se propagam aproximadamente na mesma direção formam um feixe como o feixe de um laser ou de uma lanterna que também pode ser representado por um raio Desenho da Onda Podemos também representar a onda como na Fig 335b que mostra os vetores campo elétrico e campo magnético em um instantâneo da onda tomado em certo momento As curvas que passam pelas extremidades dos vetores representam as oscilações senoidais dadas pelas Eqs 331 e 332 as componentes da onda e estão em fase são mutuamente perpendiculares e são perpendiculares à direção de propagação É preciso tomar cuidado ao interpretar a Fig 335b Os desenhos semelhantes para uma corda esticada que discutimos no Capítulo 16 representavam os deslocamentos para cima e para baixo de partes da corda com a passagem da onda havia algo realmente em movimento A Fig 335b é mais abstrata No instante indicado os campos elétrico e magnético possuem certo módulo e certo sentido mas são sempre perpendiculares ao eixo x em cada ponto do eixo x Como estamos representando essas grandezas vetoriais com setas devemos traçar duas setas para cada ponto todas apontando para longe do eixo x como espinhos de uma roseira Entretanto as setas representam apenas os valores do campo elétrico e magnético em pontos do eixo x nem as setas nem as curvas senoidais que unem as extremidades dos vetores representam qualquer tipo de movimento nem as setas ligam pontos do eixo x a pontos fora do eixo Realimentação Desenhos como os da Fig 335 ajudam a visualizar o que é na verdade uma situação muito complexa Considere em primeiro lugar o campo magnético Como está variando senoidalmente o campo induz de acordo com a lei de indução de Faraday um campo elétrico perpendicular que também varia senoidalmente Entretanto como o campo elétrico está variando senoidalmente ele induz de acordo com a lei de indução de Maxwell um campo magnético perpendicular que também varia senoidalmente e assim por diante Os dois campos criam continuamente um ao outro por meio da indução e as variações senoidais dos campos se propagam como uma onda a onda eletromagnética Se esse fenômeno espantoso não existisse não poderíamos enxergar na verdade como dependemos das ondas eletromagnéticas do Sol para manter a Terra aquecida sem esse fenômeno não poderíamos existir Figura 335 a Uma onda eletromagnética representada por um raio e duas frentes de onda as frentes de onda estão separadas por um comprimento de onda λ b A mesma onda representada por um instantâneo do campo elétrico e do campo magnético em vários pontos do eixo x pelos quais a onda passa com velocidade c No ponto P os campos variam com o tempo da forma mostrada da Fig 33 4 A componente elétrica da onda é constituída apenas por campos elétricos a componente magnética é constituída apenas por campos magnéticos O retângulo tracejado no ponto P aparece também na Fig 33 6 Uma Onda Curiosa As ondas que discutimos nos Capítulos 16 e 17 necessitam de um meio um material qualquer para se propagar Falamos de ondas que se propagavam em uma corda no interior da Terra e no ar As ondas eletromagnéticas por outro lado não necessitam de um meio para se propagar É verdade que podem existir no interior de um material a luz por exemplo se propaga no ar e no vidro mas também podem se propagar perfeitamente no vácuo do espaço que nos separa das estrelas Quando a teoria da relatividade restrita foi finalmente aceita pelos cientistas muito tempo depois de ter sido proposta por Einstein em 1905 a velocidade da luz passou a desempenhar um papel especial na física Uma razão para isso é que a velocidade da luz no vácuo é a mesma em todos os referenciais Se você produz um raio luminoso ao longo de um eixo e pede a vários observadores que estão se movendo com diferentes velocidades em relação a esse eixo para medir a velocidade da luz todos obtêm o mesmo resultado Essa observação é surpreendente e difere do que seria constatado se os observadores estivessem estudando qualquer outro tipo de onda no caso de outras ondas a velocidade medida depende da velocidade do observador em relação à onda Hoje em dia o metro é definido de tal forma que a velocidade da luz e de qualquer outra onda eletromagnética no vácuo é exatamente c 299 792 458 ms o que significa que a velocidade da luz no vácuo é usada como padrão Como isso equivale a definir qualquer distância em termos da velocidade da luz quando medimos o tempo de trânsito de um pulso luminoso entre dois pontos não estamos medindo a velocidade da luz e sim a distância entre os pontos Descrição Matemática de uma Onda Eletromagnética Vamos agora demonstrar as Eqs 333 e 334 e o que é mais importante discutir a indução recíproca de campos elétricos e magnéticos que é responsável pelo fenômeno da luz Figura 336 Quando a onda eletromagnética passa pelo ponto P da Fig 335b a variação senoidal do campo magnético em um retângulo no entorno de P induz campos elétricos ao longo do retângulo No instante mostrado na figura o módulo de está diminuindo e portanto o módulo do campo elétrico induzido é maior do lado direito do retângulo que do lado esquerdo A Equação 334 e o Campo Elétrico Induzido O retângulo tracejado de dimensões dx e h da Fig 336 pertence ao plano xy e está parado no ponto P do eixo x o mesmo retângulo aparece no lado direito da Fig 335b Quando a onda eletromagnética passa pelo retângulo propagandose da esquerda para a direita o fluxo magnético ΦB que atravessa o retângulo varia e de acordo com a lei de indução de Faraday aparecem campos elétricos induzidos na região do retângulo Tomamos e d como os campos induzidos nos dois lados mais compridos do retângulo Esses campos elétricos são na realidade a componente elétrica da onda eletromagnética Observe o pequeno trecho vermelho da curva da componente magnética longe do eixo y na Fig 33 5b Considere o campo elétrico induzido no instante em que a componente magnética está passando pelo retângulo Nesse momento o campo magnético que atravessa o retângulo está apontando no sentido positivo do eixo z e o módulo do campo está diminuindo o módulo era máximo pouco antes de o trecho vermelho passar pelo retângulo Como o campo magnético está diminuindo o fluxo magnético ΦB que atravessa o retângulo também está diminuindo De acordo com a lei de Faraday a variação do fluxo induz um campo elétrico que se opõe à variação do campo magnético produzindo um campo magnético no sentido positivo do eixo z De acordo com a lei de Lenz isso por sua vez significa que se imaginarmos o perímetro do retângulo como se fosse uma espira condutora surgiria nessa espira uma corrente elétrica no sentido anti horário É óbvio que não existe na verdade nenhuma espira mas essa análise mostra que os vetores do campo elétrico induzido e d têm realmente a orientação mostrada na Fig 336 com o módulo de d maior que o módulo de Se não fosse assim o campo elétrico induzido não tenderia a produzir uma corrente no sentido antihorário Lei de Faraday Vamos agora aplicar a lei de indução de Faraday percorrendo o retângulo da Fig 336 no sentido antihorário A contribuição para a integral dos lados do retângulo paralelos ao eixo x é nula já que nesses trechos e d são perpendiculares A integral portanto tem o valor O fluxo ΦB que atravessa o retângulo é dado por em que B é o módulo de no interior do retângulo e h dx é a área do retângulo Derivando a Eq 338 em relação a t obtemos Substituindo as Eqs 337 e 339 na Eq 336 obtemos ou Na verdade tanto B como E são funções de duas variáveis x e t como mostram as Eqs 331 e 332 Entretanto ao calcular dEdx devemos supor que t é constante já que a Fig 336 é um instantâneo da onda Da mesma forma ao calcular dBdt devemos supor que x é constante pois estamos lidando com a taxa de variação de B em um local determinado o ponto P da Fig 335b Nessas circunstâncias as derivadas são derivadas parciais e é mais correto escrever a Eq 3310 na forma O sinal negativo da Eq 3311 é apropriado e necessário porque embora E esteja aumentando com x na região onde se encontra o retângulo da Fig 336 B está diminuindo com t De acordo com a Eq 331 temos e de acordo com a Eq 332 Assim a Eq 3311 se reduz a Para uma onda progressiva a razão ωk é a velocidade da onda que estamos chamando de c A Eq 33 12 se torna portanto que é exatamente a Eq 334 Figura 337 Quando a onda eletromagnética passa pelo ponto P da Fig 335b a variação senoidal do campo elétrico em um retângulo em torno de P induz campos magnéticos ao longo do retângulo O instante mostrado na figura é o mesmo da Fig 336 o módulo de está diminuindo e portanto o módulo do campo magnético induzido é maior do lado direito do retângulo do que do lado esquerdo A Equação 333 e o Campo Magnético Induzido A Fig 337 mostra outro retângulo tracejado no ponto P da Fig 335b dessa vez no plano xz Quando a onda eletromagnética passa por esse retângulo o fluxo elétrico ΦE que atravessa o retângulo varia e de acordo com a lei de indução de Maxwell aparece um campo magnético induzido na região do retângulo Esse campo magnético induzido é na realidade a componente magnética da onda eletromagnética Vemos na Fig 335b que no instante escolhido para o campo magnético da Fig 336 assinalado em vermelho na curva da componente magnética o campo elétrico que atravessa o retângulo da Fig 337 tem o sentido indicado Lembrese de que no momento escolhido o campo magnético da Fig 336 está diminuindo Como os dois campos estão em fase o campo elétrico da Fig 337 também está diminuindo e o mesmo ocorre com o fluxo elétrico ΦE que atravessa o retângulo Usando o mesmo raciocínio que para a Fig 336 vemos que a variação do fluxo ΦE induz um campo magnético com vetores e d orientados como na Fig 337 com d maior que Lei de Maxwell Vamos aplicar a lei de indução de Maxwell percorrendo o retângulo tracejado na Fig 337 no sentido antihorário Apenas os lados mais compridos do retângulo contribuem para a integral porque o produto escalar ao longo dos lados mais curtos é zero Assim podemos escrever O fluxo ΦE que atravessa o retângulo é em que E é o módulo médio de no interior do retângulo Derivando a Eq 3316 em relação a t obtemos Substituindo essa equação e a Eq 3315 na Eq 3314 obtemos ou usando a notação de derivada parcial como fizemos anteriormente para passar da Eq 3310 à Eq 33 11 Mais uma vez o sinal negativo é necessário porque embora B esteja aumentando com x no ponto P do retângulo da Fig 337 E está diminuindo com t Substituindo as Eqs 331 e 332 na Eq 3317 temos kEm coskx ωt μ0ε0ωEm coskx ωt que podemos escrever na forma Combinando essa equação com a Eq 3313 obtemos que é exatamente a Eq 333 Teste 1 A parte 1 da figura mostra o campo magnético na posição do retângulo da Fig 336 mas em outro instante continua no plano xz continua paralelo ao eixo z mas agora aponta no sentido negativo do eixo z e o módulo de está aumentando a Complete a ilustração da parte 1 desenhando os vetores que representam os campos elétricos induzidos como na Fig 336 b Para o mesmo instante complete a parte 2 da figura desenhando o campo elétrico da onda eletromagnética e os campos magnéticos induzidos como na Fig 337 332 TRANSPORTE DE ENERGIA E O VETOR DE POYNTING Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3313 Saber que uma onda eletromagnética transporta energia 3314 Saber que a taxa de transporte de energia por unidade de área é dada pelo vetor de Poynting que é proporcional ao produto vetorial do campo elétrico pelo campo magnético 3315 Determinar a direção e o sentido de propagação e portanto de transporte de energia de uma onda eletromagnética usando o vetor de Poynting 3316 Calcular a taxa instantânea S de transporte de energia de uma onda eletromagnética em função do módulo instantâneo E do campo elétrico 3317 Conhecer a relação entre o valor médio quadrático Erms e a amplitude Em da componente elétrica de uma onda eletromagnética 3318 Saber o que significa a intensidade I de uma onda eletromagnética em termos do transporte de energia 3319 Conhecer a relação entre a intensidade I de uma onda eletromagnética o valor médio quadrático Erms do campo elétrico e a amplitude Em do campo elétrico 3320 Conhecer a relação entre a potência média Pméd a energia transferida ΔE e o tempo de transferência Δt e a relação entre a potência instantânea P e a taxa de transferência de energia dEdt 3321 Saber o que é uma fonte luminosa pontual 3322 No caso de uma fonte luminosa pontual conhecer a relação entre a intensidade I da luz em um ponto do espaço a potência de emissão P da fonte e a distância r entre o ponto e a fonte 3323 Explicar usando a lei de conservação da energia por que a intensidade da luz emitida por uma fonte pontual diminui com o quadrado da distância IdeiasChave A taxa por unidade de área com a qual a energia é transportada por uma onda eletromagnética é dada pelo vetor de Poynting A direção de e portanto a direção de propagação da onda e do transporte de energia é perpendicular às direções de e de A taxa média de transporte de energia por unidade de área de uma onda eletromagnética é dada por Sméd e é chamada de intensidade I da onda em que Uma fonte pontual de ondas eletromagnéticas emite as ondas isotropicamente ou seja com a mesma intensidade em todas as direções A intensidade de uma onda eletromagnética a uma distância r de uma fonte pontual de potência Ps é dada por Transporte de Energia e o Vetor de Poynting Como todo banhista sabe uma onda eletromagnética é capaz de transportar energia e fornecêla a um corpo A taxa por unidade de área com a qual uma onda eletromagnética transporta energia é descrita por um vetor denominado vetor de Poynting em homenagem ao físico John Henry Poynting 18521914 o primeiro a discutir suas propriedades O vetor de Poynting é definido pela equação O módulo S do vetor de Poynting depende da taxa instantânea com a qual a energia é transportada por uma onda através de uma área unitária De acordo com a Eq 3320 a unidade de no SI é o watt por metro quadrado Wm2 A direção do vetor de Poynting de uma onda eletromagnética em um ponto qualquer do espaço indica a direção de propagação da onda e a direção de transporte de energia nesse ponto Como e são mutuamente perpendiculares em uma onda eletromagnética o módulo de é EB Assim o módulo de é em que S E e B são valores instantâneos Como existe uma relação fixa entre E e B podemos trabalhar com apenas uma dessas grandezas escolhemos trabalhar com E já que a maioria dos instrumentos usados para detectar ondas eletromagnéticas é sensível à componente elétrica da onda e não à componente magnética Usando a relação B Ec dada pela Eq 335 podemos escrever a Eq 3321 na forma Intensidade Fazendo E Em senkx ωt na Eq 3322 poderíamos obter uma equação para o transporte de energia em função do tempo Mais útil na prática porém é a energia média transportada ou seja a média de S ao longo do tempo representada como Sméd e também conhecida como intensidade I da onda De acordo com a Eq 3320 a intensidade é dada por De acordo com a Eq 3322 temos Em um ciclo completo o valor médio de sen2 θ para qualquer variável angular θ é 12 veja a Eq 31 17 Além disso definimos uma nova grandeza Erms o valor médio quadrático ou valor rms1 do campo elétrico como Nesse caso a Eq 3324 pode ser escrita na forma Como E cB e c é um número muito grande seria natural concluir que a energia associada ao campo elétrico é muito maior que a associada ao campo magnético Essa conclusão porém não estaria correta na verdade as duas energias são exatamente iguais Para mostrar que isso é verdade começamos com a Eq 2525 que fornece a densidade de energia u ε0E22 associada ao campo elétrico e substituímos E por cB Nesse caso podemos escrever Se agora substituirmos c por seu valor dado pela Eq 333 teremos Como de acordo com a Eq 3055 B22μ0 é a densidade de energia μB de um campo magnético vemos que uE uB para uma onda eletromagnética em todos os pontos do espaço Figura 338 Uma fonte pontual S emite ondas eletromagnéticas uniformemente em todas as direções As frentes de onda esféricas passam por uma esfera imaginária de centro em S e raio r Variação da Intensidade com a Distância A variação com a distância da radiação eletromagnética emitida por uma fonte pode ser difícil de calcular quando a fonte como o farol de um automóvel projeta a onda em certa direção Em algumas situações porém podemos supor que a fonte é uma fonte pontual que emite luz isotropicamente ou seja com igual intensidade em todas as direções A Fig 338 mostra de forma esquemática as frentes de onda esféricas emitidas por uma fonte pontual S Suponha que a energia da onda é conservada enquanto a onda se afasta da fonte e imagine uma superfície esférica de raio r e centro na fonte como na Fig 338 Toda a energia emitida pela fonte tem 1 2 3 que passar pela superfície esférica assim a taxa com a qual a energia atravessa a superfície esférica é igual à taxa com a qual a energia é emitida pela fonte ou seja é igual à potência Ps da fonte Segundo a Eq 3323 a intensidade I da onda na superfície esférica é dada por em que 4πr2 é a área da superfície esférica De acordo com a Eq 3327 a intensidade da radiação eletromagnética emitida por uma fonte pontual isotrópica diminui com o quadrado da distância r da fonte Teste 2 A figura mostra o campo elétrico de uma onda eletromagnética em um ponto do espaço em dado instante A onda está transportando energia no sentido negativo do eixo z Qual é a orientação do campo magnético da onda no mesmo ponto e no mesmo instante Exemplo 3301 Valores rms do campo elétrico e do campo magnético de uma onda luminosa Quando olhamos para a Estrela Polar Polaris recebemos a luz de uma estrela que está a 431 anosluz da Terra e emite energia a uma taxa 22 103 vezes maior que o Sol Psol 390 1026 W Desprezando a absorção de luz pela atmosfera terrestre determine os valores rms do campo elétrico e do campo magnético da luz que chega até nós IDEIASCHAVE O valor rms do campo elétrico Erms está relacionado à intensidade luminosa I pela Eq 3326 I E2 rmscμ0 Como a fonte está muito distante e emite ondas com a mesma intensidade em todas as direções a intensidade I a uma distância r da fonte está relacionada à potência Ps da fonte pela Eq 3327 I Ps4πr2 Os módulos do campo elétrico e do campo magnético de uma onda eletromagnética em qualquer instante e em qualquer ponto do espaço estão relacionados pela Eq 335 EB c Assim os valores rms dos campos também estão relacionados pela Eq 335 Campo elétrico De acordo com as duas primeiras ideias e Fazendo Ps 22 103390 1026 W 858 1029 W r 431 anosluz 408 1018 m e substituindo as constantes físicas por seus valores obtemos Campo magnético De acordo com a Eq 335 temos Não podemos comparar os campos Observe que o valor do campo elétrico Erms 12 mVm é pequeno em comparação com os valores normalmente medidos em laboratório mas o valor do campo magnético Brms 41 pT é muito pequeno Essa diferença ajuda a explicar por que a maioria dos instrumentos usados para detectar e medir ondas eletromagnéticas foi projetada para responder à componente elétrica da onda Seria errado porém afirmar que a componente elétrica de uma onda eletromagnética é maior que a componente magnética Não podemos comparar grandezas medidas em unidades diferentes Como vimos a componente elétrica e a componente magnética estão em pé de igualdade no que diz respeito à propagação da onda já que as energias médias que podem ser comparadas são exatamente iguais 333 PRESSÃO DA RADIAÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3324 Saber a diferença entre força e pressão 3325 Saber que uma onda eletromagnética transporta momento e pode exercer uma força e uma pressão sobre um objeto 3326 No caso de uma onda eletromagnética uniforme que incide perpendicularmente em uma superfície conhecer a relação entre a área da superfície a intensidade da onda e a força exercida sobre a superfície nos casos de absorção total e reflexão total 3327 No caso de uma onda eletromagnética uniforme que incide perpendicularmente em uma superfície conhecer a relação entre a intensidade da onda e a pressão exercida sobre a superfície nos casos de absorção total e reflexão total IdeiasChave Quando uma superfície intercepta uma onda eletromagnética a onda exerce uma força e uma pressão na superfície Se a radiação é totalmente absorvida pela superfície a força é dada por em que I é a intensidade da onda e A é a área da superfície perpendicular à direção de propagação da onda Se a radiação é totalmente refletida pela superfície e a incidência é perpendicular a força é dada por A pressão da radiação pr é a força por unidade de área e Pressão da Radiação Além de energia as ondas eletromagnéticas também possuem momento linear Isso significa que podemos exercer uma pressão sobre um objeto a pressão de radiação simplesmente iluminando o objeto Entretanto essa pressão deve ser muito pequena já que por exemplo não sentimos nada quando alguém nos fotografa usando um flash Para determinar o valor da pressão vamos supor que um objeto seja submetido a um feixe de radiação eletromagnética um feixe luminoso por exemplo durante um intervalo de tempo Δt Vamos supor ainda que o objeto esteja livre para se mover e que a radiação seja totalmente absorvida pelo corpo Isso significa que durante o intervalo de tempo Δt o objeto recebe uma energia ΔU da radiação Maxwell demonstrou que o objeto também recebe momento linear O módulo Δp da variação de momento do objeto está relacionado à variação de energia ΔU pela equação em que c é a velocidade da luz A direção da variação de momento do objeto é a direção do feixe incidente da radiação absorvida pelo corpo Em vez de ser absorvida a radiação pode ser refletida pelo objeto ou seja pode ser emitida novamente Se a radiação é totalmente refletida e a incidência é perpendicular o módulo da variação do momento é duas vezes maior que no caso anterior Da mesma forma um objeto sofre uma variação de momento duas vezes maior quando uma bola de tênis perfeitamente elástica se choca com o objeto do que quando é atingido por uma bola perfeitamente inelástica uma bola feita de massa de modelar digamos com a mesma massa e velocidade Quando a radiação é parcialmente absorvida e parcialmente refletida a variação do momento do corpo tem um valor entre ΔUc e 2ΔUc Força De acordo com a segunda lei de Newton expressa em termos do momento linear Módulo 9 3 a uma variação Δp do momento em um intervalo de tempo Δt está associada uma força dada por Para obter uma expressão da força exercida pela radiação em termos da intensidade I da radiação observamos que a intensidade é dada por Suponha que uma superfície plana de área A perpendicular à direção da radiação intercepta a radiação A energia interceptada pela superfície durante o intervalo de tempo Δt é dada por Se a energia é totalmente absorvida a Eq 3328 nos diz que Δp IAΔtc e de acordo com a Eq 3330 o módulo da força exercida sobre a superfície é Se a radiação é totalmente refletida a Eq 3329 nos diz que Δp 2IAΔtc e de acordo com a Eq 3330 Se a radiação é parcialmente absorvida e parcialmente refletida o módulo da força exercida sobre a superfície tem um valor entre IAc e 2IAc Pressão A força por unidade de área exercida pela radiação é a pressão de radiação pr Podemos obter o valor dessa pressão para as situações das Eqs 3332 e 3333 dividindo ambos os membros das equações por A Os resultados são os seguintes e É preciso tomar cuidado para não confundir o símbolo pr usado para representar a pressão da radiação com o símbolo p usado para representar o momento linear A unidade da pressão de radiação do SI é a mesma da pressão dos fluidos discutida no Capítulo 14 ou seja o Pascal Pa que corresponde a uma força de 1 newton por metro quadrado 1 Nm2 A invenção do laser permitiu aos pesquisadores utilizar pressões de radiação muito maiores que por exemplo a pressão de uma lâmpada de flash Isso acontece porque um feixe de laser ao contrário de um feixe de luz comum pode ser focalizado em uma região com apenas alguns comprimentos de onda de diâmetro o que permite aplicar uma grande quantidade de energia a pequenos objetos colocados nessa região Teste 3 Um feixe de luz de intensidade uniforme incide perpendicularmente em uma superfície não refletora iluminandoa totalmente Se a área da superfície diminui a a pressão da radiação e b a força exercida pela radiação sobre a superfície aumenta diminui ou permanece constante 334 POLARIZAÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3328 Saber a diferença entre luz polarizada e luz não polarizada 3329 Fazer desenhos de feixes de luz polarizada e de luz não polarizada vistos de frente 3330 Explicar a ação de um filtro polarizador em termos da direção ou eixo de polarização da componente do campo elétrico que é absorvida e da componente que é transmitida 3331 Conhecer a polarização da luz que atravessa um filtro polarizador em relação à direção de polarização do filtro 3332 No caso de um feixe de luz que incide perpendicularmente em um filtro polarizador explicar o que é a regra da metade e o que é a regra do cosseno ao quadrado 3333 Conhecer a diferença entre um filtro polarizador e um filtro analisador 3334 Explicar o que significa dizer que dois filtros polarizadores estão cruzados 3335 No caso em que um feixe de luz atravessa uma série de filtros polarizadores determinar a intensidade e polarização do feixe de luz depois de passar pelo último filtro IdeiasChave Dizemos que uma onda eletromagnética é polarizada se o vetor campo elétrico da onda está sempre no mesmo plano que é chamado de plano de oscilação As ondas de luz emitidas por objetos incandescentes são não polarizadas ou seja a polarização varia aleatoriamente com o tempo Quando um feixe de luz atravessa um filtro polarizador apenas as componentes do campo elétrico paralelas à direção de polarização do filtro atravessam o filtro as componentes perpendiculares à direção de polarização são absorvidas A luz que atravessa um filtro polarizador passa a apresentar uma polarização paralela à direção de polarização do filtro Se a luz que incide perpendicularmente em um filtro polarizador é não polarizada a intensidade I da luz transmitida é igual à metade da intensidade I0 da luz incidente Se a luz que incide perpendicularmente em um filtro polarizador é não polarizada a intensidade I da luz transmitida depende do ângulo θ entre a luz incidente e a direção de polarização do filtro I I0 cos2 θ Polarização As antenas de televisão inglesas são orientadas na vertical e as antenas americanas são orientadas na horizontal A diferença se deve à direção de oscilação das ondas eletromagnéticas que transportam o sinal de televisão Na Inglaterra o equipamento de transmissão é projetado para gerar ondas polarizadas verticalmente ou seja cujo campo elétrico oscila na vertical Assim para que o campo elétrico das ondas de televisão produza uma corrente na antena e portanto forneça um sinal ao receptor de televisão é preciso que a antena esteja na vertical Nos Estados Unidos as ondas são polarizadas horizontalmente1 Figura 339 a O plano de oscilação de uma onda eletromagnética polarizada b Para representar a polarização mostramos uma vista frontal da onda e indicamos a direção das oscilações do campo elétrico por uma seta de duas cabeças A Fig 339a mostra uma onda eletromagnética com o campo elétrico oscilando paralelamente ao eixo vertical y O plano que contém o vetor em instantes sucessivos de tempo é chamado de plano de polarização da onda é por isso que dizemos que uma onda como a da Fig 339 é planopolarizada na direção y Podemos representar a polarização da onda mostrando a direção das oscilações do campo elétrico em uma vista frontal do plano de oscilação como na Fig 339b A seta de duas cabeças indica que quando a onda passa pelo observador o campo elétrico oscila verticalmente isto é alterna continuamente entre o sentido positivo e o sentido negativo do eixo y Figura 3310 a A luz não polarizada é formada por ondas com o campo elétrico em diferentes direções Na ilustração as ondas estão todas se propagando na mesma direção para fora do papel e têm a mesma amplitude E b Outra forma de representar a luz não polarizada A luz é a superposição de duas ondas polarizadas cujos planos de oscilação são mutuamente perpendiculares Luz Polarizada As ondas eletromagnéticas transmitidas por um canal de televisão têm sempre a mesma polarização mas as ondas eletromagnéticas emitidas por uma fonte de luz como o Sol ou uma lâmpada elétrica são polarizadas aleatoriamente ou não polarizadas os dois termos têm o mesmo significado Isso quer dizer que a direção do campo elétrico muda aleatoriamente com o tempo embora se mantenha perpendicular à direção de propagação da onda Assim se representarmos a onda vista de frente durante certo intervalo de tempo não teremos um desenho simples como o da Fig 339b mas um conjunto de setas como na Fig 3310a cada uma com uma orientação diferente Em princípio é possível simplificar o desenho representando os campos elétricos da Fig 3310a por meio das componentes y e z Nesse caso a luz não polarizada pode ser representada por duas setas de duas cabeças como mostrado na Fig 3310b A seta paralela ao eixo y representa as oscilações da componente y do campo elétrico e a seta paralela ao eixo z representa as oscilações da componente z do campo elétrico Ao adotarmos essa representação estamos transformando a luz não polarizada em uma combinação de duas ondas polarizadas cujos planos de oscilação são mutuamente perpendiculares um dos planos contém o eixo y e o outro contém o eixo z Uma das razões para fazer a mudança é que é muito mais fácil desenhar a Fig 3310b do que a Fig 3310a Podemos desenhar figuras semelhantes para representar uma onda parcialmente polarizada isto é uma onda cujo campo elétrico passa mais tempo em certas direções do que em outras Nesse caso desenhamos uma das setas mais comprida que a outra Direção de Polarização É possível transformar a luz não polarizada em polarizada fazendoa passar por um filtro polarizador como na Fig 3311 Esses filtros conhecidos comercialmente como filtros Polaroid foram inventados em 1932 por Edwin Land quando era um estudante universitário Um filtro polarizador é uma folha de plástico que contém moléculas longas Durante o processo de fabricação a folha é esticada o que faz com que as moléculas se alinhem Quando a luz passa pela folha as componentes do campo elétrico paralelas às moléculas conseguem atravessála mas as componentes perpendiculares às moléculas são absorvidas e desaparecem Em vez de examinar o comportamento individual das moléculas é possível atribuir ao filtro como um todo uma direção de polarização a direção que a componente do campo elétrico deve ter para atravessar o filtro Figura 3311 A luz não polarizada se polariza depois de passar por um filtro polarizador a direção de polarização é a mesma do filtro representada na ilustração por retas verticais A componente do campo elétrico paralela à direção de polarização é transmitida por um filtro polarizador a componente perpendicular é absorvida O campo elétrico da luz que sai de um filtro polarizador possui apenas a componente paralela à direção de polarização do filtro o que significa que a luz está polarizada nessa direção Na Fig 3311 a componente vertical do campo elétrico é transmitida pelo filtro e a componente horizontal é absorvida Isso faz com que a onda transmitida seja polarizada verticalmente Intensidade da Luz Polarizada Transmitida Vamos considerar agora a intensidade da luz transmitida por um filtro polarizador Começamos com luz não polarizada cujas oscilações do campo elétrico podemos separar em componentes y e z como na Fig 3310b Além disso podemos supor que o eixo y é paralelo à direção de polarização do filtro Nesse caso apenas a componente y do campo elétrico da luz é transmitida pelo filtro a componente z é absorvida Como mostra a Fig 3310b se a orientação do campo elétrico da onda original é aleatória a soma das componentes y tem o mesmo valor que a soma das componentes z Quando a componente z é absorvida metade da intensidade I0 da onda original é perdida A intensidade I da luz que emerge do filtro é portanto Essa é a chamada regra da metade que só é válida se a luz que incide no filtro polarizador é não polarizada Suponha agora que a luz que incide em um filtro polarizador seja polarizada A Fig 3312 mostra um filtro polarizador no plano do papel e o campo elétrico de uma onda polarizada antes de passar pelo filtro Podemos separar o campo em duas componentes em relação à direção de polarização do filtro a componente paralela Ey que é transmitida pelo filtro e a componente perpendicular Ez que é absorvida Como θ é o ângulo entre e a direção de polarização do filtro a componente paralela transmitida é dada por A intensidade de uma onda eletromagnética como a nossa onda luminosa é proporcional ao quadrado do módulo do campo elétrico Eq 3326 I E2 rmscm0 Isso significa que no caso que estamos examinando a intensidade I da onda emergente é proporcional a E2 y e a intensidade I0 da onda original é proporcional a E2 Assim de acordo com a Eq 3337 II0 cos2 θ e portanto Essa é a chamada regra do cosseno ao quadrado que só é válida se a luz que incide no filtro polarizador for polarizada Nesse caso a intensidade I da luz transmitida é máxima e igual à intensidade inicial I0 quando a direção da polarização da luz é paralela à direção de polarização do filtro ou seja quando θ na Eq 3338 é 08 I é zero quando a direção de polarização da luz é perpendicular à direção de polarização do filtro ou seja quando θ é 908 Figura 3312 Luz polarizada prestes a atravessar um filtro polarizador O campo elétrico da luz pode ser separado nas componentes Ey paralela à direção de polarização do filtro e Ez perpendicular à direção de polarização do filtro A componente Ey atravessa o filtro mas a componente Ez é absorvida Figura 3313 A luz transmitida pelo filtro polarizador P1 está polarizada verticalmente como indica a seta de duas cabeças A quantidade de luz transmitida pelo filtro polarizador P2 depende do ângulo entre a direção de polarização de P1 e a direção de polarização de P2 indicada pelas retas no interior do filtro e pela linha tracejada Dois Filtros Polarizadores A Fig 3313 mostra um arranjo no qual uma luz inicialmente não polarizada passa por dois filtros polarizadores P1 e P2 O primeiro filtro é chamado de polarizador e o segundo é chamado de analisador Como a direção de polarização de P1 é vertical a luz que emerge de P1 está polarizada verticalmente Se a direção de polarização de P2 também é vertical toda a luz que chega a P2 é transmitida Se a direção de polarização de P2 é horizontal toda a luz que chega a P2 é absorvida Chegamos à mesma conclusão considerando apenas as orientações relativas dos dois filtros Se as direções de polarização são paralelas toda a luz que passa pelo primeiro filtro passa também pelo segundo Fig 3314a Se as direções são perpendiculares caso em que dizemos que os filtros estão cruzados não passa nenhuma luz pelo segundo filtro Fig 3314b Finalmente se as duas direções de polarização da Fig 3313 fazem um ângulo entre 08 e 908 parte da luz que passa por P1 também passa por P2 de acordo com a Eq 3338 Outros Meios Existem outros meios de polarizar a luz além dos filtros polarizadores A luz também pode ser polarizada por reflexão como será discutido no Módulo 337 e por espalhamento No espalhamento a luz absorvida por um átomo ou molécula é emitida novamente em outra direção Um exemplo é o espalhamento da luz solar pelas moléculas da atmosfera se não fosse por esse fenômeno o céu seria escuro mesmo durante o dia Embora a luz solar direta seja não polarizada a luz proveniente do resto do céu é parcialmente polarizada por espalhamento As abelhas usam essa polarização para se orientar Os vikings também usavam a polarização da luz do céu para navegar no Mar do Norte quando o céu estava claro mas o Sol se encontrava abaixo do horizonte por causa da alta latitude do Mar do Norte Esses antigos navegantes descobriram que a cor dos cristais de certo material hoje conhecido como cordierita variava de acordo com o ângulo de incidência de uma luz polarizada Olhando para o céu através de um desses cristais e fazendoo girar os vikings podiam determinar a posição do Sol e portanto a direção dos pontos cardeais Figura 3314 a A maior parte da luz passa por duas placas polarizadoras quando a direção de polarização das placas coincide mas b a maior parte da luz é absorvida quando as direções de polarização das duas placas são perpendiculares Teste 4 A figura mostra quatro pares de filtros polarizadores vistos de frente Cada par é montado no caminho de um feixe de luz 1 2 3 inicialmente não polarizada A direção de polarização de cada filtro linha tracejada faz o ângulo indicado com o eixo x horizontal ou o eixo y vertical Coloque os pares na ordem decrescente da fração da luz incidente que atravessa os dois filtros Exemplo 3302 Polarização e intensidade luminosa com três filtros polarizadores A Fig 3315a desenhada em perspectiva mostra um conjunto de três filtros polarizadores nesse conjunto incide um feixe de luz inicialmente não polarizada A direção de polarização do primeiro filtro é paralela ao eixo y a do segundo filtro faz um ângulo de 60 com a primeira direção no sentido antihorário e a do terceiro filtro é paralela ao eixo x Que fração da intensidade inicial I0 da luz sai do conjunto e em que direção essa luz está polarizada IDEIASCHAVE O cálculo deve ser realizado filtro por filtro começando pelo filtro no qual a luz incide inicialmente Para determinar a intensidade da luz transmitida por um dos filtros basta aplicar a regra da metade se a luz incidente no filtro não estiver polarizada ou a regra do cosseno ao quadrado se a luz incidente no filtro já estiver polarizada A direção de polarização da luz transmitida por um filtro polarizador é sempre igual à direção de polarização do filtro Primeiro filtro A luz original está representada na Fig 3315b por duas setas de duas cabeças como na Fig 3310b Como a luz incidente no primeiro filtro é não polarizada a intensidade I1 da luz transmitida pelo primeiro filtro é dada pela regra da metade Eq 3336 Figura 3315 a Um raio de luz inicialmente não polarizada de intensidade I0 atravessa um conjunto de três filtros polarizadores As intensidades I1 I2 e I3 da luz em vários pontos do percurso estão indicadas na figura Também estão indicadas as polarizações em vistas frontais b da luz inicial e da luz transmitida c pelo primeiro filtro d pelo segundo filtro c pelo terceiro filtro Como a direção de polarização do primeiro filtro é paralela ao eixo y a polarização da luz transmitida pelo filtro também é paralela ao eixo y como mostra a seta de duas cabeças da Fig 3315c Segundo filtro Como a luz que chega ao segundo filtro é polarizada a intensidade I2 da luz transmitida pelo filtro é dada pela regra do cosseno ao quadrado Eq 3338 O ângulo θ é o ângulo entre a direção de polarização da luz incidente paralela ao eixo y e a direção de polarização do segundo filtro que faz um ângulo de 60 com o eixo y no sentido antihorário Assim θ 60 o ângulo maior entre as duas direções 1208 também pode ser usado e I2 I1 cos2 608 A direção de polarização da luz transmitida é paralela à direção de polarização do segundo filtro ou seja faz um ângulo de 60 com o eixo y no sentido antihorário como mostra a seta de duas cabeças da Fig 3315d Terceiro filtro Como a luz que chega ao terceiro filtro é polarizada a intensidade I3 da luz transmitida pelo filtro é dada pela regra do cosseno ao quadrado O ângulo θ agora é o ângulo entre a direção de polarização da luz incidente no terceiro filtro Fig 3315d e a direção de polarização do terceiro filtro paralela ao eixo x Desse modo θ 30 e portanto I3 I2 cos2 30 A luz que sai do terceiro filtro está polarizada paralelamente ao eixo x Fig 3315e Para determinar a intensidade dessa luz substituímos I2 por seu valor em função de I1 e I1 por seu valor em função de I0 Portanto Isso significa que a luz que sai do conjunto de filtros tem apenas 94 da intensidade da luz incidente Se removermos o segundo filtro que fração da luz incidente deixará o conjunto 335 REFLEXÃO E REFRAÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3336 Mostrar em um desenho esquemático a reflexão de um raio de luz em uma interface e assinalar o raio incidente o raio refletido o ângulo de incidência e o ângulo de reflexão 3337 Conhecer a relação entre o ângulo de incidência e o ângulo de reflexão 3338 Mostrar em desenho esquemático a refração de um raio de luz em uma interface e assinalar o raio incidente o raio refratado o ângulo de incidência e o ângulo de refração 3339 No caso da refração da luz usar a lei de Snell para relacionar o índice de refração e o ângulo do raio luminoso em um dos lados da interface aos mesmos parâmetros do outro lado na interface 3340 Mostrar em diagramas esquemáticos tomando como referência a direção do raio incidente a refração da luz por um material com um índice de refração maior que o do primeiro material por um material com um índice de refração menor que o do primeiro material e por um material com um índice de refração igual ao do primeiro material Em cada situação descrever a refração como um desvio do raio de luz para mais perto da normal como um desvio para mais longe da normal ou como a ausência de um desvio 3341 Saber que a refração ocorre apenas na interface de dois materiais 3342 Saber o que é dispersão cromática 3343 No caso da refração de raios de várias cores em uma interface saber quais são as cores que sofrem um desvio maior quando o segundo meio tem um índice de refração maior que o primeiro e quais são as cores que sofrem um desvio maior quando o segundo meio tem um índice de refração menor que o primeiro 3344 Saber como o arcoíris primário e o arcoíris secundário são formados e por que eles têm a forma de arcos de circunferência IdeiasChave A ótica geométrica é um tratamento aproximado da luz no qual as ondas luminosas são representadas por linhas retas Quando a luz encontra uma interface de dois meios transparentes parte da luz em geral é refletida e parte é refratada Os dois raios permanecem no plano de incidência O ângulo de reflexão é igual ao plano de incidência e o ângulo de refração u2 está relacionado ao ângulo de incidência u1 pela lei de Snell n2 sen θ2 n1 sen θ1 refração em que n1 e n2 são os índices de refração dos meios em que se propagam respectivamente o raio incidente e o raio refratado Reflexão e Refração Embora as ondas luminosas se espalhem ao se afastarem de uma fonte a hipótese de que a luz se propaga em linha reta como na Fig 335a constitui frequentemente uma boa aproximação O estudo das propriedades das ondas luminosas usando essa aproximação é chamado de ótica geométrica Na parte que resta deste capítulo e em todo o Capítulo 34 vamos discutir a ótica geométrica da luz visível A fotografia da Fig 3316a mostra um exemplo de ondas luminosas que se propagam aproximadamente em linha reta Um feixe luminoso estreito o feixe incidente proveniente da esquerda que se propaga no ar encontra uma superfície plana de água Parte da luz é refletida pela superfície formando um feixe que se propaga para cima e para a direita como se o feixe original tivesse ricocheteado na superfície O resto da luz penetra na água formando um feixe que se propaga para baixo e para a direita Como a luz pode se propagar na água dizemos que a água é transparente os materiais nos quais a luz não se propaga são chamados de opacos Neste capítulo vamos considerar apenas materiais transparentes A passagem da luz por uma superfície ou interface que separa dois meios diferentes é chamada de refração A menos que o raio incidente seja perpendicular à interface a refração muda a direção de propagação da luz Observe na Fig 3316a que a mudança de direção ocorre apenas na interface dentro dágua a luz se propaga em linha reta como no ar Na Fig 3316b os feixes luminosos da fotografia estão representados por um raio incidente um raio refletido e um raio refratado e frentes de onda associadas A orientação desses raios é medida em relação a uma direção conhecida como normal que é perpendicular à interface no ponto em que ocorrem a reflexão e a refração Na Fig 3316b o ângulo de incidência é θ1 o ângulo de reflexão é θ1 e o ângulo de refração é θ2 os três ângulos são medidos em relação à normal O plano que contém o raio incidente e a normal é o plano de incidência que coincide com o plano do papel na Fig 3316b Os resultados experimentais mostram que a reflexão e a refração obedecem às seguintes leis Lei da reflexão O raio refletido está no plano de incidência e tem um ângulo de reflexão igual ao ângulo de incidência Na Fig 3316b isso significa que Frequentemente a plica é omitida quando se representa o ângulo de reflexão 1974 FPFundamental Photographs Figura 3316 a Fotografia que mostra a reflexão e a refração de um feixe de luz incidente em uma superfície de água horizontal b Uma representação de a usando raios Os ângulos de incidência θ1 de reflexão θ1 e de refração θ2 estão indicados Tabela 331 Índices de Refração de Alguns Meios Transparentesa Meio Índice Meio Índice Vácuo 1 exatamente Vidro de baixa dispersão 152 1 Ar nas CNTPb 100029 Cloreto de sódio 154 Água a 20C 133 Poliestireno 155 Acetona 136 Dissulfeto de carbono 163 Álcool etílico 136 Vidro de alta dispersão 165 Solução de açúcar a 30 138 Safira 177 Quartzo fundido 146 Vidro de altíssima dispersão 189 Solução de açúcar a 80 149 Diamante 242 aPara um comprimento de onda de 589 nm luz amarela do sódio bCNTP significa condições normais de temperatura 0C e pressão 1 atm Lei da refração O raio refratado está no plano de incidência e tem um ângulo de refração θ2 que está relacionado ao ângulo de incidência θ1 pela equação em que n1 e n2 são constantes adimensionais denominadas índices de refração que dependem do meio no qual a luz está se propagando A Eq 3340 conhecida como lei de Snell será demonstrada no Capítulo 35 no qual veremos também que o índice de refração de um meio é igual a cv em que v é a velocidade da luz no meio e c é a velocidade da luz no vácuo A Tabela 331 mostra os índices de refração do vácuo e de alguns materiais comuns No vácuo n é definido como exatamente 1 no ar n é ligeiramente maior que 1 na prática quase sempre se supõe que n para o ar também é igual a 1 Não existem meios com um índice de refração menor que 1 Podemos escrever a Eq 3340 na forma para comparar o ângulo de refração θ2 com o ângulo de incidência θ1 De acordo com a Eq 3341 o valor relativo de θ2 depende dos valores relativos de n2 e n1 Existem três possibilidades Se n2 n1 θ2 θ1 Nesse caso a refração não desvia o raio luminoso que continua sua trajetória retilínea como na Fig 3317a 2 3 Figura 3317 A luz que estava se propagando em um meio de índice de refração n1 incide em um meio de índice de refração n2 a Se n2 n1 o raio luminoso não sofre um desvio o raio refratado continua a se propagar na mesma direção reta pontilhada b Se n2 n1 o raio luminoso é desviado para mais perto da normal c Se n2 n1 o raio luminoso é desviado para mais longe da normal Se n2 n1 θ2 θ1 Nesse caso a refração faz o raio luminoso se aproximar da normal como na Fig 3317b Se n2 n1 θ2 θ1 Nesse caso a refração faz o raio luminoso se afastar da normal como na Fig 33 17c O ângulo de refração jamais é suficientemente grande para que o raio refratado se propague no mesmo meio que o raio incidente Figura 3318 Índice de refração do quartzo fundido em função do comprimento de onda De acordo com o gráfico quanto menor o comprimento de onda maior o desvio sofrido por um raio luminoso ao entrar no quartzo ou sair do quartzo Dispersão Cromática O índice de refração n para a luz em qualquer meio exceto o vácuo depende do comprimento de onda Assim se um feixe luminoso é formado por raios de luz de diferentes comprimentos de onda o ângulo de refração é diferente para cada raio em outras palavras a refração espalha o feixe incidente Esse espalhamento da luz é conhecido como dispersão cromática em que a palavra dispersão se refere ao espalhamento da luz de acordo com o comprimento de onda e a palavra cromática se refere às cores associadas aos diferentes comprimentos de onda A dispersão cromática não é observada nas Figs 3316 e 3317 porque a luz incidente é monocromática isto é possui apenas um comprimento de onda Em geral o índice de refração de um meio é maior para pequenos comprimentos de onda correspondentes digamos à cor azul que para grandes comprimentos de onda correspondentes digamos à cor vermelha A Fig 3318 por exemplo mostra a variação do índice de refração do quartzo fundido com o comprimento de onda da luz Essa variação significa que a componente azul o raio correspondente à luz azul sofre um desvio maior que a componente vermelha quando um feixe formado por raios de luz das duas cores é refratado pelo quartzo fundido Um feixe de luz branca possui raios de todas ou quase todas as cores do espectro visível com intensidades aproximadamente iguais Quando observamos um feixe desse tipo não vemos as cores separadamente mas temos a impressão de que associamos à cor branca A Fig 3319a mostra um feixe de luz branca incidindo em uma superfície de vidro Como o papel usado nos livros é branco os feixes de luz branca são normalmente representados por raios cinzentos como na Fig 3319 enquanto os feixes de luz monocromática seja qual for a cor da luz são representados por raios vermelhos como na Fig 3317 a não ser quando é preciso mostrar raios de cores diferentes na mesma figura como mostrado na Fig 3319 Na Fig 3319a foram representadas apenas as componentes vermelha e azul da luz refratada Como o raio azul é o que sofre o maior desvio o ângulo de refração θ2a do raio azul é menor que o ângulo de refração θ2v do raio vermelho Lembrese de que os ângulos de refração são medidos em relação à normal Na Fig 3319b um feixe de luz branca que estava se propagando no vidro incide em uma interface vidroar O raio azul novamente sofre um desvio maior que o raio vermelho mas desta vez θ2a é maior que θ2v Figura 3319 Dispersão cromática da luz branca A componente azul é mais desviada na interface que a componente vermelha a Quando a luz passa do ar para o vidro o ângulo de refração da componente azul é menor que o da componente vermelha b Quando a luz passa do vidro para o ar o ângulo de refração da componente azul é maior que o da componente vermelha As linhas pontilhadas mostram a direção na qual a luz continuaria a se propagar se não houvesse refração Para aumentar a separação das cores podese usar um prisma de vidro de seção reta triangular como o da Fig 3320a Em um prisma desse tipo a dispersão na interface arvidro lado esquerdo do prisma das Figs 3320a e 3320b é acentuada pela dispersão na interface vidroar lado direito do prisma Figura 3320 a Um prisma triangular separa a luz branca nas cores componentes b A dispersão cromática ocorre na primeira interface e é acentuada na segunda O ArcoÍris A manifestação mais poética da dispersão cromática é o arcoíris Quando a luz solar que contém raios de muitos comprimentos de onda é interceptada por uma gota de chuva parte da luz é refratada para o interior da gota refletida na superfície interna e refratada de volta para o exterior A Fig 3321a mostra a situação quando o Sol está no horizonte à esquerda e portanto os raios solares são horizontais Como no caso do prisma triangular a primeira refração separa a luz solar nas cores componentes e a segunda refração acentua o efeito Apenas o raio vermelho e o raio azul aparecem na figura Quando muitas gotas são iluminadas simultaneamente o espectador pode observar um arcoíris quando a direção em que estão as gotas faz um ângulo de 42 com o ponto antissolar A o ponto diametralmente oposto ao Sol do ponto de vista do observador Para localizar as gotas de chuva coloquese de costas para o Sol e aponte com os dois braços na direção da sombra da cabeça Em seguida mova o braço direito em qualquer direção até que faça um ângulo de 42 com o braço esquerdo Se as gotas iluminadas estiverem na direção do seu braço direito você verá um arcoíris nessa direção Como todas as gotas de chuva cuja direção faz um ângulo de 42 com a direção de A contribuem para o arcoíris este é sempre um arco de circunferência que tem como centro o ponto A Fig 3321b e o ponto mais alto do arcoíris nunca está mais de 42 acima do horizonte Quando o Sol está acima do horizonte a direção de A está abaixo do horizonte e o arcoíris é mais curto e mais próximo do horizonte veja a Fig 3321c Um arcoíris como o que acabamos de descrever em que a luz é refletida apenas uma vez no interior de cada gota é chamado de arcoíris primário Em um arcoíris secundário como o que aparece na Fig 3321d a luz é refletida duas vezes no interior de cada gota Um arcoíris secundário é observado quando a direção das gotas faz um ângulo de 52 com a direção de A O arcoíris secundário é mais largo e mais fraco do que o arcoíris primário e por isso é mais difícil de ver Além disso as cores aparecem na ordem inversa como podemos constatar comparando as Figs 3321a e 3321d Figura 3321 a A separação de cores que acontece quando a luz do Sol entra e sai das gotas de chuva produz o arcoíris primário O ponto antissolar A está no horizonte à direita Os raios de luz que vão das gotas responsáveis pelo arcoíris até o observador fazem um ângulo de 42 com a direção de A b Todas as gotas de chuva cuja direção faz um ângulo de 42 com a direção de A contribuem para o arco íris c Situação quando o Sol está acima do horizonte e portanto A está abaixo do horizonte d Formação de um arcoíris secundário Os arcoíris envolvendo três ou quatro reflexões ocorrem na direção do Sol e não podem ser vistos porque essa parte do céu é dominada pela luz solar direta mas foram fotografados com técnicas especiais Teste 5 Qual dos desenhos mostra uma situação fisicamente possível Exemplo 3303 Reflexão e refração de um feixe de luz monocromática a Na Fig 3322a um feixe de luz monocromática é refletido e refratado no ponto A da interface entre o material 1 cujo índice de refração é n1 133 e o material 2 cujo índice de refração é n2 177 O feixe incidente faz um ângulo de 50 com a interface Qual é o ângulo de reflexão no ponto A Qual é o ângulo de refração IDEIASCHAVE 1 O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência os dois ângulos são medidos em relação à normal à interface no ponto de reflexão 2 Quando a luz atinge a interface de materiais com índices de refração diferentes n1 e n2 parte da luz pode ser refratada na interface de acordo com a lei de Snell Eq 3340 em que os dois ângulos são medidos em relação à normal à interface no ponto de refração Cálculos Na Fig 3322a a normal no ponto A é a reta tracejada Observe que o ângulo de incidência θi não é 50 e sim 90 50 40 Portanto o ângulo de reflexão é A luz que passa do material 1 para o material 2 é refratada no ponto A da interface dos dois materiais Os ângulos de incidência e de refração também são medidos em relação à normal desta vez no ponto de refração Assim na Fig 3322a o ângulo de refração é o ângulo θ2 Explicitando θ2 na Eq 3342 obtemos Figura 3322 a A luz é refletida e refratada no ponto A da interface entre os materiais 1 e 2 b A luz que penetra no material 2 é refletida e refratada no ponto B da interface entre os materiais 2 e 3 ar As linhas pontilhadas mostram a direção do raio incidente Esse resultado mostra que o raio refratado se aproximou da normal o ângulo com a normal diminuiu de 40 para 29 o que já era esperado pois o raio passou para um meio com um índice de refração maior Atenção Note que o feixe passa para o outro lado da normal ou seja enquanto o feixe incidente está do lado esquerdo da normal na Fig 3322a o feixe refratado está do lado direito b A luz que penetrou no material 2 no ponto A chega ao ponto B da interface do material 2 com o material 3 que é o ar como mostra a Fig 3322b A interface do material 2 com o material 3 é paralela à interface do material 1 com o material 2 No ponto B parte da luz é refletida e parte é refratada Qual é o ângulo de reflexão Qual é o ângulo de refração Cálculos Em primeiro lugar precisamos relacionar um dos ângulos no ponto B a um ângulo conhecido no ponto A Como a interface que passa pelo ponto B é paralela à interface que passa pelo ponto A o ângulo de incidência no ponto B é igual ao ângulo de refração θ2 como mostra a Fig 3322b Para a reflexão usamos novamente a lei da reflexão Assim o ângulo de reflexão no ponto B é dado por A luz que passa do material 2 para o ar é refratada no ponto B com um ângulo de refração θ3 Aplicamos mais uma vez a lei da refração mas desta vez escrevemos a Eq 3340 na forma Explicitando θ3 obtemos Este resultado mostra que o raio refratado se afasta da normal o ângulo com a normal aumenta de 29 para 59 o que já era esperado pois o raio passou para um meio o ar com um índice de refração menor 336 REFLEXÃO INTERNA TOTAL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3345 Usar um desenho para explicar a reflexão interna total indicando o ângulo de incidência o ângulo crítico e os valores relativos do índice de refração dos dois lados da interface 3346 Saber qual é o ângulo de refração correspondente ao ângulo crítico de incidência para reflexão interna total 3347 Calcular o ângulo crítico para reflexão interna total a partir dos índices de refração dos meios envolvidos IdeiaChave Uma onda que incide na interface com um meio de menor índice de refração sofre reflexão interna total se o ângulo de incidência for maior que um ângulo crítico θc dado por Reflexão Interna Total As Figs 3323a e 3323b mostram vários raios de luz monocromática sendo emitidos por uma fonte pontual S propagandose na água e incidindo na interface da água com o ar No caso do raio a da Fig 3324a que é perpendicular à interface parte da luz é refletida na interface e parte penetra no ar sem mudar de direção No caso dos raios b a e que chegam à interface com ângulos de incidência cada vez maiores também existem um raio refletido e um raio refratado À medida que o ângulo de incidência aumenta o ângulo de refração também aumenta para o raio e o ângulo de refração é 90 o que significa que o raio refratado é paralelo à interface O ângulo de incidência para o qual isso acontece é chamado de ângulo crítico e representado pelo símbolo θc Para ângulos de incidência maiores que θc como os dos raios f e g não existe raio refratado e toda a luz é refletida o fenômeno é conhecido como reflexão interna total Para determinar o valor de θc usamos a Eq 3340 Atribuindo arbitrariamente o índice 1 à água e o índice 2 ao ar e fazendo θ1 θc θ2 90 obtemos o que nos dá Figura 3323 a A reflexão interna total da luz emitida por uma fonte pontual S na água acontece para ângulos de incidência maiores que o ângulo crítico θc Quando o ângulo de incidência é igual ao ângulo crítico o raio refratado é paralelo à interface águaar b Uma fonte luminosa em um tanque com água BSIPPhototake Figura 3324 Uso de um endoscópio para examinar o interior de uma artéria Como o seno de um ângulo não pode ser maior que a unidade n2 não pode ser maior que n1 na Eq 3345 Isso significa que a reflexão interna total não pode ocorrer quando a luz passa para um meio com um índice de refração maior que o meio no qual se encontra inicialmente Se a fonte S estivesse no ar na Fig 3323a todos os raios incidentes na interface arágua incluindo os raios f e g seriam parcialmente refletidos e parcialmente refratados A reflexão interna total tem muitas aplicações tecnológicas Por exemplo os médicos podem examinar o interior de uma artéria de um paciente introduzindo dois feixes de fibra ótica na artéria por meio de um cateter Fig 3324 Como a luz aplicada à extremidade de um dos feixes sofre reflexões internas totais ao longo de todo o percurso a maior parte da luz chega à outra extremidade e ilumina o interior da artéria apesar de as fibras seguirem um trajeto tortuoso Parte da luz refletida pelas paredes da artéria penetra no outro feixe e segue o caminho inverso sendo detectada e transformada em uma imagem em um monitor O médico pode utilizar a imagem para realizar uma intervenção cirúrgica como por exemplo a colocação de um stent 337 POLARIZAÇÃO POR REFLEXÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3348 Explicar usando desenhos de que forma a luz não polarizada pode ser convertida em luz polarizada por reflexão em uma interface 3349 Saber o que é o ângulo de Brewster 3350 Conhecer a relação entre o ângulo de Brewster os índices de refração dos dois lados da interface 3351 Explicar como funcionam os óculos polarizados IdeiaChave Quando uma onda luminosa incide na interface de dois meios com um ângulo dado por a onda refletida é totalmente polarizada com o vetor perpendicular ao plano de incidência Polarização por Reflexão Os óculos de sol com filtros polarizadores ajudam a evitar a ofuscação causada pela luz refletida na água Isso acontece porque os raios luminosos ao serem refletidos em qualquer superfície se tornam total ou parcialmente polarizados A Fig 3325 mostra um raio de luz não polarizada incidindo em uma superfície de vidro Vamos separar o vetor campo elétrico da luz em duas componentes A componente perpendicular é perpendicular ao plano de incidência e portanto perpendicular ao plano do papel na Fig 3325 essa componente está representada por pontos como se fossem os vetores vistos de frente A componente paralela é paralela ao plano de incidência e portanto paralela ao plano do papel na Fig 3325 essa componente está representada por setas de duas cabeças Como a luz incidente é não polarizada as duas componentes têm a mesma amplitude no raio incidente Em geral a luz refletida também possui as duas componentes mas com amplitudes diferentes Isso significa que a luz refletida é parcialmente polarizada o campo elétrico tem maior amplitude em algumas direções que em outras Para determinado ângulo de incidência porém conhecido como ângulo de Brewster e representado pelo símbolo θB a luz refletida possui apenas a componente perpendicular como mostra a Fig 3325 Nesse caso a luz refletida é totalmente polarizada perpendicularmente ao plano de incidência A luz refratada por outro lado possui tanto a componente paralela como a componente perpendicular Óculos de Sol Polarizados O vidro a água e outros materiais dielétricos discutidos no Módulo 255 podem polarizar a luz por reflexão Quando você observa uma dessas superfícies enquanto está sendo iluminada pelo Sol você pode ver um ponto brilhante no local onde a reflexão está ocorrendo Se a superfície é horizontal como na Fig 3325 a polarização da luz refletida é horizontal Para eliminar a ofuscação causada por uma superfície refletora horizontal é preciso que os filtros polarizadores usados nos óculos sejam montados de tal forma que a direção de polarização fique na vertical Figura 3325 Um raio de luz não polarizada que estava se propagando no ar incide em uma superfície de vidro com um ângulo de incidência igual ao ângulo de Brewster θB O campo elétrico do raio incidente pode ser separado em uma componente perpendicular ao plano do papel que é o plano de incidência reflexão e refração e uma componente paralela ao plano do papel A luz refletida contém apenas a componente perpendicular e portanto está polarizada nessa direção A luz refratada contém as duas componentes mas a componente perpendicular é menos intensa assim a luz refratada está parcialmente polarizada A Lei de Brewster Observase experimentalmente que o ângulo de Brewster θB é aquele para o qual os raios refletido e refratado são mutuamente perpendiculares Como o ângulo do raio refletido na Fig 3325 é θB e o ângulo do raio refratado é θr temos Esses dois ângulos podem ser relacionados com o auxílio da Eq 3340 Atribuindo arbitrariamente o índice 1 da Eq 3340 ao material no qual se propagam os raios incidente e refletido temos Combinando as duas equações obtemos que nos dá Observe que os índices da Eq 3349 não são arbitrários já que os meios 1 e 2 foram definidos previamente Se os raios incidente e refletido se propagam no ar podemos fazer n1 1 e representar n2 como n nesse caso a Eq 3349 assume a forma Essa versão simplificada da Eq 3349 é conhecida como lei de Brewster Como o ângulo de Brewster a lei de Brewster recebeu esse nome em homenagem a Sir David Brewster 17811868 o cientista escocês que a descobriu experimentalmente em 1812 Revisão e Resumo Ondas Eletromagnéticas Uma onda eletromagnética é formada por campos elétricos e magnéticos variáveis As várias frequências possíveis das ondas eletromagnéticas constituem um espectro do qual uma pequena parte constitui a luz visível Uma onda eletromagnética que se propaga na direção do eixo x possui um campo elétrico e um campo magnético cujos módulos dependem de x e t E Em senkx ωt e em que Em e Bm são as amplitudes de e O campo elétrico induz o campo magnético e viceversa A velocidade de qualquer onda eletromagnética no vácuo é c que pode ser escrita como em que E e B são os módulos dos campos em um instante qualquer Fluxo de Energia A taxa por unidade de área com a qual a energia é transportada por uma onda eletromagnética é dada pelo vetor de Poynting A direção de que é também a direção de propagação da onda e a direção do fluxo de energia é perpendicular às direções de e A taxa média por unidade de área com a qual a energia é transportada Sméd é chamada de intensidade da onda e representada pelo símbolo I em que Uma fonte pontual de ondas eletromagnéticas emite as ondas isotropicamente ou seja com igual intensidade em todas as direções A intensidade das ondas a uma distância r de uma fonte pontual de potência Ps é dada por Pressão da Radiação Quando uma superfície intercepta uma onda eletromagnética a onda exerce uma força e uma pressão sobre a superfície Quando a radiação é totalmente absorvida por uma superfície perpendicular à direção de propagação a força é dada por em que I é a intensidade da radiação e A é a área da superfície Quando a radiação é totalmente refletida a força é dada por A pressão da radiação pr é a força por unidade de área e Polarização Dizemos que uma onda eletromagnética é polarizada se o vetor campo elétrico está sempre no mesmo plano que é chamado de plano de oscilação A luz produzida por uma lâmpada comum não é polarizada dizemos que uma luz desse tipo é não polarizada ou polarizada aleatoriamente Nesse caso vistos de frente os vetores do campo elétrico oscilam em todas as direções possíveis que sejam perpendiculares à direção de propagação Filtros Polarizadores Quando a luz atravessa um filtro polarizador apenas a componente do campo elétrico paralela à direção de polarização do filtro é transmitida a componente perpendicular à direção de polarização é absorvida pelo filtro Isso significa que a luz que emerge de um filtro polarizador está polarizada paralelamente à direção de polarização do filtro Se a luz que incide em um filtro polarizador é não polarizada a intensidade da luz transmitida I é metade da intensidade original I0 Se a luz que incide no filtro polarizador é polarizada a intensidade da luz transmitida depende do ângulo θ entre a direção de polarização da luz incidente e a direção de polarização do filtro Ótica Geométrica Ótica geométrica é o tratamento aproximado da luz no qual as ondas luminosas são representadas por raios que se propagam em linha reta Reflexão e Refração Quando um raio luminoso encontra a interface de dois meios transparentes em geral aparecem um raio refletido e um raio refratado Os dois raios permanecem no plano de incidência O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência e o ângulo de refração está relacionado com o ângulo de incidência pela lei de Snell em que n1 e n2 são os índices de refração dos meios nos quais se propagam o raio incidente e o raio refratado Reflexão Interna Total Uma onda que incide em uma interface com um meio de menor índice de refração experimenta reflexão interna total se o ângulo de incidência for maior que um ângulo crítico θc dado por Polarização por Reflexão Uma onda refletida é totalmente polarizada com o vetor perpendicular ao plano de incidência se o ângulo de incidência for igual ao ângulo de Brewster θB dado por Perguntas 1 Se o campo magnético de uma onda luminosa é paralelo ao eixo y e o módulo é dado por By Bm senkz ωt determine a a direção de propagação da onda e b a direção do campo elétrico associado à onda 2 Suponha que o segundo filtro da Fig 3315a seja girado a partir da direção de polarização paralela ao eixo y θ 0 terminando com a direção de polarização paralela ao eixo x θ 90 Qual das quatro curvas da Fig 3326 representa melhor a intensidade da luz que atravessa o sistema de três filtros em função do ângulo θ durante a rotação Figura 3326 Pergunta 2 3 a A Fig 3327 mostra um feixe luminoso passando por um filtro polarizador cuja direção de polarização é paralela ao eixo y Suponha que o filtro seja girado de 40 no sentido horário mantendose paralelo ao plano xy Com a rotação a porcentagem da luz que atravessa o filtro aumenta diminui ou permanece constante a se a luz incidente for não polarizada b se a luz incidente for polarizada paralelamente ao eixo x c se a luz incidente for polarizada paralelamente ao eixo y Figura 3327 Pergunta 3 4 A Fig 3328 mostra os campos elétrico e magnético de uma onda eletromagnética em um dado instante O sentido de propagação da onda é para dentro ou para fora do papel Figura 3328 Pergunta 4 5 Na Fig 3315a comece com um feixe de luz polarizada paralelamente ao eixo x e escreva a razão entre a intensidade final I3 e a intensidade inicial I0 na forma I3I0 A cosn θ Quais são os valores de A n e θ quando giramos a direção de polarização do primeiro filtro a 60 no sentido antihorário e b 90 no sentido horário 6 Na Fig 3329 uma luz não polarizada atravessa um conjunto de cinco filtros polarizadores As direções de polarização dos filtros medidas no sentido antihorário no sentido positivo do eixo y são as seguintes filtro 1 35 filtro 2 0 filtro 3 0 filtro 4 110 filtro 5 45 O filtro 3 sofre uma rotação de 180 no sentido antihorário Durante a rotação para quais ângulos medidos no sentido antihorário no sentido positivo do eixo y a transmissão de luz pelo conjunto é eliminada totalmente Figura 3329 Pergunta 6 7 A Fig 3330 mostra raios de luz monocromática passando por três materiais a b e c Coloque os materiais na ordem decrescente do índice de refração Figura 3330 Pergunta 7 8 A Fig 3331 mostra as reflexões múltiplas de um raio luminoso em um corredor de vidro no qual as paredes são paralelas ou perpendiculares Se o ângulo de incidência no ponto a é 30 quais são os ângulos de reflexão do raio luminoso nos pontos b c d e e f Figura 3331 Pergunta 8 9 A Fig 3332 mostra quatro placas horizontais A B C e D feitas de materiais diferentes com ar acima da primeira placa e abaixo da última O índice de refração dos materiais é dado Raios de luz incidem na extremidade esquerda das quatro placas da forma indicada na figura Em que placa existe a possibilidade de que a luz fique confinada de tal forma que após muitas reflexões chegue à extremidade direita sem deixar a placa Figura 3332 Pergunta 9 10 O bloco da esquerda da Fig 3333 apresenta reflexão interna total para a luz no interior de um material com índice de refração n1 quando existe ar do lado de fora do material Um raio de luz que chega ao ponto A vindo de qualquer ponto da região sombreada da esquerda como o raio que aparece na figura sofre reflexão total e termina na região sombreada da direita Os outros blocos mostram situações semelhantes para outros materiais Coloque os materiais na ordem decrescente do índice de refração Figura 3333 Pergunta 10 11 As três partes da Fig 3334 mostram a refração da luz na interface de dois materiais diferentes O raio incidente cinzento na figura é uma mistura de luz vermelha e azul O índice de refração aproximado para a luz visível está indicado para cada material Qual das três partes mostra uma situação fisicamente possível Sugestão Considere primeiro a refração em geral independentemente da cor e depois considere a diferença entre a refração da luz vermelha e a refração da luz azul Figura 3334 Pergunta 11 12 Na Fig 3335 a luz começa no material a passa por placas feitas de três outros materiais com as interfaces paralelas entre si e penetra em outra placa do material a A figura mostra o raio incidente e os raios refratados nas diferentes interfaces Coloque os materiais na ordem decrescente do índice de refração Sugestão O fato de que as interfaces são paralelas permite uma comparação direta Figura 3335 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 331 Ondas Eletromagnéticas 1 Um laser de hélioneônio emite luz vermelha em uma faixa estreita de comprimentos de onda em torno de 6328 nm com uma largura como a da escala da Fig 331 de 00100 nm Qual é a largura da luz emitida em unidades de frequência 2 O objetivo do Projeto Seafarer era construir uma gigantesca antena subterrânea com uma área da ordem de 10000 km2 para transmitir sinais de rádio que pudessem ser captados por submarinos a grandes profundidades Se o comprimento de onda efetivo desses sinais de rádio fosse 10 104 raios terrestres qual seria a a frequência e b qual seria o período da radiação emitida Normalmente as ondas eletromagnéticas são fortemente atenuadas quando se propagam em materiais condutores de eletricidade como a água salgada o que torna difícil a comunicação com submarinos 3 A partir da Fig 332 determine a o menor e b o maior comprimento de onda para o qual a sensibilidade de olho humano é igual a metade da sensibilidade máxima Determine também c o comprimento de onda d a frequência e e o período da luz a que o olho humano é mais sensível 4 A que distância devem estar as mãos de uma pessoa para que estejam separadas por 10 nanossegundoluz a distância que a luz percorre em 10 nanossegundo 5 Qual o valor da indutância que deve ser ligada a um capacitor de 17 pF em um oscilador capaz de gerar ondas eletromagnéticas de 550 nm ou seja dentro da faixa da luz visível Comente a resposta 6 Qual é o comprimento de onda da onda eletromagnética emitida pelo sistema osciladorantena da Fig 333 se L 0253 μH e C 250 pF Módulo 332 Transporte de Energia e o Vetor de Poynting 7 Qual deve ser a intensidade de uma onda eletromagnética plana se o valor de Bm é 10 104 T 8 Suponha de forma pouco realista que uma estação de TV se comporta como uma fonte pontual isotrópica transmitindo com uma potência de 10 MW Qual é a intensidade do sinal ao chegar às vizinhanças de Próxima do Centauro a estrela mais próxima do Sistema Solar que está a 43 anosluz de distância Uma civilização alienígena a essa distância poderia assistir a Arquivo X Um anoluz é a distância que a luz percorre em um ano 9 Alguns lasers de neodímiovidro podem produzir 100 TW de potência em pulsos de 10 ns com um comprimento de onda de 026 mm Qual é a energia contida em um desses pulsos 10 Uma onda eletromagnética plana tem um campo elétrico máximo de 320 104 Vm Determine a amplitude do campo magnético 11 Uma onda eletromagnética plana que se propaga no vácuo no sentido positivo do eixo x tem componentes Ex Ey 0 e Ez 20 Vm cosπ 1015 s1t xc a Qual é a amplitude do campo magnético associado à onda b O campo magnético oscila paralelamente a que eixo c No instante em que o campo elétrico associado à onda aponta no sentido positivo do eixo z em certo ponto P do espaço em que direção aponta o campo magnético no mesmo ponto 12 Em uma onda de rádio plana o valor máximo do campo elétrico é 500 Vm Calcule a o valor máximo do campo magnético e b a intensidade da onda 13 A luz do Sol no limite superior da atmosfera terrestre tem uma intensidade de 140 kWm2 Calcule a Em e b Bm para a luz solar nessa altitude supondo tratarse de uma onda plana 14 Uma fonte pontual isotrópica emite luz com um comprimento de onda de 500 nm e uma potência de 200 W Um detector de luz é posicionado a 400 m da fonte Qual é a máxima taxa Bt com a qual a componente magnética da luz varia com o tempo na posição do detector 15 Um avião que está a 10 km de distância de um transmissor de rádio recebe um sinal com uma intensidade de 10 μWm2 Determine a amplitude a do campo elétrico e b do campo magnético do sinal na posição do avião c Se o transmissor irradia uniformemente ao longo de um hemisfério qual é a potência da transmissão 16 Frank D Drake um investigador do programa SETI Search for Extraterrestrial Intelligence ou seja Busca de Inteligência Extraterrestre disse uma vez que o grande radiotelescópio de Arecibo Porto Rico Fig 3336 é capaz de detectar um sinal que deposita em toda a superfície da Terra uma potência de apenas um picowatt a Qual é a potência que a antena do radiotelescópio de Arecibo receberia de um sinal como esse O diâmetro da antena é 300 m b Qual teria que ser a potência de uma fonte isotrópica situada no centro de nossa galáxia para que um sinal com essa potência chegasse à Terra O centro da galáxia fica a 22 104 anosluz de distância Um anoluz é a distância que a luz percorre em um ano Cortesia de SRI International USRA UMET Figura 3336 Problema 16 O radiotelescópio de Arecibo 17 O campo elétrico máximo a uma distância de 10 m de uma fonte pontual é 20 Vm Quais são a o valor máximo do campo magnético e b a intensidade média da luz a essa distância da fonte c Qual é a potência da fonte 18 A intensidade I da luz emitida por uma fonte pontual é medida em função da distância r da fonte A Fig 3337 mostra a intensidade I em função do inverso do quadrado da distância r2 A escala do eixo vertical é definida por Is 200 Wm2 e a escala do eixo horizontal é definida por rs 2 80 m2 Qual é a potência da fonte Figura 3337 Problema 18 Módulo 333 Pressão da Radiação 19 Lasers de alta potência são usados para comprimir plasmas gases de partículas carregadas Um laser capaz de gerar pulsos de radiação com uma potência máxima de 15 103 MW é focalizado em 10 mm2 de um plasma de elétrons de alta densidade Determine a pressão exercida sobre o plasma se este se comporta como um meio perfeitamente refletor 20 A luz do Sol no limite superior da atmosfera terrestre tem uma intensidade de 14 kWm2 a Supondo que a Terra e a atmosfera se comporta como um disco plano perpendicular aos raios solares e que toda a energia incidente é absorvida calcule a força exercida sobre a Terra pela radiação b Compare essa força com a força exercida pela atração gravitacional do Sol 21 Qual é a pressão da radiação a 15 m de distância de uma lâmpada de 500 W Suponha que a superfície sobre a qual a pressão é exercida está voltada para a lâmpada e é perfeitamente absorvente e que a lâmpada irradia uniformemente em todas as direções 22 Um pedaço de cartolina pintado de preto totalmente absorvente de área A 20 cm2 intercepta um pulso luminoso com uma intensidade de 10 Wm2 produzido por uma lâmpada estroboscópica Qual é a pressão exercida pela luz sobre a cartolina 23 Pretendese levitar uma pequena esfera totalmente absorvente 0500 m acima de uma fonte luminosa pontual fazendo com que a força para cima exercida pela radiação seja igual ao peso da esfera A esfera tem 200 mm de raio e massa específica de 190 gcm3 a Qual deve ser a potência da fonte luminosa b Mesmo que fosse possível construir uma fonte com essa potência por que o equilíbrio da esfera seria instável 24 Teoricamente uma espaçonave poderia deslocarse no sistema solar usando a pressão da radiação solar em uma grande vela feita de folha de alumínio Qual deve ser o tamanho da vela para que a força exercida pela radiação seja igual em módulo à força de atração gravitacional do Sol Suponha que a massa da espaçonave incluindo a vela é 1500 kg e que a vela é perfeitamente refletora e está orientada perpendicularmente aos raios solares Os dados astronômicos necessários podem ser obtidos no Apêndice C Se for usada uma vela maior a espaçonave se afastará do Sol 25 Prove para uma onda eletromagnética plana que incide perpendicularmente em uma superfície plana que a pressão exercida pela radiação sobre a superfície é igual à densidade de energia perto da superfície Essa relação entre pressão e densidade de energia não depende da refletância da superfície 26 Na Fig 3338 o feixe de um laser com 460 W de potência e D 260 mm de diâmetro é apontado para cima perpendicularmente a uma das faces circulares com menos de 260 mm de diâmetro de um cilindro perfeitamente refletor que é mantido suspenso pela pressão da radiação do laser A massa específica do cilindro é 120 gcm3 Qual é a altura H do cilindro Figura 3338 Problema 26 27 Uma onda eletromagnética plana com um comprimento de onda de 30 m se propaga no vácuo no sentido positivo do eixo x O campo elétrico cuja amplitude é 300 Vm oscila paralelamente ao eixo y Determine a a frequência b a frequência angular c o número de onda d a amplitude do campo magnético associado à onda e O campo magnético oscila paralelamente a que eixo f Qual é o fluxo médio de energia em watts por metro quadrado associado à onda A onda ilumina uniformemente uma placa com uma área de 20 m2 Se a placa absorve totalmente a onda determine g a taxa com a qual o momento é transferido à placa e h a pressão exercida pela radiação sobre a placa 28 A intensidade média da radiação solar que incide perpendicularmente em uma superfície situada logo acima da atmosfera da Terra é 14 kWm2 a Qual é a pressão de radiação pr exercida pelo Sol sobre a superfície supondo que toda a radiação é absorvida b Calcule a razão entre essa pressão e a pressão atmosférica ao nível do mar que é 10 105 Pa 29 Uma pequena espaçonave cuja massa é 15 103 kg incluindo um astronauta está à deriva no espaço longe de qualquer campo gravitacional Se o astronauta liga um laser com uma potência de 10 kW que velocidade a nave atinge em 10 dia por causa do momento associado à luz do laser 30 Um laser tem uma potência luminosa de 500 mW e um comprimento de onda de 633 nm A luz emitida é focalizada concentrada até que o diâmetro do feixe luminoso seja igual ao diâmetro de 1266 nm de uma esfera iluminada pelo laser A esfera é perfeitamente absorvente e tem massa específica de 500 103 kgm3 Determine a a intensidade do feixe produzido pelo laser na posição da esfera b a pressão exercida pela radiação do laser sobre a esfera c o módulo da força correspondente d o módulo da aceleração que a força imprime à esfera 31 Quando um cometa se aproxima do Sol o gelo da superfície do cometa sublima liberando íons e partículas de poeira Como possuem carga elétrica os íons são empurrados pelas partículas carregadas do vento solar e formam uma cauda de íons retilínea que aponta radialmente para longe do Sol Fig 33 39 As partículas de poeira eletricamente neutras são empurradas para longe do Sol pela força da luz solar Suponha que as partículas de poeira são esféricas têm uma massa específica de 35 103 kgm3 e são totalmente absorventes a Que raio deve ter uma partícula para descrever uma trajetória retilínea como a trajetória 2 da figura b Se o raio da partícula é maior que o valor calculado no item a a trajetória se encurva para longe do Sol como a trajetória 1 ou para perto do Sol como a trajetória 3 Figura 3339 Problema 31 Módulo 334 Polarização 32 Na Fig 3340 um feixe de luz inicialmente não polarizada atravessa três filtros polarizadores cujas direções de polarização fazem ângulos de θ1 θ2 θ3 50 com a direção do eixo y Que porcentagem da intensidade inicial da luz é transmitida pelo conjunto Sugestão Preste atenção nos ângulos Figura 3340 Problemas 32 e 33 33 Na Fig 3340 um feixe de luz inicialmente não polarizada atravessa três filtros polarizadores cujas direções de polarização fazem ângulos de θ1 40 θ2 20 e θ3 40 com a direção do eixo y Que porcentagem da intensidade inicial da luz é transmitida pelo conjunto Sugestão Preste atenção nos ângulos 34 Na Fig 3341 um feixe de luz não polarizada com uma intensidade de 43 Wm2 atravessa um sistema composto por dois filtros polarizadores cujas direções fazem ângulos θ1 70 e θ2 90 com o eixo y Qual é a intensidade da luz transmitida pelo sistema Figura 3341 Problemas 34 35 e 42 35 Na Fig 3341 um feixe luminoso com uma intensidade de 43 Wm2 e polarização paralela ao eixo y atravessa um sistema composto por dois filtros polarizadores cujas direções fazem ângulos θ1 70 e θ2 90 com o eixo y Qual é a intensidade da luz transmitida pelo sistema 36 Nas praias a luz em geral é parcialmente polarizada devido às reflexões na areia e na água Em uma praia no final da tarde a componente horizontal do vetor campo elétrico é 23 vezes maior que a componente vertical Um banhista fica de pé e coloca óculos polarizados que eliminam totalmente a componente horizontal do campo elétrico a Que fração da intensidade luminosa total chega aos olhos do banhista b Ainda usando óculos o banhista se deita de lado na areia Que fração da intensidade luminosa total chega aos olhos do banhista 37 Queremos fazer a direção de polarização de um feixe de luz polarizada girar de 90 fazendo o feixe passar por um ou mais filtros polarizadores a Qual é o número mínimo de filtros necessário b Qual é o número mínimo de filtros necessário se a intensidade da luz transmitida deve ser mais de 60 da intensidade original 38 Na Fig 3342 um feixe de luz não polarizada passa por um conjunto de três filtros polarizadores Os ângulos θ1 θ2 e θ3 das direções de polarização são medidos no sentido antihorário no sentido positivo do eixo y não estão desenhados em escala Os ângulos θ1 e θ3 são fixos mas o ângulo θ2 pode ser ajustado A Fig 3343 mostra a intensidade da luz que atravessa o conjunto em função de θ2 A escala do eixo de intensidades não é conhecida Que porcentagem da intensidade inicial da luz é transmitida pelo conjunto se θ2 30 Figura 3342 Problemas 38 40 e 44 Figura 3343 Problema 38 39 Um feixe de luz não polarizada com uma intensidade de 10 mWm2 atravessa um filtro polarizador como na Fig 3311 Determine a a amplitude do campo elétrico da luz transmitida e b a pressão exercida pela radiação sobre o filtro polarizador 40 Na Fig 3342 um feixe de luz não polarizada atravessa um conjunto de três filtros polarizadores Os ângulos θ1 θ2 e θ3 das direções de polarização são medidos no sentido antihorário a partir do semieixo y positivo os ângulos não estão desenhados em escala Os ângulos θ1 e θ3 são fixos mas o ângulo θ2 pode ser ajustado A Fig 3344 mostra a intensidade da luz que atravessa o conjunto em função de θ2 A escala do eixo de intensidades não é conhecida Que porcentagem da intensidade inicial da luz é transmitida pelo conjunto para θ2 90 Figura 3344 Problema 40 41 Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois filtros polarizadores Em relação à direção de polarização da luz incidente as direções de polarização dos filtros são θ para o primeiro filtro e 90 para o segundo Se 10 da intensidade incidente são transmitidos pelo conjunto quanto vale θ 42 Na Fig 3341 um feixe de luz não polarizada atravessa um conjunto de dois filtros polarizadores Os ângulos θ1 e θ2 das direções de polarização dos filtros são medidos no sentido antihorário a partir do semieixo y positivo os ângulos não estão desenhados em escala na figura O ângulo θ1 é fixo mas o ângulo θ2 pode ser ajustado A Fig 3345 mostra a intensidade da luz que atravessa o sistema em função de θ2 A escala do eixo de intensidades não é conhecida Que porcentagem da intensidade inicial da luz é transmitida pelo conjunto para θ2 90 Figura 3345 Problema 42 43 Um feixe de luz parcialmente polarizada pode ser considerado uma mistura de luz polarizada e não polarizada Suponha que um feixe desse tipo atravesse um filtro polarizador e que o filtro seja girado de 360 enquanto se mantém perpendicular ao feixe Se a intensidade da luz transmitida varia por um fator de 50 durante a rotação do filtro que fração da intensidade da luz incidente está associada à luz polarizada do feixe 44 Na Fig 3342 um feixe de luz não polarizada atravessa um conjunto de três filtros polarizadores que transmite 00500 da intensidade luminosa inicial As direções de polarização do primeiro filtro e do terceiro filtro são θ1 0 e θ3 90 Determine a o menor e b o maior valor possível do ângulo θ2 90 que define a direção de polarização do filtro 2 Módulo 335 Reflexão e Refração 45 Quando o tanque retangular de metal da Fig 3346 está cheio até a borda de um líquido desconhecido um observador O com os olhos ao nível do alto do tanque mal pode ver o vértice E A figura mostra um raio que se refrata na superfície do líquido e toma a direção do observador O Se D 850 cm e L 110 m qual é o índice de refração do líquido Figura 3346 Problema 45 46 Na Fig 3347a um raio luminoso que estava se propagando em um meio transparente incide com um ângulo θ1 na água onde parte da luz se refrata O primeiro meio pode ser do tipo 1 ou do tipo 2 a Fig 3347b mostra o ângulo de refração θ2 em função do ângulo de incidência θ1 para os dois tipos de meio A escala do eixo horizontal é definida por θ1s 908 Sem fazer nenhum cálculo determine a se o índice de refração do meio 1 é maior ou menor que o índice de refração da água n 133 e b se o índice de refração do meio 2 é maior ou menor que o índice de refração da água Determine o índice de refração c do meio 1 e d do meio 2 Figura 3347 Problema 46 47 Um raio de luz que estava se propagando no vácuo incide na superfície de uma placa de vidro No vácuo o raio faz um ângulo de 320 com a normal à superfície enquanto no vidro faz um ângulo de 210 com a normal Qual é o índice de refração do vidro 48 Na Fig 3348a um raio luminoso que estava se propagando na água incide com um ângulo θ1 em outro meio no qual parte da luz se refrata O outro meio pode ser do tipo 1 ou do tipo 2 a Fig 3348b mostra o ângulo de refração θ2 em função do ângulo de incidência θ1 para os dois tipos de meio A escala do eixo vertical é definida por θ2s 908 Sem fazer nenhum cálculo determine a se o índice de refração do meio 1 é maior ou menor que o índice de refração da água n 133 e b se o índice de refração do meio 2 é maior ou menor que o índice de refração da água Determine o índice de refração c do meio 1 e d do meio 2 Figura 3348 Problema 48 49 A Fig 3349 mostra um raio luminoso sendo refletido em dois espelhos perpendiculares A e B Determine o ângulo entre o raio incidente i e o raio r Figura 3349 Problema 49 50 Na Fig 3350a um feixe luminoso que estava se propagando no meio 1 incide com um ângulo θ1 40 na interface com o meio 2 Parte da luz penetra no meio 2 e parte dessa luz penetra no meio 3 todas as interfaces são paralelas A orientação do feixe no meio 3 depende entre outros fatores do índice de refração n3 do terceiro meio A Fig 3350b mostra o ângulo θ3 em função de n3 A escala do eixo vertical é definida por θ3a 300 e θ3b 500 a É possível calcular o índice de refração do meio 1 com base nessas informações Se a resposta for afirmativa determine o valor de n1 b É possível calcular o índice de refração do meio 2 com base nessas informações Se a resposta for afirmativa determine o valor de n2 c Se θ1 70 e n3 24 qual é o valor de θ3 Figura 3350 Problema 50 51 Na Fig 3351 a luz incide fazendo um ângulo θ1 401 com a normal na interface de dois meios transparentes Parte da luz atravessa as outras três camadas transparentes e parte é refletida para cima e escapa para o ar Se n1 130 n2 140 n3 132 e n4 145 determine o valor a de θ5 e b de θ4 Figura 3351 Problema 51 52 Na Fig 3352a um feixe luminoso que estava se propagando no meio 1 incide no meio 2 com um ângulo de 308 A refração da luz no meio 2 depende entre outros fatores do índice de refração n2 do meio 2 A Fig 3352b mostra o ângulo de refração θ2 em função de n2 A escala do eixo vertical é definida por θ2a 200 e θ2b 4008 a Qual é o índice de refração do meio 1 b Se o ângulo de incidência aumenta para 60 e n2 24 qual é o valor de θ2 Figura 3352 Problema 52 53 Na Fig 3353 um raio incide em uma das faces de um prisma triangular de vidro imerso no ar O ângulo de incidência θ é escolhido de tal forma que o raio emergente faz o mesmo ângulo θ com a normal à outra face Mostre que o índice de refração n do vidro é dado por em que ϕ é o ângulo do vértice superior do prisma e ψ é o ângulo de desvio definido como o ângulo entre o raio emergente e o raio incidente Nessas condições o ângulo de desvio ψ tem o menor valor possível que é denominado ângulo de desvio mínimo Figura 3353 Problemas 53 e 64 54 Dispersão em um vidro de janela Na Fig 3354 um feixe de luz branca incide com um ângulo θ 508 em um vidro comum de janela mostrado de perfil Nesse tipo de vidro o índice de refração da luz visível varia de 1524 na extremidade azul do espectro a 1509 na extremidade vermelha As duas superfícies do vidro são paralelas Determine a dispersão angular das cores do feixe a quando a luz entra no vidro e b quando a luz sai do lado oposto Sugestão Quando você olha para um objeto através de um vidro de janela as cores do objeto se dispersam como na Fig 3320 Figura 3354 Problema 54 55 Na Fig 3355 uma estaca vertical com 200 m de comprimento se projeta do fundo de uma piscina até um ponto 500 cm acima da água O Sol está 550 acima do horizonte Qual é o comprimento da sombra da estaca no fundo da piscina Figura 3355 Problema 55 56 Arcoíris produzido por gotas quadradas Suponha que em um planeta exótico as gotas de chuva tenham uma seção reta quadrada e caiam sempre com uma face paralela ao solo A Fig 3356 mostra uma dessas gotas na qual incide um feixe de luz branca com um ângulo de incidência θ 700 no ponto P A parte da luz que penetra na gota se propaga até o ponto A onde parte é refratada de volta para o ar e a outra parte é refletida A luz refletida chega ao ponto B onde novamente parte da luz é refratada de volta para o ar e parte é refletida Qual é a diferença entre os ângulos dos raios de luz vermelha n 1331 e de luz azul n 1343 que deixam a gota a no ponto A e b no ponto B Se houver uma diferença um observador externo verá um arcoíris ao observar a luz que sai da gota pelo ponto A ou pelo ponto B Figura 3356 Problema 56 Módulo 336 Reflexão Interna Total 57 Uma fonte luminosa pontual está 800 cm abaixo da superfície de uma piscina Calcule o diâmetro do círculo na superfície através do qual a luz emerge da água 58 O índice de refração do benzeno é 18 Qual é o ângulo crítico para um raio luminoso que se propaga no benzeno em direção a uma interface plana do benzeno com o ar 59 Na Fig 3357 um raio luminoso incide perpendicularmente à face ab de um prisma de vidro n 152 Determine o maior valor do ângulo ϕ para o qual o raio é totalmente refletido pela face ac se o prisma estiver imerso a no ar e b na água Figura 3357 Problema 59 60 Na Fig 3358 a luz do raio A é refratada pelo meio 1 n1 160 atravessa uma fina camada do meio 2 n2 180 e incide com o ângulo crítico na interface dos meios 2 e 3 n3 130 a Qual é o valor do ângulo de incidência θA b Se θA diminuir parte da luz conseguirá passar para o meio 3 A luz do raio B é refratada pelo material 1 atravessa o material 2 e incide com o ângulo crítico na interface dos materiais 2 e 3 c Qual é o valor do ângulo de incidência θB d Se θB diminuir parte da luz conseguirá passar para o material 3 Figura 3358 Problema 60 61 Na Fig 3359 um feixe luminoso que estava se propagando no meio 1 é refratado para o meio 2 atravessa esse meio e incide com o ângulo crítico na interface dos meios 2 e 3 Os índices de refração são n1 160 n2 140 e n3 120 a Qual é o valor do ângulo θ b Se o valor de θ aumentar a luz conseguirá penetrar no meio 3 Figura 3359 Problema 61 62 Um peixegato está 200 m abaixo da superfície de um lago a Qual é o diâmetro da circunferência na superfície que delimita a região na qual o peixe pode ver o que existe do lado de fora do lago b Se o peixe descer para uma profundidade maior o diâmetro da circunferência aumentará diminuirá ou continuará o mesmo 63 Na Fig 3360 um raio luminoso penetra no ponto P com um ângulo de incidência θ em um prisma triangular cujo ângulo do vértice superior é 908 Parte da luz é refratada no ponto Q com um ângulo de refração de 908 a Qual é o índice de refração do prisma em termos de θ b Qual numericamente é o maior valor possível do índice de refração do prisma c A luz sairá do prisma no ponto Q se o ângulo de incidência nesse ponto for ligeiramente aumentado d A luz sairá do prisma no ponto Q se o ângulo de incidência nesse ponto for ligeiramente reduzido Figura 3360 Problema 63 64 Suponha que o ângulo do vértice superior do prisma de vidro da Fig 3353 seja ϕ 600 e que o índice de refração do vidro seja n 160 a Qual é o menor ângulo de incidência θ para o qual um raio pode entrar na face esquerda do prisma e sair na face direita b Qual deve ser o ângulo de incidência θ para que o raio saia do prisma com o mesmo ângulo θ com que entrou como na Fig 3353 65 A Fig 3361 mostra uma fibra ótica simplificada um núcleo de plástico n1 158 envolvido por um revestimento de plástico com um índice de refração menor n2 153 Um raio luminoso incide em uma das extremidades da fibra com um ângulo θ O raio deve sofrer reflexão interna total no ponto A onde atinge a interface núcleorevestimento Isso é necessário para que não haja perda de luz cada vez que o raio incidir na interface Qual é o maior valor de θ para o qual existe reflexão interna total no ponto A Figura 3361 Problema 65 66 Na Fig 3362 um raio luminoso incide com um ângulo θ em uma face de um cubo de plástico transparente feito de um material cujo índice de refração é 156 As dimensões indicadas na figura são H 200 cm e W 300 cm A luz atravessa o cubo e chega a uma das faces onde sofre reflexão voltando para o interior do cubo e possivelmente refração escapando para o ar Esse é o ponto da primeira reflexão A luz refletida atravessa novamente o cubo e chega na outra face onde sofre uma segunda reflexão Se θ1 408 determine em que face está a o ponto da primeira reflexão e b em que face está o ponto da segunda reflexão Se existe refração c no ponto da primeira reflexão eou d no ponto da segunda reflexão determine o ângulo de refração se não existe responda não há refração Se θ1 708 determine em que face está e o ponto da primeira reflexão e f em que face está o ponto da segunda reflexão Se existe refração g no ponto da primeira reflexão eou h no ponto da segunda reflexão determine o ângulo de refração se não existe responda não há refração Figura 3362 Problema 66 67 No diagrama de raios da Fig 3363 em que os ângulos não estão desenhados em escala o raio incide com o ângulo crítico na interface dos materiais 2 e 3 O ângulo ϕ é 600 e dois dos índices de refração são n1 170 e n2 160 Determine a o índice de refração n3 e b o valor do ângulo θ c Se o valor de θ for aumentado a luz conseguirá penetrar no meio 3 Figura 3363 Problema 67 Módulo 337 Polarização por Reflexão 68 a Para qual ângulo de incidência a luz refletida na água é totalmente polarizada b Esse ângulo depende do comprimento de onda da luz 69 Um raio de luz que está se propagando na água índice de refração 133 incide em uma placa de vidro cujo índice de refração é 153 Para qual ângulo de incidência a luz refletida é totalmente polarizada 70 Na Fig 3364 um raio luminoso que estava se propagando no ar incide em um material 2 com um índice de refração n2 15 Abaixo do material 2 está o material 3 com um índice de refração n3 O raio incide na interface armaterial 2 com o ângulo de Brewster para essa interface e incide na interface material 2material 3 com o ângulo de Brewster para essa interface Qual é o valor de n3 Figura 3364 Problema 70 Problemas Adicionais 71 a Quanto tempo um sinal de rádio leva para percorrer os 150 km que separam uma antena transmissora de uma antena receptora b Vemos a Lua por causa da luz solar refletida Quanto tempo essa luz leva para chegar a nossos olhos desde o instante em que deixa o Sol As distâncias entre a Terra e a Lua e entre a Terra e o Sol são respectivamente 38 105 km e 15 108 km c Qual é o tempo que a luz leva para executar uma viagem de ida e volta entre a Terra e uma espaçonave que se encontra em órbita em torno de Saturno a 13 109 km de distância d Os astrônomos acreditam que a nebulosa do Caranguejo que está a cerca de 6500 anosluz da Terra é o que restou de uma supernova observada pelos chineses em 1054 dC Em que ano ocorreu na verdade a explosão da supernova À noite quando olhamos para o céu estrelado estamos na verdade contemplando o passado 72 Uma onda eletromagnética com uma frequência de 400 1014 Hz está se propagando no vácuo no sentido positivo do eixo x O campo elétrico da onda é paralelo ao eixo y e tem uma amplitude Em No instante t 0 o campo elétrico no ponto P situado no eixo x tem o valor de Em4 e está diminuindo com o tempo Qual é a distância ao longo do eixo x entre o ponto P e o primeiro ponto com E 0 a no sentido negativo do eixo x e b no sentido positivo do eixo x 73 A componente elétrica de um feixe de luz polarizada é dada por Ey 500 Vm sen100 106 m1z ωt a Escreva uma expressão para a componente magnética da onda incluindo o valor de ω Determine b o comprimento de onda c o período e d a intensidade da luz e O campo magnético oscila paralelamente a que eixo f A que região do espectro eletromagnético pertence essa onda 74 No sistema solar uma partícula está sujeita à influência combinada da atração gravitacional do Sol e da força da radiação solar Suponha que a partícula é uma esfera com massa específica de 10 103 kgm3 e que toda a luz incidente é absorvida a Mostre que se o raio da partícula for menor que certo raio crítico R a partícula será ejetada para fora do sistema solar b Determine o valor do raio crítico 75 Na Fig 3365 um raio luminoso entra em uma placa de vidro no ponto A com um ângulo de incidência θ1 4508 e sofre reflexão interna total no ponto B De acordo com essas informações qual é o valor mínimo do índice de refração do vidro Figura 3365 Problema 75 76 Na Fig 3366 um feixe de luz não polarizada com uma intensidade de 25 Wm2 atravessa um sistema composto por quatro filtros polarizadores cujos ângulos de polarização são θ1 40 θ2 20 θ3 20 e θ4 30 Qual é a intensidade da luz transmitida pelo sistema Figura 3366 Problema 76 77 Arcoíris A Fig 3367 mostra um raio luminoso entrando em uma gota dágua esférica e saindo dela depois de sofrer uma reflexão interna veja a Fig 3321a A diferença entre a direção final do raio e a direção inicial é o ângulo de desvio θdesv a Mostre que θdesv é dado por θdesv 180 2θi 4θr em que θi é o ângulo de incidência do raio na gota e θr é o ângulo do raio refratado b Use a lei de Snell para expressar θr em termos de θi e do índice de refração n da água Em seguida use uma calculadora gráfica ou um computador para plotar θdesv em função de θi para n 1331 luz vermelha e para n 1333 luz azul Figura 3367 Problema 77 A curva da luz vermelha e a curva da luz azul passam por um mínimo para valores diferentes de θdesv o que significa que existe um ângulo de desvio mínimo diferente para cada cor A luz de uma cor que sai da gota com o ângulo de desvio mínimo é especialmente intensa porque os raios se acumulam nas vizinhanças desse ângulo Assim a luz vermelha mais intensa sai da gota com um ângulo e a luz azul mais intensa sai da gota com outro ângulo Determine o ângulo de desvio mínimo c para a luz vermelha e d para a luz azul e Se essas cores estão nas extremidades de um arcoíris Fig 3321a qual é a largura angular do arcoíris 78 O arcoíris primário descrito no Problema 77 é o tipo mais comum produzido pela luz refletida apenas uma vez no interior das gotas de chuva Um tipo mais raro é o arcoíris secundário descrito no Módulo 335 produzido pela luz refletida duas vezes no interior das gotas Fig 3368a a Mostre que o desvio angular sofrido por um raio luminoso ao atravessar uma gota de chuva esférica é dado por θdesv 180k 2θi 2k 1θr em que k é o número de reflexões internas Use o método do Problema 77 para determinar o ângulo de desvio mínimo b para a luz vermelha e c para a luz azul de um arcoíris secundário d Determine a largura angular desse tipo de arcoíris Fig 3321d O arcoíris terciário estaria associado a três reflexões internas Fig 3368b É provável que esse tipo de arcoíris realmente aconteça mas como foi comentado no Módulo 335 não é possível observá lo por ser muito fraco e porque ocorre perto da direção do Sol Determine o ângulo de desvio mínimo e para a luz vermelha e f para a luz azul de um arcoíris terciário g Determine a largura angular desse tipo de arcoíris Figura 3368 Problema 78 79 a Prove que um raio de luz que incide em uma janela de vidro emerge do lado oposto com uma direção paralela à do raio original e um deslocamento lateral como na Fig 3369 b Mostre que para pequenos ângulos de incidência o deslocamento lateral é dado por em que t é a espessura do vidro θ é o ângulo de incidência do raio em radianos e n é o índice de refração do vidro Figura 3369 Problema 79 80 Uma onda eletromagnética está se propagando no sentido negativo do eixo y Em certo local e em certo instante o campo elétrico aponta no sentido positivo do eixo z e tem um módulo de 100 Vm Determine a o módulo e b a direção do campo magnético correspondente 81 A componente magnética de uma onda luminosa polarizada é dada por Bx 40 106 T sen157 107 m1y 1 ωt Determine a a direção de polarização da luz b a frequência da luz e c a intensidade da luz 82 Na Fig 3370 um feixe de luz não polarizada atravessa um conjunto de três filtros polarizadores no qual as direções de polarização do primeiro e do terceiro filtros são θ1 30 no sentido antihorário e θ3 30 no sentido horário Que fração da luz incidente é transmitida pelo conjunto Figura 3370 Problema 82 83 Um raio de luz branca que estava se propagando no quartzo fundido incide em uma interface quartzo ar com um ângulo θ1 Suponha que o índice de refração do quartzo é n 1456 na extremidade vermelha da faixa da luz visível e n 1470 na extremidade azul Se θ1 é a 4200 b 4310 e c 4400 a luz refratada é branca avermelhada azulada ou não há luz refratada 84 Um feixe de luz não polarizada atravessa três filtros polarizadores O ângulo entre as direções de polarização do primeiro filtro e do terceiro filtro é 90 a direção de polarização do filtro do meio faz um ângulo de 450 com as direções de polarização dos outros dois filtros Que fração da luz incidente atravessa os três filtros 85 Em uma região do espaço em que as forças gravitacionais podem ser desprezadas uma esfera é acelerada por um feixe luminoso uniforme de intensidade 60 mWm2 A esfera totalmente absorvente tem raio de 20 mm e massa específica uniforme de 50 103 kgm3 Determine o módulo da aceleração da esfera 86 Um feixe de luz não polarizada atravessa um conjunto de quatro filtros polarizadores orientados de tal forma que o ângulo entre as direções de polarização de filtros vizinhos é 308 Que fração da luz incidente é transmitida pelo conjunto 87 Em teste de campo um radar da OTAN operando com uma frequência de 12 GHz e uma potência de 180 kW tenta detectar um avião invisível a 90 km de distância Suponha que as ondas de radar cubram uniformemente uma superfície hemisférica a Qual é a intensidade das ondas ao chegarem à posição do avião O avião reflete as ondas de radar como se tivesse uma seção reta de apenas 022 m2 b Qual é a potência da onda refletida pelo avião Suponha que a onda refletida cubra uniformemente uma superfície hemisférica Determine na posição do radar c a intensidade da onda refletida d o valor máximo do campo elétrico associado à onda refletida e e o valor rms do campo magnético associado à onda refletida 88 A componente magnética de uma onda eletromagnética no vácuo tem uma amplitude de 858 nT e um número de onda de 400 m21 Determine a a frequência b o valor rms da componente elétrica e c a intensidade da onda 89 Determine a o limite superior e b o limite inferior do ângulo de Brewster para uma luz branca incidindo em quartzo fundido Suponha que os comprimentos de onda da luz estão entre 400 e 700 nm 90 Na Fig 3371 dois raios luminosos que estavam se propagando no ar passam por cinco placas de plástico transparente e voltam para o ar As placas têm interfaces paralelas e espessura desconhecida os índices de refração são n1 17 n2 16 n3 15 n4 14 e n5 16 O ângulo de incidência do raio b é θb 208 Em relação à normal à última interface determine a o ângulo de saída do raio a e b o ângulo de saída do raio b Sugestão Pode ser mais rápido resolver o problema algebricamente Se em vez de ar houver um vidro com um índice de refração 15 à esquerda e à direita das placas determine o ângulo de saída c do raio a e d do raio b Figura 3371 Problema 90 91 Um laser de hélioneônio que trabalha com um comprimento de onda de 6328 nm tem uma potência de 30 mW O ângulo de divergência do feixe é θ 017 mrad Fig 3372 a Qual é a intensidade do feixe a 40 m de distância do laser b Qual é a potência de uma fonte pontual que produz a mesma intensidade luminosa à mesma distância Figura 3372 Problema 91 92 Por volta do ano 150 dC Cláudio Ptolomeu mediu os seguintes valores para o ângulo de incidência θ1 e o ângulo de refração θ2 de um raio luminoso ao passar do ar para a água θ1 θ2 θ1 θ2 10 8 50 35 20 1530 60 4030 30 2230 70 4530 40 29 80 50 Use os resultados da tabela e a lei de Snell para determinar o índice de refração da água O interesse desses dados está no fato de serem as medidas científicas mais antigas de que se tem notícia 93 Um feixe de luz não polarizada atravessa dois filtros polarizadores Qual deve ser o ângulo entre as direções de polarização dos filtros para que a intensidade da luz que atravessa os dois filtros seja um terço da intensidade da luz incidente 94 Na Fig 3373 um fio longo e retilíneo com 250 mm de diâmetro e uma resistência de 100 Ω por 300 m conduz uma corrente uniforme de 250 A no sentido positivo do eixo x Calcule para um ponto P na superfície do fio a o módulo do campo elétrico b o módulo do campo magnético e c o módulo do vetor de Poynting d Determine a orientação de Figura 3373 Problema 94 95 A Fig 3374 mostra um resistor cilíndrico de comprimento l raio a e resistividade r que conduz uma corrente i a Mostre que o vetor de Poynting na superfície do resistor é perpendicular à superfície como indicado na figura b Mostre também que a taxa P com a qual a energia penetra no resistor através da superfície cilíndrica calculada integrando o vetor de Poynting ao longo da superfície é a taxa de produção de energia térmica em que d é um elemento de área da superfície cilíndrica e R é a resistência do resistor Figura 3374 Problema 95 96 Uma placa fina totalmente absorvente de massa m área A e calor específico c é iluminada perpendicularmente por uma onda eletromagnética plana A amplitude do campo elétrico da onda é Em Qual é a taxa dTdt com a qual a temperatura da placa aumenta por causa da absorção da onda 97 Duas placas polarizadoras uma diretamente acima da outra transmitem p de uma luz inicialmente não polarizada que incide perpendicularmente na placa de cima Qual é o ângulo entre as direções de polarização das duas placas 98 O feixe de um laser de intensidade I é refletido por uma superfície plana de área A totalmente refletora cuja normal faz um ângulo θ com a direção do feixe Escreva uma expressão para a pressão da radiação do feixe sobre a superfície prθ em função da pressão do feixe para θ 0 pr 99 Um feixe luminoso de intensidade I é refletido por um cilindro longo totalmente refletor de raio R o feixe incide perpendicularmente ao eixo do cilindro e tem um diâmetro maior que 2R Qual é a força por unidade de comprimento que a luz exerce sobre o cilindro 100 Na Fig 3375 um feixe de luz não polarizada atravessa um conjunto de três filtros polarizadores no qual as direções de polarização do primeiro filtro e do segundo filtro são θ1 20 e θ2 40 Que fração da luz incidente é transmitida pelo conjunto Figura 3375 Problema 100 101 Na Fig 3376 um feixe de luz não polarizada atravessa um conjunto de três filtros polarizadores cujas direções de polarização são θ1 20 θ2 60 e θ3 40 Que fração da luz incidente atravessa o conjunto Figura 3376 Problema 101 102 Uma placa quadrada perfeitamente refletora situada no espaço sideral está orientada perpendicularmente aos raios solares A placa tem 20 m de lado e se encontra a uma distância de 30 1011 m do Sol Determine a força exercida sobre a placa pelos raios solares 103 O valor rms do campo elétrico de uma onda luminosa é 0200 Vm Qual é a amplitude do campo magnético associado 104 Na Fig 3377 um albatroz está planando horizontalmente com uma velocidade constante de 15 ms acima de um terreno plano movendose em um plano vertical que inclui o Sol A ave se aproxima de uma parede de altura h 20 m e está à mesma altura do solo que a extremidade superior da parede Nessa hora do dia o ângulo do Sol em relação ao solo é θ 30 Com que velocidade a sombra do albatroz se move a horizontalmente ao longo do solo e b verticalmente ao longo da parede Mais tarde um gavião percorre o mesmo caminho com a mesma velocidade Você observa que no momento em que a sombra do gavião atinge a parede a velocidade da sombra aumenta perceptivelmente c Nesse momento o Sol está mais alto ou mais baixo no céu que durante o voo do albatroz d Se a velocidade da sombra do gavião na parede é 45 ms qual é o ângulo θ do Sol nesse momento Figura 3377 Problema 104 105 A componente magnética de uma onda polarizada é dada por Bx 400 μT senky 200 1015 s 1t Determine a a direção de propagação da onda b a direção de polarização da luz e c a intensidade da onda d Escreva uma expressão para o campo elétrico da onda incluindo o valor do número de onda e Determine o comprimento de onda f A que parte do espectro eletromagnético pertence a onda 106 Na Fig 3378 em que n1 170 n2 150 e n3 130 a luz é refratada do material 1 para o material 2 Se a luz incide no ponto A com o ângulo crítico da interface dos materiais 2 e 3 determine a o ângulo de refração no ponto B e b o ângulo inicial θ Se em vez disso a luz incide no ponto B com o ângulo crítico da interface dos materiais 2 e 3 determine c o ângulo de refração no ponto A e d o ângulo inicial θ Se em vez disso a luz incide no ponto A com o ângulo de Brewster para a interface entre os materiais 2 e 3 determine e o ângulo de refração no ponto B e f o ângulo inicial θ Figura 3378 Problema 106 107 Quando uma luz vermelha que está se propagando no vácuo incide em uma placa de vidro com o ângulo de Brewster o ângulo de refração é 3208 Determine a o índice de refração do vidro e b o ângulo de Brewster 108 Mostre a partir das Eqs 3311 e 3317 que Ex t e Bx t o campo elétrico e o campo magnético associados a uma onda eletromagnética devem satisfazer as equações de onda 109 a Mostre que as Eqs 331 e 332 satisfazem as equações de onda do Problema 108 b Mostre que expressões da forma E Em fkx ωt e B Bm fkx ωt em que fkx ωt é uma função qualquer também satisfazem as equações de onda 110 Uma fonte luminosa pontual emite isotropicamente com uma potência de 200 W Qual é a força que a luz exerce sobre uma esfera totalmente absorvente com 20 cm de raio situada a 20 m de distância da fonte 1As iniciais rms vêm do inglês root mean square que significa valor médio quadrático NT 1No Brasil as ondas de televisão também são polarizadas horizontalmente NT CAPÍTULO 34 Imagens 341 IMAGENS E ESPELHOS PLANOS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3401 Conhecer a diferença entre imagens virtuais e imagens reais 3402 Explicar como acontecem as miragens nas rodovias 3403 Usar um diagrama de raios para representar a reflexão por um espelho da luz emitida por uma fonte pontual indicando a distância do objeto e a distância da imagem 3404 Conhecer a relação entre a distância p do objeto e a distância i da imagem incluindo o sinal algébrico 3405 Dar um exemplo de um corredor virtual baseado em espelhos na forma de triângulos equiláteros IdeiasChave Uma imagem é uma reprodução de um objeto por meio da luz Se a imagem pode se formar em uma superfície é uma imagem real que pode existir mesmo na ausência de um observador Se a imagem requer o sistema visual de um observador é uma imagem virtual Um espelho plano pode formar uma imagem virtual de uma fonte luminosa chamada objeto mudando a direção dos raios de luz provenientes da fonte A imagem é vista no ponto em que prolongamentos para trás dos raios refletidos pelo espelho se interceptam A distância p entre o objeto e o espelho está relacionada à distância i aparente entre a imagem e o espelho pela equação i p espelho plano A distância p do objeto é uma grandeza positiva A distância i de uma imagem virtual é uma grandeza negativa O que É Física Um dos objetivos da física é descobrir as leis básicas que governam o comportamento da luz como a lei de refração Um objetivo mais amplo é encontrar aplicações práticas para essas leis a aplicação mais importante é provavelmente a produção de imagens As primeiras imagens fotográficas produzidas em 1824 eram meras curiosidades mas o mundo moderno não pode passar sem imagens Grandes indústrias se dedicam à produção de imagens nas telas dos aparelhos de televisão computadores e cinemas Imagens colhidas por satélites são usadas pelos militares para planejamento estratégico e por cientistas ambientais para lidar com pragas Câmaras de televisão podem tornar as ruas mais seguras mas também podem violar a intimidade das pessoas A ciência ainda tem muito a aprender sobre o modo como as imagens são produzidas pelo olho humano e pelo córtex visual do cérebro mas já é possível criar imagens mentais para algumas pessoas cegas estimulando diretamente o córtex visual Nosso primeiro passo neste capítulo será definir e classificar as imagens Em seguida examinaremos os vários modos como as imagens podem ser produzidas Dois Tipos de Imagens Para que alguém possa ver digamos um pinguim é preciso que os olhos interceptem alguns dos raios luminosos que partem do pinguim e os redirecionem para a retina no fundo do olho O sistema visual que começa na retina e termina no córtex visual localizado na parte posterior do cérebro processa automaticamente as informações contidas nos raios luminosos Esse sistema identifica arestas orientações texturas formas e cores e oferece à consciência uma imagem uma representação obtida a partir de raios luminosos do pinguim o observador percebe e reconhece o pinguim como estando no local de onde vêm os raios luminosos a distância apropriada O sistema visual executa esse processamento mesmo que os raios luminosos não venham diretamente do pinguim mas sejam refletidos por um espelho ou refratados pelas lentes de um binóculo Nesse caso o pinguim é visto na direção onde se encontra o espelho ou a lente e a distância percebida pode ser muito diferente da distância real Assim por exemplo se os raios luminosos são refletidos por um espelho plano o pinguim parece estar atrás do espelho já que os raios que chegam ao olho vêm dessa direção Naturalmente não existe nenhum pinguim atrás do espelho Esse tipo de imagem que é chamado de imagem virtual existe apenas no cérebro embora pareça existir no mundo real Uma imagem real por outro lado é aquela que pode ser produzida em uma superfície como em uma folha de papel ou em uma tela de cinema Podemos ver uma imagem real caso contrário os cinemas estariam vazios mas nesse caso a existência da imagem não depende da presença de espectadores Antes de discutir com detalhes as imagens reais e virtuais vamos apresentar um exemplo de imagem virtual encontrada na natureza Uma Miragem Comum Um exemplo comum de imagem virtual é a poça d9água que parece existir nas estradas asfaltadas em dias de calor sempre algumas dezenas de metros à frente do nosso carro A poça d9água é uma miragem um tipo de ilusão formada por raios luminosos que vêm do céu Fig 341a Quando os raios se aproximam da estrada eles atravessam camadas de ar cada vez mais quentes por causa do calor irradiado pelo asfalto Com o aumento da temperatura do ar a velocidade da luz aumenta e portanto o índice de refração diminui Assim o raio é refratado tornandose horizontal Fig 341b Mesmo depois que o raio se torna horizontal pouco acima da pista de rolamento ele continua a encurvarse já que a parte inferior da frente de onda está em uma região em que o ar é mais quente e portanto se propaga mais depressa que a parte superior Fig 341c Esse movimento não uniforme da frente de onda faz com que o raio se encurve para cima Fig 341d Quando um raio desse tipo atinge o olho de um observador o sistema visual supõe automaticamente que o raio se propagou em linha reta o que significaria que se originou em um ponto da estrada à frente Como a luz vem do céu a miragem tem um tom azulado que lembra a água Além disso as camadas de ar aquecido são normalmente turbulentas o que torna a imagem trêmula contribuindo para a ilusão de que se trata de um reflexo na água Quando o carro se aproxima da poça imaginária os raios refratados não chegam mais ao olho do observador e a ilusão desaparece Figura 341 a Um raio proveniente do céu é refratado pelo ar aquecido por uma estrada sem chegar à estrada Um observador que intercepta a luz tem a impressão de que existe uma poça d9água à frente b Desvio exagerado sofrido por um raio luminoso descendente que atravessa uma interface imaginária de uma camada de ar menos quente com uma camada de ar mais quente c Mudança de orientação das frentes de onda e desvio do raio luminoso associado que ocorre porque a parte inferior das frentes de onda se propaga mais depressa na camada de ar mais quente d Desvio sofrido por um raio luminoso ascendente que atravessa uma interface imaginária de uma camada de ar mais quente com uma camada de ar menos quente Figura 342 Uma fonte luminosa pontual O chamada objeto está a uma distância p de um espelho plano Raios luminosos provenientes de O são refletidos pelo espelho Se o olho do observador intercepta raios refletidos ele tem a impressão de que existe uma fonte luminosa pontual I atrás do espelho a uma distância i A fonte fictícia I é uma imagem virtual do objeto O Espelhos Planos O espelho é uma superfície que reflete um raio luminoso em uma direção definida em vez de absorvêlo ou espalhálo em todas as direções Uma superfície metálica polida se comporta como um espelho uma parede de concreto não Neste módulo vamos discutir as imagens produzidas por um espelho plano uma superfície refletora plana A Fig 342 mostra uma fonte luminosa pontual O que vamos chamar de objeto situada a uma distância perpendicular p de um espelho plano A luz que incide no espelho está representada por alguns raios que partem de O A reflexão da luz está representada por raios que partem do espelho Quando prolongamos os raios refletidos no sentido inverso para trás do espelho constatamos que as extensões dos raios se interceptam em um ponto que está a uma distância perpendicular i atrás do espelho Quando olhamos para um espelho como o da Fig 342 nossos olhos recebem parte da luz refletida e temos a impressão de que estamos olhando para um ponto luminoso situado no ponto de interseção dos prolongamentos dos raios Esse ponto é a imagem I do objeto O Ele é chamado de imagem pontual porque é um ponto e de imagem virtual porque nenhum raio passa realmente pelo ponto em que está a imagem Como você vai ver daqui a pouco os raios passam pelo ponto onde está uma imagem real Diagrama de Raios A Fig 343 mostra dois raios escolhidos entre os muitos da Fig 342 Um dos raios incide perpendicularmente no espelho e é refletido no ponto b o outro chega ao espelho com um ângulo de incidência θ e é refletido no ponto a A figura também mostra os prolongamentos dos dois raios Os triângulos aOba e aIba têm um lado comum e três ângulos iguais e são portanto congruentes têm a mesma forma e mesmo tamanho de modo que os lados horizontais têm o mesmo comprimento Assim em que Ib e Ob são as distâncias entre o espelho e a imagem e entre o espelho e o objeto respectivamente De acordo com a Eq 341 as distâncias entre o espelho e o objeto e o espelho e a imagem são iguais Por convenção ou seja para que as equações levem a resultados corretos as distâncias dos objetos p são consideradas positivas e as distâncias das imagens i são consideradas positivas para imagens reais e negativas para imagens virtuais como neste caso Assim a Eq 341 pode ser escrita na forma i p ou Apenas os raios que estão razoavelmente próximos entre si podem entrar no olho depois de serem refletidos por um espelho Para a posição do olho mostrada na Fig 344 somente uma pequena parte do espelho nas vizinhanças do ponto a uma parte menor que a pupila do olho contribui para a imagem Para verificar se isso é verdade feche um olho e observe a imagem no espelho de um objeto pequeno como a ponta de um lápis Em seguida coloque a ponta do dedo na superfície do espelho e posicionea de modo a ocultar a imagem Apenas a parte do espelho que está coberta pelo dedo era responsável pela formação da imagem Figura 343 Dois raios da Fig 342 O raio Oa faz um ângulo arbitrário θ com a normal à superfície do espelho o raio Ob é perpendicular ao espelho Objetos Maiores Na Fig 345 um objeto O representado por uma seta está a uma distância perpendicular p de um espelho plano Cada ponto do objeto se comporta como a fonte pontual O das Figs 342 e 343 Olhando para a luz refletida pelo espelho observase uma imagem virtual I que é formada pelas imagens pontuais de todas as partes do objeto e parece estar a uma distância i atrás do espelho A relação entre as distâncias i e p é dada pela Eq 342 Figura 344 Um feixe estreito de raios provenientes de O penetra no olho depois de ser refletido pelo espelho Somente uma pequena região do espelho nas vizinhanças do ponto a está envolvida na reflexão A luz parece se originar em um ponto I atrás do espelho Figura 345 Um objeto de dimensões macroscópicas O e sua imagem virtual I em um espelho plano Cortesia de Adrian Fisher wwwmazemakercom Figura 346 Um labirinto de espelhos Podemos determinar a posição da imagem de um objeto maior repetindo o que fizemos para o objeto pontual da Fig 342 traçamos alguns dos raios que chegam ao espelho provenientes da extremidade superior do objeto desenhamos os raios refletidos correspondentes e prolongamos os raios refletidos para trás do espelho até que se interceptem para formar a imagem da extremidade superior do objeto Fazemos o mesmo para os raios que partem da extremidade inferior do objeto Como mostra a Fig 345 observamos que a imagem virtual I tem a mesma orientação e altura medida paralelamente ao espelho que o objeto O Figura 347 a Vista de cima de um labirinto de espelhos Um raio proveniente do espelho B chega ao observador em O depois de ser refletido pelo espelho A b O espelho B parece estar atrás do espelho A c O raio que parte de O volta a O depois de sofrer quatro reflexões d O observador vê uma imagem virtual de si próprio na extremidade de um corredor aparente Existe um segundo corredor aparente para um observador situado no ponto O Em que direção o observador precisa olhar para vê lo O Labirinto de Espelhos Em um labirinto de espelhos Fig 346 as paredes são cobertas por espelhos do piso até o teto Andando no interior de um desses labirintos o que se vê na maioria das direções é uma superposição confusa de reflexos Em certas direções porém parece haver um corredor comprido que conduz à saída Ao tomar um desses corredores descobrimos depois de esbarrar em vários espelhos que ele não passa de uma ilusão A Fig 347a é uma vista de cima de um labirinto de espelhos no qual o piso foi dividido em triângulos equiláteros ângulos de 60o pintados de cores diferentes e as paredes foram cobertas por espelhos verticais O observador está no ponto O no centro da entrada do labirinto Olhando na maioria das direções o que ele vê é uma superposição confusa de imagens Entretanto quando o observador olha na direção do raio mostrado na Fig 347a algo curioso acontece O raio que parte do centro do espelho B é refletido no centro do espelho A antes de chegar ao observador O raio obedece à lei da reflexão e portanto o ângulo de incidência e o ângulo de reflexão são iguais a 30o Para fazer sentido do raio que está chegando o cérebro do observador automaticamente prolonga o raio na direção oposta Assim o raio parece se originar em um ponto situado atrás do espelho A Em outras palavras o observador vê uma imagem virtual de B atrás de A situada a uma distância igual à distância entre A e B Fig 347b Assim quando o observador olha nessa direção enxerga o ponto B aparentemente na extremidade de um corredor constituído por quatro cômodos triangulares Essa descrição porém não está completa já que o raio visto pelo observador não parte do ponto B é apenas refletido nesse ponto Para determinar a origem do raio reconstituímos seu trajeto ao longo dos espelhos aplicando a lei de reflexão Fig 347c e chegamos à conclusão de que provém do próprio observador O que o observador vê ao olhar na direção do corredor aparente é uma imagem virtual de si próprio a uma distância de nove cômodos triangulares Fig 347d Teste 1 A figura mostra dois espelhos verticais paralelos A e B separados por uma distância d Um passarinho está no ponto O a uma distância 02d do espelho A Cada espelho produz uma primeira imagem menos profunda do passarinho Em seguida cada espelho produz uma segunda imagem a partir da primeira imagem do espelho oposto Em seguida cada espelho produz uma terceira imagem a partir da segunda imagem do espelho oposto e assim por diante podemse formar centenas de imagens de passarinhos A que distância atrás do espelho A estão a primeira a segunda e a terceira imagens do espelho A 342 ESPELHOS ESFÉRICOS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3406 Saber a diferença entre um espelho esférico côncavo e um espelho esférico convexo 3407 Desenhar os diagramas de raios de um espelho côncavo e de um espelho convexo para raios que incidem paralelamente ao eixo central mostrando os pontos focais e indicando qual desses pontos é real e qual é virtual 3408 Saber a diferença entre um ponto focal real e um ponto focal virtual saber que tipo de ponto focal corresponde a que tipo de espelho esférico e saber qual é o sinal algébrico associado à distância focal de cada tipo de ponto focal 3409 Conhecer a relação entre a distância focal e o raio de um espelho esférico 3410 Saber o que significam as expressões 0do lado de dentro do ponto focal0 e 0do lado de fora do ponto focal0 3411 Desenhar diagramas de raios para objetos a do lado de dentro do ponto focal e b do lado de fora do ponto focal de um espelho côncavo e indicar o tipo de orientação da imagem em cada caso 3412 No caso de um espelho côncavo indicar a posição e a orientação de uma imagem real e de uma imagem virtual 3413 Desenhar um diagrama de raios para um objeto diante de um espelho convexo e indicar o tipo e a orientação da imagem 3414 Saber que tipo de espelho pode produzir imagens reais e virtuais e que tipo pode produzir apenas imagens virtuais 3415 Saber qual é o sinal algébrico usado para a distância i no caso de imagens reais e no caso de imagens virtuais produzidas por espelhos 3416 Conhecer a relação entre a distância focal f a distância do objeto p e a distância da imagem i para espelhos convexos côncavos e planos 3417 Conhecer a relação entre a ampliação lateral m a altura h9 da imagem a altura h do objeto a distância i da imagem e a distância p do objeto IdeiasChave Um espelho esférico tem a forma de uma pequena seção da superfície de uma esfera e pode ser côncavo caso em que o raio de curvatura r é positivo convexo caso em que r é negativo ou plano caso em que r é infinito Quando raios luminosos paralelos incidem em um espelho côncavo esférico paralelamente ao eixo central os raios refletidos convergem em um ponto o foco real F situado a uma distância f uma grandeza positiva à frente do espelho Quando raios luminosos incidem em um espelho convexo esférico paralelamente ao eixo central os prolongamentos dos raios refletidos convergem em um ponto o foco virtual F situado a uma distância f uma grandeza negativa atrás do espelho Um espelho côncavo pode formar uma imagem real se o objeto estiver do lado de fora do ponto focal ou uma imagem virtual se o objeto estiver do lado de dentro do ponto focal Um espelho convexo só pode formar uma imagem virtual A equação dos espelhos esféricos relaciona a distância p do objeto a distância i da imagem a distância focal f do espelho e o raio de curvatura r do espelho 1 2 3 4 1 2 3 4 O valor absoluto da ampliação lateral m de um objeto é a razão entre a altura h da imagem e a altura h do objeto A ampliação lateral m está relacionada à distância p do objeto e à distância i da imagem pela equação em que o sinal de m é positivo se a imagem tem a mesma orientação que o objeto e negativo se a imagem e o objeto têm orientações opostas Espelhos Esféricos Vamos passar agora das imagens produzidas por espelhos planos para as imagens produzidas por espelhos com superfícies curvas Em particular vamos considerar os espelhos esféricos que têm a forma de uma pequena seção da superfície de uma esfera Na verdade um espelho plano pode ser considerado um espelho esférico com um raio de curvatura infinito Como Fazer um Espelho Esférico Começamos com o espelho plano da Fig 348a que está voltado para a esquerda em direção a um objeto O e a um observador que não aparece na figura Para fazer um espelho côncavo encurvamos para dentro a superfície do espelho como na Fig 348b Isso modifica várias características do espelho e da imagem que o espelho produz de um objeto O centro de curvatura C o centro da esfera à qual pertence a superfície do espelho estava a uma distância infinita no caso do espelho plano agora está mais próximo à frente do espelho côncavo O campo de visão a extensão da cena vista pelo observador diminui em relação ao espelho plano A distância da imagem aumenta em relação ao espelho plano O tamanho da imagem aumenta em relação ao espelho plano É por isso que muitos espelhos de maquilagem são côncavos Para fazer um espelho convexo encurvamos para fora a superfície do espelho como na Fig 348c Isso causa as seguintes modificações no espelho e na imagem que produz de um objeto O centro de curvatura agora está atrás do espelho O campo de visão aumenta em relação ao espelho plano É por isso que quase todos os espelhos usados nas lojas para observar o movimento dos fregueses são convexos A distância da imagem diminui em relação ao espelho plano O tamanho da imagem diminui em relação ao espelho plano Figura 348 a Um objeto O forma uma imagem virtual I em um espelho plano b Se o espelho plano é encurvado de modo a tornarse côncavo a imagem se afasta e aumenta de tamanho c Se o espelho plano é encurvado de modo a tornarse convexo a imagem se aproxima e diminui de tamanho Os Pontos Focais dos Espelhos Esféricos No caso de um espelho plano a distância da imagem i é sempre igual em valor absoluto à distância do objeto p Antes de determinar a relação entre as duas distâncias nos espelhos esféricos vamos considerar a reflexão da luz emitida por um objeto O que se encontra nas proximidades do eixo central de um espelho esférico a uma grande distância do espelho O eixo central é uma reta que passa pelo centro de curvatura C e pelo centro c do espelho Devido à grande distância entre o objeto e o espelho as frentes de onda da luz emitida pelo objeto podem ser consideradas planas ao se aproximarem do espelho Isso equivale a dizer que os raios que representam as ondas luminosas provenientes do objeto são paralelos ao eixo central ao atingirem o espelho Ponto Focal Quando esses raios paralelos são refletidos por um espelho côncavo como o da Fig 349a os raios próximos do eixo central convergem para um ponto comum F dois desses raios refletidos são mostrados na figura Quando colocamos uma tela pequena em F uma imagem pontual do objeto O aparece na tela Isso acontece para qualquer objeto muito afastado O ponto F recebe o nome de ponto focal ou foco do espelho a distância entre F e o centro c do espelho é chamada de distância focal do espelho e representada pela letra f No caso de um espelho convexo os raios paralelos ao serem refletidos divergem em vez de convergir Fig 349b mas os prolongamentos dos raios para trás do espelho convergem para um ponto comum Esse ponto F é o ponto focal ou foco do espelho convexo e sua distância do centro c do espelho é a distância focal f Quando colocamos uma tela em F uma imagem do objeto O não aparece na tela o que mostra que existe uma diferença essencial entre os pontos focais dos dois tipos de espelhos esféricos Figura 349 a Em um espelho côncavo raios luminosos paralelos incidentes convergem para um foco real situado no ponto F do mesmo lado do espelho que os raios b Em um espelho convexo raios luminosos paralelos incidentes parecem divergir de um foco virtual situado no ponto F do lado oposto do espelho Dois Tipos Para distinguir o ponto focal de um espelho côncavo no qual os raios realmente se cruzam do ponto focal de um espelho convexo no qual o cruzamento é apenas dos prolongamentos dos raios divergentes dizemos que o primeiro é um ponto focal real e o segundo um ponto focal virtual Além disso a distância focal de um espelho côncavo é considerada positiva e a distância focal de um espelho convexo é considerada negativa Em ambos os casos a relação entre a distância focal f e o raio de curvatura r do espelho é dada por em que para manter a coerência com os sinais da distância focal o raio r é considerado positivo no caso de um espelho côncavo e negativo no caso de um espelho convexo Imagens Produzidas por Espelhos Esféricos Do Lado de Dentro Uma vez definido o ponto focal dos espelhos esféricos podemos determinar a relação entre a distância i da imagem e a distância p do objeto para espelhos côncavos e convexos Começamos por imaginar que o objeto O está do lado de dentro do ponto focal de um espelho côncavo ou seja entre o ponto focal F e a superfície do espelho Fig 3410a Nesse caso é produzida uma imagem virtual a imagem parece estar atrás do espelho e tem a mesma orientação que o objeto Figura 3410 a Um objeto O do lado de dentro do ponto focal de um espelho côncavo e sua imagem virtual I b Um objeto no ponto focal F c Um objeto do lado de fora do ponto focal e sua imagem real I Quando afastamos o objeto O do espelho a imagem também se afasta até deixar de existir quando o objeto é posicionado no ponto focal Fig 3410b Quando o objeto está exatamente no ponto F os raios refletidos são paralelos e portanto não formam uma imagem já que nem os raios refletidos pelo espelho nem os prolongamentos dos raios se interceptam Do Lado de Fora Se o objeto O está mais longe do espelho côncavo que o ponto focal os raios refletidos convergem para formar uma imagem invertida do objeto Fig 3410c à frente do espelho Se afastamos mais ainda o objeto do espelho a imagem se aproxima do ponto focal e diminui de tamanho Quando colocamos uma tela na posição da imagem a imagem aparece na tela dizemos que o objeto foi focalizado na tela pelo espelho Como a imagem aparece em uma tela tratase de uma imagem real A distância i de uma imagem real é um número positivo enquanto a distância de uma imagem virtual é um número negativo Vemos também que As imagens reais se formam do mesmo lado do espelho em que se encontra o objeto e as imagens virtuais se formam do lado oposto Equação dos Espelhos Como será demonstrado no Módulo 346 quando os raios luminosos de um objeto fazem apenas pequenos ângulos com o eixo central de um espelho esférico a distância p do objeto a distância i da imagem e a distância focal f estão relacionadas pela equação Em ilustrações como a Fig 3410 supomos que a aproximação para pequenos ângulos é válida mas desenhamos os raios com ângulos exagerados para maior clareza Dentro dessa aproximação a Eq 344 se aplica a qualquer espelho côncavo convexo ou plano Os espelhos convexos e planos produzem apenas imagens virtuais independentemente da localização do objeto Como se pode ver na Fig 348c a imagem se forma atrás do espelho e tem a mesma orientação que o objeto Ampliação O tamanho de um objeto ou imagem medido perpendicularmente ao eixo central do espelho é chamado de altura do objeto ou imagem Seja h a altura de um objeto e h9 a altura da imagem correspondente Nesse caso a razão h9h é chamada de ampliação lateral do espelho e representada pela letra m Por convenção a ampliação lateral é um número positivo quando a imagem tem a mesma orientação que o objeto e um número negativo quando a imagem tem a orientação oposta Por essa razão a expressão de m é escrita na forma Vamos demonstrar daqui a pouco que a ampliação lateral é dada pela seguinte expressão No caso de um espelho plano para o qual i p temos m 1 A ampliação lateral de 1 significa que a imagem e o objeto são do mesmo tamanho o sinal positivo significa que a imagem e o objeto têm a mesma orientação No caso do espelho côncavo da Fig 3410c m 15 1 Tabela de Imagens As Eqs 343 a 346 são válidas para todos os espelhos planos esféricos côncavos e esféricos convexos Além dessas equações o leitor teve que aprender muita coisa a respeito de espelhos e é aconselhável que organize as informações completando a Tabela 341 Na coluna Posição da Imagem indique se a imagem está do mesmo lado do espelho que o objeto ou do lado oposto Na coluna Tipo de Imagem indique se a imagem é real ou virtual Na coluna Orientação da Imagem indique se a imagem tem a mesma orientação que o objeto ou a orientação oposta Nas colunas Sinal de f Sinal de r Sinal de i e Sinal de m indique se o sinal da grandeza mencionada é positivo ou negativo e coloque se o sinal for irrelevante As abreviações MPQF e MLQF significam mais perto do espelho que F e mais longe do espelho que F respectivamente Tabela 341 Tabela das Imagens Produzidas por Espelhos Tipo de Espelho Posição do Objeto Imagem Sinal Posição Tipo Orientação de f de r de i de m Plano Qualquer Côncavo MPQF MLQF Convexo Qualquer Como Localizar Imagens Produzidas por Espelhos Desenhando Raios As Figs 3411a e 3411b mostram um objeto O diante de um espelho côncavo Podemos localizar graficamente a imagem de qualquer ponto do objeto fora do eixo central desenhando um diagrama de raios com dois dos quatro raios especiais que passam pelo ponto Um raio inicialmente paralelo ao eixo central que passa pelo ponto focal F depois de ser refletido pelo espelho raio 1 da Fig 3411a 2 3 4 Figura 3411 a b Quatro raios que podem ser traçados para determinar a imagem de um objeto produzida por um espelho côncavo Para um objeto na posição mostrada na figura a imagem é real invertida e menor que o objeto c d Quatro raios do mesmo tipo para o caso de um espelho convexo No caso de um espelho convexo a imagem é sempre virtual tem a mesma orientação que o objeto e é menor que o objeto Em c o prolongamento do raio incidente 2 passa pelo ponto focal F em d o prolongamento do raio 3 passa pelo centro de curvatura C Um raio que passa pelo ponto focal F e se torna paralelo ao eixo central depois de ser refletido pelo espelho raio 2 da Fig 3411a Um raio que passa pelo centro de curvatura C do espelho e volta a passar pelo centro de curvatura depois de ser refletido raio 3 da Fig 3411b Um raio que incide no centro c do espelho e é refletido com um ângulo de reflexão igual ao ângulo de incidência raio 4 da Fig 3411b A imagem do ponto fica na interseção dos dois raios especiais escolhidos Para determinar a imagem do objeto completo basta encontrar a localização de dois ou mais pontos do objeto As mesmas definições dos raios especiais com pequenas modificações podem ser aplicadas aos espelhos convexos veja as Figs 3411c e 3411d Demonstração da Eq 346 Estamos agora em condições de demonstrar a Eq 346 m ip a equação usada para calcular a ampliação lateral de um objeto refletido em um espelho Considere o raio 4 da Fig 3411b O raio é refletido no ponto c do espelho e portanto o ângulo de incidência e o ângulo de reflexão são iguais Como os triângulos retângulos abc e dec da figura são semelhantes possuem os mesmos ângulos podemos escrever A razão do lado esquerdo a menos do sinal é a ampliação lateral m do espelho Já que às imagens invertidas é associada uma ampliação lateral negativa chamamos a razão de m Como cd i e ca p temos que é a equação que queríamos demonstrar Teste 2 Um morcego vampiro da América Central cochilando no eixo central de um espelho esférico sofre uma ampliação lateral m 4 a A imagem do morcego é real ou virtual b A imagem é invertida ou tem a mesma orientação que o morcego c A imagem está do mesmo lado do espelho que o morcego ou do lado oposto Exemplo 3401 Imagem produzida por um espelho esférico Uma tarântula de altura h está diante de um espelho esférico cuja distância focal tem valor absoluto f 40 cm A imagem da tarântula produzida pelo espelho tem a mesma orientação que a tarântula e uma altura h 020h a A imagem é real ou virtual Está do mesmo lado do espelho que a tarântula ou do lado oposto Raciocínio Como a imagem tem a mesma orientação que a tarântula o objeto é virtual e está localizada do outro lado do espelho A conclusão é óbvia para os leitores que completaram a Tabela 341 b O espelho é côncavo ou convexo Qual é o valor da distância focal f incluindo o sinal IDEIACHAVE Não podemos saber de que tipo é o espelho pelo tipo de imagem já que tanto os espelhos côncavos como os convexos podem produzir imagens virtuais Além disso não podemos saber de que tipo é o espelho a partir do sinal da distância focal f obtido com o uso da Eq 343 ou da Eq 344 porque não dispomos de informações suficientes para aplicar uma dessas equações Entretanto podemos usar a informação a respeito do aumento Cálculos Sabemos que a relação entre a altura da imagem h e a altura do objeto h é 020 Assim de acordo com a Eq 345 temos Uma vez que o objeto e a imagem têm a mesma orientação sabemos que m é positivo m 020 Substituindo esse valor na Eq 346 e explicitando i obtemos i 020p que não parece ser de grande utilidade para determinar f Entretanto podemos usar esse resultado para eliminar i na Eq 344 Fazendo i 020p na Eq 344 obtemos o que nos dá f p4 Como p é uma grandeza positiva f deve ser negativa o que significa que o espelho é convexo com 343 REFRAÇÃO EM INTERFACES ESFÉRICAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3418 Saber que a refração da luz por uma superfície esférica pode produzir uma imagem real ou virtual de um objeto dependendo dos índices de refração dos dois lados do raio de curvatura r da superfície e de se a superfície é côncava ou convexa 3419 No caso de um objeto pontual situado no eixo central de uma superfície refratora esférica desenhar diagramas de raios para os seis casos possíveis e indicar em cada caso se a imagem é real ou virtual 3420 No caso de uma superfície refratora esférica saber que tipo de imagem aparece do mesmo lado que o objeto e que tipo de imagem aparece do lado oposto 3421 No caso de uma superfície refratora esférica conhecer a relação entre os dois índices de refração a distância p do objeto a distância i da imagem e o raio de curvatura r da superfície refratora 3422 Conhecer o sinal algébrico do raio r de uma superfície esférica côncava ou convexa do lado em que está o objeto IdeiasChave Uma superfície esférica que refrata a luz pode formar uma imagem A distância p do objeto a distância i da imagem e o raio de curvatura r de uma superfície refratora estão relacionados pela equação em que n1 é o índice de refração do meio em que está o objeto e n2 é o índice de refração do outro lado da superfície Se a superfície do lado do objeto é convexa r é positivo se a superfície é côncava r é negativo As imagens que se formam do mesmo lado da superfície refratora que o objeto são virtuais e as imagens que se formam do lado oposto são reais Superfícies Refratoras Esféricas Vamos agora examinar as imagens formadas pela refração de raios luminosos na interface de duas substâncias transparentes como ar e vidro Limitaremos a discussão a interfaces esféricas de raio de curvatura r e centro de curvatura C A luz será emitida por um objeto pontual O em um meio de índice de refração n1 e incidirá em uma interface esférica com um meio de índice de refração n2 Nosso interesse é determinar se os raios luminosos depois de refratados na interface formam uma imagem real ou virtual A resposta depende dos valores relativos de n1 e n2 e da geometria da situação A Fig 3412 mostra seis resultados possíveis Em todas as partes da figura o meio com índice de refração maior está sombreado e o objeto O se encontra no eixo central no meio cujo índice de refração é n1 à esquerda da interface É mostrado apenas um raio luminoso como o objeto está no eixo central a imagem também está no eixo e basta um raio para determinar sua posição Este inseto foi conservado no interior de um bloco de âmbar durante cerca de 25 milhões de anos Como observamos o inseto através de uma superfície curva a posição da imagem não coincide com a posição do inseto veja a Fig 3412d No ponto de refração de cada raio a normal à interface mostrada como uma linha tracejada passa pelo centro de curvatura C Por causa da refração o raio se aproxima da normal se estiver penetrando em um meio com maior índice de refração e se afasta da normal se estiver penetrando em um meio com menor índice de refração Se o raio refratado intercepta o eixo central a imagem formada pela refração é real se o raio refratado não intercepta o eixo real a imagem formada pela refração é virtual Na Fig 3412 imagens reais I são formadas a uma distância i da superfície esférica nas situações a e b em que o raio luminoso é refratado na direção do eixo central e imagens virtuais são formadas nas situações c e d em que o raio luminoso é refratado para longe do eixo central Observe nessas quatro figuras que a imagem formada é real quando o objeto está relativamente distante da interface e virtual quando o objeto está relativamente próximo Nas outras duas situações e e f a imagem é sempre virtual independentemente da distância do objeto Observe uma diferença importante em relação às imagens formadas por reflexão em espelhos esféricos As imagens formadas por refração são virtuais quando estão do mesmo lado que o objeto e reais quando estão do lado oposto No Módulo 346 vamos demonstrar que para raios luminosos fazendo um ângulo pequeno com o eixo central Como no caso dos espelhos a distância do objeto p é sempre positiva e a distância da imagem i é positiva para imagens reais e negativa para imagens virtuais Entretanto para manter todos os sinais corretos na Eq 348 devemos usar a seguinte regra para o sinal de r o raio de curvatura Figura 3412 Seis modos pelos quais uma imagem pode ser formada por raios luminosos refratados em uma superfície esférica de raio r e centro de curvatura C A superfície separa um meio de índice de refração n1 de um meio de índice de refração n2 O objeto pontual O está sempre no meio de índice de refração n1 à esquerda da superfície A substância sombreada é a que possui maior índice de refração pense nessa substância como vidro por exemplo e na outra substância como ar Imagens reais são formadas nos casos a e b nas outras quatro situações são formadas imagens virtuais Quando o objeto está diante de uma superfície refratora convexa o raio de curvatura r é positivo quando o objeto está diante de uma superfície côncava r é negativo Observe que no caso dos espelhos é adotada a convenção oposta Teste 3 Uma abelha está voando nas proximidades da superfície esférica côncava de uma escultura de vidro a Qual das situações da Fig 3412 se parece com essa situação b A imagem produzida pela superfície é real ou virtual Está do mesmo lado que a abelha ou do lado oposto 1 2 3 Exemplo 3402 Imagem produzida por uma superfície refratora Um mosquito do período jurássico foi encontrado no interior de um bloco de âmbar cujo índice de refração é 16 Uma das superfícies do bloco é esfericamente convexa com um raio de curvatura de 300 mm Fig 3413 A cabeça do mosquito se encontra no eixo central dessa superfície quando observada ao longo do eixo central parece estar a 50 mm de distância da superfície A que distância da superfície a cabeça se encontra realmente IDEIASCHAVE A cabeça parece estar a 50 mm de distância da superfície porque os raios luminosos que chegam ao olho do observador são refratados na interface entre o âmbar e o ar De acordo com a Eq 348 a distância da imagem i e a distância do objeto p podem ser bem diferentes Para aplicar a equação ao problema devemos observar o seguinte Como o objeto a cabeça e sua imagem estão do mesmo lado da interface a imagem é virtual e portanto o sinal da imagem é negativo i 50 mm Como sempre supomos que o objeto está no meio cujo índice de refração é n1 temos n1 16 e n2 10 Como a interface é côncava do lado do objeto o raio de curvatura r é negativo logo r 30 mm Cálculos Fazendo essas substituições na Eq 348 obtemos o que nos dá e Figura 3413 Um bloco de âmbar que contém um mosquito do período jurássico com a cabeça no ponto O A superfície refratora esférica do lado direito cujo centro de curvatura é o ponto C produz uma imagem I para um observador que intercepta os raios luminosos provenientes do objeto 344 LENTES DELGADAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3423 Saber a diferença entre lentes convergentes e lentes divergentes 3424 No caso de lentes convergentes e lentes divergentes desenhar um diagrama de raios para raios inicialmente paralelos ao eixo central mostrando os pontos focais e indicando se o ponto focal é real ou virtual 3425 Saber a diferença entre um ponto focal real e um ponto focal virtual e a que tipo de lente cada tipo de ponto focal pode estar associado conhecer o sinal algébrico atribuído a um ponto focal real e a um ponto focal virtual 3426 No caso de um objeto a do lado de dentro e b do lado de fora do ponto focal de uma lente convergente desenhar pelo menos dois raios para localizar a imagem e definir o tipo e a orientação da imagem 3427 No caso de uma lente convergente conhecer a posição e a orientação de uma imagem real e de uma imagem virtual 3428 No caso de uma lente divergente desenhar pelo menos dois raios para localizar a imagem e definir o tipo e a orientação da imagem 3429 Saber que tipo de lente pode produzir imagens reais e virtuais e que tipo pode produzir apenas imagens virtuais 3430 Conhecer o sinal algébrico da distância i de uma imagem real e de uma imagem virtual 3431 No caso de lentes convergentes e divergentes conhecer a relação entre a distância focal f a distância p do objeto e a distância i da imagem 3432 Conhecer as relações entre a ampliação lateral m a altura h da imagem a altura h do objeto a distância i da imagem e a distância p do objeto 3433 Usar a equação do fabricante de lentes para relacionar a distância focal ao índice de refração de uma lente supondo que o meio externo é o ar e aos raios de curvatura dos dois lados da lente 3434 No caso de um sistema de várias lentes com o objeto diante da lente 1 determinar a imagem produzida pela lente 1 usála como objeto para a lente 2 e assim por diante até obter a imagem final 3435 No caso de um sistema de várias lentes determinar a ampliação total da imagem a partir das ampliações produzidas pelas várias lentes IdeiasChave Este módulo trata principalmente de lentes delgadas com superfícies esféricas simétricas Se raios luminosos paralelos atravessam uma lente convergente paralelamente ao eixo central os raios refratados convergem em um ponto o foco real F a uma distância focal positiva f da lente Se os raios atravessam uma lente divergente os prolongamentos dos raios refratados convergem em um ponto o foco virtual F a uma distância focal negativa f da lente Uma lente convergente pode formar uma imagem real se o objeto estiver do lado de dentro do ponto focal ou uma imagem virtual se objeto estiver do lado de fora do ponto focal Uma lente divergente só pode formar imagens virtuais No caso de um objeto diante de uma lente entre a distância p do objeto a distância i da imagem e a distância focal f o índice de refração n e os raios de curvatura r1 e r2 da lente existem as seguintes relações O valor absoluto da ampliação lateral m de um objeto é a razão entre a altura h da imagem e a altura h do objeto A ampliação lateral m está relacionada à distância p do objeto e à distância i da imagem pela equação em que o sinal de m é positivo se a imagem tem a mesma orientação que o objeto e negativo se a imagem e o objeto têm orientações opostas No caso de um sistema de lentes com um eixo central comum a imagem produzida pela primeira lente se comporta como objeto para a segunda lente e assim por diante a ampliação total é o produto das ampliações produzidas pelas lentes do sistema Lentes Delgadas Uma lente é um objeto transparente limitado por duas superfícies refratoras com um eixo central em comum Quando a lente está imersa no ar a luz é refratada ao penetrar na lente atravessa a lente é refratada uma segunda vez e volta a se propagar no ar As duas refrações podem mudar a direção dos raios luminosos Uma lente que faz com que raios luminosos inicialmente paralelos ao eixo central se aproximem do eixo é chamada de lente convergente uma lente que faz com que os raios se afastem do eixo é chamada de lente divergente Quando um objeto é colocado diante de uma lente convergente ou divergente a difração dos raios luminosos pela lente pode produzir uma imagem do objeto Equações das Lentes Vamos considerar apenas o caso especial das lentes delgadas ou seja lentes nas quais a distância do objeto p a distância de imagem i e os raios de curvatura r1 e r2 das superfícies da lente são muito maiores que a espessura da lente Vamos também considerar apenas raios que fazem ângulos pequenos com o eixo central os ângulos estão exagerados nas figuras No Módulo 346 vamos demonstrar que para esses raios a distância i da imagem e a distância p do objeto estão relacionadas pela equação que é igual à Eq 344 a equação dos espelhos esféricos Vamos demonstrar também que para uma lente delgada de índice de refração n imersa no ar a distância focal f é dada por conhecida como equação do fabricante de lentes Na Eq 3410 r1 é o raio de curvatura da superfície da lente mais próxima do objeto e r2 é o raio de curvatura da outra superfície Os sinais dos raios podem ser determinados usando as regras do Módulo 343 para os raios de superfícies refratoras esféricas Se a lente está imersa em outro meio que não o ar óleo por exemplo de índice de refração nmeio o parâmetro n da Eq 3410 deve ser substituído pela razão nnmeio De acordo com as Eqs 349 e 3410 podemos afirmar o seguinte Cortesia de Matthew G Wheeler O homem da foto está focalizando a luz solar em um jornal com o auxílio de uma lente convergente feita de gelo para acender uma fogueira A lente foi fabricada derretendo ambos os lados de uma placa de gelo até que assumisse a forma convexa do recipiente raso de fundo abaulado que aparece em primeiro plano na fotografia Uma lente pode produzir uma imagem de um objeto porque é capaz de desviar os raios luminosos mas só é capaz de desviar os raios luminosos se tiver um índice de refração diferente do índice de refração do meio Ponto Focal A Fig 3414a mostra uma lente delgada com superfícies convexas Quando raios paralelos ao eixo central atravessam a lente são refratados duas vezes como mostra a vista ampliada da Fig 3414b A dupla refração faz os raios convergirem para um ponto focal F2 situado a uma distância f do centro da lente Tratase portanto de uma lente convergente Além disso F2 é um ponto focal real já que os raios realmente se cruzam nesse ponto a distância focal correspondente é f Quando raios paralelos ao eixo central atravessam a lente no sentido inverso convergem em outro ponto focal real F1 situado à mesma distância do outro lado da lente Figura 3414 a Raios luminosos inicialmente paralelos ao eixo central de uma lente convergente são desviados pela lente e convergem para o ponto focal real F2 A lente é mais fina que no desenho na verdade supomos que todo o desvio ocorre em um único plano representado na figura por uma reta vertical que passa pelo centro da lente b Ampliação da parte superior da lente representada em a as linhas tracejadas são as normais à superfície nos pontos de entrada e saída de um raio luminoso Observe que os desvios que o raio sofre ao entrar na lente e ao sair da lente são no mesmo sentido e tendem a aproximálo do eixo central c Os mesmos raios paralelos divergem depois de passar por uma lente divergente Os prolongamentos dos raios divergentes passam por um ponto focal virtual F2 d Ampliação da parte superior da lente representada em c Observe que os desvios que o raio sofre ao entrar na lente e ao sair da lente são no mesmo sentido e tendem a afastálo do eixo central Sinais e Mais Sinais Como os pontos focais de uma lente convergente são reais as distâncias focais f correspondentes são consideradas positivas como no caso dos espelhos côncavos Entretanto como os sinais usados na ótica às vezes podem ser enganosos é melhor verificarmos se tudo está certo na Eq 34 10 Se f é positivo o lado direito da equação é positivo o que dizer do lado esquerdo Vamos examiná lo termo a termo Como o índice de refração n do vidro ou de qualquer outra substância é sempre maior que 1 o termo n 1 é positivo Como um objeto colocado do lado esquerdo da lente está diante de uma superfície convexa o raio de curvatura r1 é positivo de acordo com a regra de sinal para superfícies refratoras No lado direito da lente o objeto está voltado para uma superfície côncava e portanto o raio de curvatura r2 é negativo Assim o termo 1r1 1r2 é positivo e todo o lado direito da Eq 3410 é positivo Isso significa que os sinais estão corretos A Fig 3414c mostra uma lente delgada com lados côncavos Quando raios paralelos ao eixo central atravessam a lente são refratados duas vezes como mostra a vista ampliada da Fig 3414d A dupla refração faz os raios divergirem Tratase portanto de uma lente divergente Os prolongamentos dos raios refratados convergem para um ponto comum F2 situado a uma distância f do centro da lente O ponto F2 é portanto um ponto focal virtual Se os olhos de um observador interceptarem alguns dos raios divergentes ele verá um ponto claro em F2 como se esse ponto fosse a fonte da luz Existe outro foco virtual do outro lado da lente em F1 situado à mesma distância do centro Como os pontos focais de uma lente divergente são virtuais a distância focal f é tomada como negativa Imagens Produzidas por Lentes Delgadas Vamos agora considerar as imagens formadas por lentes convergentes e divergentes A Fig 3415a mostra um objeto O do lado de fora do ponto focal F1 de uma lente convergente Os dois raios desenhados na figura mostram que a lente forma uma imagem real e invertida do objeto no lado oposto Quando o objeto é colocado do lado de dentro do ponto focal F1 como na Fig 3415b a lente forma uma imagem virtual do mesmo lado da lente e com a mesma orientação que o objeto Assim uma lente convergente pode formar uma imagem real ou uma imagem virtual dependendo da posição do objeto em relação do ponto focal A Fig 3415c mostra um objeto O diante de uma lente divergente Nesse caso qualquer que seja a posição do objeto quer o objeto esteja do lado de dentro ou do lado de fora do ponto focal a lente produz uma imagem virtual do mesmo lado da lente e com a mesma orientação que o objeto Como no caso dos espelhos tomamos a distância da imagem i como positiva quando a imagem é real e como negativa quando a imagem é virtual Entretanto as posições das imagens reais e virtuais são diferentes no caso das lentes e no caso dos espelhos As imagens virtuais produzidas por lentes ficam do mesmo lado que o objeto e as imagens reais ficam do lado oposto A ampliação lateral m produzida por lentes convergentes e divergentes é dada pelas mesmas equações usadas no caso de espelhos Eqs 345 e 346 Figura 3415 a Uma lente convergente forma uma imagem I real e invertida quando o objeto O está do lado de fora do ponto focal F1 b A imagem I é virtual e tem a mesma orientação que o objeto O quando O está do lado de dentro do ponto focal c Uma lente divergente forma uma imagem virtual I com a mesma orientação que o objeto O qualquer que seja a posição do objeto O leitor teve que aprender muita coisa a respeito de lentes e é aconselhável que ele organize essas informações completando a Tabela 342 que é válida para lentes delgadas simétricas com os dois lados convexos ou os dois lados côncavos Na coluna Posição da Imagem indique se a imagem está do mesmo lado da lente que o objeto ou do lado oposto Na coluna Tipo de Imagem indique se a imagem é real ou virtual Na coluna Orientação da Imagem indique se a imagem tem a mesma orientação que o objeto ou a orientação oposta Nas colunas Sinal de f Sinal de i e Sinal de m indique se o sinal da grandeza mencionada é positivo ou negativo e coloque 6 se o sinal for irrelevante As abreviações 1 2 3 MPQF e MLQF significam mais perto da lente do que F e mais longe da lente do que F respectivamente Tabela 342 Tabela das Imagens Produzidas por Lentes Tipo de Lente Posição do Objeto Imagem Sinal Posição Tipo Orientação de f de i de m Convergente MPQF MLQF Divergente Qualquer Como Localizar Imagens Produzidas por Lentes Desenhando Raios A Fig 3416a mostra um objeto O do lado de fora do ponto focal F1 de uma lente convergente Podemos localizar graficamente a imagem de qualquer ponto do objeto fora do eixo central como a ponta da seta da Fig 3416a desenhando um diagrama de raios com dois dos três raios especiais que passam pelo ponto Um raio inicialmente paralelo ao eixo central que depois de ser refratado passa pelo ponto focal F2 raio 1 da Fig 3416a Um raio que passa pelo ponto focal F1 e depois de ser refratado se torna paralelo ao eixo central raio 2 da Fig 3416a Um raio que passa pelo centro da lente e sai da lente sem mudar de direção como o raio 3 da Fig 3416a porque atravessa uma região da lente na qual os dois lados são quase paralelos A imagem do ponto fica na interseção dos dois raios especiais escolhidos Para determinar a imagem do objeto completo basta encontrar a localização de dois ou mais dos seus pontos A Fig 3416b mostra que os prolongamentos dos três raios especiais podem ser usados para localizar a imagem de um objeto do lado de dentro do ponto focal Observe que nesse caso é preciso modificar a definição do raio 2 agora se trata de um raio cujo prolongamento para trás do objeto passa pelo ponto focal F1 No caso de uma lente divergente as definições dos raios 1 e 2 são diferentes Como mostra a Fig 34 16c o raio 1 agora é um raio paralelo ao eixo central cujo prolongamento para trás depois de refratado passa pelo ponto focal F2 o raio 2 é um raio cujo prolongamento passa pelo ponto focal F1 e que depois de refratado se torna paralelo ao eixo central Figura 3416 Três raios especiais permitem localizar uma imagem formada por uma lente delgada quer o objeto O esteja a do lado de fora do ponto focal de uma lente convergente b do lado de dentro do ponto focal de uma lente convergente ou c em qualquer posição em relação ao ponto focal de uma lente divergente Sistemas de Duas Lentes Vamos agora examinar o caso de um objeto colocado diante de um conjunto de duas lentes cujos eixos centrais coincidem Alguns dos possíveis sistemas de duas lentes estão representados na Fig 3417 em que as figuras não foram desenhadas em escala Em todos os casos o objeto está à esquerda da lente 1 mas pode estar do lado de dentro ou do lado de fora do ponto focal Embora nem sempre seja fácil acompanhar o percurso dos raios luminosos em um sistema de duas lentes podemos determinar qual é a imagem final dividindo o problema em duas partes Primeira parte Ignorando a lente 2 usamos a Eq 349 para determinar a imagem I1 produzida pela lente 1 Verificamos se a imagem está à esquerda ou à direita da lente se é real ou virtual e se tem a mesma orientação que o objeto Fazemos um esboço de I1 Um exemplo aparece na parte de cima da Fig 3417a Figura 3417 Vários sistemas de duas lentes que não estão desenhados em escala com um objeto à esquerda da lente 1 Na primeira parte da solução consideramos apenas a lente 1 e ignoramos a lente 2 tracejada no primeiro desenho Na segunda parte consideramos apenas a lente 2 e ignoramos a lente 1 omitida no segundo desenho Nosso objetivo é determinar a imagem final ou seja a imagem produzida pela lente 2 Segunda parte Ignorando a lente 1 tratamos I1 como o objeto da lente 2 e usamos a Eq 349 para determinar a imagem I2 produzida pela lente 2 A imagem I2 é a imagem final do sistema de duas lentes Verificamos se a imagem está à esquerda ou à direita da lente se é real ou virtual e se tem a mesma orientação que o objeto da lente 2 Finalmente fazemos um esboço de I2 Um exemplo aparece na parte de baixo da Fig 3417a Podemos portanto analisar qualquer sistema de duas lentes tratando uma lente de cada vez A única exceção acontece quando I1 está à direita da lente 2 Nesse caso ainda podemos tratar I1 como objeto da lente 2 mas devemos considerar a distância do objeto p2 como um número negativo quando usamos a Eq 349 para calcular a posição de I2 Nesse caso como nos outros exemplos se a distância i2 da imagem é positiva a imagem é real e está o lado direito da lente 2 Um exemplo aparece na Fig 3417b O método de solução por partes também pode ser usado no caso de conjuntos de três ou mais lentes ou de combinações de lentes e um espelho A ampliação lateral total M produzida por um conjunto de lentes ou de lentes e um espelho é o produto das ampliações dadas pela Eq 347 m ip No caso de um sistema de duas lentes temos Se M é positiva a imagem final tem a mesma orientação que o objeto que está diante da lente 1 Se M é negativa a imagem final é uma imagem invertida do objeto Nos casos em que a distância p2 é negativa como na Fig 3417b em geral é mais fácil determinar a orientação da imagem final observando o sinal de M Teste 4 Uma lente simétrica delgada produz uma imagem de uma impressão digital com uma ampliação de 102 quando a impressão digital está 10 cm mais afastada da lente que o ponto focal a Qual é o tipo e b qual a orientação da imagem e c qual é o tipo de lente Exemplo 3403 Imagem produzida por uma lente simétrica delgada Um louvaadeus está no eixo central de uma lente simétrica delgada a 20 cm da lente A ampliação lateral da lente é m 025 e o índice de refração do material de que é feita a lente é 165 a Determine o tipo de imagem produzido pela lente o tipo de lente se o objeto louvaadeus está do lado de dentro ou do lado de fora do ponto focal de que lado da lente é formada a imagem se a imagem é invertida ou não Raciocínio Podemos deduzir muita coisa a respeito da lente e da imagem a partir do valor de m De acordo com a Eq 346 m ip temos i mp 025p Não é preciso fazer nenhum cálculo para responder às perguntas Como p é sempre positivo sabemos que i é positivo Isso significa que a imagem é real e portanto a lente é convergente as lentes convergentes são as únicas que produzem imagens reais O objeto está do lado de fora do ponto focal caso contrário a imagem seria virtual Além disso a imagem é invertida e fica do lado oposto da lente como todas as imagens reais formadas por lentes convergentes b Quais são os dois raios de curvatura da lente 1 2 3 4 IDEIASCHAVE Como a lente é simétrica r1 raio da superfície mais próxima do objeto e r2 devem ter o mesmo valor absoluto r Como a lente é convergente o objeto está diante de uma superfície que é convexa no lado mais próximo e portanto r1 r Isso significa que o objeto está diante de uma superfície que é côncava no lado mais afastado e portanto r2 r Os raios de curvatura estão relacionados à distância focal f pela equação do fabricante de lentes Eq 3410 a única equação deste capítulo que envolve os raios de curvatura de uma lente A distância focal f a distância do objeto p e a distância da imagem i estão relacionadas pela Eq 349 Cálculos Conhecemos p é um dos dados do problema mas não conhecemos i Assim o primeiro passo consiste em determinar o valor de i usando as conclusões a que chegamos no item a O resultado é o seguinte i 02520 cm 50 cm De acordo com a Eq 349 temos e portanto f 40 cm De acordo com a Eq 3410 temos Substituindo f e n por valores numéricos temos e portanto Exemplo 3404 Imagem produzida por um sistema de duas lentes A Fig 3418a mostra uma semente de abóbora O1 colocada diante de duas lentes delgadas simétricas coaxiais 1 e 2 de distâncias focais f1 24 cm e f2 9 cm respectivamente separadas por uma distância L 10 cm A semente está a 60 cm de distância da lente 1 Qual é a posição da imagem da semente IDEIACHAVE Poderíamos localizar a imagem produzida pelo conjunto de lentes usando o método dos raios Entretanto podemos em vez disso calcular a localização da imagem resolvendo o problema por partes de lente em lente Começamos pela lente mais próxima da semente A imagem que procuramos é a final ou seja a imagem I2 produzida pela lente 2 Lente 1 Ignorando a lente 2 localizamos a imagem I1 produzida pela lente 1 aplicando a Eq 349 à lente 1 O objeto O1 para a lente 1 é a semente que se encontra a 60 cm de distância da lente assim fazemos p1 60 cm Substituindo f1 pelo seu valor obtemos o que nos dá i1 80 cm Isso significa que a imagem I1 está a 80 cm de distância da lente 1 e é virtual Poderíamos ter antecipado que a imagem é virtual observando que a semente está do lado de dentro do ponto focal da lente 1 Como I1 é virtual está do mesmo lado da lente que o objeto O1 e tem a mesma orientação como mostra a Fig 3418b Lente 2 Na segunda parte da solução consideramos a imagem I1 como um objeto O2 para a segunda lente e agora ignoramos a lente 1 Como o objeto O2 está do lado de fora do ponto focal da lente 2 podemos antecipar que a imagem I2 produzida pela lente 2 é real invertida e não está do mesmo lado da lente que O2 os resultados numéricos devem ser compatíveis com essas conclusões Figura 3418 a A semente O1 está a uma distância p1 de um conjunto de duas lentes separadas por uma distância L A seta é usada para indicar a orientação da semente b A imagem I1 produzida pela lente De acordo com a Fig 3418c a distância p2 entre o objeto O2 e a lente 2 é dada por p2 L i1 10 cm 80 cm 18 cm Nesse caso de acordo com a Eq 349 agora aplicada à lente 2 temos o que nos dá O sinal positivo confirma nossas conclusões A imagem I2 produzida pela lente 2 é real invertida e está do lado direito da lente 2 como mostra a Fig 3418c Sendo assim a imagem poderia ser vista em uma tela situada 18 cm à direita da lente 2 345 INSTRUMENTOS ÓTICOS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3436 Saber o que é o ponto próximo da visão 3437 Usar um desenho para explicar a ação de uma lente de aumento simples 3438 Saber o que é a ampliação angular 3439 Calcular a ampliação angular produzida por uma lente de aumento simples 3440 Explicar o funcionamento de um microscópio composto usando um desenho 3441 Saber que a amplificação total de microscópio composto se deve à amplificação lateral da objetiva e à amplificação angular da ocular 3442 Calcular a amplificação geral de um microscópio composto 3443 Explicar o funcionamento de um telescópio refrator usando um desenho 3444 Calcular a ampliação angular de um telescópio refrator IdeiasChave A ampliação angular de uma lente de aumento simples é dada por em que f é a distância focal da lente e 25 cm é um valor de referência para o ponto próximo A ampliação total de um microscópio composto é dada por em que m é a ampliação lateral da objetiva mu é a ampliação angular da ocular s é o comprimento do tubo fob é a distância focal da objetiva e foc é a distância focal da ocular A ampliação angular de um telescópio refrator é dada por Instrumentos Óticos O olho humano é um órgão extremamente versátil mas seu desempenho pode ser melhorado sob vários aspectos com o auxílio de instrumentos óticos como óculos microscópios e telescópios Alguns desses instrumentos são sensíveis a radiações eletromagnéticas fora da faixa da luz visível as câmaras de infravermelho dos satélites e os microscópios de raios X são apenas dois exemplos As equações dos espelhos e lentes apresentadas neste livro não se aplicam aos instrumentos óticos mais sofisticados a não ser como aproximações grosseiras As lentes de muitos instrumentos como os microscópios usados nos laboratórios não podem ser consideradas 0delgadas0 Além disso a maioria dos instrumentos óticos comerciais utiliza lentes compostas isto é feitas de vários componentes cujas superfícies raramente são esféricas Vamos agora discutir três instrumentos óticos supondo para simplificar as análises que as equações para lentes delgadas são válidas Figura 3419 a Um objeto O de altura h colocado no ponto próximo de um olho humano ocupa um ângulo θ no campo de visão b O objeto foi aproximado para aumentar o ângulo porém agora o observador não consegue focalizálo c Uma lente convergente é colocada entre o objeto e o olho com o objeto um pouco mais próximo do olho que o ponto focal F1 da lente A imagem produzida pela lente agora está suficientemente distante para ser focalizada pelo olho e ocupa no campo de visão um ângulo θ maior que o ângulo θ da figura a Lente de Aumento Simples O olho humano normal só é capaz de focalizar uma imagem de um objeto na retina situada no fundo do olho se a distância entre o objeto e o olho for maior que a de um ponto conhecido como ponto próximo representado pelo símbolo Pp Quando o objeto está a uma distância menor que a do ponto próximo a imagem na retina se torna indistinta A posição do ponto próximo normalmente varia com a idade Todos nós conhecemos pessoas de meiaidade que ainda não começaram a usar óculos mas precisam esticar o braço para conseguir ler o jornal isso significa que o ponto próximo dessas pessoas começou a se afastar Para descobrir onde está seu ponto próximo tire os óculos ou lentes de contato se for necessário feche um dos olhos e aproxime esta página do olho aberto até as letras ficarem indistintas Nesta seção vamos supor que o ponto próximo está a 25 cm do olho uma distância ligeiramente maior que o valor típico para um adulto jovem A Fig 3419a mostra um objeto O colocado no ponto próximo Pp de um olho humano O tamanho da imagem produzida na retina depende do ângulo θ que o objeto ocupa no campo de visão Aproximando o objeto do olho como mostrado na Fig 3419b aumentamos o ângulo e portanto a capacidade de distinguir detalhes do objeto Entretanto como o objeto agora está a uma distância menor que o ponto próximo não está mais em foco ou seja não pode ser visto com nitidez É possível tornar a imagem novamente nítida observando o objeto através de uma lente convergente posicionada de tal forma que o objeto esteja ligeiramente mais próximo do olho que o ponto focal F1 da lente cuja distância da lente é igual à distância focal f Fig 3419c O que o observador enxerga nesse caso é a imagem virtual do objeto produzida pela lente Como essa imagem está mais distante do olho que o ponto próximo pode ser vista com nitidez Além disso o ângulo θ ocupado pela imagem virtual é maior que o maior ângulo θ que o objeto sozinho pode ocupar e ser visto com nitidez A ampliação angular mu que não deve ser confundida com a ampliação lateral m do objeto é dada por mθ θθ Em palavras a ampliação angular de uma lente de aumento simples é definida como a razão entre o ângulo ocupado pela imagem produzida pela lente e o ângulo ocupado pelo objeto quando o objeto está no ponto próximo do observador Figura 3420 Diagrama esquemático de um microscópio composto o desenho não está em escala A objetiva produz uma imagem real I do objeto O ligeiramente mais próxima da ocular que o ponto focal F 1 A imagem I se comporta como um objeto para a ocular que produz uma imagem final virtual I vista pelo observador A objetiva tem uma distância focal fob a ocular tem uma distância focal foc s é o comprimento do tubo De acordo com a Fig 3419 supondo que o objeto O está muito próximo do ponto focal da lente e supondo também que os ângulos são suficientemente pequenos para que tan θ θ e tan θ θ temos θ h25 cm e θ hf Nesse caso Microscópio Composto A Fig 3420 mostra a versão de um microscópio composto que usa lentes delgadas O instrumento é formado por uma objetiva a lente mais próxima do objeto de distância focal fob e uma ocular a lente mais próxima do olho de distância focal foc Esse tipo de instrumento é usado para observar pequenos objetos que estão muito próximos da objetiva O objeto O a ser observado é colocado um pouco mais distante que o primeiro ponto focal da objetiva suficientemente próximo de F1 para que a distância p entre o objeto e a lente possa ser tomada como aproximadamente fob A distância entre as lentes é ajustada para que a imagem real aumentada e invertida I produzida pela objetiva fique um pouco mais próxima da ocular que o primeiro ponto focal F91 Como o comprimento do tubo s da Fig 3420 é normalmente muito maior que fob podemos tomar a distância i entre a objetiva e a imagem I como igual a s De acordo com a Eq 346 e usando as aproximações já mencionadas para p e i a ampliação lateral da objetiva é dada por Como a distância entre a imagem I e a ocular é ligeiramente menor que a distância focal a ocular se comporta como uma lente de aumento simples produzindo uma imagem virtual aumentada e invertida I que é a imagem observada pelo operador do instrumento A ampliação total do instrumento é o produto da amplificação m produzida pela objetiva dada pela Eq 3413 pela amplificação angular mu produzida pela ocular dada pela Eq 3412 Assim temos Telescópio Refrator Existem vários tipos de telescópios O tipo que vamos descrever é o telescópio refrator simples constituído por uma objetiva e uma ocular ambas estão representadas na Fig 3421 como lentes simples embora na prática como também acontece com a maioria dos microscópios cada lente seja na verdade um sistema complexo composto por várias superfícies refratoras Figura 3421 a Diagrama esquemático de um telescópio refrator A objetiva produz uma imagem real I de uma fonte luminosa distante o objeto cujos raios chegam aproximadamente paralelos à objetiva Na figura uma das extremidades do objeto está no eixo central A imagem I que se forma no local em que estão os pontos focais F2 e F1 se comporta como um objeto para a ocular que produz uma imagem final virtual I a uma grande distância do observador A objetiva tem uma distância focal fob a ocular tem uma distância focal foc b A imagem I tem uma altura h e ocupa um ângulo θob do ponto de vista da objetiva e um ângulo θoc do ponto de vista da ocular A disposição das lentes nos telescópios e microscópios é semelhante mas os telescópios são construídos com o objetivo de observar grandes objetos como galáxias estrelas e planetas a grandes distâncias enquanto os microscópios são projetados para fazer exatamente o oposto Essa diferença exige que no telescópio da Fig 3421 o segundo ponto focal da objetiva F2 coincida com o primeiro ponto focal da ocular F1 enquanto no microscópio da Fig 3420 esses pontos estão separados por uma distância igual a s o comprimento do tubo Na Fig 3421a raios paralelos provenientes de um objeto distante chegam à objetiva fazendo um ângulo θob com o eixo do telescópio e formam uma imagem real e invertida no ponto focal comum F2 F1 Essa imagem I se comporta como um objeto para a ocular através da qual o operador observa uma imagem virtual e invertida I Os raios que definem a imagem fazem um ângulo θoc com o eixo do telescópio A ampliação angular mθ do telescópio é igual à razão θocθob De acordo com a Fig 3421b para raios próximos do eixo central podemos escrever θob hfob e θoc hfoc o que nos dá em que o sinal negativo indica que a imagem I é invertida Em palavras a amplificação angular de um telescópio é igual à razão entre o ângulo ocupado pela imagem que o telescópio produz e o ângulo ocupado pelo objeto distante ao ser observado sem o auxílio do telescópio A ampliação lateral é apenas um dos parâmetros de projeto dos telescópios usados em astronomia Um bom telescópio precisa ter um alto poder de captação de luz que é o parâmetro que determina o brilho da imagem Esse parâmetro é especialmente importante quando o telescópio se destina a examinar objetos de baixa luminosidade como galáxias distantes O poder de captação de luz é diretamente proporcional ao diâmetro da objetiva Outro parâmetro importante é a resolução que mede a capacidade do telescópio de distinguir objetos muito próximos O campo de vista também é um parâmetro importante Um telescópio construído com o objetivo de estudar galáxias que ocupam um pequeno campo de vista é muito diferente de um telescópio cuja finalidade é rastrear meteoritos que varrem um grande campo de vista Os projetistas de telescópios também devem levar em conta as diferenças entre as lentes reais e as lentes delgadas ideais que estudamos neste capítulo Uma lente real com superfícies esféricas não forma imagens nítidas um fenômeno conhecido como aberração esférica Além disso como o índice de refração das lentes varia com o comprimento de onda uma lente real não focaliza todas as cores no mesmo ponto um fenômeno que recebe o nome de aberração cromática Essa breve discussão cobriu apenas uma pequena parte dos parâmetros de projeto dos telescópios usados em astronomia existem muitos outros parâmetros envolvidos A mesma observação se aplica a outros instrumentos óticos sofisticados Figura 3422 Um espelho esférico côncavo forma uma imagem pontual real I refletindo os raios luminosos provenientes de um objeto pontual O 346 TRÊS DEMONSTRAÇÕES Fórmula dos Espelhos Esféricos Eq 344 A Fig 3422 mostra um objeto pontual O situado no eixo central de um espelho esférico côncavo a uma distância maior do espelho que o centro de curvatura C Um raio proveniente de O que faz um ângulo a com o eixo central intercepta o eixo no ponto I depois de ser refletido pelo espelho no ponto a Um raio que deixa o ponto O na direção do eixo é refletido na mesma direção e também passa pela ponto I Assim I é a imagem de O tratase de uma imagem real já que a luz realmente passa pelo ponto Vamos determinar a distância i da imagem De acordo com um teorema da trigonometria o ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos opostos Aplicando o teorema aos triângulos OaC e OaI da Fig 3422 temos β α θ e γ α 2θ Eliminando θ nas duas equações obtemos Os ângulos α β e γ podem ser escritos em radianos como as seguintes razões e em que o símbolo acima das letras significa arco Apenas a equação para b é exata já que o centro de curvatura de é o ponto C Entretanto as equações para α e γ serão aproximadamente corretas se os ângulos forem pequenos ou seja se os raios não se afastarem muito do eixo central Substituindo a Eq 3417 na Eq 3416 usando a Eq 343 para substituir r por 2f e cancelando obtemos a Eq 344 a relação que queríamos demonstrar Figura 3423 Imagem pontual real I de um objeto pontual O formada por refração em uma interface esférica convexa Fórmula das Superfícies Refratoras Eq 348 O raio proveniente do objeto pontual O da Fig 3423 que incide no ponto a de uma superfície refratora esférica é refratado de acordo com a Eq 3340 n1 sen θ1 n2 sen θ2 Se α é pequeno θ1 e θ2 também são pequenos e os senos dos ângulos podem ser substituídos pelos próprios ângulos Nesse caso a equação se torna Usamos novamente o fato de que o ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos opostos Aplicando esse teorema aos triângulos COa e ICa obtemos Usando as Eqs 3419 para eliminar θ1 e θ2 da Eq 3418 obtemos Medidos em radianos os ângulos α β e γ são dados por Apenas a segunda dessas equações é exata já que o centro de curvatura do arco ac é o ponto C Entretanto as equações para α e γ serão aproximadamente corretas se os ângulos forem pequenos ou seja se os raios não se afastarem muito do eixo central Substituindo as Eqs 3421 na Eq 3420 obtemos a Eq 348 a relação que queríamos demonstrar Fórmulas das Lentes Delgadas Eqs 349 e 3410 O método que vamos usar para demonstrar as Eqs 349 e 3410 será considerar cada superfície da lente como uma superfície refratora independente e usar a imagem formada pela primeira superfície como objeto para a segunda superfície refratora Começamos com a lente de vidro espessa de comprimento L da Fig 3424a cujas superfícies refratoras esquerda e direita possuem raios r e r respectivamente Um objeto pontual O é colocado no eixo central nas proximidades da superfície da esquerda como mostra a figura Um raio proveniente de O na direção do eixo central não sofre nenhum desvio ao entrar na lente ou sair da lente Um segundo raio proveniente de O que faz um ângulo a com o eixo central e intercepta a superfície esquerda da lente no ponto a é refratado e intercepta a superfície direita da lente no ponto a O raio é novamente refratado e intercepta o eixo central no ponto I que por estar na interseção de dois raios provenientes de O pode ser considerado como a imagem de O produzida após a refração nas duas superfícies Figura 3424 a Dois raios provenientes de um objeto pontual O formam uma imagem real I depois de serem refratados pelas duas superfícies esféricas de uma lente O objeto está diante de uma superfície convexa do lado esquerdo da lente e diante de uma superfície côncava do lado direito O raio que passa pelos pontos a e a está na realidade mais próximo do eixo central do que sugere o desenho b O lado esquerdo e c o lado direito da lente da parte a vistos separadamente A Fig 3424b mostra que a primeira superfície a superfície da esquerda também forma uma imagem virtual de O no ponto I Para determinar a localização de I usamos a Eq 348 Fazendo n1 1 já que o raio incidente se propaga no ar e n2 n em que n é o índice de refração do vidro da lente e lembrando que a distância da imagem é negativa ou seja que i i na Fig 3424b temos Na Eq 3422 i é um número positivo já que o sinal negativo que caracteriza uma imagem virtual já foi introduzido explicitamente A Fig 3424c mostra novamente a segunda superfície Se um observador localizado no ponto a não conhecesse a existência da primeira superfície teria a impressão de que a luz que chega a a se origina no ponto I da Fig 3424b e que a região à esquerda da superfície é uma continuação do bloco de vidro como na Fig 3424c Assim a imagem I virtual formada pela primeira superfície se comporta como um objeto real O para a segunda superfície A distância entre esse objeto e a segunda superfície é dada por Para aplicar a Eq 348 à segunda superfície precisamos fazer n1 n e n2 1 já que o percurso do raio fictício que vai de O a a é feito totalmente no vidro Combinando a Eq 348 com a Eq 3423 obtemos Vamos agora supor que a espessura L da 0lente0 da Fig 3424a é tão pequena que podemos desprezála na presença das outras grandezas lineares como p i p i r e r No restante da demonstração vamos adotar essa aproximação da lente delgada Fazendo L 0 na Eq 3424 e colocando o sinal negativo em evidência no lado direito da equação temos Somando as Eqs 3422 e 3425 obtemos Finalmente chamando a distância entre o objeto e a primeira superfície simplesmente de p e a distância entre a imagem e a segunda superfície simplesmente de i temos Com pequenas mudanças de notação a Eq 3426 podese transformar nas Eqs 349 e 3410 as relações que queríamos demonstrar Revisão e Resumo Imagens Reais e Virtuais Imagem é uma representação de um objeto por meio da luz Uma imagem formada por raios luminosos que convergem para uma superfície é chamada de imagem real uma imagem formada pelo prolongamento para trás de raios luminosos divergentes é chamada de imagem virtual Formação de uma Imagem Espelhos esféricos superfícies esféricas refratoras e lentes delgadas podem formar imagens de uma fonte luminosa o objeto redirecionando os raios provenientes da fonte A imagem é formada no ponto em que os raios redirecionados se interceptam formando uma imagem real ou no ponto em que os prolongamentos para trás dos raios redirecionados se interceptam formando uma imagem virtual Para raios próximos do eixo central de um espelho esférico superfície esférica 1 2 3 refratora ou lente delgada temos as seguintes relações entre a distância do objeto p que é sempre positiva e a distância da imagem i que é positiva para imagens reais e negativa para imagens virtuais Espelho Esférico em que f é a distância focal do espelho e r é o raio de curvatura do espelho O espelho plano é um caso especial no qual r portanto p i As imagens reais se formam no lado do espelho em que está o objeto e as imagens virtuais se formam no lado oposto Superfície Refratora Esférica em que n1 é o índice de refração do meio em que está o objeto n2 é o índice de refração do meio situado do outro lado da superfície refratora e r é o raio de curvatura da superfície refratora Quando o objeto está diante de uma superfície convexa o raio r é positivo quando está diante de uma superfície côncava r é negativo As imagens virtuais se formam do lado da superfície refratora em que está o objeto e as imagens reais se formam do lado oposto Lente Delgada em que f é a distância focal da lente n é o índice de refração do material da lente e r1 e r2 são os raios de curvatura dos dois lados da lente que são superfícies esféricas O raio de curvatura de uma superfície convexa voltada para o objeto é considerado positivo o raio de curvatura de uma superfície côncava voltada para o objeto é considerado negativo As imagens virtuais se formam do lado da lente em que está a imagem e as imagens reais se formam do lado oposto Ampliação Lateral A ampliação lateral m produzida por um espelho esférico ou uma lente delgada é dada por O valor absoluto de m é dado por em que h e h são as alturas medidas perpendicularmente ao eixo central do objeto e da imagem respectivamente 1 2 3 Instrumentos Óticos Três instrumentos óticos que melhoram a visão humana são A lente de aumento simples que produz uma ampliação angular mu dada por em que f é a distância focal da lente de aumento A distância de 25 cm é um valor convencional ligeiramente maior que o ponto próximo de um adulto jovem O microscópio composto que produz uma ampliação total M dada por em que m é a ampliação lateral produzida pela objetiva mθ é a ampliação angular produzida pela ocular s é o comprimento do tubo e fob e foc são as distâncias focais da objetiva e da ocular respectivamente O telescópio refrator que produz uma ampliação angular mu dada por Perguntas 1 A Fig 3425 mostra um peixe e um banhista a O banhista vê o peixe mais próximo do ponto a ou do ponto b b O peixe vê a cabeça do banhista mais próxima do ponto c ou do ponto d Figura 3425 Pergunta 1 2 Na Fig 3426 o boneco O está diante de um espelho esférico montado no interior da região tracejada a linha cheia representa o eixo central do espelho Os quatro bonecos I1 a I4 mostram a localização e orientação de possíveis imagens produzidas pelo espelho As alturas e distâncias dos bonecos não foram desenhadas em escala a Quais dos bonecos não podem representar imagens Das imagens possíveis determine b as que podem ser produzidas por um espelho côncavo c as que podem ser produzidas por um espelho convexo d as que são virtuais e e as que envolvem uma ampliação negativa Figura 3426 Perguntas 2 e 10 3 A Fig 3427 é uma vista superior de um labirinto de espelhos feito de triângulos equiláteros Todas as paredes do labirinto estão cobertas por espelhos Se você está na entrada ponto x a quais das pessoas a b e c você pode ver nos corredores virtuais que se estendem à sua frente b Quantas vezes essas pessoas são vistas c O que existe no final de cada 0corredor0 Figura 3427 Pergunta 3 4 Um pinguim caminha ao longo do eixo central de um espelho côncavo do ponto focal até uma grande distância do espelho a Qual é o movimento correspondente da imagem b A altura da imagem aumenta continuamente diminui continuamente ou varia de uma forma mais complicada 5 Quando um tiranossauro persegue um jipe no filme Jurassic Park vemos uma imagem refletida do tiranossauro no espelho lateral do jipe onde está escrito o que nas circunstâncias pode ser considerado uma piada de humor negro Os objetos vistos neste espelho estão mais próximos do que parecem O espelho é plano convexo ou côncavo 6 Um objeto é colocado no centro de um espelho côncavo e deslocado ao longo do eixo central até uma distância de 50 m do espelho Durante o movimento a distância i entre o espelho e a imagem do objeto é medida O processo é repetido para um espelho convexo e um espelho plano A Fig 3428 mostra o resultado em função da distância p do objeto Determine a correspondência entre as curvas e o tipo de espelho A curva 1 tem duas partes Figura 3428 Perguntas 6 e 8 7 A tabela mostra seis modos possíveis de combinar lentes convergentes e divergentes em um arranjo como o da Fig 3429 Os pontos F1 e F2 são os pontos focais das lentes 1 e 2 Um objeto está a uma distância p1 à esquerda da lente 1 como na Fig 3418 a Para que combinações podemos determinar sem fazer nenhum cálculo se a imagem final produzida pela lente 2 está à esquerda ou à direita da lente 2 e se tem a mesma orientação que o objeto ou a orientação oposta b Para essas combinações fáceis indique a localização da imagem como à esquerda ou à direita e a orientação como a mesma ou invertida Figura 3429 Pergunta 7 Modo Lente 1 Lente 2 1 Convergente Convergente p1 f1 2 Convergente Convergente p1 f1 3 Divergente Convergente p1 f1 4 Divergente Convergente p1 f1 5 Divergente Divergente p1 f1 6 Divergente Divergente p1 f1 8 Um objeto é colocado no centro de uma lente convergente e deslocado ao longo do eixo central até uma distância de 50 m do espelho Durante o movimento a distância i entre a lente e a imagem do objeto é medida O processo é repetido para uma lente divergente Quais das curvas da Fig 3428 mostram o resultado em função da distância p do objeto para essas lentes A curva 1 tem duas partes a curva 3 é uma linha reta 9 A Fig 3430 mostra quatro lentes delgadas feitas do mesmo material com lados que são planos ou têm um raio de curvatura cujo valor absoluto é 10 cm Sem fazer nenhum cálculo coloque as lentes na ordem decrescente do valor absoluto da distância focal Figura 3430 Pergunta 9 10 Na Fig 3426 o boneco O está diante de uma lente delgada simétrica montada no interior da região tracejada a linha cheia representa o eixo central da lente Os quatro bonecos I1 a I4 mostram a localização e orientação de possíveis imagens produzidas pela lente As alturas e distâncias dos bonecos não foram desenhadas em escala a Quais dos bonecos não podem representar imagens Das imagens possíveis determine b as que podem ser produzidas por uma lente convergente c as que podem ser produzidas por uma lente divergente d as que são virtuais e e as que envolvem uma ampliação negativa 11 A Fig 3431 mostra um sistema de coordenadas diante de um espelho plano com o eixo x perpendicular ao espelho Desenhe a imagem do sistema de coordenadas produzida pelo espelho a Qual dos eixos é invertido pela reflexão b Quando você fica diante de um espelho plano a inversão produzida pelo espelho faz com que o que estava em cima passe a ser visto embaixo e viceversa c A inversão faz com que o que estava à direita passe a ser visto à esquerda e viceversa d A inversão faz com que o que estava à frente passe a ser visto atrás e viceversa Figura 3431 Pergunta 11 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 341 Imagens e Espelhos Planos 1 Você aponta uma câmera para a imagem de um beijaflor em um espelho plano A câmera está a 430 m do espelho O passarinho está ao nível da câmera 500 m à direita e a 330 m do espelho Qual é a distância entre a câmera e a posição aparente da imagem do passarinho no espelho 2 Uma mariposa está ao nível dos seus olhos a 10 cm de distância de um espelho plano você está atrás da mariposa a 30 cm de distância do espelho Qual é a distância entre os seus olhos e a posição aparente da imagem da mariposa no espelho 3 Na Fig 3432 uma fonte luminosa pontual e isotrópica S é posicionada a uma distância d de uma tela de observação A e a intensidade luminosa IP no ponto P na mesma altura que S é medida Em seguida um espelho plano M é colocado atrás de S a uma distância d De quantas vezes aumenta a intensidade luminosa IP quando o espelho é introduzido Figura 3432 Problema 3 4 A Fig 3433 mostra uma vista de topo de um corredor com um espelho plano M montado em uma das extremidades Um ladrão B se esgueira por um corredor em direção ao centro do espelho Se d 30 m a que distância o ladrão está do espelho no momento em que é avistado pelo vigia S Figura 3433 Problema 4 5 A Fig 3434 mostra uma lâmpada pendurada a uma distância d1 250 cm acima da superfície da água de uma piscina na qual a profundidade da água é de d2 200 cm O fundo da piscina é um espelho A que distância da superfície do espelho está a imagem da lâmpada Sugestão Suponha que os raios não se desviam muito de uma reta vertical que passa pela lâmpada e use a aproximação válida para pequenos ângulos de que sen θ tan θ u Figura 3434 Problema 5 Módulo 342 Espelhos Esféricos 6 Um objeto é deslocado ao longo do eixo central de um espelho esférico enquanto a ampliação lateral m é medida A Fig 3435 mostra o valor de m em função da distância p do objeto no intervalo de pa 20 cm a pb 80 cm Qual é a ampliação do objeto quando está a 140 cm do espelho Figura 3435 Problema 6 7 Um espelho de barbear côncavo com um raio de curvatura de 350 cm é posicionado de tal forma que a imagem não invertida do rosto de um homem é 250 vezes maior que o tamanho real A que distância do homem está o espelho 8 Um objeto é colocado no centro de um espelho esférico e deslocado ao longo do eixo central até uma distância de 70 cm do espelho Durante o movimento é medida a distância i entre o espelho e a imagem do objeto A Fig 3436 mostra o valor de i em função da distância p do objeto até uma distância ps 40 cm Qual é a distância da imagem quando o objeto está a 70 cm do espelho Figura 3436 Problema 8 9 a 16 Espelhos esféricos Um objeto O está no eixo central de um espelho esférico Para cada problema a Tabela 343 mostra a distância do objeto p em centímetros o tipo de espelho e a distância em centímetros sem o sinal entre o ponto focal e o espelho Determine a o raio de curvatura r do espelho incluindo o sinal b a distância i da imagem e c a ampliação lateral m Determine também se a imagem é d real R ou virtual V e se é invertida I ou não invertida NI e f se está do mesmo lado M do espelho que o objeto ou do lado oposto O 17 a 29 Mais espelhos Um objeto O está no eixo central de um espelho esférico ou plano Para cada problema a Tabela 344 mostra a o tipo de espelho b a distância focal f c o raio de curvatura r d a distância do objeto p e a distância da imagem i e f a ampliação lateral m Todas as distâncias estão em centímetros A tabela também mostra g se a imagem é real R ou virtual V h se a imagem é invertida I ou não invertida NI e i se a imagem está do mesmo lado do espelho que o objeto O M ou do lado oposto O Determine os dados que faltam Nos casos em que está faltando apenas um sinal determine o sinal Tabela 343 Problemas 9 a 16 Espelhos Esféricos As explicações estão no texto p Espelho a r b i c m d RV e INI f Lado 9 18 Côncavo 12 10 15 Côncavo 10 11 80 Convexo 10 12 24 Côncavo 36 13 12 Côncavo 18 14 22 Convexo 35 15 10 Convexo 80 16 17 Convexo 14 Tabela 344 Problemas 17 a 29 Mais Espelhos As explicações estão no texto a Tipo b f c r d p e i f m g RV h INI i Lado 17 Côncavo 20 10 18 24 050 I 19 40 10 20 40 070 21 20 30 22 20 010 23 30 020 24 60 050 25 30 040 I 26 20 60 Mesmo 27 30 15 28 10 10 29 Convexo 40 40 30 A Fig 3437 mostra a ampliação lateral m em função da distância p entre um objeto e um espelho esférico quando o objeto é deslocado ao longo do eixo central do espelho A escala do eixo horizontal é definida por ps 100 cm Qual é a ampliação do objeto quando ele está a 21 cm do espelho Figura 3437 Problema 30 31 a Um ponto luminoso está se movendo a uma velocidade vO em direção a um espelho esférico de raio de curvatura r ao longo do eixo central do espelho Mostre que a imagem do ponto está se movendo com uma velocidade dada por em que p é a distância instantânea entre o ponto luminoso e o espelho Suponha agora que o espelho é côncavo com um raio de curvatura r 15 cm e que vO 50 cm s Determine a velocidade da imagem vI b para p 30 cm bem mais longe do espelho que o ponto focal c p 80 cm ligeiramente mais longe do espelho que o ponto focal e d p 10 mm muito perto do espelho Módulo 343 Refração em Interfaces Esféricas 32 a 38 Superfícies refratoras esféricas Um objeto O está no eixo central de uma superfície refratora esférica Para cada problema a Tabela 345 mostra o índice de refração n1 do meio em que se encontra o objeto a o índice de refração n2 do outro lado da superfície refratora b a distância do objeto p c o raio de curvatura r da superfície e d a distância da imagem i Todas as distâncias estão em centímetros Determine os dados que faltam incluindo e se a imagem é real R ou virtual V e f se a imagem fica do mesmo lado da superfície que o objeto O M ou do lado oposto O 39 Na Fig 3438 um feixe de raios luminosos paralelos produzido por um laser incide em uma esfera maciça transparente de índice de refração n a Se uma imagem pontual é produzida na superfície posterior da esfera qual é o índice de refração da esfera b Existe algum valor do índice de refração para o qual é produzida uma imagem pontual no centro da esfera Se a resposta for afirmativa qual é esse valor Figura 3438 Problema 39 40 Uma esfera de vidro de raio R 50 tem um índice de refração n 16 Um peso de papel de altura h 30 cm é fabricado cortando a esfera ao longo de um plano situado a 20 cm de distância do centro da esfera O peso de papel é colocado em uma mesa e visto de cima por um observador situado a uma distância d 80 cm da superfície da mesa Fig 3439 Quando é vista através do peso de papel a que distância a superfície da mesa parece estar do observador Figura 3439 Problema 40 Tabela 345 Problemas 32 a 38 Refração em Superfícies Esféricas As explicações estão no texto n1 a n2 b p c r d i e RV f Lado 32 10 15 10 30 33 10 15 10 13 34 15 100 30 600 35 15 10 70 30 36 15 10 30 75 37 15 10 10 60 38 10 15 30 600 Módulo 344 Lentes Delgadas 41 Uma lente é feita de vidro com índice de refração de 15 Um dos lados é plano e o outro é convexo com um raio de curvatura de 20 cm a Determine a distância focal da lente b Se um objeto é colocado a 40 cm da lente qual é a localização da imagem 42 Um objeto é colocado no centro de uma lente delgada e deslocado ao longo do eixo central Durante o movimento a ampliação lateral m é medida A Fig 3440 mostra o resultado em função da distância p do objeto até ps 200 cm Determine a ampliação lateral para p 350 cm Figura 3440 Problema 42 43 Uma câmera de cinema cuja lente única tem uma distância focal de 75 mm é usada para filmar uma pessoa de 180 m de altura a uma distância de 27 m Qual é a altura da imagem da pessoa no filme 44 Um objeto é colocado no centro de uma lente delgada e deslocado ao longo do eixo central Durante o movimento a distância i entre a lente e a imagem do objeto é medida A Fig 3441 mostra o resultado em função da distância p do objeto até ps 60 cm Determine a distância da imagem para p 100 cm Figura 3441 Problema 44 45 Você produz uma imagem do Sol em uma tela usando uma lente delgada com uma distância focal de 200 cm Qual é o diâmetro da imagem Os dados a respeito do Sol estão no Apêndice C 46 Um objeto é colocado no centro de uma lente delgada e deslocado ao longo do eixo central até uma distância de 70 cm da lente Durante o movimento a distância i entre a lente e a imagem do objeto é medida A Fig 3442 mostra o resultado em função da distância p do objeto até ps 40 cm Determine a distância da imagem para p 70 cm Figura 3442 Problema 46 47 Uma lente biconvexa é feita de vidro com índice de refração de 15 Uma das superfícies tem um raio de curvatura duas vezes maior que a outra e a distância focal da lente é 60 mm Determine a o menor raio de curvatura e b o maior raio de curvatura 48 Um objeto é colocado no centro de uma lente delgada e deslocado ao longo do eixo central Durante o movimento a ampliação lateral m é medida A Fig 3443 mostra o resultado em função da distância p do objeto até ps 80 cm Determine a ampliação lateral do objeto para p 140 cm Figura 3443 Problema 48 49 Uma transparência iluminada é mantida a 44 cm de distância de uma tela A que distância da transparência deve ser colocada uma lente com uma distância focal de 11 cm para que uma imagem da transparência se forme na tela 50 a 57 Lentes delgadas Um objeto O está no eixo central de uma lente delgada simétrica Para cada problema a Tabela 346 mostra a distância do objeto p em centímetros o tipo de lente C significa convergente e D significa divergente e a distância em centímetros com o sinal apropriado entre um dos pontos focais e a lente Determine a a distância da imagem i e b a ampliação lateral m do objeto incluindo os sinais Determine também c se a imagem é real R ou virtual V d se é invertida I ou não invertida NI e e se está do mesmo lado da lente que o objeto O M ou do lado oposto O 58 a 67 Lentes com raios dados Um objeto O está no eixo central de uma lente delgada Para cada problema a Tabela 347 mostra a distância do objeto p o índice de refração n da lente o raio r1 da superfície da lente mais próxima do objeto e o raio r2 da superfície da lente mais distante do objeto Todas as distâncias estão em centímetros Determine a a distância da imagem i e b a ampliação lateral m do objeto incluindo o sinal Determine também se c se a imagem é real R ou virtual V d se é invertida I ou não invertida NI e e se está do mesmo lado da lente que o objeto O M ou do lado oposto O 68 Na Fig 3444 uma imagem real invertida I de um objeto O é formada por uma lente que não aparece na figura a distância entre o objeto e a imagem medida ao longo do eixo central da lente é d 400 cm A imagem tem metade do tamanho do objeto a Que tipo de lente é capaz de produzir a imagem b A que distância do objeto está a lente c Qual é a distância focal da lente Figura 3444 Problema 68 69 a 79 Mais lentes Um objeto O está no eixo central de uma lente delgada simétrica Para cada problema a Tabela 348 mostra a o tipo de lente convergente C ou divergente D b a distância focal f c a distância do objeto p d a distância da imagem i e e a ampliação lateral m Todas as distâncias estão em centímetros A tabela também mostra f se a imagem é real R ou virtual V g se é invertida I ou não invertida NI e h se está do mesmo lado da lente que o objeto O M ou está do lado oposto O Determine os dados que faltam incluindo o valor de m nos casos em que apenas uma desigualdade é fornecida Nos casos em que está faltando apenas um sinal determine o sinal Tabela 346 Problemas 50 a 57 Lentes Delgadas As explicações estão no texto p Lente a b c d e i m RV INI Lado 50 16 C 40 51 12 C 16 52 25 C 35 53 80 C 12 54 10 C 60 55 22 C 14 56 12 C 31 57 45 C 20 Tabela 347 Problemas 58 a 67 Lentes com Raios Dados As explicações estão no texto p n r1 r2 a i b m c RV d INI e Lado 58 29 165 35 59 75 155 30 42 60 60 170 10 12 61 24 150 15 25 62 10 150 30 30 63 35 170 42 33 64 10 150 30 60 65 10 150 30 30 66 18 160 27 24 67 60 150 35 35 80 a 87 Sistemas de duas lentes Na Fig 3445 o boneco O o objeto está no eixo central comum de duas lentes delgadas simétricas que estão nas regiões indicadas por retângulos tracejados A lente 1 está na região mais próxima de O a uma distância p1 do objeto A lente 2 está na região mais afastada de O a uma distância d da lente 1 Para cada problema a Tabela 349 mostra uma combinação diferente de lentes e diferentes valores das distâncias que são dadas em centímetros O tipo de lente é indicado por C para uma lente convergente e D para uma lente divergente o número que se segue a C ou D é a distância entre a lente e um dos pontos focais o sinal da distância focal não está indicado Figura 3445 Problemas 80 a 87 Determine a a distância i2 da imagem produzida pela lente 2 a imagem final produzida pelo sistema e b a ampliação lateral total M do sistema incluindo o sinal Determine também c se a imagem final é real R ou virtual V d se é invertida I ou não invertida NI e e se está do mesmo lado da lente que o objeto O M ou está do lado oposto O Tabela 348 Problemas 69 a 79 Mais Lentes As explicações estão no texto a Tipo b f c p d i e m f RV g INI h Lado 69 10 50 70 20 80 10 NI 71 16 025 72 16 025 73 10 050 74 C 10 20 75 10 50 10 Mesmo 76 10 50 10 77 16 125 78 10 050 NI 79 20 80 10 Tabela 349 Problemas 80 a 87 Sistemas de Duas Lentes As explicações estão no texto p1 Lente 1 d Lente 2 a i2 b M c RV d INI e Lado 80 10 C 15 10 C 80 81 12 C 80 32 C 60 82 80 D 60 12 C 60 83 20 C 90 80 C 50 84 15 C 12 67 C 10 85 40 C 60 80 D 60 86 12 C 80 30 D 80 87 20 D 12 10 D 80 Módulo 345 Instrumentos Óticos 88 Se a ampliação angular de um telescópio astronômico é 36 e o diâmetro da objetiva é 75 mm qual é o diâmetro mínimo da ocular para que possa coletar toda a luz que entra na objetiva proveniente de uma fonte pontual distante situada no eixo do microscópio 89 Em um microscópio do tipo que aparece na Fig 3420 a distância focal da objetiva é 400 cm e a distância focal da ocular é 800 cm A distância entre as lentes é 250 cm a Qual é o comprimento do tubo s b Se a imagem I da Fig 3420 está ligeiramente à direita do ponto focal F1 a que distância da objetiva está o objeto Determine também c a ampliação lateral m da objetiva d a ampliação angular mθ da ocular e e a amplificação total M do microscópio 90 A Fig 3446a mostra a estrutura básica das câmeras fotográficas antigas que trabalhavam com filmes A posição de uma lente era ajustada para produzir uma imagem em um filme situado na parte posterior da câmara Em uma câmara em particular com a distância i entre a lente e o filme ajustada para f 50 cm raios luminosos paralelos provenientes de um objeto O muito distante convergem para formar uma imagem pontual no filme como mostra a figura O objeto é colocado mais perto da câmara a uma distância p 100 cm e a distância entre a lente e o filme é ajustada para que uma imagem real invertida seja formada no filme Fig 3446b a Qual é a nova distância i entre a lente e o filme b Qual é a variação de i em relação à situação anterior Figura 3446 Problema 90 91 A Fig 3447a mostra a estrutura básica do olho humano A luz é refratada pela córnea para o interior do olho e refratada novamente pelo cristalino cuja forma e portanto distância focal é controlada por músculos Para fins de análise podemos substituir a córnea e o cristalino por uma única lente delgada equivalente veja a Fig 3447b O olho normal focaliza raios luminosos paralelos provenientes de um objeto distante O em um ponto da retina no fundo do olho onde começa o processamento do sinal visual Quando o objeto se aproxima do olho os músculos precisam mudar a forma do cristalino para que os raios formem uma imagem invertida do objeto na retina Fig 3447c a Suponha que no caso de um objeto distante como nas Figs 3447a e 3447b a distância focal f da lente equivalente do olho seja 250 cm Para um objeto a uma distância p 400 cm do olho qual deve ser a distância focal f da lente equivalente para que o objeto seja visto com nitidez b Os músculos do olho devem aumentar ou diminuir a curvatura do cristalino para que a distância focal se torne f Figura 3447 Problema 91 92 Um objeto se encontra a 100 mm de distância da objetiva de um microscópio composto A distância entre as lentes é 300 mm e a imagem intermediária se forma a 500 mm de distância da ocular Qual é a ampliação total do instrumento 93 Uma pessoa com um ponto próximo Pn de 25 cm observa um dedal através de uma lente de aumento simples com uma distância focal de 10 cm mantendo a lente perto do olho Determine a ampliação angular do dedal quando é posicionado de tal forma que a imagem apareça a em Pn e b no infinito Problemas Adicionais 94 Um objeto é colocado no centro de um espelho esférico e deslocado ao longo do eixo central até uma distância de 70 cm do espelho Durante o movimento a distância i entre o espelho e a imagem do objeto é medida A Fig 3448 mostra o valor de i em função da distância p do objeto até uma distância ps 40 cm Qual é a distância da imagem quando o objeto está a 70 cm de distância do espelho Figura 3448 Problema 94 95 a 100 Sistemas de três lentes Na Fig 3449 o boneco O o objeto está no eixo central comum de três lentes delgadas simétricas que estão montadas nas regiões limitadas por linhas tracejadas A lente 1 está montada na região mais próxima de O a uma distância p1 do boneco A lente 2 está montada na região do meio a uma distância d12 da lente 1 A lente 3 está montada na região mais afastada de O a uma distância d23 da lente 2 Cada problema da Tabela 3410 se refere a uma combinação diferente de lentes e a valores diferentes das distâncias que são dadas em centímetros O tipo de lente é indicado como C no caso de uma lente convergente e como D no caso de uma lente divergente o número que se segue a C ou D é a distância entre a lente e um dos pontos focais o sinal da distância focal não está indicado Figura 3449 Problemas 95 a 100 Determine a a distância i3 entre o objeto e imagem produzida pela lente 3 a imagem final produzida pelo sistema e b a ampliação lateral total M do sistema incluindo o sinal Determine também c se a imagem final é real R ou virtual V d se é invertida I ou não invertida NI e e se está do mesmo lado da lente que o objeto O M ou está do lado oposto O 101 A expressão 1p 1i 1f é chamada de forma gaussiana da equação das lentes delgadas Outra forma da expressão a forma newtoniana é obtida considerando como variáveis a distância x do objeto ao primeiro ponto focal e a distância x do segundo ponto focal à imagem Mostre que xx f2 é a forma newtoniana da equação das lentes delgadas 102 A Fig 3450a é uma vista de topo de dois espelhos planos verticais com um objeto O entre eles Quando um observador olha para os espelhos ele vê imagens múltiplas do objeto Para determinar as posições dessas imagens desenhe o reflexo em cada espelho na região entre os espelhos como foi feito para o espelho da esquerda na Fig 3450b Em seguida desenhe o reflexo do reflexo Continue da mesma forma do lado esquerdo e do lado direito até que os reflexos se superponham dos dois lados dos espelhos Quando isso acontecer basta contar o número de imagens de O Determine o número de imagens formadas a para θ 90o b para θ 45o c para θ 60o Para θ 120o determine d o menor e e o maior número de imagens que podem ser observadas dependendo do ponto de vista do observador e da posição do objeto O f Para cada situação indique as posições e orientações de todas as imagens de O em um desenho semelhante ao da Fig 3450b Figura 3450 Problema 102 Tabela 3410 Problemas 95 a 100 Sistemas de Três Lentes As explicações estão no texto p1 Lente 1 d12 Lente 2 d23 Lente 2 a i3 b M c RV d INI e Lado 95 12 C 80 28 C 60 80 C 60 96 40 D 60 96 C 60 14 C 40 97 18 C 60 15 C 30 11 C 30 98 20 C 60 15 C 60 19 C 50 99 180 D 80 80 D 16 51 C 80 100 40 C 60 80 D 40 57 D 12 103 Duas lentes delgadas de distâncias focais f1 e f2 estão em contato Mostre que são equivalentes a uma única lente delgada com uma distância focal f f1f2f1 f2 104 Dois espelhos planos paralelos estão separados por uma distância de 40 cm Um objeto é colocado a 10 cm de distância de um dos espelhos Determine a a menor b a segunda menor c a terceira menor ocorre duas vezes e d a quarta menor distância entre o objeto e uma imagem do objeto 105 Na Fig 3451 uma caixa está no eixo central da lente convergente delgada em algum ponto à esquerda da lente A imagem Im da caixa produzida pelo espelho plano está 400 cm à direita do espelho A distância entre a lente e o espelho é 100 cm e a distância focal da lente é 200 cm a Qual é a distância entre a caixa e a lente A luz refletida pelo espelho atravessa novamente a lente e produz uma imagem final da caixa b Qual é a distância entre a lente e a imagem final Figura 3451 Problema 105 106 Na Fig 3452 um objeto é colocado diante de uma lente convergente a uma distância igual a duas vezes a distância focal f1 da lente Do outro lado da lente está um espelho côncavo de distância focal f2 separado da lente por uma distância de 2f1 f2 A luz proveniente do objeto atravessa a lente da esquerda para a direita é refletida pelo espelho atravessa a lente da direita para a esquerda e forma uma imagem final do objeto Determine a a distância entre a lente e a imagem final e b a ampliação lateral total M do objeto Determine também c se a imagem é real ou virtual se é virtual só pode ser vista olhando para o espelho através da lente d se a imagem está à esquerda ou à direita da lente e e se a imagem é invertida ou não invertida Figura 3452 Problema 106 107 Uma mosca de altura H está no eixo central da lente 1 A lente forma uma imagem da mosca a uma distância d 20 cm da mosca a imagem é não invertida e tem uma altura HI 20H Determine a a distância focal f1 da lente e b a distância p1 entre a mosca e a lente A mosca abandona a lente 1 e pousa no eixo central da lente 2 que também forma uma imagem não invertida a uma distância d 20 cm da mosca mas agora HI 050H Determine c f2 e d p2 108 Você fabrica as lentes que aparecem na Fig 3453 a partir de discos planos de vidro n 15 usando uma máquina capaz de produzir um raio de curvatura de 40 cm ou 60 cm Em uma lente na qual é necessário apenas um raio de curvatura você escolhe o raio de 40 cm Em seguida usa as lentes uma por uma para formar uma imagem do Sol Determine a a distância focal f e b o tipo de imagem real ou virtual da lente biconvexa 1 c f e d o tipo de imagem da lente planoconvexa 2 e f e f o tipo de imagem da lente côncavoconvexa 3 g f e h o tipo de imagem da lente bicôncava 4 i f e j o tipo de imagem da lente planocôncava e k f e l o tipo de imagem da lente convexocôncava 6 Figura 3453 Problema 108 109 Na Fig 3454 um observador situado no ponto P olha para um peixe através da parede de vidro de um aquário O observador está na mesma horizontal que o peixe o índice de refração do vidro é 85 e o da água é 43 As distâncias são d1 80 cm d2 30 cm e d3 68 cm a Do ponto de vista do peixe a que distância parece estar o observador Sugestão O observador é o objeto A luz proveniente do objeto passa pela superfície externa da parede do aquário que se comporta como uma superfície refratora Determine a imagem produzida por essa superfície Em seguida trate essa imagem como um objeto cuja luz passa pela superfície interna da parede do aquário que se comporta como outra superfície refratora Determine a distância da imagem produzida por essa superfície que é a resposta pedida b Do ponto de vista do observador a que distância parece estar o peixe Figura 3454 Problema 109 110 Um peixe dourado em um aquário esférico de raio R está na mesma horizontal que o centro C do aquário a uma distância R2 do vidro Fig 3455 Que ampliação do peixe é produzida pela água do aquário para um observador alinhado com o peixe e o centro do aquário com o peixe mais próximo do observador que o centro do aquário O índice de refração da água é 133 Despreze o efeito da parede de vidro do aquário Suponha que o observador está olhando para o peixe com um só olho Sugestão A Eq 345 se aplica a este caso mas não a Eq 346 É preciso fazer um diagrama de raios da situação e supor que os raios estão próximos da linha de visada do observador ou seja que fazem um ângulo pequeno com a reta que liga o olho do observador ao centro do aquário Figura 3455 Problema 110 111 A Fig 3456 mostra um expansor de feixe constituído por duas lentes convergentes coaxiais de distâncias focais f1 e f2 separadas por uma distância d f1 1 f2 O dispositivo pode expandir o feixe de um laser mantendo ao mesmo tempo os raios do feixe paralelos ao eixo central das lentes Suponha que um feixe luminoso uniforme de largura Wi 25 mm e intensidade Ii 90 kWm2 incide em um expansor de feixe para o qual f1 125 cm e f2 300 cm Determine o valor a de Wf e b de If para o feixe na saída do expansor c Que valor de d será necessário se a lente 1 for substituída por uma lente divergente de distância focal f1 260 cm Figura 3456 Problema 111 112 Você olha para baixo em direção a uma moeda que está no fundo de uma piscina de profundidade d e índice de refração n Fig 3457 Como você observa a moeda com dois olhos que interceptam raios luminosos diferentes provenientes da moeda você tem a impressão de que a moeda se encontra no lugar onde os prolongamentos dos raios interceptados se cruzam a uma profundidade da d Supondo que os raios da Fig 3457 não se desviam muito da vertical mostre que da dn Sugestão Use a aproximação válida para ângulos pequenos de que sen θ tan θ θ Figura 3457 Problema 112 113 O furo de uma câmera pinhole fica a uma distância de 12 cm do plano do filme que é um retângulo de 80 cm de altura por 60 cm de largura A que distância de uma pintura de 50 cm 50 cm deve ser colocada a câmara para que a imagem completa da pintura no plano do filme seja a maior possível 114 Um raio luminoso parte do ponto A e chega ao ponto B depois de ser refletido no ponto O situado na superfície de um espelho Mostre sem usar os métodos do cálculo que a distância AOB é mínima quando o ângulo de incidência θ é igual ao ângulo de reflexão ϕ Sugestão Considere a imagem de A no espelho 115 Um objeto pontual está a 10 cm de distância de um espelho plano e o olho de um observador cuja pupila tem 50 mm de diâmetro está a 20 cm de distância Supondo que o olho e o objeto estão na mesma reta perpendicular à superfície do espelho determine a área do espelho envolvida na observação do reflexo do ponto Sugestão Veja a Fig 344 116 Mostre que a distância entre um objeto e a imagem real formada por uma lente convergente delgada é sempre maior ou igual a quatro vezes a distância focal da lente 117 Um objeto e uma tela se encontram a uma distância fixa D a Mostre que uma lente convergente de comprimento focal f colocada entre o objeto e a tela forma uma imagem real do objeto na tela para duas posições da lente separadas por uma distância b Mostre que a razão entre os tamanhos das imagens obtidas com a lente nas duas posições é dada por 118 Uma borracha com 10 cm de altura é colocada a 10 cm de distância de um sistema de duas lentes A lente 1 a mais próxima da borracha tem uma distância focal f1 15 cm a lente 2 tem uma distância focal f2 12 cm e a distância entre as lentes é d 12 cm Para a imagem produzida pela lente 2 determine a a distância i2 da imagem incluindo o sinal b a altura da imagem c o tipo de imagem real ou virtual e d a orientação da imagem invertida ou não invertida em relação à borracha 119 Um amendoim é colocado a 40 cm de distância de um sistema de duas lentes A lente 1 a mais próxima do amendoim tem uma distância focal f1 20 cm a lente 2 tem uma distância focal f2 15 cm e a distância entre as lentes é d 10 cm Para a imagem produzida pela lente 2 determine a a distância da imagem i2 incluindo o sinal b a orientação da imagem invertida em relação ao amendoim ou não invertida e c o tipo de imagem real ou virtual d Qual é a ampliação lateral 120 Uma moeda é colocada a 20 cm de distância de um sistema de duas lentes A lente 1 a mais próxima da moeda tem uma distância focal f1 10 cm a lente 2 tem uma distância focal f2 125 cm e a distância entre as lentes é d 30 cm Para a imagem produzida pela lente 2 determine a a distância da imagem i2 incluindo o sinal b a ampliação lateral c o tipo de imagem real ou virtual e d a orientação da imagem invertida em relação à moeda ou não invertida 121 Um objeto está 20 cm à esquerda de uma lente divergente delgada com uma distância focal de 30 cm a Determine a distância i da imagem b Desenhe um diagrama de raios mostrando a posição da imagem 122 Na Fig 3458 um cone de pinheiro está a uma distância p1 10 m de uma lente cuja distância focal é f1 050 m um espelho plano está a uma distância d 20 do outro lado da lente A luz proveniente do cone passa pela lente é refletida no espelho passa novamente pela lente e forma uma imagem final do cone Determine a a distância entre o cone e a imagem b a ampliação lateral da imagem c se a imagem é real ou virtual para um observador situado à esquerda da lente e olhando para a direita d se a imagem está à esquerda ou à direita da lente e se a imagem é invertida ou não invertida Figura 3458 Problema 122 123 Uma das extremidades de uma barra longa de vidro n 15 é uma superfície convexa com 60 cm de raio Um objeto está situado no ar no prolongamento do eixo da barra a 10 cm de distância da extremidade convexa a Qual é a distância entre o objeto e a imagem formada pela barra de vidro b Qual é o intervalo de distâncias entre o objeto e a extremidade da barra no qual o objeto deve ser colocado para que seja produzida uma imagem virtual 124 Um objeto curto e retilíneo de comprimento L está no eixo central de um espelho esférico a uma distância p do espelho a Mostre que a imagem do objeto no espelho tem um comprimento L dado por Sugestão Determine a posição das imagens das duas extremidades do objeto b Mostre que a ampliação longitudinal m LL é igual a m2 em que m é a ampliação lateral 125 Prove que se um espelho plano for girado de um ângulo a o raio refletido girará de um ângulo 2a Mostre que esse resultado é razoável para α 45o 126 Um objeto está a 300 cm de distância de um espelho esférico no eixo central do espelho O espelho produz uma imagem invertida com uma ampliação lateral cujo valor absoluto é 0500 Qual é a distância focal do espelho 127 Um espelho côncavo tem um raio de curvatura de 24 cm Determine a que distância um objeto se encontra do espelho se a imagem formada for a virtual e 30 vezes maior que o objeto b real e 30 vezes maior que o objeto e c real e 3 vezes menor que o objeto 128 Uma semente de mamão é colocada diante de uma lente A ampliação lateral da semente é 10300 O valor absoluto da distância focal da lente é 400 cm A que distância da lente está a imagem da semente 129 A equação 1p 1i 2r para espelhos esféricos é uma aproximação que é válida apenas se a imagem for formada por raios que façam pequenos ângulos com o eixo central Na verdade muitos ângulos não são pequenos o que reduz a nitidez da imagem É possível analisar matematicamente este efeito Observe a Fig 3422 e considere um raio que parte de uma fonte pontual o objeto situada no eixo central e faz um ângulo a com o eixo Para começar determine o ponto de interseção do raio com o espelho Se as coordenadas do ponto de interseção são x e y e a origem é o centro de curvatura do espelho y x p r tan a e x2 y2 r2 em que p é a distância do objeto e r é o raio de curvatura do espelho Em seguida use a relação tan b yx para calcular a inclinação β da reta que liga o centro de curvatura ao ponto de interseção e use a relação α γ 2β para determinar a inclinação γ da reta que liga a imagem ao ponto de interseção Finalmente use a relação tan γ yx i r para calcular a distância i da imagem a Suponha que r 12 cm e p 20 cm Para os valores seguintes de a determine a posição da imagem ou seja a posição do ponto em que o raio refletido intercepta o eixo central 0500 0100 00100 rad Compare os resultados com os obtidos usando a equação 1p 1i 2r b Repita os cálculos para p 400 cm 130 Uma xícara de chá é posicionada no eixo central de um espelho esférico A ampliação lateral da xícara é 0250 e a distância entre o espelho e o ponto focal é 200 cm a Qual é a distância entre o espelho e a imagem b A distância focal é positiva ou negativa c A imagem é real ou virtual 131 Em um tanque uma camada de água n 133 com 20 mm de espessura flutua em uma camada de tetracloreto de carbono n 146 com 40 mm de espessura Existe uma moeda no fundo do tanque Você tem impressão de que a moeda se encontra a que profundidade Sugestão Use o resultado e as suposições do Problema 112 e faça um diagrama de raios da situação 132 Um milípede está a 10 m de distância da parte mais próxima da superfície de uma esfera espelhada com 070 m de diâmetro a A que distância da superfície da esfera aparece a imagem do milípede b Se a altura do milípede é 20 mm qual é a altura da imagem c A imagem é invertida 133 a Mostre que se o objeto O da Fig 3419c for deslocado do ponto focal F1 em direção ao olho do observador a imagem se deslocará do infinito em direção à lente e o ângulo θ e portanto a ampliação angular mθ aumentará b Se o processo continuar em que ponto estará a imagem quando mθ atingir o maior valor que permite observar uma imagem nítida c Mostre que esse valor máximo de mθ é 1 25 cmf d Mostre que nessa situação a ampliação angular é igual à ampliação lateral 134 Depois de se convencer erroneamente de que era impossível evitar a aberração cromática dos telescópios refratores Isaac Newton inventou o telescópio refletor mostrado esquematicamente na Fig 3459 Ele doou o segundo modelo do seu telescópio com um poder de aumento de 38 à Royal Society de Londres que o conserva até hoje Na Fig 3459 a luz incidente constituída por raios praticamente paralelos incide no espelho objetivo M Depois de serem refletidos uma segunda vez no pequeno espelho M o desenho não está em escala os raios formam uma imagem real e invertida no plano focal plano perpendicular à direção de observação passando pelo ponto focal F Essa imagem é observada através de uma lente ocular a Mostre que a ampliação angular mθ do instrumento é dada pela Eq 34 15 mθ fobfoc em que fob é a distância focal do espelho objetivo e foc é a distância focal da lente ocular b O espelho de 200 polegadas do telescópio refletor de Monte Palomar na Califórnia tem uma distância focal de 168 m Calcule o tamanho da imagem formada por esse espelho quando o objeto é uma régua de 1 m situada a 20 km de distância Suponha que os raios incidentes no espelho são paralelos c O espelho de outro telescópio refletor tem um raio de curvatura efetivo de 10 m efetivo porque na verdade os espelhos dos telescópios têm forma parabólica e não esférica para eliminar a aberração esférica Qual deve ser a distância focal da lente ocular para que a ampliação angular do telescópio seja igual a 200 Figura 3459 Problema 134 135 Um feixe estreito de raios paralelos incide em uma esfera de vidro pela esquerda na direção do centro da esfera A esfera se comporta como uma lente mas certamente não é uma lente delgada Suponha que o ângulo de incidência dos raios é aproximadamente 0o e que o índice de refração do vidro é n 20 a Em termos de n e do raio r da esfera qual é a distância entre a imagem produzida pela esfera e o lado direito da esfera b A imagem está à esquerda ou à direita do lado direito da esfera Sugestão Use a Eq 348 para calcular a posição da imagem produzida por refração no lado esquerdo da esfera e tome essa imagem como objeto para a refração no lado direito da esfera responsável pela formação da imagem final Na segunda refração a distância p do objeto é positiva ou negativa 136 O refletor de canto muito utilizado em sistemas óticos e de microondas é formado por três espelhos planos montados de modo a formarem o vértice de um cubo Mostre que após três reflexões um raio incidente é refletido exatamente no sentido oposto 137 Um pastel de queijo está a 400 cm de distância de uma lente convergente A ampliação do pastel é 200 Qual é a distância focal da lente 138 Um gafanhoto está no eixo central de um espelho esférico O valor absoluto da distância focal do espelho é 400 cm e a ampliação lateral da imagem produzida pelo espelho é 0200 a O espelho é convexo ou côncavo b A que distância do espelho está o gafanhoto 139 Na Fig 3460 um grão de areia está a 300 cm de distância da lente delgada 1 no eixo central comum às duas lentes A distância entre o ponto focal e a lente é 400 cm para as duas lentes que estão separadas por uma distância de 800 cm a Qual é a distância entre a lente 2 e a imagem que a lente produz do grão de areia Determine se a imagem b está à esquerda ou à direita da lente 2 c se é real ou virtual e d se é invertida ou não invertida em relação ao grão de areia Figura 3460 Problema 139 140 Suponha que a distância máxima para a qual uma pessoa consegue ver um objeto com nitidez é 50 cm a Qual deve ser a distância focal de uma lente corretiva para que a pessoa possa enxergar com nitidez um objeto distante b A lente deve ser convergente ou divergente c O poder P de uma lente em dioptrias é igual a 1f em que f é a distância focal em metros Qual é o poder da lente calculada no item a 141 Uma lente de aumento simples de distância focal f é colocada diante do olho de uma pessoa cujo ponto próximo é Pp 25 cm Um objeto é posicionado de tal forma que a imagem produzida pela lente está a uma distância Pp do olho a Qual é a ampliação angular da lente de aumento b Qual é a ampliação angular se o objeto é posicionado de tal forma que a imagem produzida pela lente está no infinito Para f 10 cm calcule a ampliação angular c na situação do item a e d na situação do item b Para observar uma imagem a uma distância Pp é preciso que os músculos do olho se contraiam enquanto para muitas pessoas isso não é necessário quando a imagem está no infinito CAPÍTULO 35 Interferência 351 A LUZ COMO UMA ONDA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3501 Explicar o princípio de Huygens usando um desenho 3502 Explicar usando desenhos simples a refração da luz em termos de variação gradual da velocidade de uma frente de onda ao passar pela interface de dois meios fazendo um ângulo com a normal 3503 Conhecer a relação entre a velocidade da luz no vácuo a velocidade da luz em um meio e o índice de refração do meio 3504 Conhecer a relação entre uma distância em um meio a velocidade da luz no meio e o tempo necessário para que um pulso luminoso percorra essa distância 3505 Conhecer a lei de Snell da refração 3506 Saber que quando a luz passa de um meio para outro a frequência permanece a mesma mas o comprimento de onda e a velocidade da luz podem mudar 3507 Conhecer a relação entre o comprimento da luz no vácuo o comprimento da luz em um meio e o índice de refração do meio 3508 No caso de uma onda luminosa que se propaga em um meio calcular o número de comprimentos de onda contidos em certa distância 3509 No caso de duas ondas luminosas que se propagam em meios com diferentes índices de refração antes de se interceptarem calcular a diferença de fase e interpretar a interferência resultante em termos de brilho máximo brilho intermediário e escuridão total 3510 No caso de duas ondas luminosas que percorrem distâncias diferentes antes de se interceptarem calcular a diferença de fase e interpretar a interferência resultante em termos de brilho máximo brilho intermediário e escuridão total 3511 Dada a diferença de fase inicial entre duas ondas luminosas de mesmo comprimento de onda calcular a diferença de fase depois que as ondas se propagam em meios com diferentes índices de refração e percorrem distâncias diferentes 3512 Saber que a interferência ajuda a criar as cores do arcoíris IdeiasChave A propagação tridimensional de ondas de todos os tipos incluindo as ondas luminosas pode ser modelada em muitos casos com o auxílio do princípio de Huygens segundo o qual todos os pontos de uma frente de onda se comportam como fontes pontuais de ondas secundárias esféricas Depois de um intervalo de tempo Δt a nova posição de frente de onda é a de uma superfície tangente a todas as ondas secundárias A lei da refração pode ser demonstrada a partir do princípio de Huygens supondo que o índice de refração de um meio é dado por n cv em que c é a velocidade da luz no vácuo e v é velocidade da luz no meio O comprimento de onda λn da luz em um meio está relacionado ao índice de refração do meio pela equação em que λ é o comprimento da onda de luz no vácuo A diferença de fase entre duas ondas luminosas de mesmo comprimento de onda pode mudar se as ondas se propagarem em meios diferentes ou percorrerem distâncias diferentes O que É Física Um dos principais objetivos da física é compreender a natureza da luz um objetivo difícil de atingir porque a luz é um fenômeno extremamente complexo Entretanto graças exatamente a essa complexidade a luz oferece muitas oportunidades para aplicações práticas algumas das quais envolvem a interferência de ondas luminosas também conhecida como interferência ótica Muitas cores da natureza se devem à interferência ótica Assim por exemplo as asas de uma borboleta Morpho são castanhas e sem graça como pode ser visto na superfície inferior da asa mas na superfície superior o castanho é substituído por um azul brilhante devido à interferência da luz Fig 35 1 Além disso a cor é variável a asa pode ser vista com vários tons de azul dependendo do ângulo de observação Uma mudança de cor semelhante é usada nas tintas de muitas cédulas para dificultar o trabalho dos falsários cujas copiadoras podem reproduzir as cores apenas de um ponto de vista e portanto não podem duplicar o efeito da mudança de cor com o ângulo de observação Para compreender os fenômenos básicos responsáveis pela interferência ótica devemos abandonar a simplicidade da ótica geométrica na qual a luz é descrita por raios e voltar à natureza ondulatória da luz Philippe ColombiPhoto DiscGetty Images Inc Figura 351 O azul da superfície superior da asa da borboleta Morpho se deve à interferência ótica e muda de tonalidade de acordo com o ponto de vista do observador A Luz Como Uma Onda A primeira pessoa a apresentar uma teoria ondulatória convincente para a luz foi o físico holandês Christian Huygens em 1678 Matematicamente mais simples que a teoria eletromagnética de Maxwell explicava as leis da reflexão e refração em termos de ondas e atribuía um significado físico ao índice de refração A teoria ondulatória de Huygens utiliza uma construção geométrica que permite prever onde estará uma dada frente de onda em qualquer instante futuro se conhecermos a posição atual Essa construção se baseia no princípio de Huygens que diz o seguinte Todos os pontos de uma frente de onda se comportam como fontes pontuais de ondas secundárias Depois de um intervalo de tempo t a nova posição da frente de onda é dada por uma superfície tangente a essas ondas secundárias Vejamos um exemplo simples Do lado esquerdo da Fig 352 a localização atual da frente de onda de uma onda plana viajando para a direita no vácuo está representada pelo plano ab perpendicular à página Onde estará a frente de onda depois de transcorrido um intervalo de tempo Δt Fazemos com que vários locais do plano ab indicados por pontos na figura se comportem como fontes pontuais de ondas secundárias emitidas no instante t 0 Depois de um intervalo de tempo Δt o raio dessas ondas esféricas é cDt em que c é a velocidade da luz no vácuo O plano tangente a essas esferas no instante Δt é o plano de O plano de que corresponde à frente de onda da onda plana no instante Δt é paralelo ao plano ab e está a uma distância perpendicular cDt desse plano Figura 352 A propagação de uma onda plana no vácuo de acordo com o princípio de Huygens A Lei da Refração Vamos agora usar o princípio de Huygens para deduzir a lei da refração Eq 3340 lei de Snell A Fig 353 mostra três estágios da refração de várias frentes de onda em uma interface plana do ar meio 1 com o vidro meio 2 Escolhemos arbitrariamente frentes de onda do feixe incidente separadas por uma distância λ1 o comprimento de onda no meio 1 Chamando de v1 a velocidade da luz no ar e de v2 a velocidade da luz no vidro vamos supor que v2 v1 que é a situação real Figura 353 A refração de uma onda plana em uma interface arvidro de acordo com o princípio de Huygens O comprimento de onda no vidro é menor que no ar Para simplificar o desenho não é mostrada a onda refletida As partes a a c mostram três estágios sucessivos da refração O ângulo θ1 da Fig 353a é o ângulo entre a frente de onda e o plano da interface esse ângulo é igual ao ângulo entre a normal à frente de onda isto é o raio incidente e a normal ao plano da interface assim θ1 é o ângulo de incidência Quando a onda se aproxima do vidro uma onda secundária de Huygens com a origem no ponto e se expande até chegar ao vidro no ponto c a uma distância λ1 do ponto e O tempo necessário para a expansão é essa distância dividida pela velocidade da onda secundária λ1v1 No mesmo intervalo de tempo uma onda secundária de Huygens com a origem no ponto h se expande com uma velocidade diferente v2 e com um comprimento de onda diferente λ2 Assim esse intervalo de tempo também deve ser igual a λ2v2 Igualando os dois tempos de percurso obtemos a relação que mostra que os comprimentos de onda da luz em dois meios diferentes são proporcionais à velocidade da luz nesses meios De acordo com o princípio de Huygens a frente de onda da onda refratada é tangente a um arco de raio λ2 com centro em h em um ponto que vamos chamar de g A frente de onda da onda refratada também é tangente a um arco de raio λ1 com centro em e em um ponto que vamos chamar de c Assim a frente de onda da onda refratada tem a orientação mostrada na figura Observe que θ2 o ângulo entre a frente de onda da onda refratada e a superfície é também o ângulo de refração Para os triângulos retângulos hce e hcg da Fig 353b podemos escrever e Dividindo a primeira dessas equações pela segunda e usando a Eq 351 obtemos Podemos definir um índice de refração n para cada meio como a razão entre a velocidade da luz no vácuo e a velocidade da luz no meio Assim Em particular para nossos dois meios temos Nesse caso a Eq 352 nos dá ou como foi visto no Capítulo 33 Teste 1 A figura mostra um raio de luz monocromática atravessando um material inicial a materiais intermediários b e c e novamente o material a Coloque os materiais na ordem decrescente da velocidade com que a luz se propaga no interior do material Comprimento de Onda e Índice de Refração Sabemos que o comprimento de onda de uma onda progressiva depende da velocidade Eq 1613 e que a velocidade da luz em um meio depende do índice de refração Eq 353 Isso significa que o comprimento de onda da luz em um meio depende do índice de refração Suponha que uma luz monocromática tem um comprimento de onda λ e uma velocidade c no vácuo e um comprimento de onda λn e uma velocidade v em um meio cujo índice de refração é n A Eq 351 pode ser escrita na forma Usando a Eq 353 para substituir vc por 1n obtemos A Eq 356 relaciona o comprimento de onda da luz em um meio ao comprimento de onda no vácuo quanto maior o índice de refração do meio menor o comprimento de onda nesse meio Como se comporta a frequência da luz Seja fn a frequência da luz em um meio cujo índice de refração é n De acordo com a relação geral expressa pela Eq 1613 v λf podemos escrever De acordo com as Eqs 353 e 356 temos em que f é a frequência da luz no vácuo Assim embora a velocidade e o comprimento de onda da luz sejam diferentes no meio e no vácuo a frequência da luz é a mesma no meio e no vácuo Diferença de Fase O fato de que o comprimento de onda da luz depende do índice de refração Eq 356 é importante em situações que envolvem a interferência de ondas luminosas Assim por exemplo na Fig 354 as ondas dos raios isto é as ondas representadas pelos raios estão inicialmente em fase no ar n 1 e possuem o mesmo comprimento de onda λ Uma das ondas atravessa o meio 1 de índice de refração n1 e comprimento L a outra atravessa o meio 2 de índice de refração n2 e mesmo comprimento L Quando as ondas deixam os dois meios elas voltam a ter o mesmo comprimento de onda o comprimento de onda λ no ar Entretanto como o comprimento de onda nos dois meios era diferente as duas ondas podem não estar mais em fase Figura 354 Dois raios de luz atravessam dois meios com índices de refração diferentes A diferença de fase entre duas ondas luminosas pode mudar se as ondas atravessarem materiais com diferentes índices de refração Como vamos ver em seguida essa mudança da diferença de fase pode afetar o modo como as ondas luminosas interferem ao se encontrarem Para calcular a diferença de fase em termos de comprimentos de onda primeiro contamos o número de comprimentos de onda N1 no comprimento L do meio 1 De acordo com a Eq 356 o comprimento de onda no meio 1 é λn1 λn1 Assim Em seguida contamos o número de comprimentos de onda N2 no comprimento L do meio 2 em que o comprimento de onda é λn2 λn2 A diferença de fase entre as duas ondas é o valor absoluto da diferença entre N1 e N2 Supondo que n2 n1 temos Suponhamos que a Eq 359 revele que a diferença de fase entre as duas ondas é 456 comprimentos de onda Isso equivale a tomar as ondas inicialmente em fase e deslocar uma delas de 456 comprimentos de onda Acontece que um deslocamento de um número inteiro de comprimentos de onda como 45 deixa as ondas novamente em fase Assim a única coisa que importa é a fração decimal 06 no caso Uma diferença de fase de 456 comprimentos de onda equivale a uma diferença de fase efetiva de 06 comprimento de onda Uma diferença de fase de 05 comprimento de onda deixa as ondas com fases opostas Ao se combinarem essas ondas sofrem interferência destrutiva e o ponto em que as duas ondas se superpõem fica escuro Se por outro lado a diferença de fase é 00 ou 10 comprimento de onda a interferência é construtiva e o ponto fica claro A diferença de fase do nosso exemplo 06 comprimento de onda corresponde a uma situação intermediária porém mais próxima da interferência destrutiva de modo que o ponto fica fracamente iluminado Podemos também expressar a diferença de fase em termos de radianos ou graus como fizemos anteriormente Uma diferença de fase de um comprimento de onda equivale a 2π rad ou 3608 Diferença de Percurso Como foi visto na análise do Módulo 173 para o caso das ondas sonoras que também pode ser aplicada às ondas luminosas duas ondas que partem do mesmo ponto com a mesma fase podem se encontrar em outro ponto com fases diferentes se percorrerem caminhos diferentes tudo depende da diferença de percurso ΔL ou mais precisamente da razão entre ΔL e o comprimento de onda λ das ondas De acordo com as Eqs 1723 e 1724 para que a interferência seja construtiva ou seja para que no caso das ondas luminosas o ponto fique claro é preciso que e para que a interferência seja destrutiva ou seja para que o ponto fique escuro é preciso que Valores intermediários de ΔLλ correspondem a uma situação intermediária na qual o brilho do ponto nem é máximo nem é mínimo O ArcoÍris e a Interferência Ótica No Módulo 335 vimos que as cores da luz solar podem se separar ao atravessarem gotas de chuva formando um arcoíris Discutimos apenas a situação simplificada em que um único raio de luz branca penetrava em uma gota Na verdade as ondas luminosas penetram em toda a superfície da gota que está voltada para o Sol Não vamos discutir os detalhes da trajetória dessas ondas mas é fácil compreender que diferentes partes da onda incidente descrevem trajetórias diferentes no interior da gota Isso significa que as ondas saem da gota com fases diferentes Para alguns ângulos de saída a luz está em fase e acontece uma interferência construtiva O arcoíris é o resultado dessa interferência construtiva Por exemplo o vermelho do arcoíris aparece porque as ondas de luz vermelha do arcoíris saem em fase das gotas de chuva na direção da qual você está observando essa parte do arcoíris As ondas de luz vermelha que saem das gotas em outras direções têm fases diferentes e a intensidade total é muito menor de modo que a luz vermelha não é observada nessas direções Se você observar atentamente um arcoíris talvez consiga ver arcos coloridos mais fracos conhecidos como arcos supranumerários veja a Fig 355 Assim como os arcos principais do arco íris os arcos supranumerários são causados por ondas que saem das gotas aproximadamente em fase produzindo interferência construtiva Em circunstâncias especiais é possível ver arcos supranumerários ainda mais fracos nas vizinhanças de um arcoíris secundário Os arcoíris são exemplos naturais de interferência ótica e uma prova de que a luz é um fenômeno ondulatório Figura 355 O arcoíris primário e os arcos supranumerários são causados por interferência construtiva Teste 2 As ondas luminosas dos raios da Fig 354 têm o mesmo comprimento de onda e a mesma amplitude e estão inicialmente em fase a Se o material de cima comporta 760 comprimentos de onda e o material de baixo comporta 550 comprimentos de onda qual é o material com maior índice de refração b Se os raios luminosos forem ligeiramente convergentes de modo que as ondas se encontrem em uma tela distante a interferência produzirá um ponto muito claro um ponto claro um ponto fracamente iluminado ou escuridão total Exemplo 3501 Diferença de fase de duas ondas devido a uma diferença de índices de refração Na Fig 354 as duas ondas luminosas representadas por raios têm um comprimento de onda de 5500 nm antes de penetrarem nos meios 1 e 2 As ondas têm a mesma amplitude e estão inicialmente em fase Suponha que o meio 1 seja o próprio ar e que o meio 2 seja um plástico transparente com índice de refração 1600 e uma espessura de 2600 μm a Qual é a diferença de fase entre as duas ondas emergentes em comprimentos de onda radianos e graus Qual é a diferença de fase efetiva em comprimentos de onda IDEIACHAVE A diferença de fase entre duas ondas luminosas pode mudar se as ondas atravessarem meios diferentes com diferentes índices de refração Isso acontece porque os comprimentos de onda são diferentes em meios diferentes Podemos calcular a mudança da diferença de fase contando o número de comprimentos de onda em cada meio e calculando a diferença entre os dois números Cálculos Quando as distâncias percorridas pelas ondas nos dois meios são iguais o resultado é dado pela Eq 359 De acordo com o enunciado n1 1000 índice de refração do ar n2 1600 L 2600 μm e λ 5500 nm Nesse caso de acordo com a Eq 359 temos Assim a diferença de fase entre as ondas emergentes é 284 comprimentos de onda Como 10 comprimento de onda equivale a 2π rad e 360 é fácil mostrar que essa diferença de fase equivale a A diferença de fase efetiva é a parte decimal da diferença de fase real expressa em comprimentos de onda Assim temos É fácil mostrar que essa diferença de fase equivale a 53 rad e a aproximadamente 300 Cuidado A diferença de fase efetiva não é igual à parte decimal da diferença de fase real expressa em radianos ou em graus se a diferença de fase real é 178 rad como neste exemplo a diferença de fase efetiva não é 08 rad e sim 53 rad b Se os raios luminosos se encontrassem em uma tela distante produziriam um ponto claro ou fracamente iluminado Raciocínio Precisamos comparar a diferença de fase efetiva das ondas com a diferença de fase que corresponde aos tipos extremos de interferência No caso que estamos examinando a diferença de fase efetiva 084 comprimento de onda está entre 05 comprimento de onda que corresponde a uma interferência destrutiva e portanto a um ponto escuro na tela e 10 comprimento de onda que corresponde a uma interferência construtiva e portanto a um ponto claro na tela mas está mais próxima de 10 comprimento de onda Isso significa que a interferência está mais próxima de ser construtiva do que de ser destrutiva portanto será produzido na tela um ponto relativamente claro 352 O EXPERIMENTO DE YOUNG Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3513 Descrever a refração da luz por uma fenda estreita e o efeito da redução da largura da fenda 3514 Descrever usando desenhos a produção de uma figura de interferência em um experimento de dupla fenda com luz monocromática 3515 Saber que a diferença de fase entre duas ondas pode mudar se as ondas percorrerem distâncias diferentes como no experimento de Young 3516 Conhecer a relação entre a diferença de percurso e a diferença de fase em um experimento de dupla fenda e interpretar o resultado em termos da intensidade da luz resultante brilho máximo brilho intermediário e escuridão total 3517 No caso de um ponto de uma figura de interferência de dupla fenda conhecer a relação entre a diferença de percurso ΔL entre os raios que chegam ao ponto a distância d entre as fendas e o ângulo θ que os raios fazem com o eixo central 3518 No caso do experimento de Young usar a relação entre a distância d entre as fendas o comprimento de onda λ da luz e o ângulo θ que os raios fazem com o ângulo central para determinar os mínimos de brilho franjas escuras e os máximos de brilho franjas claras da figura de interferência 3519 Desenhar uma figura de interferência de dupla fenda e indicar o nome de algumas franjas claras e escuras como por exemplo máximo lateral de segunda ordem ou franja escura de terceira ordem 3520 No caso do experimento de Young conhecer a relação entre a distância D entre o anteparo e a tela de observação o ângulo θ correspondente a um ponto da figura de interferência e a distância y entre o ponto e o centro da figura de interferência 3521 No caso do experimento de Young conhecer o efeito da variação de d e de λ e saber o que determina o limite angular da figura de interferência 3522 No caso de um material transparente colocado em uma das fendas no experimento de Young determinar a espessura e o índice de refração necessários para deslocar uma dada franja para o centro da figura de interferência IdeiasChave No experimento de Young a luz que passa por uma fenda incide em um anteparo com duas fendas Os raios de luz que passam pelas duas fendas se combinam em uma tela de observação onde formam uma figura de interferência As condições para os máximos e mínimos de uma figura de interferência de dupla fenda são em que d é a distância entre as fendas θ é o ângulo entre os raios de luz e o eixo central e λ é o comprimento de onda da luz Difração Neste módulo vamos discutir o experimento que provou que a luz é uma onda Para compreender o experimento precisamos conhecer o conceito de difração de uma onda que será analisado com mais detalhes no Capítulo 36 Em termos simples o que acontece é o seguinte Quando uma onda encontra um obstáculo que possui uma abertura de dimensões comparáveis ao comprimento de onda a parte da onda que passa pela abertura se alarga é difratada na região que fica do outro lado do obstáculo Esse alargamento acontece de acordo com o princípio de Huygens Fig 352 A difração não se limita às ondas luminosas pode ocorrer com ondas de todos os tipos A Fig 356 por exemplo mostra a difração de ondas na superfície de um tanque com água Uma difração semelhante das ondas ao passarem por aberturas de um quebramar pode aumentar a erosão de uma praia que o quebramar deveria proteger A Fig 357a mostra a situação esquematicamente para uma onda plana de comprimento de onda λ que encontra uma fenda de largura a 60λ em um anteparo perpendicular ao plano do papel Depois de atravessar a fenda a onda se alarga As Figs 357b em que a 30λ e 357c em que a 15λ ilustram a principal propriedade da difração quanto mais estreita a fenda maior a difração George ReschFundamental Photographs Figura 356 Difração de ondas na água de um tanque As ondas são produzidas por um vibrador no lado esquerdo da foto e passam por uma abertura estreita para chegar ao lado direito A difração constitui uma limitação para a ótica geométrica na qual as ondas eletromagnéticas são representadas por raios Quando tentamos formar um raio fazendo passar a luz por uma fenda estreita ou por uma série de fendas estreitas a difração frustra nossos esforços fazendo a luz se espalhar Na verdade quanto mais reduzimos a largura da fenda na esperança de produzir um feixe mais estreito maior é o alargamento causado pela difração Assim a ótica geométrica só é válida quando as fendas ou outras aberturas que a luz atravessa não têm dimensões da mesma ordem ou menores que o comprimento de onda da luz Figura 357 Difração de uma onda Para um dado comprimento de onda λ quanto menor a largura a da fenda mais pronunciada é a difração As figuras mostram os casos em que a largura da fenda é a a 60λ b a 30λ e c a 15λ Nos três casos a fenda e o anteparo se estendem perpendicularmente para dentro e para fora do papel O Experimento de Young Em 1801 Thomas Young provou experimentalmente que a luz é uma onda ao contrário do que pensavam muitos cientistas da época O que o cientista fez foi demonstrar que a luz sofre interferência como as ondas do mar as ondas sonoras e todos os outros tipos de ondas Além disso Young conseguiu medir o comprimento de onda médio da luz solar o valor obtido 570 nm está surpreendentemente próximo do valor atualmente aceito 555 nm Vamos agora discutir o experimento de Young como um exemplo de interferência de ondas luminosas A Fig 358 mostra a configuração usada no experimento de Young A luz de uma fonte monocromática distante ilumina a fenda S0 do anteparo A A luz difratada pela fenda se espalha e é usada para iluminar as fendas S1 e S2 do anteparo B Uma nova difração ocorre quando a luz atravessa essas fendas e duas ondas esféricas se propagam simultaneamente no espaço à direita do anteparo B interferindo uma com a outra O instantâneo da Fig 358 mostra a interferência das duas ondas esféricas Não podemos porém observar a interferência a não ser se uma tela de observação C for usada para interceptar a luz Nesse caso os pontos em que as ondas se reforçam formam listras iluminadas denominadas franjas claras ao longo da tela na direção perpendicular ao papel na Fig 358 Os pontos em que as ondas se cancelam formam listras sem iluminação denominadas franjas escuras O conjunto de franjas claras e escuras que aparecem na tela é chamado de figura de interferência A Fig 359 é uma fotografia de parte da figura de interferência que seria vista por um observador situado do lado esquerdo da tela C no arranjo da Fig 358 Figura 358 No experimento de Young a luz monocromática incidente é difratada pela fenda S0 que se comporta como uma fonte luminosa pontual emitindo frentes de onda semicirculares Quando a luz chega ao anteparo B é difratada pelas fendas S1 e S2 que se comportam como duas fontes luminosas pontuais As ondas luminosas que deixam as fendas S1 e S2 se combinam e sofrem interferência formando um padrão de interferência composto de máximos e mínimos na tela de observação C A ilustração é apenas uma seção reta as telas as fendas e a figura de interferência se estendem para dentro e para fora do papel Entre os anteparos B e C as frentes de onda semicirculares com centro em S2 mostram as ondas que existiriam se apenas a fenda S2 estivesse descoberta as frentes de onda semicirculares com centro em S1 mostram as ondas que existiriam se apenas a fenda S1 estivesse descoberta Cortesia de Jearl Walker Figura 359 Fotografia da figura de interferência produzida por um arranjo como o da Fig 358 mas com fendas curtas A fotografia é uma vista frontal de parte da tela C Os máximos e mínimos de intensidade são chamados de franjas de interferência porque lembram as franjas decorativas usadas em colchas e tapetes A Posição das Franjas Sabemos que as ondas luminosas produzem franjas em um experimento de interferência de dupla fenda de Young como é chamado mas o que determina a posição das franjas Para responder a essa pergunta vamos usar o arranjo experimental da Fig 3510a Uma onda plana de luz monocromática incide em duas fendas S1 e S2 do anteparo B ao atravessar as fendas a luz é difratada produzindo uma figura de interferência na tela C Traçamos como referência um eixo central perpendicular à tela passando pelo ponto médio das duas fendas Em seguida escolhemos um ponto arbitrário P da tela o ângulo entre o eixo central e a reta que liga o ponto P ao ponto médio das duas fendas é chamado de θ O ponto P é o ponto de encontro da onda associada ao raio r1 que parte da fenda de baixo com a onda associada ao raio r2 que parte da fenda de cima Diferença de Percurso As ondas estão em fase ao chegarem às duas fendas já que pertencem à mesma onda incidente Depois de passar pelas fendas porém as ondas percorrem distâncias diferentes para chegar ao ponto P Encontramos uma situação semelhante no Módulo 173 quando estudamos as ondas sonoras e concluímos que A diferença de fase entre duas ondas pode mudar se as ondas percorrerem distâncias diferentes A diferença de fase se deve à diferença de percurso ΔL entre as duas ondas Considere duas ondas que se encontravam inicialmente em fase e percorreram caminhos diferentes tais que a diferença entre as distâncias percorridas é ΔL ao se encontrarem no mesmo ponto Se ΔL é zero ou um número inteiro de comprimentos de onda as ondas chegam ao ponto comum exatamente em fase e a interferência nesse ponto é construtiva Quando isso acontece para as ondas associadas aos raios r1 e r2 da Fig 3510 o ponto P está no centro da franja clara Por outro lado quando ΔL é um múltiplo ímpar de metade do comprimento de onda as ondas chegam ao ponto comum com uma diferença de fase de exatamente meio comprimento de onda e a interferência é destrutiva Nesse caso o ponto P está no centro da franja escura Naturalmente temos também situações intermediárias em que a iluminação do ponto P é menos intensa que no primeiro caso mas não chega a ser nula Assim Figura 3510 a Os raios luminosos que partem das fendas S1 e S2 que se estendem para dentro e para fora do papel se combinam em P um ponto arbitrário da tela C situado a uma distância y do eixo central O ângulo θ pode ser usado para definir a localização de P b Para D d podemos supor que os raios r1 e r2 são aproximadamente paralelos e fazem um ângulo θ com o eixo central Em um experimento de interferência de dupla fenda de Young a intensidade luminosa em cada ponto da tela de observação depende da diferença ΔL entre as distâncias percorridas pelos dois raios até chegarem ao ponto Ângulo A posição na tela do centro de uma franja clara ou escura pode ser especificada pelo ângulo θ entre o raio correspondente e o eixo central Para isso porém é preciso conhecer a relação entre θ e ΔL Começamos por determinar um ponto b ao longo do percurso do raio r1 tal que a distância de b a P seja igual à distância de S2 a P Fig 3510a Nesse caso a diferença ΔL entre as distâncias percorridas pelos dois raios é igual à distância entre S1 e b A expressão matemática da relação entre essa distância e θ é complicada mas se torna muito mais simples se a distância D entre as fendas e a tela for muito maior que a distância d entre as fendas Nesse caso podemos supor que os raios r1 e r2 são aproximadamente paralelos e fazem o mesmo ângulo θ com o eixo central veja a Fig 3510b Podemos também supor que o triângulo formado por S1 S2 e b é um triângulo retângulo e que o ângulo interno desse triângulo no vértice S2 é θ Nesse caso sen θ ΔLd e portanto No caso de uma franja clara ΔL é igual a zero ou a um número inteiro de comprimentos de onda De acordo com a Eq 3512 essa condição pode ser expressa na forma ou No caso de uma franja escura ΔL é um múltiplo ímpar de metade do comprimento de onda De acordo com a Eq 3512 essa condição pode ser expressa na forma ou As Eqs 3514 e 3516 podem ser usadas para determinar as posições θ das franjas claras e escuras além disso os valores de m podem ser usados para identificar as diferentes franjas De acordo com a Eq 3514 para m 0 existe uma franja clara em θ 0 ou seja no eixo central Esse máximo central é o ponto no qual ΔL 0 De acordo com a Eq 3514 para m 2 existem franjas claras para valores de θ tais que acima e abaixo do eixo central A diferença das distâncias percorridas pelos raios r1 e r2 até esses pontos é ΔL 2λ e a diferença de fase é de dois comprimentos de onda Essas franjas são chamadas de franjas claras de segunda ordem ou máximos laterais de segunda ordem a posição das franjas claras de primeira ordem pode ser obtida fazendo m 1 na Eq 3514 De acordo com a Eq 3516 para m 1 existem franjas escuras para valores de θ tais que acima e abaixo do eixo central A diferença das distâncias percorridas pelos raios r1 e r2 até esse ponto é ΔL 15λ e a diferença de fase é de 15λ Essas franjas são chamadas de franjas escuras de segunda ordem ou mínimos de segunda ordem a posição das franjas escuras de primeira ordem pode ser obtida fazendo m 0 na Eq 3516 Paralelismo dos Raios As Eqs 3514 e 3516 foram obtidas supondo que D d porque essa condição é necessária para que os raios r1 e r2 da Fig 3510 sejam considerados aproximadamente paralelos Entretanto as duas equações também são válidas se colocarmos uma lente convergente do lado direito das fendas e aproximarmos a tela das fendas até que a distância D seja igual à distância focal da lente Nesse caso dizemos que a tela está no plano focal da lente Uma das propriedades das lentes convergentes é a de que raios paralelos são focalizados no mesmo ponto do plano focal Assim os raios que chegam ao mesmo ponto da tela nesta situação eram paralelos ao deixarem as fendas tratase de um paralelismo exato e não aproximado como no caso em que D d Esses raios são como os raios inicialmente paralelos da Fig 3414a que são concentrados em um ponto o ponto focal por uma lente Teste 3 Na Fig 3510a qual é o valor de ΔL em número de comprimentos de onda e qual é a diferença de fase em comprimentos de onda entre os dois raios se o ponto P corresponde a a um máximo lateral de terceira ordem e b a um mínimo de terceira ordem Exemplo 3502 Figura de interferência de dupla fenda Qual é a distância na tela C da Fig 3510a entre dois máximos vizinhos perto do centro da figura de interferência O comprimento de onda λ da luz é 546 nm a distância entre as fendas d é 012 mm e a distância D entre as fendas e a tela é 55 cm Suponha que o ângulo θ da Fig 3510 é suficientemente pequeno para que sejam válidas as aproximações sen θ tan θ θ em que θ está expresso em radianos IDEIASCHAVE 1 Em primeiro lugar escolhemos um máximo com um valor pequeno de m para termos certeza de que está nas proximidades do centro De acordo com a Fig 3510a a distância vertical ym entre um máximo secundário e o centro da figura de interferência está relacionada ao ângulo θ correspondente ao mesmo ponto pela equação 2 De acordo com a Eq 3514 o ângulo θ para o máximo de ordem m é dado por Cálculos Igualando as duas expressões e explicitando ym temos Fazendo o mesmo para o máximo de ordem m 1 obtemos Para obter a distância entre os dois máximos basta subtrair a Eq 3517 da Eq 3518 Este resultado mostra que para d e θ pequenos a distância entre as franjas de interferência é independente de m ou seja o espaçamento das franjas é constante Exemplo 3503 Figura de interferência de dupla fenda com plástico em uma das fendas Uma figura de interferência é produzida em um experimento de dupla fenda como o da Fig 3510 A luz é monocromática com um comprimento de onda de 600 nm Uma folha de um plástico transparente cujo índice de refração é n 150 é colocada em uma das fendas fazendo com que a figura de interferência se desloque em relação à figura original Na Fig 3511a são mostradas as posições originais do máximo central m 0 e das franjas claras de primeira ordem m 1 acima e abaixo do máximo central O objetivo do plástico é deslocar a figura de interferência para cima fazendo com que a franja clara de primeira ordem fique no centro da tela O plástico deve ser colocado na fenda superior como está mostrado arbitrariamente na Fig 3511b ou na fenda inferior Qual deve ser a espessura L da folha de plástico IDEIACHAVE A interferência em um ponto da tela depende da diferença de fase entre as ondas provenientes das duas fendas As ondas estão em fase ao chegarem às fendas mas a relação entre as fases das duas ondas pode mudar no trajeto até a tela 1 por causa da diferença entre as distâncias percorridas pelas duas ondas e 2 por causa da diferença do número de comprimentos de onda das duas ondas em parte do trajeto até a tela caso uma das fendas seja coberta com plástico Diferença de percurso A Fig 3511a mostra os raios r1 e r2 ao longo dos quais as ondas provenientes das duas fendas se propagam para chegar à franja clara inferior de primeira ordem As ondas chegam às fendas em fase e chegam à franja com uma diferença de fase de exatamente 1 comprimento de onda Para não nos esquecermos desta característica importante da franja vamos chamála de franja 1λ A diferença de fase se deve à diferença das distâncias percorridas pelos dois raios que neste caso é r2 r1 λ A Fig 3511b mostra a franja 1λ deslocada para o centro da tela depois que a folha de plástico foi colocada em uma das fendas ainda não sabemos se a folha deve ser colocada na fenda de cima ou na fenda de baixo A figura mostra também as novas direções dos raios r1 e r2 A diferença de fase entre os dois raios continua sendo igual a λ uma vez que eles continuam a produzir a franja 1λ mas agora a diferença de comprimento dos dois percursos é zero como se pode ver pela geometria da Fig 3511b Assim a diferença de fase é causada unicamente pela presença da folha de plástico Comprimento de onda no plástico O comprimento de onda λn da luz em um material de índice de refração n é dado pela Eq 356 λn λn Isso significa que o comprimento de onda da luz é menor no plástico n 140 que no ar n 100 Assim a luz que passa pelo plástico apresenta mais oscilações que a luz que passa pelo ar e o comprimento de onda a mais para o raio 2 pode ser obtido colocando o plástico na fenda de cima como na Fig 3511b Espessura Para calcular a espessura L da folha de plástico observamos que as ondas que estão inicialmente em fase percorrem distâncias iguais L em diferentes materiais plástico e ar Como conhecemos a diferença de fase e estamos interessados em determinar o valor de L usamos a Eq 359 Uma vez que a diferença de fase deve ser de um comprimento de onda sabemos que N2 N1 1 Sabemos também que n2 150 n1 100 e λ 600 109 m Explicitando L na Eq 3519 e substituindo os valores conhecidos obtemos Figura 3511 a Arranjo para um experimento de dupla fenda o desenho não está em escala As posições de três franjas claras estão indicadas b Uma folha de plástico é colocada na fenda de cima O objetivo é fazer com que a franja 1l seja deslocada para o centro da tela 353 INTENSIDADE DAS FRANJAS DE INTERFERÊNCIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3523 Conhecer a diferença entre luz coerente e luz incoerente 3524 No caso de duas ondas que convergem para o mesmo ponto escrever expressões para as componentes do campo elétrico das duas ondas em função do campo elétrico e de uma constante de fase 3525 Saber que a interferência de duas ondas depende da diferença de fase entre elas 3526 No caso da figura de interferência produzida em um experimento de dupla fenda calcular a intensidade da luz em termos da diferença de fase entre as ondas e relacionar a diferença de fase ao ângulo θ que define a posição do ponto na figura de interferência 3527 Usar um diagrama fasorial para determinar a onda resultante amplitude e constante de fase de duas ou mais ondas luminosas que convergem para o mesmo ponto e usar o resultado para determinar a intensidade da luz nesse ponto 3528 Conhecer a relação entre a frequência angular ω de uma onda e a velocidade angular ω do fasor que representa a onda IdeiasChave Para que duas ondas luminosas interfiram é preciso que a diferença de fase entre as ondas não varie com o tempo ou seja que as ondas sejam coerentes Quando duas ondas coerentes se encontram a intensidade resultante pode ser determinada com o auxílio de fasores No experimento de Young duas ondas de intensidade I0 interferem para produzir uma intensidade resultante I na tela de observação dada por Coerência Para que uma figura de interferência apareça na tela C da Fig 358 é preciso que a diferença de fase entre as ondas que chegam a um ponto P da tela não varie com o tempo É o que acontece no caso da Fig 358 já que os raios que passam pelas fendas S1 e S2 fazem parte de mesma onda a que ilumina o anteparo B Como a diferença de fase permanece constante em todos os pontos do espaço dizemos que os raios que saem das fendas S1 e S2 são totalmente coerentes Luz Solar e Unhas A luz solar é parcialmente coerente ou seja a diferença de fase entre raios solares interceptados em dois pontos diferentes é constante apenas se os pontos estiverem muito próximos Quando olhamos de perto uma unha iluminada diretamente pela luz solar vemos uma figura de interferência que é chamada de speckle mancha em inglês porque a unha parece estar coberta de manchas Esse efeito acontece porque as ondas luminosas espalhadas por pontos próximos da unha são suficientemente coerentes para que haja interferência As fendas em um experimento de dupla fenda porém estão muito mais distantes se forem iluminadas com luz solar os raios na saída das duas fendas serão incoerentes Para obter raios coerentes é necessário fazer a luz solar passar primeiro por uma única fenda conforme mostrado na Fig 358 como a fenda é estreita a luz que a atravessa é coerente Além disso a fenda faz com que a luz coerente seja difratada espalhandoa o suficiente para que as duas fendas utilizadas a fim de produzir a figura de interferência sejam iluminadas Fontes Incoerentes Quando em vez de fendas usamos duas fontes luminosas independentes como fios incandescentes a diferença de fase entre as ondas associadas aos dois raios varia rapidamente com o tempo e de forma aleatória Isso acontece porque a luz é emitida por um grande número de átomos de forma independente e aleatória em pulsos extremamente breves da ordem de nanossegundos Em consequência em qualquer ponto da tela de observação a interferência das ondas associadas aos dois raios muda de construtiva em um dado momento para destrutiva no momento seguinte Como os olhos e a maioria dos detectores não conseguem acompanhar essas rápidas mudanças nenhuma figura de interferência é observada a iluminação da tela parece uniforme Fontes Coerentes O que foi dito no parágrafo anterior não se aplica se as duas fontes luminosas forem lasers Os átomos de um laser emitem luz de forma sincronizada o que torna a luz coerente Além disso a luz é quase monocromática é emitida como um feixe fino e pode ser focalizada por uma lente em uma região pouco maior que um comprimento de onda Intensidade das Franjas de Interferência As Eqs 3514 e 3516 permitem determinar a localização dos máximos e mínimos de interferência que aparecem na tela C da Fig 3510a em função do ângulo θ definido na mesma figura Vamos agora obter uma expressão para a intensidade I das franjas em função do ângulo θ As ondas luminosas estão em fase quando deixam as fendas mas vamos supor que não estão em fase ao chegarem ao ponto P Nesse caso as componentes do campo elétrico das duas ondas que chegam ao ponto P da Fig 3510a são dadas por e em que ω é a frequência angular das ondas e ϕ é a constante de fase da onda E2 Observe que as duas ondas têm a mesma amplitude E0 e uma diferença de fase ϕ Como a diferença de fase é constante as ondas são coerentes Vamos mostrar daqui a pouco que as ondas se combinam no ponto P para produzir uma iluminação de intensidade I dada por em que Na Eq 3522 I0 é a intensidade da luz que chega à tela quando uma das fendas está temporariamente coberta Vamos supor que as fendas são tão estreitas em comparação com o comprimento de onda que a intensidade da luz quando uma das fendas está coberta é praticamente uniforme em toda a região de interesse na tela As Eqs 3522 e 3523 que mostram como a intensidade I da figura de interferência varia com o ângulo θ da Fig 3510 contêm necessariamente informações a respeito da localização dos máximos e mínimos de intensidade Vejamos como é possível extrair essas informações Máximos Examinando a Eq 3522 vemos que os máximos de intensidade ocorrem quando Substituindo esse resultado na Eq 3523 obtemos ou que é exatamente a Eq 3514 a expressão que deduzimos anteriormente para a localização dos máximos Mínimos Os mínimos da figura de interferência ocorrem quando Substituindo esse resultado na Eq 3523 obtemos que é igual à Eq 3516 a expressão que deduzimos anteriormente para a localização dos mínimos Figura 3512 Gráfico da Eq 3522 mostrando a intensidade de uma figura de interferência de dupla fenda em função da diferença de fase entre as ondas provenientes das duas fendas I0 é a intensidade uniforme que seria observada na tela se uma das fendas fosse coberta A intensidade média da figura de interferência é 2I0 e a intensidade máxima para luz coerente é 4I0 A Fig 3512 que é um gráfico da Eq 3522 mostra a intensidade da luz na tela em função da diferença de fase ϕ entre as duas ondas que chegam à tela A linha cheia horizontal corresponde a I0 a intensidade uniforme que aparece na tela quando uma das fendas é coberta Observe que de acordo com a Eq 3522 e o gráfico a intensidade I varia desde zero no centro dos espaços entre as franjas até 4I0 no centro das franjas Se as ondas provenientes das duas fontes fendas fossem incoerentes não haveria uma relação de fase constante entre as ondas e a intensidade teria um valor uniforme 2I0 em toda a tela a linha tracejada horizontal da Fig 3512 corresponde a esse valor A interferência não cria nem destrói a energia luminosa mas simplesmente redistribui a energia ao longo da tela A intensidade média na tela é 2I0 sejam as fontes coerentes ou não Este fato é comprovado pela Eq 3522 quando substituímos o cosseno ao quadrado pelo valor médio da função que é 12 obtemos Iméd 2I0 Demonstração das Eqs 3522 e 3523 Vamos combinar as componentes do campo elétrico E1 e E2 dadas pelas Eqs 3520 e 3521 respectivamente usando o método dos fasores discutido no Módulo 166 Na Fig 3513a as ondas com componentes E1 e E2 são representadas por fasores de amplitude E0 que giram em torno da origem com velocidade angular ω Os valores de E1 e E2 em qualquer instante são as projeções dos fasores correspondentes no eixo vertical A Fig 3513a mostra os fasores e suas projeções em um instante de tempo arbitrário t De acordo com as Eqs 3520 e 3521 o ângulo de rotação do fasor de E1 é ωt e o ângulo de rotação do fasor de E2 é ωt ϕ o fasor de E2 está adiantado de um ângulo ϕ em relação ao fasor de E1 Quando os fasores giram as projeções dos fasores no eixo vertical variam com o tempo da mesma forma que as funções senoidais das Eqs 3520 e 3521 Para combinar as componentes do campo E1 e E2 em um ponto P qualquer da Fig 3510 somamos vetorialmente os fasores como na Fig 3513b O módulo da soma vetorial é a amplitude E da onda resultante no ponto P essa onda tem uma constante de fase β Para determinar a amplitude E na Fig 35 13b observamos em primeiro lugar que os dois ângulos assinalados como β são iguais porque são opostos a lados de mesmo comprimento de um triângulo De acordo com um teorema válido para qualquer triângulo segundo o qual um ângulo externo ϕ na Fig 3513b é igual à soma dos dois ângulos internos opostos β e β neste caso temos β ϕ2 Assim Figura 3513 a Fasores que representam no instante t as componentes do campo elétrico dadas pelas Eqs 3520 e 3521 Os dois fasores têm módulo E0 e giram no sentido antihorário com velocidade angular ω A diferença de fase é ϕ b A soma vetorial dos dois fasores fornece o fasor que representa a onda resultante de amplitude E e constante de fase β Elevando ao quadrado os dois membros da equação obtemos Intensidade De acordo com a Eq 3424 a intensidade de uma onda eletromagnética é proporcional ao quadrado da amplitude Assim as ondas que estamos combinando na Fig 3513b ambas de amplitude E0 têm uma intensidade I0 que é proporcional a E2 0 e a onda resultante de amplitude E tem uma intensidade I que é proporcional a E2 Isso significa que 1 2 Substituindo a Eq 3529 nessa equação e explicitando a intensidade I obtemos que é a Eq 3522 uma das equações que nos propusemos a demonstrar Resta demonstrar a Eq 3523 que relaciona a diferença de fase ϕ entre as ondas que chegam a um ponto P qualquer da tela de observação da Fig 3510 ao ângulo θ usado para indicar a localização do ponto A diferença de fase ϕ da Eq 3521 está associada à diferença de percurso que corresponde ao segmento S1b da Fig 3510b Se S1b λ2 ϕ π se S1b λ ϕ 2π e assim por diante Isso sugere que Como a diferença de percurso S1b na Fig 3510b é igual a d sen θ o cateto do triângulo retângulo oposto ao ângulo θ a Eq 3530 se torna que é a Eq 3523 a outra equação que nos propusemos a demonstrar Combinações de Mais de Duas Ondas Caso seja necessário calcular a resultante de três ou mais ondas senoidais basta fazer o seguinte Desenhe uma série de fasores para representar as ondas a serem combinadas Cada fasor deve começar onde o anterior termina fazendo com ele um ângulo igual à diferença de fase entre as ondas correspondentes Determine o fasor soma ligando a origem à extremidade do último fasor O módulo do fasor soma corresponde à amplitude máxima da onda resultante O ângulo entre o fasor soma e o primeiro fasor corresponde à diferença de fase entre a onda resultante e a primeira onda A projeção do fasor soma no eixo vertical corresponde à amplitude instantânea da onda resultante Teste 4 Quatro pares de ondas luminosas chegam sucessivamente ao mesmo ponto de uma tela de observação As ondas têm o mesmo comprimento de onda No ponto de chegada as duas amplitudes e a diferença de fase são a 2E0 6E0 e π rad b 3E0 5E0 e π rad c 9E0 7E0 e 3π rad d 2E0 2E0 e 0 rad Coloque os pares de ondas na ordem decrescente da intensidade da luz no ponto de chegada Sugestão Desenhe os fasores Exemplo 3504 Combinação de três ondas luminosas usando fasores Três ondas luminosas se combinam em um ponto no qual as componentes do campo elétrico das três ondas são E1 E0 sen ωt E2 E0 senωt 60 E3 E0 senωt 30 Determine a componente do campo elétrico resultante Et no mesmo ponto IDEIACHAVE A onda resultante é Et E1t E2t E3t Podemos usar o método dos fasores para calcular a soma e estamos livres para representar os fasores em qualquer instante de tempo t Cálculos Para facilitar a tarefa escolhemos o instante t 0 o que nos leva a uma construção como a que aparece na Fig 3514 Podemos somar os três fasores usando uma calculadora científica ou somando as componentes Para aplicar o método das componentes escrevemos primeiro a soma das componentes horizontais Σ Eh E0 cos 0 E0 cos 60 E0 cos30 237E0 A soma das componentes verticais que é o valor de E em t 0 é dada por Σ Ev E0 sen 0 E0 sen 60 E0 sen30 0366E0 A onda resultante Et tem uma amplitude ER dada por e um ângulo de fase β em relação ao fasor E1 dado por Podemos agora escrever para a onda resultante Et É preciso tomar cuidado para interpretar corretamente o ângulo β na Fig 3514 Tratase do ângulo entre ER e E1 que se mantém constante quando os quatro fasores giram como um todo em torno da origem O ângulo entre ER e o eixo horizontal só é igual a β no instante t 0 Figura 3514 Três fasores que representam ondas de amplitudes iguais E0 e constantes de fase 0 60 e 30 mostrados no instante t 0 Os fasores se combinam para formar um fasor resultante de módulo ER e constante de fase β 354 INTERFERÊNCIA EM FILMES FINOS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3529 Fazer um desenho que ilustre a interferência em filmes finos mostrando o raio incidente e os raios refletidos perpendiculares ao filme mas representados com uma ligeira inclinação para tornar o desenho mais claro e identificando a espessura e os três índices de refração 3530 Conhecer as condições nas quais uma reflexão pode resultar em um deslocamento de fase e o valor desse deslocamento de fase 3531 Conhecer os três fatores que determinam a interferência das ondas refletidas os deslocamentos de fase causados pelas reflexões a diferença de percurso e o comprimento de onda que depende dos índices de refração dos meios 3532 No caso de um filme fino usar os deslocamentos causados pelas reflexões e o resultado desejado que as ondas refletidas estejam em fase ou com fases opostas ou que as ondas transmitidas estejam em fase ou com fases opostas para obter uma equação envolvendo a espessura L do filme o comprimento de onda λ da luz no ar e o índice de refração n do filme 3533 No caso de um filme muito fino com espessura muito menor que o comprimento de onda da luz visível suspenso no ar explicar por que o filme é sempre escuro 3434 No caso de um filme fino em forma de cunha suspenso no ar conhecer a relação entre a espessura L do filme o comprimento de onda λ da luz no ar e o índice de refração n do filme e determinar o número de franjas claras e escuras do filme IdeiasChave Quando a luz incide em um filme transparente as ondas luminosas refletidas pelas duas superfícies do filme interferem No caso de incidência normal as condições para que a intensidade da luz refletida por um filme suspenso no ar seja máxima e mínima são em que n2 é o índice de refração do filme L é a espessura do filme e λ é o comprimento de onda da luz no ar Quando um filme fino está cercado por meios diferentes do ar as condições para reflexão máxima e mínima podem se inverter dependendo dos índices de inversão dos três meios Quando a luz que incide na interface de meios com índices de refração diferentes está se propagando inicialmente no meio com menor índice de refração a reflexão produz um deslocamento de fase de π rad ou meio comprimento de onda da onda refletida Se a onda está se propagando inicialmente no meio com maior índice de refração a reflexão não produz um deslocamento de fase A refração não produz deslocamentos de fase Interferência em Filmes Finos As cores que vemos quando a luz solar incide em uma bolha de sabão ou em uma mancha de óleo são causadas pela interferência das ondas luminosas refletidas pelas superfícies anterior e posterior de um filme fino transparente A espessura do filme é tipicamente da mesma ordem de grandeza que o comprimento de onda da luz visível envolvida Maiores espessuras destroem a coerência da luz necessária para produzir as cores A Fig 3515 mostra um filme fino transparente de espessura uniforme L e índice de refração n2 iluminado por raios de luz de comprimento de onda λ emitidos por uma fonte distante Inicialmente vamos supor que existe ar dos dois lados do filme e portanto n1 n3 na Fig 3515 Para facilitar a análise vamos supor também que os raios luminosos são quase perpendiculares ao filme θ 0 Queremos saber se o filme parece claro ou escuro a um observador que recebe os raios refletidos quase perpendicularmente ao filme Se o filme está sendo iluminado pela fonte como pode parecer escuro Você verá A luz representada pelo raio i que incide no ponto a da superfície anterior do filme é parcialmente refletida e parcialmente refratada O raio refletido r1 é interceptado pelo olho do observador O raio refratado atravessa o filme e chega ao ponto b da superfície posterior onde também é parcialmente refletido e parcialmente refratado A luz refletida no ponto b torna a atravessar o filme e chega ao ponto c onde mais uma vez é parcialmente refletida e parcialmente refratada A luz refratada em c representada pelo raio r2 também é interceptada pelo olho do observador Figura 3515 Ondas luminosas representadas pelo raio i incidem em um filme de espessura L e índice de refração n2 Os raios r1 e r2 representam ondas refletidas pela superfície anterior e pela superfície posterior do filme respectivamente Os três raios são na verdade quase perpendiculares ao filme A interferência dos raios r1 e r2 depende da diferença de fase entre eles O índice de refração n1 do meio à esquerda pode ser diferente do índice de refração n3 do meio à direita mas no momento estamos assumindo que o filme está imerso no ar caso em que n1 n3 10 n2 Se os raios luminosos r1 e r2 chegam em fase ao olho do observador produzem um máximo de interferência e a região ac do filme parece clara ao observador Se os mesmos raios chegam com fases opostas produzem um mínimo de interferência e a região ac parece escura ao observador embora esteja iluminada Se a diferença de fase é intermediária a interferência é parcial e o brilho é intermediário Diferença de Fase O aspecto que o filme possui aos olhos do observador depende portanto da diferença de fase entre as ondas dos raios r1 e r2 Os dois raios têm origem no mesmo raio incidente i mas o caminho percorrido pelo raio r2 envolve duas passagens pelo interior do filme de a para b e de b para c enquanto o raio r1 não chega a penetrar no filme Como o ângulo θ é praticamente zero a diferença de percurso entre os raios r1 e r2 é aproximadamente igual a 2L Entretanto para determinar a diferença de fase entre as duas ondas não basta calcular o número de comprimentos de onda λ que existem em uma distância 2L por duas razões 1 a diferença de percurso ocorre em um meio que não é o ar 2 o processo envolve reflexões que podem mudar a fase das ondas A diferença de fase entre duas ondas pode mudar se uma das ondas for refletida ou se ambas forem refletidas Antes de continuar nosso estudo da interferência em filmes finos precisamos discutir as mudanças de fase causadas por reflexões Figura 3516 Reflexão de um pulso na interface de duas cordas esticadas de densidades lineares diferentes a velocidade das ondas é menor na corda menos densa a O pulso incidente está na corda mais densa b O pulso incidente está na corda menos densa Apenas no segundo caso a onda incidente e a onda refletida têm fases opostas Mudanças de Fase Causadas por Reflexões As refrações em interfaces não causam mudanças de fase no caso das reflexões porém pode haver ou não mudança de fase dependendo dos valores relativos dos índices de refração dos dois lados da interface A Fig 3516 mostra o que acontece quando a reflexão causa uma mudança de fase usando como exemplo pulsos que passam de uma corda mais densa na qual a velocidade de propagação dos pulsos é menor para uma corda menos densa na qual a velocidade de propagação dos pulsos é maior Quando um pulso que está se propagando na corda mais densa chega à interface com a corda menos densa Fig 3516a o pulso é parcialmente transmitido e parcialmente refletido Para a luz essa situação corresponde ao caso em que a onda incidente passa de um meio em que o índice de refração é maior para um meio em que o índice de refração é menor lembrese de que quanto maior o índice de refração do meio menor a velocidade de propagação da luz Nesse caso a onda que é refletida na interface não sofre mudança de fase Quando um pulso que está se propagando na corda menos densa chega à interface com a corda mais densa Fig 3516b o pulso também é parcialmente transmitido e parcialmente refletido Nesse caso porém a onda refletida na interface sofre uma inversão de fase Se a onda é senoidal essa inversão corresponde a uma variação de fase de π rad ou seja meio comprimento de onda Para a luz essa situação corresponde ao caso em que a onda incidente passa de um meio em que o índice de refração é menor e portanto a velocidade é maior para um meio em que o índice de refração é maior e portanto a velocidade é menor Nesse caso a onda refletida na interface sofre uma variação de fase de π rad ou seja meio comprimento de onda Podemos expressar esses resultados para a luz em termos do índice de refração do meio no qual a luz é refletida 1 2 3 Reflexão Mudança de fase Em um meio com n menor 0 Em um meio com n maior 05 comprimento da onda As conclusões anteriores podem ser resumidas na expressão mnemônica maior significa metade Equações para a Interferência em Filmes Finos Neste capítulo vimos que a diferença de fase entre duas ondas pode mudar devido a três causas reflexão das ondas diferença de percurso entre as ondas propagação das ondas em meios com diferentes índices de refração Quando um filme fino reflete a luz produzindo os raios r1 e r2 da Fig 3515 as três causas estão presentes Vamos examinálas separadamente Reflexão Considere em primeiro lugar as duas reflexões da Fig 3515 No ponto a da interface dianteira a onda incidente que se propaga no ar é refletida por um meio com um índice de refração maior que o do ar o que significa que o raio refletido r1 sofre uma mudança de fase de meio comprimento de onda em relação ao raio incidente No ponto b da interface traseira a onda incidente que se propaga no interior do filme é refletida por um meio o ar com um índice de refração menor de modo que o raio refletido não sofre uma mudança de fase em relação ao raio incidente continuando com a mesma fase até emergir do filme na forma do raio r2 Essas informações aparecem na primeira linha da Tabela 351 Nossa conclusão é portanto que graças às reflexões os raios r1 e r2 apresentam uma diferença de fase de meio comprimento de onda Tabela 351 Tabela para a Interferência em Filmes Finos no Ar Fig 3517a Mudança de fase por reflexão r1 r2 05 cumprimento de onda 0 Diferença de percurso 2L Índice no qual ocorre a diferença de percurso n2 Em fasea Fora de fasea aVálido para n2 n1 e n2 n3 Diferença de Percurso Considere agora a diferença de comprimento entre os dois percursos 2L que surge porque o raio r2 atravessa o filme duas vezes Essa diferença aparece na segunda linha da Tabela 351 Para que os raios r1 e r2 estejam exatamente em fase é preciso que a diferença de fase adicional introduzida pela diferença de percursos seja um múltiplo ímpar de meio comprimento de onda apenas nesse caso a diferença de fase total será igual a um número inteiro de comprimentos de onda Assim para que o filme reflita o máximo possível de luz devemos ter O comprimento de onda da Eq 3531 é o comprimento de onda λn2 no meio em que a luz percorre a distância 2L isto é no meio cujo índice de refração é n2 Assim a Eq 3531 pode ser escrita na forma Por outro lado para que a diferença de fase entre os raios r1 e r2 seja de exatamente meio comprimento de onda é preciso que a diferença de fase introduzida pela diferença de percursos 2L seja um número inteiro de comprimentos de onda apenas nesse caso a diferença de fase total será igual a um número ímpar de meios comprimentos de onda Assim para que o filme reflita o mínimo possível de luz devemos ter em que novamente o comprimento de onda é o comprimento de onda λn2 no meio no qual a luz percorre a distância 2L Assim temos Podemos usar a Eq 356 λn λn para escrever o comprimento de onda do raio r2 no interior do filme na forma em que λ é o comprimento de onda no vácuo da luz incidente que é aproximadamente igual ao comprimento de onda no ar Substituindo a Eq 3535 na Eq 3532 e substituindo número ímpar2 por m 12 temos Figura 3517 Reflexões em um filme fino suspenso no ar Da mesma forma substituindo número inteiro por m a Eq 3534 se torna Se a espessura L do filme é conhecida as Eqs 3536 e 3537 podem ser utilizadas para determinar os comprimentos de onda para os quais o filme parece claro e escuro respectivamente a cada valor de m corresponde um comprimento de onda diferente No caso de comprimentos de onda intermediários a quantidade de luz refletida pelo filme também é intermediária Se o comprimento de onda λ é conhecido as Eqs 3536 e 3537 podem ser usadas para determinar as espessuras para as quais o filme parece claro ou escuro respectivamente No caso de espessuras intermediárias a quantidade de luz refletida pelo filme também é intermediária Atenção 1 Para um filme fino suspenso no ar a Eq 3536 corresponde ao máximo de brilho e a Eq 3537 corresponde à ausência de reflexões No caso da luz transmitida o papel das equações se inverte afinal se toda a luz é refletida nenhuma luz atravessa o filme e viceversa 2 Para um filme fino entre dois meios diferentes do ar o papel das equações pode se inverter dependendo dos índices de refração dos três meios Para cada caso é preciso construir uma tabela semelhante à Tabela 351 e em particular determinar as mudanças de fase introduzidas pelas reflexões para ver qual é a equação que corresponde ao máximo de brilho e qual é a equação que corresponde à ausência de reflexões 3 O índice de refração que aparece nas equações é do filme fino no qual acontece a diferença de percurso Espessura do Filme Muito Menor que λ Uma situação especial é aquela em que o filme é tão fino que L é muito menor que λ Nesse caso a diferença 2L entre as distâncias percorridas pelos dois raios pode ser desprezada e portanto a diferença de fase entre r1 e r2 se deve apenas às reflexões Se a espessura do filme da Fig 3517 no qual as reflexões produzem uma diferença de fase de meio comprimento de onda é muito menor que o comprimento de onda da luz incidente r1 e r2 têm fases opostas e o filme parece escuro Essa situação especial corresponde a m 0 na Eq 3537 Podemos considerar qualquer espessura L 01λ como a menor das espessuras especificadas pela Eq 3537 para tornar escuro o filme da Fig 3517 Qualquer dessas espessuras corresponde a m 0 A segunda menor espessura que torna o filme escuro é a que corresponde a m 1 A Fig 3518 mostra um filme vertical de água com sabão cuja espessura aumenta de cima para baixo porque a gravidade fez a água escorrer O filme está sendo iluminado com luz branca mesmo assim a parte superior é tão fina que o filme parece escuro No centro onde a espessura do filme é um pouco maior vemos franjas ou faixas cuja cor depende do comprimento de onda para o qual a luz refletida sofre interferência construtiva para uma determinada espessura Na parte inferior do filme que é ainda mais espessa as franjas se tornam cada vez mais estreitas até desaparecerem Richard MegnaFundamental Photographs Figura 3518 Reflexo da luz em uma película vertical de água com sabão sustentada por uma argola metálica A parte de cima é tão fina porque a gravidade faz a água escorrer que a luz refletida sofre interferência destrutiva o que torna o filme escuro Franjas de interferência coloridas decoram o resto do filme mas são interrompidas por riscos verticais produzidos pelo movimento da água sob a ação da gravidade Teste 5 A figura mostra quatro situações nas quais a luz é refletida perpendicularmente por um filme fino de espessura L com os índices de refração indicados a Em que situações as reflexões nas interfaces do filme produzem uma diferença de fase nula entre os dois raios refletidos b Em que situações os filmes ficarão escuros se a diferença 2L entre as distâncias percorridas pelos dois raios produzir uma diferença de fase de meio comprimento de onda Exemplo 3505 Interferência em um filme fino de água no ar Um feixe de luz branca com intensidade constante na faixa de comprimentos de onda da luz visível 400690 nm incide perpendicularmente em um filme de água com índice de refração n2 133 e espessura L 320 nm suspenso no ar Para que comprimento de onda λ a luz refletida pelo filme se apresenta mais intensa a um observador IDEIACHAVE A luz refletida pelo filme é mais intensa para comprimentos de onda λ tais que os raios refletidos estejam em fase A equação que relaciona esses comprimentos de onda λ à espessura L e ao índice de refração n2 do filme pode ser a Eq 3536 ou a Eq 3537 dependendo das diferenças de fase produzidas pelas reflexões nas diferentes interfaces Cálculos Em geral para determinar qual das duas equações deve ser usada é necessário preparar uma tabela como a Tabela 35 1 Neste caso porém como existe ar dos dois lados do filme de água a situação é idêntica à da Fig 3517 e portanto a tabela é exatamente igual à Tabela 351 De acordo com a Tabela 351 os raios refletidos estão em fase e portanto a intensidade da luz refletida é máxima para o que leva à Eq 3536 Explicitando λ e substituindo L e n2 por seus valores obtemos Para m 0 a equação nos dá λ 1700 nm que está na região do infravermelho Para m 1 obtemos λ 567 nm que corresponde a uma cor amareloesverdeada na região central do espectro da luz visível Para m 2 λ 340 nm que está na região do ultravioleta Assim o comprimento de onda para o qual a luz vista pelo observador é mais intensa é Exemplo 3506 Interferência no revestimento de uma lente de vidro Uma das superfícies de uma lente de vidro é revestida com um filme fino de fluoreto de magnésio MgF2 para reduzir a reflexão da luz Fig 3519 O índice de refração do MgF2 é 138 o do vidro é 150 Qual é a menor espessura do revestimento capaz de eliminar por interferência os reflexos no centro do espectro da luz visível λ 550 nm Suponha que a luz incide perpendicularmente à superfície da lente IDEIACHAVE A reflexão será eliminada se a espessura L do filme for tal que as ondas luminosas refletidas pelas duas interfaces do filme tenham fases opostas A equação que relaciona L ao comprimento de onda λ e ao índice de refração n2 do filme é a Eq 3536 ou a Eq 35 37 dependendo de como a fase da onda refletida muda nas interfaces Cálculos Para determinar qual das duas equações deve ser usada devemos preparar uma tabela como a Tabela 351 Na primeira interface a luz incidente está se propagando no ar que tem um índice de refração menor que o do MgF2 material de que é feito o filme Assim colocamos 05 comprimento de onda na coluna r1 para indicar que o raio r1 sofre um deslocamento de fase de 05λ ao ser refletido Na segunda interface a luz incidente está se propagando no MgF2 que tem um índice de refração menor que o do vidro que fica do outro lado da interface Assim também colocamos 05 comprimento de onda na coluna r2 Como as duas reflexões produzem uma mudança de fase de meio comprimento de onda elas tendem a colocar r1 e r2 em fase Como queremos que as ondas estejam fora de fase a diferença entre as distâncias percorridas pelos dois raios deve ser igual a um número ímpar de comprimentos de onda Figura 3519 Reflexões indesejáveis em uma superfície de vidro podem ser suprimidas para um dado comprimento de onda revestindo o vidro com um filme fino transparente de fluoreto de magnésio de espessura apropriada Isso significa que devemos usar a Eq 3536 Explicitando L obtemos uma equação que nos dá a espessura necessária para eliminar as reflexões da superfície da lente e do revestimento Como queremos que o filme tenha a menor espessura possível ou seja o menor valor de L fazemos m 0 na Eq 3538 o que nos dá Exemplo 3507 Interferência em uma cunha de ar A Fig 3520a mostra um bloco de plástico transparente com uma fina cunha de ar do lado direito A espessura da cunha está exagerada na figura Um feixe de luz vermelha de comprimento de onda λ 6328 nm incide verticalmente no bloco ou seja com um ângulo de incidência de 0 de cima para baixo Parte da luz que penetra no plástico é refletida para cima nas superfícies superior e inferior da cunha que se comporta como um filme fino de ar com uma espessura que varia de modo uniforme e gradual de LE do lado esquerdo até LD do lado direito As camadas de plástico acima e abaixo da cunha de ar são espessas demais para se comportar como filmes finos Um observador que olha para o bloco de cima vê uma figura de interferência formada por seis franjas escuras e cinco franjas vermelhas Qual é a variação de espessura ΔL LE LD ao longo da cunha IDEIASCHAVE 1 A intensidade da luz refletida em qualquer ponto da cunha depende da interferência das ondas refletidas nas interfaces superior e inferior da cunha 2 A variação de intensidade da luz ao longo da cunha que forma uma série de franjas claras e escuras se deve à variação de espessura Em alguns trechos as ondas refletidas estão em fase e a intensidade é elevada em outros as ondas refletidas estão fora de fase e a intensidade é pequena Organizando as reflexões Como o observador vê um número maior de franjas escuras sabemos que são produzidas franjas escuras nas duas extremidades da cunha como na Fig 3520b Figura 3520 a Um feixe de luz vermelha incide em um bloco de plástico transparente com uma fina cunha de ar A espessura da cunha é LE do lado esquerdo e LD do lado direito b O bloco visto de cima uma figura de interferência formada por seis franjas escuras e cinco franjas vermelhas aparece na região da cunha c Representação do raio incidente i dos raios refletidos r1 e r2 e da espessura L em um ponto qualquer da cunha d Raios refletidos na extremidade esquerda da cunha e Tabela para a interferência de uma cunha de ar f Raios refletidos na extremidade direita da cunha Podemos representar a reflexão da luz nas interfaces superior e inferior da cunha em um ponto qualquer como na Fig 35 20c em que L é a espessura da cunha nesse ponto Vamos aplicar esse modelo à extremidade esquerda da cunha onde as reflexões produzem uma franja escura No caso de uma franja escura os raios r1 e r2 da Fig 3520c têm fases opostas Sabemos que a equação que relaciona a espessura L do filme ao comprimento onda λ da luz e ao índice de refração n2 do filme pode ser a Eq 3536 ou a Eq 3537 dependendo das mudanças de fase causadas pelas reflexões Para determinar qual das duas equações está associada a uma franja escura na extremidade esquerda da cunha construímos uma tabela como a Tabela 351 que é mostrada na Fig 3520e Na interface superior da cunha a luz incidente está se propagando no plástico que possui um índice de refração maior que o do ar que está abaixo da interface Assim colocamos 0 na coluna r1 da tabela Na interface inferior da cunha a luz incidente está se propagando no ar que possui um índice de refração menor que o do plástico que está abaixo da interface Assim colocamos 05 comprimento de onda na coluna r2 da tabela Concluímos portanto que as reflexões tendem a colocar os raios r1 e r2 com fases opostas Reflexões na extremidade esquerda Fig 3520d Como sabemos que as ondas estão fora de fase na extremidade esquerda da cunha a diferença 2L entre as distâncias percorridas pelos raios na extremidade esquerda da cunha é dada por que leva à Eq 3537 Reflexões na extremidade direita Fig 3520f A Eq 3539 vale não só para a extremidade esquerda da cunha mas também para qualquer ponto ao longo da cunha em que é observada uma franja escura incluindo a extremidade direita com um valor diferente de m para cada franja O menor valor de m está associado à menor espessura para a qual é observada uma franja escura Valores cada vez maiores de m estão associados a espessuras cada vez maiores da cunha para as quais é observada uma franja escura Seja mE o valor de m na extremidade esquerda Nesse caso o valor na extremidade direita deve ser mE 5 já que de acordo com a Fig 3520b existem cinco franjas escuras além da primeira entre a extremidade esquerda e a extremidade direita Diferença de espessura Estamos interessados em determinar a variação de espessura ΔL da cunha da extremidade esquerda à extremidade direita Para isso precisamos resolver a Eq 3539 duas vezes uma para obter a espessura do lado esquerdo LE e outra para obter a espessura do lado direito LD Para determinar ΔL basta subtrair LE de LD e substituir λ e n2 por seus valores como a cunha é feita de ar n2 100 355 O INTERFERÔMETRO DE MICHELSON Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3535 Usar um desenho para explicar o funcionamento de um interferômetro 3536 Calcular a mudança de fase em comprimentos de onda quando um dos feixes de luz de um interferômetro passa por um bloco de material transparente de espessura e índice de refração conhecidos 3537 Calcular o deslocamento das franjas de um interferômetro em função do deslocamento de um dos espelhos IdeiasChave No interferômetro de Michelson uma onda luminosa é dividida em dois feixes que se recombinam depois de percorrer caminhos diferentes A figura de interferência produzida por um interferômetro depende da diferença de percurso dos dois feixes e dos índices de refração dos meios encontrados pelos feixes Se um dos feixes atravessa um material transparente de índice de refração n e espessura L a diferença de fase em comprimentos de onda introduzida pelo material transparente é dada por em que λ é o comprimento de onda da luz no ar O Interferômetro de Michelson O interferômetro é um dispositivo que pode ser usado para medir comprimentos ou variações de comprimento com grande precisão por meio de franjas de interferência Vamos descrever o modelo de interferômetro projetado e construído por A A Michelson em 1881 Figura 3521 Interferômetro de Michelson mostrando o caminho seguido pela luz que parte de um ponto P de uma fonte S O espelho M divide a luz em dois feixes que são refletidos pelos espelhos M1 e M2 de volta para M e daí para o telescópio T No telescópio o observador vê uma figura de interferência Considere a luz que deixa o ponto P de uma fonte macroscópica S na Fig 3521 e encontra o divisor de feixe M Divisor de feixe é um espelho que transmite metade da luz incidente e reflete a outra metade Na figura supusemos por conveniência que a espessura do espelho pode ser desprezada Em M a luz se divide em dois feixes um é transmitido em direção ao espelho M1 e o outro é refletido em direção a M2 As ondas são totalmente refletidas pelos espelhos M1 e M2 e se dirigem de volta ao espelho M de onde chegam ao olho do observador depois de passarem pelo telescópio T O que o observador vê é uma série de franjas de interferência que se parecem com as listras de uma zebra Deslocamento do Espelho A diferença das distâncias percorridas pelas duas ondas é 2d2 2d1 qualquer coisa que altere essa diferença modifica a figura de interferência vista pelo observador Assim por exemplo se o espelho M2 for deslocado de uma distância igual a λ2 a diferença das distâncias mudará de λ e a figura de interferência sofrerá um deslocamento de uma franja como se cada listra preta de uma zebra se deslocasse para a posição da listra preta mais próxima Por outro lado se o espelho M2 for deslocado de uma distância igual a λ4 a figura de interferência sofrerá um deslocamento de meia franja como se cada listra preta da uma zebra se deslocasse para a posição da listra branca mais próxima Inserção A modificação da figura de interferência também pode ser causada pela inserção de uma substância transparente no caminho de um dos raios Assim por exemplo se um bloco de material transparente de espessura L e índice de refração n for colocado na frente do espelho M1 o número de comprimentos de onda percorridos dentro do material será de acordo com a Eq 357 O número de comprimentos de onda na mesma distância 2L antes de o bloco ser introduzido é Assim quando o bloco é introduzido a luz que volta ao espelho M1 sofre uma variação de fase adicional em comprimentos de onda dada por Para cada variação de fase de um comprimento de onda a figura de interferência é deslocada de uma franja Assim observando de quantas franjas foi o deslocamento da figura de interferência quando o bloco foi introduzido e substituindo Nm Na por esse valor na Eq 3543 é possível determinar a espessura L do bloco em termos de λ Padrão de Comprimento Utilizando essa técnica é possível medir a espessura de objetos transparentes em comprimentos de onda da luz Na época de Michelson o padrão de comprimento o metro tinha sido definido por um acordo internacional como a distância entre duas marcas de uma barra de metal guardada em Sèvres perto de Paris Michelson conseguiu mostrar usando seu interferômetro que o metropadrão era equivalente a 15531635 comprimentos de onda da luz vermelha monocromática emitida por uma fonte luminosa de cádmio Por essa medição altamente precisa Michelson recebeu o Prêmio Nobel de Física em 1907 Seu trabalho estabeleceu a base para que a barra do metro fosse abandonada como padrão em 1961 e substituída por uma nova definição do metro em termos do comprimento de onda da luz Em 1983 como vimos o novo padrão não foi considerado suficientemente preciso para atender às exigências cada vez maiores da ciência e da tecnologia e a definição do metro foi mudada novamente dessa vez com base em um valor arbitrado para a velocidade da luz Revisão e Resumo O Princípio de Huygens A propagação em três dimensões de ondas como a luz pode ser modelada em muitos casos com o auxílio do princípio de Huygens segundo o qual todos os pontos de uma frente de onda se comportam como fontes pontuais para ondas secundárias Depois de um intervalo de tempo t a nova posição da frente de onda é dada por uma superfície tangente às ondas secundárias A lei da refração pode ser deduzida a partir do princípio de Huygens se supusermos que o índice de refração de um meio é dado por n cv em que v é a velocidade da luz no meio e c é a velocidade de luz no vácuo Comprimento de Onda e Índice de Refração O comprimento de onda λn da luz em um meio depende do índice de refração n do meio em que λ é o comprimento de onda da luz no vácuo Por causa dessa dependência a diferença de fase entre duas ondas pode variar se as ondas se propagarem em meios com diferentes índices de refração O Experimento de Young No experimento de Young a luz que passa por uma fenda em um anteparo incide em duas fendas em um segundo anteparo As ondas que passam pelas fendas do segundo anteparo se espalham na região do outro lado do anteparo e interferem produzindo uma figura de interferência em uma tela de observação A intensidade da luz em qualquer ponto da tela de observação depende da diferença entre as distâncias percorridas pelos raios de luz entre as fendas e o ponto considerado Se a diferença é um número inteiro de comprimentos de onda as ondas interferem construtivamente e a intensidade luminosa é máxima Se a diferença é um número ímpar de meios comprimentos de onda as ondas interferem destrutivamente e a intensidade luminosa é mínima Em termos matemáticos as condições para que a intensidade luminosa seja máxima e mínima são em que θ é o ângulo entre os raios luminosos e uma perpendicular à tela passando por um ponto equidistante das fendas e d é a distância entre as fendas Coerência Para que duas ondas luminosas interfiram de modo perceptível a diferença de fase entre as ondas deve permanecer constante com o tempo ou seja as ondas devem ser coerentes Quando duas ondas coerentes se combinam a intensidade resultante pode ser calculada pelo método dos fasores Intensidade das Franjas de Interferência No experimento de Young duas ondas de intensidade I0 produzem na tela de observação uma onda resultante cuja intensidade I é dada por As Eqs 3514 e 3516 usadas para calcular as posições dos máximos e mínimos da figura de interferência podem ser demonstradas a partir das Eqs 3522 e 3523 Interferência em Filmes Finos Quando a luz incide em um filme fino transparente as ondas refletidas pelas superfícies anterior e posterior do filme se interferem Quando o filme está suspenso no ar e a incidência é quase perpendicular as condições para que a intensidade da luz refletida seja máxima e mínima são em que n2 é o índice de refração do filme L é a espessura do filme e λ é o comprimento de onda da luz no ar Quando a luz incidente na interface de dois meios com diferentes índices de refração se propaga inicialmente no meio em que o índice de refração é menor a reflexão produz uma mudança de fase de π rad ou meio comprimento de onda na onda refletida Quando a luz se propaga inicialmente no meio em que o índice de refração é maior a fase não é modificada pela reflexão O Interferômetro de Michelson No interferômetro de Michelson uma onda luminosa é dividida em dois feixes que depois de percorrerem caminhos diferentes são recombinados para produzir uma figura de interferência Quando a distância percorrida por um dos feixes varia é possível medir essa variação com grande precisão em termos de comprimentos de onda da luz bastando para isso contar o número de franjas de que se desloca a figura de interferência Perguntas 1 A distância entre as franjas de uma figura de interferência de duas fendas aumenta diminui ou permanece constante a quando a distância entre as fendas aumenta b quando a cor da luz muda de vermelho para azul e c quando todo o equipamento experimental é imerso em água d Nos máximos laterais se as fendas são iluminadas com luz branca o pico mais próximo do máximo central é o pico da componente vermelha ou o pico da componente azul 2 Quando passamos de uma franja clara de uma figura de interferência de duas fendas para a franja clara seguinte afastandonos do centro a a diferença ΔL entre as distâncias percorridas pelos dois raios aumenta ou diminui b Qual é o valor da variação em comprimentos de onda λ 3 A Fig 3522 mostra dois raios luminosos que estão inicialmente em fase e se refletem em várias superfícies de vidro Despreze a ligeira inclinação do raio da direita a Qual é a diferença entre as distâncias percorridas pelos dois raios b Qual deve ser a diferença em comprimentos de onda λ para que os raios estejam em fase no final do processo c Qual é o menor valor de d para que a diferença de fase do item b seja possível Figura 3522 Pergunta 3 4 Na Fig 3523 três pulsos luminosos de mesmo comprimento de onda a b e c atravessam blocos de plásticos de mesmo comprimento cujos índices de refração são dados Coloque os pulsos na ordem decrescente do tempo que levam para atravessar os blocos Figura 3523 Pergunta 4 5 Existe um máximo de interferência um mínimo de interferência um estado intermediário próximo de um máximo ou um estado intermediário próximo de um mínimo no ponto P da Fig 3510 se a diferença entre as distâncias percorridas pelos dois raios for a 22λ b 35λ c 18λ e d 10λ Para cada situação determine o valor de m associado ao máximo ou mínimo envolvido 6 A Fig 3524a mostra a intensidade I em função da posição x na tela de observação para a parte central de uma figura de interferência de dupla fenda As outras partes da figura mostram diagramas fasoriais das componentes do campo elétrico das ondas que chegam à tela depois de passar pelas duas fendas como mostra a Fig 3513a Associe três dos pontos numerados da Fig 3524a aos três diagramas fasoriais das Figs 3524b 3524c e 3524d Figura 3524 Pergunta 6 7 A Fig 3525 mostra duas fontes S1 e S2 que emitem ondas de rádio de comprimento de onda λ em todas as direções As fontes estão exatamente em fase separadas por uma distância igual a 15λ A reta vertical é a mediatriz do segmento de reta que liga as duas fontes a Se começamos no ponto indicado na figura e percorremos a trajetória 1 a interferência produz um máximo ao longo da trajetória um mínimo ao longo da trajetória ou mínimos e máximos se alternam Responda à mesma pergunta b para a trajetória 2 e c para a trajetória 3 Figura 3525 Pergunta 7 8 A Fig 3526 mostra dois raios luminosos com um comprimento de onda de 600 nm que são refletidos por superfícies de vidro separadas por uma distância de 150 nm Os raios estão inicialmente em fase a Qual é a diferença entre as distâncias percorridas pelos dois raios b Ao retornarem à região que fica do lado esquerdo das superfícies de vidro as fases dos dois raios são iguais opostas ou nem uma coisa nem outra Figura 3526 Pergunta 8 9 Uma onda luminosa se propaga em uma nanoestrutura com 1500 nm de comprimento Quando um pico da onda está em uma das extremidades da nanoestrutura existe um pico ou um vale na outra extremidade se o comprimento de onda for a 500 nm e b 1000 nm 10 A Fig 3527a mostra uma vista em seção reta de um filme fino vertical cuja largura de cima para baixo aumenta porque a gravidade faz o filme escorrer A Fig 3527b mostra o filme visto de frente com as quatro franjas claras vermelhas que aparecem quando o filme é iluminado por um feixe perpendicular de luz vermelha Os pontos indicados por letras correspondem à posição das franjas claras Em termos do comprimento de onda da luz no interior do filme qual é a diferença de espessura do filme a entre os pontos a e b e b entre os pontos b e d Figura 3527 Pergunta 10 11 A Fig 3528 mostra quatro situações nas quais a luz incide perpendicularmente em um filme fino de largura L situado entre placas muito mais espessas feitas de materiais diferentes Os índices de refração são dados Em que situações a condição para que a intensidade da onda refletida seja máxima ou seja para que o filme pareça claro é dada pela Eq 3536 Figura 3528 Pergunta 11 12 A Fig 3529 mostra a passagem de um raio de luz perpendicular mostrado com uma pequena inclinação para tornar a figura mais clara por um filme fino suspenso no ar a O raio r3 sofre uma mudança de fase por reflexão b Qual é a mudança de fase por reflexão do raio r4 em comprimentos de onda c Se a espessura do filme for L qual será a diferença de percurso entre os raios r3 e r4 Figura 3529 Pergunta 12 13 A Fig 3530 mostra três situações nas quais dois raios de luz solar penetram ligeiramente no solo lunar e depois são espalhados de volta ao espaço Suponha que os raios estejam inicialmente em fase Em que situação as ondas associadas estão provavelmente em fase ao voltarem ao espaço Na lua cheia a luminosidade da Lua aumenta bruscamente tornandose 25 maior que nas noites anteriores e posteriores porque nessa fase interceptamos os raios de luz que são espalhados de volta na direção do Sol pelo solo lunar e sofrem interferência construtiva nos nossos olhos Quando estava planejando o primeiro pouso do homem na Lua a NASA fez questão de que os visores dos capacetes tivessem filtros para proteger os astronautas da ofuscação causada pelo espalhamento da luz no solo lunar Figura 3530 Pergunta 13 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 351 A Luz como uma Onda 1 Na Fig 3531 a onda luminosa representada pelo raio r1 é refletida uma vez em um espelho enquanto a onda representada pelo raio r2 é refletida duas vezes no mesmo espelho e uma vez em um pequeno espelho situado a uma distância L do espelho principal Despreze a pequena inclinação dos raios As ondas têm um comprimento de onda de 620 nm e estão inicialmente em fase a Determine o menor valor de L para que as ondas finais estejam em oposição de fase b Determine qual deve ser o acréscimo de L a partir do valor calculado no item a para que as ondas finais fiquem novamente em oposição de fase Figura 3531 Problemas 1 e 2 2 Na Fig 3531 a onda luminosa representada pelo raio r1 é refletida uma vez em um espelho enquanto a onda representada pelo raio r2 é refletida duas vezes no mesmo espelho e uma vez em um pequeno espelho situado a uma distância L do espelho principal Despreze a pequena inclinação dos raios As ondas têm um comprimento de onda λ e estão inicialmente em oposição de fase Determine a o menor b o segundo menor e c o terceiro menor valor de Lλ para que as ondas finais estejam em fase 3 Na Fig 354 suponha que duas ondas com um comprimento de onda de 400 nm que se propagam no ar estejam inicialmente em fase Uma atravessa uma placa de vidro com um índice de refração n1 160 e espessura L a outra atravessa uma placa de plástico com um índice de refração n2 150 e a mesma espessura a Qual é o menor valor da espessura L para a qual as ondas deixam as placas com uma diferença de fase de 565 rad b Se as ondas chegam ao mesmo ponto com a mesma amplitude a interferência é construtiva destrutiva mais próxima de construtiva ou mais próxima de destrutiva 4 Na Fig 3532a um raio luminoso que estava se propagando no material 1 incide em uma interface com um ângulo de 30 O desvio sofrido pelo raio devido à refração depende em parte do índice de refração n2 do material 2 A Fig 3531b mostra o ângulo de refração θ2 em função de n2 A escala do eixo horizontal é definida por na 130 e nb 190 Qual é a velocidade da luz no material 1 Figura 3532 Problema 4 5 Qual é a diferença em metros por segundo entre a velocidade da luz na safira e a velocidade da luz no diamante Sugestão Consulte a Tabela 331 6 O comprimento de onda da luz amarela do sódio no ar é 589 nm a Qual é a frequência dessa luz b Qual é o comprimento de onda dessa luz em um vidro com um índice de refração de 152 c Use os resultados dos itens a e b para calcular a velocidade dessa luz no vidro 7 A velocidade da luz amarela do sódio em um líquido é 192 108 ms Qual é o índice de refração do líquido para essa luz 8 Na Fig 3533 dois pulsos luminosos atravessam placas de plástico de espessura L ou 2L e índices de refração n1 155 n2 170 n3 160 n4 145 n5 159 n6 165 e n7 150 a Qual dos dois pulsos chega primeiro à outra extremidade das placas b A diferença entre os tempos de trânsito dos dois pulsos é igual a qual múltiplo de Lc Figura 3533 Problema 8 9 Na Fig 354 suponha que as duas ondas luminosas cujo comprimento de onda no ar é 620 nm têm inicialmente uma diferença de fase de π rad Os índices de refração dos materiais são n1 145 e n2 165 Determine a o menor e b o segundo menor valor de L para o qual as duas ondas estão exatamente em fase depois de atravessar os dois materiais 10 Na Fig 3534 um raio luminoso incide com um ângulo θ1 50 em uma série de cinco placas transparentes com interfaces paralelas Para as placas 1 e 3 L1 20 μm L3 25 μm n1 16 e n3 145 a Com que ângulo a luz volta para o ar depois de passar pelas placas b Quanto tempo a luz leva para atravessar a placa 3 Figura 3534 Problema 10 11 Suponha que o comprimento de onda no ar das duas ondas da Fig 354 é λ 500 nm Determine o múltiplo de λ que expressa a diferença de fase entre as ondas depois de atravessar os dois materiais a se n1 150 n2 160 e L 850 μm b se n1 162 n2 172 e L 850 μm c se n1 159 n2 179 e L 325 μm d Suponha que nas três situações os dois raios se encontram no mesmo ponto e com a mesma amplitude depois de atravessar os materiais Coloque as situações na ordem decrescente da intensidade da onda total 12 Na Fig 3535 dois raios luminosos percorrem diferentes trajetos sofrendo reflexões em espelhos planos As ondas têm um comprimento de onda de 4200 nm e estão inicialmente em fase Determine a o primeiro e b o segundo menor valor de L para o qual as ondas estão com fases opostas ao saírem da região onde estão os espelhos Figura 3535 Problemas 12 e 98 13 Duas ondas luminosas no ar de comprimento de onda 6000 nm estão inicialmente em fase As ondas passam por camadas de plástico como na Fig 3536 com L1 400 μm L2 350 μm n1 140 e n2 160 a Qual é a diferença de fase em comprimentos de onda quando as ondas saem dos dois blocos b Se as ondas forem superpostas em uma tela com a mesma amplitude a interferência será construtiva destrutiva mais próxima de construtiva ou mais próxima de destrutiva Figura 3536 Problema 13 Módulo 352 O Experimento de Young 14 Em um experimento de dupla fenda a distância entre as fendas é 100 vezes maior que o comprimento de onda usado para iluminálas a Qual é a separação angular em radianos entre o máximo central e o máximo mais próximo b Qual é a distância entre esses máximos em uma tela situada a 500 cm das fendas 15 Um sistema de dupla fenda produz franjas de interferência para a luz do sódio λ 589 nm com uma separação angular de 350 1023 rad Para qual comprimento de onda a separação angular é 100 maior 16 Um sistema de dupla fenda produz franjas de interferência para a luz do sódio λ 589 nm separadas por 0208 Qual é a separação das franjas quando o sistema é imerso em água n 133 17 Na Fig 3537 duas fontes pontuais de radiofrequência S1 e S2 separadas por uma distância d 20 m estão irradiando em fase com λ 050 m Um detector descreve uma longa trajetória circular em torno das fontes em um plano que passa por elas Quantos máximos são detectados Figura 3537 Problemas 17 e 22 18 No experimento de dupla fenda da Fig 3510 o ângulo θ é 20 a distância entre as fendas é 424 μm e o comprimento de onda é λ 500 nm a Que múltiplo de λ corresponde à diferença de fase entre as ondas associadas aos raios r1 e r2 ao chegarem ao ponto P da tela distante b Qual é a diferença de fase em radianos c Determine a posição do ponto P indicando o máximo ou o mínimo em que se encontra ou o máximo e o mínimo entre os quais se encontra 19 Suponha que o experimento de Young seja realizado com luz verdeazulada com um comprimento de onda de 500 nm A distância entre as fendas é 120 mm e a tela de observação está a 540 m de distância das fendas A que distância estão as franjas claras situadas perto do centro da figura de interferência 20 Uma luz verde monocromática com um comprimento de onda de 550 nm é usada para iluminar duas fendas estreitas paralelas separadas por uma distância de 770 μm Calcule o desvio angular θ na Fig 3510 da franja clara de terceira ordem m 3 a em radianos e b em graus 21 Em um experimento de dupla fenda a distância entre as fendas é 50 mm e as fendas estão a 10 m de distância da tela Duas figuras de interferência são vistas na tela uma produzida por uma luz com comprimento de onda de 480 nm e outra por uma luz com comprimento de onda de 600 nm Qual é a distância na tela entre as franjas claras de terceira ordem m 3 das duas figuras de interferência 22 Na Fig 3537 duas fontes pontuais isotrópicas S1 e S2 emitem ondas luminosas em fase cujo comprimento de onda é λ As fontes estão no eixo x separadas por uma distância d e um detector de luz é deslocado ao longo de uma circunferência de raio muito maior que a distância entre as fontes cujo centro está no ponto médio da reta que liga as fontes São detectados 30 pontos de intensidade zero entre os quais dois no eixo x um à esquerda e outro à direita das fontes Qual é o valor de dλ 23 Na Fig 3538 as fontes A e B emitem ondas de rádio de longo alcance com um comprimento de onda de 400 m e a fase da onda emitida pela fonte A está adiantada de 90 em relação à onda emitida pela fonte B A diferença entre a distância rA da fonte A ao detector D e a distância rB da fonte B ao detector D é 100 m Qual é a diferença de fase entre as ondas no ponto D Figura 3538 Problema 23 24 Na Fig 3539 duas fontes pontuais isotrópicas S1 e S2 emitem luz em fase com a mesma amplitude e o mesmo comprimento de onda λ As fontes separadas por uma distância 2d 600λ estão em um eixo paralelo ao eixo x No eixo x que está a uma distância D 200λ do eixo das fontes com a origem equidistante das fontes foi instalada uma tela de observação A figura mostra dois raios que chegam ao mesmo ponto P da tela situado a uma distância xP da origem a Para qual valor de xP os raios apresentam a menor diferença de fase possível b Para qual múltiplo de λ a diferença de fase é a menor possível c Para qual valor de xP os raios apresentam a maior diferença de fase possível d Para qual múltiplo de λ a diferença de fase é a maior possível e Qual é a diferença de fase para xP 600λ f Para xP 600λ a intensidade da luz no ponto P é máxima mínima mais próxima de máxima ou mais próxima de mínima Figura 3539 Problema 24 25 Na Fig 3540 duas fontes luminosas pontuais isotrópicas S1 e S2 estão no eixo y separadas por uma distância de 270 μm e emitem em fase com um comprimento de onda de 900 nm Um detector de luz é colocado no ponto P situado no eixo x a uma distância xP da origem Qual é o maior valor de xP para o qual a luz detectada é mínima devido a uma interferência destrutiva Figura 3540 Problemas 25 e 28 26 Em um experimento de dupla fenda o máximo de quarta ordem para um comprimento de onda de 450 nm é observado para um ângulo θ 90 a Que faixa de comprimentos de onda dentro do espectro da luz visível 400 nm a 700 nm não está presente nos máximos de terceira ordem Para eliminar toda a luz visível do máximo de quarta ordem b a distância entre as fendas deve ser aumentada ou reduzida c Qual é a menor variação necessária da distância entre as fendas 27 Quando uma das fendas de um sistema de dupla fenda é coberta com uma placa fina de mica n 158 o ponto central da tela de observação passa a ser ocupado pela sétima franja lateral clara m 7 da antiga figura de interferência Se λ 550 nm qual é a espessura da placa de mica 28 A Fig 3540 mostra duas fontes luminosas isotrópicas S1 e S2 que emitem em fase com a mesma amplitude e o mesmo comprimento de onda de 400 nm Um detector P é colocado no eixo x que passa pela fonte S1 A diferença de fase ϕ entre os raios provenientes das duas fontes é medida entre x 0 e x os resultados entre 0 e xs 10 107 m aparecem na Fig 3541 Qual é o maior valor de x para o qual os raios chegam ao detector P com fases opostas Figura 3541 Problema 28 Módulo 353 Intensidade das Franjas de Interferência 29 Duas ondas de mesma frequência têm amplitudes 100 e 200 As ondas interferem em um ponto no qual a diferença de fase é 6008 Qual é a amplitude resultante 30 Determine a soma y das seguintes funções y1 10 sen ωt e y2 80 senωt 30 31 Some as funções y1 10 sen ωt y2 15 senωt 30 e y3 50 senωt 45 usando o método dos fasores 32 No experimento de dupla fenda da Fig 3510 os campos elétricos das ondas que chegam ao ponto P são dados por E1 200 μVm sen126 1015t E1 200 μVm sen126 1015t 396 rad em que o tempo t está em segundos a Qual é o módulo do campo elétrico resultante no ponto P b Qual é a razão entre a intensidade IP no ponto P e a intensidade Icen no centro da figura de interferência c Determine a posição do ponto P na figura de interferência indicando o máximo ou o mínimo no qual está o ponto ou o máximo e o mínimo entre os quais está o ponto Em um diagrama fasorial dos campos elétricos d com que velocidade angular os fasores giram em torno da origem e e qual é o ângulo entre os fasores 33 Três ondas eletromagnéticas passam por um ponto P situado no eixo x As ondas estão polarizadas paralelamente ao eixo y e as amplitudes dos campos elétricos são dadas pelas funções a seguir Determine a onda resultante no ponto P E1 100 μVm sen20 1014 radst E2 500 μVm sen20 1014 radst 450 E3 500 μVm sen20 1014 radst 450 34 No experimento de dupla fenda da Fig 3510 a tela de observação está a uma distância D 400 m o ponto P está a uma distância y 205 cm do centro da figura de interferência a distância entre as fendas é d 450 μm e o comprimento de onda é λ 580 nm a Determine a posição do ponto P na figura de interferência indicando o máximo ou o mínimo em que está o ponto ou o máximo e o mínimo entre os quais está o ponto b Calcule a razão entre a intensidade IP no ponto P e a intensidade Icen no centro da figura de interferência Módulo 354 Interferência em Filmes Finos 35 Desejase revestir uma placa de vidro n 150 com um filme de material transparente n 125 para que a reflexão de uma luz com um comprimento de onda de 600 nm seja eliminada por interferência Qual é a menor espessura possível do filme 36 Uma película de sabão n 140 com 600 nm de espessura é iluminada perpendicularmente com luz branca Para quantos comprimentos de onda diferentes na faixa de 300 a 700 nm a luz refletida apresenta a interferência construtiva total e b interferência destrutiva total 37 Os diamantes de imitação usados em bijuteria são feitos de vidro com índice de refração 150 Para que reflitam melhor a luz costumase revestilos com uma camada de monóxido de silício de índice de refração 200 Determine a menor espessura da camada de monóxido de silício para que uma onda de comprimento de onda 560 nm e incidência perpendicular sofra interferência construtiva ao ser refletida pelas duas superfícies da camada 38 Um feixe de luz branca incide perpendicularmente de cima para baixo em um filme fino horizontal colocado entre placas espessas de dois materiais Os índices de refração são 180 para o material de cima 170 para o filme fino e 150 para o material de baixo A espessura do filme é 500 107 m Dos comprimentos de onda da luz visível 400 a 700 nm que resultam em interferência construtiva para um observador situado acima do filme a qual é o maior e b qual o menor comprimento de onda Os materiais e o filme são aquecidos o que faz a espessura do filme aumentar c A interferência construtiva passa a ocorrer para um comprimento de onda maior ou menor 39 Uma onda luminosa de comprimento de onda 624 nm incide perpendicularmente em uma película de sabão com n 133 suspensa no ar Quais são as duas menores espessuras do filme para as quais as ondas refletidas pelo filme sofrem interferência construtiva 40 Um filme fino de acetona n 125 está sobre uma placa espessa de vidro n 150 Um feixe de luz branca incide perpendicularmente ao filme Nas reflexões a interferência destrutiva acontece para 600 nm e a interferência construtiva para 700 nm Determine a espessura do filme de acetona 41 a 52 Reflexão em filmes finos Na Fig 3542 a luz incide perpendicularmente em um filme fino de um material 2 que está entre placas espessas dos materiais 1 e 3 Os raios foram desenhados com uma pequena inclinação apenas para tornar a figura mais clara As ondas representadas pelos raios r1 e r2 interferem de tal forma que a intensidade da onda resultante pode ser máxima máx ou mínima mín Para essa situação os dados da Tabela 352 se referem aos índices de refração n1 n2 e n3 ao tipo de interferência à espessura L do filme fino em nanômetros e ao comprimento de onda λ em nanômetros da luz incidente medido no ar Nos problemas em que não é dado o comprimento de onda λ pedese o valor de λ que está na faixa da luz visível nos problemas em que não é dada a espessura L pedese a segunda menor espessura ou a terceira menor espessura de acordo com a indicação da tabela Figura 3542 Problemas 41 a 52 53 A reflexão de um feixe de luz branca que incide perpendicularmente em uma película uniforme de sabão suspensa no ar cujo índice de refração é 133 apresenta um máximo de interferência em 600 nm e o mínimo mais próximo está em 450 nm Qual é a espessura da película 54 Uma onda plana de luz monocromática incide normalmente em um filme fino de óleo de espessura uniforme que cobre uma placa de vidro É possível fazer variar continuamente o comprimento de onda da fonte luminosa Uma interferência destrutiva da luz refletida é observada para comprimentos de onda de 500 e 700 nm e para nenhum outro comprimento de onda dentro desse intervalo Se o índice de refração do óleo é 130 e o do vidro é 150 determine a espessura do filme de óleo 55 Um petroleiro avariado derramou querosene n 120 no Golfo Pérsico criando uma grande mancha na superfície da água n 130 a Se você está sobrevoando a mancha em um avião com o Sol a pino em uma região na qual a espessura da mancha é 460 nm e olha diretamente para baixo para qual quais comprimentos de onda da luz visível a reflexão é mais forte por causa da interferência construtiva b Se você mergulhou para observar a mancha de baixo para que comprimentos de onda da luz visível a intensidade da luz transmitida é máxima Tabela 352 Problemas 41 a 52 Reflexão em Filmes Finos As explicações estão no texto n1 n2 n3 Tipo L λ 41 168 159 150 mín 2o 342 42 155 160 133 máx 285 43 160 140 180 mín 200 44 150 134 142 máx 2o 587 45 155 160 133 máx 3o 612 46 168 159 150 mín 415 47 150 134 142 mín 380 48 160 140 180 máx 2o 632 49 132 175 139 máx 3o 382 50 140 146 175 mín 2o 482 51 140 146 175 mín 210 52 132 175 139 máx 325 56 Um filme fino com uma espessura de 2727 suspenso no ar é iluminado por um feixe de luz branca O feixe é perpendicular ao filme e contém todos os comprimentos de onda do espectro visível Na luz refletida pelo filme a luz com um comprimento de onda de 6000 nm sofre interferência construtiva Para qual comprimento de onda a luz refletida sofre interferência destrutiva Sugestão Faça uma hipótese razoável a respeito do índice de refração do filme 57 a 68 Transmissão em filmes finos Na Fig 3543 a luz incide perpendicularmente em um filme fino de um material 2 que está entre placas espessas dos materiais 1 e 3 Os raios foram desenhados com uma pequena inclinação apenas para tornar a figura mais clara Parte da luz que penetra no material 2 chega ao material 3 na forma do raio r3 a luz que não é refletida pelo material 2 e parte chega ao material 3 na forma do raio r4 a luz que é refletida duas vezes no interior do material 2 As ondas representadas pelos raios r3 e r4 interferem de tal forma que a intensidade da onda resultante pode ser máxima máx ou mínima mín Para essa situação os dados da Tabela 353 se referem aos índices de refração n1 n2 e n3 ao tipo de interferência à espessura L do filme fino em nanômetros e ao comprimento de onda λ em nanômetros da luz incidente medido no ar Nos problemas em que não é dado o comprimento de onda λ pedese o valor de λ que está na faixa da luz visível nos problemas em que não é dada a espessura L pedese a segunda menor espessura ou a terceira menor espessura de acordo com a indicação da tabela Figura 3543 Problemas 57 a 68 69 Na Fig 3544 um feixe luminoso com um comprimento de onda de 630 nm incide perpendicularmente em um filme fino em forma de cunha com um índice de refração de 150 Um observador situado do outro lado do filme observa 10 franjas claras e 9 franjas escuras Qual é a variação total de espessura do filme Figura 3544 Problema 69 Tabela 353 Problemas 57 a 68 Transmissão em Filmes Finos As explicações estão no texto n1 n2 n3 Tipo L λ 57 155 160 133 mín 285 58 132 175 139 mín 3o 382 59 168 159 150 máx 415 60 150 134 142 máx 380 61 132 175 139 mín 325 62 168 159 150 máx 2o 342 63 140 146 175 máx 2o 482 64 140 146 175 máx 210 65 160 140 180 mín 2o 632 66 160 140 180 máx 200 67 150 134 142 mín 2o 587 68 155 160 133 mín 3o 612 70 Na Fig 3545 um feixe de luz com um comprimento de onda de 620 nm incide perpendicularmente na placa superior de um par de placas de vidro que estão em contato na extremidade esquerda O ar entre as placas se comporta como um filme fino e um observador situado acima das placas vê uma figura de interferência Inicialmente existem uma franja escura na extremidade esquerda uma franja clara na extremidade direita e nove franjas escuras fora das extremidades Quando as placas são aproximadas a uma taxa constante a franja do lado direito muda de clara para escura a cada 150 s a A que taxa a distância entre as extremidades das placas na extremidade direita está variando b Qual é o valor da variação no momento em que existem franjas escuras nas duas extremidades e cinco franjas escuras fora das extremidades Figura 3545 Problemas 70 a 74 71 Na Fig 3545 duas lâminas de microscópio estão em contato em uma das extremidades e separadas na outra Quando uma luz com um comprimento de onda de 500 nm incide verticalmente na lâmina superior um observador situado acima das lâminas vê uma figura de interferência na qual as franjas escuras estão separadas por uma distância de 12 mm Qual é o ângulo entre as lâminas 72 Na Fig 3545 um feixe de luz monocromática incide perpendicularmente em duas placas de vidro mantidas em contato em uma das extremidades para criar uma cunha de ar Um observador que olha para baixo através da placa superior vê 4001 franjas escuras Quando o ar entre as placas é removido apenas 4000 franjas são vistas Use esses dados para calcular o índice de refração do ar com seis algarismos significativos 73 Na Fig 3545 uma fonte luminosa com um comprimento de onda de 683 nm ilumina perpendicularmente duas placas de vidro de 120 mm de comprimento que se tocam na extremidade esquerda e estão separadas por uma distância de 480 μm na extremidade direita O ar entre as placas se comporta como um filme fino Quantas franjas claras são vistas por um observador que olha para baixo através da placa superior 74 Duas placas retangulares de vidro n 160 estão em contato em uma das extremidades e separadas na outra extremidade Fig 3545 Um feixe de luz com um comprimento de onda de 600 nm incide perpendicularmente à placa superior O ar entre as placas se comporta como um filme fino Um observador que olha para baixo através da placa superior vê nove franjas escuras e oito franjas claras Quantas franjas escuras são vistas se a distância máxima entre as placas aumenta de 600 nm 75 A Fig 3546a mostra uma lente com raio de curvatura R pousada em uma placa de vidro e iluminada de cima por uma luz de comprimento de onda λ A Fig 3546b uma fotografia tirada de um ponto acima da lente revela a existência de franjas de interferência circulares os chamados anéis de Newton associadas à espessura variável d do filme de ar que existe entre a lente e a placa Determine os raios r dos anéis que correspondem aos máximos de interferência supondo rR 1 Figura 3546 Problemas 75 a 77 76 Em um experimento com anéis de Newton veja o Problema 75 o raio de curvatura R da lente é 50 m e o diâmetro da lente é 20 mm a Quantos anéis claros são formados Suponha que λ 589 nm b Quantos anéis claros são formados quando o conjunto é imerso em água n 133 77 Um experimento com anéis de Newton é usado para determinar o raio de curvatura de uma lente veja a Fig 3546 e o Problema 75 Os raios dos anéis claros de ordem n e n 1 20 são 0162 e 0368 respectivamente para um comprimento de onda da luz de 546 nm Calcule o raio de curvatura da superfície inferior da lente 78 Um filme fino de um líquido é mantido em um disco horizontal com ar dos dois lados do filme Um feixe de luz com um comprimento de onda de 550 nm incide perpendicularmente ao filme e a intensidade I da reflexão é medida A Fig 3547 mostra a intensidade I em função do tempo t a escala do eixo horizontal é definida por ts 200 s A intensidade muda por causa da evaporação nas duas superfícies do filme Suponha que o filme é plano que as duas superfícies do filme são paralelas e que o filme tem um raio de 180 cm e um índice de refração de 140 Suponha também que o volume do filme diminui a uma taxa constante Determine essa taxa Figura 3547 Problema 78 Módulo 355 O Interferômetro de Michelson 79 Se o espelho M2 de um interferômetro de Michelson Fig 3521 é deslocado de 0233 mm a figura de interferência se desloca de 792 franjas claras Qual é o comprimento de onda da luz responsável pela figura de interferência 80 Um filme fino com um índice de refração n 140 é colocado em um dos braços de um interferômetro de Michelson perpendicularmente à trajetória da luz Se a introdução do filme faz com que a figura de interferência produzida por uma luz com um comprimento de onda de 589 nm se desloque de 70 franjas claras qual é a espessura do filme 81 Uma câmara selada contendo ar à pressão atmosférica com 50 cm de comprimento e janelas de vidro é colocada em um dos braços de um interferômetro de Michelson como na Fig 3548 As janelas de vidro da câmara têm uma espessura tão pequena que sua influência pode ser desprezada Uma luz de comprimento de onda λ 500 nm é usada Quando a câmara é evacuada as franjas claras se deslocam 60 posições A partir desses dados determine o índice de refração do ar à pressão atmosférica com seis algarismos significativos Figura 3548 Problema 81 82 O elemento sódio pode emitir luz de dois comprimentos de onda λ1 58910 nm e λ2 58959 nm A luz do sódio é usada em um interferômetro de Michelson Fig 3521 Qual deve ser o deslocamento do espelho M2 para que o deslocamento da figura de interferência produzida por um dos comprimentos de onda seja de 100 franja a mais que o deslocamento da figura de interferência produzida pelo outro comprimento de onda Problemas Adicionais 83 Dois raios luminosos inicialmente em fase e com um comprimento de onda de 500 nm percorrem diferentes trajetórias sofrendo reflexões em espelhos planos como mostra a Fig 3549 As reflexões não produzem mudanças de fase a Qual é o menor valor de d para o qual os raios têm fases opostas ao deixarem a região Ignore a ligeira inclinação da trajetória do raio 2 b Repita o problema supondo que o sistema está imerso em uma solução de proteínas com um índice de refração de 138 Figura 3549 Problema 83 84 Na Fig 3550 duas fontes pontuais isotrópicas S1 e S2 emitem luz em fase com a mesma amplitude e o mesmo comprimento de onda λ As fontes estão no eixo x separadas por uma distância d 600λ Uma tela de observação paralela ao plano yz está situada a uma distância D 200λ de S2 A figura mostra dois raios chegando ao ponto P da tela situado a uma altura yP a Para qual valor de yP os raios apresentam a menor diferença de fase possível b Que múltiplo de λ representa a menor diferença de fase possível c Para qual valor de yP os raios apresentam a maior diferença de fase possível Que múltiplo de λ representa d a maior diferença de fase possível e e a diferença de fase para yP d f Para yP d a intensidade no ponto P é máxima mínima mais próxima do máximo ou mais próxima do mínimo Figura 3550 Problema 84 85 Um experimento de dupla fenda produz franjas claras para a luz do sódio λ 589 nm com uma separação angular de 030 perto do centro da figura de interferência Qual é a separação angular das franjas claras se o equipamento for imerso em água cujo índice de refração é 133 86 Na Fig 3551a as ondas associadas aos raios 1 e 2 estão inicialmente em fase e têm o mesmo comprimento de onda λ no ar O raio 2 atravessa um material de comprimento L e índice de refração n Os raios são refletidos por espelhos para um ponto comum P situado em uma tela Suponha ser possível fazer n variar de n 10 até n 25 Suponha também que de n 10 a n ns 15 a intensidade I da luz no ponto P varia com n da forma indicada na Fig 3551b Para quais valores de n maiores que 14 a intensidade I a é máxima e b é zero c Que múltiplo de λ corresponde à diferença de fase entre os raios no ponto P para n 20 Figura 3551 Problemas 86 e 87 87 Na Fig 3551a as ondas associadas aos raios 1 e 2 estão inicialmente em fase e têm o mesmo comprimento de onda λ no ar O raio 2 atravessa um material de comprimento L e índice de refração n Os raios são refletidos por espelhos para um ponto comum P situado em uma tela Suponha que seja possível fazer L variar de 0 a 2400 nm Suponha também que de L 0 até Ls 900 nm a intensidade I da luz no ponto P varia com L da forma indicada na Fig 3552 Para quais valores de L maiores que 900 nm a intensidade I a é máxima e b é zero c Que múltiplo de λ corresponde à diferença de fase entre os raios no ponto P para L 1200 nm Figura 3552 Problema 87 88 Uma onda luminosa com um comprimento de onda de 7000 nm percorre uma distância de 2000 nm no ar Se a mesma distância for percorrida em um material cujo índice de refração é 1400 qual será o deslocamento de fase em graus introduzido pelo material Calcule a o deslocamento total e b o deslocamento equivalente com um valor menor que 3608 89 Na Fig 3553 um transmissor de microondas situado a uma altura a acima do nível da água de um lago transmite microondas de comprimento de onda λ em direção a um receptor na margem oposta situado a uma altura x acima do nível da água As microondas que se refletem na superfície do lago interferem com as microondas que se propagam diretamente no ar Supondo que a largura D do lago é muito maior que a e x e que λ a para quais valores de x o sinal que chega ao receptor tem a maior intensidade possível Sugestão Verifique se a reflexão resulta em uma mudança de fase Figura 3553 Problema 89 90 Na Fig 3554 duas fontes pontuais isotrópicas S1 e S2 emitem luz com um comprimento de onda λ 400 nm A fonte S1 está situada no ponto y 0640 nm a fonte S2 está situada no ponto y 640 nm A onda produzida por S2 chega ao ponto P1 situado em x 720 nm adiantada de 0600π rad em relação à onda produzida por S1 a Que múltiplo de λ corresponde à diferença de fase entre as ondas produzidas pelas duas fontes no ponto P2 situado em y 0720 nm O desenho não está em escala b Se as ondas chegam a P2 com intensidades iguais a interferência é construtiva destrutiva mais próxima de construtiva ou mais próxima de destrutiva Figura 3554 Problema 90 91 Ondas oceânicas com uma velocidade de 40 ms se aproximam de uma praia fazendo um ângulo θ1 30 com a normal como se vê na vista de cima da Fig 3555 Suponha que a profundidade da água muda bruscamente perto da praia fazendo a velocidade das ondas diminuir para 30 ms a Qual é o ângulo θ2 entre a direção das ondas e a normal quando as ondas chegam à praia Suponha que a lei de refração é a mesma que para a luz b Explique por que na maioria das vezes as ondas incidem perpendicularmente à praia mesmo quando se aproximam da costa fazendo um ângulo relativamente grande com a normal Figura 3555 Problema 91 92 A Fig 3556a mostra dois raios luminosos com um comprimento de onda no ar de 400 nm que estão inicialmente em fase enquanto se propagam para cima em um bloco de plástico O raio r1 atravessa o plástico e chega ao ar Antes de chegar ao ar o raio r2 passa por um líquido contido em uma cavidade do plástico A altura Llíq do líquido é inicialmente 400 μm mas o líquido começa a evaporar Seja ϕ a diferença de fase entre os raios r1 e r2 ao chegarem ao ar A Fig 3556b mostra o valor de ϕ em função da altura Llíq do líquido com ϕ em comprimentos de onda e a escala do eixo horizontal definida por Ls 4000 μm Determine a o índice de refração do plástico e b o índice de refração do líquido Figura 3556 Problema 92 93 Se a distância entre o primeiro e o décimo mínimos de uma figura de interferência de dupla fenda é 180 mm a distância entre as fendas é 0150 mm e a tela está a 500 cm de distância das fendas qual é o comprimento de onda da luz 94 A Fig 3557 mostra uma fibra ótica na qual um núcleo central de plástico com um índice de refração n1 158 é envolvido por um revestimento de plástico com um índice de refração n2 153 Os raios luminosos se propagam ao longo de diferentes trajetórias no núcleo central o que leva a diferentes tempos de percurso Isso faz com que um pulso de luz inicialmente estreito se alargue ao trafegar pela fibra o que reduz a qualidade do sinal Considere a luz que se propaga ao longo do eixo central e a luz que é refletida repetidamente com o ângulo crítico na interface entre o núcleo e o revestimento Qual é a diferença entre os tempos de percurso para uma fibra ótica com 300 m de comprimento Figura 3557 Problema 94 95 Duas fendas paralelas são iluminadas com uma luz monocromática cujo comprimento de onda é 500 nm Uma figura de interferência aparece em uma tela situada a certa distância das fendas e a quarta franja escura está a 168 cm de distância da franja clara central a Qual é a diferença de percurso correspondente à quarta franja escura b Qual é a distância na tela entre a franja clara central e a primeira franja clara de cada lado da franja central Sugestão Os ângulos da quarta franja escura e da primeira franja clara são tão pequenos que tan θ sen θ 96 A lente de uma câmera cujo índice de refração é maior que 130 é revestida com um filme fino transparente com um índice de refração de 125 para eliminar por interferência a reflexão de luz com comprimento de onda λ que incide perpendicularmente à lente Que múltiplo de λ corresponde à espessura mínima de um filme que atende a estas especificações 97 Uma luz de comprimento de onda λ é usada em um interferômetro de Michelson Seja x a posição do espelho móvel com x 0 no ponto em que os braços têm comprimentos iguais Escreva uma expressão para a intensidade da luz observada em função de x chamando de Im a intensidade máxima 98 Em dois experimentos dois raios luminosos percorrem diferentes trajetórias sofrendo reflexões em espelhos planos como na Fig 3535 No primeiro experimento os raios 1 e 2 estão inicialmente em fase e têm um comprimento de onda de 6200 nm No segundo experimento os raios 1 e 2 estão inicialmente em fase e têm um comprimento de onda de 4960 nm Qual é o menor valor da distância L para que as ondas de 6200 nm deixem a região em fase e as ondas de 4960 nm deixem a região com fases opostas 99 A Fig 3558 mostra um jogo de fliperama que foi lançado no Texas Quatro pistolas de laser são apontadas para o centro de um conjunto de placas de plástico onde se encontra o alvo um tatu de barro Os índices de refração das placas são n1 155 n2 170 n3 145 n4 160 n5 145 n6 161 n7 159 n8 170 e n9 160 A espessura das camadas é 200 mm ou 400 mm como mostra a figura Determine o tempo que a luz leva para chegar à região central para um disparo a da pistola 1 b da pistola 2 c da pistola 3 e d da pistola 4 e Se as quatro pistolas forem disparadas simultaneamente que disparo será o primeiro a atingir o alvo Figura 3558 Problema 99 100 Um filme fino suspenso no ar tem 0410 μm de espessura e é iluminado com luz branca que incide perpendicularmente na superfície do filme O índice de refração do filme é 150 Para qual comprimento de onda a luz visível que é refletida pelas duas superfícies do filme sofre interferência construtiva 101 Determine a distância entre as fendas em um sistema de fenda dupla que produz franjas de interferência separadas por 0018 rad em uma tela distante quando a luz tem um comprimento de onda λ 589 nm 102 Em um diagrama fasorial das ondas que se combinam para um ponto qualquer da tela de observação do experimento de dupla fenda da Fig 3510 o fasor da onda resultante gira de 600 em 250 1016 s Qual é o comprimento de onda da luz 103 Na Fig 3559 uma gota de óleo n 120 flutua na superfície da água n 133 e é observada de cima enquanto a luz solar incide verticalmente na gota e é refletida verticalmente a A parte externa mais fina da gota é mais clara ou mais escura que a parte central A gota apresenta várias séries de anéis coloridos b Determine a espessura da gota no local do terceiro anel azul de fora para dentro usando um comprimento de onda de 475 nm para a luz azul c Por que quando a espessura da gota aumenta os anéis coloridos ficam cada vez mais fracos e finalmente desaparecem Figura 3559 Problema 103 104 Espelho de Lloyd Na Fig 3560 uma luz monocromática de comprimento de onda λ é difratada por uma fenda estreita S de um anteparo Do outro lado estão um espelho plano perpendicular ao anteparo a uma distância vertical h da fenda e uma tela de observação A Como a tela está no plano focal da lente podemos supor que a distância efetiva entre a tela e o anteparo é muito maior que h Como essa é a única função da lente podemos ignorála ao resolver o problema A luz que chega à tela diretamente da fenda interfere na luz que chega à tela depois de ser refletida pelo espelho A reflexão produz um deslocamento de fase de meio comprimento de onda a A franja que corresponde a uma diferença de percurso nula é clara ou escura Escreva expressões como as Eqs 3514 e 3516 para a posição b das franjas claras e c das franjas escuras da figura de interferência Sugestão Considere a imagem da fenda S produzida pelo espelho como se fosse a segunda fenda do experimento de Young Figura 3560 Problema 104 105 As duas fontes pontuais da Fig 3561 emitem ondas coerentes Mostre que são hipérboles todas as curvas como as que aparecem na figura para as quais a diferença de fase entre os raios r1 e r2 é constante Sugestão Uma diferença de fase constante significa uma diferença constante entre as distâncias r1 e r2 Figura 3561 Problema 105 CAPÍTULO 36 Difração 361 DIFRAÇÃO POR UMA FENDA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3601 Descrever a difração de ondas luminosas por uma fenda estreita e um obstáculo e descrever as figuras de interferência resultantes 3602 Descrever o experimento que confirmou a existência do ponto claro de Fresnel 3603 Usar um desenho para descrever a difração por uma fenda 3604 Usar um desenho para explicar de que forma a divisão de uma fenda em várias partes permite obter a equação que fornece os ângulos dos mínimos da figura de difração 3605 Conhecer as relações entre a largura de uma fenda ou de um obstáculo o comprimento de onda da luz os ângulos dos mínimos da figura de difração a distância da tela de observação e a distância entre os mínimos e o centro da figura de difração 3606 Desenhar a figura de difração produzida por uma luz monocromática identificando o máximo central e algumas franjas claras e escuras como por exemplo o primeiro mínimo 3607 Saber o que acontece com a figura de difração quando o comprimento de onda da luz varia e quando a largura da fenda ou do obstáculo responsável pela difração varia IdeiasChave Quando as ondas encontram um obstáculo ou uma fenda de dimensões comparáveis com o comprimento de onda as ondas se espalham e sofrem interferência Esse tipo de interferência é chamado de difração Quando a luz passa por uma fenda estreita de largura a produz em uma tela de observação uma figura de difração de uma fenda que consiste em um máximo central franja clara e uma série de franjas claras laterais separadas por mínimos cujas posições angulares são dadas pela equação a sen θ mλ para m 1 2 3 mínimos em que θ é o ângulo do mínimo em relação ao eixo central e λ é o comprimento de onda da luz Os máximos estão situados aproximadamente a meio caminho entre os mínimos O que É Física Um dos objetivos da física no estudo da luz é compreender e utilizar a difração sofrida pela luz ao atravessar uma fenda estreita ou como veremos a seguir ao passar por um obstáculo Já mencionamos esse fenômeno no Capítulo 35 quando dissemos que um feixe luminoso se alarga ao passar por fendas no experimento de Young Acontece que a difração causada por uma fenda é um fenômeno mais complexo que um simples alargamento pois a luz também interfere consigo mesma produzindo uma figura de interferência É graças a complicações como essa que a luz pode ser usada em muitas aplicações Embora a difração da luz ao atravessar uma fenda ou passar por um obstáculo possa parecer uma questão puramente acadêmica muitos cientistas e engenheiros ganham a vida usando esse fenômeno para o qual existe um número incontável de aplicações Antes de discutir algumas dessas aplicações vamos examinar a relação entre a difração e a natureza ondulatória da luz Difração e a Teoria Ondulatória da Luz No Capítulo 35 definimos difração sem muito rigor como o alargamento sofrido por um feixe luminoso ao passar por uma fenda estreita Algo mais acontece porém já que a difração além de alargar um feixe luminoso produz uma figura de interferência conhecida como figura de difração Quando a luz monocromática de uma fonte distante ou de um laser passa por uma fenda estreita e é interceptada por uma tela de observação aparece na tela uma figura de difração como a mostrada na Fig 361 A figura é formada por um máximo central largo e intenso muito claro e uma série de máximos mais estreitos e menos intensos que são chamados de máximos secundários ou laterais dos dois lados do máximo central Os máximos são separados por mínimos A luz também chega a essas regiões mas as ondas luminosas se cancelam mutuamente Uma figura como essa não pode ser explicada pela ótica geométrica Se a luz viajasse em linha reta na forma de raios a fenda permitiria que alguns raios passassem e produzissem na tela uma imagem nítida da fenda de cor clara em lugar da série de franjas claras e escuras que vemos na Fig 361 Como no Capítulo 35 somos forçados a concluir que a ótica geométrica é apenas uma aproximação Obstáculos A difração da luz não está limitada a situações em que a luz passa por uma abertura estreita como uma fenda ou um orifício ela também acontece quando a luz encontra obstáculos como as bordas da lâmina de barbear da Fig 362 Observe as linhas de máxima e mínima iluminação aproximadamente paralelas tanto às bordas externas como às bordas internas Quando a luz passa digamos pela borda vertical da esquerda ela é espalhada para a direita e para a esquerda e sofre interferência produzindo franjas claras e escuras ao longo da borda A extremidade direita da figura de interferência está na verdade em uma região que ficaria na sombra da lâmina se a ótica geométrica prevalecesse Moscas Volantes Encontramos um exemplo simples de difração quando olhamos para um céu sem nuvens e vemos pequenos pontos e filamentos flutuando diante dos olhos Essas moscas volantes como são chamadas aparecem quando a luz passa por pequenos depósitos opacos existentes no humor vítreo a substância gelatinosa que ocupa a maior parte do globo ocular O que vemos quando uma mosca volante entra em nosso campo visual é a figura de difração produzida por um desses depósitos Quando olhamos para o céu através de um orifício feito em uma folha opaca de modo a tornar a luz que chega ao olho uma onda aproximadamente plana podemos ver claramente os máximos e mínimos da figura de difração Megafones A difração é um efeito ondulatório ou seja acontece porque a luz é uma onda e também é observada em outros tipos de onda Quando você fala para uma multidão por exemplo sua voz pode ser não ouvida porque as ondas sonoras sofrem uma difração ao passarem pela abertura estreita da boca espalhandose e reduzindo a intensidade do som que chega aos ouvintes que estão situados à sua frente Para combater a difração você pode utilizar um megafone Nesse caso as ondas sonoras emergem de uma abertura muito maior na extremidade do megafone Isso faz com que as ondas se espalhem menos e o som chegue aos ouvintes com maior intensidade Ken KayFundamental Photographs Figura 361 Esta figura de difração apareceu em uma tela de observação quando a luz que havia passado por uma fenda vertical estreita chegou à tela A difração fez com que o feixe luminoso se alargasse perpendicularmente à maior dimensão da fenda produzindo uma figura de interferência constituída por um máximo central e máximos secundários ou laterais menos intensos separados por mínimos Ken KayFundamental Photographs Figura 362 Figura de difração produzida por uma lâmina de barbear iluminada com luz monocromática Observe as linhas alternadamente claras e escuras paralelas às bordas da lâmina O Ponto Claro de Fresnel O fenômeno da difração é explicado facilmente pela teoria ondulatória da luz Essa teoria porém proposta originalmente por Huygens no final do século XVII e usada 123 anos mais tarde por Young para explicar o fenômeno na interferência nos experimentos de dupla fenda levou muito tempo para ser aceita pela maioria dos cientistas provavelmente porque não estava de acordo com a teoria de Newton de que a luz é feita de partículas A teoria de Newton dominava os círculos científicos franceses no início do século XIX época em que Augustin Fresnel era um jovem engenheiro militar Fresnel que acreditava na teoria ondulatória da luz submeteu um artigo à Academia Francesa de Ciências no qual descrevia seus experimentos com a luz e os explicava usando a teoria ondulatória Em 1819 a Academia dominada por partidários de Newton e disposta a provar que a teoria ondulatória estava errada promoveu um concurso no qual seria premiado o melhor trabalho sobre difração O vencedor foi Fresnel Os newtonianos porém não se deixaram convencer nem se calaram Um deles S D Poisson chamou atenção para o estranho fato de que se a teoria de Fresnel estivesse correta as ondas luminosas convergiriam para a sombra de uma esfera ao passarem pela borda do objeto produzindo um ponto luminoso no centro da sombra A comissão julgadora realizou um teste e descobriu Fig 363 que o ponto claro de Fresnel como é hoje chamado realmente existia Nada melhor para convencer os incrédulos de que uma teoria está correta do que a verificação experimental de uma previsão inesperada e aparentemente absurda Cortesia de Jearl Walker Figura 363 Fotografia da figura de difração produzida por um disco Observe os anéis de difração concêntricos e o ponto claro de Fresnel no centro Este experimento é praticamente igual ao que foi realizado pela comissão julgadora para testar a teoria de Fresnel pois tanto a esfera usada pela comissão como o disco usado para obter esta foto possuem uma seção reta com uma borda circular Difração por uma Fenda Posições dos Mínimos Vamos agora estudar a figura produzida por ondas luminosas planas de comprimento de onda λ ao serem difratadas por um anteparo B com uma fenda estreita e comprida de largura a como a que aparece na Fig 364 Na figura a dimensão maior da fenda é perpendicular ao papel e as frentes de onda da luz incidente são paralelas ao anteparo B Quando a luz difratada chega à tela de observação C ondas provenientes de diferentes pontos da fenda sofrem interferência e produzem na tela uma série de franjas claras e escuras máximos e mínimos de interferência Para determinar a posição das franjas vamos usar um método semelhante ao que empregamos para determinar a posição das franjas de interferência produzidas no experimento de dupla fenda No caso da difração as dificuldades matemáticas são bem maiores que no caso da dupla fenda de modo que obteremos apenas uma expressão para as franjas escuras Antes porém podemos justificar a franja clara central da Fig 361 observando que as ondas secundárias de Huygens provenientes de bordas opostas da fenda percorrem aproximadamente a mesma distância para chegar ao centro da figura e portanto estão em fase nessa região Quanto às outras franjas claras podemos dizer apenas que se encontram aproximadamente a meio caminho das franjas escuras mais próximas Pares Para determinar a posição das franjas escuras recorremos a um artifício engenhoso que consiste em dividir em pares todos os raios que passam pela fenda e descobrir as condições para que as ondas secundárias associadas aos raios de cada par se cancelem mutuamente Usamos essa estratégia na Fig 364 para determinar a posição da primeira franja escura ponto P1 Em primeiro lugar dividimos mentalmente a fenda em duas regiões de mesma largura a2 Em seguida estendemos até P1 um raio luminoso r1 proveniente da extremidade superior da região de cima e um raio luminoso r2 proveniente da extremidade superior da região de baixo Traçamos também um eixo central que passa pelo centro da fenda e é perpendicular à tela C a posição do ponto P1 pode ser definida pelo ângulo θ entre a reta que liga o centro da fenda ao ponto P1 e o eixo central Diferenças de Percurso As ondas secundárias associadas aos raios r1 e r2 estão em fase ao saírem da fenda porque pertencem à mesma frente de onda mas para produzirem a primeira franja escura devem estar defasadas de λ2 ao chegarem ao ponto P1 Essa diferença de fase se deve à diferença de percurso a distância é maior para o raio r2 que para o raio r1 Para determinar a diferença escolhemos um ponto b da trajetória do raio r2 tal que a distância de b a P1 seja igual à distância total percorrida pelo raio r1 Nesse caso a diferença entre as distâncias percorridas pelos dois raios é igual à distância entre b e o centro da fenda Quando a tela de observação C está próxima do anteparo B como na Fig 364 a figura de difração que aparece na tela C é difícil de descrever matematicamente Os cálculos se tornam muito mais simples quando a distância D entre a tela C e o anteparo B é muito maior que a largura a da fenda Nesse caso podemos supor que r1 e r2 são aproximadamente paralelos e fazem um ângulo θ com o eixo central Fig 365 Podemos também supor que o triângulo formado pelo ponto b pela extremidade superior da fenda e pelo centro da fenda é um triângulo retângulo e que um dos ângulos internos do triângulo é θ A diferença entre as distâncias percorridas pelos raios r1 e r2 que nessa aproximação continua a ser a distância entre o centro da fenda e o ponto b é igual a a2 sen θ Figura 364 Os raios provenientes da extremidade superior de duas regiões de largura a2 sofrem interferência destrutiva no ponto P1 da tela de observação C Figura 365 Para D a podemos supor que os raios r1 e r2 são aproximadamente paralelos e fazem um ângulo θ com o eixo central Figura 366 a Os raios provenientes da extremidade superior de quatro regiões de largura a4 sofrem interferência destrutiva no ponto P2 b Para D a podemos supor que os raios r1 r2 r3 e r4 são aproximadamente paralelos e fazem um ângulo θ com o eixo central Primeiro Mínimo Podemos repetir essa análise para qualquer outro par de raios que se originem em pontos correspondentes das duas regiões nos pontos médios das regiões por exemplo e terminem no ponto P1 Para todos esses raios a diferença entre as distâncias percorridas é a2 sen θ Fazendo essa diferença igual a λ2 a condição para que o ponto P1 pertença à primeira franja escura obtemos que nos dá Dados o comprimento de onda λ e a largura da fenda a a Eq 361 permite calcular o ângulo θ correspondente à primeira franja escura acima e por simetria abaixo do eixo central Estreitando a Fenda Observe que se começarmos com a λ e tornarmos a fenda cada vez mais estreita mantendo o comprimento de onda constante o ângulo para o qual aparece a primeira franja escura se tornará cada vez maior em outras palavras a difração espalhamento da luz é maior para fendas mais estreitas Quando a largura da fenda é igual ao comprimento de onda ou seja quando a λ o ângulo correspondente à primeira franja escura é 90 Como são as primeiras franjas escuras que delimitam a franja clara central isso significa que nessas condições toda a tela de observação é iluminada Segundo Mínimo A posição da segunda franja escura pode ser determinada da mesma forma exceto pelo fato de que agora dividimos a fenda em quatro regiões de mesma largura a4 como na Fig 366a Em seguida traçamos raios r1 r2 r3 e r4 da extremidade superior de cada uma dessas regiões até o ponto P2 onde está localizada a segunda franja escura acima do eixo central Para que essa franja seja produzida é preciso que as diferenças entre as distâncias percorridas pelos raios r1 e r2 r2 e r3 e r3 e r4 sejam iguais a λ2 Para D a podemos supor que os quatro raios são aproximadamente paralelos e fazem um ângulo θ com o eixo central Para determinar as diferenças entre as distâncias percorridas traçamos perpendiculares que vão da extremidade superior de cada região até o raio mais próximo como na Fig 366b formando assim triângulos retângulos para os quais um dos catetos é a diferença entre as distâncias percorridas por raios vizinhos No caso do triângulo de cima da Fig 366b a diferença entre as distâncias percorridas por r1 e r2 é a4 sen θ No caso do triângulo de baixo a diferença entre as distâncias percorridas por r3 e r4 também é a4 sen θ Na verdade a diferença entre as distâncias percorridas por dois raios vizinhos é sempre a4 sen θ Fazendo essa diferença igual a λ2 obtemos que nos dá Todos os Mínimos Se continuássemos a calcular as posições das franjas escuras dividindo a fenda em um número cada vez maior de regiões chegaríamos à conclusão de que as posições das franjas escuras acima e abaixo do eixo central são dadas pela seguinte equação geral Este resultado pode ser interpretado de outra forma Desenhe um triângulo como o da Fig 365 mas com a largura total a da fenda e observe que a diferença entre as distâncias percorridas pelos raios que partem das extremidades superior e inferior da fenda é a sen θ Assim de acordo com a Eq 363 temos Em um experimento de difração por uma fenda as franjas escuras correspondem às posições para as quais a diferença de percurso a sen θ entre os raios superior e inferior é igual a λ 2λ 3λ Isso pode parecer estranho já que as ondas dos dois raios estão em fase quando a diferença de percurso é igual a um número inteiro de comprimentos de onda Entretanto essas ondas pertencem a um par de ondas de fases opostas ou seja cada uma dessas ondas é cancelada por uma outra onda o que resulta em uma franja escura Duas ondas luminosas de fases opostas se cancelam mutuamente mesmo que estejam em fase com outras ondas Uso de uma Lente As Eqs 361 362 e 363 foram deduzidas para o caso em que D a Entretanto também são válidas se colocarmos uma lente convergente entre a fenda e a tela de observação e posicionarmos a tela no plano focal da lente Nesse caso a lente faz com que os raios que chegam a qualquer ponto da tela sejam exatamente e não aproximadamente paralelos ao deixarem a fenda Eles são como os raios inicialmente paralelos da Fig 3414a que são concentrados no foco por uma lente convergente Teste 1 Uma figura de difração é produzida em uma tela iluminando uma fenda longa e estreita com luz azul A figura se dilata os máximos e mínimos se afastam do centro ou se contrai os máximos e mínimos de aproximam do centro quando a substituímos a luz azul por uma luz amarela ou b quando diminuímos a largura da fenda Exemplo 3601 Figura de difração de uma fenda iluminada com luz branca Uma fenda de largura a é iluminada com luz branca aPara qual valor de a o primeiro mínimo para a luz vermelha com λ 650 nm aparece em θ 15 IDEIACHAVE A difração ocorre separadamente para cada comprimento de onda presente na luz que passa pela fenda com as localizações dos mínimos para cada comprimento de onda dadas pela Eq 363 a sen θ mλ Cálculo Fazendo m 1 na Eq 363 já que se trata do primeiro mínimo e usando os valores conhecidos de θ e λ obtemos O resultado mostra que para o espalhamento da luz incidente ser tão grande 15 até o primeiro mínimo é preciso que a fenda seja muito estreita da ordem de apenas quatro vezes o comprimento de onda Observe para efeito de comparação que um fio de cabelo humano tem cerca de 100 μm de diâmetro b Qual é o comprimento de onda λ da luz cujo primeiro máximo secundário está em 15 coincidindo assim com o primeiro mínimo para a luz vermelha IDEIACHAVE Para qualquer comprimento de onda o primeiro máximo secundário de difração fica aproximadamente1 a meio caminho entre o primeiro e o segundo mínimos Cálculos As posições do primeiro e do segundo mínimos são dadas pela Eq 363 com m 1 e m 2 respectivamente Isso significa que a posição aproximada do primeiro máximo secundário pode ser obtida fazendo m 15 na Eq 363 Assim temos a sen θ 15λ Explicitando λ e usando os valores conhecidos de a e θ obtemos Esse comprimento de onda corresponde a uma luz violeta que está no extremo azul do espectro visível perto do limite de sensibilidade do olho humano Como a razão λλ não depende de a o primeiro máximo secundário para uma luz com um comprimento de onda de 430 nm sempre coincide com o primeiro mínimo para uma luz com um comprimento de onda de 650 nm qualquer que seja a largura da fenda Por outro lado o ângulo θ para o qual são observados esse máximo e esse mínimo depende da largura da fenda Quanto mais estreita a fenda maior o valor de θ e viceversa 362 INTENSIDADE DA LUZ DIFRATADA POR UMA FENDA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3608 Dividir uma fenda em várias regiões de mesma largura e escrever uma expressão para a diferença de fase das ondas secundárias produzidas por regiões vizinhas em função da posição angular θ do ponto na tela de observação 3609 No caso da difração por uma fenda desenhar diagramas fasoriais para o máximo central e alguns dos máximos e mínimos laterais indicando a diferença de fase entre fasores vizinhos explicando como é calculado o campo elétrico e indicando a parte correspondente da figura de difração 3610 Descrever a figura de difração em termos do campo elétrico total em vários pontos da figura 3611 Calcular o valor de α um parâmetro que relaciona a posição angular θ de um ponto da figura de difração à intensidade I da luz nesse ponto 3612 Dado um ponto da figura de difração calcular a intensidade I da luz nesse ponto em termos da intensidade Im da luz no centro da figura de difração IdeiaChave A intensidade de um ponto da figura de difração especificado pelo ângulo θ é dada por em que Im é a intensidade da luz no centro da figura de difração e Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda Método Qualitativo No Módulo 361 vimos como encontrar as posições dos mínimos e máximos da figura de difração produzida por uma fenda Agora vamos examinar um problema mais geral como encontrar uma expressão para a intensidade I da luz difratada em função de θ a posição angular do ponto na tela de observação Para isso dividimos a fenda da Fig 364 em N regiões de largura Δx suficientemente estreitas para que possamos supor que cada região se comporta como uma fonte de ondas secundárias de Huygens Estamos interessados em combinar as ondas secundárias que chegam a um ponto arbitrário P na tela de observação definido por um ângulo θ em relação ao eixo central para determinar a amplitude Eθ da componente elétrica da onda resultante no ponto P A intensidade da luz no ponto P é proporcional ao quadrado de Eθ Para calcular Eθ precisamos conhecer as fases relativas das ondas secundárias A diferença de fase entre as ondas secundárias provenientes de regiões vizinhas é dada por No caso do ponto P definido pelo ângulo θ a diferença de percurso das ondas secundárias provenientes de regiões vizinhas é Δx sen θ a diferença de fase correspondente Δϕ é dada por Vamos supor que as ondas secundárias que chegam ao ponto P têm a mesma amplitude ΔE Uma forma de calcular a amplitude Eθ da onda resultante no ponto P é somar as ondas secundárias usando o método dos fasores Para isso construímos um diagrama de N fasores cada um correspondendo à onda secundária proveniente de uma das regiões da fenda Máximo Central No caso do ponto P0 em θ 0 situado no eixo central da Fig 364 a Eq 364 nos diz que a diferença de fase Δϕ entre as ondas secundárias é zero ou seja todas as ondas secundárias chegam em fase A Fig 367a mostra o diagrama fasorial correspondente os fasores vizinhos representam ondas secundárias provenientes de regiões vizinhas e estão dispostos em linha Como a diferença de fase entre as ondas secundárias vizinhas é zero o ângulo entre fasores vizinhos também é zero A amplitude Eθ da onda total no ponto P0 é a soma vetorial desses fasores A disposição da Fig 36 7a é a que resulta no maior valor possível da amplitude Eθ Vamos chamar esse valor de Em em outras palavras Em é o valor de Eθ para θ 0 Figura 367 Diagramas fasoriais para N 18 fasores o que equivale a dividir uma fenda em 18 regiões As amplitudes Eθ resultantes são mostradas a para o máximo central em θ 0 b para um ponto na tela que corresponde a um pequeno ângulo θ com o eixo central c para o primeiro mínimo e d para o primeiro máximo secundário Considere em seguida um ponto P correspondente a um pequeno ângulo θ em relação ao eixo central Nesse caso de acordo com a Eq 364 a diferença Δϕ entre as fases de ondas secundárias provenientes de regiões vizinhas é diferente de zero A Fig 367b mostra o digrama fasorial correspondente como antes os fasores estão dispostos em sequência mas agora existe um ângulo Δϕ entre fasores vizinhos A amplitude Eθ no novo ponto ainda é a soma vetorial dos fasores mas é menor do que na Fig 367a o que significa que a intensidade luminosa é menor no novo ponto P que em P0 Primeiro Mínimo Se continuamos a aumentar θ o ângulo Δϕ entre fasores vizinhos aumenta até o ponto em que a cadeia de fasores dá uma volta completa Fig 367c Isso significa que a amplitude Eθ é zero a intensidade luminosa também é zero e chegamos ao primeiro mínimo ou primeira franja escura da figura de difração Nesse ponto a diferença de fase entre o primeiro e o último fasor é 2π rad portanto a diferença entre as distâncias percorridas pelos raios provenientes da extremidade superior e da extremidade inferior da fenda é igual a um comprimento de onda O leitor deve se lembrar de que essa foi exatamente a condição encontrada para a posição do primeiro mínimo Primeiro Máximo Lateral Se continuamos a aumentar θ o ângulo Δϕ entre os fasores vizinhos também aumenta e a cadeia de fasores dá mais de uma volta em torno de si mesma enquanto o raio da circunferência resultante diminui progressivamente A amplitude Eθ volta a aumentar até atingir um valor máximo para a disposição que aparece na Fig 367d que corresponde ao primeiro máximo lateral da figura de difração Segundo Mínimo Quando aumentamos θ ainda mais o raio da circunferência formada pelos fasores continua a diminuir o que significa que a intensidade luminosa também diminui A certa altura a cadeia de fasores completa duas voltas inteiras o que corresponde ao segundo mínimo de difração Poderíamos continuar usando esse método qualitativo para determinar os outros máximos e mínimos da figura de difração entretanto como o leitor já deve ter assimilado a ideia geral vamos passar a outro método menos gráfico e mais matemático Teste 2 As figuras representam de modo mais preciso com mais fasores que na Fig 367 os diagramas fasoriais para dois pontos de uma figura de difração que estão em lados opostos de um máximo de difração a Qual é esse máximo b Qual é o valor aproximado de m na Eq 363 que corresponde a esse máximo Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda Método Quantitativo A Eq 363 pode ser usada para calcular a posição dos mínimos da figura de difração produzida por uma fenda em função do ângulo θ da Fig 364 Agora estamos interessados em obter uma expressão para a intensidade Iθ da figura de difração em função de θ Vamos demonstrar que a intensidade é dada por em O símbolo α é apenas um parâmetro conveniente para expressar a relação entre o ângulo θ que especifica a posição de um ponto na tela de observação e a intensidade luminosa Iθ nesse ponto Im é o valor máximo da intensidade que ocorre no máximo central ou seja para θ 0 ϕ é a diferença de fase em radianos entre os raios provenientes da extremidade superior e inferior da fenda e a é a largura da fenda De acordo com a Eq 365 os mínimos de intensidade ocorrem nos pontos em que Substituindo esse resultado na Eq 366 obtemos ou que é exatamente a Eq 363 a expressão que obtivemos anteriormente para a localização dos mínimos Gráficos A Fig 368 mostra os gráficos de intensidade da luz difratada por uma fenda calculados com o auxílio das Eqs 365 e 366 para três larguras diferentes da fenda a λ a 5λ e a 10λ Observe que a largura do máximo central diminui quando a largura da fenda aumenta ou seja os raios luminosos são menos espalhados pela fenda Os máximos secundários também ficam mais estreitos e diminuem de intensidade Quando a largura da fenda a é muito maior que o comprimento de onda λ os máximos secundários desaparecem e o fenômeno não pode mais ser considerado como difração por uma fenda embora ainda seja possível observar a difração produzida separadamente pelas duas bordas da fenda como acontece no caso da lâmina de barbear da Fig 362 Figura 368 Intensidade relativa da difração de uma fenda em função de θ para três valores da razão a λ Quanto mais larga é a fenda mais estreito é o máximo central Demonstração das Eqs 365 e 366 Para expressar a intensidade I da figura de difração em função do ângulo θ da Fig 364 dividimos a fenda em muitas regiões e somamos os fasores correspondentes a essas regiões como fizemos na Fig 36 7 O arco de fasores da Fig 369 representa as ondas secundárias que atingem um ponto arbitrário P da tela de observação da Fig 364 que corresponde a um certo ângulo θ A amplitude Eθ da onda resultante no ponto P é a soma vetorial desses fasores Quando dividimos a fenda da Fig 364 em regiões cada vez menores de largura Δx o arco de fasores da Fig 369 tende a um arco de circunferência vamos chamar de R o raio desse arco como está indicado na figura O comprimento do arco é Em a amplitude da onda no centro da figura de difração já que se o ângulo entre fasores sucessivos fosse zero como na Fig 36 7a ou como está indicado em tom mais claro na própria Fig 369 esse seria o valor da amplitude da onda resultante O ângulo ϕ que está indicado na parte inferior da Fig 369 é a diferença de fase entre os vetores infinitesimais situados das extremidades do arco Em De acordo com a geometria da figura ϕ também é o ângulo entre os raios assinalados como R na Fig 369 Nesse caso a reta tracejada da figura que é a bissetriz de ϕ divide o triângulo formado pelos dois raios e a reta Eθ em dois triângulos iguais Para cada um desses triângulos podemos escrever Em radianos ϕ é dado considerando Em um arco de circunferência por Explicitando R nessa equação e substituindo na Eq 369 obtemos Intensidade Vimos no Módulo 332 que a intensidade de uma onda eletromagnética é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico No caso que estamos examinando isso significa que a intensidade máxima Im que ocorre no centro da figura de difração é proporcional a E2 m e a intensidade Iθ no ponto correspondente ao ângulo θ é proporcional a E2 θ Assim podemos escrever Substituindo Eθ pelo seu valor dado pela Eq 3610 e fazendo α 12ϕ chegamos à seguinte expressão para a intensidade da onda em função de θ Esta é exatamente a Eq 365 uma das duas equações que nos propusemos a demonstrar A segunda equação que queremos demonstrar é a que relaciona α a θ A diferença de fase ϕ entre os raios que partem das extremidades superior e inferior da fenda pode ser relacionada à diferença de percurso pela Eq 364 segundo a qual em que a é a soma das larguras Δx de todas as regiões Como ϕ 2α essa equação é equivalente à Eq 366 Figura 369 Construção usada para calcular a intensidade da difração de uma fenda A situação representada corresponde à da Fig 367b Teste 3 Dois comprimentos de onda 650 e 430 nm são usados separadamente em um experimento de difração por uma fenda A figura mostra os resultados na forma de gráficos da intensidade I em função do ângulo θ para as duas figuras de difração Se os dois comprimentos de onda forem usados simultaneamente que cor será vista na figura de difração resultante a na posição correspondente ao ângulo A e b na posição correspondente ao ângulo B Exemplo 3602 Intensidades dos máximos de uma figura de difração de uma fenda Determine as intensidades dos três primeiros máximos secundários da figura de difração de uma fenda da Fig 361 expressas como porcentagens da intensidade do máximo central IDEIASCHAVE Os máximos secundários estão aproximadamente1 a meio caminho entre os mínimos cujas localizações são dadas pela Eq 367 α mπ As localizações dos máximos secundários são portanto dadas aproximadamente por em que α é medido em radianos Podemos relacionar a intensidade I em qualquer ponto da figura de difração à intensidade Im do máximo central pela Eq 365 Cálculos Substituindo os valores aproximados de α para os máximos secundários na Eq 365 obtemos O primeiro máximo secundário corresponde a m 1 e sua intensidade relativa é Para m 2 e m 3 obtemos Como mostram esses resultados a intensidade dos máximos secundários é muito menor que a do máximo principal a fotografia da Fig 361 foi deliberadamente superexposta para tornálos mais visíveis 363 DIFRAÇÃO POR UMA ABERTURA CIRCULAR Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3613 Descrever e desenhar a figura de difração produzida por uma abertura ou um obstáculo circular 3614 No caso da difração por uma abertura conhecer as relações entre o ângulo θ correspondente ao primeiro mínimo o comprimento de onda λ da luz o diâmetro d da abertura a distância D da tela de observação e a distância y entre o mínimo e o centro da figura de difração 3615 Explicar com base na difração de objetos pontuais o modo como a difração limita a resolução visual dos objetos 3616 Saber que o critério de Rayleigh é usado para determinar o menor ângulo para o qual dois objetos pontuais podem ser vistos como objetos separados 3617 Conhecer as relações entre o ângulo θR do critério de Rayleigh o comprimento de onda λ da luz o diâmetro d da abertura como por exemplo o diâmetro da pupila o ângulo θ subtendido por dois objetos pontuais distantes e a distância L desses objetos IdeiasChave A difração por uma abertura circular ou por uma lente produz um máximo central e máximos e mínimos concêntricos com o ângulo θ correspondente ao primeiro mínimo dado por De acordo com o critério de Rayleigh dois objetos estão no limite da resolução quando o máximo central de difração de um dos objetos coincide com o primeiro mínimo de difração do outro objeto Isso significa que para que os dois objetos sejam vistos como objetos distintos a separação angular entre eles não pode ser menor que em que λ é o comprimento de onda da luz e d é o diâmetro da abertura que a luz atravessa Difração por uma Abertura Circular Vamos discutir agora a difração produzida por uma abertura circular A Fig 3610 mostra a imagem formada pela luz de um laser depois de passar por uma abertura circular de diâmetro muito pequeno A imagem não é um ponto como prevê a ótica geométrica mas um disco luminoso cercado por anéis claros e escuros Comparando essa imagem com a da Fig 361 tornase óbvio que estamos diante de um fenômeno de difração Neste caso porém a abertura é um círculo de diâmetro d em vez de uma fenda retangular A análise do problema que é muito complexa e não será reproduzida aqui mostra que a posição do primeiro mínimo da figura de difração de uma abertura circular de diâmetro d é dada por θ é o ângulo entre o eixo central e a reta que liga o centro do anel à posição do mínimo Compare a Eq 3612 com a Eq 361 usada para calcular a posição do primeiro mínimo no caso de uma fenda de largura a A diferença está no fator 122 que aparece por causa da forma circular da abertura Cortesia de Jearl Walker Figura 3610 Figura de difração de uma abertura circular Observe o máximo central e os máximos secundários circulares A fotografia foi superexposta para tornar mais visíveis os máximos secundários que são muito menos intensos que o máximo central Resolução O fato de que as imagens produzidas por lentes são figuras de difração é importante quando estamos interessados em resolver distinguir dois objetos pontuais distantes cuja separação angular é pequena A Fig 3611 mostra em três casos diferentes o aspecto visual e o gráfico de intensidade correspondente de dois objetos pontuais distantes estrelas por exemplo com pequena separação angular Na Fig 3611a os objetos não podem ser resolvidos por causa da difração em outras palavras a superposição entre as figuras de difração dos dois objetos especialmente dos máximos centrais é tão grande que os dois objetos não podem ser distinguidos de um objeto único Na Fig 3611b os objetos mal podem ser distinguidos na Fig 3611c são vistos claramente como objetos distintos Cortesia de Jearl Walker Figura 3611 Na parte superior da figura imagens de duas fontes pontuais estrelas formadas por uma lente convergente Na parte inferior representações da intensidade das imagens Em a a separação angular das fontes é pequena demais para que as fontes possam ser distinguidas em b as fontes mal podem ser distinguidas em c as fontes podem ser perfeitamente distinguidas O critério de Rayleigh é satisfeito em b com o máximo de uma das figuras de difração coincidindo com o mínimo da outra Na Fig 3611b a separação angular das duas fontes pontuais é tal que o máximo central da figura de difração de uma das fontes coincide com o primeiro mínimo da figura de difração da outra uma situação conhecida como critério de Rayleigh para a resolução De acordo com a Eq 3612 dois objetos que mal podem ser distinguidos segundo esse critério têm uma separação angular θR dada por Como os ângulos são pequenos podemos substituir sen θR por θR expresso em radianos Visão Humana No caso da visão humana o critério de Rayleigh é apenas uma aproximação já que a resolução depende de muitos fatores como a intensidade relativa das fontes e suas vizinhanças da turbulência do ar entre as fontes e o observador e de certas peculiaridades do sistema visual do observador Os resultados experimentais mostram que a menor separação angular que pode ser resolvida por um ser humano é um pouco maior do que o valor dado pela Eq 3614 Mesmo assim em nossos cálculos teóricos vamos tomar a Eq 3614 como se fosse um critério preciso Se a separação angular θ entre as fontes for maior que θR vamos supor que podemos distinguilas se a separação for menor que esse valor vamos supor que as fontes não podem ser distinguidas Pontilhismo O critério de Rayleigh pode explicar o que acontece com as cores no estilo de pintura conhecido como pontilhismo Fig 3612 Nesse estilo uma pintura é formada não por pinceladas mas por pequenos pontos coloridos Um aspecto fascinante da pintura pontilhista é que as cores do quadro variam de forma sutil quase subconsciente com a distância do observador Essa mudança das cores tem a ver com a resolução do olho humano Quando examinamos o quadro bem de perto a separação angular θ entre pontos vizinhos é maior que θR e portanto os pontos podem ser vistos separadamente Nesse caso as cores que observamos são as cores usadas pelo pintor À distância normal por outro lado a separação angular θ entre pontos vizinhos é menor que θR e os pontos não podem ser distinguidos A mistura resultante obriga o cérebro a inventar uma cor para cada grupo de pontos cor essa que em muitos casos não corresponde a nenhuma das cores presentes Um pintor pontilhista usa portanto o sistema visual do espectador para criar as cores que deseja mostrar no quadro Maximilien Luce O Sena em Herblay 1890 Musée dOrsay Paris França Foto de Erich LessingArt Resource Figura 3612 A pintura pontilhista O Sena em Herblay de Maximilien Luce é formada por milhares de pontos coloridos Só podemos ver os pontos e as cores verdadeiras se examinarmos a pintura de perto quando observamos o quadro à distância normal os pontos não podem ser resolvidos e as cores se misturam Quando usamos uma lente para observar objetos cuja separação angular é pequena estamos interessados em tornar o ângulo θR o menor possível De acordo com a Eq 3614 existem duas formas de diminuir o valor de θR aumentar o diâmetro da lente e diminuir o comprimento de onda da luz utilizada É por essa razão que muitos microscópios utilizam luz ultravioleta cujo comprimento de onda é menor que o da luz visível Teste 4 Suponha que você mal consegue resolver dois pontos vermelhos por causa da difração produzida pela pupila Se a iluminação ambiente aumenta fazendo a pupila diminuir de diâmetro tornase mais fácil ou mais difícil distinguir os dois pontos Considere apenas o efeito da difração Faça a experiência para verificar se o seu raciocínio está correto Exemplo 3603 Pinturas pontilhistas e a difração da pupila A Fig 3613a é uma vista ampliada dos pontos coloridos de uma pintura pontilhista Suponha que a distância média entre os centros dos pontos é D 20 mm Suponha também que o diâmetro da pupila do olho do observador é d 15 mm e que a menor separação angular entre os pontos que o olho pode resolver é dada pelo critério de Rayleigh Qual é a menor distância de observação na qual os pontos não podem ser resolvidos para nenhuma cor IDEIACHAVE Considere dois pontos vizinhos que o observador é capaz de distinguir quando está próximo da pintura Ao se afastar da pintura o observador continua a distinguir os pontos até que a separação angular θ dos pontos seja igual ao ângulo dado pelo critério de Rayleigh Figura 3613 a Representação de alguns pontos de uma pintura pontilhista a distância média entre os centros dos pontos é igual a D b Diagrama mostrando a distância D entre dois pontos a separação angular θ e a distância de observação L Cálculos A Fig 3613b mostra em uma vista lateral a separação angular θ dos pontos a distância D entre os centros dos pontos e a distância L do observador Como a razão DL é pequena o ângulo θ também é pequeno e podemos usar a seguinte aproximação Fazendo θ da Eq 3616 igual a θR da Eq 3615 e explicitando L obtemos De acordo com a Eq 3617 quanto menor o valor de λ maior o valor de L Assim quando o observador se afasta da pintura os pontos vermelhos a cor de maior comprimento de onda se tornam indistinguíveis antes dos pontos azuis Para calcular a menor distância L na qual os pontos não podem ser resolvidos para nenhuma cor fazemos λ 400 nm menor comprimento da luz visível correspondente ao violeta Substituindo os valores conhecidos na Eq 3617 obtemos A essa distância ou a uma distância maior as cores dos pontos vizinhos se misturam a cor percebida em cada região do quadro é uma cor que pode não existir na pintura Exemplo 3604 O critério de Rayleigh para resolver dois objetos distantes Uma lente convergente circular de diâmetro d 32 mm e distância focal f 24 cm forma imagens de objetos pontuais distantes no plano focal da lente O comprimento de onda da luz utilizada é λ 550 nm a Considerando a difração introduzida pela lente qual deve ser a separação angular entre dois objetos pontuais distantes para que o critério de Rayleigh seja satisfeito IDEIACHAVE A Fig 3614 mostra dois objetos pontuais distantes P1 e P2 a lente e uma tela de observação no plano focal da lente A figura também mostra do lado direito gráficos da intensidade luminosa I em função da posição na tela para os máximos centrais das imagens formadas pela lente Observe que a separação angular θo dos objetos é igual à separação angular θi das imagens Assim para que as imagens satisfaçam ao critério de Rayleigh as separações angulares dos dois lados da lente devem ser dadas pela Eq 3614 supondo ângulos pequenos Cálculos Substituindo λ e d na Eq 3614 por valores numéricos temos Para essa separação angular o máximo central de cada uma das curvas de intensidade da Fig 3614 coincide com o primeiro mínimo da outra curva Figura 3614 A luz proveniente de dois objetos pontuais distantes P1 e P2 passa por uma lente convergente e forma imagens em uma tela de observação no plano focal da lente Apenas um raio representativo de cada objeto é mostrado na figura As imagens não são pontos e sim figuras de difração com intensidades como as representadas aproximadamente do lado direito b Qual é a separação Δx dos centros das imagens no plano focal Ou seja qual é a separação dos picos das duas curvas Cálculos Analisando o triângulo formado por um dos raios o eixo central e a tela na Fig 3614 vemos que tan θi2 Δx2f Explicitando Δx e supondo que o ângulo θ é suficientemente pequeno para que tan θ θ obtemos em que θi é medido em radianos Substituindo f e θi por valores numéricos obtemos 364 DIFRAÇÃO POR DUAS FENDAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3618 Explicar por que a difração introduzida pela fenda modifica a figura de interferência de dupla fenda e mostrar em uma figura de interferência de dupla fenda o pico central e os picos secundários da envoltória de difração 3619 Calcular a intensidade I da luz em um ponto de uma figura de difração de dupla fenda em relação à intensidade Im no centro da figura 3620 Na equação usada para calcular a intensidade da luz na figura de difração de dupla fenda identificar a parte que corresponde à interferência da luz que passa pelas duas fendas e a parte que corresponde à difração produzida pelas fendas 3621 No caso da difração por duas fendas conhecer a relação entre a razão entre a distância e a largura das fendas e a posição dos mínimos de difração na figura de difração de uma fenda e usar essa relação para determinar o número de máximos de interferência contidos no pico central e nos picos laterais da envoltória de difração IdeiasChave As ondas que passam por duas fendas produzem uma combinação de interferência de dupla fenda com difração por uma fenda No caso de fendas iguais de largura a cujos centros estão separados por uma distância d a intensidade da luz varia com o ângulo em relação ao eixo central de acordo com a equação em que Im é a intensidade no centro da figura e Difração por Duas Fendas Nos experimentos com duas fendas do Capítulo 35 supusemos implicitamente que as fendas eram muito mais estreitas que o comprimento de onda da luz utilizada ou seja que a λ No caso de fendas estreitas o máximo central da figura de difração de cada fenda cobre toda a tela de observação e a interferência da luz proveniente das duas fendas produz franjas claras praticamente com a mesma intensidade Fig 3512 Na prática a condição a λ nem sempre é satisfeita Quando as fendas são relativamente largas a interferência da luz proveniente das duas fendas produz franjas claras de diferentes intensidades Isso acontece porque a intensidade das franjas produzidas por interferência da forma descrita no Capítulo 35 é modificada pela difração sofrida pela luz ao passar pelas fendas da forma descrita neste capítulo Gráficos O gráfico de intensidade da Fig 3615a por exemplo mostra a figura de interferência produzida pela luz ao passar por duas fendas infinitamente estreitas caso em que a λ todas as franjas claras têm a mesma intensidade O gráfico da Fig 3615b mostra a figura de difração produzida por uma fenda isolada no caso em que aλ 5 a figura de difração apresenta um máximo central e máximos secundários menos intensos em 17 O gráfico da Fig 3615c mostra a figura de interferência produzida por duas fendas veja a Fig 3615b O gráfico foi construído utilizando a curva de difração da Fig 3615b como envoltória para a curva de interferência da Fig 3615a As posições das franjas permanecem as mesmas da Fig 3615a mas as intensidades são diferentes Fotografias A Fig 3616a mostra uma figura de interferência obtida experimentalmente na qual se podem ver claramente tanto os efeitos de interferência de duas fendas como os efeitos de difração Quando uma das fendas é obstruída a imagem passa a ser a da Fig 3616b Note a correspondência entre as Figs 3616a e 3615c e entre as Figs 3616b e 3615b Ao comparar as figuras convém observar que as fotografias da Fig 3616 foram deliberadamente superexpostas para tornar mais visíveis os máximos secundários e que as Figs 3616a e 3616b mostram vários máximos de difração secundários enquanto as Figs 3615b e 3615c mostram apenas um máximo de difração secundário Figura 3615 a Gráfico teórico da intensidade em um experimento de interferência com duas fendas infinitamente estreitas b Gráfico teórico da difração produzida por uma única fenda de largura a finita c Gráfico teórico da intensidade em um experimento com duas fendas de largura a finita A curva de b se comporta como uma envoltória modulando a intensidade das franjas de a Observe que os primeiros mínimos da curva de difração de b eliminam as franjas de a que estariam presentes nas vizinhanças de 12 em c Cortesia de Jearl Walker Figura 3616 a Franjas de interferência em um sistema real de duas fendas compare com a Fig 36 15c b Figura de difração de uma única fenda compare com a Fig 3615b Intensidade Levando em conta o efeito da difração a intensidade da figura de interferência de duas fendas é dada por em que 3620 e Nas Eqs 3620 e 3621 d é a distância entre os centros das fendas e a é a largura das fendas Observe que o lado direito da Eq 3619 é o produto de Im por dois fatores 1 O fator de interferência cos2 β associado à interferência da luz que passa pelas duas fendas dada pelas Eqs 3522 e 3523 2 O fator de difração sen αα2 associado à difração causada pelas fendas dada pelas Eqs 365 e 36 6 Vamos examinar esses fatores mais de perto Se fizermos a 0 na Eq 3621 α 0 e sen αα 1 Nesse caso a Eq 3619 se reduz como era de se esperar a uma equação que descreve a figura de interferência produzida por duas fendas infinitamente estreitas e separadas por uma distância d Por outro lado se fizermos d 0 na Eq 3620 é como se combinássemos as duas fendas para formar uma única 1 2 fenda de largura a Nesse caso β 0 cos2 β 1 e a Eq 3619 se reduz como era de se esperar a uma equação que descreve a figura de difração de uma única fenda de largura a Terminologia A figura de interferência de duas fendas descrita pela Eq 3619 e mostrada na Fig 3616a combina os efeitos de interferência e difração Ambos são efeitos de superposição já que resultam da combinação no mesmo ponto de ondas com diferentes fases Quando as ondas se originam em um pequeno número de fontes coerentes como no experimento de dupla fenda com a λ o processo é chamado de interferência Quando as ondas se originam na mesma frente de onda como no experimento com uma única fenda o processo é chamado de difração Essa distinção entre interferência e difração que é um tanto arbitrária e nem sempre é respeitada pode ser conveniente mas não devemos esquecer que ambas resultam de efeitos de superposição e quase sempre estão presentes simultaneamente como na Fig 3616a Exemplo 3605 Experimento de dupla fenda levando em conta os efeitos de difração Em um experimento de dupla fenda o comprimento de onda λ da luz incidente é 405 nm a distância d entre as fendas é 1944 μm e a largura a das fendas é 4050 μm Considere a interferência da luz que passa pelas duas fendas e também a difração da luz em cada fenda a Quantas franjas claras podem ser observadas no pico central da envoltória de difração IDEIASCHAVE Em primeiro lugar vamos analisar os dois mecanismos básicos responsáveis pela produção da imagem Difração nas fendas Os limites do pico central são os primeiros mínimos da figura de difração produzida isoladamente por uma das fendas veja a Fig 3615 A posição desses mínimos é dada pela Eq 363 a sen θ mλ Vamos escrever essa equação na forma a sen θ m1λ em que o índice 1 mostra que se trata de difração por uma fenda Para obter a localização dos primeiros mínimos fazemos m1 1 o que nos dá Interferência de duas fendas A posição das franjas claras em uma figura de interferência de duas fendas é dada pela Eq 35 14 que podemos escrever na forma O índice 2 mostra que se trata de interferência de duas fendas Cálculos Podemos determinar a posição do primeiro mínimo de difração dentro da figura de interferência de duas fendas dividindo a Eq 3623 pela Eq 3622 e explicitando m2 Fazendo isso e substituindo d e a por valores numéricos obtemos De acordo com esse resultado a franja clara de interferência com m2 4 pertence ao pico central da figura de difração de uma fenda mas o mesmo não acontece com a franja clara com m2 5 O pico central de difração inclui a franja de interferência central m2 0 e quatro franjas secundárias até m2 4 de cada lado Assim o pico central da figura de difração contém nove franjas de interferência As franjas claras de um lado da franja central aparecem na Fig 3617 Figura 3617 Metade do gráfico de intensidade em um experimento de interferência de duas fendas a envoltória de difração está indicada por uma linha pontilhada A curva menor mostra com a escala vertical expandida o gráfico de intensidade para os dois primeiros picos secundários da envoltória de difração b Quantas franjas claras podem ser observadas em um dos dois primeiros máximos secundários da figura de difração IDEIACHAVE Os limites externos dos primeiros máximos secundários são os segundos mínimos de difração que correspondem às soluções da equação a sen θ m1λ com m1 2 Cálculo Dividindo a Eq 3623 pela Eq 3624 obtemos De acordo com esse resultado o segundo mínimo de difração ocorre pouco antes de aparecer a franja clara de interferência com m2 10 na Eq 3623 Dentro de um dos dois primeiros máximos secundários de difração temos as franjas de interferência correspondentes a m2 5 até m2 9 ou seja um total de cinco franjas claras veja a Fig 3617 Entretanto se descartarmos a franja correspondente a m2 5 que é praticamente eliminada pelo primeiro mínimo de difração teremos apenas quatro franjas claras em cada primeiro máximo secundário de difração 365 REDES DE DIFRAÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3622 Descrever uma rede de difração e desenhar a figura de interferência produzida por uma rede de difração com luz monocromática 3623 Conhecer a diferença entre as figuras de interferência produzidas por uma rede de difração e por um arranjo de duas fendas 3624 Saber o que significam os termos linha e número de ordem 3625 Conhecer a relação entre o número de ordem de uma rede de difração e a diferença de percurso entre os raios responsáveis por uma linha 3626 Conhecer a relação entre a distância d entre as fendas de uma rede de difração o ângulo θ correspondente e uma linha o número de ordem m da linha e o comprimento de onda λ da luz 3627 Saber a razão pela qual existe um número de ordem máximo para qualquer rede de difração 3628 Demonstrar a equação usada para calcular a meia largura da linha central da figura de interferência produzida por uma rede de difração 3629 Conhecer a equação usada para calcular a meia largura das linhas laterais da figura de interferência produzida por uma rede de difração 3630 Saber qual é a vantagem de aumentar o número de fendas de uma rede de difração 3631 Explicar como funciona um espectroscópio de rede de difração IdeiaChave Uma rede de difração é uma série de fendas usadas para separar uma onda incidente nos comprimentos de onda que a compõem A posição angular dos máximos produzidos por uma rede de difração conhecidos como linhas é dada por d sen θ mλ para m 0 1 2 máximos A meia largura de uma linha é o ângulo entre o centro da linha e o primeiro mínimo de intensidade e é dada por Redes de Difração Um dos dispositivos mais usados para estudar a luz e os objetos que emitem e absorvem luz é a rede de difração um arranjo semelhante ao do experimento de dupla fenda Fig 3510 exceto pelo fato de que o número de fendas também chamadas de ranhuras pode chegar a milhares por milímetro A Fig 3618 mostra uma rede de difração simplificada constituída por apenas cinco fendas Quando as fendas são iluminadas com luz monocromática aparecem franjas de interferência cuja análise permite determinar o comprimento de onda da luz As redes de difração também podem ser superfícies opacas com sulcos paralelos dispostos como as fendas da Fig 3618 Nesse caso a luz é espalhada pelos sulcos para formar as franjas de interferência Curva de Intensidade Quando fazemos incidir um feixe de luz monocromática em uma rede de difração e aumentamos gradualmente o número de fendas de dois para um número grande N a curva de intensidade muda da figura de interferência típica de um experimento de dupla fenda como a da Fig 36 15c para uma figura muito mais complexa e depois para uma figura simples como a que aparece na Fig 3619a A Fig 3619b mostra por exemplo a imagem observada em um anteparo quando a rede é iluminada com luz vermelha monocromática produzida por um laser de hélioneônio Os máximos nesse caso são muito estreitos por isso recebem o nome de linhas e estão separados por regiões escuras relativamente largas Figura 3618 Rede de difração simplificada com apenas cinco fendas que produz uma figura de interferência em uma tela de observação distante Figura 3619 a A curva de intensidade produzida por uma rede de difração com muitas ranhuras é constituída por picos estreitos que aqui aparecem rotulados pelos números de ordem m b As franjas claras correspondentes vistas em uma tela são chamadas de linhas e também foram rotuladas pelo número de ordem m Figura 3620 Os raios que vão das ranhuras de uma rede de difração até um ponto distante P são aproximadamente paralelos A diferença de percurso entre raios vizinhos é d sen θ em que θ é o ângulo indicado na figura As ranhuras se estendem para dentro e para fora do papel Equação Para determinar as posições das linhas na tela de observação supomos que a tela está suficientemente afastada da rede para que os raios que chegam a um ponto P da tela sejam aproximadamente paralelos ao deixarem a rede de difração Fig 3620 Em seguida aplicamos a cada par de ranhuras vizinhas o mesmo raciocínio que usamos no caso da interferência causada por duas fendas A distância d entre ranhuras vizinhas é chamada de espaçamento da rede Se N ranhuras ocupam uma largura total w então d wN A diferença entre as distâncias percorridas por raios vizinhos é d sen θ Fig 3620 em que θ é o ângulo entre o eixo central da rede e a reta que liga a rede ao ponto P Haverá uma linha em P se a diferença entre as distâncias percorridas por raios vizinhos for igual a um número inteiro de comprimentos de onda ou seja se em que λ é o comprimento de onda da luz A cada número inteiro m exceto m 0 correspondem duas linhas diferentes simetricamente dispostas em relação à linha central assim as linhas podem ser rotuladas de acordo com o valor de m como na Fig 3619 Esse valor é chamado de número de ordem e as linhas correspondentes são chamadas de linha de ordem zero a linha central para a qual m 0 linhas de primeira ordem linhas de segunda ordem e assim por diante Cálculo do Comprimento de Onda Escrevendo a Eq 3625 na forma θ sen1mλd vemos que para uma dada rede de difração o ângulo entre o eixo central e qualquer linha as linhas de terceira ordem digamos depende do comprimento de onda da radiação utilizada Assim quando a rede é iluminada com uma luz cujo comprimento de onda é desconhecido a medida da posição das linhas pode ser usada para determinar o comprimento de onda bastando para isso aplicar a Eq 3625 Até mesmo uma luz que contém uma mistura de vários comprimentos de onda pode ser analisada desta forma Não podemos fazer a mesma coisa com apenas duas fendas porque nesse caso as franjas claras são tão largas que as figuras produzidas por comprimentos de onda diferentes se superpõem e não podem ser distinguidas Figura 3621 A meia largura de linha Δθml da linha central é medida entre o centro da linha e o mínimo mais próximo em um gráfico de I em função de θ como o da Fig 3619a Largura das Linhas A capacidade de uma rede de difração de resolver separar linhas de diferentes comprimentos de onda depende da largura das linhas Vamos agora obter uma expressão para a meia largura da linha central a linha correspondente a m 0 e apresentar sem demonstração uma expressão para a meia largura das outras linhas A meia largura da linha central é definida como o ângulo Δθml entre o centro da linha θ 0 e o primeiro mínimo de intensidade Fig 3621 Nesse mínimo os N raios provenientes das N ranhuras da rede se cancelam mutuamente Naturalmente a largura de linha da linha central é igual a 2Dθml mas as larguras de linha são quase sempre medidas em termos da meia largura No Módulo 361 também examinamos a questão do cancelamento de muitos raios os raios produzidos pela difração da luz ao passar por uma fenda isolada Obtivemos a Eq 363 que devido à semelhança entre as duas situações podemos usar agora para determinar a posição do primeiro mínimo De acordo com a Eq 363 o primeiro mínimo ocorre no ponto em que a diferença entre as distâncias percorridas pelo raio superior e pelo raio inferior é igual a λ No caso da difração por uma fenda essa diferença é a sen θ Para uma rede com N ranhuras cada uma separada da ranhura vizinha por uma distância d a distância entre as ranhuras situadas nas extremidades da rede é Nd Fig 3622 e portanto a diferença de percurso entre os raios que partem das extremidades da rede é Nd sen Δθml Assim o primeiro mínimo acontece para Como Δθml é pequena sen Δθml Δθml em radianos Fazendo esta aproximação na Eq 3626 obtemos a seguinte equação para a meia largura da linha central Figura 3622 As ranhuras das extremidades superior e inferior de uma rede de difração com N ranhuras estão separadas por uma distância Nd A diferença de percurso entre os raios que passam por essas ranhuras é Nd sen Δθml em que Δθml é o ângulo correspondente ao primeiro mínimo O ângulo aparece aqui grandemente exagerado para tornar o desenho mais claro Figura 3623 Um tipo simples de espectroscópio de difração usado para analisar os comprimentos de onda emitidos pela fonte S Vamos apresentar sem demonstração1 uma equação para a meia largura das outras linhas em função do ângulo θ que define a posição da linha Observe que para uma luz de um dado comprimento de onda λ e uma rede de difração com um dado espaçamento d entre as ranhuras a largura das linhas é inversamente proporcional ao número N de ranhuras Assim no caso de duas redes de difração com a mesma distância entre as ranhuras a que possui maior número de ranhuras permite separar melhor os diferentes comprimentos de onda da radiação incidente já que as linhas de difração são mais estreitas e portanto existe menos superposição O Espectroscópio de Rede de Difração As redes de difração são usadas para determinar os comprimentos de onda emitidos por fontes luminosas de todos os tipos de lâmpadas a estrelas A Fig 3623 mostra um espectroscópio simples baseado em uma rede de difração A luz da fonte S é focalizada pela lente L1 em uma fenda S1 que está no plano focal da lente L2 A luz que emerge do tubo C conhecido como colimador é uma onda plana que incide perpendicularmente na rede G onde é difratada produzindo uma figura de difração simétrica em relação ao eixo do colimador Podemos observar a linha de difração que apareceria em uma tela em um dado ângulo θ simplesmente orientando o telescópio T da Fig 3623 para o mesmo ângulo Nesse caso a lente L3 do telescópio focaliza a luz difratada com o ângulo θ e ângulos ligeiramente menores e maiores no plano focal FF9 situado no interior do telescópio Quando observamos esse plano focal através da ocular E vemos uma imagem ampliada da linha de difração Mudando o ângulo θ do telescópio podemos observar toda a figura de difração Para qualquer número de ordem exceto m 0 o ângulo de difração varia de acordo com o comprimento de onda ou cor de modo que podemos determinar com o auxílio da Eq 3625 quais são os comprimentos de onda emitidos pela fonte Se a fonte está emitindo comprimentos de onda discretos o que vemos ao fazer girar o telescópio horizontalmente passando pelos ângulos correspondentes a uma ordem m são linhas verticais de diferentes cores uma para cada comprimento de onda emitido pela fonte com os comprimentos de onda menores associados a ângulos θ menores que os comprimentos de onda maiores Hidrogênio Assim por exemplo a luz emitida por uma lâmpada de hidrogênio que contém hidrogênio gasoso emite radiação com quatro comprimentos de onda diferentes na faixa da luz visível Quando nossos olhos interceptam diretamente essa radiação temos a impressão de que se trata de luz branca Quando observamos a mesma luz através de um espectroscópio de rede de difração podemos distinguir em várias ordens as linhas das quatro cores correspondentes aos comprimentos de onda emitidos pelo hidrogênio na faixa da luz visível Essas linhas são chamadas de linhas de emissão Quatro ordens são mostradas na Fig 3624 Na ordem central m 0 as linhas correspondentes aos quatro comprimentos de onda estão superpostas dando origem a uma única linha branca em θ 0 Nas outras ordens as cores estão separadas Figura 3624 Linhas de emissão de ordem zero um dois e quatro do hidrogênio na faixa da luz visível Observe que as linhas são mais afastadas para grandes ângulos São também mais largas e menos intensas embora isso não seja mostrado na figura Department of Physics Imperial CollegeScience Photo LibraryPhoto Researchers Inc Figura 3625 Linhas de emissão do cádmio na faixa da luz visível observadas através de um espectroscópio de rede de difração A terceira ordem não foi mostrada na Fig 3624 para não complicar o desenho já que se mistura com a segunda e quarta ordens A linha vermelha da quarta ordem está faltando porque não é gerada pela rede de difração usada para produzir as linhas da Fig 3624 Quando tentamos resolver a Eq 3625 para obter o ângulo θ correspondente ao comprimento de onda da luz vermelha para m 4 obtemos um valor de sen θ maior que a unidade o que não tem significado físico Nesse caso dizemos que a quarta ordem está incompleta para essa rede de difração pode não estar incompleta para uma rede de difração com um maior espaçamento d entre as ranhuras que espalharia menos as linhas que na Fig 3624 A Fig 3625 é uma fotografia das linhas de emissão produzidas pelo cádmio na faixa da luz visível Teste 5 A figura mostra linhas de diferentes ordens produzidas por uma rede de difração iluminada com luz vermelha monocromática a A linha correspondente a m 0 é a do lado esquerdo ou a do lado direito b Se a rede for iluminada com luz verde monocromática as larguras das linhas correspondentes às mesmas ordens serão maiores menores ou iguais às larguras das linhas que aparecem na figura 366 DISPERSÃO E RESOLUÇÃO DAS REDES DE DIFRAÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3632 Saber que dispersão é o espalhamento das linhas de difração associadas a diferentes comprimentos de onda 3633 Conhecer as relações entre a dispersão D a diferença de comprimentos de onda Δλ a separação angular Δθ a distância d entre as ranhuras o número de ordem m e o ângulo θ correspondente ao número de ordem 3634 Conhecer o efeito da distância entre as ranhuras sobre a dispersão de uma rede de difração 3635 Saber que as linhas só podem ser resolvidas se forem suficientemente estreitas 3636 Conhecer a relação entre a resolução R a diferença de comprimentos de onda Δλ o comprimento de onda médio λméd o número N de ranhuras e o número de ordem m 3637 Conhecer o efeito do número de ranhuras sobre a resolução de uma rede de difração IdeiasChave A dispersão D de uma rede de difração é uma medida da separação angular Δθ que a rede de dispersão produz no caso de dois comprimentos de onda cuja diferença é Δθ A dispersão é dada pela expressão em que m é o número de ordem e θ é o ângulo correspondente A resolução R de uma rede de difração é uma medida da capacidade da rede de difração de permitir que comprimentos de onda próximos sejam observados separadamente No caso de dois comprimentos de onda cuja diferença é Δλ e cujo comprimento de onda médio é λméd a resolução é dada por Dispersão e Resolução de uma Rede de Difração Dispersão Para poder separar comprimentos de onda próximos como é feito nos espectroscópios uma rede de difração deve ser capaz de espalhar as linhas de difração associadas aos vários comprimentos de onda Esse espalhamento conhecido como dispersão é definido pela equação em que Δθ é a separação angular de duas linhas cujos comprimentos de onda diferem de Δλ Quanto maior o valor de D maior a distância entre duas linhas de emissão cujos comprimentos de onda diferem de Δλ Vamos demonstrar daqui a pouco que a dispersão de uma rede de difração para um ângulo θ é dada por Assim para conseguir uma grande dispersão devemos usar uma rede de difração com um pequeno espaçamento d entre as ranhuras e trabalhar com grandes valores de m Observe que a dispersão não depende do número N de ranhuras da rede A unidade de dispersão do SI é o grau por metro ou o radiano por metro Kristen BrochmannFundamental Photographs As ranhuras de um CD com 05 μm de largura se comportam como uma rede de difração Quando o CD é iluminado com luz branca a luz difratada forma faixas coloridas que representam as figuras de difração associadas aos diferentes comprimentos de onda da luz incidente Resolução Para que seja possível resolver linhas cujos comprimentos de onda são muito próximos isto é para que seja possível distinguilas é preciso que as linhas sejam suficientemente estreitas Em outras palavras a rede de difração deve ter uma alta resolução R definida pela equação em que λméd é a média dos comprimentos de onda de duas linhas que mal podem ser distinguidas e Δλ é a diferença entre os comprimentos de onda das duas linhas Quanto maior o valor de R mais próximas podem estar duas linhas sem que se torne impossível distinguilas Vamos demonstrar daqui a pouco que a resolução de uma rede de difração é dada por Assim para conseguir uma grande resolução devemos usar um grande número N de ranhuras e trabalhar com grandes valores de m Demonstração da Eq 3630 Começamos com a Eq 3625 que permite calcular a posição das linhas na figura de difração de uma rede d sen θ mλ Vamos considerar θ e λ como variáveis e diferenciar ambos os membros da equação O resultado é o seguinte d cos θdθ mdλ Para pequenos ângulos os infinitésimos podem ser substituídos por diferenças finitas o que nos dá ou Como a razão do lado esquerdo é por definição igual a D veja a Eq 3629 acabamos de demonstrar a Eq 3630 Tabela 361 Parâmetros de Três Redes de Difraçãoa Rede N d nm θ D μm R A 10 000 2540 134 232 10 000 B 20 000 2540 134 232 20 000 C 10 000 1360 255 463 10 000 aOs dados são para λ 589 nm e m 1 Demonstração da Eq 3632 Começamos com a Eq 3633 que foi obtida a partir da Eq 3625 a expressão para a posição das linhas na figura de difração de uma rede Na Eq 3633 Δλ é a pequena diferença de comprimentos de onda entre duas ondas difratadas por uma rede e Δθ é a separação angular das linhas correspondentes Para que Δθ seja o menor ângulo que permite distinguir as duas linhas é preciso de acordo com o critério de Rayleigh que Δθ seja igual à meia largura de uma das linhas que é dada pela Eq 3628 Fazendo Δθ igual a esse valor de Δθml na Eq 3633 obtemos que nos dá que é a Eq 3632 que nos propusemos a demonstrar Figura 3626 Gráficos de intensidade observados quando uma luz com dois comprimentos de onda é usada para iluminar as redes de difração cujas propriedades aparecem na Tabela 361 A rede de maior resolução é a rede B e a de maior dispersão é a rede C Comparação entre Dispersão e Resolução A resolução de uma rede de difração não deve ser confundida com a dispersão A Tabela 361 mostra as características de três redes todas iluminadas com luz de comprimento de onda λ 589 nm cuja luz difratada é observada em primeira ordem m 1 na Eq 3625 O leitor pode verificar que os valores de D e R que aparecem na tabela são os obtidos com o auxílio das Eqs 3630 e 3632 respectivamente Para calcular D é preciso converter radianos por metro para graus por micrômetro Para as condições da Tabela 361 as redes A e B têm a mesma dispersão e as redes A e C têm a mesma resolução A Fig 3626 mostra as curvas de intensidade luminosa também conhecidas como formas de linha que seriam produzidas pelas três redes para duas linhas de comprimentos de onda λ1 e λ2 nas vizinhanças de λ 589 nm A rede B a de maior resolução produz linhas mais estreitas e portanto é capaz de distinguir linhas muito mais próximas que as que aparecem na figura A rede C a de maior dispersão é a que produz a maior separação angular entre as linhas Exemplo 3606 Dispersão e resolução de uma rede de difração Uma rede de difração tem 126 104 ranhuras uniformemente espaçadas em uma região de largura w 254 mm A rede é iluminada perpendicularmente pela luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio Essa luz contém duas linhas de emissão muito próximas conhecidas como dubleto do sódio de comprimentos de onda 58900 nm e 58959 nm a Qual é o ângulo correspondente ao máximo de primeira ordem de cada lado do centro da figura de difração para o comprimento de onda de 58900 nm IDEIACHAVE A posição dos máximos produzidos pela rede de difração pode ser determinada com o auxílio da Eq 3625 d sen θ mλ Cálculos O espaçamento das ranhuras d é dado por Como estamos interessados no máximo de primeira ordem m 1 Substituindo d e m por seus valores na Eq 3625 obtemos b Usando a dispersão da rede calcule a separação angular das duas linhas de primeira ordem IDEIASCHAVE 1 De acordo com a Eq 3629 D ΔθDλ a separação angular Δθ das duas linhas de primeira ordem depende da diferença de comprimentos de onda Δλ e da dispersão D da rede 2 A dispersão D depende do valor do ângulo θ Cálculos No caso que estamos examinando as linhas estão tão próximas que o erro não será muito grande se usarmos o valor de D para o ângulo θ 1699 calculado no item a para uma das linhas Nesse caso de acordo com a Eq 3630 A Eq 3629 com Δλ em nanômetros nos fornece É fácil mostrar que esse resultado depende do espaçamento d das ranhuras mas é independente do número de ranhuras c Qual é o menor número de ranhuras que uma rede pode ter sem que se torne impossível distinguir as linhas de primeira ordem do dubleto do sódio IDEIASCHAVE 1 De acordo com a Eq 3632 R Nm a resolução de uma rede para qualquer ordem m depende do número N de ranhuras 2 Conforme a Eq 3631 R λmédΔλ a menor diferença de comprimentos de onda Δλ que pode ser resolvida depende do comprimento de onda médio envolvido e da resolução R da rede Cálculo Fazendo Δλ igual à diferença entre os comprimentos de onda das duas linhas do dubleto do sódio 059 nm e λméd 58900 589592 58930 temos 367 DIFRAÇÃO DE RAIOS X Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3638 Saber em que região do espectro eletromagnético estão os raios X 3639 Saber o que é uma célula unitária 3640 Saber o que são planos cristalinos e o que é distância interplanar 3641 Desenhar dois raios espalhados por planos vizinhos mostrando o ângulo que é usado nos cálculos 3642 No caso dos máximos de intensidade dos espalhamento de raios X por um cristal conhecer a relação entre a distância interplanar d o ângulo de espalhamento θ o número de ordem m e o comprimento de onda λ dos raios X 3643 Mostrar como pode ser determinada a distância interplanar a partir do desenho de uma célula unitária IdeiasChave O espalhamento de raios X por um sólido cristalino é mais fácil de visualizar imaginando que os átomos do material formam planos paralelos No caso de raios X de comprimento de onda λ espalhados por planos cristalinos cuja distância interplanar é d os ângulos para os quais a intensidade do feixe espalhado é máxima são dados por 2d sen θ mλ para m 1 2 3 lei de Bragg Difração de Raios X Os raios X são ondas eletromagnéticas com um comprimento de onda da ordem de 1 Å 1010 m Para efeito de comparação o comprimento de onda no centro do espectro visível é 550 nm 55 107 m A Fig 3627 mostra que raios X são produzidos quando os elétrons que escapam de um filamento aquecido F são acelerados por uma diferença de potencial V e se chocam com um alvo metálico T Uma rede de difração comum não pode ser usada para separar raios X de diferentes comprimentos de onda Para λ 1 Å 01 nm e d 3000 nm por exemplo o máximo de primeira ordem de acordo com a Eq 3625 ocorre para Figura 3627 Raios X são gerados quando os elétrons que deixam o filamento aquecido F são acelerados por uma diferença de potencial V e atingem um alvo metálico T A janela W da câmara evacuada C é transparente aos raios X Esse resultado mostra que o primeiro máximo está próximo demais do máximo principal para que as duas linhas possam ser resolvidas O ideal seria usar uma rede de difração com d λ mas como os comprimentos de onda dos raios X são da mesma ordem que os diâmetros atômicos é tecnicamente impossível construir uma rede cujas ranhuras tenham um espaçamento dessa ordem Em 1912 ocorreu ao físico alemão Max von Laue que um sólido cristalino formado por um arranjo regular de átomos poderia se comportar como uma rede de difração natural para os raios X A ideia é que em um sólido cristalino como o cloreto de sódio NaCl um pequeno conjunto de átomos conhecido como célula unitária se repete em todo o material A Fig 3628a mostra um cristal de NaCl e identifica a célula unitária que no caso é um cubo de lado a0 Quando um feixe de raios X penetra em uma substância cristalina como o NaCl os raios X são espalhados desviados em todas as direções pelos átomos do cristal Em algumas direções as ondas espalhadas sofrem interferência destrutiva o que leva a mínimos de intensidade em outras direções a interferência é construtiva e produz máximos de intensidade Este processo de espalhamento e interferência é uma forma de difração Planos Fictícios O processo de difração de raios X por um cristal é muito complexo mas as posições dos máximos podem ser determinadas imaginando que tudo se passa como se os raios X fossem refletidos por uma família de planos cristalinos paralelos que contêm arranjos regulares de átomos do cristal Os raios X não são realmente refletidos os planos imaginários são usados apenas para facilitar a análise do processo de difração A Fig 3628b mostra três planos pertencentes a uma mesma família de planos paralelos com uma distância interplanar d nos quais imaginamos que os raios X incidentes se refletem Os raios 1 2 e 3 se refletem no primeiro segundo e terceiro planos respectivamente Em cada reflexão o ângulo de incidência e o ângulo de reflexão são representados pelo símbolo θ Ao contrário do que se costuma fazer na ótica esse ângulo é definido em relação à superfície do plano refletor e não em relação à normal à superfície Para a situação da Fig 3628b a distância interplanar é igual à dimensão a0 da célula unitária Figura 3628 a A estrutura cúbica do NaCl mostrando os íons de sódio e cloro e uma célula unitária sombreada b Os raios X incidentes são difratados pelo cristal representado em a como se fossem refletidos por uma família de planos paralelos com o ângulo de reflexão igual ao ângulo de incidência ambos medidos em relação aos planos e não em relação à normal como na ótica c A diferença de percurso dos raios refletidos por planos vizinhos é 2d sen θ d Quando o ângulo de incidência muda os raios X se comportam como se fossem refletidos por outra família de planos A Fig 3628c mostra uma vista lateral da reflexão de raios X em dois planos vizinhos Os raios 1 e 2 chegam em fase ao cristal Depois de refletidos continuam em fase já que as reflexões e os planos refletores foram definidos unicamente para explicar os máximos de intensidade da figura de difração de raios X por um cristal Ao contrário dos raios luminosos os raios X não são refratados quando entram no cristal ou saem do cristal na verdade não é possível definir um índice de refração para esta situação Assim a diferença de fase entre os raios 1 e 2 se deve unicamente à diferença de percurso para que os dois raios estejam em fase basta que a diferença de percurso seja igual a um múltiplo inteiro do comprimento de onda λ dos raios X Lei de Bragg Traçando as perpendiculares tracejadas da Fig 3628c descobrimos que a diferença de percurso entre os raios 1 e 2 é 2d sen θ Na verdade essa diferença é a mesma para qualquer par de planos vizinhos pertencentes à família de planos representada na Fig 3628b Assim temos como critério para que a intensidade da difração seja máxima a seguinte equação em que m é o número de ordem de um dos máximos de intensidade A Eq 3634 é denominada lei de Bragg em homenagem ao físico inglês W L Bragg o primeiro a demonstrála W L Bragg e o pai receberam conjuntamente o Prêmio Nobel de Física de 1915 pelo uso dos raios X para estudar a estrutura dos cristais O ângulo de incidência e reflexão que aparece na Eq 3634 é denominado ângulo de Bragg Qualquer que seja o ângulo de incidência dos raios X em um cristal existe sempre uma família de planos nos quais se pode supor que os raios se refletem e aos quais se pode aplicar a lei de Bragg Na Fig 3628d observe que a estrutura cristalina tem a mesma orientação que na Fig 3628a mas o ângulo de incidência dos raios X é diferente do que aparece na Fig 3628b A esse novo ângulo está associada uma nova família de planos refletores com outra distância interplanar d e outro ângulo de Bragg θ Determinação da Célula Unitária A Fig 3629 ilustra a relação que existe entre a distância interplanar d e a dimensão a0 da célula unitária Para a família de planos que aparece na figura temos de acordo com o teorema de Pitágoras ou Esse exemplo mostra que é possível calcular as dimensões da célula unitária a partir da distância interplanar medida por difração de raios X A difração de raios X é um método excelente tanto para estudar os espectros de emissão de raios X dos átomos como para investigar a estrutura atômica dos sólidos No primeiro caso utilizase um conjunto de planos cristalinos cujo espaçamento d é conhecido Como o ângulo de reflexão associado aos planos depende do comprimento de onda da radiação incidente a medida da intensidade difratada em função do ângulo permite determinar quais são os comprimentos de onda presentes na radiação Nos estudos de estrutura atômica utilizase um feixe de raios X monocromático para determinar o espaçamento dos planos cristalinos e a estrutura da célula unitária Figura 3629 O modo de relacionar a distância interplanar d à dimensão da célula unitária a0 tomando como exemplo uma família de planos do cristal da Fig 3628a Revisão e Resumo Difração Quando uma onda encontra um obstáculo ou abertura de dimensões comparáveis ao comprimento de onda a onda se espalha e sofre interferência Este fenômeno é chamado de difração Difração por uma Fenda As ondas que atravessam uma fenda estreita de largura a produzem em uma tela de observação uma figura de difração de uma fenda que consiste em um máximo central e vários máximos secundários separados por mínimos situados em ângulos θ com o eixo central que satisfazem a relação A intensidade da onda difratada para um ângulo θ qualquer é dada por e Im é a intensidade no centro da figura de difração Difração por uma Abertura Circular A difração por uma abertura circular ou lente de diâmetro d produz um máximo central e máximos e mínimos concêntricos o primeiro mínimo corresponde a um ângulo θ dado por Critério de Rayleigh De acordo com o critério de Rayleigh dois objetos estão no limite de resolução quando o máximo central de difração de um coincide com o primeiro mínimo do outro Nesse caso a separação angular é dada por em que d é o diâmetro da abertura atravessada pela luz Difração por Duas Fendas Quando uma onda passa por duas fendas de largura a cujos centros estão separados por uma distância d é formada uma figura de difração na qual a intensidade I para um ângulo θ é dada por em que β pdλ sen θ e α paλ sen θ Redes de Difração A rede de difração é um conjunto de fendas ranhuras que pode ser usado para determinar as componentes de uma onda separando e mostrando os máximos de difração associados a cada comprimento de onda da radiação incidente A difração por uma rede de N ranhuras produz máximos linhas em ângulos θ tais que cuja meia largura é dada por A dispersão D e a resolução R de uma rede de difração são dadas pelas equações e Difração de Raios X O arranjo regular de átomos em um cristal se comporta como uma rede de difração tridimensional para ondas de comprimento de onda da mesma ordem que o espaçamento entre os átomos como os raios X Para fins de análise os átomos podem ser imaginados como estando dispostos em planos com uma distância interplanar d Os máximos de difração que resultam de uma interferência construtiva ocorrem nos ângulos θ de incidência da onda medidos em relação aos planos atômicos que satisfazem a lei de Bragg em que λ é o comprimento de onda da radiação incidente Perguntas 1 Em um experimento de difração por uma fenda usando uma luz de comprimento de onda λ o que aparece em uma tela distante em um ponto no qual a diferença entre as distâncias percorridas por raios que deixam as extremidades superior e inferior da fenda é igual a a 5λ e b 45λ 2 Em um experimento de difração por uma fenda os raios provenientes da extremidade superior e da extremidade inferior da fenda chegam a um ponto da tela de observação com uma diferença de percurso de 40 comprimentos de onda Em uma representação fasorial como na Fig 367 quantas circunferências superpostas são descritas pela cadeia de fasores 3 A Fig 3630 mostra o parâmetro β da Eq 3620 em função do ângulo θ para três experimentos de difração de dupla fenda nos quais a luz tinha um comprimento de onda de 500 nm A distância entre as fendas era diferente nos três experimentos Coloque os experimentos na ordem decrescente a da distância entre as fendas e b do número de máximos da figura de interferência Figura 3630 Pergunta 3 4 A Fig 3631 mostra o parâmetro α da Eq 366 em função do ângulo θ para três experimentos de difração de uma fenda nos quais a luz tinha um comprimento de onda de 500 nm Coloque os experimentos na ordem decrescente a da largura da fenda e b do número de mínimos da figura de difração Figura 3631 Pergunta 4 5 A Fig 3632 mostra quatro tipos diferentes de aberturas através das quais podem passar ondas sonoras ou luminosas O comprimento dos lados é L ou 2L L é 30 vezes maior que o comprimento de onda da onda incidente Coloque as aberturas na ordem decrescente a do espalhamento das ondas para a esquerda e para a direita e b do espalhamento das ondas para cima e para baixo Figura 3632 Pergunta 5 6 Ao passar por uma fenda estreita uma luz de frequência f produz uma figura de difração a Se aumentarmos a frequência da luz para 13f a figura de difração ficará mais espalhada ou mais compacta b Se em vez de aumentar a frequência mergulharmos todo o equipamento em óleo a figura de difração ficará mais espalhada ou mais compacta 7 À noite muitas pessoas veem anéis conhecidos como halos entópticos em volta de fontes luminosas intensas como lâmpadas de rua Esses anéis são os primeiros máximos laterais de figuras de difração produzidas por estruturas existentes na córnea ou possivelmente no cristalino do olho do observador Os máximos centrais das figuras de difração não podem ser vistos porque se confundem com a luz direta da fonte a Os anéis aumentam ou diminuem quando uma lâmpada azul é substituída por uma lâmpada vermelha b No caso de uma lâmpada branca a parte externa dos anéis é azul ou vermelha 8 a Para uma dada rede de difração a menor diferença Δλ entre comprimentos de onda que podem ser resolvidos aumenta diminui ou permanece constante quando o comprimento de onda aumenta b Para um dado intervalo de comprimentos de onda em torno de 500 nm digamos Δλ é maior na primeira ordem ou na terceira 9 A Fig 3633 mostra uma linha vermelha e uma linha verde pertencentes à mesma ordem da figura de difração produzida por uma rede de difração Se o número de ranhuras da rede é aumentado removendo por exemplo uma fita adesiva que cobria metade das ranhuras a a meia largura das linhas aumenta diminui ou permanece constante b A distância entre as linhas aumenta diminui ou permanece constante c As linhas se deslocam para a direita se deslocam para a esquerda ou permanecem no mesmo lugar Figura 3633 Perguntas 9 e 10 10 Para a situação da Pergunta 9 e da Fig 3633 se a distância entre as ranhuras da rede aumenta a a meia largura das linhas aumenta diminui ou permanece constante b A distância entre as linhas aumenta diminui ou permanece constante c As linhas se deslocam para a direita se deslocam para a esquerda ou permanecem no mesmo lugar 11 a A Fig 3634a mostra as linhas produzidas por duas redes de difração A e B para o mesmo comprimento de onda da luz incidente as linhas pertencem à mesma ordem e aparecem para os mesmos ângulos θ Qual das redes possui o maior número de ranhuras b A Fig 3634b mostra as linhas de duas ordens produzidas por uma rede de difração usando luz de dois comprimentos de onda ambos na região vermelha do espectro Qual dos pares de linhas pertence à ordem com o maior valor de m o da esquerda ou o da direita c O centro da figura de difração está do lado esquerdo ou do lado direito na Fig 36 34a d O centro da figura de difração está do lado esquerdo ou do lado direito na Fig 3634b Figura 3634 Pergunta 11 12 A Fig 3635 mostra as linhas claras contidas nas envoltórias centrais das figuras de difração obtidas em dois experimentos de difração por duas fendas realizados com uma luz incidente de mesmo comprimento de onda Em comparação com os parâmetros das fendas do experimento A a a largura a das fendas no experimento B é maior igual ou menor b A distância d entre as fendas é maior igual ou menor c A razão da é maior igual ou menor Figura 3635 Pergunta 12 13 Em três arranjos você vê a grande distância dois pequenos objetos muito próximos entre si Os ângulos que os objetos ocupam no seu campo de visão e a distância a que se encontram de você são 1 2ϕ e R 2 2ϕ e 2R 3 ϕ2 e R2 a Coloque os arranjos na ordem decrescente da distância entre os objetos Se você mal consegue resolver os objetos no arranjo 2 você é capaz de resolvêlos b no arranjo 1 e c no arranjo 3 14 Em uma rede de difração a razão λa entre o comprimento de onda da luz e o espaçamento das ranhuras é 135 Determine sem fazer cálculos que ordens além da ordem zero aparecem na figura de difração Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 361 Difração por uma Fenda 1 A distância entre o primeiro e o quinto mínimos da figura de difração de uma fenda é 035 mm com a tela a 40 cm de distância da fenda quando é usada uma luz com um comprimento de onda de 550 nm a Determine a largura da fenda b Calcule o ângulo θ do primeiro mínimo de difração 2 Qual deve ser a razão entre a largura da fenda e o comprimento de onda para que o primeiro mínimo de difração de uma fenda seja observado para θ 4508 3 Uma onda plana com um comprimento de onda de 590 nm incide em uma fenda de largura a 040 mm Uma lente convergente delgada de distância focal 70 cm é colocada entre a fenda e uma tela de observação e focaliza a luz na tela a Qual é a distância entre a lente e a tela b Qual é a distância na tela entre o centro da figura de difração e o primeiro mínimo 4 Nas transmissões de TV aberta os sinais são irradiados das torres de transmissão para os receptores domésticos Mesmo que entre a antena transmissora e a antena receptora exista algum obstáculo como um morro ou um edifício o sinal pode ser captado contanto que a difração causada pelo obstáculo produza um sinal de intensidade suficiente na região de sombra Os sinais da televisão analógica têm um comprimento de onda de cerca de 50 cm e os sinais da televisão digital têm um comprimento de onda da ordem de 10 mm a Essa redução do comprimento de onda aumenta ou diminui a difração dos sinais para as regiões de sombra produzidas pelos obstáculos Suponha que um sinal passe por um vão de 50 m entre edifícios vizinhos Qual é o espalhamento angular do máximo central de difração até os primeiros mínimos para um comprimento de onda a de 50 cm e b de 10 mm 5 Uma fenda é iluminada por um feixe de luz que contém os comprimentos de onda λa e λb escolhidos de tal forma que o primeiro mínimo de difração da componente λa coincide com o segundo mínimo da componente λb a Se λb 350 nm qual é o valor de λa Determine para qual número de ordem mb um mínimo da componente λb coincide com o mínimo da componente λa cujo número de ordem é b ma 2 e c ma 3 6 Um feixe de luz com um comprimento de onda de 441 nm incide em uma fenda estreita Em uma tela situada a 200 m de distância a separação entre o segundo mínimo de difração e o máximo central é 150 cm a Calcule o ângulo de difração θ do segundo mínimo b Determine a largura da fenda 7 Um feixe de luz com um comprimento de onda de 633 nm incide em uma fenda estreita O ângulo entre o primeiro mínimo de difração de um lado do máximo central e o primeiro mínimo de difração do outro lado é 1208 Qual é a largura da fenda 8 Ondas sonoras com uma frequência de 3000 Hz e uma velocidade de 343 ms passam pela abertura retangular de uma caixa de som e se espalham por um grande auditório de comprimento d 100 m A abertura que tem uma largura horizontal de 300 cm está voltada para uma parede que fica a 100 m de distância Fig 3636 Ao longo dessa parede a que distância do eixo central está o primeiro mínimo de difração posição na qual um espectador terá dificuldade para o ouvir o som Ignore as reflexões Figura 3636 Problema 8 9 Uma fenda com 100 mm de largura é iluminada com uma luz cujo comprimento de onda é 589 nm Uma figura de difração é observada em uma tela situada a 300 m de distância da fenda Qual é a distância entre os primeiros dois mínimos de difração situados do mesmo lado do máximo central 10 Os fabricantes de fios e outros objetos de pequenas dimensões às vezes usam um laser para monitorar continuamente a espessura do produto O fio intercepta a luz do laser produzindo uma figura de difração parecida com a que é produzida por uma fenda com a mesma largura que o diâmetro do fio Fig 3637 Suponha que o fio seja iluminado com um laser de hélioneônio com um comprimento de onda de 6328 nm e que a figura de difração apareça em uma tela situada a uma distância L 260 m do fio Se o diâmetro desejado para o fio for 137 mm qual deverá ser a distância observada entre os dois mínimos de décima ordem um de cada lado do máximo central Figura 3637 Problema 10 Módulo 362 Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda 11 Uma fenda de 010 mm de largura é iluminada com uma luz cujo comprimento de onda é 589 nm Considere um ponto P em uma tela na qual a figura de difração é observada o ponto está a 30 do eixo central da fenda Qual é a diferença de fase entre as ondas secundárias de Huygens que chegam ao ponto P provenientes da extremidade superior e do ponto médio da fenda Sugestão Use a Eq 364 12 A Fig 3638 mostra a variação do parâmetro α da Eq 366 com o seno do ângulo θ em um experimento de difração de fenda única usando uma luz com um comprimento de onda de 610 nm A escala do eixo vertical é definida por αs 12 rad Determine a a largura da fenda b o número total de mínimos de difração dos dois lados do máximo central c o menor ângulo para o qual existe um mínimo e d o maior ângulo para o qual existe um mínimo Figura 3638 Problema 12 13 Uma luz com um comprimento de onda de 538 nm incide em uma fenda com 0025 mm de largura A distância entre a fenda e a tela é 35 m Considere um ponto da tela situado a 11 cm de distância do máximo central Calcule a o valor de θ nesse ponto b o valor de α e c a razão entre a intensidade nesse ponto e a intensidade do máximo central 14 No experimento de difração por uma fenda da Fig 364 suponha que o comprimento de onda da luz é 500 nm a largura da fenda é 600 μm e a tela de observação está a uma distância D 300 m Defina o eixo y como um eixo vertical no plano da tela com a origem no centro da figura de difração Chame de IP a intensidade da luz difratada no ponto P situado em y 150 cm a Qual é a razão entre IP e a intensidade Im no centro da figura de difração b Determine a posição do ponto P na figura de difração especificando o máximo e o mínimo entre os quais o ponto se encontra ou os dois mínimos entre os quais o ponto se encontra 15 A largura total à meia altura LTMA de um máximo central de difração é definida como o ângulo entre os dois pontos nos quais a intensidade é igual a metade da intensidade máxima Veja a Fig 368b a Mostre que a intensidade é metade da intensidade máxima para sen2 α α22 b Verifique se α 139 rad aproximadamente 80 é uma solução para a equação transcendental do item a c Mostre que a LTMA é dada por Δθ 2 sen10443λa em que a é a largura da fenda Calcule a LTMA do máximo central para fendas cujas larguras correspondem a d 100λ e 50λ e f 100λ 16 O Princípio de Babinet Um feixe de luz monocromática incide perpendicularmente em um furo colimador de diâmetro x λ O ponto P está na região de sombra geométrica em uma tela distante Fig 3639a Dois objetos mostrados na Fig 3639b são colocados sucessivamente no furo colimador A é um disco opaco com um furo central e B é o negativo fotográfico de A Use o conceito de superposição para mostrar que a intensidade da figura de difração no ponto P é a mesma para os dois objetos Figura 3639 Problema 16 17 a Mostre que os valores de α para os quais a intensidade da figura de difração de uma fenda é máxima podem ser calculados derivando a Eq 365 em relação a α e igualando o resultado a zero o que leva à equação tan α α Para determinar os valores de α que satisfazem essa equação plote a curva y tan α e a linha reta y α e determine as interseções entre a reta e a curva ou use uma calculadora para encontrar por tentativas os valores corretos de α A partir da relação α m 12π determine os valores de m correspondentes a máximos sucessivos da figura de difração de fenda única Esses valores de m não são números inteiros porque os máximos secundários não ficam exatamente a meio caminho entre dois mínimos Determine b o menor valor de α e c o valor de m correspondente d o segundo menor valor de α e e o valor de m correspondente f o terceiro menor valor de α e g o valor de m correspondente Módulo 363 Difração por uma Abertura Circular 18 A parede de uma sala é revestida com ladrilhos acústicos que contêm pequenos furos separados por uma distância entre os centros de 50 mm Qual a maior distância da qual uma pessoa consegue distinguir os furos Suponha que o diâmetro da pupila do observador é 40 mm e que o comprimento de onda da luz ambiente é 550 nm 19 a A que distância máxima de uma pilha de grãos vermelhos de areia deve estar um observador para poder ver os grãos como objetos separados Suponha que os grãos são esferas com 50 μm de raio que a luz refletida pelos grãos tem um comprimento de onda de 650 nm e que a pupila do observador tem 15 mm de diâmetro b Se os grãos forem azuis e a luz refletida tiver um comprimento de onda de 400 nm a distância será maior ou menor que a do item a 20 O radar de um cruzador usa um comprimento de onda de 16 cm a antena transmissora é circular com um diâmetro de 23 m Qual é a distância mínima que deve existir entre duas lanchas que estão a 62 km de distância do cruzador para que sejam detectadas pelo radar como objetos separados 21 Estime a distância entre dois objetos no planeta Marte que mal podem ser resolvidos em condições ideais por um observador na Terra a a olho nu e b usando o telescópio de 200 polegadas 51 m de Monte Palomar Use os seguintes dados distância entre Marte e a Terra 80 107 km diâmetro da pupila 50 mm comprimento de onda da luz 550 nm 22 Suponha que o critério de Rayleigh pode ser usado para determinar o limite de resolução do olho de um astronauta que observa a superfície terrestre enquanto se encontra a bordo de uma estação espacial a uma altitude de 400 km a Nessas condições ideais estime a menor dimensão linear que o astronauta é capaz de distinguir na superfície da Terra Tome o diâmetro da pupila do astronauta como mm e o comprimento de onda da luz visível como 550 nm b O astronauta é capaz de ver com clareza a Grande Muralha da China Fig 3640 que tem mais de 3000 km de comprimento a 10 m de largura na base 4 m de largura no topo e 8 m de altura c O astronauta seria capaz de observar sinais inconfundíveis de vida inteligente na superfície da Terra AP Photo Glow Images Figura 3640 Problema 22 A Grande Muralha da China 23 Os dois faróis de um automóvel que se aproxima de um observador estão separados por uma distância de 14 m Determine a a separação angular mínima e b a distância mínima para que o olho do observador seja capaz de resolvêlos Suponha que o diâmetro da pupila do observador é 50 mm e use um comprimento de onda da luz de 550 nm para a luz dos faróis Suponha também que a resolução seja limitada apenas pelos efeitos da difração e que portanto o critério de Rayleigh pode ser aplicado 24 Halos entópticos Quando uma pessoa olha para uma lâmpada de rua em uma noite escura a lâmpada parece estar cercada de anéis claros e escuros daí o nome halos que são na verdade uma figura de difração circular como a da Fig 3610 com o máximo central coincidindo com a luz direta da lâmpada A difração é produzida por elementos da córnea ou do cristalino do olho daí o nome entópticos Se a lâmpada é monocromática com um comprimento de onda de 550 nm e o primeiro anel escuro subtende um diâmetro angular de 25 do ponto de vista do observador qual é a dimensão linear aproximada do elemento que produz a figura de difração 25 Determine a distância entre dois pontos na superfície da Lua que mal podem ser resolvidos pelo telescópio de 200 polegadas 51 m de Monte Palomar supondo que essa distância é determinada exclusivamente por efeitos de difração A distância entre a Terra e a Lua é 38 105 km Suponha que a luz tem um comprimento de onda de 550 nm 26 Os telescópios de alguns satélites de reconhecimento comerciais como os usados para obter as imagens do Google Earth podem resolver objetos no solo com dimensões da ordem de 85 cm e os telescópios dos satélites militares supostamente podem resolver objetos com dimensões da ordem de 10 cm Suponha que a resolução de um objeto seja determinada unicamente pelo critério de Rayleigh e não seja prejudicada pela turbulência da atmosfera Suponha também que os satélites estejam a uma altitude típica de 400 km e que o comprimento de onda da luz visível seja 550 nm Qual deve ser o diâmetro do telescópio a para uma resolução de 85 cm e b para uma resolução de 10 cm c Considerando que a turbulência atmosférica certamente prejudica a resolução e que a abertura do Telescópio Espacial Hubble é 24 m o que se pode dizer a respeito da resposta do item b e do modo como os satélites militares resolvem o problema da resolução 27 Se o SuperHomem realmente tivesse visão de raios X para um comprimento de onda de 010 nm e o diâmetro de sua pupila fosse 40 mm a que distância máxima ele poderia distinguir os mocinhos dos bandidos supondo que para isso teria que resolver pontos separados por uma distância de 50 cm 28 As cores das asas do besourotigre Fig 3641 são produzidas pela interferência da luz difratada em camadas finas de uma substância transparente As camadas estão concentradas em regiões com cerca de 60 μm de diâmetro que produzem cores diferentes As cores são uma mistura pontilhista de cores de interferência que varia de acordo com o ponto de vista do observador De acordo com o critério de Rayleigh a que distância máxima do besouro deve estar um observador para que os pontos coloridos sejam vistos separadamente Suponha que o comprimento de onda da luz é 550 nm e que o diâmetro da pupila do observador é 300 mm Kjell B SandvedBruce Coleman IncPhotoshot Holdings Ltd Figura 3641 Problema 28 As cores do besourotigre são misturas pontilhistas de cores produzidas por interferência 29 a Qual é a separação angular de duas estrelas cujas imagens mal podem ser resolvidas pelo telescópio refrator Thaw do Observatório Allegheny em Pittsburgh O diâmetro da lente é 76 cm e a distância focal é 14 m Suponha que λ 550 nm b Determine a distância entre as estrelas se ambas estão a 10 anosluz da Terra c Calcule o diâmetro do primeiro anel escuro da figura de difração de uma estrela isolada observada em uma placa fotográfica colocada no plano focal do mesmo telescópio Suponha que as variações de intensidade da imagem se devem exclusivamente a efeitos de difração 30 Moscas volantes As moscas volantes que vemos quando olhamos para uma folha de papel em branco fortemente iluminada são figuras de difração produzidas por defeitos presentes no humor vítreo que ocupa a maior parte do globo ocular A figura de difração fica mais nítida quando o papel é observado através de um pequeno orifício Desenhando um pequeno disco no papel é possível estimar o tamanho do defeito Suponha que o defeito difrata a luz da mesma forma que uma abertura circular Ajuste a distância L entre o disco e o olho que é praticamente igual à distância entre o disco e o cristalino até que o disco e a circunferência do primeiro mínimo da figura de difração tenham o mesmo tamanho aparente ou seja até que tenham o mesmo diâmetro D na retina situada a uma distância L 20 cm do cristalino como mostra a Fig 3642a na qual os ângulos dos dois lados do cristalino são iguais Suponha que o comprimento de onda da luz visível é λ 550 nm Se o disco tem um diâmetro D 20 mm está a uma distância L 450 cm do olho e o defeito está a uma distância x 60 mm da retina Fig 3642b qual é o diâmetro do defeito Figura 3642 Problema 30 31 Os aparelhos de radar de ondas milimétricas produzem um feixe mais estreito que os aparelhos de radar convencionais de microondas o que os torna menos vulneráveis aos mísseis antirradar a Calcule a largura angular 2θ do máximo central ou seja a distância entre os dois primeiros mínimos para um radar com uma frequência de 220 GHz e uma antena circular com 550 cm de diâmetro A frequência foi escolhida para coincidir com uma janela atmosférica de baixa absorção b Qual é o valor de 2θ para uma antena circular convencional com 23 m de diâmetro que trabalha com um comprimento de onda de 16 cm 32 a Um diafragma circular com 60 cm de diâmetro oscila debaixo dágua com uma frequência de 25 kHz sendo usado como fonte sonora para detectar submarinos Longe da fonte a distribuição da intensidade sonora é a da figura de difração de um furo circular com um diâmetro igual ao do diafragma Tome a velocidade do som na água como de 1450 ms e determine o ângulo entre a normal ao diafragma e a reta que liga o diafragma ao primeiro mínimo b Existe um mínimo como esse para uma fonte com uma frequência audível de 10 kHz 33 Lasers de raios X alimentados por reações nucleares são considerados uma possível arma para destruir mísseis balísticos intercontinentais pouco após o lançamento a distâncias de até 2000 km Uma limitação de uma arma desse tipo é o alargamento do feixe por causa da difração o que reduz consideravelmente a densidade de energia do feixe Suponha que o laser opere com um comprimento de onda de 140 nm O elemento que emite os raios X é a extremidade de um fio com 0200 mm de diâmetro a Calcule o diâmetro do feixe central ao atingir um alvo situado a 2000 km de distância do laser b Qual é a razão entre a densidade inicial de energia do laser e a densidade final Como o laser é disparado do espaço a absorção de energia pela atmosfera pode ser ignorada 34 Um obstáculo de forma circular produz a mesma figura de difração que um furo circular de mesmo diâmetro a não ser muito perto de θ 0 As gotas dágua em suspensão na atmosfera são um exemplo desse tipo de obstáculo Quando observamos a Lua através de gotas dágua em suspensão como no caso de um nevoeiro o que vemos é a figura de difração formada por muitas gotas A superposição dos máximos centrais de difração das gotas forma uma região clara que envolve a Lua e pode ocultála totalmente A fotografia da Fig 3643 foi tirada nessas condições Existem dois anéis coloridos em torno da Lua o anel maior pode ser fraco demais para ser visto na fotografia impressa O anel menor corresponde à parte externa do máximo central de difração das gotas o anel maior corresponde à parte externa do primeiro máximo secundário veja a Fig 3610 A cor é visível porque os anéis estão próximos dos mínimos de difração anéis escuros As cores em outras partes da figura se superpõem e não podem ser vistas a Quais são as cores dos dois anéis b O anel colorido associado ao máximo central na Fig 36 43 tem um diâmetro angular igual a 135 vez o diâmetro angular da Lua que é 0508 Suponha que todas as gotas têm o mesmo diâmetro Qual é o diâmetro aproximado das gotas Pekka ParvianenPhoto Researchers Inc Figura 3643 Problema 34 A corona da fotografia que envolve a Lua é formada pela superposição das figuras de difração de gotas dágua em suspensão na atmosfera Módulo 364 Difração por Duas Fendas 35 A envoltória central de difração de uma figura de difração por duas fendas contém 11 franjas claras e os primeiros mínimos de difração eliminam coincidem com franjas claras Quantas franjas de interferência existem entre o primeiro mínimo e o segundo mínimo da envoltória 36 Um feixe luminoso monocromático incide perpendicularmente em um sistema de dupla fenda como o da Fig 3510 As fendas têm 46 μm de largura e a distância entre as fendas é 030 mm Quantas franjas claras completas aparecem entre os dois mínimos de primeira ordem da figura de difração 37 Em um experimento de dupla fenda a distância entre as fendas d é 200 vezes maior que a largura w das fendas Quantas franjas claras existem na envoltória central de difração 38 Em uma figura de interferência de duas fendas existem 10 franjas claras dentro do segundo pico lateral da envoltória de difração e mínimos de difração coincidem com máximos de interferência Qual é a razão entre a distância entre as fendas e a largura das fendas 39 Uma luz com um comprimento de onda de 440 nm passa por um sistema de dupla fenda e produz uma figura de difração cujo gráfico de intensidade I em função da posição angular θ aparece na Fig 36 44 Determine a a largura das fendas e b a distância entre as fendas c Mostre que as intensidades máximas indicadas para as franjas de interferência com m 1 e m 2 estão corretas Figura 3644 Problema 39 40 A Fig 3645 mostra o parâmetro β da Eq 3620 em função do seno do ângulo θ em um experimento de interferência de dupla fenda usando uma luz com um comprimento de onda de 435 nm A escala do eixo vertical é definida por bs 800 rad Determine a a distância entre as fendas b o número de máximos de interferência considerando os máximos de um lado e do outro do máximo central c o menor ângulo para o qual existe um máximo e d o maior ângulo para o qual existe um mínimo Suponha que nenhum dos máximos de interferência é totalmente eliminado por um mínimo de difração Figura 3645 Problema 40 41 No experimento de interferência de dupla fenda da Fig 3510 a largura das fendas é 120 μm a distância entre as fendas é 240 μm o comprimento de onda é 600 nm e a tela de observação está a uma distância de 400 m Seja IP a intensidade no ponto P da tela situado a uma altura y 700 cm a Determine a razão entre IP e a intensidade Im no centro da tela b Determine a posição de P na figura de interferência especificando o máximo ou o mínimo no qual o ponto se encontra ou o máximo e o mínimo entre os quais o ponto se encontra c Determine a posição de P na figura de difração especificando o mínimo no qual o ponto se encontra ou os dois mínimos entre os quais o ponto se encontra 42 a Em um experimento de dupla fenda qual deve ser a razão entre d e a para que a quarta franja lateral clara seja eliminada b Que outras franjas claras também são eliminadas 43 a Quantas franjas claras aparecem entre os primeiros mínimos da envoltória de difração à direita e à esquerda do máximo central em uma figura de difração de dupla fenda se λ 550 nm d 0150 mm e a 300 μm b Qual é a razão entre as intensidades da terceira franja clara e da franja central Módulo 365 Redes de Difração 44 Talvez para confundir os predadores alguns besouros girinídeos tropicais são coloridos por interferência ótica produzida por escamas cujo alinhamento forma uma rede de difração que espalha a luz em vez de transmitila Quando os raios luminosos incidentes são perpendiculares à rede de difração o ângulo entre os máximos de primeira ordem localizados dos dois lados do máximo de ordem zero é aproximadamente 26 para uma luz com um comprimento de onda de 550 nm Qual é a distância efetiva entre as ranhuras da rede de difração 45 Uma rede de difração com 200 mm de largura possui 6000 ranhuras Uma luz com um comprimento de onda de 589 nm incide perpendicularmente na rede Determine a o maior b o segundo maior e c o terceiro maior valor de θ para o qual são observados máximos em uma tela distante 46 A luz visível incide perpendicularmente em uma rede com 315 ranhurasmm Qual é o maior comprimento de onda para o qual podem ser observadas linhas de difração de quinta ordem 47 Uma rede de difração possui 400 ranhurasmm Quantas ordens do espectro visível 400700 nm a rede pode produzir em um experimento de difração além da ordem m 0 48 Uma rede de difração é feita de fendas com 300 nm de largura separadas por uma distância de 900 nm A rede é iluminada com luz monocromática de comprimento de onda λ 600 nm e a incidência é normal a Quantos máximos são observados na figura de difração b Qual é a largura da linha observada na primeira ordem se a rede possui 1000 fendas 49 Uma luz de comprimento de onda 600 nm incide normalmente em uma rede de difração Dois máximos de difração vizinhos são observados em ângulos dados por sen θ 02 e sen θ 03 Os máximos de quarta ordem estão ausentes a Qual é a distância entre fendas vizinhas b Qual é a menor largura possível das fendas Para essa largura determine c o maior d o segundo maior e e o terceiro maior valor do número de ordem m dos máximos produzidos pela rede 50 Com a luz produzida por um tubo de descarga gasosa incidindo normalmente em uma rede de difração com uma distância entre fendas de 173 μm são observados máximos de luz verde para θ 176 373 371 652 650 Determine o comprimento de onda da luz verde que melhor se ajusta a esses dados 51 Uma rede de difração com 180 ranhurasmm é iluminada com uma luz que contém apenas dois comprimentos de onda λ1 400 nm e λ2 500 nm O sinal incide perpendicularmente na rede a Qual é a distância angular entre os máximos de segunda ordem dos dois comprimentos de onda b Qual é o menor ângulo para o qual dois dos máximos se superpõem c Qual é a maior ordem para a qual máximos associados aos dois comprimentos de onda estão presentes na figura de difração 52 Um feixe de luz que contém todos os comprimentos de onda entre 4600 nm e 6400 nm incide perpendicularmente em uma rede de difração com 160 ranhurasmm a Qual é a menor ordem que se superpõe a outra ordem b Qual é a maior ordem para a qual todos os comprimentos de onda do feixe original estão presentes Nessa ordem determine para qual ângulo é observada a luz c de 4600 nm e d de 6400 nm e Qual é o maior ângulo para o qual a luz de 4600 nm aparece 53 Uma rede de difração tem 350 ranhuras por milímetro e é iluminada por luz branca com incidência normal Uma figura de difração é observada em uma tela a 30 cm da rede Se um furo quadrado com 10 mm de lado é aberto na tela com o lado interno a 50 mm do máximo central e paralelo a esse máximo determine a o menor e b o maior comprimento de onda da luz que passa pelo furo 54 Demonstre a seguinte expressão para a intensidade luminosa da figura de difração produzida por uma rede de três fendas em que ϕ 2pd sen θλ e a λ Módulo 366 Dispersão e Resolução das Redes de Difração 55 Uma fonte que contém uma mistura de átomos de hidrogênio e deutério emite luz vermelha com dois comprimentos de onda cuja média é 6563 nm e cuja separação é 0180 nm Determine o número mínimo de ranhuras necessário para que uma rede de difração possa resolver as linhas em primeira ordem 56 a Quantas ranhuras deve ter uma rede de difração com 400 cm de largura para resolver os comprimentos de onda de 415496 nm e 415487 nm em segunda ordem b Para que ângulos são observados os máximos de segunda ordem 57 A luz de uma lâmpada de sódio com um comprimento de onda de 589 nm incide perpendicularmente em uma rede de difração com 40000 ranhuras de 76 nm de largura Determine os valores a da dispersão D e b da resolução R para a primeira ordem c de D e d de R para a segunda ordem e e de D e f de R para a terceira ordem 58 Uma rede de difração tem 600 ranhurasmm e 50 mm de largura a Qual é o menor intervalo de comprimentos de onda que a rede é capaz de resolver em terceira ordem para λ 500 nm b Quantas ordens acima da terceira podem ser observadas 59 Uma rede de difração com uma largura de 20 cm contém 1000 linhascm Para um comprimento de onda de 600 nm da luz incidente qual é a menor diferença de comprimentos de onda que esta rede pode resolver em segunda ordem 60 A linha D do espectro do sódio é um dubleto com comprimentos de onda 5890 e 5896 nm Calcule o número mínimo de ranhuras necessário para que uma rede de difração resolva este dubleto no espectro de segunda ordem 61 Uma rede de difração permite observar o dubleto do sódio em terceira ordem a 10 com a normal e o dubleto está no limite da resolução Determine a o espaçamento das ranhuras e b a largura da rede 62 Uma rede de difração iluminada com luz monocromática normal à rede produz uma linha em um ângulo θ a Qual é o produto da meia largura da linha pela resolução da rede b Calcule o valor do produto para a primeira ordem de uma rede com uma distância entre fendas de 900 nm iluminada por uma luz com um comprimento de onda de 600 nm 63 Suponha que os limites do espectro visível sejam fixados arbitrariamente em 430 e 680 nm Calcule o número de ranhuras por milímetro de uma rede de difração em que o espectro de primeira ordem do espectro visível cobre um ângulo de 2008 Módulo 367 Difração de Raios X 64 Qual é o menor ângulo de Bragg para que raios X com um comprimento de onda de 30 pm sejam refletidos por planos com uma distância interplanar de 030 nm em um cristal de calcita 65 Um feixe de raios X de comprimento de onda λ sofre reflexão de primeira ordem em um cristal quando o ângulo de incidência na face do cristal é 23 um feixe de raios X de comprimento de onda 97 pm sofre reflexão de terceira ordem quando o ângulo de incidência na mesma face é 60 Supondo que os dois feixes são refletidos pela mesma família de planos determine a a distância interplanar e b o comprimento de onda λ 66 Um feixe de raios X monocromáticos incide em um cristal de NaCl fazendo um ângulo de 300 com uma certa família de planos refletores separados por uma distância de 398 pm Se a reflexão nesses planos é de primeira ordem qual é o comprimento de onda dos raios X 67 A Fig 3646 mostra um gráfico da intensidade em função da posição angular θ para a difração de um feixe de raios X por um cristal A escala do eixo horizontal é definida por θs 200 O feixe contém dois comprimentos de onda e a distância entre os planos refletores é 094 nm Determine a o menor e b o maior comprimento de onda do feixe Figura 3646 Problema 67 68 Se uma reflexão de primeira ordem ocorre em um cristal para um ângulo de Bragg de 34 para qual ângulo de Bragg ocorre uma reflexão de segunda ordem produzida pela mesma família de planos 69 Raios X com um comprimento de onda de 012 nm sofrem reflexão de segunda ordem em um cristal de fluoreto de lítio para um ângulo de Bragg de 28 Qual é a distância interplanar dos planos cristalinos responsáveis pela reflexão 70 Na Fig 3647 a reflexão de primeira ordem nos planos indicados acontece quando um feixe de raios X com um comprimento de onda de 0260 nm faz um ângulo de 638 com a face superior do cristal Qual é a dimensão a0 da célula unitária Figura 3647 Problema 70 71 Na Fig 3648 um feixe de raios X com um comprimento de onda de 0125 nm incide em um cristal de NaCl fazendo um ângulo θ 450 com a face superior do cristal e com uma família de planos refletores O espaçamento entre os planos refletores é d 0252 nm O cristal é girado de um ângulo ϕ em torno de um eixo perpendicular ao plano do papel até que os planos refletores produzam máximos de difração Determine a o menor e b o maior valor de ϕ se o cristal for girado no sentido horário e c o maior e d o menor valor de ϕ se o cristal for girado no sentido antihorário Figura 3648 Problemas 71 e 72 72 Na Fig 3648 um feixe de raios X com comprimentos de onda entre 950 pm e 140 pm faz um ângulo θ 45 com uma família de planos refletores com um espaçamento d 275 pm Entre os máximos de intensidade do feixe difratado determine a o maior comprimento de onda λ b o valor do número de ordem m associado c o menor λ d o valor de m associado 73 Considere uma estrutura cristalina bidimensional quadrada como por exemplo um dos lados da estrutura que aparece na Fig 3628a A maior distância interplanar dos planos refletores é a0 a dimensão da célula unitária Calcule e mostre em um desenho a a segunda maior b a terceira maior c a quarta maior d a quinta maior e e a sexta maior distância interplanar f Mostre que os resultados dos itens a a e estão de acordo com a fórmula geral em que h e k são números primos em comum isto é não possuem fatores em comum além da unidade Problemas Adicionais 74 Um astronauta a bordo de uma espaçonave afirma que pode resolver com dificuldade dois pontos da superfície da Terra 160 km abaixo Calcule a a separação angular e b a separação linear dos pontos supondo condições ideais Tome λ 540 nm como o comprimento de onda da luz e d 500 mm como o diâmetro da pupila do astronauta 75 Um feixe de luz visível incide perpendicularmente em uma rede de difração de 200 ranhurasmm Determine a o maior b o segundo maior e c o terceiro maior comprimento de onda que pode ser associado a um máximo de intensidade em θ 3008 76 Um feixe luminoso contém dois comprimentos de onda 590159 nm e 590220 nm que devem ser resolvidos por uma rede de difração Se a largura da rede é 380 cm qual é o número mínimo de ranhuras necessário para que os dois comprimentos de onda sejam resolvidos em segunda ordem 77 Em um experimento de difração por uma fenda um mínimo de intensidade da luz laranja λ 600 nm e um mínimo de intensidade da luz verde λ 500 nm são observados no mesmo ângulo de 100 mrad Qual é a menor largura da fenda para a qual isso é possível 78 Um sistema de dupla fenda cujas fendas têm 0030 mm de largura e estão separadas por uma distância de 018 mm é iluminado com uma luz de 500 nm que incide perpendicularmente ao plano das fendas Qual é o número de franjas claras completas que aparecem entre os dois mínimos de primeira ordem da figura de difração Não inclua as franjas que coincidem com os mínimos da figura de difração 79 Uma rede de difração tem uma resolução R λmédDλ Nm a Mostre que a diferença entre as frequências que podem ser resolvidas no limite da resolução Δf é dada por Δf cNmλ b Mostre que a diferença entre os tempos de percurso do raio de baixo e do raio de cima da Fig 3622 é dada por Δt Ndc sen θ c Mostre que DfDt 1 e que portanto esse produto não depende dos parâmetros da rede Suponha que N 1 80 A pupila do olho de uma pessoa tem um diâmetro de 500 mm De acordo com o critério de Rayleigh qual deve ser a distância entre dois pequenos objetos para que estejam no limite da resolução quando se encontram a 250 mm de distância do olho dessa pessoa Suponha que o comprimento de onda da luz é 500 nm 81 Uma luz incide em uma rede de difração fazendo um ângulo ψ com o plano da rede como mostra a Fig 3649 Mostre que franjas claras ocorrem em ângulos θ que satisfazem a equação dsen ψ sen θ mλ para m 0 1 2 Compare essa equação com a Eq 3625 Apenas o caso especial ψ 0 foi tratado neste capítulo Figura 3649 Problema 81 82 Uma rede de difração com d 150 μm é iluminada por uma luz cujo comprimento de onda é 600 nm com vários ângulos de incidência Desenhe um gráfico no intervalo de 0 a 90 do ângulo entre a direção do máximo de primeira ordem e a direção de incidência em função do ângulo de incidência Sugestão Veja o Problema 81 83 Em um experimento de dupla fenda se a distância entre as fendas é 14 μm e a largura das fendas é 20 μm determine a quantos máximos de interferência existem no pico central da envoltória de difração e b quantos máximos de interferência existem em um dos picos laterais de primeira ordem da envoltória de difração 84 Em uma figura de interferência de dupla fenda qual é a razão entre a separação das fendas e a largura das fendas se existem 17 franjas claras na envoltória central de difração e os mínimos de difração coincidem com os máximos de interferência 85 Um feixe luminoso que contém vários comprimentos de onda muito próximos no entorno de 450 nm incide perpendicularmente em uma rede de difração com uma largura de 180 cm e uma densidade de linhas de 1400 linhascm Qual é a menor diferença entre os comprimentos de onda do feixe que a rede é capaz de resolver em terceira ordem 86 Se uma pessoa olha para um objeto situado a 40 m de distância qual é a menor distância perpendicular à linha de visão que é capaz de resolver de acordo com o critério de Rayleigh Suponha que a pupila do olho tem um diâmetro de 400 mm e que o comprimento de onda da luz é 500 nm 87 Duas flores amarelas estão separadas por uma distância de 60 cm ao longo de uma reta perpendicular à linha de visão de um observador A que distância o observador se encontra das flores quando estas estão no limite de resolução de acordo com o critério de Rayleigh Suponha que a luz proveniente das flores tem um comprimento de onda de 550 nm e que a pupila do observador tem um diâmetro de 55 mm 88 Em um experimento de difração por uma fenda qual deve ser a razão entre a largura da fenda e o comprimento de onda para que o segundo mínimo de difração seja observado para um ângulo de 370 em relação ao centro da figura de difração 89 Uma rede de difração com 300 cm de largura produz um máximo de segunda ordem a 330 quando o comprimento de onda da luz é 600 nm Qual é o número de ranhuras da rede 90 Um experimento de difração por uma fenda utiliza uma luz com um comprimento de onda de 420 nm que incide perpendicularmente em uma fenda com 510 μm de largura A tela de observação está a 320 m de distância da fenda Qual é a distância na tela entre o centro da figura de difração e o segundo mínimo de difração 91 Uma rede de difração tem 8900 fendas em 120 cm Se uma luz com um comprimento de onda de 500 nm incide na rede quantas ordens máximos existem de cada lado do máximo central 92 Em um experimento para medir a distância entre a superfície da Terra e a superfície da Lua a radiação pulsada de um laser de rubi λ 069 μm foi enviada para a Lua através de um telescópio refletor cujo espelho tinha um raio de 13 m Um refletor deixado por astronautas na Lua se comportou como um espelho plano circular com 10 cm de raio refletindo a luz diretamente de volta para o telescópio A luz refletida foi detectada depois de ser focalizada pelo telescópio Aproximadamente que fração da energia luminosa original foi recebida pelo detector Suponha que toda a energia dos feixes de ida e de volta estava concentrada no pico central de difração 93 Em junho de 1985 o feixe de luz produzido por um laser na Estação Ótica da Força Aérea em Maui Havaí foi refletido pelo ônibus espacial Discovery que estava em órbita a uma altitude de 354 km Segundo as notícias o máximo central do feixe tinha um diâmetro de 91 m ao chegar ao ônibus espacial e a luz tinha um comprimento de onda de 500 nm Qual era o diâmetro efetivo da abertura do laser usado na estação de Maui Sugestão O feixe de um laser só se espalha por causa da difração suponha que a saída do laser tinha uma abertura circular 94 Uma rede de difração com 100 cm de largura possui 10000 fendas paralelas Uma luz monocromática que incide perpendicularmente na rede sofre uma difração de 30 em primeira ordem Qual é o comprimento de onda da luz 95 Quando multiplicamos por dois a largura de uma fenda a energia que passa pela fenda é multiplicada por dois mas a intensidade do máximo central da figura de difração é multiplicada por quatro Explique quantitativamente a razão da diferença 96 Quando uma luz monocromática incide em uma fenda com 220 μm de largura o primeiro mínimo de difração é observado para um ângulo de 180 em relação à direção da luz incidente Qual é o comprimento de onda da luz 97 Um satélite espião que está em órbita 160 km acima da superfície da Terra possui uma lente com uma distância focal de 36 m e pode resolver objetos no solo com dimensões maiores que 30 cm Assim por exemplo pode medir facilmente o tamanho da tomada de ar de uma turbina de avião Qual é o diâmetro efetivo da lente supondo que a resolução é limitada apenas por efeitos de difração Considere que λ 550 nm 98 Dois pontos estão separados por uma distância de 20 cm Se os pontos são vistos por um olho cuja pupila tem 50 mm de diâmetro a que distância do observador está o limite de resolução de Rayleigh Suponha um comprimento de onda de 500 nm para a luz 99 Uma rede de difração possui 200 ranhurasmm Uma luz que contém todos os comprimentos de onda entre 550 nm e 700 nm incide perpendicularmente na rede a Qual é a menor ordem que se superpõe a outra ordem b Qual é a maior ordem para a qual o espectro completo está presente 100 Uma rede de difração possui 200 ranhurasmm e produz um máximo de intensidade em θ 300 a Quais são os possíveis comprimentos de onda da luz visível incidente b A que cores esses comprimentos de onda correspondem 101 Mostre que a dispersão de uma rede de difração é dada por D tan θλ 102 Uma luz monocromática com um comprimento de onda de 450 nm incide perpendicularmente em uma fenda com 040 mm de largura Uma tela é instalada paralelamente ao plano da fenda e a distância na tela entre os mínimos à direita e à esquerda do máximo central é 18 mm a Qual é a distância entre a fenda e a tela Sugestão O ângulo dos mínimos é tão pequeno que sen θ tan θ b Qual é a distância na tela entre o primeiro mínimo e o terceiro mínimo do mesmo lado do máximo central 103 Uma luz que consiste em uma mistura de dois comprimentos de onda 500 e 600 nm incide perpendicularmente em uma rede de difração Desejase 1 que o primeiro e o segundo máximos para os dois comprimentos de onda sejam observados para θ 30 2 que a dispersão seja a maior possível e 3 que não exista a terceira ordem para a luz de 600 nm a Qual deve ser a distância entre as fendas b Qual é a menor largura das fendas que pode ser usada c Para os valores calculados nos itens a e b e a luz de 600 nm qual é o máximo de maior ordem produzido pela rede 104 Um feixe de raios X com comprimentos de onda entre 0120 nm e 00700 nm é espalhado por uma família de planos de um cristal A distância interplanar é 0250 nm Observase que são produzidos feixes difratados para comprimentos de onda de 0100 nm e 00750 nm Qual é o ângulo entre o feixe incidente e o feixe espalhado 105 Mostre que uma rede de difração feita de faixas alternadas transparentes e opacas de mesma largura elimina todos os máximos de ordem par exceto o máximo central 106 Uma luz com um comprimento de onda de 500 nm é difratada por uma fenda com uma largura de 200 μm e observada em uma tela situada a 200 m de distância da fenda Qual é a distância na tela entre o centro da figura de difração e o terceiro mínimo de difração 107 Se em uma figura de interferência de dupla fenda existem 8 franjas claras dentro do primeiro pico lateral da envoltória de difração e mínimos de difração coincidem com máximos de interferência qual é a razão entre a separação das fendas e a largura das fendas 108 Um feixe de luz branca contendo todos os comprimentos de onda entre 400 nm e 700 nm incide perpendicularmente em uma rede de difração Mostre que independentemente do valor do espaçamento d das ranhuras a segunda ordem e a terceira ordem se superpõem parcialmente 109 Quando fazemos d a na Fig 3650 as duas fendas se tornam uma única fenda de largura 2a Mostre que nesse caso a Eq 3619 e a Eq 365 levam ao mesmo resultado Figura 3650 Problema 109 110 Demonstre a Eq 3628 a expressão da meia largura das linhas da figura de difração de uma rede 111 Prove que não é possível determinar o comprimento de onda da radiação incidente e a distância entre os planos refletores de um cristal medindo o ângulo de Bragg para várias ordens 112 Quantas ordens do espectro visível 400 a 700 nm podem ser produzidas por uma rede de difração de 500 linhasmm 113 A Fig 3651 mostra um sistema acústico de dupla fenda no qual a distância entre as fendas é d e a largura das fendas é a Usando uma linha de retardo ajustável é possível fazer variar a fase de um dos altofalantes em relação ao outro Descreva com detalhes o que acontece com a figura de difração a grandes distâncias quando a diferença de fase entre os altofalantes varia de zero a 2π Leve em conta tanto os efeitos de interferência como os de difração Figura 3651 Problema 113 114 Duas linhas de emissão têm comprimentos de onda λ e λ Δλ em que Δλ λ Mostre que a separação angular Δθ das linhas em um espectrômetro de rede de difração é dado aproximadamente por em que d é o espaçamento das ranhuras e m é a ordem na qual as linhas são observadas Note que a separação angular é maior nas ordens mais altas 1A localização exata dos máximos secundários é discutida no Problema 17 NT 1A localização exata dos máximos secundários é discutida no Problema 17 NT 1A demonstração da Eq 3628 é assunto do Problema 110 NT CAPÍTULO 37 Relatividade 371 SIMULTANEIDADE E DILATAÇÃO DO TEMPO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3701 Conhecer os dois postulados da teoria da relatividade restrita e o tipo de referencial a que esses postulados se aplicam 3702 Saber que a velocidade da luz é a maior velocidade possível e conhecer seu valor aproximado 3703 Explicar de que forma as coordenadas espaçotemporais de um evento podem ser medidas com uma rede tridimensional de relógios e réguas e de que forma isso elimina a necessidade de levar em conta o tempo de trânsito de um sinal até um observador 3704 Saber que a relatividade do espaço e do tempo se refere à transferência de medidas de um referencial inercial para outro mas que a cinemática clássica e a mecânica newtoniana continuam a ser válidas se as medidas forem feitas no mesmo referencial 3705 Saber que no caso de referenciais em movimento relativo eventos que são simultâneos em um referencial podem não ser simultâneos no outro referencial 3706 Explicar o que significa afirmar que o espaço e o tempo estão interligados 3707 Saber em que condições a distância temporal entre dois eventos é um tempo próprio 3708 Saber que se a distância temporal entre dois eventos é um tempo próprio quando é medida em um referencial será maior se for medida em outro referencial 3709 Conhecer a relação entre o tempo próprio o tempo dilatado e a velocidade relativa entre dois referenciais 3710 Conhecer a relação entre a velocidade relativa o parâmetro de velocidade e o fator de Lorentz IdeiasChave A teoria da relatividade restrita de Einstein se baseia em dois postulados 1 As leis da física são as mesmas para observadores situados em referenciais inerciais 2 A velocidade da luz tem o mesmo valor c em todas as direções e em todos os referenciais inerciais Três coordenadas espaciais e uma coordenada temporal são necessárias para especificar um evento A teoria da relatividade restrita se propõe a determinar as relações entre as coordenadas atribuídas a um mesmo evento por dois observadores que estão se movendo com velocidade constante um em relação ao outro Se dois observadores estão se movendo um em relação ao outro eles podem não concordar quanto à simultaneidade de dois eventos Se dois eventos sucessivos acontecem no mesmo lugar em um referencial inercial o intervalo de tempo Δt0 entre esses eventos medido por um relógio situado no mesmo lugar que os eventos é chamado de tempo próprio Observadores situados em referenciais que estão se movendo em relação a esse referencial medem para o intervalo um valor Δt maior que Δt0 um efeito conhecido como dilatação do tempo Se a velocidade relativa entre dois referenciais é v em que β vc é o parâmetro de velocidade e é o fator de Lorentz O que É Física Uma área importante da física é a relatividade o campo de estudo dedicado à medida de eventos acontecimentos onde e quando ocorrem e qual é a distância que os separa no espaço e no tempo Além disso a relatividade tem a ver com a relação entre os valores medidos em referenciais que estão se movendo um em relação ao outro daí o nome relatividade A relação entre os resultados de medidas executadas em diferentes referenciais discutida nos Módulos 46 e 47 era um assunto conhecido e tratado rotineiramente pelos físicos em 1905 ano em que Albert Einstein Fig 371 propôs a teoria da relatividade restrita O adjetivo restrita é usado para indicar que a teoria se aplica apenas a referenciais inerciais isto é a referenciais em que as leis de Newton são válidas A teoria da relatividade geral de Einstein se aplica à situação mais complexa na qual os referenciais podem sofrer uma aceleração gravitacional neste capítulo o termo relatividade será aplicado apenas a referenciais inerciais Partindo de dois postulados aparentemente simples Einstein surpreendeu o mundo científico ao mostrar que as velhas ideias a respeito da relatividade estavam erradas embora todos estivessem tão acostumados com elas que pareciam óbvias O fato de parecerem óbvias era uma consequência do fato de que estamos acostumados a observar corpos que se movem com velocidades relativamente pequenas A teoria da relatividade de Einstein que fornece resultados corretos para todas as velocidades possíveis previa muitos efeitos que à primeira vista pareciam estranhos justamente porque ninguém jamais os havia observado Entrelaçamento Em particular Einstein demonstrou que o espaço e o tempo estão entrelaçados ou seja que o intervalo de tempo entre dois eventos depende da distância que os separa e viceversa Além disso o entrelaçamento é diferente para observadores que estão em movimento um em relação ao outro Uma consequência é o fato de que o tempo não transcorre a uma taxa fixa como se fosse marcado com regularidade mecânica por algum relógiomestre que controla o universo Na realidade o fluxo do tempo é ajustável o movimento relativo modifica a rapidez com que o tempo passa Antes de 1905 essa ideia seria impensável para a maioria das pessoas Hoje engenheiros e cientistas a encaram naturalmente porque a familiaridade com a teoria da relatividade restrita os ajudou a superar os preconceitos Assim por exemplo qualquer engenheiro envolvido com o Sistema de Posicionamento Global dos satélites NAVSTAR precisa usar a relatividade de forma rotineira para determinar a passagem do tempo nos satélites já que o tempo passa mais devagar nos satélites que na superfície terrestre Se os engenheiros não levassem em conta a relatividade o GPS se tornaria inútil em menos de 24 horas A teoria da relatividade restrita tem fama de ser uma teoria difícil Não é difícil do ponto de vista matemático pelo menos nos fundamentos Entretanto é difícil no sentido de que devemos tomar cuidado para definir claramente quem está medindo o quê e como a medida está sendo executada e pode ser difícil também porque em vários aspectos contraria o senso comum CorbisBettmann Figura 371 Einstein posando para uma fotografia quando estava começando a ficar conhecido Os Postulados da Relatividade Vejamos agora os dois postulados em que se baseia a teoria de Einstein 1 Postulado da Relatividade As leis da física são as mesmas para todos os observadores situados em referenciais inerciais Não existe um referencial absoluto Galileu postulou que as leis da mecânica eram as mesmas em todos os referenciais inerciais Einstein ampliou a ideia para incluir todas as leis da física especialmente as do eletromagnetismo e da ótica Este postulado não afirma que os valores experimentais das grandezas físicas são os mesmos para todos os observadores inerciais na maioria dos casos os valores são diferentes As leis da física que expressam as relações entre os valores experimentais de duas ou mais grandezas físicas é que são as mesmas 2 Postulado da Velocidade da Luz A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em todas as direções e em todos os referenciais inerciais Outra forma de enunciar este postulado é dizer que existe na natureza uma velocidade limite c que é a mesma em todas as direções e em todos os referenciais inerciais A luz se propaga com essa velocidade limite Nenhuma entidade capaz de transportar energia ou informação pode exceder esse limite Além disso nenhuma partícula com massa diferente de zero pode atingir esse limite mesmo que seja acelerada por um tempo muito longo Isso significa que infelizmente as naves que se movem mais depressa que a luz em muitas histórias de ficção científica provavelmente jamais serão construídas Figura 372 Os pontos mostram valores experimentais da energia cinética de um elétron para diferentes valores da velocidade Por maior que seja a energia fornecida a um elétron ou qualquer outra partícula com massa a velocidade da partícula jamais atinge ou supera a velocidade limite c A curva que passa pelos pontos mostra as previsões da teoria da relatividade restrita de Einstein Embora os dois postulados tenham sido exaustivamente testados nenhuma exceção até hoje foi descoberta A Velocidade Limite A existência de um limite para a velocidade dos elétrons foi demonstrada em 1964 em um experimento de W Bertozzi O cientista acelerou elétrons e mediu usando métodos independentes a velocidade e a energia cinética desses elétrons em vários instantes de tempo O experimento mostrou que a aplicação de uma força a um elétron que já que está se movendo em alta velocidade faz a energia cinética aumentar mas a velocidade praticamente não varia Fig 372 Os cientistas já conseguiram acelerar elétrons a uma velocidade igual a 0999 999 999 95 vez a velocidade da luz uma velocidade que embora esteja muito próxima da velocidade limite é menor que c A velocidade limite foi definida como exatamente Atenção Até agora supusemos corretamente que a velocidade c era aproximadamente igual a 30 108 ms neste capítulo porém vamos ter que usar o valor exato em vários cálculos Talvez seja conveniente para o leitor guardar esse número na memória de uma calculadora para usálo quando for necessário Um Teste do Postulado da Velocidade da Luz Se a velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais inerciais a velocidade da luz emitida por uma fonte em movimento em relação digamos a um laboratório deve ser igual à velocidade da luz emitida por uma fonte em repouso no mesmo laboratório Este fato foi testado diretamente em um experimento de alta precisão A fonte luminosa utilizada foi o píon neutro π0 uma partícula instável de tempo de vida curto que pode ser produzida por colisões em um acelerador de partículas O píon neutro decai em dois raios gama pela reação Os raios gama são ondas eletromagnéticas e portanto devem obedecer ao postulado da velocidade da luz Neste capítulo vamos chamar de luz qualquer onda eletromagnética visível ou não Em um experimento realizado em 1964 os físicos do CERN um laboratório europeu de física de partículas situado nas proximidades de Genebra produziram um feixe de píons neutros que se moviam a uma velocidade de 0999 75c em relação ao laboratório Os cientistas mediram a velocidade dos raios gama emitidos por esses píons e observaram que era igual à velocidade dos raios gama emitidos por píons em repouso em relação ao laboratório Registro de um Evento Um evento é qualquer coisa que acontece Um observador pode atribuir quatro coordenadas a um evento três espaciais e uma temporal Eis alguns exemplos de eventos 1 o acender ou apagar de uma lâmpada 2 a colisão de duas partículas 3 a passagem de um pulso luminoso por um ponto do espaço 4 uma explosão 5 a coincidência entre um ponteiro de um relógio e uma marca no mostrador Um observador em repouso em um referencial inercial pode por exemplo atribuir a um evento A as coordenadas que aparecem na Tabela 371 Como o espaço e o tempo estão interligados na relatividade chamamos as quatro coordenadas de coordenadas espaçotemporais O sistema de coordenadas faz parte do referencial do observador O mesmo evento pode ser registrado por vários observadores cada um em um referencial inercial diferente Em geral observadores diferentes atribuem ao mesmo evento coordenadas espaçotemporais diferentes Note que um evento não pertence a um referencial em particular evento é simplesmente 1 2 algo que acontece e qualquer observador em qualquer referencial pode observálo e atribuir ao evento coordenadas espaçotemporais Tabela 371 Registro do Evento A Coordenada Valor x 358 m y 129 m z 0 m t 345 s Tempos de Trânsito A determinação das coordenadas de um evento pode ser complicada por um problema de ordem prática Suponha por exemplo que uma lanterna pisca 1 km à direita de um observador enquanto uma granada luminosa explode 2 km à esquerda e que os dois eventos ocorrem exatamente às 9 horas O observador toma conhecimento primeiro do piscar da lanterna já que a luz proveniente da lanterna tem uma distância menor para percorrer até chegar aos seus olhos Para descobrir em que momento exato os dois eventos aconteceram o observador tem que levar em contra o tempo que a luz levou para percorrer a distância que o separa dos dois eventos e subtrair esse tempo do tempo registrado no seu relógio Esse processo pode ser muito trabalhoso em situações mais complexas o que precisamos é de um método mais simples que elimine automaticamente qualquer preocupação com o tempo de trânsito da informação entre o local do evento e a posição do observador Para isso construímos uma rede imaginária de réguas e relógios no referencial inercial do observador o observador e a rede se movem juntamente com o referencial Esta construção pode parecer forçada mas elimina muitas ambiguidades e permite determinar as coordenadas espaciais e a coordenada temporal como veremos a seguir Coordenadas Espaciais Imaginamos que o sistema de coordenadas do observador dispõe de uma rede tridimensional de réguas paralelas aos três eixos de referência As réguas são usadas para determinar as coordenadas espaciais do evento Se o evento é por exemplo o acendimento de uma lâmpada para determinar a localização do evento o observador tem apenas que ler no sistema de réguas as três coordenadas espaciais da lâmpada Coordenada Temporal Para determinar a coordenada temporal imaginamos que em cada ponto de interseção da rede de réguas é instalado um relógio A Fig 373 mostra um dos planos do trepa trepa de réguas e relógios que acabamos de descrever Os relógios devem ser sincronizados adequadamente Seria errado por exemplo reunir uma coleção de relógios iguais ajustar todos para a mesma hora e deslocálos para suas posições na rede 3 de réguas Não sabemos por exemplo se o movimento faz os relógios adiantarem ou atrasarem daqui a pouco vamos falar sobre o efeito do movimento sobre os relógios O procedimento correto é colocar os relógios nos seus lugares e depois sincronizálos Se dispuséssemos de um método para transmitir sinais com velocidade infinita sincronizar os relógios seria uma tarefa trivial Como nenhum sinal conhecido possui essa propriedade escolhemos a luz interpretada no sentido amplo como representando qualquer onda eletromagnética para transmitir os sinais de sincronismo já que no vácuo a luz viaja com a maior velocidade possível a velocidade limite c Aqui está uma das muitas formas pelas quais um observador pode sincronizar uma rede de relógios usando sinais luminosos o observador convoca um grupo de auxiliares temporários um para cada relógio Depois de se colocar em um ponto escolhido para ser a origem o observador produz um pulso luminoso no momento em que seu relógio indica t 0 Quando o pulso luminoso chega ao local onde se encontra um dos auxiliares esse auxiliar ajusta o relógio local para indicar t rc em que r é a distância entre o auxiliar e a origem Coordenadas Espaçotemporais Uma vez construída a rede de réguas e relógios o observador pode atribuir coordenadas espaçotemporais a um evento simplesmente registrando o tempo indicado pelo relógio mais próximo do evento e a posição indicada pelas réguas mais próximas No caso de dois eventos o observador considera a distância no tempo como a diferença entre os tempos indicados pelos relógios mais próximos dos dois eventos e a distância no espaço como a diferença entre as coordenadas indicadas pelas réguas mais próximas dos dois eventos Procedendo dessa forma evitamos o problema prático de calcular o tempo de trânsito dos sinais que chegam ao observador Figura 373 Um dos planos de uma rede tridimensional de relógios e réguas com a qual um observador pode atribuir coordenadas espaçotemporais a um evento qualquer como um clarão no ponto A As coordenadas espaciais do evento são aproximadamente x 37 unidades de comprimento y 12 unidade de comprimento e z 0 A coordenada temporal é a hora indicada pelo relógio mais próximo de A no instante em que acontece o clarão A Relatividade da Simultaneidade Suponha que um observador João observa que dois eventos independentes evento Vermelho e evento Azul ocorreram simultaneamente Suponha também que outro observador Maria que está se movendo com velocidade constante em relação a João também registra os dois eventos Os eventos também são simultâneos para Maria A resposta em geral é negativa Dois observadores em movimento relativo não concordam em geral quanto à simultaneidade de dois eventos Se um dos observadores os considera simultâneos o outro em geral conclui que não são simultâneos Não podemos dizer que um observador está certo e o outro está errado as observações de ambos são igualmente válidas e não há motivo para dar razão a um deles O fato de que duas afirmações contraditórias a respeito do mesmo evento podem estar corretas é uma das conclusões aparentemente ilógicas da teoria de Einstein Entretanto no Capítulo 17 discutimos outra forma pela qual o movimento pode afetar os resultados de uma medida sem nos espantarmos com os resultados contraditórios no efeito Doppler a frequência de uma onda sonora medida por um observador depende do movimento relativo entre o observador e a fonte Assim dois observadores em movimento relativo podem medir frequências diferentes para a mesma onda e as duas medidas estão corretas Chegamos portanto à seguinte conclusão A simultaneidade não é um conceito absoluto e sim um conceito relativo que depende do movimento do observador Se a velocidade relativa dos observadores é muito menor que a velocidade da luz os desvios em relação à simultaneidade são tão pequenos que não podem ser observados É o que acontece na vida cotidiana é por isso que a relatividade da simultaneidade nos parece tão estranha Figura 374 As espaçonaves de João e Maria e os eventos do ponto de vista de João A espaçonave de Maria está se movendo para a direita com velocidade a O evento Vermelho ocorre na posição V V e o evento Azul ocorre na posição AA os dois eventos produzem ondas luminosas b João detecta simultaneamente as ondas dos eventos Vermelho e Azul c Maria detecta a onda do evento Vermelho antes de João detectar os dois eventos d Maria detecta a onda do evento Azul depois de João detectar os dois eventos Examinando a Simultaneidade Mais de Perto Vamos esclarecer o fenômeno da relatividade da simultaneidade usando um exemplo que se baseia nos postulados da relatividade sem que réguas ou relógios estejam diretamente envolvidos A Fig 374 mostra duas espaçonaves João e Maria que podem servir como referenciais inerciais para os observadores João e Maria Os dois observadores estão parados no centro das respectivas naves que viajam paralelamente ao eixo x a velocidade da nave Maria em relação à nave João é A Fig 374a mostra as naves no momento em que estão emparelhadas As naves são atingidas por dois meteoritos um produz um clarão vermelho evento Vermelho e o outro um clarão azul evento Azul Os dois eventos não são necessariamente simultâneos Cada evento deixa uma marca permanente nas duas naves nas posições V e A da nave João e nas posições V e A da nave Maria Suponha que as luzes produzidas pelos dois eventos cheguem simultaneamente ao ponto onde está João como na Fig 374b Suponha ainda que depois do episódio João descubra observando as marcas deixadas em sua espaçonave que estava exatamente a meio caminho entre as marcas A e V no instante em que os dois eventos ocorreram Nesse caso João dirá o seguinte João A luz proveniente do evento Vermelho e a luz proveniente do evento Azul foram observadas por mim no mesmo instante De acordo com as marcas deixadas em minha espaçonave eu estava a meio caminho entre os dois eventos quando eles aconteceram Isso significa que os eventos Vermelho e Azul aconteceram simultaneamente Como podemos ver examinando a Fig 374 Maria e a luz proveniente do evento Vermelho estão se movendo em sentidos opostos enquanto a moça e a luz proveniente do evento Azul estão se movendo no mesmo sentido Isso significa que a luz proveniente do evento Vermelho chega a Maria antes da luz proveniente do evento Azul A moça diz o seguinte Maria A luz proveniente do evento Vermelho foi vista por mim antes da luz proveniente do evento Azul De acordo com as marcas deixadas em minha espaçonave eu estava a meio caminho entre os dois eventos quando eles aconteceram Isso significa que o evento Vermelho aconteceu antes do evento Azul Embora as interpretações dos dois astronautas sejam diferentes ambas estão corretas Observe que existe apenas uma frente de onda partindo do local de cada evento e que essa frente de onda se propaga com a mesma velocidade c em qualquer referencial como exige o postulado da velocidade da luz Os meteoritos poderiam ter atingido as naves de tal forma que os eventos parecessem simultâneos a Maria Nesse caso os eventos não seriam simultâneos para João A Relatividade do Tempo Se dois observadores que estão se movendo um em relação ao outro medem um intervalo de tempo ou separação temporal entre dois eventos em geral encontram resultados diferentes Por quê Porque a separação espacial dos eventos pode afetar o intervalo de tempo medido pelos observadores O intervalo de tempo entre dois eventos depende da distância entre os eventos tanto no espaço como no tempo ou seja as separações espacial e temporal estão entrelaçadas Neste módulo vamos discutir esse entrelaçamento usando um exemplo O exemplo escolhido é particular em um ponto crucial para um dos dois observadores os dois eventos ocorrem no mesmo local Exemplos mais gerais serão discutidos no Módulo 373 A Fig 375a mostra um experimento realizado por Maria quando a moça e seu equipamento uma fonte luminosa um espelho um detector e um relógio estão a bordo de um trem que se move com velocidade constante em relação a uma estação Um pulso emitido pela fonte luminosa deixa o ponto B evento 1 viaja verticalmente para cima é refletido verticalmente para baixo pelo espelho e é detectado no ponto de origem evento 2 Maria mede um intervalo de tempo Δt0 entre os dois eventos que está relacionado à distância D entre a fonte e o espelho pela equação Figura 375 a Maria a bordo do trem mede o intervalo de tempo Δt0 entre os eventos 1 e 2 usando o mesmo relógio C O relógio é mostrado duas vezes na figura uma no instante em que ocorre o evento 1 e outra no instante em que ocorre o evento 2 b João que está na plataforma da estação quando os eventos ocorrem precisa de dois relógios sincronizados C1 no local do evento 1 e C2 no local do evento 2 para medir o intervalo de tempo entre os dois eventos o intervalo de tempo medido por ele é Δt Os dois eventos ocorrem no mesmo ponto no referencial de Maria e portanto ela necessita apenas de um relógio C situado nesse ponto para medir o intervalo de tempo O relógio C é mostrado duas vezes na Fig 375a no início e no final do intervalo Considere agora de que forma os mesmos dois eventos são medidos por João que está na plataforma de estação quando o trem passa Como o equipamento se move com o trem enquanto a luz está se propagando o percurso do pulso luminoso do ponto de vista de João é o que aparece na Fig 375b Para ele os dois eventos acontecem em pontos diferentes do seu referencial de modo que para medir o intervalo de tempo entre os eventos João precisa usar dois relógios sincronizados C1 e C2 um para cada evento De acordo com o postulado da velocidade da luz de Einstein a luz se propaga com a mesma velocidade para João e para Maria Agora porém a luz viaja uma distância 2L entre os eventos 1 e 2 O intervalo de tempo medido por João entre os dois eventos é em que Combinando as Eqs 375 e 373 temos Combinando as Eqs 376 e 374 e explicitando Δt obtemos A Eq 377 mostra a relação entre o intervalo Δt medido por João e o intervalo Δt0 medido por Maria Como v é necessariamente menor que c o denominador da Eq 377 é um número real menor que um Assim Δt é maior que Δt0 o intervalo entre os dois eventos do ponto de vista de João é maior que do ponto de vista de Maria João e Maria mediram o intervalo de tempo entre os mesmos dois eventos mas o movimento relativo entre João e Maria fez com que obtivessem resultados diferentes A conclusão é que o movimento relativo pode mudar a rapidez da passagem do tempo entre dois eventos o que se mantém constante para os dois observadores é a velocidade da luz Podemos distinguir os resultados obtidos por João e Maria usando a seguinte terminologia Quando dois eventos ocorrem no mesmo lugar em um referencial inercial o intervalo de tempo entre os eventos medido nesse referencial é chamado de intervalo de tempo próprio ou tempo próprio Quando o intervalo de tempo entre os mesmos eventos é medido em outro referencial o resultado é sempre maior que o intervalo de tempo próprio No exemplo que estamos discutindo o intervalo de tempo medido por Maria é o intervalo de tempo próprio o intervalo de tempo medido por João é necessariamente maior O termo próprio talvez não tenha sido bem escolhido pois dá a ideia de que o intervalo de tempo medido em outro referencial é impróprio ou inadequado o que não é verdade O fenômeno do aumento do intervalo de tempo medido em consequência do movimento do referencial é chamado de dilatação do tempo Frequentemente a razão adimensional vc da Eq 377 é substituída por um parâmetro denominado parâmetro de velocidade representado pela letra grega β e o inverso do denominador da Eq 377 é substituído por um parâmetro denominado fator de Lorentz representado pela letra grega γ Com essas substituições a Eq 377 se torna O parâmetro de velocidade β é sempre menor que a unidade e o parâmetro γ é sempre maior que a unidade a menos que a velocidade seja nula entretanto a diferença entre γ e a unidade é muito pequena para v 01c Assim de modo geral os resultados da antiga relatividade constituem uma boa aproximação se v 01c mas a teoria da relatividade restrita deve ser empregada no caso de valores maiores de v Como mostra a Fig 376 γ aumenta rapidamente quando β se aproxima de 1 ou seja quando v se aproxima de c quanto maior a velocidade relativa entre João e Maria maior é o intervalo de tempo medido por João O leitor deve estar se perguntando o que Maria tem a dizer a respeito do fato de João ter medido um intervalo de tempo maior para o mesmo par de eventos Maria não deve ficar surpresa com esse resultado já que para ela os relógios C1 e C2 usados por João não estão sincronizados Lembrese de que quando dois observadores estão em referenciais diferentes dois eventos podem parecer simultâneos a apenas um deles Neste caso João viu seus dois relógios marcarem a mesma hora no instante em que o evento 1 ocorreu Do ponto de vista de Maria porém o relógio C2 foi ajustado para uma hora adiantada em relação à do relógio C1 no processo de sincronização Assim quando João observou no relógio 2 o instante em que o evento 2 ocorreu para Maria ele estava lendo um tempo maior que o real e foi por isso que o intervalo medido por João foi maior 1 2 Figura 376 Gráfico de γ o fator de Lorentz em função de β vc o parâmetro de velocidade Duas Demonstrações Experimentais da Dilatação do Tempo Relógios Microscópicos As partículas subatômicas chamadas múons são instáveis quando um múon é produzido dura apenas um curto período de tempo antes de decair transformarse em outras partículas O tempo de vida do múon é o intervalo de tempo entre a produção evento 1 e o decaimento evento 2 da partícula Se os múons estão estacionários e o tempo de vida é medido usando um relógio estacionário o relógio de um laboratório digamos o tempo médio de vida é 2200 µs Tratase de um intervalo de tempo próprio já que para cada múon os eventos 1 e 2 ocorrem no mesmo ponto do referencial do múon ou seja na posição do múon Podemos representar esse intervalo de tempo próprio como Δt0 além disso podemos chamar o referencial em que o intervalo é medido de referencial de repouso do múon De acordo com a teoria da relatividade se os múons estivessem se movendo em relação ao laboratório a medida do tempo de vida realizada usando o relógio do laboratório deveria fornecer um valor maior por causa da dilatação do tempo Para verificar se essa previsão estava correta os cientistas mediram o tempo médio de vida de múons que se moviam a uma velocidade de 09994c em relação ao relógio do laboratório De acordo com a Eq 378 com β 09994 o fator de Lorentz para essa velocidade é Nesse caso segundo a Eq 379 o tempo de vida medido deveria ser Δt γΔt0 28872200 µs 6351 µs O resultado experimental concordou com esse valor dentro da margem de erro estimada Relógios Macroscópicos Em outubro de 1977 Joseph Hafele e Richard Keating executaram o que deve ter sido um experimento extenuante transportaram quatro relógios atômicos portáteis duas vezes em volta do mundo a bordo de aeronaves comerciais uma vez de leste para oeste e outra vez de oeste para leste O objetivo era testar a teoria da relatividade de Einstein com relógios macroscópicos Como acabamos de ver as previsões de Einstein quanto à dilatação do tempo foram confirmadas em escala microscópica mas os físicos se sentiriam ainda melhor se a comprovação pudesse ser feita usando um relógio de verdade O que tornou isso possível foi a altíssima precisão dos relógios atômicos modernos Hefele e Keating confirmaram as previsões teóricas dentro de uma margem de erro de 10 A teoria da relatividade geral de Einstein segundo a qual o intervalo de tempo medido por um relógio também depende do campo gravitacional a que o relógio está submetido tem que ser levada em conta nesse tipo de experimento Alguns anos mais tarde físicos da Universidade de Maryland executaram um experimento semelhante com maior precisão Eles ficaram dando voltas de avião sobre a baía de Chesapeake com um relógio atômico a bordo em voos com 15 horas de duração e verificaram que a dilatação do tempo estava de acordo com a teoria de Einstein dentro de uma margem de erro de 1 Hoje em dia quando relógios atômicos são transportados de um local a outro para calibração ou outros propósitos a dilatação do tempo causada pelo movimento é levada em consideração de forma rotineira Teste 1 Uma pessoa está de pé ao lado dos trilhos de uma estrada de ferro quando é surpreendida pela passagem de um vagão relativístico como mostra a figura Um passageiro que está na extremidade dianteira do vagão dispara um pulso de laser em direção à extremidade traseira a A velocidade do pulso medida pela pessoa que está do lado de fora do trem é maior menor ou igual à velocidade medida pelo passageiro b O tempo que o pulso leva para chegar à extremidade traseira do vagão medido pelo passageiro é o tempo próprio c A relação entre o tempo medido pelo passageiro e o tempo medido pela pessoa que está do lado de fora é dada pela Eq 379 Exemplo 3701 Dilatação do tempo para um astronauta que volta à Terra A espaçonave do leitor passa pela Terra com uma velocidade relativa de 09990c Depois de viajar durante 100 anos tempo do leitor para na estação espacial EE13 faz meiavolta e se dirige para a Terra com a mesma velocidade relativa A viagem de volta 1 2 3 4 1 também leva 100 anos tempo do leitor Quando tempo leva a viagem de acordo com um observador terrestre Despreze os efeitos da aceleração necessária para parar dar meiavolta e atingir novamente a velocidade de cruzeiro IDEIASCHAVE Começamos por analisar o percurso de ida Este problema envolve medidas executadas em dois referenciais inerciais um situado na Terra e outro em uma espaçonave O percurso de ida envolve dois eventos o início da viagem na Terra e o fim da viagem na estação espacial EE13 O tempo de 10 anos medido pelo leitor para o percurso de ida é o tempo próprio Δt0 já que os dois eventos ocorrem no mesmo local no referencial do leitor que é a espaçonave De acordo com a Eq 379 Δt γΔt0 o tempo da viagem de ida medido no referencial terrestre Δt é maior que Δt0 Cálculos De acordo com as Eqs 378 e 379 temos Na viagem de volta temos a mesma situação e os mesmos dados Assim a viagem de ida e volta leva 20 anos do ponto de vista do leitor mas leva do ponto de vista de um observador terrestre Em outras palavras enquanto o leitor envelheceu 20 anos as pessoas que ficaram na Terra envelheceram 448 anos Embora até onde sabemos seja impossível viajar para o passado é possível viajar para o futuro da Terra usando o movimento relativo para ajustar a velocidade com a qual o tempo passa Exemplo 3702 Dilatação do tempo e distância percorrida por uma partícula relativística A partícula elementar conhecida como káonmais K tem um tempo médio de vida de 01237 µs quando está em repouso isto é quando o tempo de vida é medido no referencial do káon Se um káonmais está se movendo a uma velocidade de 0990c em relação ao referencial do laboratório quando é produzido que distância a partícula percorre nesse referencial durante o tempo médio de vida de acordo com a física clássica que é uma aproximação razoável para velocidades muito menores que c e de acordo com a teoria da relatividade restrita que fornece o resultado correto para qualquer velocidade IDEIASCHAVE O problema envolve medidas realizadas em dois referenciais inerciais um associado ao káon e outro associado ao 2 3 laboratório O problema também envolve dois eventos o instante da criação do káon e o instante do decaimento do káon A distância d percorrida pelo káon entre os dois eventos está relacionada à velocidade v da partícula e ao tempo gasto no percurso Δt pela equação Com essas ideias em mente vamos calcular a distância primeiro usando a física clássica e depois a física relativística Física clássica Na física clássica obtemos a mesma distância e o mesmo intervalo de tempo na Eq 3710 quando medimos as duas grandezas no referencial do káon e no referencial do laboratório Assim não precisamos nos preocupar com o referencial em que são executadas as medições Para determinar o tempo de percurso do káon de acordo com a física clássica dcla escrevemos a Eq 3710 na forma em que Δt é o intervalo de tempo entre os dois eventos em um dos referenciais Fazendo v 0990c e Δt 01237 µs na Eq 37 11 obtemos Essa seria a distância percorrida pelo káon se a física clássica fornecesse resultados corretos para velocidades próximas de c Relatividade restrita Na relatividade restrita a distância e o intervalo de tempo usados na Eq 3710 devem ser medidos no mesmo referencial especialmente nos casos em que a velocidade é próxima de c como acontece neste exemplo Assim para calcular a distância percorrida pelo káon drel no referencial do laboratório escrevemos a Eq 3710 na forma em que Δt é o intervalo de tempo entre os dois eventos no referencial do laboratório Para calcular o valor de drel na Eq 3712 precisamos conhecer Δt O intervalo de tempo de 01237 µs é um tempo próprio já que os dois eventos ocorrem no mesmo local do referencial do káon isto é no próprio káon Assim vamos chamar esse intervalo de tempo de Δt0 Nesse caso podemos usar a Eq 379 Δt γΔt0 para determinar o intervalo de tempo Δt no referencial do laboratório Substituindo γ na Eq 379 por seu valor dado pela Eq 378 temos Esse tempo é aproximadamente sete vezes maior que o tempo próprio de vida do káon Em outras palavras o tempo médio de vida do káon no referencial do laboratório é aproximadamente sete vezes maior que no referencial de repouso o tempo de vida do káon sofre o efeito da dilatação do tempo Podemos agora usar a Eq 3712 para calcular a distância drel percorrida pelo káon no referencial do laboratório Essa distância é aproximadamente sete vezes maior que dcla Experimentos como o que acabamos de descrever que comprovam as previsões da teoria da relatividade restrita se tornaram rotina nos laboratórios de física há várias décadas No projeto e construção de qualquer aparelho científico ou médico que utiliza partículas de alta energia é necessário levar em consideração os efeitos relativísticos 372 A RELATIVIDADE DO COMPRIMENTO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3711 Saber que como as distâncias espaciais e temporais estão entrelaçadas a medida do comprimento de um objeto pode ser diferente em diferentes referenciais 3712 Saber em que condições um comprimento medido é um comprimento próprio 3713 Saber que se o comprimento de um objeto é um comprimento próprio quando é medido em um referencial será menor se for medido em outro referencial que esteja se movendo em relação ao primeiro paralelamente ao comprimento que está sendo medido 3714 Conhecer a relação entre o comprimento contraído o comprimento próprio e a velocidade relativa entre os dois referenciais IdeiasChave O comprimento L0 de um objeto medido por um observador em um referencial inercial no qual o objeto está em repouso é chamado de comprimento próprio O observador situado em um referencial que está se movendo em relação ao primeiro paralelamente ao comprimento que está sendo medido sempre mede um comprimento menor um efeito que é conhecido como contração do comprimento Se a velocidade relativa entre os referenciais é v o comprimento contraído L e o comprimento próprio L0 estão relacionados pela equação em que β vc é o parâmetro de velocidade e é o fator de Lorentz A Relatividade do Comprimento Quando queremos medir o comprimento de um corpo que está em repouso em nosso referencial podemos com toda a calma medir as coordenadas das extremidades do corpo usando uma régua estacionária e subtrair uma leitura da outra Quando o corpo está em movimento porém precisamos observar simultaneamente em nosso referencial as coordenadas das extremidades do corpo para que o resultado de nossas medidas seja válido A Fig 377 ilustra a dificuldade de tentar medir o comprimento de um pinguim em movimento observando as coordenadas das partes dianteira e traseira do corpo do animal Como a simultaneidade é relativa e está envolvida nas medidas de comprimento o comprimento também é uma grandeza relativa Seja L0 o comprimento de uma régua medido no referencial de repouso da régua ou seja no referencial em que a régua está estacionária Se o comprimento da régua for medido em outro referencial em relação ao qual a régua está se movendo com velocidade v ao longo da maior dimensão o resultado da medida será um comprimento L dado por Como o fator de Lorentz γ é sempre maior que 1 para v 0 L é sempre menor que L0 ou seja o movimento relativo causa uma contração do comprimento Quanto maior a velocidade v maior a contração O comprimento L0 de um corpo medido no referencial em que o corpo está em repouso é chamado de comprimento próprio ou comprimento de repouso O comprimento medido em outro referencial em relação ao qual o corpo está se movendo na direção da dimensão que está sendo medida é sempre menor que o comprimento próprio Atenção a contração do comprimento ocorre apenas na direção do movimento relativo Além disso o comprimento medido não precisa ser o comprimento de um corpo pode ser também a distância entre dois corpos no mesmo referencial como o Sol e uma estrela vizinha que estão pelo menos aproximadamente em repouso um em relação ao outro Figura 377 Para medir o comprimento de um pinguim em movimento devemos observar as coordenadas das partes dianteira e traseira do corpo do animal simultaneamente em nosso referencial como em a e não em instantes diferentes como em b Um corpo em movimento sofre realmente uma contração A realidade se baseia em observações e medidas se os resultados são coerentes e nenhum erro foi cometido o que é observado e medido é real Neste sentido um corpo em movimento realmente se contrai Entretanto talvez seja filosoficamente mais aceitável afirmar que é o comprimento do objeto que diminui ou seja que o movimento afeta o resultado das medidas Quando medimos o comprimento de uma régua digamos e obtemos um valor menor que o comprimento de repouso o que um observador que está se movendo com a régua tem a dizer a respeito de nossas medidas Para esse observador as medidas das posições das duas extremidades da régua não foram realizadas simultaneamente Lembrese de que dois observadores em movimento relativo não concordam em geral quanto à simultaneidade dos eventos Para o observador que se move com a régua observamos primeiro a posição da extremidade dianteira da régua e depois a posição da extremidade traseira é por isso que obtivemos um comprimento menor que o comprimento de repouso Demonstração da Eq 3713 A contração do comprimento é uma consequência direta da dilatação do tempo Considere mais uma vez nossos dois observadores Desta vez tanto Maria que está a bordo do trem como João que está na plataforma da estação querem medir o comprimento da plataforma João usando uma trena descobre que o comprimento é L0 um comprimento próprio já que o corpo cujo comprimento está sendo medido a plataforma está em repouso em relação a João João também observa que Maria a bordo do trem percorre a plataforma em um intervalo de tempo Δt L0v em que v é a velocidade do trem Assim Esse intervalo de tempo não é um intervalo de tempo próprio porque os dois eventos que o definem a passagem de Maria pelo início da plataforma e a passagem de Maria pelo final da plataforma ocorrem 1 2 3 em dois locais diferentes e portanto João precisa usar dois relógios sincronizados para medir o intervalo de tempo Δt Para Maria porém é a plataforma que está em movimento Do seu ponto de vista os dois eventos observados por João ocorrem no mesmo lugar Maria pode medir o intervalo de tempo entre os dois eventos usando um único relógio e portanto o intervalo de tempo que mede Δt0 é um intervalo de tempo próprio Para ela o comprimento L da plataforma é dado por Dividindo a Eq 3715 pela Eq 3714 e usando a Eq 379 a equação da dilatação do tempo obtemos ou que é a Eq 3713 a equação da contração do comprimento Exemplo 3703 Dilatação do tempo e contração do comprimento do ponto de vista de dois referenciais Na Fig 378 Maria no ponto A e João a bordo de uma espaçonave cujo comprimento próprio é L0 230 m passam um pelo outro com uma velocidade relativa constante v próxima da velocidade da luz Segundo Maria a nave leva 357 µs para passar intervalo de tempo entre a passagem do ponto B e a passagem do ponto C Em termos de c a velocidade da luz qual é a velocidade relativa v entre Maria e a nave IDEIASCHAVE O problema envolve medidas feitas em dois referenciais inerciais um ligado a Maria e outro ligado a João e sua espaçonave O problema também envolve dois eventos o primeiro é a passagem do ponto B e o segundo é a passagem do ponto C Do ponto de vista de cada referencial o outro está se movendo com velocidade v e percorre uma certa distância no intervalo de tempo entre os dois eventos Como a velocidade v é próxima da velocidade da luz devemos tomar cuidado para que a distância e o intervalo de tempo da Eq 3717 sejam medidos no mesmo referencial Cálculos Temos liberdade para escolher o referencial a ser usado nos cálculos Como sabemos que o intervalo de tempo Δt entre os dois eventos no referencial de Maria é 357 µs vamos usar a distância L entre os dois eventos nesse referencial A Eq 3717 se torna portanto Não conhecemos o valor de L mas podemos calculálo a partir de L0 A distância entre os dois eventos no referencial de João é o comprimento próprio da nave L0 Assim a distância medida no referencial de Maria é menor que L0 e é dada pela Eq 3713 L L0γ Fazendo L L0γ na Eq 3718 e substituindo γ por seu valor dado pela Eq 378 temos Explicitando v note que v aparece duas vezes no lado esquerdo e no radicando do lado direito obtemos Note que a única velocidade que importa neste caso é velocidade relativa entre Maria e João o fato de um deles se encontrar em movimento em relação a um terceiro referencial como uma estação espacial é irrelevante Nas Figs 378a e 378b supusemos que Maria estava parada mas poderíamos ter imaginado que era a nave que estava parada enquanto Maria passava por ela o resultado seria o mesmo Nesse caso o evento 1 ocorre novamente no instante em que Maria e o ponto B estão alinhados Fig 378c e o evento 2 ocorre novamente no instante em que Maria e o ponto C estão alinhados Fig 378d mas em vez de usar as medições de Maria estamos usando as medições de João Assim a distância entre os dois eventos é o comprimento próprio L0 da espaçonave e o intervalo de tempo entre os dois eventos não é o intervalo de tempo medido por Maria e sim um intervalo de tempo dilatado γΔt Substituindo os valores medidos por João na Eq 3717 temos que é o mesmo valor obtido a partir das medições de Maria Assim obtemos o mesmo resultado v 0210c usando as medidas de Maria e usando as medidas de João mas devemos tomar cuidado para não misturar medidas obtidas em dois referenciais diferentes Figura 378 ab O evento 1 ocorre no instante em que o ponto B passa por Maria no ponto A e o evento 2 ocorre quando o ponto C passa por Maria cd O evento 1 ocorre no instante em que Maria passa pelo ponto B e o evento 2 ocorre no instante em que Maria passa pelo ponto C Exemplo 3704 Dilatação do tempo e contração da distância ao fugir de uma supernova Surpreendido pela explosão de uma supernova você acelera sua espaçonave ao máximo para fugir da onda de choque O fator de Lorentz γ da sua espaçonave em relação ao referencial inercial das estrelas próximas é 224 a Para atingir uma distância segura você calcula que deve viajar 900 1016 m no referencial das estrelas próximas Quanto tempo leva a viagem no referencial das estrelas próximas IDEIASCHAVE Como no Capítulo 2 podemos calcular o tempo necessário para percorrer uma distância dada com velocidade constante usando a definição de velocidade De acordo com a Fig 376 como o fator de Lorentz γ em relação às estrelas é 224 um valor elevado a velocidade v é muito grande tão grande na verdade que podemos tomála como aproximadamente c Cálculos Como a distância dada 900 1016 m foi medida no referencial das estrelas próximas e o intervalo de tempo está sendo pedido no mesmo referencial podemos escrever 1 2 3 Substituindo a distância pelo valor dado obtemos b Quanto tempo leva a viagem do seu ponto de vista ou seja no referencial da nave IDEIASCHAVE Agora estamos interessados no intervalo de tempo medido em outro referencial o referencial da nave e portanto precisamos converter o resultado do item a para esse referencial A distância de 900 1016 m medida no referencial das estrelas é uma distância própria L0 porque os pontos inicial e final da jornada estão em repouso nesse referencial Do seu ponto de vista o referencial das estrelas e os pontos inicial e final da viagem passam por você com uma velocidade relativa v c A distância no referencial da nave não é a distância própria L0 e sim a distância contraída L0γ Cálculos A Eq 3719 pode ser escrita na forma Substituindo os valores conhecidos obtemos Como vimos no item a a viagem leva 951 anos no referencial das estrelas Agora estamos vendo que a mesma viagem leva apenas 0425 ano no referencial da nave devido ao movimento relativo e à contração da distância associada a esse movimento 373 A TRANSFORMAÇÃO DE LORENTZ Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3715 No caso de dois referenciais em movimento relativo usar a transformação de Galileu para transformar a posição de um evento de um referencial para o outro 3716 Saber que a transformação de Galileu fornece resultados aproximadamente corretos para baixas velocidades relativas enquanto a transformação de Lorentz fornece resultados corretos para qualquer velocidade relativa fisicamente possível 3717 No caso de dois referenciais em movimento relativo usar a transformação de Lorentz para transformar as separações espacial e temporal de dois eventos de um referencial para o outro 3718 Demonstrar as equações de dilatação do tempo e contração do comprimento a partir da transformação de Lorentz 3719 Usar a transformação de Lorentz para mostrar que se dois eventos ocorrem simultaneamente em dois locais diferentes em um referencial não podem ocorrer simultaneamente em um segundo referencial que esteja em movimento em relação ao primeiro IdeiaChave As equações da transformação de Lorentz relacionam as coordenadas espaçotemporais de um evento em dois referenciais inerciais S e S se o referencial S está se movendo com velocidade v em relação a S no sentido positivo dos eixos x e x As relações entre as quatro coordenadas são x γx vt y y z z t γt vxc2 A Transformação de Lorentz A Fig 379 mostra o referencial inercial S se movendo com velocidade v em relação ao referencial S no sentido positivo do eixo x que tem a mesma orientação que o eixo x Para um observador em S um evento ocorre nas coordenadas x y z e t enquanto para um observador em S o mesmo evento ocorre nas coordenadas x y z e t Qual é a relação entre os dois conjuntos de números Vamos antecipar embora precise ser demonstrado que as coordenadas y e z em relação a eixos perpendiculares à direção de movimento não são afetadas pelo movimento ou seja que y y e z z Nosso problema se limita portanto a determinar as relações entre x e x e entre t e t Figura 379 Dois referenciais inerciais o referencial S está se movendo com velocidade em relação ao referencial S As Equações da Transformação de Galileu Antes que Einstein formulasse a teoria da relatividade restrita os físicos supunham que as quatro coordenadas de interesse estavam relacionadas pelas equações da transformação de Galileu Essas equações foram escritas supondo que t t 0 quando as origens de S e S coincidem A primeira equação pode ser verificada com o auxílio da Fig 379 A segunda e a terceira se devem ao fato de que estamos supondo que o movimento acontece apenas na direção do eixo x A quarta significa simplesmente que os intervalos de tempo são iguais nos dois referenciais Isso parecia tão óbvio para os cientistas antes de Einstein que não era sequer mencionado Quando a velocidade v é pequena em comparação com c as Eqs 3720 constituem uma boa aproximação As Equações da Transformação de Lorentz As Eqs 3720 levam a valores muito próximos dos resultados experimentais quando v é muito menor que c mas na verdade não fornecem valores corretos para nenhum valor de v e levam a valores muito diferentes dos resultados experimentais para valores de v muito maiores que 010c As equações corretas para a transformação que são válidas para qualquer velocidade fisicamente possível são chamadas de equações da transformação de Lorentz As equações da transformação de Lorentz podem ser demonstradas a partir dos postulados da relatividade mas vamos nos limitar a apresentálas e mostrar que são compatíveis com os resultados obtidos nos módulos anteriores para a simultaneidade a dilatação do tempo e a contração do comprimento Supondo que t t 0 quando as origens de S e S coincidem na Fig 379 evento 1 as coordenadas espaçotemporais de qualquer outro evento são dadas por Note que a variável espacial x e a variável temporal t aparecem juntas na primeira e na quarta equação Esse entrelaçamento de espaço e tempo foi uma inovação da teoria de Einstein que seus contemporâneos tiveram dificuldade para aceitar Uma exigência formal das equações relativísticas é a de que devem se reduzir às equações clássicas quando c tende a infinito Em outras palavras se a velocidade da luz fosse infinita todas as velocidades finitas seriam pequenas e as equações clássicas seriam sempre válidas Quando fazemos c nas Eqs 3721 γ 1 vxc2 0 e as equações se reduzem como deveriam às equações da transformação de Galileu Eq 3720 O leitor pode verificar que isso é verdade As Eqs 3721 foram escritas em uma forma que é útil se conhecemos x e t e queremos determinar x e t Podemos estar interessados porém em obter a transformação inversa Nesse caso simplesmente resolvemos o sistema de equações das Eqs 3721 para obter x e t o que nos dá Comparando as Eqs 3721 com as Eqs 3722 vemos que partindo de um dos sistemas de equações é possível obter o outro simplesmente intercambiando as variáveis espaciais e temporais nos dois sistemas isto é substituindo x por x e t por t e viceversa e trocando o sinal de v a velocidade relativa Se o referencial S tem uma velocidade positiva em relação a um observador situado no referencial S por exemplo como na Fig 379 isso significa que o referencial S tem uma velocidade negativa em relação a um observador situado no referencial S As Eqs 3721 relacionam as coordenadas de segundo evento em dois referenciais quando o primeiro evento é a coincidência das origens de S e S no instante t t 0 Na maioria dos casos não estamos interessados em limitar o primeiro evento a esse tipo de coincidência Sendo assim vamos escrever as equações da transformação de Lorentz em termos de qualquer par de eventos 1 e 2 com separações espaçotemporais Δx x2 x1 e Δt t2 t1 medidas por um observador no referencial S e Δx x2 x1 e Δt t2 t1 medidas por um observador no referencial S A Tabela 372 mostra as equações de Lorentz como diferenças a forma apropriada para analisar pares de eventos As equações da tabela foram obtidas simplesmente substituindo por diferenças como Δx e Δx as quatro variáveis das Eqs 3721 e 3722 Atenção Ao substituir as diferenças por valores numéricos é preciso ser coerente e não misturar valores do primeiro evento com valores do segundo Além disso se por exemplo Δx for um número negativo não se esqueça de incluir o sinal negativo ao substituir Δx por seu valor em uma equação Teste 2 Na Fig 379 o referencial S está se movendo a uma velocidade de 090c em relação ao referencial S Um observador no referencial S mede dois eventos que ocorrem nas seguintes coordenadas espaçotemporais evento Amarelo em 50 m 20 ns evento Verde em 20 m 45 ns Um observador do referencial S está interessado em determinar o intervalo de tempo ΔtVA tV tA entre os eventos a Que equação da Tabela 372 deve ser usada b O valor de v deve ser tomado como 90c ou 90c nessa equação c Que valor deve ser usado para o primeiro termo da soma entre parênteses d Que valor deve ser usado para o segundo termo da soma entre parênteses Tabela 372 As Equações da Transformação de Lorentz para Pares de Eventos 1 Δx γΔx v Δt 2 Δt γΔt v Δxc2 1 Δx γΔx v Δt 2 Δt γΔt v Δxc2 O referencial S está se movendo com velocidade v em relação ao referencial S Algumas Consequências das Equações de Lorentz Agora vamos usar as equações de transformação da Tabela 372 para provar matematicamente algumas das conclusões a que chegamos anteriormente com base nos postulados da teoria de relatividade restrita Simultaneidade Considere a Eq 2 da Tabela 372 Se dois eventos ocorrem em locais diferentes no referencial S da Fig 379 Δx não é zero Assim dois eventos simultâneos em S ou seja tais que Δt 0 não são simultâneos do referencial S Esse resultado está de acordo com a conclusão a que chegamos no Módulo 371 O intervalo de tempo entre os dois eventos no referencial S é dado por Assim a separação espacial Δx acarreta uma separação temporal Δt Dilatação do tempo Suponha que dois eventos ocorrem no mesmo local em S ou seja que Δx 0 mas em ocasiões diferentes e portanto Δt 0 Nesse caso a Eq 3723 se reduz a Esse resultado confirma o fenômeno da dilatação do tempo Como os dois eventos ocorrem no mesmo local em S o intervalo de tempo Δt pode ser medido com o mesmo relógio Nessas condições o intervalo medido é um intervalo de tempo próprio e podemos chamálo de Δt0 Assim a Eq 3724 se torna Δt γt0 dilatação do tempo que é igual à Eq 379 a equação da dilatação do tempo A dilatação do tempo é portanto um caso especial das equações da transformação de Lorentz Contração do Comprimento Considere a Eq 1 da Tabela 372 Se uma régua está orientada paralelamente aos eixos x e x da Fig 379 e se encontra em repouso no referencial S um observador em S pode medir o comprimento da régua sem pressa Um método possível é calcular a diferença entre as coordenadas das extremidades da régua O valor de Δx assim obtido é o comprimento próprio L0 da régua já que as medidas são realizadas em um referencial no qual a régua está em repouso Suponha que a régua esteja se movendo no referencial S Isso significa que Δx pode ser considerado o comprimento da régua no referencial S apenas se as coordenadas das extremidades da régua forem medidas simultaneamente isto é se Δt 0 Fazendo Δx L0 Δx L e Δt 0 na Eq 3725 obtemos que é igual à Eq 3713 a equação da contração do comprimento Assim a contração da distância é um caso especial de equações da transformação de Lorentz Exemplo 3705 A transformação de Lorentz e uma mudança na ordem dos eventos Uma espaçonave foi enviada da Terra às vizinhanças de base terrestre no planeta P1407 em cuja lua se instalou um destacamento de reptulianos uma raça de alienígenas que não nutrem grande simpatia pelos terráqueos Depois de passar pelo planeta e pela lua em uma trajetória retilínea a nave detecta uma emissão de microondas proveniente da base reptuliana 110 s depois detecta uma explosão na base terrestre que está a 400 108 m de distância da base reptuliana no referencial da nave Tudo leva a crer que os reptulianos atacaram os humanos de modo que os tripulantes da nave se preparam para bombardear a base reptuliana a A velocidade da nave em relação ao planeta e sua lua é 0980c Determine a distância e o intervalo de tempo entre a emissão e a explosão no referencial do sistema planetalua e portanto no referencial dos ocupantes das bases IDEIASCHAVE 1 2 3 O problema envolve medidas realizadas em dois referenciais o referencial da nave e o referencial do sistema planetalua O problema envolve dois eventos a emissão e a explosão Precisamos transformar os dados a respeito de intervalo de tempo e da distância entre os dois eventos do referencial da nave para o referencial do sistema planetalua Referencial da nave Antes de realizar a transformação precisamos escolher com cuidado uma notação apropriada Começamos com um esboço da situação como o que aparece na Fig 3710 Consideramos estacionário o referencial da nave S e tomamos o referencial planetalua S como estando em movimento com velocidade positiva para a direita Essa escolha é arbitrária poderíamos ter considerado estacionário o referencial S e imaginado que o referencial da nave na Fig 3710 S estava se movendo para a esquerda com velocidade v o resultado seria o mesmo Vamos representar a explosão e a emissão pelos índices ex e em respectivamente Nesse caso os dados do problema todos no referencial S o referencial da nave são os seguintes Δx xex xem 400 108 m e Δt tex tem 110 s Figura 3710 Um planeta e sua lua no referencial S se movem para a direita com velocidade em relação a uma espaçonave no referencial S Sabemos que Δx é uma grandeza positiva porque na Fig 3710 a coordenada xex do lugar em que ocorreu a explosão é maior que a coordenada xem do lugar em que ocorreu a emissão Δt também é uma grandeza positiva porque o instante tex em que ocorreu a explosão é posterior ao instante tem em que ocorreu a emissão Referencial do sistema planetalua Para determinar Δx e Δt precisamos transformar os dados do referencial S da nave para o referencial S do sistema planetalua Como estamos examinando um par de eventos usamos duas equações de transformação da Tabela 372 as Eqs 1 e 2 e Como v 0980c o fator de Lorentz é A Eq 3727 se torna portanto e a Eq 3728 se torna b O que significa o fator de o valor de Δt ser negativo Raciocínio Devemos manter a coerência com a notação utilizada no item a Lembrese de que o intervalo de tempo entre a emissão e a explosão foi definido como Δt tex tem 110 s Por coerência o intervalo de tempo correspondente no sistema S deve ser definido como Δt tex tem assim concluímos que Δt tex tem 104 s O sinal negativo significa que tem tex ou seja que no referencial planetalua a emissão aconteceu 104 s depois da explosão e não 110 s antes da explosão como no referencial da nave c A emissão causou a explosão a explosão causou a emissão ou os dois eventos não estão relacionados IDEIACHAVE Os eventos ocorreram em uma ordem diferente nos dois referenciais Se houvesse uma relação de causalidade entre os dois eventos algum tipo de informação teria que viajar do local onde aconteceu um dos eventos o evento causador até o local onde aconteceu outro evento o evento causado pelo primeiro Cálculo da velocidade Vamos verificar com que velocidade a informação teria que viajar No referencial da nave a velocidade é uma velocidade que não pode existir na prática já que é maior que c No referencial planetalua a velocidade calculada é 370 108 ms uma velocidade também impossível Assim nenhum dos dois eventos pode ter causado o outro ou seja não há uma relação causal entre os eventos Os terrestres não têm motivo para atacar a base reptuliana1 374 A RELATIVIDADE DAS VELOCIDADES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3720 Explicar usando um desenho um arranjo no qual a velocidade de um objeto é medida em dois referenciais diferentes 3721 Conhecer a equação relativística que relaciona as velocidades de um objeto em dois referenciais diferentes IdeiaChave Se uma objeto está se movendo com velocidade u no sentido positivo do eixo x de um referencial inercial S que por sua vez está se movendo com velocidade v no sentido positivo do eixo x de um segundo referencial inercial S a velocidade u da partícula no referencial S é dada por A Relatividade das Velocidades Agora vamos usar as equações da transformação de Lorentz para comparar as velocidades que dois observadores em diferentes referenciais inerciais S e S medem para a mesma partícula Vamos supor que S está se movendo com velocidade v em relação a S Figura 3711 O referencial S está se movendo com velocidade Imagine que a partícula que está se movendo com velocidade constante paralelamente aos eixos x e x da Fig 3711 emite um sinal e algum tempo depois emite um segundo sinal Observadores situados nos referenciais S e S medem a distância e o intervalo de tempo entre os dois eventos As quatro medidas estão relacionadas pelas Eqs 1 e 2 da Tabela 372 Δx γΔx v Δt e Dividindo a primeira equação pela segunda obtemos Dividindo o numerador e o denominador do lado direito por Δt obtemos Para Δt 0 ΔxΔt u a velocidade da partícula medida no referencial S Da mesma forma para Δt 0 ΔxΔt u a velocidade da partícula medida no referencial S Assim temos que é a equação de transformação relativística de velocidades Atenção Certifiquese de que os sinais das velocidades u e v estão corretos A Eq 3729 se reduz à equação da transformação clássica ou de Galileu quando usamos o teste formal de fazer c Em outras palavras a Eq 3729 é válida para todas as velocidades fisicamente possíveis enquanto a Eq 3730 é aproximadamente verdadeira para velocidades muitos menores que c 375 O EFEITO DOPPLER PARA A LUZ Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3722 Saber que frequência própria é a frequência da luz medida em um referencial no qual a fonte luminosa está em repouso 3723 Saber o que acontece com a frequência da luz quando a distância entre a fonte e o detector está aumentando e o que acontece quando a distância está diminuindo saber que a variação da frequência aumenta quando a velocidade aumenta saber o que significam os termos desvio para o azul e desvio para o vermelho 3724 Saber o que significa o termo velocidade radial 3725 No caso de uma fonte luminosa que está se aproximando ou se afastando de um detector conhecer a relação entre a frequência própria f0 a frequência detectada f e a velocidade radial v 3726 Saber qual é a relação entre uma variação de frequência e uma variação de comprimento de onda 3727 Conhecer a relação aproximada entre a variação de comprimento de onda Δλ o comprimento de onda próprio λ0 e a velocidade radial v quando a velocidade radial é muito menor que a velocidade da luz 3728 Saber que no caso da luz mas não no caso do som existe uma variação de frequência quando a velocidade da fonte é perpendicular à reta que liga a fonte ao detector um fenômeno relacionado à dilatação do tempo conhecido como efeito Doppler transversal 3729 No caso do efeito Doppler transversal conhecer a relação entre a frequência própria f0 a frequência detectada f e a velocidade radial v IdeiasChave Quando existe um movimento relativo entre uma fonte luminosa e um detector o comprimento de onda medido em um referencial no qual a fonte está em repouso é o comprimento de onda próprio λ0 O comprimento de onda λ medido pelo detector é maior desvio para o vermelho se a distância entre a fonte e o detector está aumentando e menor desvio para o azul se a distância entre a fonte e o detector está diminuindo Se a distância está aumentando a relação entre os comprimentos de onda é dada por em que β vc e v é a velocidade radial componente da velocidade na direção da reta que liga a fonte ao detector Se a distância está diminuindo a equação é a mesma com β substituído por β z No caso de uma velocidade radial muito menor que a velocidade da luz o valor absoluto da velocidade é dado aproximadamente por em que Δλ λ λ0 Se a velocidade relativa entre a fonte luminosa e o detector é perpendicular à reta que liga a fonte e o detector a relação entre a frequência detectada f e a frequência própria f0 é dada por O efeito Doppler transversal está relacionado à dilatação do tempo O Efeito Doppler para a Luz No Módulo 177 discutimos o efeito Doppler a mudança da frequência medida por um observador para ondas sonoras no ar No caso das ondas sonoras o efeito Doppler depende de duas velocidades a velocidade da fonte em relação ao ar e a velocidade do detector em relação ao ar o ar é o meio no qual as ondas se propagam No caso da luz a situação é diferente já que a luz como qualquer onda eletromagnética não precisa de um meio para se propagar O efeito Doppler para as ondas luminosas depende de apenas uma velocidade a velocidade relativa entre a fonte e o detector Seja f0 a frequência própria da fonte isto é a frequência medida por um observador em relação ao qual a fonte se encontra em repouso e seja f a frequência medida por um observador que está se movendo com velocidade radial v em relação à fonte Nesse caso se o observador está se afastando da fonte temos em que β vc Como no caso da luz é mais fácil medir o comprimento de onda do que a frequência vamos escrever a Eq 3731 de outra forma substituindo f por cλ e f0 por cλ0 em que λ é o comprimento de onda medido e λ0 é o comprimento de onda próprio o comprimento de onda associado a f0 Dividindo ambos os membros da equação por c obtemos Se o observador está se aproximando da fonte as Eqs 3731 e 3732 continuam a ser válidas com β substituído por β De acordo com a Eq 3732 se o observador está se afastando da fonte o comprimento de onda medido é maior que o comprimento de onda próprio o numerador da fração é maior que 1 e o denominador é menor que 1 Essa variação é chamada de desvio para o vermelho não porque o comprimento de onda medido corresponda ao da cor vermelha mas porque o vermelho é a cor do espectro da luz visível com maior comprimento de onda Da mesma forma se o observador está se aproximando da fonte o comprimento de onda medido é menor que o comprimento de onda próprio e essa variação é chamada de desvio para o azul porque o azul é uma das cores do espectro visível com menor comprimento de onda O Efeito Doppler em Baixas Velocidades Em baixas velocidades β 1 a raiz quadrada Eq 3731 pode ser expandida em uma série de potências de β e a frequência medida é dada aproximadamente por A equação correspondente para o efeito Doppler em baixas velocidades no caso de ondas sonoras ou outros tipos de ondas que necessitam de um meio para se propagar tem os mesmos dois primeiros termos e um coeficiente diferente para o terceiro termo2 Assim no caso do efeito Doppler para a luz em baixas velocidades o efeito relativístico se manifesta apenas no termo proporcional a β2 Os radares da polícia utilizam o efeito Doppler para medir a velocidade v dos automóveis O aparelho de radar emite um feixe de microondas com uma certa frequência própria f0 Um carro que esteja se aproximando reflete o feixe de microondas que é captado pelo detector do aparelho de radar Por causa do efeito Doppler a frequência recebida pelo detector é maior que f0 O aparelho compara a frequência recebida com f0 e determina a velocidade v do carro3 O Efeito Doppler na Astronomia Nas observações astronômicas de estrelas galáxias e outras fontes de luz podemos determinar a velocidade das fontes medindo o deslocamento Doppler da luz detectada Se uma estrela está em repouso em relação a nós detectamos a luz emitida pela estrela com a frequência própria f0 Se a estrela está se aproximando ou se afastando a frequência da luz detectada aumenta ou diminui por causa do efeito Doppler Esse deslocamento Doppler se deve apenas ao movimento radial da estrela movimento ao longo da reta que liga a estrela ao observador e a velocidade que podemos determinar medindo o deslocamento Doppler é apenas a velocidade radial v da estrela ou seja a componente da velocidade da estrela na nossa direção Vamos supor que a velocidade radial v de uma fonte luminosa é suficientemente pequena β é suficientemente pequeno para que o termo em β2 da Eq 3732 possa ser desprezado Nesse caso temos Como as medições astronômicas que envolvem a luz em geral são feitas em termos do comprimento de onda e não da frequência vamos substituir f por cλ e f0 por cλ0 em que λ é o comprimento de onda medido e λ0 é o comprimento de onda próprio o comprimento de onda associado a f0 Nesse caso a Eq 3733 se torna ou λ λ01 β1 Como estamos supondo que β é pequeno podemos expandir 1 β1 em uma série de potências Fazendo essa expansão e conservando apenas o termo linear em β obtemos λ λ01 β ou Substituindo β por vc e λ λ0 por Δλ obtemos A diferença Δλ é o deslocamento Doppler em comprimentos de onda da fonte de luz Usamos o sinal de valor absoluto para que o valor do deslocamento seja sempre um número positivo A aproximação da Eq 3736 que pode ser usada quando a fonte está se aproximando ou quando está se afastando do observador mas apenas nos casos em que v c Teste 3 A figura mostra uma fonte que emite luz de frequência própria f0 enquanto se move para a direita com velocidade c4 medida no referencial S A figura mostra também um detector de luz que mede uma frequência f f0 para a luz detectada a O detector está se movendo para a esquerda ou para a direita b A velocidade do detector medida no referencial S é maior que c4 menor que c4 ou igual a c4 Efeito Doppler Transversal Até agora discutimos o efeito Doppler tanto neste capítulo como no Capítulo 17 em situações nas quais a fonte e o detector se movem na mesma direção ou em direções opostas A Fig 3712 mostra um arranjo diferente no qual uma fonte S passa ao largo de um detector D No instante em que S está passando pelo ponto P a velocidade de S é perpendicular à reta que liga S a D o que significa que a fonte não está se aproximando nem se afastando de D Se a fonte emitir ondas sonoras de frequência f0 as ondas emitidas no ponto P serão detectadas por D com a mesma frequência ou seja sem efeito Doppler Entretanto se a fonte emitir ondas luminosas haverá um efeito Doppler conhecido como efeito Doppler transversal Nessa situação a frequência detectada no ponto D da luz emitida quando a fonte estava passando pelo ponto P será dada por Em baixas velocidades β 1 a Eq 3737 pode ser expandida em uma série de potências de β e expressa na forma aproximada Figura 3712 Um fonte luminosa S viajando com velocidade passa por um detector D De acordo com a teoria da relatividade restrita o efeito Doppler transversal ocorre quando a fonte está passando pelo ponto P no qual a direção do movimento da fonte é perpendicular à reta que liga a fonte ao detector Esse efeito não é previsto pela teoria clássica Como o primeiro termo é o resultado esperado para ondas sonoras mais uma vez o efeito relativístico para fontes e detectores de luz que se movem em baixa velocidade aparece na forma de um termo proporcional a β2 Graças ao efeito Doppler transversal um radar de polícia poderia em princípio medir a velocidade de um carro mesmo que o radar estivesse apontado perpendicularmente à trajetória do carro Entretanto como β é pequeno o fato de que o efeito Doppler transversal é proporcional a β2 ao contrário do efeito Doppler normal que é proporcional a β compare a Eq 3738 com a Eq 3733 torna o efeito tão pequeno que não pode ser medido pelo radar da polícia Por essa razão os policiais procuram alinhar o radar com a trajetória do carro para obter uma medição precisa da velocidade Qualquer desalinhamento favorece o motorista no sentido de que a velocidade medida é menor que a velocidade real O efeito Doppler transversal é uma consequência da dilatação relativística do tempo Escrevendo a Eq 3737 em termos do período T 1f das oscilações da luz em vez da frequência obtemos em que T0 1f0 é o período próprio da fonte Na verdade tanto quanto a Eq 379 a Eq 3739 é uma expressão da lei de dilatação do tempo já que o período é um intervalo de tempo 376 MOMENTO E ENERGIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3730 Saber que as expressões clássicas do momento e da energia cinética são aproximadamente corretas para baixas velocidades enquanto as expressões relativísticas são corretas para qualquer velocidade fisicamente possível 3731 Conhecer a relação entre momento massa e velocidade relativa 3732 Saber que a massa de um objeto pode ser interpretada como uma energia de repouso 3733 Conhecer as relações entre energia total energia de repouso energia cinética momento massa velocidade o parâmetro de velocidade e o fator de Lorentz 3734 Desenha gráficos da energia cinética em função da razão vc entre a velocidade de um objeto e a velocidade da luz para a expressão clássica e para a expressão relativística da energia cinética 3735 Usar o teorema do trabalho e energia cinética para relacionar o trabalho realizado por uma força sobre um objeto à variação da energia cinética do objeto 3736 Saber qual é a relação entre o valor de Q de uma reação e a variação da energia de repouso dos reagentes 3737 Conhecer a relação entre o sinal algébrico de Q e o fato de uma reação liberar ou absorver energia IdeiasChave As definições de momento linear energia cinética K e energia total E de uma partícula de massa m mostradas a seguir são válidas para qualquer velocidade fisicamente possível em que γ é o fator de Lorentz associado ao movimento da partícula e mc2 é a energia de repouso associada à massa da partícula Essas equações levam às relações pc2 K2 2Kmc2 e E2 pc2 mc22 Quando um sistema de partículas sofre uma reação química ou nuclear o Q da reação é o negativo da variação da energia de repouso total do sistema Q Mic2 Mfc2 ΔMc2 em que Mi é a massa total do sistema antes da reação e Mf é a massa total do sistema depois da reação Uma Nova Interpretação do Momento Suponha que vários observadores em diferentes referenciais inerciais observem uma colisão entre duas partículas De acordo com a mecânica clássica embora as velocidades das partículas sejam diferentes em diferentes referenciais a lei de conservação do momento é obedecida em todos os referenciais isto é o momento total do sistema de partículas após a colisão é o mesmo que antes da colisão De que forma a lei de conservação do momento foi afetada pela teoria da relatividade restrita Se continuamos a definir o momento de uma partícula como o produto m o produto da massa pela velocidade verificamos que o momento não é o mesmo antes e depois da colisão para observadores situados na maioria dos referenciais inerciais Isso significa que precisamos mudar a definição de momento para uma forma tal que a lei de conservação do momento continue a ser válida para todos os referenciais inerciais Considere uma partícula que esteja se movendo com velocidade constante v no sentido positivo do eixo x Classicamente o módulo do momento é dado por em que Δx é a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo Δt Para encontrar uma expressão relativística para o momento começamos com a nova definição em que como no caso clássico Δx é a distância percorrida pela partícula do ponto de vista de um observador externo mas Δt0 é o intervalo de tempo necessário para percorrer a distância Δx não do ponto de vista de um observador externo mas do ponto de vista de um observador que esteja se movendo com a partícula Como a partícula está em repouso em relação ao segundo observador o intervalo de tempo medido por esse observador é um intervalo de tempo próprio Usando a expressão da dilatação do tempo Δt γΔt0 Eq 379 podemos escrever Como ΔxΔt v a velocidade da partícula temos Note que a diferença entre essa expressão e a expressão clássica Eq 3740 está apenas na presença do fator de Lorentz γ mas essa a diferença é muito importante ao contrário do momento clássico o momento relativístico aumenta sem limite quando v se aproxima da velocidade da luz Podemos generalizar a definição da Eq 3741 para a forma vetorial escrevendo A Eq 3742 fornece o valor correto do momento para qualquer velocidade fisicamente possível Para velocidades muito menores que c a expressão se reduz à definição clássica do momento m Uma Nova Interpretação da Energia Energia de Repouso A ciência da química foi criada com base na hipótese de que nas reações químicas a energia e a massa são conservadas separadamente Em 1905 Einstein mostrou que de acordo com a teoria da relatividade restrita a massa pode ser considerada uma forma de energia Assim a lei da conservação de energia e a lei de conservação da massa constituem na verdade dois aspectos da mesma lei a lei de conservação da massaenergia Em uma reação química processo no qual átomos ou moléculas interagem a massa que se transforma em outras formas de energia ou viceversa é uma fração tão pequena da massa total envolvida que não pode ser medida nem mesmo na mais sensível das balanças de laboratório Assim nas reações químicas a massa e a energia parecem ser conservadas separadamente Por outro lado em uma reação nuclear processo no qual núcleos ou outras partículas subatômicas interagem a energia liberada é milhões de vezes maior que em uma reação química e a variação de massa pode ser facilmente medida A massa m de um corpo e a energia equivalente E0 estão relacionadas pela equação que sem o índice 0 é a equação científica mais famosa de todos os tempos A energia associada à massa de um corpo é chamada de energia de repouso O nome está ligado ao fato de que E0 é a energia que um objeto possui quando está em repouso simplesmente porque possui massa Em textos avançados de física o leitor encontrará discussões mais sofisticadas da relação entre massa e energia Os cientistas até hoje debatem o significado da Eq 3743 A Tabela 373 mostra o valor aproximado da energia de repouso de alguns objetos A energia de repouso de um objeto macroscópico com uma moeda por exemplo é gigantesca a energia elétrica equivalente custaria mais de um milhão de reais Na verdade toda a produção de energia elétrica do Brasil durante um ano corresponde à massa de algumas centenas de quilos de matéria pedras panquecas qualquer coisa Na prática as unidades do SI raramente são usadas na Eq 3743 porque levam a valores numéricos excessivamente grandes ou excessivamente pequenos As massas em geral são medidas em unidades de massa atômica u de acordo com a seguinte definição As energias em geral são medidas em elétronsvolts ou múltiplos dessa unidade de acordo com a seguinte definição Nas unidades das Eqs 3744 e 3745 a constante c2 tem o seguinte valor Energia Total A Eq 3743 pode ser usada para determinar a energia de repouso E0 associada à massa m de um objeto esteja ele em repouso ou em movimento Se o objeto está em movimento possui uma energia adicional na forma de energia cinética K Supondo que a energia potencial é zero a energia total E é a soma da energia de repouso com a energia cinética Embora não seja demonstrado neste livro a energia total E também pode ser escrita na forma em que γ é o fator de Lorentz do corpo em movimento Desde o Capítulo 7 discutimos muitos exemplos que envolviam mudanças da energia total de uma partícula ou de um sistema de partículas A energia de repouso não foi incluída nessas discussões porque as variações dessa energia eram nulas ou tão pequenas que podiam ser desprezadas A lei de conservação da energia continua a se aplicar mesmo nos casos em que a variação da energia de repouso é significativa Assim aconteça o que acontecer com a energia de repouso a afirmação da Seção 88 continua a ser verdadeira Tabela 373 Energia Equivalente de Alguns Objetos Objeto Massa kg Energia equivalente Elétron 911 1031 819 1014 J 511 keV Próton 167 1027 150 1010 J 938 MeV Átomo de urânio 395 1025 355 108 J 225 GeV Partícula de poeira 1 1013 1 104 J 2 kcal Moeda pequena 31 103 28 1014 J 78 GW h A energia total de um sistema isolado é constante Assim por exemplo se a energia de repouso total de um sistema isolado de duas partículas diminui algum outro tipo de energia do sistema deve aumentar já que a energia total não pode mudar Valor de Q Nas reações químicas e nucleares a variação da energia de repouso do sistema é muitas vezes expressa pelo chamado valor de Q O valor de Q de uma reação é calculado a partir da relação ou Usando a Eq 3743 E0 mc2 podemos escrever a Eq 3749 em termos de Mi a massa inicial e Mf a massa final Mic2 Mfc2 Q ou em que a variação de massa produzida pela reação é ΔM Mf Mi Se na reação parte da energia de repouso é transformada em outras formas de energia como a energia cinética dos produtos da reação a energia de repouso total E0 e a massa total M diminui e Q é positivo Se por outro lado outras formas de energia são transformadas em energia de repouso a energia de repouso total E0 e a massa M aumenta e Q é negativo Suponha por exemplo que dois núcleos de hidrogênio sofram uma reação de fusão na qual se unam para formar um núcleo atômico e liberar duas partículas 1H 1H 2H e v em que 1H é um núcleo de hidrogênio comum com apenas um próton 2H é um núcleo de hidrogênio com um próton e um nêutron e é um pósitron e ν é um neutrino A energia de repouso total e a massa total do núcleo resultante e das duas partículas é menor que a energia de repouso total e a massa total dos núcleos de hidrogênio iniciais Assim o Q da reação de fusão é positivo e dizemos que a reação é exotérmica libera energia Essa liberação é importante para nós já que a fusão de núcleos de hidrogênio no Sol é parte do processo que mantém a Terra aquecida e torna a vida possível Energia Cinética No Capítulo 7 definimos a energia cinética K de um corpo de massa m e velocidade v usando a equação A Eq 3751 é a definição clássica da energia cinética que constitui uma boa aproximação apenas para velocidades muito menores que a velocidade da luz Vamos agora apresentar uma expressão para a energia cinética que é correta para qualquer velocidade fisicamente possível Explicitando K na Eq 3747 e substituindo E por seu valor dado pela Eq 3748 obtemos K E mc2 γmc2 mc2 ou em que é o fator de Lorentz do corpo em movimento A Fig 3713 mostra os gráficos de energia cinética do elétron em função de vc de acordo com a expressão correta Eq 3752 e de acordo com a aproximação clássica Eq 3751 Note que as duas curvas coincidem no lado esquerdo do gráfico nos problemas de energia cinética que discutimos até agora neste livro todos os corpos considerados estavam nessa parte do gráfico assim o erro cometido usando a Eq 3751 em vez da Eq 3752 foi insignificante Do lado direito do gráfico a diferença entre as curvas aumenta rapidamente com vc quando vc tende para 1 o valor correto da energia cinética tende a infinito enquanto o valor clássico tende a mc22 03 MeV Assim quando a velocidade v de um corpo é comparável à velocidade da luz a Eq 3752 é a única que fornece o resultado correto Trabalho A Fig 3713 também diz alguma coisa a respeito do trabalho necessário para fazer com que a velocidade de um corpo aumente de um percentual qualquer 1 digamos O trabalho W realizado por uma força sobre um objeto é igual à variação ΔK da energia cinética do objeto Quando a variação ocorre no lado esquerdo do gráfico da Fig 3713 o trabalho necessário para produzir um grande aumento de velocidade pode ser relativamente pequeno No lado direito que corresponde a altas velocidades qualquer variação de velocidade exige um trabalho muito maior já que K aumenta rapidamente com a velocidade v Para aumentar a velocidade do corpo até c seria necessário realizar um trabalho infinito o que naturalmente é impossível A energia cinética dos elétrons prótons e outras partículas é frequentemente expressa em elétrons volts ou múltiplos do elétronvolt e especificada sem mencionar a palavra energia Assim por exemplo um elétron com uma energia cinética de 20 MeV é chamado de elétron de 20 MeV Figura 3713 Gráficos da equação relativística Eq 3752 e da equação clássica Eq 3751 para a energia cinética de um elétron em função de vc em que v é a velocidade do elétron e c é a velocidade da luz Observe que as duas curvas coincidem para baixas velocidades e divergem para altas velocidades Os resultados experimentais assinalados com cruzes mostram que para altas velocidades a curva que melhor se ajusta aos dados é a curva relativística Momento e Energia Cinética Na mecânica clássica o momento p de uma partícula é igual a mv e a energia cinética é igual a mv22 Eliminando v das duas expressões obtemos uma relação direta entre o momento e a energia cinética Podemos obter uma expressão relativística equivalente eliminando v das expressões relativísticas do momento Eq 3741 e da energia cinética Eq 3752 Depois de algumas manipulações algébricas chegamos à seguinte relação Com a ajuda da Eq 3747 podemos transformar a Eq 3754 em uma relação entre a energia total E o momento p e a massa m de uma partícula O triângulo retângulo da Fig 3714 pode ajudar o leitor a memorizar as relações entre a energia total a energia de repouso a energia cinética e o momento É fácil demonstrar que nesse triângulo De acordo com a Eq 3755 o produto pc tem as mesmas dimensões que a energia E assim podemos expressar a unidade de momento p como uma unidade de energia dividida por c Na prática o momento das partículas elementares é frequentemente expresso em unidades de MeVc ou GeVc Figura 3714 Triângulo usado para memorizar as relações relativísticas entre a energia total E a energia de repouso mc2 a energia cinética K e o momento p Teste 4 A energia a cinética e b total de um elétron de 1 GeV é maior menor ou igual à de um próton de 1 Gev Exemplo 3706 Energia e momento de um elétron relativístico a Qual é a energia total de um elétron de 253 MeV IDEIACHAVE De acordo com a Eq 3747 a energia total é a soma da energia de repouso mc2 com a energia cinética Cálculos A expressão de 253 MeV significa que a energia cinética do elétron é 253 MeV A energia de repouso pode ser calculada a partir da massa do elétron dada no Apêndice B Dividindo o resultado por 1602 1013 JMeV obtemos uma energia de repouso para o elétron de 0511 MeV o mesmo valor que aparece na Tabela 373 Nesse caso de acordo com a Eq 3757 temos b Qual é o módulo do momento p do elétron em unidades de MeVc Note que o c que aparece na expressão MeVc não é uma unidade e sim uma indicação de que para calcular o momento em unidades compatíveis com a energia em MeV devemos dividir a energia pela velocidade da luz IDEIACHAVE Podemos determinar p a partir da energia total E e da energia de repouso mc2 usando a Eq 3755 E2 pc2 mc22 Cálculos Explicitando pc temos Dividindo ambos os membros por c obtemos Exemplo 3707 Energia e uma diferença espantosa no tempo de trânsito O próton de maior energia detectado até hoje nos raios cósmicos possuía a espantosa energia cinética de 30 1020 eV energia suficiente para aquecer de alguns graus Celsius uma colher de chá de água a Determine o fator de Lorentz γ e a velocidade v da partícula em relação à Terra IDEIASCHAVE 1 O fator de Lorentz γ relaciona a energia total E à energia de repouso mc2 pela Eq 3748 E γmc2 2 A energia total do próton é a soma da energia de repouso mc2 com a energia cinética conhecida K Cálculos Juntando essas ideias temos De acordo com a Tabela 373 a energia de repouso mc2 do próton é 938 MeV Substituindo esse valor e a energia cinética dada na Eq 3758 obtemos 1 Esse valor de γ é tão grande que não podemos usar a definição de γ Eq 378 para determinar o valor de v Se o leitor tentar executar o cálculo usando um computador ou uma calculadora obterá como resultado β 1 e portanto v c É claro que v é quase igual a c mas estamos interessados em obter uma resposta mais precisa Para isso vamos extrair o valor de 1 β da Eq 37 8 Começamos por escrever em que usamos o fato de que β está tão próximo da unidade que 1 β é praticamente igual a 2 Podemos arredondar a soma de dois números grandes mas não podemos arredondar a diferença A velocidade que buscamos está contida no termo 1 β Explicitando 1 β obtemos Assim β 1 5 1024 e como v βc v 0999 999 999 999 999 999 999 995c Resposta b Suponha que o próton tenha percorrido uma distância igual ao diâmetro da Via Láctea 98 104 anosluz Quanto tempo o próton levou para cobrir essa distância do ponto de vista de um observador terrestre Raciocínio Acabamos de constatar que este próton ultrarrelativístico está viajando a uma velocidade muito próxima da velocidade da luz De acordo com a definição de anoluz a luz leva 1 ano para percorrer 1 anoluz e portanto levaria 98 104 anos para percorrer 98 104 anosluz O próton levou praticamente o mesmo tempo Assim do ponto de vista de um observador terrestre esse tempo é c Quanto tempo o próton levou para percorrer essa distância no referencial de repouso IDEIASCHAVE O problema envolve medidas executadas em dois referenciais inerciais o referencial terrestre e o referencial do próton 2 3 4 1 2 O problema envolve dois eventos a passagem do próton pelo marco inicial da distância de 98 104 anosluz e a passagem do próton pelo marco final da mesma distância O intervalo de tempo entre os dois eventos no referencial de repouso do próton é o intervalo de tempo próprio Δt0 já que neste caso os dois eventos ocorrem no mesmo local ou seja o próton Podemos determinar o intervalo de tempo próprio Δt0 a partir do intervalo de tempo Δt medido no referencial terrestre usando a Eq 379 Δt γΔt0 Note que podemos usar a Eq 379 porque um dos intervalos de tempo é o intervalo de tempo próprio Entretanto obtemos a mesma relação usando uma transformação de Lorentz Cálculo Explicitando Δt0 na Eq 379 e usando os valores de γ e Δt obtidos nos itens a e b obtemos No referencial terrestre a viagem leva 98000 anos no referencial do próton apenas 97 s Como afirmamos no início deste capítulo o movimento relativo modifica a rapidez com a qual o tempo passa temos aqui um exemplo extremo desse fato Revisão e Resumo Os Postulados A teoria da relatividade restrita de Einstein se baseia em dois postulados As leis das físicas são as mesmas em todos os referenciais inerciais Não existe um referencial absoluto A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em todas as direções e em todos os referenciais inerciais A velocidade da luz no vácuo c é uma velocidade limite que não pode ser excedida por nenhuma entidade capaz de transportar energia ou informação Coordenadas de um Evento Três coordenadas espaciais e uma coordenada temporal especificam um evento A teoria da relatividade restrita se propõe a determinar as relações entre as coordenadas atribuídas a um mesmo evento por dois observadores que estão se movendo com velocidade constante um em relação ao outro Eventos Simultâneos Dois observadores situados em referenciais diferentes em geral não concordam quanto à simultaneidade de dois eventos Dilatação do tempo Quando dois eventos ocorrem no mesmo lugar em um referencial inercial o intervalo de tempo Δt0 entre os eventos medidos com um único relógio no lugar onde ocorrem é o intervalo de tempo próprio entre os eventos Um observador situado em outro referencial que está se movendo em relação ao primeiro mede sempre um intervalo de tempo maior que o intervalo de tempo próprio Se o observador está se movendo com velocidade relativa v o intervalo de tempo medido é em que β vc é o parâmetro de velocidade e é o fator de Lorentz Uma consequência importante da dilatação do tempo é o fato de que relógios em movimento atrasam em relação a relógios em repouso Contração do comprimento O comprimento L0 de um corpo medido por um observador em um referencial inercial no qual o corpo se encontra em repouso é chamado de comprimento próprio Um observador em um referencial que está se movendo em relação ao referencial no qual o corpo se encontra em repouso mede sempre um comprimento menor na direção do movimento que o comprimento próprio Se o observador está se movendo com velocidade relativa v o comprimento medido é A Transformação de Lorentz As equações da transformação de Lorentz relacionam as coordenadas espaçotemporais de um evento em dois referenciais inerciais S e S Se S está se movendo em relação a S com velocidade v no sentido positivo dos eixos x e x as relações entre as coordenadas nos dois referenciais são as seguintes Relatividade das Velocidades Se uma partícula está se movendo com velocidade θ no sentido positivo do eixo x de um referencial inercial S que está se movendo com velocidade v no sentido positivo do eixo x de um segundo referencial inercial S a velocidade θ da partícula no referencial S é dada por Efeito Doppler Relativístico Se uma fonte que emite ondas luminosas está se movendo com velocidade constante em relação a um detector o comprimento de onda medido no referencial da fonte é o comprimento de onda próprio λ0 O comprimento de onda λ medido pelo detector pode ser maior apresentar um desvio para o vermelho se a distância entre a fonte e o detector estiver aumentando ou menor apresentar um desvio para o azul se a distância entre a fonte e o detector estiver diminuindo Se a distância entre a fonte e o detector está aumentando a relação entre o comprimento de onda medido e o comprimento de onda próprio é dada por em que β vc e v é a velocidade radial componente da velocidade na direção da reta que liga a fonte ao detector Se a distância está diminuindo a equação é a mesma com β substituído por β Para velocidades muito menores que c a velocidade radial é dada aproximadamente por em que Δλ λ λ0 é o deslocamento Doppler do comprimento de onda produzido pelo movimento Efeito Doppler Transversal Se o movimento relativo da fonte luminosa é perpendicular à reta que liga a fonte ao detector a frequência f medida pelo detector é dada por Momento e Energia As seguintes definições de momento linear energia cinética K e energia total E de uma partícula de massa m são válidas para qualquer velocidade fisicamente possível em que γ é o fator de Lorentz e mc2 é a energia de repouso da partícula Essas equações levam às relações e O valor de Q de uma reação química ou nuclear é o negativo da variação da energia de repouso do sistema em que Mi é a massa total do sistema antes da reação e Mf é a massa total do sistema depois da reação Perguntas 1 Uma barra se move com velocidade constante v ao longo do eixo x do referencial S com a maior dimensão da barra paralela ao eixo x Um observador estacionário em relação ao referencial S mede o comprimento L da barra Qual das curvas da Fig 3715 pode representar o comprimento L o eixo vertical do gráfico em função do parâmetro de velocidade β Figura 3715 2 A Fig 3716 mostra uma nave cujo referencial é S passando por um observador cujo referencial é S Um próton é emitido com uma velocidade próxima da velocidade da luz ao longo da maior dimensão da nave no sentido da proa para a popa a A distância espacial Δx entre o local em que o próton foi emitido e o local de impacto é uma grandeza positiva ou negativa b A distância temporal Δt entre os dois eventos é uma grandeza positiva ou negativa Figura 3716 Pergunta 3 e Problema 68 3 O referencial S passa pelo referencial S a uma velocidade v ao longo da direção comum dos eixos x e x como na Fig 379 Um observador estacionário no referencial S mede um intervalo de 25 s em seu relógio de pulso Um observador estacionário no referencial S mede o intervalo de tempo correspondente Δt Qual das curvas da Fig 3715 pode representar Δt o eixo vertical do gráfico em função do parâmetro de velocidade β 4 A Fig 3717 mostra dois relógios no referencial estacionário S os dois relógios estão sincronizados nesse referencial e um relógio situado no referencial móvel S Os relógios C1 e C1 indicam t 0 no momento em que passam um pelo outro Quando os relógios C1 e C2 passam um pelo outro a qual dos relógios indica o menor tempo b Qual dos relógios indica o tempo próprio Figura 3717 Pergunta 4 5 A Fig 3718 mostra dois relógios situados no referencial estacionário S os dois relógios estão sincronizados nesse referencial e um relógio situado no referencial móvel S Os relógios C1 e C1 indicam t 0 no momento em que passam um pelo outro Quando os relógios C1 e C2 passam um pelo outro a qual dos relógios indica o menor tempo b Qual dos relógios indica o tempo próprio Figura 3718 Pergunta 5 6 João parte de Vênus em uma espaçonave com destino a Marte e passa por Maria que está na Terra com uma velocidade relativa de 05c a João e Maria medem o tempo total da viagem entre Vênus e Marte Quem mede um tempo próprio João Maria ou nenhum dos dois b No caminho João envia um pulso de laser para Marte João e Maria medem o tempo de trânsito do pulso Quem mede um tempo próprio João Maria ou nenhum dos dois 7 O plano de réguas e relógios da Fig 3719 é semelhante ao da Fig 373 As distância entre os centros dos relógios ao longo do eixo x é 1 segundoluz o mesmo acontece ao longo do eixo y e todos os relógios foram sincronizados usando o método descrito no Módulo 371 Quando o sinal de sincronismo de t 0 proveniente da origem chega a ao relógio A b ao relógio B e c ao relógio C que tempo deve ser registrado nesses relógios Um evento ocorre na posição do relógio A no instante em que o relógio indica 10 s d Quanto tempo o sinal do evento leva para chegar a um observador que está parado na origem e Que tempo o observador atribui ao evento Figura 3719 Pergunta 7 8 A energia de repouso e a energia total de três partículas expressas em termos de uma certa unidade A são respectivamente 1 A e 2A 2 A e 3A 3 3A e 4A Sem fazer nenhum cálculo no papel coloque as partículas na ordem decrescente a da massa b da energia cinética c do fator de Lorentz d da velocidade 9 A Fig 3720 mostra o triângulo da Fig 3714 para seis partículas os segmentos de reta 2 e 4 têm o mesmo comprimento Coloque as partículas na ordem decrescente a da massa b do módulo do momento c do fator de Lorentz d Determine quais são as duas partículas que têm a mesma energia total e Coloque as três partículas de menor massa na ordem decrescente da energia cinética 10 Um astronauta está a bordo de uma espaçonave e detecta sinais transmitidos por quatro naves de salvamento que estão se aproximando ou se afastando em linha reta Os sinais têm a mesma frequência própria f0 As velocidades e direções das naves de salvamento em relação ao astronauta são a 03c se aproximando b 06c se aproximando c 03c se afastando d 06c se afastando Coloque as naves de salvamento na ordem decrescente das frequências recebidas pelo astronauta Figura 3720 Pergunta 9 11 A Fig 3721 mostra um dos quatro cruzadores estelares que participam de uma competição Quando cada cruzador chega à linha de partida lança uma pequena nave de salvamento em direção à linha de chegada O juiz da prova está parado em relação às linhas de partida e de chegada As velocidades vc dos cruzadores em relação ao juiz e as velocidades vs das naves de salvamento em relação aos cruzadores são as seguintes 1 070c 040c 2 040c 070c 3 020c 090c 4 050c 060c a Coloque as naves de salvamento na ordem decrescente das velocidades em relação ao juiz b Coloque as naves de salvamento na ordem decrescente das distâncias entre a linha de partida e a linha de chegada medidas pelo piloto de cada nave c Cada cruzador envia um sinal para sua nave de salvamento cuja frequência é f0 no referencial do cruzador Coloque as naves de salvamento na ordem decrescente das frequências detectadas Figura 3721 Pergunta 11 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 371 Simultaneidade e Dilatação do Tempo 1 O tempo médio de vida de múons estacionários é 22000 µs O tempo médio de vida dos múons de alta velocidade produzidos por um raio cósmico é 16000 µs no referencial da Terra Determine com cinco algarismos significativos a velocidade em relação à Terra dos múons produzidos pelo raio cósmico 2 Determine com oito algarismos significativos qual deve ser o parâmetro de velocidade β para que o fator de Lorentz γ seja a 1010 000 0 b 10000 000 c 100000 00 d 1000 000 0 3 Um astronauta faz uma viagem de ida e volta em uma espaçonave partindo da Terra viajando em linha reta com velocidade constante durante 6 meses e voltando ao ponto de partida da mesma forma e com a mesma velocidade Ao voltar à Terra o astronauta constata que 1000 anos se passaram a Determine com oito algarismos significativos o parâmetro de velocidade β da espaçonave b Faz alguma diferença se viagem não for em linha reta 4 De volta para o futuro Suponha que um astronauta é 2000 anos mais velho que a filha Depois de passar 4000 anos no seu referencial viajando pelo universo com velocidade constante em uma viagem de ida e volta descobre ao chegar à Terra que está 2000 anos mais moço que a filha Determine o parâmetro de velocidade β da nave do astronauta em relação à Terra 5 Uma partícula instável de alta energia entra em um detector e deixa um rastro com 105 mm de comprimento viajando a uma velocidade de 0992c antes de decair Qual é o tempo de vida próprio da partícula Em outras palavras quanto tempo a partícula levaria para decair se estivesse em repouso em relação ao detector 6 O referencial S passa pelo referencial S a uma velocidade v na direção comum dos eixos x e x como na Fig 379 Um observador estacionário no referencial S mede um certo intervalo de tempo em seu relógio de pulso Um observador estacionário do referencial S mede o intervalo de tempo correspondente Δt A Fig 3722 mostra a variação de Δt com o parâmetro de velocidade β no intervalo 0 β 08 A escala do eixo vertical é definida por Δta 140 s Qual é o valor de Δt para v 098c Figura 3722 Problema 6 7 No livro e no filme O Planeta dos Macacos astronautas em hibernação viajam para um futuro distante em uma época em que a civilização humana foi substituída por uma civilização de macacos Considerando apenas a relatividade restrita determine quantos anos os astronautas viajariam no referencial da Terra se dormissem durante 120 anos de acordo com o referencial da espaçonave enquanto viajavam com uma velocidade de 09990c primeiro para longe da Terra e depois de volta para nosso planeta Módulo 372 A Relatividade do Comprimento 8 Um elétron com β 0999 987 está se movendo no eixo de um tubo evacuado cujo comprimento é 300 m do ponto de vista de um observador S em repouso em relação ao tubo Para um observador S em repouso em relação ao elétron é o tubo que está se movendo com velocidade v βc Qual é o comprimento do tubo para o observador S 9 Uma espaçonave cujo comprimento de repouso é 130 m passa por uma base espacial a uma velocidade de 0740c a Qual é o comprimento da nave no referencial da base b Qual é o intervalo de tempo registrado pelos tripulantes da base entre a passagem da proa e a passagem da popa da espaçonave 10 Uma régua no referencial S faz um ângulo de 30o com o eixo x Se a régua está se movendo paralelamente ao eixo x do referencial S com uma velocidade de 090c em relação ao referencial S qual é o comprimento da régua no referencial S 11 Uma barra se move na direção do eixo x do referencial S a uma velocidade de 0630c com a maior dimensão paralela ao eixo O comprimento de repouso da barra é 170 m Qual é o comprimento da barra no referencial S 12 O comprimento de uma espaçonave em um referencial é metade do comprimento de repouso a Qual é com três algarismos significativos o parâmetro de velocidade β da espaçonave no referencial do observador b Qual é a relação entre a rapidez da passagem do tempo no referencial da nave e no referencial do observador 13 Um astronauta parte da Terra e viaja a uma velocidade de 099c em direção à estrela Vega que está a 2600 anosluz de distância Quanto tempo terá passado de acordo com os relógios da Terra a quando o astronauta chegar a Vega b quando os observadores terrestres receberem a notícia de que o astronauta chegou a Vega c Qual é a diferença entre o tempo de viagem de acordo com os relógios da Terra e o tempo de viagem de acordo com o relógio de bordo 14 Uma barra se move com velocidade constante v ao longo do eixo x do referencial S com a maior dimensão da barra paralela ao eixo x Um observador estacionário no referencial S mede o comprimento L da barra A Fig 3723 mostra o valor de L em função do parâmetro de velocidade β para 0 β 08 A escala do eixo vertical é definida por La 100 m Qual é o valor de L para v 095c Figura 3723 Problema 14 15 O centro da Via Láctea fica a cerca de 23000 anosluz de distância da Terra a Qual é com oito algarismos significativos o parâmetro de velocidade de uma espaçonave que viaja esses 23000 anosluz medidos no referencial da galáxia em 30 anos medidos no referencial da espaçonave b Qual é distância percorrida em anosluz no referencial da espaçonave Módulo 373 A Transformação de Lorentz 16 Para um observador S um evento aconteceu no eixo x do seu referencial nas coordenadas x 300 108 m t 250 s O observador S e seu referencial estão se movendo no sentido positivo do eixo x a uma velocidade de 0400c Além disso x x 0 no instante t t 0 Determine as coordenadas a espacial e b temporal do evento no referencial de S Quais seriam as coordenadas c espacial e d temporal do evento no referencial de S se o observador S estivesse se movendo com a mesma velocidade no sentido negativo do eixo x 17 Na Fig 379 as origens dos dois referenciais coincidem em t t 0 e a velocidade relativa é 0950c Dois micrometeoritos colidem nas coordenadas x 100 km e t 200 µs de acordo com um observador estacionário no referencial S Determine as coordenadas a espacial e b temporal da colisão de acordo com um observador estacionário no referencial S 18 O referencial inercial S está se movendo com uma velocidade de 060c em relação ao referencial S Fig 379 Além disso x x 0 no instante t t 0 Dois eventos são registrados No referencial S o evento 1 ocorre na origem no instante t 0 e o evento 2 ocorre no ponto x 30 km no instante t 40 µs De acordo com o observador S em que instante ocorre a o evento 1 e b o evento 2 c Os dois observadores registram os eventos na mesma ordem 19 Um experimentador dispara simultaneamente duas lâmpadas de flash produzindo um grande clarão na origem do seu referencial e um pequeno clarão no ponto x 300 km Um observador que está se movendo com uma velocidade de 0250c no sentido positivo do eixo x também observa os clarões a Qual é o intervalo de tempo entre os dois clarões de acordo com o observador b De acordo com o observador qual dos dois clarões ocorreu primeiro 20 Como na Fig 379 o referencial S passa pelo referencial S com uma certa velocidade A Fig 37 24 mostra a distância temporal entre dois eventos no referencial S Δt em função da distância espacial entre os mesmos eventos no referencial S Δx para 0 Δx 400 m A escala do eixo vertical é definida por Δta 600 µs Qual é o valor da distância temporal entre os dois eventos no referencial S Δt Figura 3724 Problema 20 21 Inversão relativística da ordem de dois eventos As Figs 3725a e 3725b mostram a situação usual em que um referencial S passa por um referencial S na direção positiva comum dos eixos x e x movendose com velocidade constante v em relação a S O observador 1 está em repouso no referencial S e o observador 2 está em repouso no referencial S As figuras também mostram eventos A e B que ocorrem nas seguintes coordenadas espaçotemporais expressas nos dois referenciais Evento Em S Em S A xA tA xA tA B xB tB xB tB No referencial S o evento A ocorre antes do evento B com uma distância temporal Δt tB tA 100 µs e uma distância espacial Δx xB xA 400 m Seja Δt a distância temporal dos eventos de acordo com o observador 2 a Escreva uma expressão para Δt em termos do parâmetro de velocidade β vc e dos dados do problema Faça um gráfico de Δt em função de β para os seguintes intervalos b 0 β 001 baixas velocidades 0 v 001c e c 01 β 1 altas velocidades 01c v c d Para que valor de β a distância temporal Δt é nula Para que faixa de valores de β a sequência dos eventos A e B para o observador 2 e é a mesma que para o observador 1 e f não é a mesma que para o observador 1 g O evento A pode ser a causa do evento B ou viceversa Justifique sua resposta Figura 3725 Problemas 21 22 60 e 61 22 Para os sistemas de coordenadas da Fig 3725 os eventos A e B ocorrem nas seguintes coordenadas espaçotemporais no referencial S xAtA e xBtB no referencial S xA tA e xB tB No referencial S Δt tB tA 100 µs e Δx xB xA 400 m a Escreva uma expressão para Δx em termos do parâmetro de velocidade β e dos dados do problema Faça um gráfico de Δx em função de β para duas faixas de valores b 0 β 001 e c 01 β 1 d Para que valor de β a distância espacial Δx é mínima e Qual é o valor da distância mínima 23 Um relógio está se movendo ao longo do eixo x com uma velocidade de 0600c e indica o instante t 0 ao passar pela origem a Calcule o fator de Lorentz do relógio b Qual é a leitura do relógio ao passar pelo ponto x 180 m 24 O observador S passa pelo observador S movendose na direção comum dos eixos x e x como na Fig 379 e levando três réguas de 1 metro a régua 1 paralela ao eixo x a régua 2 paralela ao eixo y e a régua 3 paralela ao eixo z O observador S mede no relógio de pulso um intervalo de 150 s que para o observador S corresponde a um intervalo de 300 s Dois eventos ocorrem durante a passagem De acordo com o observador S o evento 1 ocorre em x1 330 m e t1 220 ns e o evento 2 ocorre em x2 530 m e t2 620 ns De acordo com o observador S qual é o comprimento a da régua 1 b da régua 2 e c da régua 3 De acordo com o observador S d qual é a distância espacial entre os eventos 1 e 2 e e qual é a distância temporal entre os dois eventos f Qual dos dois eventos aconteceu primeiro de acordo com o observador S 25 Na Fig 379 o observador S detecta dois clarões Um grande clarão acontece em x1 1200 m e 500 µs mais tarde um pequeno clarão acontece em x2 480 m De acordo com o observador S os dois clarões aconteceram na mesma coordenada x a Qual é o parâmetro de velocidade de S b S está se movendo no sentido positivo ou negativo do eixo x De acordo com S c qual dos dois clarões acontece primeiro d Qual é o intervalo de tempo entre os dois clarões 26 Na Fig 379 o observador S observa dois clarões Um grande clarão acontece em x1 1200 m e pouco depois um pequeno clarão acontece em x2 480 m O intervalo de tempo entre os clarões é Δt t2 t1 Qual é o menor valor de Δt para o qual os dois clarões podem ocorrer na mesma coordenada x para o observador S Módulo 374 A Relatividade das Velocidades 27 Uma partícula está se movendo ao longo do eixo x do referencial S com uma velocidade de 040c O referencial S está se movendo com uma velocidade de 060c em relação ao referencial S Qual é a velocidade da partícula no referencial S 28 Na Fig 3711 o referencial S está se movendo em relação ao referencial S com uma velocidade de 062cî enquanto uma partícula se move paralelamente aos eixos coincidentes x e x Para um observador estacionário em relação ao referencial S a partícula está se movendo com uma velocidade de 047cî Em termos de c qual é a velocidade da partícula para um observador estacionário em relação ao referencial S a de acordo com a transformação relativística e b de acordo com a transformação clássica Suponha que para um observador estacionário em relação ao referencial S a partícula está se movendo com uma velocidade de 047cî Qual é nesse caso a velocidade da partícula para um observador estacionário em relação ao referencial S c de acordo com a transformação relativística e d de acordo com a transformação clássica 29 A galáxia A está se afastando da Terra com uma velocidade de 035c A galáxia B situada na direção diametralmente oposta está se afastando de nós com a mesma velocidade Que múltiplo de c corresponde à velocidade de recessão medida por um observador da galáxia A a para nossa galáxia b para a galáxia B 30 O sistema estelar Q1 está se afastando da Terra com uma velocidade de 0800c O sistema estelar Q2 que está na mesma direção que o sistema Q1 e se encontra mais próximo da Terra está se afastando da Terra com uma velocidade de 0400c Que múltiplo de c corresponde à velocidade de Q2 do ponto de vista de um observador estacionário em relação a Q1 31 Uma espaçonave cujo comprimento próprio é 350 m está se movendo com uma velocidade de 082c em um certo referencial Um micrometeorito também com uma velocidade de 082c nesse referencial cruza com a espaçonave viajando na direção oposta Quanto tempo o micrometeorito leva para passar pela espaçonave do ponto de vista de um observador a bordo da espaçonave 32 Na Fig 3726a uma partícula P está se movendo paralelamente aos eixos x e x dos referenciais S e S com uma velocidade θ em relação do referencial S O referencial S está se movendo paralelamente ao eixo x do referencial S com uma velocidade v A Fig 3726b mostra a velocidade u da partícula em relação ao referencial S para 0 v 05c A escala do eixo vertical é definida por ua 0800c Determine o valor de u a para v 090c e b para v c Figura 3726 Problema 32 33 Uma esquadrilha de espaçonaves com 100 anoluz de comprimento no seu referencial de repouso está se movendo com uma velocidade de 0800c em relação a uma base espacial Uma nave mensageira viaja da retaguarda à vanguarda da esquadrilha com uma velocidade de 0950c em relação à base espacial Quanto tempo leva a viagem a no referencial da nave mensageira b no referencial da esquadrilha e c no referencial da base espacial Módulo 375 O Efeito Doppler para a Luz 34 Uma lâmpada de sódio está se movendo em círculos em um plano horizontal a uma velocidade constante de 0100c enquanto emite luz com um comprimento de onda próprio λ0 58900 nm Um detector situado no centro de rotação da lâmpada é usado para medir o comprimento de onda da luz emitida pela lâmpada e o resultado é λ Qual é o valor da diferença λ λ0 35 Uma espaçonave que está se afastando da Terra a uma velocidade de 0900c transmite mensagens com uma frequência no referencial da nave de 100 MHz Para que frequência devem ser sintonizados os receptores terrestres para captar as mensagens 36 Certos comprimentos de onda na luz de uma galáxia da constelação da Virgem são 04 maiores que a luz correspondente produzida por fontes terrestres a Qual é a velocidade radial da galáxia em relação à Terra b A galáxia está se aproximando ou se afastando da Terra 37 Supondo que a Eq 3736 possa ser aplicada determine com que velocidade um motorista teria que passar por um sinal vermelho para que o sinal parecesse verde Tome 620 nm como o comprimento de onda da luz vermelha e 540 como o comprimento de onda da luz verde 38 A Fig 3727 mostra um gráfico da intensidade em função do comprimento de onda da luz emitida pela galáxia NGC 7319 que está a aproximadamente 3 108 anosluz da Terra O pico mais intenso corresponde à radiação emitida por átomos de oxigênio No laboratório essa emissão tem um comprimento de onda λ 513 nm no espectro da galáxia NGC 7319 o comprimento de onda foi deslocado para λ 525 por causa do efeito Doppler na verdade todas as emissões da galáxia NGC 7319 aparecem deslocadas a Qual é a velocidade radial da galáxia NGC 7319 em relação à Terra b A galáxia está se aproximando ou se afastando da Terra Figura 3727 Problema 38 39 Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 020c Uma fonte luminosa na popa da nave emite luz com um comprimento de onda de 450 nm de acordo com os passageiros Determine a o comprimento de onda e b a cor azul verde amarela ou vermelha da luz emitida pela nave do ponto de vista de um observador terrestre Módulo 376 Momento e Energia 40 Qual é o trabalho necessário para que a velocidade de um elétron aumente de zero para a 0500c b 0990c e c 09990c 41 A massa de um elétron é 9109 381 88 1031 kg Determine com seis algarismos significativos a o valor de γ e b o valor de β para um elétron com uma energia cinética K 100000 MeV 42 Determine a menor energia necessária para transformar um núcleo de 12C cuja massa é 11996 71 u em três núcleos de 4He que possuem uma massa de 4001 51 u cada um 43 Determine o trabalho necessário para aumentar a velocidade de um elétron a de 018c para 019c e b de 098c para 099c Note que o aumento de velocidade é o mesmo 001c nos dois casos 44 As massas das partículas envolvidas na reação p 19F α 16O são mp 1007825 u mα 4002603 u mF 18998405 u mO 15994915 u Calcule o Q da reação 45 Em uma colisão de alta energia entre uma partícula dos raios cósmicos e uma partícula da parte superior da atmosfera terrestre 120 km acima do nível do mar é criado um píon O píon possui uma energia total E de 135 105 MeV e está se movendo verticalmente para baixo No referencial de repouso do píon o píon decai 350 ns após ser criado Em que altitude acima do nível do mar do ponto de vista de um observador terrestre ocorre o decaimento A energia de repouso do píon é 1396 MeV 46 a Se m é a massa p é o módulo do momento e K é a energia cinética de uma partícula mostre que b Mostre que para baixas velocidades o lado direito dessa expressão se reduz a m c Se a energia cinética de uma partícula é K 550 MeV e o módulo do momento é p 121 MeVc quanto vale a razão mme entre a massa da partícula e a massa do elétron 47 Um comprimido de aspirina tem uma massa de 320 mg A energia correspondente a essa massa seria suficiente para fazer um automóvel percorrer quantos quilômetros Suponha que o automóvel faz 1275 kmL e que o calor de combustão da gasolina utilizada é 365 107 JL 48 A massa do múon é 207 vezes maior que a massa do elétron e o tempo médio de vida de um múon em repouso é 220 µs Em um experimento múons que estão se movendo em relação a um laboratório têm um tempo de vida médio de 690 µs Para esses múons determine o valor a de β b de K e c de p em MeVc 49 Enquanto você lê esta página um próton proveniente do espaço sideral atravessa a página do livro da esquerda para a direita com uma velocidade relativa v e uma energia total de 1424 nJ No seu referencial a largura da página é 210 cm a Qual é a largura da página no referencial do próton Determine o tempo que o próton leva para atravessar a página b no seu referencial e c no referencial do próton 50 Determine os seguintes valores com quatro algarismos significativos para uma energia cinética de 1000 MeV a γ e b β para um elétron E0 0510 998 MeV c γ e d β para um próton E0 0510 998 MeV e γ e f β para uma partícula α E0 372740 MeV 51 Qual deve ser o momento de uma partícula de massa m para que a energia total da partícula seja 300 vezes maior que a energia de repouso 52 Aplique o teorema binomial Apêndice E ao fator de Lorentz e substitua os três primeiros termos da expansão na Eq 3752 usada para calcular a energia cinética de uma partícula a Mostre que o resultado pode ser escrito na forma K primeiro termo segundo termo O primeiro termo é a expressão clássica da energia cinética o segundo é a correção de primeira ordem da expressão clássica Suponha que a partícula é um elétron Se a velocidade v do elétron é c20 determine o valor b da expressão clássica e c da correção de primeira ordem Se a velocidade do elétron é 080c determine o valor d da expressão clássica e e da correção de primeira ordem f Para que parâmetro de velocidade β a correção de primeira ordem é igual a 10 do valor da expressão clássica 53 No Módulo 284 mostramos que uma partícula de carga q e massa m se move em uma circunferência de raio r mvqB quando a velocidade da partícula é perpendicular a um campo magnético uniforme Vimos também que o período T do movimento é independente da velocidade escalar v Os dois resultados são aproximadamente corretos se v c No caso de velocidades relativísticas devemos usar a equação correta para o raio a Usando essa equação e a definição de período T 2πrv encontre a expressão correta para o período b O período T é independente de v Se um elétron de 100 MeV está se movendo em uma trajetória circular em um campo magnético uniforme com um módulo de 220 T determine c o raio da trajetória de acordo o modelo clássico do Capítulo 28 d o raio correto e o período do movimento de acordo com o modelo clássico do Capítulo 28 e f o período correto 54 Determine o valor de β para uma partícula a com K 200E0 b com E 200E0 55 Uma partícula de massa m tem um momento cujo módulo é mc Determine o valor a de β b de γ c da razão KE0 56 a A energia liberada pela explosão de 100 mol de TNT é 340 MJ A massa molar do TNT é 0227 kgmol Que peso de TNT seria necessário para liberar uma energia de 180 1014 J b Esse peso pode ser carregado em uma mochila ou seria necessário usar um caminhão c Suponha que na explosão de uma bomba de fissão 0080 da massa físsil seja convertida em energia Que peso de material físsil seria necessário para liberar uma energia de 180 1014 J d Esse peso pode ser carregado em uma mochila ou seria necessário usar um caminhão 57 Os astrônomos acreditam que os quasars são núcleos de galáxias ativas nos primeiros estágios de formação Um quasar típico irradia energia a uma taxa de 1041 W Com que rapidez a massa de um quasar típico está sendo consumida para produzir essa energia Expresse a resposta em unidades de massa solar por ano em que uma unidade de massa solar 1 ums 20 1030 kg é a massa do Sol 58 A massa de um elétron é 9109 381 88 1031 kg Determine os seguintes valores com oito algarismos significativos para um elétron com a energia cinética especificada a γ e b β para K 1000 000 0 keV c γ e d β para K 1000 000 0 MeV e γ e f β para K 1000 000 0 GeV 59 Uma partícula alfa com um energia cinética de 770 MeV colide com um núcleo de 14N em repouso e as duas partículas se transformam em um núcleo de 17O e um próton O próton é emitido a 90o com a direção da partícula alfa incidente e tem uma energia cinética de 444 MeV As massas das partículas envolvidas são as seguintes partícula alfa 400260u 14N 1400307u próton 1007825u 17O 1699914u Determine em MeV a a energia cinética do núcleo de oxigênio e b o Q da reação Sugestão Leve em conta o fato de que as velocidades das partículas são muito menores que c Problemas Adicionais 60 Distância temporal entre dois eventos Os eventos A e B ocorrem nas seguintes coordenadas espaçotemporais nos referenciais da Fig 3725 no referencial S xA tA e xB tB no referencial S xA tA e xB tB No referencial S Δt tB tA 100 µs e Δx xB xA 240 m a Escreva uma expressão para Δt em termos do parâmetro de velocidade β e dos dados do problema Faça um gráfico de Δt em função de β b para 0 β 001 e c para 01 β 1 d Para que valor de β o valor de Δt é mínimo e Qual é o valor mínimo f Um dos dois eventos pode ser a causa do outro Justifique sua resposta 61 Distância espacial entre dois eventos Os eventos A e B ocorrem nas seguintes coordenadas espaçotemporais nos referenciais da Fig 3725 no referencial S xA tA e xB tB no referencial S xA tA e xB tB No referencial S Δt tB tA 100 µs e Δx xB xA 240 m a Escreva uma expressão para Δx em termos do parâmetro de velocidade β e dos dados do problema Faça um gráfico de Δx em função de β b para 0 β 001 e c para 01 β 1 d Para que valor de β o valor de Δx é nulo 62 Na Fig 3728a a partícula P se move paralelamente aos eixos x e x dos referenciais S e S com uma velocidade u em relação ao referencial S O referencial S se move paralelamente ao eixo x do referencial S com velocidade v A Fig 3728b mostra a velocidade u da partícula em relação ao referencial S para 0 v 05c A escala do eixo vertical é definida por ua 0800c Determine o valor de u a para v 080c e b para v c Figura 3728 Problema 62 63 Jatos superluminais A Fig 3729a mostra a trajetória de uma nuvem de gás ionizado expelida por uma galáxia A nuvem viaja com velocidade constante em uma direção que faz um ângulo θ com a reta que liga a nuvem à Terra A nuvem emite de tempos em tempos clarões luminosos que são detectados na Terra A Fig 3729a mostra dois desses clarões separados por um intervalo de tempo t em um referencial estacionário próximo dos clarões Os clarões aparecem na Fig 3729b como imagens em um filme fotográfico A distância aparente Dap percorrida pela nuvem entre os dois clarões é a projeção da trajetória da nuvem em uma perpendicular à reta que liga a nuvem à Terra O intervalo de tempo aparente Tap entre os dois eventos é a diferença entre os tempos de chegada dos raios luminosos associados aos dois clarões A velocidade aparente da nuvem é portanto Vap DapTap Quais são os valores de a Dap b Tap A resposta deve ser expressa em função de v t e θ c Determine Vap para v 0980c e θ 300o Quando os jatos superluminais mais velozes que a luz foram descobertos pareciam violar a teoria da relatividade restrita mas logo os astrônomos se deram conta de que podiam ser explicados pela geometria da situação Fig 3729a sem necessidade de supor que havia corpos se movendo mais depressa que a luz Figura 3729 Problema 63 64 O referencial S passa pelo referencial S com uma certa velocidade como na Fig 379 Os eventos 1 e 2 estão separados por uma distância Δx de acordo com um observador em repouso no referencial S A Fig 3730 mostra a distância Δx entre os dois eventos de acordo com um observador em repouso no referencial S em função de Δt para 0 Δt 10 A escala do eixo vertical é definida por Δxa 100 m Qual é o valor de Δωx Figura 3730 Problema 64 65 Outra abordagem para as transformações de velocidades Na Fig 3731 os referenciais B e C se movem em relação ao referencial A na direção comum dos eixos x Podemos representar as componentes x das velocidades de um referencial em relação a outro por um índice duplo Assim por exemplo vAB é a componente x da velocidade de A em relação a B Os parâmetros de velocidade podem ser representados da mesma forma βAB vABc por exemplo é o parâmetro de velocidade correspondente a vAB a Mostre que Seja MAB a razão 1 βAB1 βAB e sejam MBC e MAC razões análogas b Mostre que a relação MAC MABMBC é verdadeira demonstrando a partir desta relação a equação do item a Figura 3731 Problemas 65 66 e 67 66 Continuação do Problema 65 Use o resultado do item b do Problema 65 para analisar o movimento ao longo de um único eixo na seguinte situação o referencial A da Fig 3731 é associado a uma partícula que se move com velocidade 0500c em relação ao referencial B que se move em relação ao referencial C com uma velocidade de 0500c Determine a o valor de MAC b o valor de βAC c a velocidade da partícula em relação ao referencial C 67 Continuação do Problema 65 Suponha que o referencial C da Fig 3731 está se movendo em relação a um observador D que não aparece na figura a Mostre que MAD MABMBCMCD b Agora aplique esse resultado geral a um caso particular Três partículas se movem paralelamente a um único eixo no qual está estacionado um observador Os sinais positivo e negativo indicam o sentido do movimento ao longo desse eixo A partícula A se move em relação à partícula B com um parâmetro de velocidade βAB 020 A partícula B se move em relação à partícula C com um parâmetro de velocidade βBC 040 A partícula C se move em relação ao observador D com um parâmetro de velocidade βCD 060 Qual é a velocidade da partícula A em relação ao observador D Esse método de resolver o problema é muito mais rápido que usar a Eq 3729 68 A Fig 3716 mostra uma nave cujo referencial é S passando por um observador cujo referencial é S com velocidade 0950cî Um próton é emitido com uma velocidade de 0980c ao longo da maior dimensão da nave da proa para a popa O comprimento próprio da nave é 760 m Determine a distância temporal entre o momento em que o próton foi emitido e o momento em que o próton chegou à popa da nave a de acordo com um passageiro da nave e b de acordo com um observador estacionário no referencial S Suponha que o percurso do próton em vez de ser da proa para a popa seja da popa para a proa Nesse caso qual é a distância temporal entre o momento em que o próton foi emitido e o momento em que o próton chegou à popa da nave c de acordo com um passageiro da nave e d de acordo com um observador estacionário no referencial S 69 O problema do carro na garagem Mário acaba de comprar a maior limusine do mundo com um comprimento próprio Lc 305 m Na Fig 3732a o carro aparece parado em frente a uma garagem cujo comprimento próprio é Lg 600 m A garagem possui uma porta na frente que aparece aberta na figura e uma porta nos fundos que aparece fechada A limusine é obviamente mais comprida que a garagem Mesmo assim Alfredo que é o dono da garagem e conhece alguma coisa de mecânica relativística aposta com Mário que a limusine pode passar algum tempo na garagem com as duas portas fechadas Mário que parou de estudar física na escola antes de chegar à teoria da relatividade afirma que isso é impossível sejam quais forem as circunstâncias Para analisar o plano de Alfredo suponha que um eixo de referência xc seja instalado no carro com xc 0 no parachoque traseiro e que um eixo de referência xg seja instalado na garagem com xg 0 na porta dianteira Mário conduz a limusine em direção à porta da frente da garagem a uma velocidade de 09980c o que na prática naturalmente é impossível Mário está em repouso no referencial xc Alfredo está em repouso no referencial xg Existem dois eventos a considerar Evento 1 quando o parachoque traseiro passa pela porta da frente da garagem a porta da frente é fechada Vamos tomar o instante em que esse evento ocorre como sendo o instante inicial tanto para Mário como para Alfredo tg1 tc1 0 Esse evento ocorre no ponto xc xg 0 A Fig 3732b mostra o evento 1 do ponto de vista de Alfredo referencial xg Evento 2 quando o parachoque dianteiro chega à porta dos fundos da garagem a porta é aberta A Fig 3732c mostra o evento 2 do ponto de vista de Alfredo De acordo com Alfredo a qual é o comprimento da limusine Quais são as coordenadas b xg2 e c tg2 do evento 2 d por quanto tempo a limusine permanece no interior da garagem com as duas portas da garagem fechadas Considere agora a situação do ponto de vista de Mário referencial xc Nesse caso é a garagem que passa pela limusine com uma velocidade de 09980c De acordo com Mário e qual é o comprimento da limusine Quais são as coordenadas f xc2 e g tc2 do evento 2 h A limusine chega a passar algum tempo no interior da garagem com as duas portas fechadas i Qual dos dois eventos acontece primeiro j Faça um esboço dos eventos 1 e 2 do ponto de vista de Mário k Existe uma relação causal entre os dois eventos ou seja um dos eventos pode ser a causa do outro l Finalmente quem ganhou a aposta Figura 3732 Problema 69 70 Um avião cujo comprimento em repouso é 400 m está se movendo a uma velocidade de 630 ms em relação à Terra a Qual é a razão entre o comprimento do avião do ponto de vista de um observador terrestre e o comprimento próprio b Quando tempo o relógio do avião leva para atrasar 100 µs em relação aos relógios terrestres 71 Para girar em volta da Terra em uma órbita de baixa altitude um satélite deve ter uma velocidade de aproximadamente 27 104 kmh Suponha que dois satélites nesse tipo de órbita girem em torno da Terra em sentidos opostos a Qual é a velocidade relativa dos satélites ao se cruzarem de acordo com a equação clássica de transformação de velocidades b Qual é o erro relativo cometido no item a por não ser usada a equação relativística de transformação de velocidades 72 Determine o parâmetro de velocidade de uma partícula que leva 20 anos a mais que a luz para percorrer uma distância de 60 anosluz 73 Qual é o trabalho necessário para acelerar um próton de uma velocidade de 09850c para uma velocidade de 09860c 74 Um píon é criado na parte superior da atmosfera da Terra quando um raio cósmico colide com um núcleo atômico O píon assim formado desce em direção à superfície da Terra com uma velocidade e 099c Em um referencial no qual estão em repouso os píons decaem com uma vida média de 26 ns No referencial da Terra que distância um píon percorre em média na atmosfera antes de decair 75 Se interceptamos um elétron com uma energia total de 1533 MeV proveniente de Vega que fica a 26 anosluz da Terra qual foi a distância percorrida em anosluz no referencial do elétron 76 A energia total de um próton que está passando por um laboratório é 10611 nJ Qual é o valor do parâmetro de velocidade β Use a massa do próton com nove decimais que aparece no Apêndice B 77 Uma espaçonave em repouso em um referencial S sofre um incremento de velocidade de 050c Em seguida a nave sofre um incremento de 050c em relação ao novo referencial de repouso O processo continua até que a velocidade da nave em relação ao referencial original S seja maior que 0999c Quantos incrementos são necessários para completar o processo 78 Por causa do desvio para o vermelho da luz de uma galáxia distante uma radiação cujo comprimento de onda medido em laboratório é 434 nm passa a ter um comprimento de onda de 462 nm a Qual é a velocidade radial da galáxia em relação à Terra b A galáxia está se aproximando ou se afastando da Terra 79 Qual é o momento em MeVc de um elétron com uma energia cinética de 200 MeV 80 O raio da Terra é 6370 km e a velocidade orbital do planeta é 30 kms Suponha que a Terra passe por um observador com essa velocidade Qual é a redução do diâmetro da Terra na direção do movimento do ponto de vista do observador 81 Uma partícula de massa m tem uma velocidade c2 em relação ao referencial inercial S A partícula colide com uma partícula igual em repouso no referencial S Qual é a velocidade em relação a S de um referencial S no qual o momento total das duas partículas é zero Esse referencial é conhecido como referencial do centro de momento 82 Uma partícula elementar produzida em um experimento de laboratório percorre 0230 mm no interior do laboratório com uma velocidade relativa de 0960c antes de decair transformarse em outra partícula a Qual é o tempo de vida próprio da partícula b Qual é a distância percorrida pela partícula no seu referencial de repouso 83 Determine o valor a de K b de E e c de p em GeVc para um próton que está se movendo a uma velocidade de 0990c Determine d K e E e f p em MeVc para um elétron que está se movendo a uma velocidade de 0990c 84 Um transmissor de radar T está em repouso em um referencial S que se move para a direita com uma velocidade v em relação ao referencial S Fig 3733 Um contador mecânico que pode ser considerado um relógio do referencial S com um período τ0 no referencial S faz com que o transmissor T emita pulsos de radar que se propagam com a velocidade da luz e são recebidos por R um receptor do referencial S a Qual é o período τ do contador do ponto de vista do observador A que está em repouso no referencial S b Mostre que no receptor R o intervalo de tempo entre os pulsos recebidos não é τ nem τ0 mas Figura 3733 Problema 84 c Explique por que o receptor R e o observador A que estão em repouso no mesmo referencial medem um período diferente para o transmissor T Sugestão Um relógio e um pulso de radar não são a mesma coisa 85 Uma partícula proveniente do espaço sideral se aproxima da Terra ao longo do eixo de rotação do planeta com uma velocidade de 080c vindo do norte e outra partícula se aproxima com uma velocidade de 060c vindo do sul Fig 3734 Qual é a velocidade relativa das partículas Figura 3734 Problema 85 86 a Qual é a energia liberada pela explosão de uma bomba de fissão contendo 30 kg de material físsil Suponha que 010 da massa do material físsil é convertida em energia b Que massa de TNT teria que ser usada para liberar a mesma quantidade de energia Suponha que um mol de TNT libera 34 MJ de energia ao explodir A massa molecular do TNT é 0227 kgmol c Para a mesma massa de explosivo qual é a razão entre a energia liberada em uma explosão nuclear e a energia liberada em uma explosão de TNT 87 a Que diferença de potencial aceleraria um elétron até a velocidade c de acordo com a física clássica b Se um elétron for submetido a essa diferença de potencial qual será a velocidade final do elétron 88 Um cruzador dos foronianos que está em rota de colisão com um caça dos reptulianos dispara um míssil na direção da outra nave A velocidade do míssil é 0980c em relação à nave dos reptulianos e a velocidade do cruzador dos foronianos é 0900c Qual é a velocidade do míssil em relação ao cruzador 89 Na Fig 3735 três espaçonaves estão viajando na mesma direção e no mesmo sentido As velocidades das espaçonaves em relação ao eixo x de um referencial inercial a Terra por exemplo são vA 0900c vB e vC 0800c a Qual deve ser o valor de vB para que as naves A e C se aproximem da nave B com a mesma velocidade relativa b Qual é essa velocidade relativa Figura 3735 Problema 89 90 As espaçonaves A e B estão viajando na mesma direção e no mesmo sentido A nave A que tem um comprimento próprio L 200 m está viajando mais depressa com uma velocidade v 0900c em relação à nave B De acordo com o piloto da nave A no instante t 0 em que as popas das naves estão alinhadas as proas também estão alinhadas De acordo com o piloto da nave B qual é o intervalo de tempo entre o instante em que as proas se alinham e o instante em que as popas se alinham 91 Na Fig 3736 duas espaçonaves se aproximam de uma estação espacial A velocidade da nave A em relação à estação espacial é 0800c Qual é a velocidade da nave B em relação à estação espacial se o piloto da nave B vê a nave A e a estação espacial se aproximarem com a mesma velocidade Figura 3735 Problema 89 92 Um trem relativístico com 200 m de comprimento próprio se aproxima de um túnel com o mesmo comprimento próprio a uma velocidade relativa de 0900c Uma bomba de tinta na locomotiva está programada para explodir e pintar o maquinista de azul quando a frente do trem passar pela saída do túnel evento FS Por outro lado quando a traseira do trem passar pela entrada do túnel evento TE um sinal será enviado à locomotiva para desativar a bomba Do ponto de vista do trem a Qual é o comprimento do túnel b Que evento ocorre primeiro FS ou TE c Qual é o intervalo de tempo entre os dois eventos d A bomba de tinta vai explodir Do ponto de vista do túnel e Qual é o comprimento do trem f Que evento ocorre primeiro g Qual é o intervalo de tempo entre os eventos h A bomba de tinta vai explodir Se as respostas dos itens d e h forem diferentes você precisa explicar o paradoxo porque ou o maquinista vai ser pintado de azul ou não vai uma das possibilidades exclui a outra Se as respostas forem iguais você precisa explicar a razão 93 A partícula A com uma energia de repouso de 200 MeV está em repouso no referencial de um laboratório quando decai na partícula B com uma energia de repouso de 100 MeV e na partícula C com uma energia de repouso de 50 MeV Determine a a energia total e b o momento da partícula B e c a energia total e d o momento da partícula C 94 A Fig 3737 mostra três situações nas quais uma espaçonave passa pela Terra representada por um ponto e em seguida faz uma viagem de ida e volta à Terra com o fator de Lorentz indicado As distâncias percorridas nas viagens de ida e volta no referencial da Terra são as seguintes na viagem 1 2D na viagem 2 4D na viagem 3 6D Desprezando os tempos de aceleração determine em termos de D e c o tempo de percurso a na situação 1 b na situação 2 c na situação 3 no referencial da Terra Determine também o tempo de percurso d na situação 1 e na situação 2 e f na situação 3 no referencial de cada espaçonave Sugestão No caso de um fator de Lorentz muito grande a velocidade relativa é praticamente igual a c Figura 3737 Problema 94 95 Medidas de ionização mostram que um núcleo leve tem uma carga dupla 2e e está se movendo a uma velocidade de 0710c O raio de curvatura da trajetória da partícula em um campo magnético de 100 T é 628 m Determine a massa e a identidade da partícula Sugestões Os núcleos leves têm um número aproximadamente igual de nêutrons eletricamente neutros e prótons de carga e Suponha que a massa dos nêutrons e dos prótons é 100 u Veja o Problema 53 96 Um elétron de 250 MeV descreve uma trajetória com 39 cm de raio na presença de um campo magnético de 250 MeV Qual é o valor do campo magnético B Sugestão Veja o Problema 53 97 Um síncrotron acelera prótons até uma energia cinética de 500 GeV Para essa energia calcule a o fator de Lorentz b o parâmetro de velocidade e c o campo magnético para o qual a trajetória do próton tem um raio de 750 m 98 Um astronauta que se exercita em uma esteira está com uma pulsação de 150 por minuto Se ele caminha por 100 h de acordo com o relógio de bordo a uma velocidade de 100 ms enquanto a nave viaja a uma velocidade de 0900c em relação à Terra determine a a pulsação e b a distância coberta pelo astronauta na esteira do ponto de vista de um observador terrestre 99 Uma espaçonave se aproxima da Terra à velocidade de 042c Uma luz na proa da nave é vista como vermelha com um comprimento de onda de 650 nm pelos passageiros da nave Qual é a o comprimento da luz e b a cor da luz azul verde ou amarela para um observador terrestre 100 Algumas linhas típicas do hidrogênio são observadas no espectro do quasar 3C9 mas estão tão deslocadas para o vermelho que apresentam um comprimento de onda 30 vezes maior que as mesmas linhas observadas em um laboratório terrestre a Mostre que nessa situação o uso da equação clássica do efeito Doppler leva a uma velocidade relativa de recessão maior que a velocidade da luz b Supondo que o movimento relativo entre o quasar 3C9 e a Terra se deve unicamente à expansão do universo calcule a velocidade de recessão que é prevista pelo efeito Doppler relativístico 101 Em um ano o consumo de energia elétrica dos Estados Unidos foi aproximadamente 22 1012 kW h a Qual é a massa equivalente à energia consumida nesse ano b Faz diferença para a resposta do item a se a energia foi gerada por usinas a óleo nucleares ou hidrelétricas 102 Mesmo sem levar em conta os efeitos produzidos pelos movimentos de rotação e translação da Terra o referencial de um laboratório terrestre não é um referencial inercial pois uma partícula em repouso em geral não permanece em repouso por estar sujeita à força gravitacional Na maioria dos casos porém os fenômenos investigados acontecem tão depressa que podemos ignorar a aceleração gravitacional e tratar o referencial como se fosse inercial Considere por exemplo um elétron com uma velocidade v 0992c que é lançado horizontalmente em uma câmara de teste com 20 cm de comprimento a Quanto tempo o elétron leva para percorrer essa distância e b qual é a distância vertical que o elétron percorre durante esse tempo por causa da atração gravitacional c O que se pode concluir nesse caso a respeito da validade de considerar o laboratório um referencial inercial 103 Determine o parâmetro de velocidade para as seguintes velocidades a o deslocamento de uma placa tectônica típica 25 cmano b a velocidade de deriva dos elétrons em um condutor típico 05 mms c o limite de velocidade típico de uma rodovia 90 kmh d a velocidade média quadrática de uma molécula de hidrogênio à temperatura ambiente 1920 ms e a velocidade de um caça supersônico ao atingir a velocidade do som 1200 kmh f a velocidade de escape na superfície da Terra 112 kms g a velocidade orbital da Terra 298 kms h a velocidade de recessão de um quasar típico 30 104 kms O leitor talvez esteja curioso para saber por que essas equações não são chamadas de equações da transformação de Einstein e por que o fator γ não é chamado de fator de Einstein Na verdade as equações foram propostas por H A Lorentz antes que Einstein o fizesse mas o grande físico holandês reconheceu que não deu o passo decisivo de interpretálas como uma descrição real da natureza do espaço e do tempo É nessa interpretação proposta pela primeira vez por Einstein que está a base da teoria da relatividade 1 Na verdade o simples fato de que os eventos ocorreram em ordem diferente nos dois referenciais era suficiente para concluir que não existia uma relação causal entre eles NT 2 No caso de ondas sonoras no ar o coeficiente é 0 se a fonte estiver em repouso e o detector em movimento em relação ao ar e 1 se o detector estiver em repouso e a fonte em movimento em relação ao ar NT 3 De acordo com a Eq 3732 com o sinal de β trocado pois o carro está se aproximando desprezando o termo em β2 já que v c e levando em conta que o efeito Doppler ocorre duas vezes na interceptação das ondas pelo carro e na reflexão a velocidade v do carro é dada por v cf f02f0 em que c é a velocidade da luz f é a frequência recebida pelo aparelho de radar e f0 é a frequência das ondas emitidas pelo aparelho NT CAPÍTULO 38 Fótons e Ondas de Matéria 381 FÓTON O QUANTUM DA LUZ Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3801 Explicar a absorção e emissão da luz em termos de níveis de energia quantizados e fótons 3802 No caso da absorção e emissão da luz conhecer as relações entre a energia a potência a intensidade a taxa de absorção e emissão de fótons a constante de Planck a frequência e o comprimento de onda IdeiasChave Uma onda eletromagnética como a luz é quantizada pode ter apenas alguns valores de energia e o menor valor possível de energia é chamado de fóton No caso de uma luz de frequência f a energia do fóton é dada por E hf em que h é a constante de Planck O que É Física Uma área importante da física é a teoria da relatividade de Einstein que nos levou a um mundo bem diferente daquele a que estamos acostumados o mundo dos objetos que se movem com velocidades próximas da velocidade da luz Entre outras surpresas a teoria de Einstein prevê que o intervalo de tempo marcado por um relógio depende da velocidade do relógio em relação ao observador quanto maior a velocidade do relógio maior o intervalo Essa e outras previsões da teoria foram confirmadas por todos os testes experimentais realizados até hoje além disso a teoria da relatividade proporcionou uma visão mais profunda e mais satisfatória da natureza do espaço e do tempo Vamos agora discutir outro mundo que também é muito diferente do nosso o mundo das partículas subatômicas Nele encontraremos outras surpresas que embora às vezes pareçam desafiar o senso comum deram aos físicos um conhecimento mais abrangente da realidade A física quântica como é chamada a nova área se propõe a responder a perguntas como Por que as estrelas brilham Por que os elementos podem ser classificados em uma tabela periódica Como funcionam os transistores e outros dispositivos da microeletrônica Por que o cobre é um bom condutor de eletricidade e o vidro é um isolante Cientistas e engenheiros aplicam a física quântica a quase todos os aspectos da vida cotidiana da medicina aos transportes e aos meios de comunicação Na verdade como toda a química incluindo a bioquímica está baseada na física quântica temos que conhecêla bem se quisermos desvendar os mistérios da própria vida Algumas previsões da física quântica parecem estranhas até mesmo para os físicos e filósofos que estudam os fundamentos desse ramo da física entretanto os experimentos confirmaram repetidamente que a teoria está correta e muitos desses experimentos revelaram aspectos ainda mais estranhos da teoria O mundo quântico é um parque de diversões cheio de brinquedos maravilhosos que certamente desafiarão o senso comum do leitor Vamos começar nossa exploração do parque quântico pelo fóton Fóton O Quantum da Luz A física quântica também conhecida como mecânica quântica e como teoria quântica é principalmente o estudo do mundo microscópico Nesse mundo muitas grandezas físicas são encontradas apenas em múltiplos inteiros de uma quantidade elementar quando uma grandeza apresenta essa propriedade dizemos que é quantizada A quantidade elementar associada à grandeza é chamada de quantum da grandeza o plural é quanta Uma grandeza quantizada que está presente no nosso dia a dia é o dinheiro O dinheiro no Brasil é quantizado já que a moeda de menor valor é a de um centavo R 001 e os valores de todas as outras moedas e notas são obrigatoriamente múltiplos inteiros do centavo Em outras palavras o quantum de dinheiro em espécie é R 001 e todas as quantias maiores são da forma n R 001 em que n é um número inteiro Não é possível por exemplo pagar com dinheiro vivo uma quantia de R 0755 755 R 001 Em 1905 Einstein propôs que a radiação eletromagnética ou simplesmente a luz é quantizada a quantidade elementar de luz hoje recebe o nome de fóton A ideia da quantização da luz pode parecer estranha para o leitor já que passamos vários capítulos discutindo a ideia de que a luz é uma onda senoidal de comprimento de onda λ frequência f e velocidade c tais que Além disso afirmamos no Capítulo 33 que a onda luminosa é uma combinação de campos elétricos e magnéticos alternados de frequência f Como é possível que uma onda composta por campos alternados possa ser encarada como uma quantidade elementar de alguma coisa como o quantum de luz Afinal o que é um fóton O conceito de quantum de luz ou fóton é muito mais sutil e misterioso do que Einstein imaginava Na verdade até hoje não é compreendido perfeitamente Neste livro vamos discutir apenas alguns aspectos básicos do conceito de fóton mais ou menos de acordo com a ideia original de Einstein Segundo Einstein um quantum de luz de frequência f tem a energia dada por em que h é a chamada constante de Planck a constante que apareceu pela primeira vez neste livro na Eq 3223 e que tem o valor A menor energia que uma onda luminosa de frequência f pode possuir é hf a energia de um único fóton Se a onda possui uma energia maior esta deve ser um múltiplo inteiro de hf da mesma forma como qualquer quantia no exemplo anterior deve ser um múltiplo inteiro de R 001 A luz não pode ter uma energia de 06hf ou 755hf Einstein propôs ainda que sempre que a luz é absorvida ou emitida por um objeto a absorção ou emissão ocorre nos átomos do objeto Quando um fóton de frequência f é absorvido por um átomo a energia hf do fóton é transferida da luz para o átomo um evento de absorção que envolve a aniquilação de um fóton Quando um fóton de frequência f é emitido por um átomo uma energia hf é transferida do átomo para a luz um evento de emissão que envolve a criação de um fóton Isso significa que os átomos de um corpo têm a capacidade de emitir e absorver fótons Quando um objeto contém muitos átomos podem predominar os eventos de absorção como acontece nos óculos escuros ou os eventos de emissão como acontece nas lâmpadas Em qualquer evento de absorção ou emissão a variação de energia é sempre igual à energia de um fóton Quando discutimos a absorção e emissão de luz nos capítulos anteriores os exemplos envolviam uma intensidade luminosa tão grande ou seja um número tão grande de fótons que não havia necessidade de recorrer à física quântica os fenômenos podiam ser analisados à luz da física clássica No final do século XX a tecnologia se tornou suficientemente avançada para que experimentos que envolvem um único fóton pudessem ser executados e o uso de fótons isolados tivesse algumas aplicações práticas Desde então a física quântica foi incorporada à engenharia especialmente à engenharia ótica Teste 1 Coloque as radiações a seguir na ordem decrescente da energia dos fótons correspondentes a a luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio b um raio gama emitido por um núcleo radioativo c uma onda de rádio emitida pela antena de uma estação de rádio comercial d um feixe de microondas emitido pelo radar de controle de tráfego aéreo de um aeroporto Exemplo 3801 Emissão e absorção de luz na forma de fótons Uma lâmpada de vapor de sódio é colocada no centro de uma casca esférica que absorve toda a energia que chega até ela A lâmpada tem uma potência de 100 W suponha que toda a luz seja emitida com um comprimento de onda de 590 nm Quantos fótons são absorvidos pela casca esférica por segundo IDEIASCHAVE A luz é emitida e absorvida na forma de fótons De acordo com o enunciado toda a luz emitida pela lâmpada é absorvida pela casca esférica Assim o número de fótons por unidade de tempo que a casca esférica absorve R é igual ao número de fótons por unidade de tempo que a lâmpada emite Remit Cálculos O número de fótons emitidos pela lâmpada por unidade de tempo é dado por Nesse caso de acordo com a Eq 382 E hf temos Usando a Eq 381 f cλ e substituindo as variáveis por valores numéricos obtemos 382 O EFEITO FOTELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3803 Ilustrar o experimento que revelou o efeito fotelétrico em um desenho esquemático que mostre a luz incidente a placa de metal os elétrons emitidos fotelétrons e o coletor 3804 Explicar a dificuldade que os físicos tinham para explicar o efeito fotelétrico antes de Einstein e a importância histórica da explicação proposta por Einstein 3805 Saber o que é Vcorte o potencial de corte e conhecer a relação entre Vcorte e a energia cinética máxima Kmáx dos fotelétrons 3806 No caso do efeito fotelétrico conhecer as relações entre a frequência e o comprimento de onda da onda incidente a energia cinética máxima Kmáx dos fotelétrons a função trabalho Φ e o potencial de corte Vcorte 3807 No caso do efeito fotelétrico desenhar um gráfico do potencial de corte Vcorte em função da frequência da luz indicando a frequência de corte f0 e relacionando a inclinação do gráfico à constante de Planck h e à carga elementar e IdeiasChave Quando uma placa metálica é submetida a um feixe de luz os elétrons podem receber energia suficiente para escapar do metal esse fenômeno é conhecido como efeito fotelétrico De acordo com a lei de conservação da energia hf Kmáx Φ em que hf é a energia do fóton absorvido Kmáx é a energia cinética máxima dos fotelétrons e Φ conhecida como função trabalho é a menor energia necessária para que o elétron escape das forças elétricas que o prendem ao metal A frequência para a qual hf Φ é chamada de frequência de corte Se hf Φ os elétrons não têm energia suficiente para escapar e o efeito fotelétrico não é observado O Efeito Fotelétrico Quando iluminamos a superfície de um metal com um raio luminoso de comprimento de onda suficientemente pequeno a luz faz com que elétrons sejam emitidos pelo metal O fenômeno que recebe o nome de efeito fotelétrico é essencial para o funcionamento de equipamentos como câmaras de TV e óculos de visão noturna Einstein usou a ideia do fóton para explicar esse efeito Vamos analisar dois experimentos básicos que envolvem o efeito fotelétrico Ambos fazem uso da montagem da Fig 381 na qual uma luz de frequência f incide em um alvo T ejetando elétrons Uma diferença de potencial V é mantida entre o alvo T e o coletor C usado para recolher esses elétrons que são chamados de fotelétrons Os elétrons ejetados produzem uma corrente fotelétrica i que é medida pelo amperímetro A Figura 381 Montagem usada para estudar o efeito fotelétrico A luz incide no alvo T ejetando elétrons que são recolhidos pelo coletor C Os elétrons se movem no circuito no sentido oposto ao sentido convencional da corrente elétrica indicado por setas na figura As baterias e o resistor variável são usados para produzir e ajustar uma diferença de potencial entre T e C Primeiro Experimento do Efeito Fotelétrico Ajustamos a diferença de potencial V usando o contato deslizante da Fig 381 para que o coletor C fique ligeiramente negativo em relação ao alvo T A diferença de potencial reduz a velocidade dos elétrons ejetados Em seguida aumentamos o valor negativo de V até que o potencial atinja o valor Vcorte chamado potencial de corte para o qual a corrente medida pelo amperímetro A é nula Para V Vcorte os elétrons de maior energia ejetados pelo alvo são detidos pouco antes de chegar ao coletor Assim Kmáx a energia cinética desses elétrons é dada por em que e é a carga elementar Os experimentos mostram que para uma luz de uma dada frequência o valor de Kmáx não depende da intensidade da luz que incide no alvo Quer o alvo seja iluminado por uma luz ofuscante quer seja iluminado por uma vela a energia cinética máxima dos elétrons ejetados tem sempre o mesmo valor contanto que a frequência da luz permaneça a mesma Esse resultado experimental não pode ser explicado pela física clássica Classicamente a luz que incide no alvo é uma onda eletromagnética O campo elétrico associado a essa onda exerce uma força sobre os elétrons do alvo fazendo com que oscilem com a mesma frequência que a onda Quando a amplitude das oscilações de um elétron ultrapassa certo valor o elétron é ejetado da superfície do alvo Assim se a intensidade amplitude da onda aumenta os elétrons deveriam ser ejetados com maior energia Entretanto não é isso que acontece Para uma dada frequência a energia máxima dos elétrons emitidos pelo alvo é sempre a mesma qualquer que seja a intensidade da luz incidente O resultado é natural se pensarmos em termos de fótons Nesse caso a energia que pode ser transferida da luz incidente para um elétron do alvo é a energia de um único fóton Aumentando a intensidade da luz aumentamos o número de fótons que incidem no alvo mas a energia de cada fóton dada pela Eq 382 E hf permanece a mesma já que a frequência não variou Assim a energia máxima transferida para os elétrons também permanece a mesma Segundo Experimento do Efeito Fotelétrico O segundo experimento consiste em medir o potencial de corte Vcorte para várias frequências f da luz incidente A Fig 382 mostra um gráfico de Vcorte em função de f Note que o efeito fotelétrico não é observado se a frequência da luz for menor que certa frequência de corte f0 ou seja se o comprimento de onda for maior que certo comprimento de onda de corte λ0 cf0 O resultado não depende da intensidade da luz incidente Esse resultado constitui outro mistério para a física clássica Se a luz se comportasse apenas como uma onda eletromagnética teria energia suficiente para ejetar elétrons qualquer que fosse a frequência contanto que a luz fosse suficientemente intensa Entretanto não é isso que acontece Quando a frequência da luz é menor que a frequência de corte f0 não são ejetados elétrons por mais intensa que seja a luz Figura 382 Potencial de corte Vcorte em função da frequência f da luz incidente para um alvo de sódio T na montagem da Fig 381 Os dados são os obtidos por R A Millikan em 1916 A existência de uma frequência de corte é explicada naturalmente quando pensamos na luz em termos de fótons Os elétrons são mantidos na superfície do alvo por forças elétricas Se essas forças não existissem os elétrons cairiam do alvo por causa da força gravitacional Para escapar do alvo um elétron necessita de uma energia mínima Φ que depende do material de que é feito o alvo e recebe o nome de função trabalho Se a energia hf cedida por um fóton a um elétron é maior que a função trabalho do material ou seja se hf Φ o elétron pode escapar do alvo se a energia cedida é menor que a função trabalho ou seja se hf Φ o elétron não pode escapar É exatamente isso que mostra a Fig 38 2 A Equação do Efeito Fotelétrico Einstein resumiu os resultados dos experimentos do efeito fotelétrico na equação A Eq 385 nada mais é que a aplicação da lei de conservação da energia à emissão fotelétrica de um elétron por um alvo cuja função trabalho é Φ Uma energia igual à energia do fóton hf é transferida a um elétron do alvo Para escapar do alvo o elétron deve possuir um energia pelo menos igual a Φ Qualquer energia adicional hf Φ recebida do fóton aparece na forma da energia cinética K do elétron emitido Nas circunstâncias mais favoráveis o elétron pode escapar do alvo sem perder energia cinética no processo nesse caso aparece fora do alvo com a maior energia cinética possível Kmáx Substituindo Kmáx na Eq 385 por seu valor em função de Vcorte dado pela Eq 384 Kmáx eVcorte e explicitando Vcorte obtemos Como as razões he e Φe são constantes é de se esperar que o gráfico do potencial de corte Vcorte em função da frequência f da luz incidente seja uma linha reta como na Fig 382 Além disso a inclinação da linha reta deve ser igual a he Para verificar se isso é verdade medimos ab e bc na Fig 382 e escrevemos Multiplicando este resultado pela carga elementar e obtemos h 41 1015 V s16 1019 C 66 1034 J s que está de acordo com o valor de h medido por outros métodos Observação A explicação do efeito fotelétrico requer o uso da física quântica Durante muitos anos a explicação de Einstein também foi considerada um argumento decisivo para a existência dos fótons Em 1969 porém foi proposta uma explicação alternativa para o fenômeno que utiliza a física quântica mas dispensa a ideia de fótons Os fótons realmente existem mas hoje se sabe que a explicação proposta por Einstein para o efeito fotelétrico não pode ser considerada uma prova da existência dos fótons Teste 2 A figura mostra vários gráficos como o da Fig 382 obtidos com alvos de césio potássio sódio e lítio As retas são paralelas a Coloque os alvos na ordem decrescente do valor da função trabalho b Coloque os gráficos na ordem decrescente do valor de h Exemplo 3802 Efeito fotelétrico e função trabalho Determine o valor da função trabalho Φ do sódio a partir da Fig 382 IDEIASCHAVE É possível determinar a função trabalho Φ a partir da frequência de corte f0 que pode ser extraída do gráfico O raciocínio é o seguinte Na frequência de corte a energia cinética Kmáx da Eq 385 é nula Assim toda a energia hf transferida de um fóton para um elétron é usada para ejetar o elétron o que requer uma energia de Φ Cálculos A Eq 385 nos dá com f f0 hf0 0 Φ Φ Na Fig 382 a frequência de corte f0 para o sódio é a frequência na qual a reta correspondente ao sódio intercepta o eixo horizontal 55 1014 Hz Assim temos 383 FÓTONS MOMENTO ESPALHAMENTO DE COMPTON INTERFERÊNCIA DA LUZ Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3808 Conhecer as relações entre momento energia frequência e comprimento de onda de um fóton 3809 Usar um desenho para descrever o experimento de espalhamento de Compton 3810 Conhecer a importância histórica do espalhamento de Compton 3811 Saber quais das seguintes grandezas do fóton espalhado aumentam e quais diminuem quando o ângulo de espalhamento de Compton aumenta energia cinética momento comprimento de onda 3812 Demonstrar a equação do deslocamento de Compton a partir das leis de conservação da energia e do momento 3813 No caso do espalhamento de Compton conhecer as relações entre os comprimentos de onda dos raios X incidente e espalhado o deslocamento do comprimento de onda o ângulo de espalhamento e a energia e momento módulo e ângulo do elétron espalhado 3814 Explicar o experimento de dupla fenda em termos de fótons na versão clássica na versão para fótons isolados e na nova versão para fótons isolados IdeiasChave Embora não possua massa de repouso um fóton possui um momento que é dado por em que h é a constante de Planck f é a frequência do fóton c é a velocidade da luz e λ é o comprimento de onda do fóton No espalhamento de Compton raios X são espalhados como partículas como fótons pelos elétrons de um átomo Ao ser espalhado um fóton de raios X cede energia e momento a um elétron do alvo O aumento resultante do comprimento de onda deslocamento de Compton dos fótons é dado por em que m é a massa do elétron e ϕ é o ângulo de espalhamento do fóton Visão corpuscular A luz interage com a matéria como se fosse feita de partículas pois a interação é localizada e envolve uma transferência instantânea de energia e momento Visão ondulatória Quando um fóton é emitido por uma fonte podemos interpretar sua trajetória como a propagação de uma onda de probabilidade Visão ondulatória Quando muitos fótons são emitidos ou absorvidos por um objeto podemos interpretar a luz como uma onda eletromagnética clássica Os Fótons Possuem Momento Em 1916 Einstein ampliou o conceito de quantum de luz fóton ao propor que um quantum de luz possui um momento linear Para um fóton de energia hf o módulo do momento é dado por em que para obter a segunda razão foi usada a Eq 381 f cλ Assim quando um fóton interage com a matéria há uma transferência de energia e momento como se a interação entre o fóton e uma partícula de matéria pudesse ser considerada uma colisão clássica veja o Capítulo 9 Figura 383 Montagem usada por Compton Um feixe de raios X de comprimento de onda λ 711 pm incide em um alvo de carbono Os raios X espalhados pelo alvo são observados em vários ângulos ϕ em relação à direção do feixe incidente O detector mede a intensidade e o comprimento de onda dos raios X espalhados Em 1923 Arthur Compton da Washington University em Saint Louis executou um experimento que confirmou a previsão de que os fótons possuem energia e momento O cientista fez incidir um feixe de raios X de comprimento de onda λ em um alvo de carbono como mostra a Fig 383 Os raios X são uma forma de radiação eletromagnética de alta frequência e pequeno comprimento de onda Compton mediu o comprimento de onda e a intensidade dos raios X espalhados em diversas direções pelo alvo de carbono A Fig 384 mostra os resultados obtidos por Compton Embora exista um único comprimento de onda λ 711 pm no feixe incidente os raios X espalhados contêm vários comprimentos de onda com dois picos de intensidade Um dos picos corresponde ao comprimento de onda do feixe incidente λ o outro a um comprimento de onda λ maior que λ A diferença entre os comprimentos de onda dos dois picos Δλ conhecida como deslocamento de Compton depende do ângulo no qual os raios X espalhados são medidos quanto maior o ângulo maior o valor de Δλ Os resultados mostrados na Fig 384 constituem mais um mistério para a física clássica Classicamente o feixe incidente de raios X é uma onda eletromagnética senoidal A força associada ao campo elétrico da onda incidente deveria fazer os elétrons do alvo oscilarem com a mesma frequência que essa onda e portanto produzirem novas ondas com a mesma frequência que a onda incidente como se fossem pequenas antenas transmissoras Assim os raios X espalhados por elétrons deveriam ter todos a mesma frequência e o mesmo comprimento de onda que os raios X do feixe incidente o que simplesmente não é verdade Figura 384 Resultados obtidos por Compton para quatro valores do ângulo de espalhamento ϕ Observe que o deslocamento de Compton Δλ aumenta com o ângulo de espalhamento Compton interpretou o espalhamento de raios X pelo alvo de carbono em termos da transferência de energia e de momento por meio de fótons do feixe incidente para elétrons quase livres do alvo Vamos examinar de que forma essa interpretação baseada na física quântica leva a uma explicação dos resultados obtidos por Compton Considere a interação de um fóton do feixe de raios X incidente de energia E hf com um elétron estacionário No caso mais geral a direção de propagação do fóton é alterada o raio X é espalhado e o elétron entra em movimento o que significa que parte da energia do fóton é transferida para o elétron Como a energia deve ser conservada na interação a energia do fóton espalhado E hf é menor que a energia do fóton incidente Os raios X espalhados têm portanto uma frequência f menor e um comprimento de onda λ maior que o dos raios X incidentes o que está de acordo com os resultados obtidos por Compton mostrados na Fig 384 Para analisar quantitativamente o problema aplicamos em primeiro lugar a lei da conservação de energia A Fig 385 mostra uma colisão entre um fóton de raios X e um elétron livre do alvo inicialmente estacionário Após a interação um fóton de raios X de comprimento de onda λ deixa o local da colisão com a direção de propagação fazendo um ângulo ϕ com a direção do fóton incidente e o elétron passa a se mover com velocidade v em uma direção que faz um ângulo θ com a direção do fóton incidente De acordo com a lei de conservação da energia temos hf hf K em que hf é a energia do fóton incidente hf é a energia do fóton espalhado e K é a energia cinética do elétron após a interação Como após a interação o elétron pode estar se movendo com uma velocidade próxima da velocidade da luz usamos a expressão relativística da Eq 3752 K mc2γ 1 Figura 385 a Um raio X incide em um elétron estacionário O raio X pode b continuar a se propagar no mesmo sentido espalhamento direto sem que haja transferência de energia e momento c ser espalhado em uma direção intermediária com uma transferência intermediária de energia e momento ou d passar a se propagar no sentido oposto retroespalhamento caso em que a transferência de energia e momento é a maior possível para a energia cinética do elétron em que m é a massa do elétron e γ é o fator de Lorentz dado por Substituindo K por seu valor na equação de conservação da energia obtemos hf hf mc2γ 1 Fazendo f cλ e f cλ obtemos Vamos agora aplicar a lei de conservação do momento à interação raio Xelétron da Fig 385 De acordo com a Eq 387 p hλ o módulo do momento do fóton incidente é hλ e o módulo do momento do fóton espalhado é hλ Conforme a Eq 3741 o módulo do momento do elétron após a interação é p γmv Como se trata de uma situação bidimensional escrevemos equações separadas para a conservação do momento ao longo dos eixos x e y o que nos dá e Estamos interessados em determinar o valor de Δλ λ λ o deslocamento de Compton dos raios X espalhados Das cinco variáveis da interação λ λ v ϕ e θ que aparecem nas Eqs 388 389 e 38 10 escolhemos eliminar v e θ que se aplicam apenas ao elétron após a colisão O resultado obtido após algumas manipulações algébricas um tanto trabalhosas é o seguinte Os resultados experimentais estão perfeitamente de acordo com a Eq 3811 A razão hmc na Eq 3811 é uma constante conhecida como comprimento de onda de Compton cujo valor depende da massa m da partícula responsável pelo espalhamento dos raios X No caso que acabamos de examinar a partícula era um elétron quase livre e portanto podemos substituir m pela massa do elétron para calcular o comprimento de onda de Compton do elétron O Outro Pico Resta explicar o pico dos gráficos da Fig 384 que corresponde ao comprimento de onda da radiação incidente λ 711 pm Esse pico não está associado a interações da radiação incidente com elétrons quase livres do alvo e sim a interações com elétrons firmemente presos aos núcleos de carbono do alvo Nesse caso tudo se passa como se a colisão ocorresse entre um fóton do feixe incidente e um átomo inteiro do alvo Fazendo m na Eq 3811 igual à massa do átomo de carbono que é aproximadamente 22000 vezes maior que a do elétron vemos que Δλ se torna 22000 vezes menor que o deslocamento de Compton para um elétron livre ou seja um deslocamento tão pequeno que não pode ser medido Assim em colisões desse tipo os fótons espalhados têm praticamente o mesmo comprimento de onda que os fótons incidentes o que explica o outro pico dos gráficos da Fig 384 Teste 3 Compare o espalhamento de Compton de raios X λ 20 pm e de luz visível λ 500 nm para um mesmo ângulo de espalhamento Em qual dos dois casos a o deslocamento de Compton é maior b o deslocamento relativo do comprimento de onda é maior c a variação relativa da energia dos fótons é maior e d a energia transferida para os elétrons é maior Exemplo 3803 Espalhamento de Compton de raios X por elétrons Um feixe de raios X de comprimento de onda λ 22 pm energia dos fótons 56 keV é espalhado por um alvo de carbono e o feixe espalhado é detectado a 85 com o feixe incidente a Qual é o deslocamento de Compton do feixe espalhado IDEIACHAVE O deslocamento de Compton é a mudança do comprimento de onda dos raios X espalhados por elétrons quase livres do alvo De acordo com a Eq 3811 o deslocamento depende do ângulo de espalhamento O deslocamento é zero para o espalhamento direto ϕ 0 e máximo para o retroespalhamento ϕ 180 Neste exemplo temos um caso intermediário em que ϕ 85 Cálculo Fazendo ϕ 85 e m 911 1031 kg na Eq 3811 já que as partículas responsáveis pelo espalhamento são elétrons obtemos b Que porcentagem da energia dos fótons incidentes é transferida para os elétrons espalhados a 85 IDEIACHAVE Precisamos determinar a perda relativa de energia vamos chamála de rel do fóton espalhado Cálculos Usando a Eq 382 E hf podemos expressar a energia inicial do fóton E e a energia final E em termos das respectivas frequências f e f Em seguida usando a Eq 381 f cλ podemos expressar as frequências em termos dos respectivos comprimentos de onda λ e λ O resultado é o seguinte Substituindo Δλ e λ por valores numéricos obtemos Esse resultado mostra que diferentemente do que acontece com o deslocamento de Compton Δλ que não depende do comprimento de onda λ da radiação incidente veja a Eq 3811 a perda relativa de energia dos fótons é inversamente proporcional a λ A Luz como uma Onda de Probabilidade Um dos grandes mistérios da física é o fato de a luz se comportar como uma onda ou seja como um fenômeno não localizado na física clássica e ao mesmo tempo ser emitida e absorvida como composta por entidades discretas chamadas fótons que são criados e aniquilados em locais específicos na física quântica Para compreender melhor esse dualismo vamos discutir três versões do experimento de dupla fenda que foi apresentado no Módulo 352 Figura 386 Um feixe luminoso incide no anteparo B que contém duas fendas paralelas As ondas que atravessam as fendas se combinam na tela C onde produzem uma figura de interferência Um pequeno detector de fótons D colocado em um ponto da tela C produz um estalido cada vez que absorve um fóton A Versão Original A Fig 386 mostra de forma esquemática o experimento realizado por Thomas Young em 1801 veja também a Fig 358 Um feixe luminoso incide no anteparo B que contém duas fendas estreitas paralelas As ondas que atravessam as fendas se espalham por difração e se combinam na tela C onde ao interferirem produzem uma figura que apresenta máximos e mínimos de intensidade No Módulo 352 consideramos a existência dessas franjas de interferência como prova incontestável da natureza ondulatória da luz Vamos colocar um pequeno detector de fótons D em um ponto da tela C Suponha que o detector seja um dispositivo fotelétrico que produza um estalido cada vez que absorve um fóton Experimentalmente observase que o detector emite uma série de estalidos espaçados aleatoriamente no tempo cada estalido sinalizando a chegada de um fóton à tela de observação Quando deslocamos o detector lentamente para cima e para baixo ao longo da tela como indica a seta de duas cabeças da Fig 386 observamos que o número de estalidos por unidade de tempo aumenta e diminui passando por máximos e mínimos que correspondem exatamente aos máximos e mínimos da figura de difração De acordo com esse experimento é impossível prever em que instante um fóton será detectado em determinado ponto da tela C em todos os pontos da tela fótons são detectados a intervalos irregulares Entretanto podemos calcular a probabilidade relativa de que um fóton seja detectado em determinado ponto da tela durante um intervalo de tempo especificado ela é proporcional à intensidade da luz incidente nesse ponto De acordo com a Eq 3326 I E2 rmscm0 do Módulo 332 a intensidade I de uma onda luminosa em qualquer ponto do espaço é proporcional ao quadrado de Em a amplitude do campo elétrico associado à onda nesse ponto Assim A probabilidade por unidade de tempo de que um fóton seja detectado em um pequeno volume com o centro em um dado ponto de uma onda luminosa é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico associado à onda no mesmo ponto Tratase de uma descrição probabilística de uma onda luminosa e portanto de outra forma de encarar a luz De acordo com a nova interpretação a luz pode ser vista como uma onda de probabilidade Em outras palavras a cada ponto de uma onda luminosa é possível atribuir uma probabilidade por unidade de tempo de que um fóton seja detectado em um pequeno volume com o centro nesse ponto A Versão para Fótons Isolados Uma versão para fótons isolados do experimento de Young foi executada por G I Taylor em 1909 e repetida muitas vezes nos anos seguintes A diferença em relação à versão original é que a fonte luminosa é tão fraca que emite apenas um fóton de cada vez a intervalos aleatórios Surpreendentemente franjas de interferência aparecem na tela C se o experimento for executado por um tempo suficientemente longo vários meses no primeiro experimento de Taylor Que explicação podemos apresentar para o resultado desse experimento Antes mesmo de começarmos a pensar em uma explicação temos vontade de fazer perguntas como as seguintes Se os elétrons passam pelo equipamento um de cada vez por qual das fendas do anteparo B passa um dado fóton Como um fóton pode saber que existe outra fenda além daquela pela qual passou uma condição necessária para que a interferência exista Será que um fóton pode passar pelas duas fendas ao mesmo tempo e interferir com ele mesmo É preciso ter em mente que só conhecemos a existência de um fóton por sua interação com a matéria só podemos observálo quando provoca um estalido ou ilumina uma tela Assim no experimento da Fig 386 sabemos apenas que um fóton foi emitido pela fonte e chegou à tela não temos nenhuma informação a respeito do que aconteceu durante o percurso Entretanto como uma figura de interferência aparece na tela podemos especular que cada fóton se propaga da fonte até a tela como uma onda que preenche todo o espaço entre a fonte e a tela e depois desaparece quando o fóton é absorvido em algum ponto da tela transferindo energia e momento para a tela nesse ponto É impossível prever onde ocorrerá a absorção onde será detectado o fóton para certo fóton emitido pela fonte Entretanto é possível calcular a probabilidade de que a detecção ocorra em determinado ponto da tela As detecções tendem a ocorrer nas franjas claras que aparecem na tela e são mais raras nas franjas escuras Assim podemos dizer que a onda que se propaga da fonte até a tela é uma onda de probabilidade que produz na tela uma figura constituída por franjas de probabilidade A Nova Versão para Fótons Isolados No passado os físicos tentaram explicar o resultado do experimento com fótons isolados em termos de pequenos pacotes de ondas clássicas que passariam simultaneamente pelas duas fendas Esses pequenos pacotes eram identificados com os fótons Experimentos mais recentes porém revelaram que o fenômeno da interferência não pode ser explicado desta forma A Fig 387 mostra o arranjo usado em um desses experimentos realizado em 1992 por Ming Lai e JeanClaude Diels da Universidade do Novo México A fonte S contém moléculas que emitem fótons a intervalos bem espaçados Os espelhos M1 e M2 são posicionados de modo a refletirem a luz emitida pela fonte em duas direções distintas 1 e 2 que estão separadas por um ângulo θ próximo de 180 Esse arranjo é bem diferente do que é usado no experimento original de Young em que o ângulo entre as trajetórias dos fótons que chegam às duas fendas é muito pequeno Depois de serem refletidas nos espelhos M1 e M2 as ondas luminosas que se propagam ao longo das trajetórias 1 e 2 se encontram no espelho semitransparente B Espelho semitransparente é um espelho que reflete metade da luz incidente e deixa passar a outra metade Do lado direito do espelho semitransparente da Fig 387 a onda luminosa que se propagava ao longo da trajetória 2 e foi refletida pelo espelho B se combina com a onda luminosa que se propagava ao longo da trajetória 1 e atravessou o espelho B As duas ondas interferem ao chegarem ao detector D uma válvula fotomultiplicadora capaz de detectar fótons individuais O sinal de saída do detector é uma série de pulsos eletrônicos aleatoriamente espaçados um para cada fóton detectado No experimento o espelho B é deslocado lentamente na direção horizontal no experimento publicado a distância máxima percorrida foi de apenas 50 μm e o sinal de saída do detector é registrado O deslocamento do espelho modifica as distâncias percorridas pelos fótons ao longo das trajetórias 1 e 2 o que muda a diferença de fase entre as ondas que chegam ao detector D fazendo com que máximos e mínimos de interferência apareçam no sinal de saída do detector O resultado do experimento é difícil de explicar em termos convencionais já que nas condições em que é executado não existe nenhuma correlação entre o percurso seguido por um fóton e o percurso seguido pelo fóton seguinte Como pode um fóton se propagar ao longo de dois percursos quase diametralmente opostos de modo a interferir com ele mesmo A explicação está no fato de que quando uma molécula emite um fóton uma onda de probabilidade se propaga em todas as direções o que o experimento faz é simplesmente colher amostras da onda em duas dessas direções e combinálas na posição do detector Os resultados das três versões do experimento de dupla fenda podem ser explicados se supusermos 1 que a luz é gerada na forma de fótons 2 que a luz é detectada na forma de fótons 3 que a luz se propaga na forma de uma onda de probabilidade Figura 387 A luz associada a um único fóton emitido pela fonte S percorre duas trajetórias distintas e interfere com ela mesma no detector D depois de ser recombinada no espelho semitransparente B Extraída de Ming Lai e JeanClaude Diels Journal of the Optical Society of America B 9 22902294 December 1992 384 O NASCIMENTO DA FÍSICA QUÂNTICA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3815 Saber o que é um corpo negro e o que é radiância espectral 3816 Saber qual foi o problema que os físicos encontraram ao estudar a radiação de um corpo negro e de que forma Planck e Einstein resolveram o problema 3817 Conhecer a lei da radiação de Planck 3818 Calcular a intensidade da radiação do corpo negro em função do comprimento de onda a uma dada temperatura para um pequeno intervalo de comprimentos de onda 3819 Conhecer a relação entre intensidade potência e área da radiação de corpo negro 3820 Usar a lei de Wien para relacionar a temperatura da superfície de um corpo negro ao comprimento de onda para o qual a radiância espectral do corpo negro é máxima IdeiasChave Para medir a emissão de radiação térmica por um corpo negro definimos a radiância espectral como a intensidade da radiação emitida por unidade de comprimento de onda para um dado comprimento de onda λ A lei de Planck da radiação que pode ser explicada em termos da radiação térmica por osciladores atômicos é a seguinte em que h é a constante de Planck k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura da superfície do corpo negro em kelvins A lei de Planck foi a primeira indicação de que a energia dos osciladores atômicos responsáveis pela radiação de corpo negro é quantizada A lei de Wien relaciona a temperatura T de um corpo negro ao comprimento de onda λmáx para o qual a radiância espectral é máxima λmáxT 2898 μm K O Nascimento da Física Quântica Agora que mostramos de que forma o efeito fotelétrico e o espalhamento de Compton levaram os físicos a aceitar a física quântica vamos voltar ao início de tudo à época em que a ideia de níveis de energia quantizados surgiu gradualmente a partir de resultados experimentais A história começa com o que hoje pode parecer trivial mas foi um momento marcante para os físicos do início do século XX A questão girava em torno da radiação térmica emitida por corpo negro ou seja um objeto cuja radiação térmica depende apenas da temperatura e não do material do estado da superfície ou de qualquer outro parâmetro que não seja a temperatura O problema em resumo era o seguinte os resultados experimentais eram muito diferentes das previsões teóricas e ninguém era capaz de explicar o motivo da discrepância Figura 388 Curvas experimental linha cheia e teórica linha tracejada da radiância espectral em função do comprimento de onda para um corpo negro a 2000 K Note que existe uma grande diferença entre as duas curvas Arranjo Experimental Podemos fabricar um corpo negro abrindo uma cavidade no interior de um objeto e mantendo as paredes da cavidade a uma temperatura uniforme Os átomos das paredes da cavidade oscilam possuem energia térmica o que faz com que emitam ondas eletromagnéticas a radiação térmica Para obter uma amostra dessa radiação térmica fazemos um pequeno furo na parede o que permite que uma pequena fração da radiação escape para ser medida se o furo for suficientemente pequeno a fração que escapa não é suficiente para alterar a radiação no interior da cavidade Estamos interessados em determinar qual é a variação da intensidade da radiação com o comprimento de onda A distribuição de intensidade pode ser definida em termos da radiância espectral Sλ da radiação Multiplicando Sλ por um pequeno intervalo de comprimentos de onda dλ obtemos a intensidade ou seja a potência por unidade de área que está sendo emitida no intervalo de comprimentos de onda de λ a λ dλ A curva cheia da Fig 388 mostra os resultados experimentais para um corpo negro a 2000 K Embora um corpo negro a essa temperatura tenha luz própria podemos ver na figura que apenas uma pequena parte da energia irradiada está na faixa da luz visível indicada por cores na figura A essa temperatura a maior parte da energia irradiada está na região do espectro correspondente ao infravermelho em que os comprimentos de onda são maiores que os da luz visível Teoria De acordo com a física clássica a radiância espectral a uma dada temperatura T em kelvins é dada por em que k é a constante de Boltzmann Eq 197 cujo valor é k 138 1023 JK 862 105 eVK Esse resultado clássico para T 2000 K corresponde à curva tracejada da Fig 388 Embora os resultados teóricos concordem com os resultados experimentais para grandes comprimentos de onda ou seja na extremidade direita do gráfico são muito diferentes para pequenos comprimentos de onda Na verdade a curva teórica aumenta sem limite quando o comprimento de onda tende a infinito o que era considerado pelos físicos uma falha inexplicável da teoria A Solução de Planck Em 1900 Planck encontrou uma expressão para Sλ que reproduzia fielmente os resultados experimentais para todos os comprimentos de onda e todas as temperaturas O elemento mais importante da equação é o argumento da exponencial hcλ que modernamente é escrito na forma hf Foi na Eq 3814 que apareceu pela primeira vez a constante h Embora para chegar à Eq 3814 tivesse que supor que a energia dos osciladores atômicos das paredes da cavidade era quantizada Planck com sua formação clássica simplesmente se recusou a acreditar que essa quantização tivesse realidade física A Solução de Einstein Passaramse 17 anos sem que ninguém fosse capaz de compreender o significado da Eq 3814 Foi então que Einstein conseguiu demonstrála a partir de um modelo muito simples baseado em duas ideias 1 A energia dos osciladores atômicos das paredes da cavidade que emite a radiação é realmente quantizada 2 A energia da radiação que existe no interior da cavidade também é quantizada na forma de quanta que hoje chamamos de fótons de energia E hf a mesma dos osciladores atômicos Nesse modelo Einstein explicou o processo pelo qual os átomos podem emitir e absorver fótons e se manter em equilíbrio com a radiação Valor Máximo O comprimento de onda λmáx para o qual Sλ é máxima a uma dada temperatura T pode ser calculado igualando a zero a derivada primeira da Eq 3814 O resultado é conhecido como lei de Wien Para T 2000 K por exemplo λmáx 15 μm um comprimento de onda na região do infravermelho Quando a temperatura aumenta λmáx diminui e o pico da Fig 388 muda de forma e se aproxima da região da luz visível Potência Irradiada Integrando a Eq 3814 para todos os comprimentos de onda a uma dada temperatura podemos calcular a potência por unidade de área irradiada por um corpo negro Multiplicando pela área total A da superfície obtemos a potência total P irradiada pelo corpo negro Já vimos esse resultado no Módulo 186 é a Eq 1838 em que σ 56704 108 Wm2 K4 é a constante de StefanBoltzmann e ε é a emissividade da superfície ε 1 para um corpo negro Para uma dada temperatura T um comprimento de onda λ e um pequeno intervalo de comprimentos de onda Δλ a potência emitida no intervalo de λ a λ Δλ é dada aproximadamente por SλA Δλ 385 ELÉTRONS E ONDAS DE MATÉRIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3821 Saber que os elétrons e todas as partículas elementares são ondas de matéria 3822 Conhecer as relações entre o comprimento de onda de de Broglie o momento a velocidade e a energia cinética para partículas relativísticas e não relativísticas 3823 Descrever a figura de interferência de dupla fenda produzida por elétrons 3824 Aplicar as equações de interferência da luz Capítulo 35 e difração da luz Capítulo 36 a ondas de matéria IdeiasChave Uma partícula em movimento pode ser descrita como uma onda de matéria O comprimento de onda associado a uma onda de matéria é o comprimento de onda de de Broglie λ hp em que h é a constante de Planck e p é o momento da partícula Partícula Quando um elétron interage com a matéria a interação é do tipo partícula pois ocorre em um local definido e envolve uma transferência de energia e momento Onda Quando um elétron está em movimento sem interagir com a matéria podemos interpretálo como uma onda de probabilidade Elétrons e Ondas de Matéria Em 1924 o físico francês Louis de Broglie propôs a seguinte linha de raciocínio Um feixe luminoso é uma onda mas transfere energia e momento a partículas de matéria em eventos pontuais por meio de pacotes chamados fótons Por que um feixe de partículas não pode ter as mesmas propriedades Em outras palavras por que não podemos pensar em um elétron ou qualquer outra partícula como uma onda de matéria que transfere energia e momento a outras partículas de matéria em eventos pontuais Em particular de Broglie sugeriu que a Eq 387 p hλ fosse aplicada não só aos fótons mas também aos elétrons Essa equação foi usada no Módulo 383 para atribuir um momento p a um fóton de luz de comprimento de onda λ A ideia de de Broglie era usála na forma para atribuir um comprimento de onda λ a uma partícula de momento p O comprimento de onda calculado com o auxílio da Eq 3817 recebe o nome de comprimento de onda de de Broglie da partícula A previsão de de Broglie de que as partículas de matéria se comportam como ondas em certas circunstâncias foi confirmada em 1927 pelos experimentos de C J Davisson e L H Germer do Bell Telephone Laboratories e George P Thomson da Universidade de Aberdeen na Escócia Os resultados de um experimento mais recente envolvendo ondas de matéria aparecem na Fig 389 Nesse experimento uma figura de interferência foi obtida fazendo incidir elétrons um a um em um anteparo com duas fendas estreitas O arranjo experimental é semelhante ao que foi usado por Young para demonstrar a interferência de ondas luminosas exceto pelo fato de que a tela de observação é uma tela fluorescente Quando um elétron atinge a tela produz um ponto luminoso cuja posição é registrada Figura 389 Fotografias que mostram a formação de uma figura de interferência por um feixe de elétrons em um experimento de dupla fenda como o da Fig 386 As ondas de matéria como as ondas luminosas são ondas de probabilidade O número aproximado de elétrons envolvidos é a 7 b 100 c 3000 d 20000 e e 70000 Os primeiros elétrons Figs 389a e 389b não revelaram nada de interessante e pareciam chegar à tela em pontos aleatórios Depois que alguns milhares de elétrons atravessaram as fendas porém começou a aparecer um padrão de faixas claras e escuras na tela semelhante à figura de interferência observada no experimento de Young Isso significa que cada elétron passou pelas fendas como uma onda de matéria a parte que passou por uma fenda interferiu com a parte que passou pela outra Essa interferência por sua vez determinou a probabilidade de que o elétron se materializasse em um dado ponto da tela Muitos elétrons atingiram a tela nas regiões em que a probabilidade era elevada produzindo as faixas claras poucos elétrons atingiram a tela nas regiões em que a probabilidade era baixa o que deu origem às faixas escuras Fenômenos de interferência também foram observados em feixes de prótons nêutrons e vários tipos de átomos Em 1994 foi a vez das moléculas de iodo I2 que não só possuem massa 500000 vezes maior que a dos elétrons mas também têm uma estrutura muito mais complexa Em 1999 os pesquisadores observaram o efeito em moléculas ainda mais complexas os fullerenos C60 e C70 Os fullerenos são moléculas de forma parecida com a de uma bola de futebol contendo 60 átomos de carbono no caso do C60 e 70 átomos de carbono no caso do C70 O que esses experimentos revelam é que pequenos objetos como elétrons prótons átomos e moléculas se comportam como ondas de matéria Quando consideramos objetos cada vez maiores e mais complexos chega um ponto em que os efeitos associados à natureza ondulatória do objeto se tornam tão pequenos que não podem ser observados A essa altura estamos de volta ao mundo clássico do nosso dia a dia ao qual se aplica a física que estudamos em capítulos anteriores deste livro Para resumir um elétron se comporta como uma onda de matéria no sentido de que os efeitos de interferência de um elétron consigo mesmo podem ser observados com relativa facilidade ao passo que um gato não se comporta como uma onda de matéria porque a interferência de um gato consigo mesmo é tão pequena que não pode ser observada o que deve ser um alívio para os gatos A natureza ondulatória das partículas subatômicas e dos átomos é hoje levada em conta de forma rotineira em muitos campos da ciência e da engenharia Assim por exemplo a difração de elétrons e nêutrons é usada para estudar a estrutura atômica dos sólidos e líquidos e a difração de elétrons é usada para estudar a superfície dos sólidos com resolução atômica A Fig 3810a mostra um arranjo que pode ser usado para observar o espalhamento de raios X ou elétrons por cristais Um feixe de raios X ou elétrons incide em um alvo feito de pequenos cristais de alumínio Os raios X têm determinado comprimento de onda os elétrons são acelerados até possuírem um comprimento de onda de de Broglie igual ao comprimento de onda dos raios X O espalhamento dos raios X e dos elétrons pelos cristais de alumínio produz anéis de interferência em um filme fotográfico A Fig 3810b mostra a figura de interferência produzida pelos raios X enquanto a Fig 3810c mostra a figura de interferência produzida pelos elétrons As figuras são muito parecidas já que nesse experimento tanto os raios X como os elétrons se comportam como ondas Figura 3810 a Montagem experimental usada para demonstrar por técnicas de difração o caráter ondulatório do feixe incidente As fotografias mostram as figuras de difração obtidas b com um feixe de raios X ondas eletromagnéticas e c com um feixe de elétrons ondas de matéria Note que as duas figuras são muito parecidas Lawrence Berkeley LaboratoryScience Photo LibraryPhoto Researchers Inc Figura 3811 Imagem obtida em uma câmara de bolhas mostrando as trajetórias de dois elétrons trajetórias verdes e um pósitron trajetória vermelha depois que um raio gama entrou na câmara Ondas e Partículas As Figs 389 e 3810 demonstram de forma incontestável que a matéria se comporta como uma onda mas existem muitos outros experimentos que revelam que a matéria é feita de partículas A Fig 3811 por exemplo mostra os rastros deixados por partículas em uma câmara de bolhas Quando uma partícula carregada passa pelo hidrogênio líquido contido em uma câmara desse tipo o líquido se transforma em vapor ao longo da trajetória da partícula Com isso uma série de bolhas torna visível a trajetória que normalmente tem forma curva por causa de um campo magnético aplicado perpendicularmente ao plano em que as partículas se movem Na Fig 3811 um raio gama não deixou um rastro ao penetrar na câmara vindo de cima porque os raios gama são eletricamente neutros e não produzem bolhas de vapor O raio gama colidiu com um elétron de um átomo de hidrogênio arrancandoo do átomo esse elétron é responsável pelo rastro verde quase vertical A colisão fez com que o raio gama se transformasse em um elétron e um pósitron que deixaram rastros em espiral o rastro verde foi deixado pelo elétron e o rastro vermelho pelo pósitron ao perderem energia por colisões com átomos de hidrogênio Esses rastros podem ser interpretados como uma indicação de que o elétron e o pósitron se comportam como partículas mas será que também é possível interpretar os rastros da Fig 3811 em termos de ondas Para simplificar vamos supor que o campo magnético seja desligado caso em que os rastros deixados pelos elétrons serão linhas retas Podemos encarar cada bolha como um ponto de detecção do elétron As ondas de matéria que se propagam entre dois pontos de detecção como I e F na Fig 3812 cobrem todas as trajetórias possíveis algumas das quais estão mostradas na figura Para cada trajetória entre I e F exceto a trajetória em linha reta existe uma trajetória vizinha em uma posição tal que as ondas de matéria que se propagam ao longo das duas trajetórias se cancelam por interferência O mesmo não acontece com a trajetória em linha reta que liga I a F nesse caso as ondas de matéria que se propagam ao longo de todas as trajetórias vizinhas reforçam a onda que se propaga em linha reta Podemos pensar nas bolhas que formam o rastro como uma série de pontos de detecção nos quais a onda de matéria sofre interferência construtiva Figura 3812 Algumas das muitas trajetórias possíveis entre dois pontos de detecção I e F Apenas as ondas de matéria que seguem trajetórias próximas da linha reta entre os dois pontos interferem construtivamente Para todas as outras trajetórias as ondas que seguem trajetórias vizinhas interferem destrutivamente É por isso que a onda de matéria deixa um rastro em linha reta Teste 4 No caso de um elétron e um próton a com a mesma energia cinética b com o mesmo momento ou c com a mesma velocidade qual das duas partículas tem o menor comprimento de onda de de Broglie Exemplo 3804 Comprimento de onda de de Broglie de um elétron Qual é o comprimento de onda de de Broglie de um elétron com uma energia cinética de 120 eV IDEIASCHAVE 1 Podemos determinar o comprimento de onda de de Broglie λ do elétron usando a Eq 3817 λ hp se calcularmos primeiro o momento p do elétron 2 Podemos calcular p a partir da energia cinética K do elétron Uma vez que a energia cinética é muito menor que a energia de repouso do elétron 0511 MeV de acordo com a Tabela 373 podemos usar as aproximações clássicas para o momento p mv e a energia cinética K mv22 Cálculos Para usar a relação de de Broglie explicitamos v na equação da energia cinética e substituímos v pelo seu valor na equação do momento o que nos dá Assim de acordo com a Eq 3817 Tratase de um comprimento de onda da mesma ordem de grandeza que o diâmetro de um átomo típico Se aumentarmos a energia o comprimento de onda será ainda menor 386 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3825 Saber que as ondas de matéria obedecem à equação de Schrödinger 3826 Escrever a equação de Schrödinger para uma partícula não relativística que se move no eixo x e determinar a solução geral para a parte espacial da função de onda 3827 Conhecer as relações entre o número de onda a energia total a energia potencial a energia cinética o momento e o comprimento de onda de de Broglie de uma partícula não relativística 3828 Dada a solução da parte espacial da equação de Schrödinger escrever a solução completa que inclui a parte temporal 3829 Dado um número complexo determinar o complexo conjugado 3830 Dada uma função de onda calcular a densidade de probabilidade IdeiasChave Uma onda de matéria como por exemplo a de um elétron é descrita por uma função de onda Ψx y z t que pode ser separada em uma parte espacial ψx y z e uma parte temporal eivt em que ω é a frequência angular da onda No caso de uma partícula não relativística de massa m que move no eixo x com energia E e energia potencial U a parte espacial da função de onda pode ser determinada resolvendo a equação em que k é o número de onda que está relacionado com o comprimento de onda de de Broglie λ com o momento p e com a energia cinética E U da seguinte forma Uma partícula não tem uma posição definida no espaço até que essa posição seja detectada experimentalmente A probabilidade de detectar uma partícula em um pequeno volume no entorno de um ponto dado é proporcional à densidade de probabilidade c2 da onda de matéria nesse ponto A Equação de Schrödinger Uma onda progressiva de qualquer natureza seja uma onda em uma corda uma onda sonora ou uma onda luminosa envolve a variação no espaço e no tempo de alguma grandeza Em uma onda luminosa por exemplo essa grandeza é x y z t o campo elétrico associado à onda A mesma onda também pode ser descrita por um campo magnético O valor observado para a grandeza em certo ponto do espaço depende da localização do ponto e do instante em que foi feita a observação Que grandeza devemos associar a uma onda de matéria É natural esperar que essa grandeza que é chamada de função de onda Ψx y z t seja mais complexa que o campo elétrico associado a uma onda luminosa já que uma onda de matéria além de transportar energia e momento também transporta massa e frequentemente carga elétrica Acontece que Ψ a letra grega psi maiúsculo na maioria dos casos representa uma função que também é complexa no sentido matemático da palavra pois os valores da função são expressões da forma a 1 ib em que a e b são números reais e Em todas as situações discutidas neste livro as variáveis espaciais e a variável temporal podem ser separadas e a função Ψ pode ser escrita na forma em que ω 2πf é a frequência angular da onda de matéria Observe que ψ a letra grega psi minúsculo é usada para representar a parte da função de onda Ψ que não depende do tempo Vamos lidar quase exclusivamente com ψ Surgem imediatamente duas perguntas O que significa a função de onda Como podemos calculála O que significa a função de onda O significado da função de onda tem a ver com o fato de que as ondas de matéria como as ondas luminosas são ondas de probabilidade Suponha que uma onda de matéria chegue a uma região do espaço que contém um detector de pequenas dimensões A probabilidade de que o detector indique a presença de uma partícula em um intervalo de tempo especificado é proporcional a c2 em que c é o valor absoluto da função de onda na posição do detector Embora ψ seja em geral uma grandeza complexa ψ2 é sempre uma grandeza real e positiva Assim é ψ2 a chamada densidade de probabilidade que possui significado físico e não ψ Esse significado é o seguinte A probabilidade por unidade de tempo de que uma partícula seja detectada em um pequeno volume com o centro em um dado ponto é proporcional ao valor de ψ2 nesse ponto Como ψ é em geral um número complexo calculamos o quadrado do valor absoluto de ψ multiplicando ψ por ψ o complexo conjugado de ψ Para obter ψ basta substituir o número imaginário i por i na função ψ Como calcular a função de onda As ondas sonoras e as ondas em cordas obedecem às equações da mecânica newtoniana As ondas luminosas obedecem às equações de Maxwell As ondas de matéria obedecem à equação de Schrödinger proposta em 1926 pelo físico austríaco Erwin Schrödinger Muitas das situações que vamos discutir envolvem o movimento de uma partícula no eixo x em uma região em que a força a que a partícula está sujeita faz com que a partícula possua uma energia potencial Ux Neste caso especial a parte espacial da equação de Schrödinger se reduz a em que E é a energia mecânica total soma da energia potencial e da energia cinética da partícula Nessa equação não relativística a massa da partícula não é considerada uma forma de energia A equação de Schrödinger não pode ser deduzida a partir de princípios mais simples ela é a expressão de uma lei natural Podemos simplificar a Eq 3819 escrevendo o segundo termo de outra forma Note que E Ux é a energia cinética da partícula Suponha que a energia potencial seja uniforme e constante ou mesmo nula Como a partícula é não relativística podemos escrever a energia cinética classicamente em termos da velocidade v e do momento p e em seguida introduzir a teoria quântica usando o comprimento de onda de de Broglie Introduzindo um fator de 2π no numerador e no denominador do termo ao quadrado podemos escrever a energia cinética em termos do número de onda k 2πλ Substituindo na Eq 3819 obtemos em que de acordo com a Eq 3821 o número de onda é dado por A solução geral da Eq 3822 é em que A e B são constantes Podemos verificar que a Eq 3824 é realmente uma solução da Eq 3822 substituindo ψx e sua derivada segunda na Eq 3822 e observando que o resultado é uma identidade A Eq 3824 é a solução independente do tempo da equação de Schrödinger Podemos supor que se trata da função de onda no instante t 0 Se os valores de E e U forem conhecidos podemos determinar os coeficientes A e B para obter a distribuição espacial da função de onda em t 0 Em seguida se quisermos saber como a função de onda muda com o tempo podemos usar a Eq 3818 como guia e multiplicar a Eq 3824 por eiωt Neste livro porém vamos nos limitar à parte espacial da função de onda Figura 3813 Gráfico da densidade de probabilidade ψ2 para uma partícula que se move no sentido positivo do eixo x com uma energia potencial uniforme Como ψ2 tem o mesmo valor para qualquer valor de x a partícula pode ser detectada com a mesma probabilidade em qualquer ponto da trajetória Determinação da Densidade de Probabilidade ψ2 Como vimos no Módulo 161 qualquer função F da forma Fkx ωt representa uma onda progressiva Isso se aplica tanto a funções exponenciais como as da Eq 3825 como às funções senoidais senos e cossenos que usamos no Capítulo 16 para descrever ondas em cordas no Capítulo 17 para descrever ondas sonoras e no Capítulo 33 para descrever ondas eletromagnéticas Na verdade as duas representações estão relacionadas pela fórmula de Euler em que θ é um ângulo qualquer O primeiro termo do lado direito da Eq 3825 representa uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo x o segundo uma onda que se propaga no sentido negativo do eixo x Vamos calcular a densidade de probabilidade para uma partícula que está se movendo no sentido positivo do eixo x Para eliminar o movimento no sentido negativo do eixo x fazemos B 0 na Eq 3825 caso em que a solução para t 0 se torna Para determinar a densidade de probabilidade devemos calcular o quadrado do valor absoluto de ψx O resultado é o seguinte ψ2 Aeikx2 A2eikx2 Como eikx2 eikxeikx eikxeikx eikx ikx e0 1 obtemos ψ2 A212 A2 Esse resultado leva a uma conclusão curiosa Na condição que escolhemos energia potencial U uniforme o que inclui U 0 para uma partícula livre a densidade de probabilidade é constante tem o mesmo valor A2 para todos os pontos do eixo x como mostra o gráfico da Fig 3813 Isso significa que se fizermos uma medição para determinar a posição da partícula poderemos encontrála em qualquer ponto do eixo x com igual probabilidade Assim não podemos afirmar que o movimento da partícula é um movimento clássico como de um automóvel em uma rua Na verdade a partícula não tem uma posição definida até que sua posição seja medida 387 O PRINCÍPIO DE INDETERMINAÇÃO DE HEISENBERG Objetivo do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3831 Aplicar o princípio de indeterminação de Heisenberg a um elétron que se move no eixo x e interpretar o resultado IdeiaChave A natureza probabilística da física quântica impõe uma importante limitação à medida da posição e do momento de uma partícula não é possível medir simultaneamente a posição e o momento de uma partícula com precisão ilimitada A determinação das componentes da posição e do momento está sujeita às seguintes desigualdades Dx Δpx ħ Dy Δpy ħ Dz Δpz ħ O Princípio de Indeterminação de Heisenberg A impossibilidade de prever a posição de uma partícula com energia potencial uniforme indicada pela Fig 3813 é nosso primeiro exemplo do princípio de indeterminação de Heisenberg proposto em 1927 pelo físico alemão Werner Heisenberg Segundo esse princípio não é possível medir simultaneamente a posição e o momento de uma partícula com precisão ilimitada Para as componentes de e o princípio de Heisenberg estabelece os seguintes limites em termos de ħ h2π uma constante conhecida como constante de Planck normalizada ou simplesmente h cortado Nas equações anteriores Δx e Δpx representam as indeterminações das medidas das componentes x de e as interpretações das outras duas equações são análogas Mesmo com os melhores instrumentos de medida o produto da indeterminação da posição pela indeterminação do momento de uma partícula ao longo de um eixo qualquer jamais será menor que ħ Neste livro não vamos demonstrar as relações de indeterminação mas nos limitaremos a aplicálas Elas se devem ao fato de que elétrons e outras partículas são ondas de matéria e que a medição da posição e momento dessas partículas envolve probabilidades e não certezas Na estatística dessas medições podemos encarar Δx e Δpx digamos como a dispersão na verdade como o desviopadrão das medições das componentes x da posição e do momento de uma partícula Podemos também justificar a indeterminação usando um argumento físico embora altamente simplificado Em capítulos anteriores supusemos implicitamente que éramos capazes de medir a posição e a velocidade de qualquer objeto como um carro passando por uma rua ou uma bola rolando em uma mesa de sinuca Podíamos determinar a posição do objeto por observação visual ou seja detectando a luz espalhada pelo objeto Esse espalhamento não afetava o movimento do objeto Na física quântica por outro lado o simples ato de observar uma partícula altera a posição e o momento dessa partícula Quanto maior a precisão do método usado para determinar a posição digamos de um elétron que se move no eixo x usando a luz ou outro meio qualquer maior a alteração sofrida pelo momento do elétron e portanto maior a indeterminação do momento Em outras palavras ao diminuir o valor de Δx aumentamos necessariamente o valor de Δpx Da mesma forma se determinarmos o valor do momento do elétron com grande precisão ou seja se diminuirmos Δpx aumentaremos a indeterminação da posição do elétron ou seja aumentaremos Δx Essa última situação é a que está representada na Fig 3813 Tínhamos um elétron com um valor definido de k o que pela relação de de Broglie significava um valor definido do momento px Assim Δpx 0 o que de acordo com a Eq 3828 significa que Δx Assim se montarmos um experimento para medir a posição do elétron poderemos obter qualquer valor entre x e x O leitor talvez esteja pensando o seguinte Não seria possível medir px com grande precisão e mais tarde medir x com grande precisão onde quer que o elétron se encontrasse após a primeira medida Não o erro desse raciocínio está no fato de que mesmo que a primeira medida nos tenha proporcionado um valor muito preciso do valor de px a medida de x altera necessariamente esse valor Na verdade depois de medirmos o valor de x com grande precisão o novo valor de px será praticamente desconhecido Exemplo 3805 Indeterminação da posição e do momento de um elétron Um elétron está se movendo no eixo x com uma velocidade de 205 106 ms medida com uma precisão de 050 Qual é a menor indeterminação de acordo com o princípio de indeterminação da teoria quântica com a qual pode ser medida simultaneamente a posição do elétron no eixo x IDEIACHAVE A menor indeterminação permitida pela teoria quântica é dada pelo princípio de indeterminação de Heisenberg Eq 3828 Como a partícula está se movendo no eixo x precisamos considerar apenas as componentes do momento e da posição em relação a esse eixo Como estamos interessados na menor indeterminação possível substituímos o sinal de desigualdade pelo sinal de igualdade na Eq 3828 e escrevemos Δx Δpx ħ Cálculos Para calcular a indeterminação Δpx do momento precisamos determinar a componente do momento ao longo do eixo x px Como a velocidade v do elétron é muito menor que a velocidade da luz podemos calcular px usando a expressão clássica para o momento em vez da expressão relativística O resultado é o seguinte px mvx 911 1031 kg205 106 ms 187 1024 kg ms De acordo com o enunciado a indeterminação da velocidade é 050 da velocidade medida Como px é diretamente proporcional à velocidade a indeterminação Δpx do momento é igual a 050 do momento Δpx 00050px 00050187 1024 kg ms 935 1027 kg ms Assim de acordo com o princípio de indeterminação que corresponde a cerca de 100 diâmetros atômicos 388 REFLEXÃO EM UM DEGRAU DE POTENCIAL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3832 Escrever a solução geral da parte espacial da equação de Schrödinger para um elétron em uma região de energia potencial uniforme 3833 Representar usando um desenho um degrau de potencial para um elétron indicando a altura Ub do degrau 3834 Determinar os coeficientes da função de onda de um elétron em duas regiões vizinhas igualando os valores da função de onda e sua derivada na fronteira das duas regiões 3835 Determinar os coeficientes de reflexão e transmissão de um elétron que incide em um degrau de potencial com energia potencial U 0 e energia mecânica E maior que a altura Ub do degrau 3836 Saber que como o elétron é uma onda de matéria pode ser refletido por um degrau de potencial mesmo que tenha energia mais do que suficiente para passar pelo degrau 3837 Interpretar os coeficientes de reflexão e de transmissão em termos da probabilidade de que um elétron seja refletido ou ultrapasse um degrau e também em termos dos números relativos de elétrons que são refletidos e que ultrapassam o degrau IdeiasChave Uma partícula pode ser refletida por um degrau de potencial mesmo que classicamente isso seja impossível O coeficiente de reflexão R é uma medida da probabilidade de que uma partícula seja refletida por um degrau de potencial No caso de um feixe com muitas partículas R pode ser interpretado como o número relativo de elétrons que são refletidos O coeficiente de transmissão T que mede a probabilidade de que uma partícula ultrapasse um degrau é dada por T 1 R Reflexão em um Degrau de Potencial Aqui está uma amostra do que o leitor encontraria em um texto mais avançado de física quântica Na Fig 3814 um feixe com muitos elétrons não relativísticos todos com a mesma energia total E é lançado em um tubo estreito Inicialmente os elétrons estão na região 1 na qual a energia potencial é U 0 todavia ao chegarem ao ponto x 0 encontram uma região na qual existe um potencial elétrico negativo Vb A transição é chamada de degrau de potencial ou degrau de energia potencial Costumase dizer que o degrau tem uma altura Ub em que Ub é a energia potencial que o elétron passará a ter depois que penetrar na região em que existe o potencial elétrico como mostra o gráfico da energia potencial em função da posição x que aparece na Fig 3815 Lembrese de que U qV Como nesse caso o potencial Vb é negativo e a carga q do elétron é negativa a energia potencial Ub é positiva Figura 3814 Os elementos de um tubo no qual um elétron representado por um ponto se aproxima de uma região na qual existe um potencial elétrico negativo Vb Figura 3815 Diagrama de energia para a situação da Fig 3814 mostrando a energia total E dos elétrons linha tracejada e a energia potencial U dos elétrons em função da posição x linha cheia A diferença entre a energia potencial dos elétrons para x 0 e para x 0 é a altura Ub do degrau de potencial Suponhamos que E Ub Classicamente todos os elétrons deveriam passar para o outro lado do degrau já que dispõem de energia suficiente Na verdade discutimos exaustivamente esse tipo de situação nos Capítulos 22 a 24 em que os elétrons se moviam na presença de potenciais elétricos e sofriam variações de energia potencial e energia cinética De acordo com a lei de conservação da energia mecânica se a energia potencial aumenta a energia cinética diminui do mesmo valor e a velocidade também diminui O que consideramos óbvio na ocasião foi que sempre que a energia total E dos elétrons é maior que a energia potencial Ub todos os elétrons conseguem transpor um degrau de energia potencial Entretanto quando aplicamos ao problema a equação de Schrödinger uma grande surpresa nos aguarda como de acordo com a física quântica os elétrons são ondas de matéria e não partículas sólidas clássicas alguns elétrons são refletidos pelo degrau Vamos calcular que fração dos elétrons é refletida Na região 1 em que U é zero o número de onda de acordo com a Eq 3823 é dado por e de acordo com a Eq 3824 a solução geral da parte espacial da equação de Schrödinger é Na região 2 em que a energia potencial é Ub o número de onda é e a solução geral é Usamos os coeficientes C e D porque não sabemos se são iguais aos coeficientes A e B da região 1 Os termos em que o argumento da exponencial é positivo representam partículas que se movem no sentido positivo do eixo x os termos em que o argumento é negativo representam partículas que se movem no sentido negativo do eixo x Como não existe uma fonte de elétrons na extremidade direita do tubo da Fig 3814 não pode haver elétrons se movendo para a esquerda na região 2 Logo D 0 e a solução na região 2 é simplesmente Sabemos também que a solução deve ser bem comportada na transição da região 1 para a região 2 ou seja que as soluções obtidas para as regiões 1 e 2 devem ter o mesmo valor no ponto x 0 e que as derivadas das soluções também devem ter o mesmo valor Essas condições são chamadas de condições de contorno Fazendo x 0 nas Eqs 3830 e 3833 e igualando os resultados obtemos a primeira condição de contorno Se houver essa relação entre os coeficientes as funções terão o mesmo valor no ponto x 0 Fazendo x 0 nas derivadas das Eqs 3830 e 3833 em relação a x e igualando os resultados obtemos a segunda condição de contorno Se houver essa relação entre os coeficientes e os números de onda as funções terão a mesma inclinação no ponto x 0 Nosso objetivo é calcular a fração dos elétrons que é refletida pelo degrau Como vimos a densidade de probabilidade de uma onda de matéria é proporcional a ψ2 Podemos relacionar a densidade de probabilidade do feixe refletido que é proporcional a B2 à densidade de probabilidade do feixe incidente que é proporcional a A2 definindo um coeficiente de reflexão R A fração dos elétrons que é refletida pelo degrau é igual ao coeficiente de reflexão A fração dos elétrons que passa pelo degrau é igual ao coeficiente de transmissão T dado por Suponha por exemplo que R 0010 Nesse caso se 10000 elétrons incidirem na barreira 100 elétrons serão refletidos Entretanto não podemos saber de antemão se determinado elétron será refletido só podemos afirmar que o elétron tem 10 de probabilidade de ser refletido e 99 de probabilidade de ser transmitido Para calcular o valor de R a partir de valores conhecidos de E e Ub obtemos uma expressão para BA em termos de k e kb eliminando C das Eqs 3834 e 385 substituímos o resultado na Eq 3836 e usamos as Eqs 3829 e 3831 para calcular o valor de k e kb A surpresa é que R é maior que 0 e T é menor que 1 diferentemente do que prevê a teoria clássica 389 O EFEITO TÚNEL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3838 Representar usando um desenho uma barreira de potencial para um elétron indicando a altura Ub e a largura L da barreira 3839 Saber qual é a condição na mecânica clássica para que uma partícula tenha energia suficiente para ultrapassar uma barreira 3840 Saber o que é o coeficiente de transmissão para tunelamento 3841 Conhecer a expressão do coeficiente de transmissão para tunelamento T em função da energia E e massa m da partícula e da altura Ub e largura L da barreira 3842 Interpretar o coeficiente de transmissão para tunelamento em termos da probabilidade de que uma partícula atravesse uma barreira e também em termos da fração das partículas que atravessa a barreira 3843 Em uma situação de tunelamento descrever a densidade de probabilidade na região que fica antes da barreira no interior da barreira e na região que fica depois da barreira 3844 Saber como funciona um microscópio de tunelamento IdeiasChave Uma barreira de energia potencial é uma região na qual uma partícula sofre um aumento Ub da energia potencial A partícula pode atravessar uma barreira se tiver uma energia total E Ub Na física clássica a partícula não pode atravessar uma barreira se E Ub Na física quântica existe uma probabilidade finita de que a partícula atravesse a barreira é o chamado efeito túnel No caso de uma partícula de energia E e massa m e de uma barreira de altura Ub e largura L o coeficiente de transmissão é dado por em que O Efeito Túnel Vamos substituir o degrau de potencial da Fig 3814 por uma barreira de potencial ou barreira de energia potencial que é uma região de largura L a largura da barreira na qual o potencial elétrico é Vb 0 e a altura da barreira é Ub qV como mostra a Fig 3816 À direita da barreira está a região 3 na qual V 0 Como antes vamos supor que um feixe de elétrons não relativísticos todos com a mesma energia E incide na barreira Se como antes E Ub temos uma situação mais complicada que no caso do degrau de potencial já que os elétrons agora podem ser refletidos por dois degraus de potencial um em x 0 e outro em x L Figura 3816 Os elementos de um tubo no qual um elétron representado por um ponto se aproxima de um potencial elétrico negativo Vb que existe apenas na região entre x 0 e x L Em vez de abordar esse problema vamos examinar o caso em que E Ub ou seja o caso em que a energia mecânica dos elétrons é menor que a energia potencial que os elétrons teriam depois de entrar na região 2 Isso exigiria que a energia cinética dos elétrons E Ub fosse negativa o que naturalmente é absurdo pois a energia cinética é sempre positiva a expressão mv22 não pode ter valores negativos Assim de acordo com a mecânica clássica elétrons com uma energia E Ub não podem penetrar na região 2 O Efeito Túnel Entretanto como o elétron é uma onda de matéria existe uma probabilidade finita de que consiga passar pela barreira e aparecer do outro lado é o chamado efeito túnel Depois de atravessar a barreira o elétron continua tendo uma energia mecânica E como se nada tivesse acontecido na região 0 x L A Fig 3817 mostra a barreira de potencial e um elétron que se aproxima com uma energia menor que a altura da barreira Estamos interessados em determinar a probabilidade de que o elétron apareça do outro lado da barreira ou seja em calcular o coeficiente de transmissão T para esse caso A expressão de T em função dos parâmetros envolvidos pode ser obtida usando o mesmo método que foi empregado para determinar R no caso do degrau de potencial Depois de resolver a equação de Schrödinger para as três regiões da Fig 3816 descartase a solução da região 3 na qual os elétrons se movem no sentido negativo do eixo x não existem fontes de elétrons do lado direito da barreira Em seguida determinase a razão entre o coeficiente dos elétrons transmitidos e o coeficiente dos elétrons incidentes aplicando as condições de contorno ou seja exigindo que os valores da função de onda e sua derivada tenham o mesmo valor para x 0 nas regiões 1 e 2 e tenham o mesmo valor para x L nas regiões 2 e 3 Como o cálculo é muito trabalhoso vamos nos limitar a discutir os resultados Figura 3817 Diagrama de níveis de energia para a situação da Fig 3816 A linha tracejada representa a energia mecânica E do elétron que é a mesma para qualquer valor de x 0 A linha cheia representa a energia potencial elétrica U do elétron em função de x supondo que o elétron possa estar em qualquer ponto do eixo x A parte da linha que representa uma energia potencial diferente de zero barreira de potencial tem altura Ub e largura L A Fig 3818 mostra um gráfico da densidade de probabilidade nas três regiões A curva ondulada à esquerda da barreira ou seja para x 0 é uma combinação da onda incidente com a onda refletida que tem uma amplitude menor que a onda incidente As ondulações acontecem porque as duas ondas que se propagam em sentidos opostos se combinam para formar uma onda estacionária No interior da barreira ou seja para 0 x L a densidade de probabilidade diminui exponencialmente com x Se a barreira não for muito larga a densidade de probabilidade ainda terá um valor significativo em x L À direita da barreira ou seja para x L a densidade de probabilidade é constante Como no caso do degrau de potencial podemos atribuir à barreira um coeficiente de transmissão T que pode ser interpretado como probabilidade de que um elétron que incide na barreira consiga atravessála O coeficiente de transmissão também pode ser interpretado como a fração dos átomos que conseguem passar pela barreira Assim por exemplo se T 0020 de cada 1000 elétrons que incidem na barreira 20 conseguem atravessála e 980 são refletidos O coeficiente de transmissão é dado aproximadamente por em que e e é a função exponencial Por causa da forma exponencial da Eq 3838 o valor de T é muito sensível às três variáveis das quais depende a massa m da partícula a largura L da barreira e a diferença de energia Ub E entre a energia da barreira e a energia da partícula Como não estamos considerando efeitos relativísticos a energia E não inclui a energia de repouso da partícula Figura 3818 Gráfico da densidade de probabilidade ψ2 da onda de matéria para a situação da Fig 3817 O valor de ψ2 é diferente de zero à direita da barreira de potencial O efeito túnel tem muitas aplicações tecnológicas entre as quais o diodo túnel no qual se faz variar uma corrente de elétrons controlando a altura de uma barreira Como isso pode ser feito rapidamente a intervalos de menos de ps o dispositivo é útil em aplicações que exigem uma resposta rápida do circuito O Prêmio Nobel de Física de 1973 foi compartilhado por três tuneladores Leo Esaki por estudos do efeito túnel em semicondutores Ivar Giaever por estudos do efeito túnel em supercondutores e Brian Josephson pela invenção da junção de Josephson um dispositivo eletrônico baseado no efeito túnel em supercondutores O Prêmio Nobel de Física de 1986 foi concedido a Gerd Binnig e Heinrich Rohrer pela invenção de outro dispositivo que se baseia no efeito túnel o microscópio de tunelamento Figura 3819 Princípio de operação do microscópio de tunelamento Três barras de quartzo são usadas para fazer uma ponta metálica varrer a superfície a ser examinada e ao mesmo tempo manter constante a distância entre a ponta e a superfície A ponta se move para cima e para baixo para acompanhar o relevo da superfície e o registro do movimento é usado para gerar as informações necessárias para que um computador crie uma imagem da superfície Teste 5 O comprimento de onda da onda transmitida da Fig 3818 é maior menor ou igual ao da onda incidente O Microscópio de Tunelamento O tamanho dos detalhes que podem ser observados com o auxílio de um microscópico ótico é limitado pelo comprimento de onda da luz utilizada cerca de 300 nm no caso da luz ultravioleta O tamanho dos detalhes que devem ser observados para obter imagens em escala atômica é muito menor o que significa que o comprimento de onda utilizado deve ser muito menor As ondas usadas para obter imagem desse tipo são ondas de matéria associadas a elétrons mas elas não são espalhadas pela superfície da amostra como acontece em um microscópio ótico Em vez disso as imagens são criadas pelo tunelamento de elétrons em barreiras de potencial na ponta de prova de um microscópio de tunelamento O princípio de operação do microscópio de tunelamento está ilustrado na Fig 3819 Uma ponta metálica montada na interseção de três barras de quartzo mutuamente perpendiculares é colocada nas proximidades da superfície a ser examinada Uma pequena diferença de potencial da ordem de 10 mV é aplicada entre a ponta e a superfície O quartzo é um material piezelétrico Quando uma diferença de potencial é aplicada às extremidades de uma barra do material as dimensões da barra variam ligeiramente Essa propriedade é usada para mudar o comprimento de cada uma das três barras da Fig 3819 de modo a fazer a ponta varrer a superfície da amostra a ser examinada movendose nas direções x e y e se aproximar e se afastar da superfície movendose na direção z O espaço entre a ponta e a superfície constitui uma barreira de energia potencial semelhante à da Fig 3817 Quando a ponta está próxima da superfície elétrons da amostra podem atravessar a barreira graças ao efeito túnel dando origem a uma corrente elétrica a chamada corrente de tunelamento Enquanto a ponta varre a superfície da amostra um sistema de realimentação é usado para ajustar a posição vertical da ponta de modo a manter constante a corrente de tunelamento Isso significa que a distância entre a ponta e a superfície também permanece constante durante a varredura O sinal de saída do aparelho é um registro da altura da ponta em relação a um nível de referência e portanto um registro do relevo da superfície da amostra em função da posição da agulha no plano xy O microscópio de tunelamento não só permite obter imagens de alta resolução de superfícies mas também pode ser usado para manipular átomos e moléculas o curral quântico da Fig 3912 do próximo capítulo por exemplo foi fabricado com o auxílio de um microscópio de tunelamento Em um processo conhecido como manipulação lateral a ponta do microscópio de tunelamento é aproximada de um átomo de um elemento como o ferro o suficiente para que o átomo seja atraído pela ponta sem tocála Em seguida a ponta é deslocada ao longo da superfície do material que serve de suporte cobre por exemplo arrastando o átomo até a posição desejada e afastada do átomo o que elimina a força de atração O processo é lento e exige um controle muito preciso Na Fig 3912 um microscópio de tunelamento foi usado para manipular 48 átomos de ferro em uma superfície de cobre de modo a formar um curral circular de 14 nm de diâmetro no interior do qual elétrons podem ser aprisionados Exemplo 3806 Efeito túnel para um elétron O elétron da Fig 3817 com uma energia E de 51 eV incide em uma barreira de altura Ub 68 eV e largura L 750 pm a Qual é a probabilidade aproximada de que o elétron atravesse a barreira IDEIACHAVE A probabilidade pedida é igual ao coeficiente de transmissão T dado pela Eq 3838 T e2bL em que b é dado por Cálculos O numerador da fração é Assim A grandeza adimensional 2bL é portanto 2bL 2667 109 m1750 1012 m 100 e de acordo com a Eq 3838 o coeficiente de transmissão é Assim para cada milhão de elétrons que incidem na barreira 45 conseguem atravessála aparecendo do outro lado da barreira com a energia inicial de 51 V A transmissão para o outro lado da barreira não altera a energia dos elétrons b Qual é a probabilidade aproximada de que um próton com a mesma energia de 51 eV consiga atravessar a barreira Raciocínio O coeficiente de transmissão T e portanto a probabilidade de transmissão depende da massa da partícula Na verdade como a massa m é um dos fatores do expoente de e na equação de T a probabilidade de transmissão é muito sensível à massa da partícula Dessa vez a massa é a massa de um próton 167 1027 kg que é muito maior que a massa do elétron do item a Refazendo os cálculos do item a com a massa do elétron substituída pela massa do próton encontramos T 10186 Embora não seja exatamente zero esse valor é tão pequeno que podemos considerálo nulo para todos os efeitos práticos No caso de partículas com massa maior que a do próton e a mesma energia de 51 eV a probabilidade de transmissão é ainda menor Revisão e Resumo Fóton o Quantum da Luz As ondas eletromagnéticas como a luz por exemplo são quantizadas e os quanta recebem o nome de fótons Para uma onda eletromagnética de frequência f e comprimento de onda λ a energia E e o momento p de um fóton são dados por e Efeito Fotelétrico Quando uma onda luminosa incide em uma superfície metálica a interação entre os fótons e os elétrons do metal pode fazer com que elétrons sejam emitidos da superfície de acordo com a equação em que hf é a energia dos fótons Kmáx é a energia cinética máxima dos elétrons emitidos e Φ é a função trabalho do material do alvo ou seja a energia mínima que um elétron deve receber para escapar do material Se hf é menor que Φ o efeito fotelétrico não é observado Deslocamento de Compton Quando raios X são espalhados por elétrons quase livres de um alvo os raios X espalhados têm maior comprimento de onda que os raios X incidentes O deslocamento de Compton do comprimento de onda é dado por em que ϕ é o ângulo de espalhamento dos raios X Ondas Luminosas e Fótons Quando a luz interage com a matéria energia e momento são transferidos por meio de fótons Quando a luz não está interagindo com a matéria pode ser interpretada como uma onda de probabilidade na qual a probabilidade por unidade de tempo de que um fóton seja detectado é proporcional a E2 m em que Em é a amplitude do campo elétrico associado à luz Radiação de um Corpo Negro A intensidade da emissão de radiação térmica por um corpo negro pode ser definida em termos da radiação espectral Sλ que é a intensidade da radiação emitida com um dado comprimento de onda λ por unidade de comprimento de onda De acordo com a lei de radiação de Planck em que λ é o comprimento de onda c é a velocidade da luz h é a constante de Planck k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura da superfície do corpo negro A lei de Wien relaciona a temperatura T da superfície do corpo negro ao comprimento de onda λmáx para a qual a radiância espectral é máxima Ondas de Matéria Uma partícula em movimento como um elétron ou um próton pode ser descrita por uma onda de matéria cujo comprimento de onda conhecido como comprimento de onda de de Broglie é dado por λ hp em que p é o momento da partícula Função de Onda Uma onda de matéria é descrita por uma função de onda Ψx y z t que pode ser separada em uma parte que depende apenas das coordenadas espaciais ψx y z e uma parte que depende apenas da coordenada temporal eiωt Para uma partícula de massa m que está se movendo no eixo x com energia total constante E em uma região na qual a energia potencial da partícula é Ux a função ψx pode ser obtida resolvendo a equação de Schrödinger simplificada As ondas de matéria como as ondas luminosas são ondas de probabilidade no sentido de que se um detector de partículas for posicionado em um dado local a probabilidade de o detector registrar a presença de uma partícula nesse local em um intervalo de tempo especificado é proporcional a ψ2 uma grandeza conhecida como densidade de probabilidade No caso de uma partícula livre ou seja de uma partícula que se move no eixo x com Ux 0 ψ2 tem o mesmo valor para todos os pontos do eixo x Princípio de Indeterminação de Heisenberg À natureza probabilística da física quântica está associada uma importante limitação para a medida da posição e momento de uma partícula É impossível medir simultaneamente a posição e o momento de uma partícula com precisão ilimitada As indeterminações das componentes dessas grandezas satisfazem as seguintes desigualdades Degrau de Potencial Esse termo define uma região na qual a energia potencial de uma partícula aumenta e a energia cinética da partícula diminui De acordo com a física clássica se a energia cinética inicial da partícula é maior que a energia do degrau de potencial a partícula nunca é refletida ao chegar ao degrau Segundo a física quântica por outro lado existe uma probabilidade finita de que a partícula seja refletida que é expressa por um coeficiente de reflexão R A probabilidade de que a partícula não seja refletida é expressa por um coeficiente de transmissão T 1 R Efeito Túnel De acordo com a física clássica uma partícula não consegue transpor uma barreira de energia potencial cuja altura seja maior que a energia cinética da partícula Segundo a física quântica por outro lado existe uma probabilidade finita de que a partícula atravesse a barreira é o chamado efeito túnel A probabilidade de que uma partícula de massa m e energia E atravesse uma barreira de altura Ub e largura L é dada pelo coeficiente de transmissão T em que Perguntas 1 O fóton A tem uma energia duas vezes maior que o fóton B a O momento do fóton A é menor igual ou maior que o momento do fóton B b O comprimento de onda do fóton A é menor igual ou maior que o comprimento de onda do fóton B 2 No caso do efeito fotelétrico para um dado alvo e uma dada frequência da luz incidente indique quais das grandezas a seguir dependem da intensidade da luz incidente a a energia cinética máxima dos elétrons b a corrente fotelétrica máxima c o potencial de corte d a frequência de corte 3 De acordo com a figura do Teste 2 a energia cinética máxima dos elétrons ejetados é maior para o alvo feito de sódio ou feito de potássio supondo que a frequência da luz incidente seja a mesma nos dois casos 4 Efeito fotelétrico A Fig 3820 mostra a tensão de corte V em função do comprimento de onda λ da luz para três materiais diferentes Coloque os materiais na ordem decrescente da função trabalho Figura 3820 Pergunta 4 5 Uma placa metálica é iluminada com luz de certa frequência A existência do efeito fotelétrico depende a da intensidade da luz b Do tempo de exposição à luz c Da condutividade térmica da placa d Da área da placa e Do material da placa 6 Seja K a energia cinética que um elétron livre estacionário adquire ao espalhar um fóton A curva 1 da Fig 3821 mostra o gráfico de K em função do ângulo ϕ de espalhamento do fóton Se o elétron for substituído por um próton estacionário a curva será deslocada a para cima como a curva 2 b para baixo como a curva 3 ou c permanecerá a mesma Figura 3821 Pergunta 6 7 Em um experimento de efeito Compton um fóton de raio X é espalhado na mesma direção dos fótons incidentes ou seja na direção ϕ 0 da Fig 383 Qual é a energia adquirida pelo elétron nessa interação 8 Espalhamento de Compton A Fig 3822 mostra o deslocamento de Compton Δλ em função do ângulo de espalhamento ϕ para três diferentes partículas estacionárias usadas como alvo Coloque as partículas na ordem das massas começando pela maior Figura 3822 Pergunta 8 9 a Se a energia cinética de uma partícula não relativística for multiplicada por dois qual será a variação do comprimento de onda de de Broglie b E se a velocidade da partícula for multiplicada por dois 10 A Fig 3823 mostra um elétron que se move a no sentido oposto ao de um campo elétrico b no mesmo sentido que um campo elétrico c no mesmo sentido que um campo magnético d perpendicularmente a um campo magnético Determine para cada uma das situações se o comprimento de onda de de Broglie aumenta com o tempo diminui com o tempo ou permanece constante Figura 3823 Pergunta 10 11 Por que os mínimos de ψ2 do lado esquerdo da barreira de energia potencial da Fig 3818 são maiores que zero 12 Um elétron e um próton têm a mesma energia cinética Qual dos dois tem o maior comprimento de onda de de Broglie 13 As partículas não relativísticas a seguir têm a mesma energia cinética Coloqueas na ordem decrescente dos comprimentos de onda de de Broglie elétron partícula alfa nêutron 14 A Fig 3824 mostra um elétron que atravessa três regiões nas quais foram estabelecidos diferentes potenciais elétricos uniformes Ordene as regiões na ordem decrescente do comprimento de onda de de Broglie do elétron na região Figura 3824 Pergunta 14 15 A tabela a seguir mostra valores relativos dos parâmetros usados em três experimentos de efeito túnel como o das Figs 3816 e 3817 Coloque os experimentos na ordem decrescente da probabilidade de a barreira ser atravessada por elétrons Energia do Elétron Altura da Barreira Largura da Barreira a E 5E L b E 17E L2 c E 2E 2L 16 A Fig 3825 mostra o coeficiente de transmissão T para o tunelamento de elétrons através de uma barreira de potencial em função da largura L da barreira em três experimentos diferentes O comprimento de onda de de Broglie dos elétrons é o mesmo nos três experimentos a única diferença está na altura Ub da barreira de potencial Coloque os três experimentos na ordem decrescente do valor de Ub Figura 3825 Pergunta 16 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 381 Fóton O Quantum da Luz 1 Um feixe de luz monocromática é absorvido por um filme fotográfico e fica registrado no filme Um fóton é absorvido pelo filme se a energia do fóton for igual ou maior que a energia mínima de 06 eV necessária para dissociar uma molécula de AgBr do filme a Qual é o maior comprimento de onda que pode ser registrado no filme b A que região do espectro eletromagnético pertence esse comprimento de onda 2 Que velocidade deve ter um elétron para que sua energia cinética seja igual à energia dos fótons de uma luz de sódio com um comprimento de onda de 590 nm 3 Quantos fótons o Sol emite por segundo Para simplificar o cálculo suponha que a potência luminosa emitida pelo Sol seja constante e igual a 39 1026 W e que toda a radiação do Sol seja emitida no comprimento de onda de 550 nm 4 Um laser de hélioneônio emite luz vermelha com um comprimento de onda λ 633 nm em um feixe de 35 mm de diâmetro com uma potência de 50 mW Um detector colocado à frente do laser absorve totalmente a luz do feixe Qual é o número de fótons absorvidos pelo detector por unidade de área e por unidade de tempo 5 O metro já foi definido como 165076373 comprimentos de onda da luz laranja emitida por átomos de criptônio 86 Qual é a energia dos fótons com esse comprimento de onda 6 A luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio usada em iluminação pública é mais intensa em um comprimento de onda de 589 nm Qual é a energia dos fótons com esse comprimento de onda 7 Um detector de luz o olho humano tem uma área de 200 106 m2 e absorve 80 da luz incidente cujo comprimento de onda é 500 nm O detector é colocado diante de uma fonte luminosa isotrópica a 300 m da fonte Se o detector absorve fótons à taxa de exatamente 4000 s1 qual é a potência da fonte 8 O feixe produzido por um laser de argônio λ 515 nm de 15 W tem um diâmetro d de 300 mm O feixe é focalizado por um sistema de lentes com uma distância focal efetiva fL de 25 mm O feixe focalizado incide em uma tela totalmente absorvente onde forma uma figura de difração circular cujo disco central tem um raio R dado por 122fLλd É possível demonstrar que 84 da energia incidente está concentrada nesse disco central Quantos fótons são absorvidos por segundo pela tela no disco central da figura de difração 9 Uma lâmpada de sódio de 100 W λ 589 nm irradia energia uniformemente em todas as direções a Quantos fótons por segundo são emitidos pela lâmpada b A que distância da lâmpada uma tela totalmente absorvente absorve fótons à taxa de 100 fótoncm2 s c Qual é o fluxo de fótons fótons por unidade de área e por unidade de tempo em uma pequena tela situada a 200 m da lâmpada 10 Um satélite em órbita em torno da Terra utiliza um painel de células solares com uma área de 260 m2 que é mantido perpendicular à direção dos raios solares A intensidade da luz que incide no painel é 139 kWm2 a Qual é a potência luminosa incidente no painel b Quantos fótons por segundo são absorvidos pelo painel Suponha que a radiação solar seja monocromática com um comprimento de onda de 550 nm e que toda a radiação solar que incide no painel seja absorvida c Quanto tempo é necessário para que um mol de fótons seja absorvido pelo painel 11 Uma lâmpada ultravioleta emite luz com um comprimento de onda de 400 nm com uma potência de 400 W Uma lâmpada infravermelha emite luz com um comprimento de onda de 700 nm também com uma potência de 400 W a Qual das duas lâmpadas emite mais fótons por segundo b Quantos fótons por segundo essa lâmpada emite 12 Em condições ideais o sistema visual humano é capaz de perceber uma luz com um comprimento de onda de 550 nm se os fótons forem absorvidos pela retina à razão de pelo menos 100 fótons por segundo Qual é a potência luminosa absorvida pela retina nessas condições 13 Um tipo especial de lâmpada emite luz monocromática com um comprimento de onda de 630 nm A lâmpada consome uma potência elétrica de 60 W e converte a eletricidade em energia luminosa com uma eficiência de 93 Quantos fótons são emitidos pela lâmpada durante sua vida útil de 730 horas 14 Um detector de luz com uma área útil de 200 106 m2 absorve 50 da luz incidente cujo comprimento de onda é 600 nm O detector é colocado diante de uma fonte luminosa isotrópica a 120 m da fonte A Fig 3826 mostra a energia E emitida pela fonte em função do tempo t A escala do eixo vertical é definida por Es 72 nJ e a escala do eixo horizontal é definida por ts 20 s Quantos fótons por segundo são absorvidos pelo detector Figura 3826 Problema 14 Módulo 382 O Efeito Fotelétrico 15 Um feixe luminoso incide na superfície de uma placa de sódio produzindo uma emissão fotelétrica O potencial de corte dos elétrons ejetados é 50 V e a função trabalho do sódio é 22 eV Qual é o comprimento de onda da luz incidente 16 Determine a energia cinética máxima dos elétrons ejetados de certo material se a função trabalho do material é 23 eV e a frequência da radiação incidente é 30 1015 Hz 17 A função trabalho do tungstênio é 450 eV Calcule a velocidade dos elétrons mais rápidos ejetados da superfície de uma placa de tungstênio quando fótons com uma energia de 580 eV incidem na placa 18 O leitor precisa escolher um elemento para uma célula fotelétrica que funcione com luz visível Quais dos seguintes elementos são apropriados a função trabalho aparece entre parênteses tântalo 42 eV tungstênio 45 eV alumínio 42 eV bário 25 eV lítio 23 eV 19 a Se a função trabalho de um metal é 18 eV qual é o potencial de corte dos elétrons ejetados quando uma luz com um comprimento de onda de 400 nm incide no metal b Qual é a velocidade máxima dos elétrons ejetados 20 A eficiência relativa de uma superfície de césio cuja função trabalho é 180 eV é 10 1016 o que significa que em média um elétron é ejetado para cada 1016 fótons que incidem na superfície Qual é a corrente elétrica produzida pelos elétrons ejetados de uma placa de césio iluminada pela luz de 600 nm produzida por um laser de 200 mW Suponha que todos os elétrons ejetados contribuem para a corrente 21 Um feixe de raios X com um comprimento de onda de 71 pm incide em uma folha de ouro e ejeta elétrons firmemente presos aos átomos de ouro Os elétrons ejetados descrevem órbitas circulares de raio r na presença de um campo magnético uniforme Para os elétrons ejetados de maior velocidade Br 188 104 T m Determine a a energia cinética máxima dos elétrons e b o trabalho executado para remover esses elétrons dos átomos de ouro 22 O comprimento de onda correspondente à frequência de corte da prata é 325 nm Determine a energia cinética máxima dos elétrons ejetados de uma placa de prata iluminada por luz ultravioleta com um comprimento de onda de 254 nm 23 Uma placa de alumínio é iluminada por luz com um comprimento de onda de 200 nm No alumínio uma energia de 420 eV é necessária para que um elétron seja ejetado Qual é a energia cinética a do elétron ejetado de maior velocidade b E do elétron ejetado de menor velocidade c Qual é o potencial de corte d Qual é o comprimento de onda de corte do alumínio 24 Em um experimento do efeito fotelétrico usando um placa de sódio é encontrado um potencial de corte de 185 V para um comprimento de onda de 300 nm e um potencial de corte de 0820 V para um comprimento de onda de 400 nm A partir desses dados determine a o valor da constante de Planck b a função trabalho Φ do sódio e c o comprimento de onda de corte λ0 do sódio 25 O potencial de corte para elétrons emitidos de uma superfície iluminada por uma luz com um comprimento de onda de 491 nm é 0710 V Quando o comprimento de onda da luz incidente é mudado para um novo valor o potencial de corte muda para 143 V a Qual é o valor do novo comprimento de onda b Qual é a função trabalho da superfície 26 A luz solar pode ejetar elétrons da superfície de um satélite em órbita carregandoo eletricamente os projetistas de satélites procuram minimizar este efeito usando revestimentos especiais Suponha que um satélite seja revestido de platina um metal com uma função trabalho muito elevada Φ 532 eV Determine o maior comprimento de onda da luz solar incidente que é capaz de ejetar elétrons de uma superfície revestida com platina Módulo 383 Fótons Momento Espalhamento de Compton Interferência da Luz 27 Um feixe luminoso com um comprimento de onda de 240 pm incide em um alvo que contém elétrons livres a Determine o comprimento de onda da luz espalhada a 30 da direção do feixe incidente b Faça o mesmo para um ângulo de espalhamento de 120 28 a Qual é o momento em MeVc de um fóton cuja energia é igual à energia de repouso de um elétron Quais são b o comprimento de onda e c a frequência da radiação correspondente 29 Um feixe de raios X tem um comprimento de onda de 350 pm a Qual é a frequência correspondente Determine b a energia dos fótons do feixe e c o momento dos fótons do feixe em keVc 30 Qual é o máximo deslocamento do comprimento de onda possível para uma colisão de Compton entre um fóton e um próton livre 31 Que aumento percentual do comprimento de onda leva a uma perda de 75 da energia do fóton em uma colisão entre um fóton e um elétron livre 32 Um feixe de raios X com um comprimento de onda de 00100 nm no sentido positivo do eixo x incide em um alvo que contém elétrons quase livres Para o espalhamento de Compton a 180 de um fóton por um desses elétrons determine a o deslocamento de Compton b a variação da energia do fóton c a energia cinética do elétron após o espalhamento e d o ângulo entre o semieixo x positivo e a direção de movimento do elétron após o espalhamento 33 Calcule a variação percentual da energia do fóton em uma colisão como a da Fig 385 para ϕ 90 e uma radiação a na faixa de microondas com λ 30 cm b na faixa da luz visível com λ 500 nm c na faixa dos raios X com λ 25 pm d na faixa dos raios gama com uma energia de 10 MeV por fóton e O que pensa o leitor a respeito da possibilidade de detectar o deslocamento de Compton nessas regiões do espectro eletromagnético usando apenas o critério da perda de energia em um único espalhamento fótonelétron 34 Um fóton sofre espalhamento Compton por parte de um elétron livre estacionário O ângulo de espalhamento é 900 em relação à direção inicial e o comprimento de onda inicial é 300 1012 m Qual é a energia cinética do elétron 35 Determine o comprimento de onda de Compton a de um elétron e b de um próton Qual é a energia dos fótons de uma onda eletromagnética com um comprimento de onda igual ao comprimento de onda de Compton c do elétron e d do próton 36 Um feixe de raios gama cujos fótons têm uma energia de 0511 MeV incide em um alvo de alumínio e é espalhado em várias direções por elétrons quase livres do alvo a Qual é o comprimento de onda dos raios gama incidentes b Qual é o comprimento de onda dos raios gama espalhados a 900 com o feixe incidente c Qual é a energia dos fótons espalhados nessa direção 37 Considere uma colisão entre um fóton de raios X de energia inicial 500 keV e um elétron em repouso na qual o fóton é espalhado para trás e o elétron é espalhado para a frente a Qual é a energia do fóton espalhado b Qual é a energia cinética do elétron espalhado 38 Mostre que se um fóton de energia E for espalhado por um elétron livre em repouso a energia cinética máxima do elétron espalhado será 39 Qual deve ser o ângulo de espalhamento de um fóton de 200 keV por um elétron livre para que o fóton perca 10 da energia 40 Qual é a energia cinética máxima dos elétrons ejetados de uma folha fina de cobre pelo espalhamento de Compton de um feixe de raios X com uma energia de 175 keV Suponha que a função trabalho possa ser desprezada 41 Determine a o deslocamento de Compton Δλ b o deslocamento de Compton relativo Δλλ c a variação da energia ΔE de um fóton pertencente a um feixe luminoso com um comprimento de onda λ 590 nm espalhado por um elétron livre inicialmente estacionário se o ângulo de espalhamento do fóton for 90 em relação à direção do feixe incidente Determine d Δλ e Δλλ e f ΔE para o espalhamento a 90 se o fóton tiver uma energia de 500 keV faixa dos raios X Módulo 384 O Nascimento da Física Quântica 42 A superfície do Sol se comporta aproximadamente como um corpo negro à temperatura da 5800 K a Calcule o comprimento de onda para o qual a radiância espectral da superfície do Sol é máxima e b indique em que região do espectro eletromagnético está esse comprimento de onda Sugestão Veja a Fig 331 c Como será discutido no Capítulo 44 o universo se comporta aproximadamente como um corpo negro cuja radiação foi emitida quando os átomos se formaram pela primeira vez Hoje em dia o comprimento de onda para o qual a radiação desse corpo negro é máxima é 106 mm um comprimento de onda que se encontra na faixa das microondas Qual é a temperatura atual do universo 43 Logo após a detonação a bola de fogo de uma explosão nuclear se comporta aproximadamente como um corpo negro a uma temperatura da ordem de 10 107 K a Determine o comprimento de onda para o qual a radiação térmica desse corpo negro é máxima e b indique em que região do espectro eletromagnético está esse comprimento de onda Sugestão Veja a Fig 331 Essa radiação é rapidamente absorvida pelas moléculas do ar o que dá origem a outro corpo negro a uma temperatura da ordem de 10 105 K c Determine o comprimento de onda para o qual a radiação térmica desse corpo negro é máxima e d indique em que região do espectro eletromagnético está esse comprimento de onda 44 No caso da radiação térmica de um corpo negro à temperatura de 2000 K seja Ic a intensidade por unidade de comprimento de onda de acordo com a fórmula clássica da radiância espectral e seja IP a intensidade correspondente de acordo com a fórmula de Planck Qual é o valor da razão IcIP para um comprimento de onda a de 400 nm na extremidade azul do espectro visível e b de 200 μm no infravermelho distante c A fórmula clássica concorda melhor com a fórmula de Planck para comprimentos de onda mais longos ou mais curtos 45 Supondo que sua temperatura seja 37 e que você é um corpo negro o que é uma aproximação razoável determine a o comprimento de onda para o qual sua radiância espectral é máxima b a potência da radiação emitida de uma área de 400 cm2 do seu corpo em uma faixa de 100 nm no entorno desse comprimento de onda c a taxa de emissão de fótons correspondente à potência calculada no item b Para um comprimento de onda de 500 nm na faixa da luz visível calcule d a potência e e a taxa de emissão de fótons O cálculo vai mostrar que como você já deve ter notado você não brilha no escuro Módulo 385 Elétrons e Ondas de Matéria 46 Calcule o comprimento de onda de de Broglie a de um elétron de 100 keV b de um fóton de 100 keV e c de um nêutron de 100 keV 47 No tubo de imagem de um velho aparelho de televisão os elétrons são acelerados por uma diferença de potencial de 250 kV Qual é o comprimento de onda de de Broglie desses elétrons Não é necessário levar em conta efeitos relativísticos 48 A resolução de um microscópio eletrônico menor dimensão linear que pode ser observada é igual ao comprimento de onda dos elétrons Qual é a tensão de aceleração dos elétrons necessária para que um microscópio eletrônico tenha a mesma resolução que um microscópio ótico operando com raios gama de 100 keV 49 Íons de sódio monoionizados são acelerados por uma diferença de potencial de 300 V a Qual é o momento final dos íons b Qual é o comprimento de de Broglie correspondente 50 Elétrons com uma energia cinética de 50 GeV têm um comprimento de onda de de Broglie λ tão pequeno que podem ser usados para estudar detalhes da estrutura do núcleo atômico por meio de colisões Essa energia é tão grande que a relação relativística extrema p Ec entre o momento p e a energia E pode ser usada Nessa situação extrema a energia cinética de um elétron é muito maior que a energia de repouso a Qual é o valor de λ b Se os núcleos do alvo têm raio R 50 fm qual é o valor da razão Rλ 51 O comprimento de onda da linha amarela do sódio é 590 nm Qual é a energia cinética de um elétron cujo comprimento de onda de de Broglie é igual ao comprimento de onda da linha amarela do sódio 52 Um feixe de prótons que se movem com uma velocidade de 09900c incide em um anteparo com duas fendas separadas por uma distância de 400 109 m Uma figura de interferência é observada em uma tela Qual é o ângulo entre o centro da figura e o segundo mínimo de cada lado do centro 53 Calcule o comprimento de onda a de um fóton com energia de 100 eV b de um elétron com energia de 100 eV c de um fóton com energia de 100 GeV e d de um elétron com energia de 100 GeV 54 Um elétron e um fóton têm o mesmo comprimento de onda 020 nm Calcule o momento em kg ms a do elétron e b do fóton Calcule a energia em eV c do elétron e d do fóton 55 A resolução de um microscópio depende do comprimento de onda usado o menor objeto que pode ser resolvido tem dimensões da ordem do comprimento de onda Suponha que estamos interessados em observar o interior do átomo Como um átomo tem um diâmetro da ordem de 100 pm isso significa que devemos ser capazes de resolver dimensões da ordem de 10 pm a Se um microscópio eletrônico for usado para este fim qual deverá ser no mínimo a energia dos elétrons b Se um microscópio ótico for usado qual deverá ser no mínimo a energia dos fótons c Qual dos dois microscópios parece ser mais prático Por quê 56 O núcleo atômico foi descoberto em 1911 por Ernest Rutherford que interpretou corretamente uma série de experimentos nos quais um feixe de partículas alfa era espalhado por folhas finas de metais como ouro prata e cobre a Se as partículas alfa tinham uma energia cinética de 75 MeV qual era o comprimento de onda de de Broglie das partículas b A natureza ondulatória das partículas alfa deveria ter sido levada em conta na interpretação dos experimentos A massa de uma partícula alfa é 400 u unidades de massa atômica e a distância de máxima aproximação entre as partículas alfa e o centro do núcleo nos experimentos era da ordem de 30 fm A natureza ondulatória da matéria só foi descoberta mais de uma década após a realização desses experimentos 57 Uma partícula não relativística está se movendo três vezes mais depressa que um elétron A razão entre o comprimento de onda de de Broglie da partícula e o comprimento de onda de de Broglie do elétron é 1813 104 Identifique a partícula calculando sua massa 58 Determine a a energia de um fóton com comprimento de onda de 100 nm b a energia cinética de um elétron com comprimento de onda de de Broglie de 100 nm c a energia de um fóton com comprimento de onda de 100 fm e d a energia cinética de um elétron com comprimento de onda de de Broglie de 100 fm 59 Se o comprimento de onda de de Broglie de um próton é 100 fm a qual é a velocidade do próton b A que diferença de potencial deve ser submetido o próton para chegar a essa velocidade Módulo 386 A Equação de Schrödinger 60 Suponha que tivéssemos feito A 0 na Eq 3824 e chamado B de ψ0 a Qual seria a função de onda resultante b Haveria alguma modificação na Fig 3813 61 A função ψx da Eq 3827 descreve uma partícula livre para a qual supusemos que Ux 0 na equação de Schrödinger Eq 3819 Suponha que Ux U0 em que U0 é uma constante Mostre que a Eq 3827 continua a ser uma solução da equação de Schrödinger mas o valor do número de onda k da partícula passa a ser dado por 62 Demonstre que a Eq 3824 é a solução geral da Eq 3822 substituindo ψx e sua derivada segunda na Eq 3822 e mostrando que o resultado é uma identidade 63 a Escreva a função de onda ψx da Eq 3827 na forma ψx a 1 ib em que a e b são números reais Suponha que A seja real b Escreva a função de onda dependente do tempo ψxt associada a ψx 64 Mostre que o número de onda k de uma partícula livre não relativística de massa m pode ser escrito na forma em que K é a energia cinética da partícula 65 a Seja n a ib um número complexo em que a e b são números reais positivos ou negativos Mostre que o produto nn é um número real e positivo b Seja m c id outro número complexo Mostre que nm n m 66 Suponha que A B ψ0 na Eq 3825 Nesse caso a equação representa a soma de duas ondas de matéria de mesma amplitude propagandose em sentidos opostos Lembrese de que essa é a definição de uma onda estacionária a Mostre que para esses valores de A e B a função Ψx t2 é dada por b Plote essa função e mostre que ela representa o quadrado da amplitude de uma onda estacionária c Mostre que os nós da onda estacionária estão situados nos pontos para os quais e λ é o comprimento de onda de de Broglie da partícula d Escreva uma expressão do mesmo tipo para as posições mais prováveis da partícula Módulo 387 O Princípio de Indeterminação de Heisenberg 67 A indeterminação da posição de um elétron situado no eixo x é 50 pm ou seja um valor aproximadamente igual ao raio de um átomo de hidrogênio Qual é a menor indeterminação possível da componente px do momento do elétron 68 No Capítulo 39 é dito que os elétrons não se comportam como os planetas do sistema solar movendose em órbitas definidas em torno do núcleo Para compreender por que esse tipo de modelo não é realista imagine que tentamos observar um elétron em órbita usando um microscópio para determinar a posição do elétron com uma precisão da ordem de 10 pm um átomo típico tem um raio da ordem de 100 pm Para isso o comprimento de onda da radiação usada no microscópio deve ser da ordem de 10 pm a Qual é a energia dos fótons correspondentes a este comprimento de onda b Que energia um desses fótons transfere a um elétron em uma colisão frontal c O que o resultado do item b revela a respeito da possibilidade de observar um elétron em dois ou mais pontos de uma possível órbita Sugestão A energia de ligação dos elétrons da última camada dos átomos é da ordem de alguns elétronsvolts 69 A Fig 3813 mostra um caso em que a componente px do momento de uma partícula é conhecida e portanto Δpx 0 De acordo com o princípio de indeterminação de Heisenberg Eq 3828 isso significa que a posição x da partícula é totalmente indeterminada A recíproca também é verdadeira se a posição da partícula é conhecida com precisão absoluta Δx 0 a indeterminação do momento é infinita Considere um caso intermediário no qual a posição de uma partícula é medida não com precisão absoluta mas com uma indeterminação da ordem de λ2π em que λ é o comprimento de onda de de Broglie da partícula Mostre que nesse caso a indeterminação da componente px do momento medida simultaneamente é igual ao próprio momento isto é Δpx p Nessas circunstâncias seria surpreendente que o valor medido do momento da partícula fosse zero 05p 2p 12p Módulo 388 Reflexão em um Degrau de Potencial 70 Um elétron está se movendo em uma região onde existe um potencial elétrico uniforme de 200 V com uma energia total de 500 eV Determine a a energia cinética do elétron em elétronsvolts b o momento do elétron c a velocidade do elétron d o comprimento de onda de de Broglie do elétron e o número de onda do elétron 71 Em um arranjo como o das Figs 3814 e 3815 os elétrons do feixe incidente têm uma energia E 800 eV e o degrau de potencial tem uma altura Ub 600 eV Qual é o número de onda dos elétrons a na região 1 e b na região 2 c Qual é o coeficiente de reflexão d Se 500 105 elétrons incidirem no degrau de potencial quantos aproximadamente serão refletidos 72 Em um arranjo como o das Figs 3814 e 3815 os elétrons do feixe incidente têm uma velocidade de 160 107 ms e na região 2 existe um potencial elétrico de V2 500 V Qual é o número de onda a na região 1 e b na região 2 c Qual é o coeficiente de reflexão d Se 300 109 elétrons incidirem no degrau de potencial quantos aproximadamente serão refletidos 73 A corrente de um feixe de elétrons todos com uma velocidade de 900 ms é 500 mA Se o feixe incide em um degrau de potencial com uma altura de 125 μV quanto é a corrente do outro lado do degrau Módulo 389 O Efeito Túnel 74 Considere uma barreira de energia potencial como a da Fig 3817 cuja altura Ub é 60 eV e cuja largura L é 070 nm Qual é a energia de elétrons incidentes para os quais o coeficiente de transmissão é 00010 75 Prótons de 30 MeV incidem em uma barreira de energia potencial de 10 fm de espessura e 10 MeV de altura Determine a o coeficiente de transmissão T b a energia cinética Kt dos prótons que atravessam a barreira por efeito túnel e c a energia cinética Kr dos prótons que são refletidos pela barreira Dêuterons partículas com a mesma carga que o próton e uma massa duas vezes maior de 30 MeV incidem na mesma barreira Determine os valores de d T e Kt e f Kr nesse caso 76 a Um feixe de prótons de 50 eV incide em uma barreira de energia potencial de 60 eV de altura e 070 nm de largura a uma taxa correspondente a uma corrente de 1000 A Quanto tempo é preciso esperar em média para que um próton atravesse a barreira b Quanto tempo será preciso esperar se o feixe contiver elétrons em vez de prótons 77 Um feixe de elétrons de energia E 51 eV incide em uma barreira de altura Ub 68 eV e largura L 750 pm Qual é a variação percentual do coeficiente de transmissão T correspondente a uma variação de 10 a da altura da barreira b da largura da barreira e c da energia cinética dos elétrons 78 A corrente de um feixe de elétrons todos com uma velocidade de 1200 103 ms é 9000 mA Se o feixe incide em uma barreira de potencial com 4719 μV de altura e 2000 nm de largura qual é a corrente transmitida Problemas Adicionais 79 A Fig 3813 mostra que por causa do princípio de indeterminação de Heisenberg não é possível atribuir uma coordenada x à posição de um elétron livre que esteja se movendo com uma velocidade conhecida v ao longo do eixo x a É possível atribuir uma coordenada y ou z ao elétron Sugestão As componentes y e z do momento do elétron são nulas b Descreva a extensão da onda de matéria em três dimensões 80 Uma linha de emissão é uma onda eletromagnética produzida em uma faixa tão estreita de comprimentos de onda que pode ser considerada monocromática em primeira aproximação Uma linha de emissão muito importante para a astronomia tem um comprimento de onda de 21 cm Qual é a energia dos fótons correspondentes a esse comprimento de onda 81 Usando as equações clássicas para o momento e a energia cinética mostre que o comprimento de onda de de Broglie em nanômetros pode ser escrito como em que K é a energia cinética do elétron em elétronsvolts 82 Demonstre a Eq 3811 a equação usada para calcular o deslocamento de Compton a partir das Eqs 388 389 e 3810 eliminando v e θ 83 Os nêutrons em equilíbrio térmico com o meio em que se encontram conhecidos como nêutrons térmicos têm uma energia cinética média de 3kT2 em que k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura do meio Para T 300 K determine a a energia cinética dos nêutrons térmicos e b o comprimento de onda de de Broglie correspondente 84 Considere um balão cheio de gás hélio à temperatura ambiente e à pressão atmosférica Calcule a o comprimento de onda de de Broglie médio dos átomos de hélio e b a distância média entre os átomos nessas condições A energia cinética média de um átomo é igual a 3kT2 em que k é a constante de Boltzmann c Os átomos podem ser tratados como partículas nessas condições Justifique sua resposta 85 Por volta de 1916 R A Millikan obteve os seguintes dados para o potencial de corte do lítio em experimentos do efeito fotelétrico Comprimento de onda nm 4339 4047 3650 3125 2535 Potencial de corte V 055 073 109 167 257 Use os dados da tabela para fazer um gráfico como o da Fig 382 que é para o sódio e use o gráfico para determinar a a constante de Planck e b a função trabalho do lítio 86 Mostre que ψ2 ψ2 com ψ e Ψ relacionadas pela Eq 3814 ou seja mostre que a densidade de probabilidade não depende do tempo 87 Mostre que ΔEE a perda relativa de energia de um fóton em uma colisão com uma partícula de massa m é dada por em que E é a energia do fóton incidente f é a frequência do fóton espalhado e o ângulo ϕ é definido como na Fig 385 88 Uma bala de revólver com 40 g de massa foi disparada com uma velocidade de 1000 ms Embora seja óbvio que uma bala é grande demais para ser tratada como uma onda de matéria determine qual é a previsão da Eq 3817 com relação ao comprimento de onda de de Broglie da bala a essa velocidade 89 a Para ejetar um elétron do sódio é preciso uma energia de pelo menos 228 eV O efeito fotelétrico é observado quando uma placa de sódio é iluminada com luz vermelha de comprimento de onda λ 680 nm Ou seja uma luz com esse comprimento de onda ejeta elétrons do sódio b Qual é o comprimento de onda de corte para a emissão fotelétrica no caso do sódio c A que cor corresponde esse comprimento de onda 90 Você está jogando futebol em um universo muito diferente do nosso no qual a constante de Planck é 060 J s Qual é a indeterminação da posição de uma bola de 050 kg que foi chutada com uma velocidade de 20 ms se a indeterminação da velocidade é 10 ms WE Lamb Jr e MO Scully The photoelectric eect without photons Polarisation Matière et Rayonnement Presse Universitaire de France 1969 pp 363369 NT CAPÍTULO 39 Mais Ondas de Matéria 391 ENERGIA DE UM ELÉTRON CONFINADO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3901 Saber que o confinamento de qualquer onda incluindo as ondas de matéria faz com que o comprimento de onda e a energia da onda sejam quantizados 3902 Desenhar um poço de potencial unidimensional infinito mostrando a largura do poço e a energia potencial das paredes 3903 Conhecer a relação entre o comprimento de onda de de Broglie λ e a energia cinética de um elétron 3904 No caso de um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional infinito conhecer a relação entre o comprimento de onda de de Broglie λ do elétron a largura L do poço e o número quântico n 3905 No caso de um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional infinito conhecer a relação entre as energias permitidas En a largura L do poço e o número quântico n 3906 Desenhar o diagrama de níveis de energia de um elétron em um poço de potencial unidimensional infinito mostrando o nível fundamental e alguns estados excitados 3907 Saber que um elétron confinado tende a ocupar o estado fundamental pode ser excitado para estados de maior energia e pode ocupar estados com energias que não sejam as energias permitidas 3908 Calcular a energia necessária para que um elétron sofra uma transição entre dois estados permitidos 3909 Saber que a transição de um elétron para um nível de maior energia envolve a absorção de um fóton e a transição para um nível de menor energia envolve a emissão de um fóton 3910 Conhecer a relação entre a variação de energia de um elétron e a frequência e o comprimento de onda do fóton absorvido ou emitido pelo elétron 3911 Conhecer os espectros de emissão e absorção de um elétron em um poço de potencial unidimensional infinito IdeiasChave O confinamento de qualquer onda ondas em cordas ondas sonoras ondas eletromagnéticas ondas de matéria faz com que a onda seja quantizada ou seja possa existir apenas em estados discretos com valores de energia bem definidos Como é uma onda de matéria um elétron confinado em um potencial infinito pode existir apenas em estados discretos Se o poço for unidimensional e tiver uma largura L as energias permitidas serão dadas por em que m é a massa do elétron e n é um número quântico O nível de menor energia não é zero mas corresponde ao valor da energia para n 1 O elétron só pode passar de um nível quântico para outro se a variação de energia for ΔE Ealta Ebaixa em que Ealta é a energia mais alta e Ebaixa é a energia mais baixa Se a variação de energia acontece por meio da absorção ou emissão de um fóton a energia do fóton deve ser igual à variação de energia do elétron em que f é a frequência e λ é o comprimento de onda do fóton O que É Física Um dos principais objetivos da física é conhecer a estrutura dos átomos No início do século XX ninguém sabia qual era a disposição dos elétrons nos átomos como os elétrons se moviam como os átomos emitiam e absorviam luz ou mesmo por que os átomos eram estáveis Sem esse conhecimento não era possível compreender de que forma os átomos se combinavam para formar moléculas e cristais Em consequência os fundamentos da química incluindo a bioquímica que estuda as reações químicas que se passam no interior dos seres vivos permaneciam envoltos em mistério A partir de 1926 essas questões e muitas outras começaram a ser desvendadas com o surgimento da física quântica A premissa básica da nova disciplina é que os elétrons prótons e todas as outras partículas se comportam como ondas de matéria cuja propagação obedece à equação de Schrödinger Embora a teoria quântica também se aplique a objetos macroscópicos não há necessidade de usála para estudar bolas de futebol automóveis ou planetas No caso desses corpos pesados que se movem com uma velocidade muito menor que a da luz a física newtoniana e a física quântica fornecem os mesmos resultados Antes de aplicar a física quântica ao problema da estrutura atômica vamos familiarizar o leitor com os conceitos quânticos estudando algumas situações mais simples Algumas dessas situações podem parecer pouco realistas mas nos permitem discutir os princípios básicos da física quântica sem termos de lidar com a complexidade muitas vezes insuperável dos átomos Além disso com os avanços da tecnologia situações que antigamente eram encontradas apenas nos livros escolares hoje estão sendo reproduzidas nos laboratórios e usadas em aplicações práticas nos campos da eletrônica e da ciência dos materiais Em breve seremos capazes de usar estruturas nanométricas conhecidas como currais quânticos e pontos quânticos para criar átomos sob medida cujas propriedades poderão ser modificadas à vontade pelos projetistas Tanto no caso dos átomos naturais como dos artificiais o ponto de partida para nossa discussão é a natureza ondulatória do elétron Ondas em Cordas e Ondas de Matéria Como vimos no Capítulo 16 existem dois tipos de ondas em uma corda esticada Quando a corda é tão comprida que pode ser considerada infinita podemos excitar na corda uma onda progressiva de praticamente qualquer frequência Por outro lado quando a corda tem um comprimento limitado talvez por estar presa nas duas extremidades só podemos excitar na corda uma onda estacionária além disso essa onda pode ter apenas certas frequências Em outras palavras confinar a onda a uma região finita leva à quantização do movimento ou seja à existência de estados discretos para a onda cada um com uma frequência bem definida Essa observação se aplica a ondas de todos os tipos incluindo as ondas de matéria No caso das ondas de matéria porém é mais conveniente lidar com a energia E da partícula associada do que com a frequência f da onda Na discussão a seguir vamos nos concentrar na onda de matéria associada ao elétron mas os resultados se aplicam a qualquer onda de matéria Considere a onda de matéria associada a um elétron que se move no sentido positivo do eixo x e não está sujeito a nenhuma força ou seja é uma partícula livre A energia desse elétron pode ter qualquer valor assim como a onda excitada em uma corda de comprimento infinito pode ter qualquer frequência Considere agora a onda de matéria associada a um elétron atômico como o elétron de valência elétron da última camada de um átomo Um elétron desse tipo mantido no lugar pela força de atração do núcleo atômico não é uma partícula livre pode existir apenas em estados discretos caracterizados por valores discretos da energia A situação lembra muito a de uma corda esticada de comprimento finito que também só comporta um número finito de estados e frequências de oscilação Assim no caso das ondas de matéria como no caso de ondas de qualquer tipo podemos enunciar um princípio de confinamento O confinamento de uma onda leva à quantização ou seja à existência de estados discretos com energias discretas A onda pode ter apenas essas energias Energia de um Elétron Confinado Armadilhas Unidimensionais Vamos examinar a onda de matéria associada a um elétron não relativístico confinado a uma região do espaço Para isso podemos usar uma analogia com ondas estacionárias em uma corda de comprimento finito estendida no eixo x e presa rigidamente pelas duas extremidades Como os suportes são rígidos as extremidades da corda são nós pontos em que a corda se mantém imóvel Pode haver nós em outros pontos da corda mas os nós das extremidades devem sempre estar presentes como na Fig 1621 Figura 391 Elementos de uma armadilha idealizada para confinar o elétron ao cilindro central Os cilindros das extremidades são mantidos a um potencial negativo infinito e o cilindro central é mantido a um potencial nulo Os estados ou modos permitidos de oscilação da corda são aqueles para os quais o comprimento L da corda é igual a um número inteiro de meios comprimentos de onda Em outras palavras a corda pode ocupar apenas os estados para os quais Cada valor de n define um estado diferente de oscilação da corda na linguagem da física quântica o número inteiro n é um número quântico Para cada estado permitido pela Eq 391 o deslocamento transversal em um ponto x da corda é dado por em que o número quântico n especifica o estado em que a corda se encontra e A é uma função apenas do tempo A Eq 392 é uma versão condensada da Eq 1660 Vemos que para qualquer valor de n e para qualquer instante de tempo o deslocamento é zero em x 0 e x L ou seja nas extremidades da corda Na Fig 1620 são mostradas fotografias das oscilações de uma corda para n 2 3 e 4 Vamos agora voltar nossa atenção para as ondas de matéria O primeiro problema é confinar um elétron a uma região do eixo x A Fig 391 mostra uma possível armadilha unidimensional para elétrons constituída por dois cilindros semiinfinitos mantidos a um potencial elétrico de entre eles existe um cilindro oco de comprimento L que é mantido a um potencial elétrico nulo O elétron a ser confinado é colocado no interior desse último cilindro A armadilha da Fig 391 pode ser fácil de analisar mas difícil de construir na prática Entretanto é possível aprisionar elétrons isolados em armadilhas mais complexas que obedecem aos mesmos princípios Um grupo de cientistas da Universidade de Washington por exemplo manteve um elétron em uma armadilha durante meses a fio o que permitiu estudar suas propriedades com grande precisão Cálculo das Energias Quantizadas A Fig 392 mostra a energia potencial do elétron em função de sua posição no eixo x da armadilha idealizada da Fig 391 Quando o elétron está no interior do cilindro central sua energia potencial U eV é nula porque o potencial V é nulo nessa região Se o elétron pudesse escapar do cilindro central sua energia potencial se tornaria positiva e infinita já que V do lado de fora do cilindro central O potencial associado à armadilha da Fig 391 que está representado na Fig 392 é chamado de poço de energia potencial infinitamente profundo ou simplesmente poço de potencial infinito O nome poço vem do fato de que um elétron colocado no cilindro central da Fig 391 não pode escapar No momento em que atinge uma das extremidades do cilindro o elétron é repelido por uma força infinita e passa a se mover no sentido oposto Como nesse modelo idealizado o elétron só pode se mover em uma direção do espaço a armadilha é chamada de poço de potencial infinito unidimensional Da mesma forma que uma onda estacionária em uma corda esticada a onda de matéria que descreve o elétron confinado deve ter nós em x 0 e x L Além disso a Eq 391 pode ser aplicada à onda de matéria se interpretarmos λ como o comprimento de onda de de Broglie do elétron O comprimento de onda de de Broglie λ de uma partícula foi definido na Eq 3817 como λ hp em que p é o módulo do momento da partícula Para um elétron não relativístico o módulo p do momento está relacionado à energia cinética da partícula K pela equação em que m é a massa da partícula No caso de um elétron no interior do cilindro central da Fig 391 como U 0 a energia mecânica total E é igual à energia cinética Assim o comprimento de onda de de Broglie do elétron é dado por Figura 392 Energia potencial elétrica Ux de um elétron confinado no cilindro central da armadilha da Fig 391 Vemos que U 0 para 0 x L e U para x 0 e x L Substituindo a Eq 393 na Eq 391 e explicitando E descobrimos que E varia com n de acordo com a equação Figura 393 Algumas das energias permitidas para um elétron confinado no poço infinito da Fig 392 supondo que a largura do poço seja L 100 pm O número inteiro positivo n é o número quântico que define o estado quântico do elétron A Eq 394 revela algo importante Quando o elétron está confinado ao cilindro central sua energia só pode ter os valores dados pela equação A energia do elétron não pode por exemplo assumir um valor intermediário entre os valores para n 1 e n 2 Por que essa restrição Porque existe uma onda de matéria associada ao elétron Se o elétron fosse apenas uma partícula como supunha a física clássica a energia do elétron poderia ter qualquer valor mesmo quando estivesse confinado em uma armadilha A Fig 393 mostra os cinco primeiros valores de energia permitidos para um elétron no interior de um poço infinito com L 100 pm as dimensões de um átomo típico Esses valores são chamados de níveis de energia e estão representados na Fig 393 por linhas horizontais em um diagrama de níveis de energia O eixo vertical é calibrado em unidades de energia o eixo horizontal não tem nenhum significado O estado quântico de menor energia possível E1 cujo valor pode ser obtido fazendo n 1 na Eq 39 4 é conhecido como estado fundamental do elétron O elétron tende a ocupar esse estado fundamental Todos os estados quânticos com energias maiores ou seja com número quântico n 2 são chamados de estados excitados do elétron O estado de energia E2 correspondente a n 2 é chamado de primeiro estado excitado porque é o estado excitado de menor energia O estado de energia E3 é chamado de segundo estado excitado e assim por diante Mudanças de Energia Um elétron confinado tende a ocupar o estado de menor energia possível o estado fundamental e só pode passar para um estado excitado no qual possui uma energia maior se receber de uma fonte externa uma energia igual à diferença de energia entre os dois estados Seja Ebaixa a energia inicial do elétron e seja Ealta a energia de um dos estados excitados da Fig 393 Nesse caso a quantidade de energia que deve ser fornecida ao elétron para que mude de estado é dada por Quando um elétron recebe essa energia dizemos que executou um salto quântico sofreu uma transição ou foi excitado de um estado de menor energia para um estado de maior energia A Fig 394a representa de forma esquemática um salto quântico do estado fundamental nível de energia E1 para o terceiro estado excitado nível de energia E4 Como mostra a figura o salto deve começar e terminar em níveis de energia permitidos mas não precisa passar por níveis intermediários Fótons Uma das formas de um elétron ganhar energia suficiente para executar um salto quântico é absorver um fóton Essa absorção porém só ocorre quando a seguinte condição é satisfeita Figura 394 a Excitação de um elétron confinado do estado fundamental para o terceiro estado excitado bd Três das quatro formas possíveis de decaimento do elétron do terceiro estado excitado para o estado fundamental Qual é a quarta Para que um elétron confinado absorva um fóton é preciso que a energia hf do fóton seja igual à diferença de energia ΔE entre a energia do estado inicial do elétron e a energia de outro estado permitido Assim a excitação por absorção de luz só é possível se Quando um elétron passa para um estado excitado ele não permanece indefinidamente no novo estado mas logo decai para estados de menor energia As Figs 394b a 394d mostram algumas possibilidades de decaimento de um elétron que se encontra no terceiro estado excitado O elétron pode chegar ao estado fundamental por meio de um único salto quântico Fig 394b ou por meio de saltos quânticos mais curtos que envolvem estados intermediários Figs 394c e 394d Uma das formas de um elétron perder energia é emitir um fóton Essa emissão porém só ocorre quando a seguinte condição é satisfeita Para que um elétron confinado emita um fóton é preciso que a energia hf do fóton seja igual à diferença de energia ΔE entre a energia do estado inicial do elétron e a energia de outro estado permitido Assim a Eq 396 se aplica tanto à absorção quanto à emissão de luz por um elétron confinado Isso significa que a luz absorvida ou emitida só pode ter certos valores de hf portanto só pode ter certos valores de frequência f e comprimento de onda λ Observação Embora a Eq 396 e as ideias que apresentamos a respeito da absorção e emissão de fótons se apliquem a armadilhas reais realizáveis em laboratório para elétrons não podem ser aplicadas a armadilhas unidimensionais idealizadas Isso se deve à necessidade de que o momento angular seja conservado nos processos de absorção e emissão de fótons Neste livro vamos ignorar essa necessidade e usar a Eq 396 mesmo para armadilhas unidimensionais Teste 1 Coloque na ordem decrescente da diferença de energia entre os estados os seguintes pares de estados quânticos de um elétron confinado a um poço infinito unidimensional a n 3 e n 1 b n 5 e n 4 c n 4 e n 3 Exemplo 3901 Níveis de energia de um poço de potencial infinito unidimensional Um elétron é confinado a um poço de potencial unidimensional infinitamente profundo de largura L 100 pm a Qual é a menor energia possível do elétron Um elétron confinado não pode ter energia nula IDEIACHAVE O confinamento do elétron ao qual está associada uma onda de matéria leva à quantização da energia Como o poço é infinitamente profundo as energias permitidas são dadas pela Eq 394 En h2n28mL2 em que o número quântico n é um número inteiro positivo Nível de menor energia Para os dados do problema o valor da constante que multiplica n2 na Eq 394 é A menor energia possível do elétron corresponde ao menor valor possível de n que é n 1 estado fundamental Assim de acordo com as Eqs 394 e 397 temos b Qual é a energia que deve ser fornecida ao elétron para que ele execute um salto quântico do estado fundamental para o segundo estado excitado IDEIACHAVE Primeiro uma advertência Observe que de acordo com a Eq 393 o segundo estado excitado corresponde ao terceiro nível de energia cujo número quântico é n 3 De acordo com a Eq 395 a energia necessária para que o elétron salte do nível n 1 para o nível n 3 é dada por Salto para cima As energias E3 e E1 estão relacionadas ao número quântico n pela Eq 394 Assim substituindo E3 e E1 na Eq 398 por seus valores dados pela Eq 394 obtemos c Se o elétron executa o salto quântico do item b ao absorver luz qual é o comprimento de onda da luz IDEIASCHAVE 1 A transferência de energia da luz para o elétron ocorre por absorção de um fóton 2 De acordo com a Eq 396 hf ΔE a energia do fóton deve ser igual à diferença de energia ΔE entre o nível inicial de energia do elétron e o nível final Comprimento de onda Como f cλ a Eq 396 pode ser escrita na forma Para a diferença de energia ΔE31 calculada no item b a Eq 399 nos dá 1 2 3 d Depois que o elétron salta para o segundo estado excitado que comprimentos de onda de luz ele pode emitir ao voltar para o estado fundamental IDEIASCHAVE Quando está em um estado excitado um elétron tende a decair isto é perder energia até chegar ao estado fundamental n 1 Um elétron só pode perder energia passando para um estado permitido de energia menor que a do estado em que se encontra Para perder energia produzindo luz o elétron deve emitir um fóton Saltos para baixo Se está inicialmente no segundo estado excitado ou seja no nível n 3 o elétron pode chegar ao estado fundamental n 1 saltando diretamente para esse nível Fig 395a ou executando dois saltos sucessivos um do nível n 3 para o nível n 2 e outro do nível n 2 para o nível n 1 Figs 395b e 395c O salto direto envolve a mesma diferença de energia ΔE31 que foi calculada no item c Nesse caso o comprimento de onda envolvido é o que foi calculado no item c com a diferença de que agora se trata do comprimento de onda da luz emitida e não da luz absorvida Assim o elétron pode saltar diretamente para o estado fundamental emitindo luz de comprimento de onda Usando o mesmo método do item b é possível mostrar que as diferenças de energia para os saltos das Figs 395b e 395c são ΔE32 3016 1017 J e ΔE21 1809 1017 J De acordo com a Eq 399 o comprimento de onda da luz emitida no primeiro desses saltos de n 3 para n 2 é e o comprimento de onda da luz emitida no segundo desses saltos de n 2 para n 1 é Figura 395 Decaimento de um elétron do segundo estado excitado para o estado fundamental diretamente a ou por meio do primeiro estado excitado bc 392 FUNÇÕES DE ONDA DE UM ELÉTRON CONFINADO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3912 Escrever a função de onda de um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional infinito em termos da posição do elétron e do número quântico n 3913 Saber o que é densidade de probabilidade 3914 No caso de um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional infinito em um dado estado quântico conhecer a densidade de probabilidade do elétron em função da posição no interior do poço saber que a densidade de probabilidade é zero do lado de fora do poço e calcular a probabilidade de que o elétron seja detectado em uma dada região no interior do poço 3915 Saber o que é o princípio de correspondência 3916 Normalizar uma função de onda dada e saber qual é a relação entre a normalização e a probabilidade de detecção 3917 Saber que o nível de menor energia de um elétron confinado a energia de ponto zero não é zero IdeiasChave As funções de onda de um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional infinito de largura L ao longo do eixo x é dado por em que n é o número quântico A probabilidade de que o elétron seja detectado no intervalo entre x e x dx é dada por ψ2 nx dx A integral da densidade de probabilidade do elétron para todo o eixo x deve ser igual a 1 Funções de Onda de um Elétron Confinado Resolvendo a equação de Schrödinger para um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional infinito de largura L descobrimos que as funções de onda do elétron são dadas por para 0 x L a função de onda é nula para qualquer outro valor de x O valor da constante A na Eq 3910 será calculado mais adiante Note que as funções de onda ψnx têm a mesma forma que as funções de deslocamento ynx de uma onda estacionária em uma corda presa pelas extremidades veja a Eq 392 Podemos dizer que a onda de matéria associada a um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional infinito é também uma onda estacionária Figura 396 Densidade de probabilidade ψ2 nx para quatro estados de um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional infinito os números quânticos são n 5 1 2 3 e 15 É mais provável encontrar o elétron nas regiões em que ψ2 nx tem valores elevados e menos provável encontrar o elétron nas regiões em que ψ2 nx tem valores pequenos Probabilidade de Detecção Não existem formas de medir diretamente a função de onda ψnx não podemos observar o interior do poço de potencial e ver a onda de matéria como se estivéssemos observando uma onda em uma corda No caso da onda de matéria associada a um elétron tudo que podemos fazer é constatar a presença ou ausência do elétron com o auxílio de um detector No momento da detecção verificamos que o elétron está em um determinado local do poço Quando repetimos o processo em vários locais descobrimos que a probabilidade de detecção depende da posição x do detector Essa probabilidade é dada pela função densidade de probabilidade ψ2 nx Como vimos no Módulo 386 a probabilidade de que uma partícula seja detectada em um volume infinitesimal com centro em um ponto do espaço é proporcional a ψ2 n No caso de um elétron confinado em um poço unidimensional estamos interessados apenas na probabilidade de detecção do elétron em pontos situados no eixo x nesse caso a densidade de probabilidade é uma probabilidade por unidade de comprimento ao longo do eixo x ψ2 nx O sinal de valor absoluto pode ser omitido nesse caso porque a função ψnx da Eq 3910 é uma função real ou seja não possui uma parte imaginária A probabilidade px de que um elétron seja detectado em um ponto x do interior do poço é dada por ou De acordo com a Eq 3910 a densidade de probabilidade ψ2 nx para o elétron confinado é no intervalo 0 x L a densidade de probabilidade é zero para qualquer outro valor de x A Fig 396 mostra as funções ψ2 nx com n 1 2 3 e 15 para um elétron confinado em um poço infinito com uma largura L de 100 pm Para calcular a probabilidade de que um elétron seja detectado em uma região no interior do poço entre os pontos x1 e x2 digamos basta integrar px entre os limites da região Assim de acordo com as Eqs 3911 e 3912 Se o intervalo Δx no qual procuramos o elétron for muito menor que a largura L do poço podemos em geral supor que a integral da Eq 3913 é aproximadamente igual ao produto px Δx em que px é calculada no centro do intervalo Se a física clássica pudesse ser aplicada a um elétron a probabilidade de encontrar o elétron seria a mesma em todos os pontos do poço A Fig 396 mostra que isso não é verdade Observando a figura e a Eq 3912 vemos por exemplo que no caso do estado com n 2 é muito provável que o elétron seja encontrado nas proximidades dos pontos x 25 pm e x 75 pm e pouco provável que o elétron seja detectado nas proximidades dos pontos x 0 x 50 pm e x 100 pm O caso de n 15 da Fig 396 sugere que à medida que n aumenta a probabilidade de detecção se torna cada vez mais uniforme no interior do poço Este é um exemplo de um princípio geral conhecido como princípio da correspondência Para grandes valores dos números quânticos os resultados da física quântica tendem para os resultados da física clássica Esse princípio proposto pelo físico dinamarquês Niels Bohr se aplica a todos os resultados da física quântica Teste 2 A figura mostra três poços de potencial infinitos de largura L 2L e 3L cada poço contém um elétron no estado n 10 Coloque os poços na ordem decrescente a do número de máximos da densidade de probabilidade do elétron e b da energia do elétron Normalização O produto ψ2 nxdx corresponde à probabilidade de que um elétron aprisionado em um poço unidimensional infinito seja detectado entre os pontos x e x dx Como sabemos que o elétron se encontra em algum ponto do poço de potencial devemos ter já que a probabilidade 1 corresponde à certeza Embora a integral deva ser calculada para todo o eixo x apenas a região entre x 0 e x L contribui para a probabilidade total já que a função ψ2 nx é nula fora desse intervalo Graficamente a integral da Eq 3914 representa a área sob uma curva como na Fig 39 6 Substituindo ψ2 nx dada pela Eq 3912 na Eq 3914 obtemos o valor de A na Eq 3912 O processo de usar a Eq 3914 para determinar a amplitude de uma função de onda é chamado de normalização da função de onda O processo se aplica a todas as funções de onda unidimensionais Energia de Ponto Zero Fazendo n 1 na Eq 394 obtemos a menor energia possível de um elétron em um poço de potencial unidimensional infinito a energia do estado fundamental Esse é o estado que o elétron confinado ocupará a menos que a energia a ser fornecida seja suficiente para transferilo para um estado excitado Surge imediatamente a pergunta Por que não podemos incluir n 0 entre os valores possíveis de n na Eq 394 Fazendo n 0 na Eq 394 obtemos E 0 uma energia menor que a do estado n 1 Entretanto fazendo n 0 na Eq 3912 obtemos também ψ2 nx 0 para qualquer valor de x o que pode ser interpretado como a ausência de elétrons no poço do potencial Como sabemos que existe um elétron no poço n 0 não é um número quântico permitido Uma das conclusões importantes da física quântica é a de que em sistemas confinados não podem existir estados de energia zero existe sempre uma energia mínima conhecida como energia de ponto zero Podemos tornar a energia mínima tão pequena quanto quisermos alargando o poço de potencial ou seja aumentando o valor de L na Eq 394 e mantendo n 1 Para L a energia de ponto zero tende a zero Nesse limite porém com um poço de potencial infinitamente largo o elétron deixa de ser confinado e se torna uma partícula livre Como a energia de uma partícula livre não é quantizada a energia pode ter qualquer valor incluindo o valor zero Apenas uma partícula confinada deve ter uma energia de ponto zero diferente de zero e não pode estar em repouso Teste 3 As partículas a seguir estão confinadas em poços de potencial infinitos de mesma largura a um elétron b um próton c um dêuteron e d uma partícula alfa Coloque as partículas na ordem decrescente da energia de ponto zero Exemplo 3902 Probabilidade de detecção em um poço de potencial unidimensional infinito Um elétron está no estado fundamental de um poço de potencial unidimensional infinito como o da Fig 392 cuja largura é L 100 pm a Qual é a probabilidade de o elétron ser detectado no terço da esquerda do poço entre x1 0 e x2 L3 IDEIASCHAVE 1 Se examinarmos todo o terço da esquerda do poço não há nenhuma garantia de que encontraremos o elétron entretanto podemos usar a integral da Eq 3913 para calcular a probabilidade de o elétron ser detectado 2 A probabilidade depende do estado em que está o elétron isto é do valor do número quântico n Cálculos Como de acordo com o enunciado o elétron está no estado fundamental fazemos n 1 na Eq 3913 Os limites de integração são x1 0 e x2 L3 e fazemos a constante A da Eq 3913 igual a para normalizar a função de onda Assim temos Poderíamos calcular a probabilidade pedida fazendo L 100 10212 m e usando uma calculadora ou um computador para calcular o valor da integral Em vez disso vamos resolver analiticamente a integral Para começar definimos uma nova variável de integração y De acordo com a equação da esquerda os novos limites de integração são y1 0 para x1 0 e y2 π3 para x2 L3 Devemos portanto calcular Podemos usar a expressão 11 do Apêndice E para calcular a integral o que nos dá Assim temos Isso significa que se examinarmos repetidamente o terço esquerdo do poço o elétron será detectado em média em 20 das tentativas b Qual é a probabilidade de que o elétron seja detectado no terço médio do poço entre x1 L3 e x2 2L3 Raciocínio Já sabemos que a probabilidade de que um elétron seja detectado no terço da esquerda do poço é 020 Por simetria a probabilidade de que o elétron seja detectado no terço da direita do poço também é 020 Como o poço contém um elétron a probabilidade de que o elétron seja detectado em algum lugar do poço é 1 Assim a probabilidade de que o elétron seja detectado no terço central do poço é Exemplo 3903 Normalização das funções de onda de um poço de potencial unidimensional infinito Determine o valor da constante A da Eq 3910 para um poço de potencial infinito que se estende de x 0 a x L IDEIACHAVE As funções de onda da Eq 3910 devem satisfazer a condição de normalização da Eq 3914 segundo a qual a probabilidade de que o elétron seja detectado em algum ponto do eixo x é 1 Cálculos Substituindo a Eq 3910 na Eq 3914 e passando a constante A para fora da integral obtemos Podemos mudar os limites da integral de e para 0 e L porque fora dos novos limites a função de onda é zero e portanto não há necessidade de realizar a integração Podemos simplificar a integração mudando a variável de x para uma nova variável y dada por e portanto Como mudamos a variável precisamos mudar novamente os limites de integração De acordo com a Eq 3916 y 0 para x 0 e y nπ para x L assim 0 e nπ são os novos limites de integração Com todas essas substituições a Eq 3915 se torna Podemos usar a expressão 11 do Apêndice E para calcular a integral obtendo a equação Substituindo y pelos limites obtemos e portanto Esse resultado mostra que A2 e portanto ψ2 nx têm dimensões de 1comprimento Isso é razoável já que a densidade de probabilidade da Eq 3912 é uma probabilidade por unidade de distância 393 UM ELÉTRON EM UM POÇO FINITO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3918 Desenhar um poço de potencial unidimensional finito mostrando a largura e a profundidade do poço 3919 Desenhar o diagrama de níveis de energia de um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional finito indicando a região não quantizada e comparar as energias e comprimentos de onda de de Broglie do elétron com as de um elétron confinado em um poço de potencial infinito de mesma largura 3920 No caso de um elétron confinado em um poço finito explicar de que modo é possível em princípio calcular as funções de onda dos estados permitidos 3921 No caso de um elétron confinado em um poço finito em um estado com um número quântico conhecido desenhar um gráfico mostrando a densidade de probabilidade em função da posição do lado de dentro e do lado de fora do poço 3922 Saber que um elétron confinado em um poço finito só pode ocupar um número limitado de estados e relacionar a energia desses estados à energia cinética do elétron 3923 Calcular a energia que um elétron deve absorver para passar de um estado permitido para outro de maior energia ou para passar de um nível permitido para qualquer valor de energia da região não quantizada 3924 Se um salto quântico envolve um fóton conhecer a relação entre a variação de energia e a frequência e comprimento de onda do fóton 3925 Se um elétron está em um estado permitido de um poço finito calcular a energia mínima necessária para que o elétron escape do poço e a energia cinética do elétron depois de escapar do poço se receber uma energia maior que a energia mínima 3926 Conhecer os espectros de emissão e absorção de um elétron em um poço de potencial unidimensional finito incluindo a energia necessária para escapar do poço e a energia liberada quando o elétron entrar no poço IdeiasChave A função de onda de um elétron em um poço unidimensional finito tem um valor diferente de zero do lado de fora do poço que diminui exponencialmente com a profundidade do poço Em comparação com os estados de um poço infinito de mesma largura os estados de um poço finito além de serem em número limitado têm um comprimento de onda de de Broglie maior e uma energia menor Um Elétron em um Poço Finito Um poço de energia potencial de profundidade infinita é uma idealização A Fig 397 mostra um poço de energia potencial mais realista no qual a energia potencial do elétron do lado de fora do poço não é infinitamente grande mas possui um valor finito U0 conhecido como profundidade do poço A analogia entre ondas em uma corda presa nas extremidades e ondas de matéria em um poço de potencial não se aplica a poços de profundidade finita porque nesse caso não podemos garantir que a onda de matéria se anula em x 0 e x L Na verdade como vamos ver a onda de matéria não se anula Para determinar as funções de onda que descrevem os estados quânticos de um elétron no poço finito da Fig 397 devemos usar a equação de Schrödinger que é a equação básica da física quântica Como vimos no Módulo 386 no caso de movimentos em uma dimensão podemos usar a equação de Schrödinger na forma da Eq 3819 Figura 397 Um poço de potencial unidimensional finito A profundidade do poço é U0 e a largura é L Como no caso do poço infinito da Fig 392 o movimento do elétron confinado está limitado a uma direção a do eixo x Em vez de resolver a Eq 3918 para o caso geral de um poço finito a solução é muito trabalhosa vamos nos limitar a fornecer os resultados para valores particulares de U0 e L A Fig 398 mostra os resultados na forma de gráficos de ψ2 nx a densidade de probabilidade para um poço com U0 450 eV e L 100 pm Para qualquer valor de n a densidade de probabilidade ψ2 nx deve satisfazer a Eq 3914 a equação de normalização isso significa que a área sob as três curvas da Fig 398 é igual a 1 Comparando a Fig 398 para um poço finito com a Fig 396 para um poço infinito vemos uma diferença importante No caso do poço finito a onda de matéria é diferente de zero do lado de fora do poço uma região à qual de acordo com a mecânica clássica o elétron não teria acesso Tratase de um fenômeno semelhante ao efeito túnel discutido no Módulo 389 Observando os gráficos de ψ2 da Fig 398 vemos que quanto maior é o valor do número quântico n mais pronunciado é o fenômeno Como a onda de matéria penetra nas paredes de um poço finito o comprimento de onda λ para um dado estado quântico é maior quando o elétron está aprisionado em um poço finito do que quando está aprisionado em um poço infinito Assim de acordo com a Eq 393 a energia E de um elétron em um dado estado quântico é menor em um poço finito do que em um poço infinito o que permite esboçar o diagrama de níveis de energia de um elétron aprisionado em um poço finito a partir do diagrama de níveis de energia de um elétron aprisionado em um poço infinito Figura 398 Densidade de probabilidade ψ2 nx para os três estados de menor energia de um elétron confinado em um poço de potencial finito de profundidade U0 5 450 eV e largura Figura 399 Diagrama de níveis de energia correspondente às densidades de probabilidade da Fig 39 8 Quando confinado a este poço de potencial finito um elétron pode possuir apenas as energias correspondentes aos estados n 5 1 2 3 e 4 Um elétron com uma energia maior que 450 eV não está confinado e pode ter qualquer energia Como exemplo vamos esboçar o diagrama de níveis de energia do poço finito da Fig 398 que possui uma largura L 100 pm e uma profundidade U0 450 eV O diagrama de níveis de energia de um poço infinito com a mesma largura aparece na Fig 393 Em primeiro lugar eliminamos a parte da Fig 393 que está acima de 450 eV Em seguida deslocamos um pouco para baixo os níveis restantes deslocando mais o nível n 4 porque o efeito túnel é mais pronunciado para esse nível O resultado é um esboço do diagrama de níveis de energia do poço finito O diagrama obtido resolvendo a equação de Schrödinger aparece na Fig 399 Um elétron com uma energia maior que U0 450 eV tem energia suficiente para sair do poço da Fig 399 Nesse caso o elétron não é confinado pelas barreiras de potencial e sua energia não é quantizada ou seja não é limitada a determinados valores Para atingir a parte não quantizada do diagrama de níveis de energia e assim se tornar livre um elétron que está confinado no poço deve receber uma energia suficiente para que sua energia mecânica total se torne igual ou maior que 450 eV Exemplo 3904 Escape de um poço de potencial finito Um elétron está confinado no estado fundamental de um poço finito com U0 450 eV e L 100 pm a Qual é o maior comprimento de onda de luz capaz de libertar o elétron do poço de potencial por absorção de um único fóton IDEIACHAVE Para escapar do poço de potencial o elétron deve receber energia suficiente para entrar na parte não quantizada do diagrama de níveis de energia da Fig 399 Isso significa que a energia final deve ser igual ou maior que U0 450 eV Energia de escape O elétron está inicialmente no estado fundamental com uma energia E1 27 eV Assim a energia mínima necessária para libertálo do poço de potencial é U0 E1 450 eV 27 eV 423 eV Para o elétron ser libertado por absorção de um único fóton o fóton deve ter no mínimo essa energia De acordo com a Eq 396 hf Ealta Ebaixa com a frequência f substituída por ψλ temos e portanto Assim o comprimento de onda da luz deve ser no máximo 294 nm para que o elétron escape do poço de potencial b O elétron que está inicialmente no estado fundamental pode absorver luz com um comprimento de onda λ 200 nm Se a 1 2 3 resposta for afirmativa qual é a energia do elétron após a absorção IDEIASCHAVE No item a determinamos que uma luz com um comprimento de onda de 294 nm fornecia ao elétron a energia mínima necessária para que escapasse do poço de potencial Estamos agora considerando uma luz com um comprimento de onda menor 200 nm e portanto uma energia maior por fóton hf hcλ Isso significa que o fóton pode absorver luz com o comprimento de onda dado A absorção de energia não só liberta o elétron mas faz com que ele deixe o poço com certa energia cinética como o elétron não está mais confinado sua energia não é quantizada e portanto não existem restrições quanto à energia cinética Energia excedente A energia transferida para o elétron é a energia do fóton De acordo com o item a a energia mínima necessária para libertar o elétron do poço de potencial é U0 E1 423 eV O restante dos 622 eV de energia absorvida é convertido em energia cinética Assim a energia cinética do elétron depois de escapar do poço é 394 POÇOS DE POTENCIAL BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3927 Saber que nanocristais podem se comportar como poços de potencial e explicar a relação entre os comprimentos de onda permitidos e a cor dos nanocristais 3928 Saber o que são pontos quânticos e currais quânticos 3929 Para um dado estado de um elétron em um poço de potencial infinito bidimensional ou tridimensional escrever as equações da função de onda e da densidade de probabilidade e calcular a probabilidade de detecção para um dado intervalo no interior do poço 3930 Calcular as energias permitidas para um elétron em um poço de potencial bidimensional ou tridimensional infinito e desenhar um diagrama de níveis de energia mostrando o estado fundamental e alguns estados excitados com os números quânticos indicados 3931 Saber o que são estados degenerados 3932 Calcular a energia que um elétron deve absorver ou emitir para sofrer uma transição entre os estados de energia de um poço de potencial bidimensional ou tridimensional 3933 Se um salto quântico de um elétron entre os níveis de energia de um poço de potencial bidimensional ou tridimensional envolve um fóton conhecer a relação entre a variação de energia do elétron e a frequência e o comprimento de onda do fóton IdeiasChave As energias quantizadas de um elétron confinado em um poço bidimensional infinito retangular são dadas por em que nx e ny são os números quânticos e Lx e Ly são as dimensões do poço As funções de onda de um elétron em um poço bidimensional infinito são dadas por Outros Poços de Potencial para Elétrons Vamos discutir agora três tipos de poços de potencial artificiais para elétrons Extraída de Scientific American January 1993 página 119 Foto reproduzida com permissão de Michael Steigerwald Figura 3910 Duas amostras de seleneto de cádmio um semicondutor diferem apenas quanto ao tamanho das partículas que formam o pó Cada partícula se comporta como uma armadilha eletrônica A amostra de baixo possui partículas grandes e portanto a distância entre os níveis é pequena e apenas os fótons correspondentes à luz vermelha não são absorvidos Como a luz não absorvida é espalhada a amostra apresenta um tom avermelhado Na amostra de cima que possui partículas menores a distância entre os níveis é maior e outros comprimentos de onda não são absorvidos o que faz a amostra adquirir uma tonalidade amarela Nanocristais Talvez a forma mais direta de construir poços de energia potencial em laboratório seja preparar uma amostra de um material semicondutor em forma de pó cujas partículas sejam pequenas da ordem de nanômetros e de tamanho uniforme Cada uma dessas partículas ou nanocristais se comporta como um poço de potencial para os elétrons aprisionados no interior De acordo com a Eq 394 E h2n28mL2 podemos aumentar os valores dos níveis de energia de um elétron aprisionado em um poço infinito diminuindo a largura L do poço Isso também aumenta a energia dos fótons que o elétron pode absorver e reduz os comprimentos de onda correspondentes Esses resultados também se aplicam a poços formados por nanocristais Um nanocristal pode absorver fótons com uma energia maior que certo limiar Et hft e portanto com um comprimento de onda menor que um certo limiar λt dado por Ondas luminosas com um comprimento de onda maior que λt são espalhadas pelo nanocristal em vez de serem absorvidas A cor do nanocristal é determinada pelos comprimentos de onda presentes na luz espalhada Quando reduzimos o tamanho do nanocristal o valor de Et aumenta o valor de λt diminui e alguns comprimentos de onda que eram absorvidos passam a ser espalhados o que modifica a cor do nanocristal Assim por exemplo na Fig 3910 encontramos duas amostras do semicondutor seleneto de cádmio ambas formadas por um pó de nanocristais de tamanho uniforme A amostra de baixo espalha a luz da extremidade vermelha do espectro A única diferença entre a amostra de baixo e a amostra de cima é que o tamanho dos nanocristais é menor na amostra de cima Por essa razão o limiar de energia Et é maior portanto de acordo com a equação anterior o limiar de comprimento de onda λt é menor na região do verde do espectro da luz visível Isso significa que a amostra de cima espalha tanto a luz vermelha como a amarela Como a componente amarela tem maior luminosidade a cor da amostra é dominada pelo amarelo A diferença de cor entre as duas amostras é uma prova palpável da quantização da energia dos elétrons confinados e da variação das energias com a largura do poço de potencial Pontos Quânticos As técnicas altamente sofisticadas usadas para fabricar microcircuitos para computadores podem ser usadas para construir átomo por átomo poços de energia potencial que se comportam sob vários aspectos como átomos artificiais Esses pontos quânticos como são chamados talvez venham a ser usados um dia na ótica eletrônica e em circuitos de computadores Em um desses arranjos fabricase um sanduíche no qual uma fina camada de material semicondutor mostrada em roxo na Fig 3911a é depositada entre duas camadas isolantes uma das quais é muito mais fina que a outra Contatos metálicos são depositados nas duas extremidades Os materiais são escolhidos de modo a assegurar que a energia potencial de um elétron na camada central seja menor que nas camadas isolantes o que faz com que a camada central se comporte como um poço de energia potencial A Fig 3911b é a fotografia de um ponto quântico real o poço no qual os elétrons podem ser confinados é a região roxa A camada isolante inferior da Fig 3911a mas não a superior é tão estreita que elétrons podem atravessála por efeito túnel se uma diferença de potencial apropriada for aplicada às extremidades do dispositivo o que permite aumentar ou diminuir o número de elétrons confinados no poço O arranjo se comporta como um átomo artificial cujo número de elétrons pode ser controlado Os pontos quânticos podem ser fabricados em redes bidimensionais que talvez venham a ser a base de sistemas de computação de grande velocidade e capacidade de armazenamento Currais Quânticos Quando um microscópio de tunelamento veja o Módulo 389 está operando a ponta exerce uma pequena força sobre átomos isolados que se projetam de uma superfície lisa Manipulando a posição da ponta é possível arrastar os átomos e depositálos em locais escolhidos Usando essa técnica os cientistas do Almaden Research Center da IBM movimentaram átomos de ferro em uma superfície de cobre até que formassem um círculo que recebeu o nome de curral quântico Fig 3912 Cada átomo de ferro do círculo foi encaixado em uma depressão da rede cristalina do cobre em uma posição equidistante dos três átomos de cobre mais próximos O curral foi fabricado em baixa temperatura cerca de 4 K para diminuir a tendência dos átomos de ferro de se deslocarem aleatoriamente na superfície devido à agitação térmica Figura 3911 Um ponto quântico ou átomo artificial a A camada semicondutora central forma um poço de energia potencial no qual o elétron é confinado A camada isolante de baixo é suficientemente estreita para permitir que elétrons sejam introduzidos ou retirados da camada central por tunelamento quando uma tensão apropriada é aplicada aos terminais do dispositivo b Fotografia de um ponto quântico real A faixa roxa central é a região onde os elétrons são confinados Extraída de M F Crommie C P Lutz e D M Eigler Science 262 218 1993 Reproduzida com permissão da AAAS Figura 3912 Quatro estágios da construção de um curral quântico Observe a formação de ondulações no interior do curral produzidas por elétrons confinados nos estágios finais de construção do curral As ondulações no interior do curral se devem a ondas de matéria associadas a elétrons que podem se mover na superfície do cobre mas estão confinados pela barreira de potencial produzida pelos átomos de ferro As dimensões das ondulações estão perfeitamente de acordo com as previsões teóricas Poços de Potencial Bidimensionais e Tridimensionais No próximo módulo vamos discutir o átomo de hidrogênio como um poço de potencial tridimensional finito Como preparação para esse estudo vamos estender nossa discussão de poços de potencial infinitos a duas e três dimensões Figura 3913 Um curral retangular a versão bidimensional do poço de potencial infinito da Fig 392 de dimensões Lx e Ly Curral Retangular A Fig 3913 mostra a região retangular à qual um elétron é confinado por uma versão bidimensional da barreira de potencial da Fig 392 um poço de potencial infinito bidimensional de dimensões Lx e Ly Um poço desse tipo é conhecido como curral retangular O curral pode estar na superfície de um objeto que de alguma forma impede que o elétron se mova paralelamente ao eixo z e deixe a superfície O leitor deve imaginar barreiras de potencial infinitas como Ux da Fig 392 paralelas aos planos xz e yz que mantêm o elétron no interior do curral Assim como a onda de matéria de um elétron confinado em um poço unidimensional deve ser nula nas extremidades do poço a onda de matéria que representa a solução da equação de Schrödinger para um elétron confinado em um curral bidimensional deve ser nula nas extremidades do curral nas duas dimensões Isso significa que a onda deve ser quantizada separadamente ao longo do eixo x e do eixo y Seja nx o número quântico associado ao eixo x e seja ny o número quântico associado ao eixo y Assim como no caso do poço de potencial unidimensional esses números quânticos são números inteiros positivos Podemos então generalizar as Eqs 3910 e 3917 para escrever a seguinte função de onda normalizada A energia do elétron depende dos dois números quânticos e é a soma da energia que o elétron teria se estivesse confinado apenas na direção do eixo x com a energia que teria se estivesse confinado apenas na direção do eixo y De acordo com a Eq 394 essa soma é dada por A excitação de um elétron por absorção de um fóton e o decaimento de um elétron por emissão de um fóton obedecem às mesmas regras que no caso unidimensional a diferença é que no caso do curral bidimensional a energia de cada estado depende de dois números quânticos nx e ny em vez de apenas um n Dependendo dos valores de Lx e Ly estados com valores diferentes de nx e ny podem ter a mesma energia Nesse caso dizemos que os estados são degenerados Figura 3914 Uma caixa retangular a versão tridimensional do poço de potencial infinito da Fig 392 de dimensões Lx Ly e Lz Caixa Retangular Um elétron também pode ser confinado em um poço de potencial infinito tridimensional ou seja em uma caixa Se a caixa tem a forma de um paralelepípedo retângulo como na Fig 3914 a solução da equação de Schrödinger mostra que as energias possíveis do elétron são dadas por em que nz é um terceiro número quântico associado ao eixo z Teste 4 Na notação da Eq 3920 a energia do estado fundamental do elétron em uma caixa retangular bidimensional é E00 E10 E01 ou E11 Exemplo 3905 Níveis de energia de um poço de potencial bidimensional infinito Um elétron é confinado em um curral quadrado que é um poço de potencial retangular bidimensional infinito Fig 3913 de lado Lx Ly a Determine a energia dos cinco primeiros níveis eletrônicos e use os resultados para construir um diagrama de níveis de energia IDEIACHAVE Os níveis de energia de um elétron confinado em um poço bidimensional retangular infinito são dados pela Eq 3920 segundo a qual a energia depende de dois números quânticos nx e ny Níveis de energia Como o poço é quadrado podemos fazer Lx Ly L Assim a Eq 3920 se torna Os estados de menor energia correspondem a valores pequenos dos números quânticos nx e ny que são números inteiros positivos Substituindo esses números inteiros na Eq 3922 começando pelo menor que é 1 obtemos os valores de energia que aparecem na Tabela 391 Observe que vários pares de números quânticos nxny correspondem à mesma energia Assim por exemplo os estados 1 2 e 2 1 correspondem a uma energia de 5h28mL2 Esses estados são degenerados Observe também que ao contrário do que pode parecer à primeira vista a energia dos estados 4 1 e 1 4 é menor que a do estado 3 3 Tabela 391 Níveis de Energia nx ny Energiaa nx ny Energiaa 1 3 10 2 4 20 3 1 10 4 2 20 2 2 8 3 3 18 1 2 5 1 4 17 2 1 5 4 1 17 1 1 2 2 3 13 3 2 13 a Em múltiplos de h28mL2 A partir da Tabela 391 prestando atenção nos estados degenerados podemos construir o diagrama de níveis de energia da Fig 3915 b Qual é a diferença de energia entre o estado fundamental e o terceiro estado excitado do elétron em múltiplos de h28mL2 Diferença de energia De acordo com a Fig 3915 o estado fundamental é o estado 1 1 com uma energia de 2h28mL2 O terceiro estado excitado o terceiro estado de baixo para cima sem contar o estado fundamental no diagrama de níveis de energia é o estado degenerado 1 3 e 3 1 com uma energia de 10h28mL2 A diferença ΔE entre os dois estados é Figura 3915 Diagrama de níveis de energia de um elétron confinado em um curral quadrado 395 O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3934 Conhecer o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio e explicar de que forma Bohr calculou a quantização do raio e energia do elétron 3935 Para um dado número quântico n do modelo de Bohr calcular o raio orbital a energia cinética a energia potencial a energia total a frequência orbital o momento linear e o momento angular do elétron 3936 Conhecer as diferenças entre o modelo de Bohr e o modelo de Schrödinger do átomo de hidrogênio como por exemplo a diferença entre os valores permitidos do momento angular 3937 Conhecer a relação entre as energias permitidas En e o número quântico n no caso do átomo de hidrogênio 3938 No caso de um salto quântico do elétron em um átomo de hidrogênio entre níveis quantizados ou entre um nível quantizado e um estado não quantizado calcular a variação de energia e se a luz estiver envolvida calcular a energia a frequência o comprimento de onda e o momento do fóton 3939 Desenhar o diagrama de níveis de energia do átomo de hidrogênio indicando o estado fundamental alguns estados excitados a região não quantizada a série de Paschen a série de Balmer e a série de Lyman incluindo o limite de cada série 3940 Para cada série de transições do átomo de hidrogênio indicar os saltos quânticos que correspondem ao maior comprimento de onda ao menor comprimento de onda para transições de emissão ao limite da série e à ionização do átomo 3941 Fazer uma lista de números quânticos do átomo de hidrogênio e indicar os valores permitidos 3942 Dada a função de onda normalizada correspondente a um estado determinar a densidade de probabilidade radial Pr e a probabilidade de que o elétron seja detectado em um determinado intervalo de distâncias do núcleo 3943 Desenhar um gráfico da densidade de probabilidade radial em função da distância do núcleo para o estado fundamental do átomo de hidrogênio e indicar a distância correspondente ao raio de Bohr 3944 Mostrar que qualquer função de onda do átomo de hidrogênio satisfaz a equação de Schrödinger 3945 Saber a diferença entre uma camada e uma subcamada do átomo de hidrogênio 3946 Explicar o que é um gráfico de pontos da densidade de probabilidade IdeiasChave O modelo de Bohr do átomo de hidrogênio permitiu calcular corretamente os níveis de energia do átomo e explicar os espectros de emissão e absorção mas é incorreto em quase todos os outros aspectos O modelo de Bohr é um modelo planetário no qual o elétron gira em torno do próton com um momento angular L cujos valores possíveis são dados por L nħ para n 1 2 3 em que n é um número quântico O valor L é incorretamente descartado A aplicação da equação de Schrödinger ao átomo de hidrogênio fornece os valores corretos de L e das energias permitidas A energia do átomo ou do elétron do átomo só pode mudar por meio de saltos quânticos entre as energias permitidas Se o salto quântico envolve a absorção de um fóton que aumenta a energia do átomo ou a emissão de um fóton que diminui a energia do átomo essa restrição às mudanças de energia leva à equação para o comprimento de onda λ da luz em que R é a constante de Rydberg A densidade de probabilidade radial Pr para um estado do átomo de hidrogênio é a probabilidade de que um elétron seja detectado no espaço entre duas cascas esféricas de raios r e r 1 dr com o centro na posição do núcleo A normalização das funções de onda radiais do átomo de hidrogênio é definida pela condição A probabilidade de que o elétron do átomo de hidrogênio seja detectado entre duas distâncias do núcleo r1 e r2 é dada por O Átomo de Hidrogênio É um Poço de Potencial para o Elétron Agora vamos passar dos poços de potencial artificiais ou fictícios para um poço de potencial natural o átomo Neste capítulo vamos nos restringir ao átomo mais simples de todos o átomo de hidrogênio formado por um elétron associado eletricamente a um próton que no caso é o núcleo do átomo Como a massa do próton é muito maior que a do elétron podemos supor que o próton ocupa uma posição fixa e o elétron não pode se afastar de suas vizinhanças Em outras palavras o próton cria um poço de potencial para o elétron mantendoo confinado Como vimos qualquer tipo de confinamento faz com que a energia E do elétron seja quantizada o que também se aplica a qualquer variação ΔE da energia Neste módulo estamos interessados em calcular as energias quantizadas do elétron do átomo de hidrogênio Deveríamos pelo menos em princípio aplicar a equação de Shrödinger ao átomo de hidrogênio para determinar as energias e as funções de onda associadas Entretanto vamos fazer uma digressão histórica que poderá ser omitida a critério do seu professor para ver como a questão do átomo de hidrogênio foi tratada nos primórdios da física quântica quando a quantização era considerada um conceito revolucionário O Modelo de Bohr do Átomo de Hidrogênio Um Golpe de Sorte No início da década de 1900 os cientistas sabiam que a matéria era composta de pequenas entidades chamadas átomos sabiam também que o átomo de hidrogênio possuía uma carga positiva 1e no centro e uma carga negativa 2e fora do centro Entretanto ninguém era capaz de explicar por que a atração elétrica entre o elétron e a carga positiva não fazia as duas partículas colidirem Comprimentos de Onda da Luz Uma coisa que os cientistas sabiam era que o átomo de hidrogênio podia emitir e absorver apenas quatro comprimentos de onda na faixa da luz visível 656 nm 486 nm 434 nm e 410 nm Por que o átomo de hidrogênio não era capaz de emitir e absorver qualquer comprimento de onda como acontece por exemplo no caso de um corpo negro Em 1913 Niels Bohr teve uma ideia original que explicou não só os quatro comprimentos de onda mas também a estabilidade do átomo de hidrogênio Infelizmente a teoria de Bohr se revelou incorreta a longo prazo e não foi capaz de descrever o comportamento de átomos mais complexos que o átomo de hidrogênio Mesmo assim o modelo de Bohr é historicamente importante já que lançou as bases da teoria quântica do átomo Hipóteses Para construir seu modelo Bohr lançou mão de duas hipóteses ousadas totalmente arbitrárias 1 O elétron do átomo de hidrogênio gira em torno do núcleo em uma órbita circular do mesmo modo como os planetas giram em torno do Sol Fig 3916a 2 O módulo do momento angular L do elétron pode assumir apenas os valores em que ħ h cortado é igual a h2π e n é um número positivo um número quântico Vamos usar as hipóteses de Bohr para obter as energias quantizadas do átomo de hidrogênio mas é preciso deixar bem claro que o elétron não é simplesmente uma partícula que gira em órbita em torno do núcleo e a Eq 39 23 não está totalmente correta Por exemplo o valor L 0 que deveria ser incluído está ausente A Segunda Lei de Newton No modelo orbital da Fig 3916a o elétron descreve um movimento circular em torno do próton e portanto experimenta uma força centrípeta Fig 3916b que produz uma aceleração centrípeta A força é a atração eletrostática Eq 214 entre o elétron de carga e e o próton de carga e que estão separados pelo raio orbital r O módulo da aceleração centrípeta é a v2r Eq 434 em que v é a velocidade do elétron De acordo com a segunda lei de Newton F ma o que nos dá em que m é a massa do elétron Vamos agora introduzir a quantização usando a hipótese de Bohr expressa pela Eq 3923 De acordo com a Eq 1119 o módulo ℓ do momento angular de uma partícula de massa m e velocidade v que se move em uma circunferência de raio r é dado por ℓ rmv sen ϕ em que ϕ o ângulo entre e é 90 Substituindo L na Eq 3923 por rmv sen 90 obtemos rmv nħ ou Substituindo v pelo seu valor dado pela Eq 3924 na Eq 3925 substituindo ħ por h2π e explicitando r obtemos A Eq 3926 pode ser escrita na forma em que De acordo com as últimas três equações no modelo de Bohr do átomo de hidrogênio o raio orbital r do elétron é quantizado e o menor raio possível correspondente a n 1 é a hoje conhecido como raio de Bohr Segundo o modelo de Bohr o elétron não pode se aproximar do núcleo a uma distância menor que o raio orbital a e é por isso que o elétron não colide com o núcleo A Energia Orbital É Quantizada Vamos agora calcular a energia do átomo de hidrogênio no modelo de Bohr O elétron possui uma energia cinética K mv22 e o sistema elétronnúcleo tem uma energia potencial elétrica U q1q24πε0r Eq 24 46 em que q1 é a carga e do elétron e q2 é a carga e do próton A energia mecânica total é Explicitando mv2 na Eq 3924 e substituindo o resultado na Eq 3929 obtemos Figura 3916 a Órbita circular de um elétron no modelo de Bohr do átomo de hidrogênio b A força eletrostática a que o elétron está submetido aponta na direção do núcleo Substituindo r por seu valor dado pela Eq 3926 obtemos em que o símbolo E foi substituído por En para indicar que a energia depende do valor de n Bohr usou a Eq 3931 para obter os valores corretos dos comprimentos de onda da luz visível emitidos e absorvidos pelo átomo de hidrogênio Antes de discutir o cálculo dos comprimentos de onda vamos examinar o modelo correto do átomo de hidrogênio A Equação de Schrödinger e o Átomo de Hidrogênio No modelo de Schrödinger do átomo de hidrogênio o elétron de carga e está confinado em um poço de energia potencial produzido pela atração eletrostática do próton de carga e situado no centro do átomo De acordo com a Eq 2446 a energia potencial é dada por Como o poço de potencial descrito pela Eq 3932 é tridimensional é mais complexo que os poços unidimensionais e bidimensionais discutidos até agora Como é finito é mais complexo que o poço tridimensional da Fig 3914 Além disso não tem limites claramente definidos a profundidade varia com a distância radial r A Fig 3917 é possivelmente o melhor que podemos fazer para representar graficamente o poço de potencial do átomo de hidrogênio mas mesmo esse desenho é difícil de interpretar Para calcular as energias permitidas e as funções de onda de um elétron confinado em um poço de potencial dado pela Eq 3932 precisamos resolver a equação de Schrödinger Depois de algumas manipulações descobrimos que é possível separar a equação em três equações diferenciais independentes duas que dependem de ângulos e uma que depende da distância radial r A solução da equação radial leva a um número quântico n e nos dá as energias permitidas En do elétron A Eq 3933 é exatamente igual à equação que Bohr obteve usando um modelo planetário incorreto para o átomo do hidrogênio Introduzindo os valores das constantes na Eq 3933 obtemos De acordo com a Eq 3934 a energia En do átomo de hidrogênio é quantizada ou seja pode assumir apenas certos valores já que depende do número quântico n Como estamos supondo que o núcleo se mantém fixo e apenas o elétron se move podemos associar os valores de energia dados pela Eq 3934 ao átomo como um todo ou apenas ao elétron Figura 3917 Energia potencial U de um átomo de hidrogênio em função da distância r entre o elétron e o próton O gráfico foi desenhado duas vezes à esquerda e à direita da origem para dar ideia da simetria esférica do poço de potencial tridimensional no qual o elétron está confinado Mudanças de Energia Quando um átomo de hidrogênio emite ou absorve luz a energia do átomo sofre uma mudança Como vimos várias vezes neste capítulo a emissão ou absorção de luz só é possível se em que f é a frequência da luz e Ealta e Ebaixa são duas energias permitidas Vamos fazer três modificações na Eq 3935 No lado esquerdo substituímos f por ψλ No lado direito usamos a Eq 3933 duas vezes para substituir as energias por seus valores em termos do número quântico n Colocando as constantes em evidência obtemos A Eq 3936 pode ser escrita na forma em que é hoje conhecida como constante de Rydberg Fazendo nbaixo 2 na Eq 3936 e limitando os valores de nalto a 3 4 e 6 obtemos o valor dos quatro comprimentos de onda da luz visível que o átomo de hidrogênio é capaz de emitir ou absorver 656 nm 486 nm 434 nm e 410 nm O Espectro do Átomo de Hidrogênio A Fig 3918a mostra os níveis de energia correspondentes a vários valores de n na Eq 3934 O nível mais baixo para n 1 é o estado fundamental do átomo de hidrogênio Os outros níveis correspondem a estados excitados como no caso dos poços de potencial mais simples que foram discutidos no início do capítulo Existem porém algumas diferenças 1 Os níveis de energia agora têm valores negativos em vez dos valores positivos que aparecem por exemplo nas Figs 393 e 399 2 A diferença de energia entre os níveis agora é menor para maiores valores da energia 3 A energia limite para grandes valores de n agora é E 0 Para qualquer energia maior que 0 o elétron e o próton se tornam independentes o átomo de hidrogênio deixa de existir e a região em que E 0 na Fig 3918a se parece com a parte não quantizada do poço de potencial finito da Fig 399 Um átomo de hidrogênio pode mudar de nível de energia emitindo ou absorvendo um fóton de luz com um dos comprimentos de onda dados pela Eq 3936 Esses comprimentos de onda são chamados de linhas por causa da forma como são detectados com um espectroscópio assim um átomo de hidrogênio possui linhas de emissão e linhas de absorção O conjunto dessas linhas é chamado de espectro do átomo de hidrogênio Séries As linhas do espectro do hidrogênio são divididas em séries de acordo com o estado inicial das transições de absorção de fótons ou o estado final das transições de emissão de fótons Assim por exemplo as linhas de absorção que começam no nível n 1 e as linhas de emissão que terminam no nível n 1 pertencem à chamada série de Lyman Fig 3918b que recebeu o nome em homenagem ao cientista que primeiro estudou essas linhas Podemos dizer que o nível de base da série de Lyman do espectro do hidrogênio é o nível n 1 Da mesma forma o nível de base da série de Balmer Fig 39 18ψ é o nível n 2 e o nível de base da série de Paschen Fig 3918d é o nível n 3 Alguns dos saltos quânticos de emissão para estas três séries aparecem na Fig 3918 Quatro linhas da série de Balmer estão na faixa da luz visível e estão representadas na Fig 3918c por setas coloridas A seta mais curta representa o menor salto do nível n 3 para o nível n 2 que envolve a menor variação da energia do elétron e a menor energia do fóton emitido a cor correspondente é o vermelho O salto seguinte da série do nível n 4 para o nível n 2 é mais longo a energia do fóton é maior o comprimento de onda da luz emitida é menor e a cor correspondente é o verde A terceira quarta e quinta linhas representam saltos mais longos e comprimentos de onda menores No caso do quinto salto a luz emitida está na faixa do ultravioleta e portanto não é visível Figura 3918 a Diagrama de níveis de energia do átomo de hidrogênio b Transições da série de Lyman c Transições da série de Balmer d Transições da série de Paschen Para cada série são mostradas apenas as linhas correspondentes aos quatro maiores comprimentos de onda e ao comprimento de onda limite da série Qualquer comprimento de onda menor que o comprimento de onda limite da série é permitido O limite da série é a linha produzida por um salto entre o nível de base e o nível mais alto da série associado ao número quântico n Isso significa que o comprimento de onda correspondente ao limite da série é o menor comprimento de onda da série Se a energia do fóton absorvido é tão grande que o salto ocorre para a região não quantizada da Fig 3918 a energia do elétron deixa de ser dada pela Eq 3934 porque o elétron se separa do núcleo Em outras palavras o átomo de hidrogênio fica ionizado com um número de elétrons diferente do número de cargas positivas do núcleo Para ionizar um átomo é preciso fornecer a um elétron uma energia maior que o limite da série à qual pertence Quando se separa do núcleo um elétron conserva apenas a energia cinética K mv22 para velocidades não relativísticas Números Quânticos do Átomo de Hidrogênio Embora as energias dos estados do átomo de hidrogênio possam ser descritas por um único número quântico n as funções de onda que descrevem esses estados exigem três números quânticos correspondentes às três dimensões nas quais um elétron pode se mover Os três números quânticos juntamente com seus nomes e os valores que podem assumir aparecem na Tabela 392 Cada conjunto de números quânticos n ℓ mℓ identifica a função de onda de um estado quântico diferente O número quântico n que é chamado de número quântico principal aparece na Eq 3934 usada para calcular a energia do estado O número quântico orbital ℓ é uma medida do módulo do momento angular orbital associado ao estado quântico O número quântico magnético orbital mℓ está relacionado à orientação no espaço do vetor momento angular As restrições quanto aos valores dos números quânticos do átomo de hidrogênio que aparecem na Tabela 392 não são arbitrárias mas surgem naturalmente da solução da equação de Schrödinger Observe que no estado fundamental n 1 as restrições são tais que ℓ 0 e mℓ 0 Isso significa que o momento angular do átomo de hidrogênio no estado fundamental é zero em discordância com a Eq 3923 do modelo de Bohr Teste 5 a Existe um grupo de estados quânticos do átomo de hidrogênio com n 5 Quantos valores de ℓ são possíveis para os estados desse grupo b Existe um subgrupo de estados do átomo de hidrogênio do grupo n 5 com ℓ 3 Quantos valores de mℓ são possíveis para os estados desse subgrupo A Função de Onda do Estado Fundamental do Átomo de Hidrogênio A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio obtida resolvendo a equação de Schrödinger tridimensional e normalizando o resultado é a seguinte Tabela 392 Números Quânticos do Átomo de Hidrogênio Símbolo Nome Valores Permitidos n Número quântico principal 1 2 3 ℓ Número quântico orbital 0 1 2 n 1 ml Número quântico magnético orbital ℓ ℓ 1 ℓ 1 ℓ em que a 5291 772 1011 m é o raio de Bohr Essa constante é considerada de modo um tanto impróprio como o raio efetivo do átomo de hidrogênio e constitui uma unidade de comprimento conveniente para outras situações que envolvem dimensões atômicas Como acontece com outras funções de onda a função ψr da Eq 3939 não tem significado físico o que tem significado físico é a função ψ2r que pode ser interpretada como a probabilidade por unidade de volume de que o elétron seja detectado Mais especificamente ψ2rdV é a probabilidade de que o elétron seja detectado em um elemento de volume infinitesimal dV situado a uma distância r do centro do átomo Como ψ2r depende apenas de r faz sentido escolher como elemento de volume dV o volume entre duas cascas concêntricas cujos raios são r e r dr Nesse caso o elemento de volume dV é dado por em que 4πr2 é a área da casca interna e dr é a distância radial entre as duas cascas Combinando as Eqs 3939 3940 e 3941 obtemos É mais fácil determinar a probabilidade de detecção do elétron se trabalharmos com a densidade de probabilidade radial Pr em vez da densidade de probabilidade volumétrica ψ2r A densidade de probabilidade radial é uma densidade de probabilidade linear tal que ou De acordo com as Eqs 3942 e 3943 temos Para calcular a probabilidade de que um elétron que está no estado fundamental do átomo de hidrogênio seja detectado no intervalo entre os raios r1 e r2 ou seja no espaço entre duas cascas esféricas de raios r1 e r2 integramos a Eq 3944 do raio menor até o raio menor Se o intervalo radial Δr r2 r1 no qual procuramos o elétron for suficientemente pequeno para que Pr não varie muito no intervalo podemos substituir a integral da Eq 3945 pelo produto Pr Δr em que o valor de Pr é calculado no centro do intervalo Δr A Fig 3919 mostra o gráfico de Pr dada pela Eq 3944 em função de r A área sob a curva é unitária ou seja A Eq 3946 estabelece simplesmente que em um átomo de hidrogênio o elétron deve ser encontrado em algum lugar do espaço em torno do núcleo Figura 3919 Gráfico da densidade de probabilidade radial Pr em função de r para o estado fundamental do átomo de hidrogênio O triângulo está a uma distância da origem igual ao raio de Bohr a origem representa o centro do átomo O pequeno triângulo no eixo horizontal da Fig 3919 está a uma distância da origem igual ao raio de Bohr De acordo com a figura no estado fundamental do átomo de hidrogênio essa é a localização mais provável do elétron Existe uma grande diferença entre a Fig 3919 e a visão popular de que os elétrons dos átomos possuem órbitas bem definidas como as dos planetas em torno do Sol Essa visão embora muito difundida é totalmente errônea A Fig 3919 mostra tudo que podemos saber a respeito da localização do elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio A pergunta correta a fazer não é Quando o elétron estará nesta ou naquela posição e sim Qual é a probabilidade de que o elétron seja detectado em um pequeno volume situado nesta ou naquela posição A Fig 3920 mostra um tipo de gráfico conhecido como gráfico de pontos que dá uma ideia da natureza probabilística da função de onda A densidade de pontos representa a densidade de probabilidade de detecção do elétron Pense no elétron do átomo de hidrogênio no estado fundamental como uma esfera difusa de carga negativa sem órbitas visíveis Não é fácil para um principiante adotar essa visão probabilística das partículas subatômicas A dificuldade está no impulso natural de imaginar o elétron como uma bolinha que se move em uma trajetória bem definida os elétrons e outras partículas subatômicas simplesmente não se comportam desse modo A energia do estado fundamental que é obtida fazendo n 1 na Eq 3934 é E1 1360 eV A função de onda da Eq 3939 é obtida resolvendo a equação de Schrödinger para esse valor da energia Na verdade é possível encontrar uma solução da equação de Schrödinger para qualquer valor de energia como por exemplo E 116 eV ou 143 eV Isso pode dar a impressão de que as energias dos estados do átomo de hidrogênio não são quantizadas o que estaria em desacordo com as observações experimentais A questão foi esclarecida quando os físicos perceberam que essas soluções da equação de Schrödinger não são fisicamente aceitáveis porque divergem para r De acordo com essas funções de onda a probabilidade de detectar o elétron aumenta sem limite à medida que nos afastamos do núcleo o que não faz sentido Os cientistas se livram dessas soluções indesejáveis impondo uma chamada condição de contorno segundo a qual apenas são aceitáveis as soluções da equação de Schrödinger para as quais ψr 0 para r ou seja as soluções para as quais o elétron está confinado Com essa restrição as soluções da equação de Schrödinger formam um conjunto discreto com energias quantizadas dadas pela Eq 3934 Figura 3920 Gráfico de pontos que mostra a densidade de probabilidade ψ2r e não a densidade de probabilidade radial Pr para o estado fundamental do átomo de hidrogênio A densidade de pontos diminui exponencialmente com a distância do núcleo que está representado por um pequeno círculo no centro da figura Figura 3921 Gráfico de pontos que mostra a densidade de probabilidade ψ2r para o átomo de hidrogênio no estado n 2 ℓ 0 e mℓ 5 0 O gráfico apresenta simetria esférica em relação ao núcleo O espaço vazio entre os dois conjuntos de pontos revela a presença de uma superfície esférica na qual ψ2r 0 Estados do Átomo de Hidrogênio com n 2 De acordo com a Tabela 392 existem quatro estados do átomo de hidrogênio com n 2 os números quânticos desses estados aparecem na Tabela 393 Considere primeiro o estado com n 2 e ℓ mℓ 0 a densidade de probabilidade para esse estado está representada pelo gráfico de pontos da Fig 3921 Observe que esse gráfico como o gráfico para o estado fundamental da Fig 3920 tem simetria esférica Em outras palavras em um sistema de coordenadas esféricas como o da Fig 3922 a função densidade de probabilidade é independente das coordenadas angulares θ e ϕ e só depende da coordenada radial r Na verdade todos os estados quânticos com ℓ 0 têm funções de onda com simetria esférica Isso é razoável já que o número quântico ℓ é uma medida do momento angular associado ao estado Quando ℓ 0 o momento angular também é zero e portanto a densidade de probabilidade associada ao estado não pode ter uma direção preferencial Figura 3922 Relação entre as coordenadas x y e z de um sistema de coordenadas retangulares e as coordenadas r θ e ψ de um sistema de coordenadas esféricas O segundo é mais apropriado para analisar sistemas que envolvem simetria esférica como o átomo de hidrogênio Tabela 393 Números Quânticos dos Estados do Átomo de Hidrogênio com n 2 n ℓ mℓ 2 0 0 2 1 1 2 1 0 2 1 1 Figura 3923 Gráficos de pontos da densidade de probabilidade ψ2rθ para o átomo de hidrogênio em estados com n 2 e ℓ 1 a Gráfico para mℓ 0 b Gráfico para mℓ 1 e mℓ 1 Nos dois casos a densidade de probabilidade é simétrica em relação ao eixo z A Fig 3923 mostra os gráficos de pontos dos três estados com n 2 e ℓ 1 As densidades de probabilidade para os estados com mℓ 1 e mℓ 1 são iguais Embora sejam simétricos em relação ao eixo z os gráficos não têm simetria esférica já que as densidades de probabilidade associadas aos três estados dependem tanto de r como da coordenada angular θ A essa altura o leitor deve estar se perguntando Se a energia potencial do átomo de hidrogênio tem simetria esférica como é possível existir um eixo de simetria para as funções de onda como o eixo z da Fig 3923 A explicação surge naturalmente quando nos damos conta de que os três estados representados na Fig 3923 têm a mesma energia Lembrese de que a energia de um estado fornecida pela Eq 3933 não depende de ℓ e mℓ mas apenas do número quântico principal n Na verdade em um átomo de hidrogênio isolado não é possível distinguir experimentalmente os três estados da Fig 3923 Quando somamos as densidades de probabilidade dos três estados com n 2 e ℓ 1 obtemos uma densidade de probabilidade com simetria esférica ou seja o eixo de simetria deixa de existir Podemos imaginar que o elétron passa um terço do tempo em cada um dos três estados da Fig 3923 e que a soma das três funções de onda define uma subcamada de simetria esférica definida pelos números quânticos n 2 e ℓ 1 Os estados associados a diferentes valores de mℓ só se manifestam separadamente quando o átomo de hidrogênio é submetido a um campo elétrico ou magnético externo Nesse caso os três estados que formam a subcamada passam a ter diferentes energias e o eixo de simetria é estabelecido pela direção do campo externo O estado n 2 ℓ 0 cuja densidade de probabilidade aparece na Fig 3921 também possui a mesma energia que os três estados da Fig 3923 Podemos dizer que os quatro estados cujos números quânticos aparecem na Tabela 393 formam uma camada com simetria esférica especificada pelo número quântico n A importância das camadas e subcamadas se tornará evidente no Capítulo 40 quando discutirmos os átomos com mais de um elétron Para completar nossa imagem do átomo de hidrogênio apresentamos na Fig 3924 um gráfico de pontos da densidade de probabilidade radial para um estado do átomo de hidrogênio com um número quântico relativamente grande n 45 e o maior número quântico orbital possível de acordo com as restrições da Tabela 392 ℓ n 1 44 A densidade de probabilidade forma um anel que é simétrico em relação ao eixo z e está muito próximo do plano xy O raio médio do anel é n2a em que a é o raio de Bohr Esse raio médio é mais de 2000 vezes maior que o raio efetivo do átomo de hidrogênio no estado fundamental O gráfico da Fig 3924 lembra a órbita dos elétrons na física clássica e a órbita dos planetas em torno do Sol Temos aqui mais uma ilustração do princípio de correspondência de Bohr segundo o qual os resultados da mecânica quântica tendem para os resultados na mecânica clássica quando os números quânticos tendem a infinito Imagine como seria um gráfico de pontos como o da Fig 3924 para valores realmente elevados de n e ℓ como por exemplo n 1000 e ℓ 999 Figura 3924 Gráfico de pontos da densidade de probabilidade radial Pr para o átomo de hidrogênio em um estado com número quântico principal n 45 e número quântico de momento angular ℓ n 1 44 relativamente grandes Os pontos formam um anel próximo do plano xy que se parece com uma órbita eletrônica clássica Exemplo 3906 Densidade de probabilidade radial para o elétron de um átomo de hidrogênio Mostre que a densidade de probabilidade radial para o elétron de um átomo de hidrogênio no estado fundamental é máxima para r a IDEIASCHAVE 1 A densidade de probabilidade radial para o elétron de um átomo de hidrogênio no estado fundamental é dada pela Eq 3944 2 Para determinar o máximo ou mínimo de qualquer função basta derivála e igualar o resultado a zero Cálculo Derivando Pr em relação a r com o auxílio da derivada 7 do Apêndice E e da regra da cadeia para derivar produtos obtemos Igualando a zero o lado direito da equação obtemos uma equação que tem como raiz r a Em outras palavras dPdr 0 para r a Note que também temos dPdr 0 para r 0 e para r Nesses pontos porém a função Pr passa por um mínimo como se pode ver na Fig 3919 Exemplo 3907 Probabilidade de detecção do elétron de um átomo de hidrogênio É possível demonstrar que a probabilidade pr de que o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio seja detectado no interior de uma esfera de raio r é dada por pr 1 e2x1 2x 2x2 em que x um parâmetro adimensional é igual a ra Determine o valor de r para o qual pr 090 IDEIACHAVE É impossível garantir que o elétron será detectado a certa distância r do centro do átomo de hidrogênio entretanto com o auxílio da função dada podemos calcular a probabilidade de que o elétron seja detectado em algum ponto no interior de uma esfera de raio r Cálculo Estamos interessados em buscar o raio de uma esfera tal que pr 090 Substituindo esse valor na expressão de pr obtemos 090 1 e2x1 2x 2x2 ou 10 e2x1 2x 2x2 1 Devemos encontrar o valor de x que satisfaz essa equação Não existe uma solução analítica para o problema mas utilizando um computador ou uma calculadora obtemos x 266 Isso significa que o raio de uma esfera no interior da qual o elétron do átomo de hidrogênio será detectado com 90 de probabilidade é 266a Assinale esse ponto no eixo horizontal da Fig 3919 A área sob a curva entre r 0 e r 266a corresponde à probabilidade de que o elétron seja detectado nesse intervalo e é igual a 90 da área total sob a curva Exemplo 3908 Emissão de luz por um átomo de hidrogênio a Qual é o comprimento de onda do fóton de menor energia emitido na série de Lyman do espectro do átomo de hidrogênio IDEIASCHAVE 1 Em qualquer série a transição que produz o fóton de menor energia é a transição entre o nível de base que define a série e o nível imediatamente acima 2 No caso da série de Lyman o nível de base é o nível n 1 Fig 3918b Assim a transição que produz o fóton de menor energia é a transição do nível n 2 para o nível n 1 Cálculos De acordo com a Eq 3934 a diferença de energia é De acordo com a Eq 396 ΔE hf substituindo f por cλ obtemos Os fótons com esse comprimento de onda estão na faixa do ultravioleta b Qual é o comprimento de onda limite da série de Lyman IDEIACHAVE O limite da série corresponde a um salto entre o nível de base n 1 para a série de Lyman e o nível n Cálculos Agora que conhecemos os valores de n para a transição poderíamos proceder como no item a para calcular o comprimento de onda λ correspondente Em vez disso vamos usar um método mais direto De acordo com a Eq 3937 temos e portanto Os fótons com esse comprimento de onda também estão na faixa do ultravioleta Revisão e Resumo Confinamento O confinamento de ondas de qualquer tipo ondas em uma corda ondas do mar ondas luminosas e ondas de matéria leva à quantização ou seja à existência de estados discretos com energias discretas Estados intermediários com valores intermediários de energia não são possíveis Um Elétron em um Poço de Potencial Infinito Como é uma onda de matéria um elétron confinado em um poço de potencial infinito pode ter apenas estados discretos No caso de um poço de potencial infinito unidimensional as energias associadas a esses estados quânticos são dadas por em que L é a largura do poço de potencial e n é um número quântico A menor energia possível conhecida como energia de ponto zero não é zero e sim o valor correspondente a n 1 na Eq 394 Um elétron só pode mudar de um estado para outro se a variação de energia dada for em que Ealta é a energia do estado permitido de maior energia e Ebaixa é a energia do estado permitido de menor energia Quando a mudança ocorre por absorção ou emissão de um fóton a energia do fóton deve ser igual à variação de energia do elétron em que f é a frequência e λ é o comprimento de onda do fóton As funções de onda de um elétron em um poço de potencial unidimensional infinito de largura L no eixo x são dadas por em que n é o número quântico e é uma constante de normalização A função de onda ψnx não tem significado físico o que tem significado físico é a densidade de probabilidade ψ2 nx O produto ψ2 nx dx é a probabilidade de que o elétron seja detectado no intervalo entre x e x 1 dx Se a densidade de probabilidade de um elétron for integrada para todo o eixo x a probabilidade total deve ser igual a 1 o que significa que o elétron deve estar em algum ponto do eixo x Um Elétron em um Poço de Potencial Finito A função de onda de um elétron em um poço de potencial unidimensional finito tem um valor diferente de zero do lado de fora do poço Ao contrário do poço infinito um poço finito tem um número finito de estados que possuem comprimentos de onda de de Broglie maiores e energias menores que os estados de um poço infinito de mesma largura Poço de Potencial Bidimensional As energias quantizadas de um elétron confinado em um poço de potencial bidimensional retangular são dadas por em que nx e ny são os números quânticos e Lx e Ly são as dimensões do poço As funções de onda de um elétron em um poço bidimensional infinito são dadas por O Átomo de Hidrogênio O modelo de Bohr do átomo de hidrogênio permitiu calcular corretamente os níveis de energia do átomo e explicar os espectros de emissão e absorção mas é incorreto em quase todos os outros aspectos Tratase de um modelo planetário no qual o elétron gira em torno do próton com um momento angular L cujos valores possíveis são dados por em que n é um número quântico O valor L é incorretamente descartado A aplicação da equação de Schrödinger ao átomo de hidrogênio fornece os valores corretos de L e das energias permitidas A energia do átomo ou do elétron do átomo só pode mudar por meio de saltos quânticos entre as energias permitidas Se o salto quântico envolve a absorção de um fóton que aumenta a energia do átomo ou a emissão de um fóton que diminui a energia do átomo essa restrição às mudanças de energia leva à equação para o comprimento de onda λ da luz em que R é a constante de Rydberg A densidade de probabilidade radial Pr para um estado do átomo de hidrogênio é definida de tal forma que Prdr é a probabilidade de que o elétron seja detectado na região entre duas cascas concêntricas cujos raios são r e r dr A probabilidade de o elétron ser detectado a uma distância do núcleo entre r1 e r2 é dada por Perguntas 1 Três elétrons são aprisionados em três diferentes poços de potencial infinitos unidimensionais de largura a 50 pm b 200 pm c 100 pm Coloque os elétrons na ordem decrescente da energia dos estados fundamentais 2 A energia de um próton confinado em um poço de potencial unidimensional infinito no estado fundamental é maior menor ou igual à de um elétron confinado no mesmo poço de potencial 3 Um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional infinito se encontra no estado n 17 Quantos pontos a de probabilidade zero e b de probabilidade máxima possui a onda de matéria do elétron 4 A Fig 3925 mostra três poços de potencial unidimensionais infinitos Sem executar nenhum cálculo determine a função de onda ψ de um elétron no estado fundamental de cada poço Figura 3925 Pergunta 4 5 Um próton e um elétron estão confinados em poços de potencial unidimensionais infinitos iguais as duas partículas estão no estado fundamental No centro do poço a densidade de probabilidade para o próton é maior menor ou igual à densidade de probabilidade para o elétron 6 Quando multiplicamos por 2 a largura de um poço de potencial unidimensional infinito a a energia do estado fundamental de um elétron confinado é multiplicada por 4 2 12 14 ou por outro número b As energias dos outros estados do elétron são multiplicadas pelo mesmo número ou por outro número dependendo do número quântico 7 Se o leitor quisesse usar a armadilha idealizada da Fig 391 para capturar um pósitron teria que mudar a a geometria da armadilha b o potencial elétrico do cilindro do meio ou c os potenciais elétricos dos cilindros das extremidades O pósitron é uma partícula de carga positiva com a mesma massa que o elétron 8 Um elétron está confinado em um poço de potencial finito suficientemente profundo para que o elétron ocupe um estado com n 4 Quantos pontos a de probabilidade zero e b de probabilidade máxima possui a onda de matéria associada ao elétron 9 Um elétron que está confinado em um poço de potencial unidimensional infinito de largura L é excitado do estado fundamental para o primeiro estado excitado Essa excitação aumenta diminui ou não tem nenhum efeito sobre a probabilidade de detectar o elétron em uma pequena região a no centro do poço e b perto de uma das bordas do poço 10 Um elétron confinado em um poço de potencial finito como o da Fig 397 se encontra no estado de menor energia possível a O comprimento de onda de de Broglie b o módulo do momento e c a energia seria maior menor ou igual se o poço de potencial fosse infinito como o da Fig 392 11 Sem fazer nenhum cálculo coloque os estados quânticos do elétron representados na Fig 398 na ordem decrescente dos comprimentos de onda de de Broglie 12 O leitor está interessado em modificar o poço de potencial finito cujo diagrama de níveis de energia aparece na Fig 397 de modo a permitir que o elétron confinado possa ocupar mais de quatro estados quânticos Para isso é preciso a aumentar ou diminuir a largura do poço ou b aumentar ou diminuir a profundidade do poço 13 Um átomo de hidrogênio se encontra no terceiro estado excitado Para que estado especifique o número quântico n o átomo teria que passar a para emitir um fóton com o maior comprimento de onda possível b para emitir um fóton com o menor comprimento de onda possível e c para absorver um fóton com o maior comprimento de onda possível 14 A Fig 3926 mostra os primeiros níveis de energia em elétronsvolts para cinco situações em que o elétron está confinado em um poço de potencial unidimensional infinito Nos poços B C D e E o elétron se encontra no estado fundamental O elétron do poço A está no quarto estado excitado 25 eV O elétron pode voltar ao estado fundamental emitindo um ou mais fótons Que energias de emissão associadas a esse processo de decaimento coincidem com energias de absorção a partir do estado fundamental dos outros quatro elétrons Especifique os números quânticos correspondentes Figura 3926 Pergunta 14 15 A Tabela 394 mostra os números quânticos de cinco estados do átomo de hidrogênio Quais desses estados não são possíveis Tabela 394 n ℓ mℓ a 3 2 0 b 2 3 1 c 4 3 4 d 5 5 0 e 5 3 2 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 391 Energia de um Elétron Confinado 1 Um elétron no estado fundamental de um poço de potencial unidimensional infinito de largura L tem uma energia E1 Quando a largura do poço muda para L a energia do elétron diminui para E1 0500E1 Qual é o valor da razão LL 2 Determine a energia do estado fundamental a de um elétron e b de um próton confinado em um poço de potencial unidimensional infinito com 200 pm de largura 3 A energia do estado fundamental de um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional infinito é 26 eV Qual será a energia do estado fundamental se a largura do poço for multiplicada por dois 4 Um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional infinito com 250 pm de largura se encontra no estado fundamental Qual é a energia necessária para transferilo para o estado n 4 5 Qual deve ser a largura de um poço de potencial unidimensional infinito para que um elétron no estado n 3 tenha uma energia de 47 eV 6 Um próton é confinado em um poço de potencial unidimensional infinito com 100 pm de largura Qual é a energia do estado fundamental 7 Considere o núcleo atômico equivalente a um poço de potencial unidimensional infinito de largura L 14 1014 m um diâmetro nuclear típico Qual seria a energia do estado fundamental de um elétron confinado a um núcleo atômico Observação Os núcleos atômicos não contêm elétrons 8 Um elétron está confinado em um poço unidimensional infinito e se encontra no primeiro estado excitado A Fig 3927 mostra os cinco maiores comprimentos de onda que o elétron pode absorver de uma única vez λa 8078 nm λb 3366 nm λc 1923 nm λd 1262 nm e λe 898 nm Qual é a largura do poço de potencial Figura 3927 Problema 8 9 Um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional infinito com 250 pm de largura é transferido do primeiro estado excitado para o terceiro estado excitado a Que energia deve ser fornecida ao elétron para que execute esse salto quântico Se o elétron em seguida decai para o estado fundamental emitindo fótons o que pode ocorrer de várias formas determine b o menor comprimento de onda c o segundo menor comprimento de onda d o maior comprimento de onda e e o segundo maior comprimento de onda que podem ser emitidos f Mostre as várias formas possíveis de decaimento em um diagrama de níveis de energia Se um fóton com um comprimento de onda de 294 nm for emitido determine g o maior comprimento de onda e h o menor comprimento de onda que pode ser emitido em seguida 10 Um elétron está confinado em um poço de potencial unidimensional infinito Determine o valor a do número quântico maior e b do número quântico menor para que a diferença de energia entre os estados seja igual a três vezes a diferença de energia ΔE43 entre os níveis n 4 e n 3 c Mostre que não existe nenhum par de níveis de energia vizinhos com uma diferença de energia igual a 2ΔE43 11 Um elétron está confinado em um poço de potencial unidimensional infinito Determine o valor a do número quântico maior e b do número quântico menor para que a diferença de energia entre os estados seja igual à energia do nível n 5 c Mostre que não existe um par de níveis vizinhos com uma diferença de energia igual à energia do nível n 6 12 Um elétron está confinado em um poço de potencial unidimensional infinito com 250 pm de largura e se encontra no estado fundamental Determine a o maior b o segundo maior c o terceiro maior comprimento de onda que pode ser absorvido pelo elétron Módulo 392 Funções de Onda de um Elétron Confinado 13 Um poço unidimensional infinito com 200 pm de largura contém um elétron no terceiro estado excitado Um detector de elétrons com 200 pm de largura é instalado com o centro em um ponto de máxima densidade de probabilidade a Qual é a probabilidade de que o elétron seja detectado b A cada 1000 vezes que realizarmos essa experiência quantas vezes em média o elétron será detectado 14 Um elétron se encontra em um estado de energia de um poço unidimensional infinito que se estende de x 0 até x L 200 pm no qual a densidade de probabilidade é zero em x 0300L e x 0400L e não é zero para nenhum valor intermediário de x O elétron salta para o nível de energia imediatamente inferior emitindo um fóton Qual é a variação de energia do elétron 15 Um elétron está confinado em um poço de potencial unidimensional infinito com 100 pm de largura o elétron se encontra no estado fundamental Qual é a probabilidade de o elétron ser detectado em uma região de largura Δx 50 pm no entorno do ponto a x 25 pm b x 50 pm e c x 90 pm Sugestão A largura Δx da região é tão pequena que a densidade de probabilidade pode ser considerada constante no interior da região 16 Uma partícula é confinada em um poço de potencial unidimensional infinito como o da Fig 392 Se a partícula se encontra no estado fundamental qual é a probabilidade de que seja detectada a entre x 0 e x 025L b entre x 075L e x L e c entre x 025L e x 075 L Módulo 393 Um Elétron em um Poço Finito 17 Um elétron no estado n 2 do poço de potencial finito da Fig 397 absorve uma energia de 400 eV de uma fonte externa Use o diagrama de níveis de energia da Fig 399 para determinar a energia cinética do elétron após a absorção 18 Na Fig 399 são mostrados os níveis de energia de um elétron confinado em um poço de potencial finito com 450 eV de profundidade Se o elétron se encontra no estado n 3 qual é sua energia cinética 19 A Fig 3928a mostra o diagrama de níveis de energia de um poço de potencial unidimensional finito que contém um elétron A região não quantizada começa em E4 4500 eV A Fig 3928b mostra o espectro de absorção do elétron quando se encontra no estado fundamental O elétron pode absorver fótons com os comprimentos de onda indicados λa 14588 nm λb 48437 nm e qualquer comprimento de onda menor que λc 29108 nm Qual é a energia do primeiro estado excitado Figura 3928 Problema 19 20 A Fig 3929a mostra um tubo fino no qual foi montado um poço de potencial finito com V2 0 V Um elétron se move para a direita no interior do poço em uma região onde a tensão é V1 900 V com uma energia cinética de 200 eV Quando o elétron penetra no poço ele pode ficar confinado se perder energia suficiente emitindo um fóton Os níveis de energia do elétron no interior do poço são E1 10 eV E2 20 eV e E3 40 eV e a região não quantizada começa em E4 90 eV como mostra o diagrama de níveis de energia da Fig 3929b Qual é a menor energia em eV que o fóton pode possuir Figura 3929 Problema 20 21 a Mostre que para a região x L do poço de potencial finito da Fig 397 ψx De2kx é uma solução da equação de Schrödinger unidimensional em que D é uma constante e k é um número real positivo b Por que razão a solução matematicamente aceitável do item a não é considerada fisicamente admissível Módulo 394 Poços de Potencial Bidimensionais e Tridimensionais 22 Um elétron é confinado no curral retangular da Fig 3913 cujas dimensões são Lx 800 pm e Ly 1600 pm Qual é a energia do estado fundamental do elétron 23 Um elétron é confinado na caixa retangular da Fig 3914 cujas dimensões são Lx 800 pm Ly 1600 pm e Lz 390 pm Qual é a energia do estado fundamental do elétron 24 A Fig 3930 mostra um poço de potencial bidimensional infinito situado no plano xy que contém um elétron Quando um detector é deslocado ao longo da reta x Lx2 são observados três pontos nos quais é máxima a probabilidade de o elétron ser detectado Quando o mesmo detector é deslocado ao longo da reta y Ly2 são observados cinco pontos nos quais é máxima a probabilidade de o elétron ser detectado A distância entre esses pontos é de 300 nm Qual é a energia do elétron Figura 3930 Problema 24 25 O curral bidimensional infinito da Fig 3931 tem a forma de um quadrado de lado L 150 nm Um detector quadrado com 500 de lado e lados paralelos aos eixos x e y é instalado com o centro no ponto 0200L 0800L Qual é a probabilidade de que seja detectado um elétron que está no estado de energia E13 Figura 3931 Problema 25 26 Um curral retangular de dimensões Lx L e Ly 2L contém um elétron Determine em múltiplos de h28mL2 em que m é a massa do elétron a a energia do estado fundamental do elétron b a energia do primeiro estado excitado c a energia dos primeiros estados degenerados e d a diferença entre as energias do segundo e do terceiro estados excitados 27 Um elétron está confinado em um curral retangular de dimensões Lx L e Ly 2L a Quantas frequências diferentes o elétron é capaz de emitir ou absorver ao sofrer uma transição entre dois níveis que estão entre os cinco de menor energia Que múltiplo de h28mL2 em que m é a massa do elétron corresponde b à menor c à segunda menor d à terceira menor e à maior f à segunda maior e g à terceira maior frequência 28 Uma caixa cúbica de dimensões Lx Ly Lz L contém um elétron Determine em múltiplos de h28mL2 em que m é a massa do elétron a a energia do estado fundamental do elétron b a energia do segundo estado excitado c a diferença entre as energias do segundo e terceiro estado excitado Determine também quantos estados degenerados possuem a energia d do primeiro estado excitado e e do quinto estado excitado 29 Um elétron está confinado em uma caixa cúbica de dimensões Lx Ly Lz a Quantas frequências diferentes o elétron é capaz de emitir ou absorver ao sofrer uma transição entre dois níveis que estão entre os cinco de menor energia Que múltiplo de h28mL2 em que m é a massa do elétron corresponde b à menor c à segunda menor d à terceira menor e à maior f à segunda maior e g à terceira maior frequência 30 Um elétron se encontra no estado fundamental de um poço de potencial bidimensional infinito na forma de um quadrado de lado L Uma sonda quadrada com uma área de 400 pm2 é instalada com o centro no ponto x L8 y L8 A probabilidade de o elétron ser detectado é 00450 Qual é o valor de L Módulo 395 O Átomo de Hidrogênio 31 Qual é a razão entre o menor comprimento de onda da série de Balmer e o menor comprimento de onda da série de Lyman 32 Um átomo que não é um átomo de hidrogênio absorve um fóton com um comprimento de onda de 375 nm e emite um fóton com um comprimento de onda de 580 nm Qual é a energia absorvida pelo átomo no processo 33 Determine a a energia b o módulo do momento e c o comprimento de onda do fóton emitido quando um átomo de hidrogênio sofre uma transição de um estado com n 3 para um estado com n 1 34 Calcule a densidade de probabilidade radial Pr para o átomo de hidrogênio no estado fundamental a em r 0 b em r a e c em r 2a em que a é o raio de Bohr 35 Para o átomo de hidrogênio no estado fundamental calcule a a densidade de probabilidade ψ2r e b a densidade de probabilidade radial Pr para r a em que a é o raio de Bohr 36 a Qual é a energia E do elétron do átomo de hidrogênio cuja densidade de probabilidade é representada pelo gráfico de pontos da Fig 3921 b Qual é a menor energia necessária para remover esse elétron do átomo 37 Um nêutron com uma energia cinética de 60 eV colide com um átomo de hidrogênio estacionário no estado fundamental Explique por que a colisão deve ser elástica isto é por que a energia cinética deve ser conservada Sugestão Mostre que o átomo de hidrogênio não pode ser excitado pela colisão 38 Um átomo que não é um átomo de hidrogênio absorve um fóton com uma frequência de 62 1014 Hz Qual é o aumento da energia do átomo 39 Mostre que a Eq 3944 que expressa a densidade de probabilidade radial para o estado fundamental do átomo de hidrogênio é normalizada ou seja que 40 Determine a o intervalo de comprimentos de onda e b o intervalo de frequências da série de Lyman Determine c o intervalo de comprimentos de onda e d o intervalo de frequências da série de Balmer 41 Qual é a probabilidade de que um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio seja encontrado na região entre duas cascas esféricas de raios r e r Δr a se r 0500a e Δr 0010a e b se r 100a e Δr 001a em que a é o raio de Bohr Sugestão Δr é suficientemente pequeno para que a densidade de probabilidade radial seja considerada constante entre r e r Δr 42 Um átomo de hidrogênio inicialmente em repouso no estado n 4 sofre uma transição para o estado fundamental emitindo um fóton no processo Qual é a velocidade de recuo do átomo de hidrogênio Sugestão Este problema é semelhante às explosões do Capítulo 9 43 No estado fundamental do átomo de hidrogênio o elétron possui uma energia total de 136 eV Determine a a energia cinética e b a energia potencial do elétron a uma distância do núcleo igual ao raio de Bohr 44 Um átomo de hidrogênio em um estado com uma energia de ligação energia necessária para remover um elétron de 085 eV sofre uma transição para um estado com uma energia de excitação diferença entre a energia do estado e a energia do estado fundamental de 102 eV a Qual é a energia do fóton emitido na transição Determine b o maior número quântico e c o menor número quântico da transição responsável pela emissão 45 As funções de onda dos três estados cujos gráficos de pontos aparecem na Fig 3923 para os quais n 2 ℓ 1 e mℓ 0 1 e 1 são em que os índices de ψr θ indicam o valor dos números quânticos n ℓ e mℓ e os ângulos θ e ϕ são definidos na Fig 3922 Observe que a primeira função de onda é real mas as outras que envolvem o número imaginário i são complexas Determine a densidade de probabilidade radial Pr a para ψ210 e b para ψ211 e ψ211que são iguais c Mostre que os valores de Pr estão de acordo com os gráficos de pontos da Fig 3923 d Some as densidades de probabilidade radial ψ210 ψ211 e ψ211 e mostre que o resultado depende apenas de r ou seja que a densidade de probabilidade radial total tem simetria esférica 46 Calcule a probabilidade de que o elétron de um átomo de hidrogênio no estado fundamental seja encontrado na região entre duas cascas esféricas de raios a e 2a em que a é o raio de Bohr 47 Para qual valor do número quântico principal n o raio efetivo que aparece em um gráfico de pontos da densidade de probabilidade radial do átomo de hidrogênio é igual a 10 mm Suponha que o valor de ℓ é o maior possível n 1 Sugestão Veja a Fig 3924 48 Um fóton com um comprimento de onda de 1216 nm é emitido por um átomo de hidrogênio Determine a o maior número quântico e b o menor número quântico da transição responsável pela emissão c A que série pertence a transição 49 Qual é o trabalho necessário para separar o elétron e o próton de um átomo de hidrogênio se o átomo se encontra inicialmente a no estado fundamental e b no estado n 2 50 Um fóton com um comprimento de onda de 1026 nm é emitido por um átomo de hidrogênio Determine a o maior número quântico e b o menor número quântico da transição responsável pela emissão c A que série pertence a transição 51 Qual é a probabilidade de que no estado fundamental do átomo de hidrogênio o elétron seja encontrado a uma distância do núcleo maior que o raio de Bohr 52 Um átomo de hidrogênio é excitado do estado fundamental para o estado com n 4 a Qual é a energia absorvida pelo átomo Considere a energia dos fótons que podem ser emitidos pelo átomo ao decair para o estado fundamental de várias formas possíveis b Quantas energias diferentes são possíveis Dessas energias determine c a maior d a segunda maior e a terceira maior f a menor g a segunda menor e h a terceira menor 53 A equação de Schrödinger para os estados do átomo de hidrogênio nos quais o número quântico orbital ℓ é zero é Verifique se a Eq 3939 que descreve o estado fundamental do átomo de hidrogênio é uma solução dessa equação 54 A função de onda do estado quântico do átomo de hidrogênio cujo gráfico de pontos aparece na Fig 3921 para o qual n 2 e ℓ mℓ 0 é em que a é o raio de Bohr e o índice de ψr corresponde aos valores dos números quânticos n ℓ e mℓ a Plote ψ2 200r em função de r e mostre que o gráfico é compatível com o gráfico de pontos da Fig 39 21 b Mostre analiticamente que ψ2 200r passa por um máximo em r 4a c Determine a densidade de probabilidade radial P200r para esse estado d Mostre que e que portanto a expressão apresentada para a função de onda ψ2 200r está normalizada corretamente 55 A densidade de probabilidade radial para o estado fundamental do átomo de hidrogênio é máxima para r a em que a é o raio de Bohr Mostre que o valor médio de r definido como é igual a 15a Nessa expressão para rméd cada valor de Pr recebe um peso igual ao valor correspondente de r Observe que o valor médio de r é maior que o valor de r para o qual Pr é máxima Problemas Adicionais 56 Seja ΔE a diferença de energia entre dois níveis vizinhos de um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional infinito Seja E a energia de um desses níveis a Mostre que a razão ΔEE tende para 2n para grandes valores do número quântico n Para n b ΔE tende a zero c E tende a zero d ΔEE tende a zero e O que significam esses resultados em termos do princípio de correspondência 57 Um elétron está confinado em um poço de potencial unidimensional infinito Mostre que a diferença ΔE entre as energias dos níveis quânticos n e n 2 é h22mL2n 1 58 Como sugere a Fig 398 a densidade de probabilidade na região 0 x L do poço de potencial finito da Fig 397 varia senoidalmente de acordo com a equação ψ2x B sen2 kx em que B é uma constante a Mostre que a função de onda ψx que pode ser calculada a partir dessa equação é uma solução da equação de Schrödinger unidimensional b Qual deve ser o valor de k para que a afirmação do item a seja verdadeira 59 Como sugere a Fig 398 a densidade de probabilidade na região x L do poço de potencial finito da Fig 397 diminui exponencialmente de acordo com a equação ψ2x Ce2kx em que C é uma constante a Mostre que a função de onda ψx que pode ser calculada a partir dessa equação é uma solução da equação de Schrödinger unidimensional b Qual deve ser o valor de k para que a afirmação do item a seja verdadeira 60 Um elétron é confinado em um tubo estreito evacuado com 30 m de comprimento o tubo se comporta como um poço de potencial unidimensional infinito a Qual é a diferença de energia entre o estado fundamental do elétron e o primeiro estado excitado b Para qual número quântico n a diferença entre níveis de energia vizinhos é da ordem de 10 eV um valor suficientemente grande para ser medido ao contrário do valor obtido no item a Para esse número quântico c calcule a energia total do elétron em termos da energia de repouso e d determine se a velocidade do elétron é relativística 61 a Mostre que os termos da equação de Schrödinger Eq 3918 têm a mesma dimensão b Qual é a unidade desses termos no SI 62 a Qual é o comprimento de onda do fóton de menor energia emitido na série de Balmer do átomo de hidrogênio b Qual é o comprimento de onda do limite da série 63 a Quantos valores do número quântico orbital ℓ são possíveis para um dado valor do número quântico principal n b Quantos valores do número quântico magnético orbital mℓ são possíveis para um dado valor de ℓ c Quantos valores de mℓ são possíveis para um dado valor de n 64 Verifique se o valor da constante da Eq 3933 é 136 eV 65 Uma molécula de um gás diatômico é formada por dois átomos de massa m separados por uma distância fixa d que giram em torno de um eixo como mostra a Fig 3932 Supondo que o momento angular da molécula é quantizado da mesma forma que no modelo de Bohr do átomo de hidrogênio determine a as velocidades angulares permitidas e b as energias rotacionais permitidas Figura 3932 Problema 65 66 Existe uma probabilidade finita embora muito pequena de que um elétron de um átomo seja encontrado no interior do núcleo Na verdade alguns núcleos instáveis usam essa presença ocasional do elétron no núcleo para decair por captura eletrônica Supondo que o próton seja uma esfera com 11 1015 m de raio e que a função de onda do elétron do átomo de hidrogênio seja válida para raios muito próximos de 0 use a função de onda do estado fundamental para calcular a probabilidade de que o elétron do átomo de hidrogênio seja encontrado no interior do núcleo 67 Qual é a diferença entre os dois menores níveis de energia de um recipiente cúbico com 20 cm de aresta contendo átomos de argônio Suponha para simplificar os cálculos que os átomos de argônio estão confinados em um poço unidimensional infinito com 20 cm de largura A massa molar do argônio é 399 gmol b A 300 K em potências de 10 qual é a razão entre a energia térmica dos átomos e essa diferença de energia c A que temperatura a energia térmica é igual a essa diferença de energia 68 Um múon de carga e e massa m 207me em que me é a massa do elétron gira em órbita em torno do núcleo de um átomo de hélio monoionizado He Supondo que o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio possa ser aplicado a esse sistema múonhélio mostre que os níveis de energia do sistema são dados por 69 A partir do diagrama de níveis de energia do átomo de hidrogênio explique a observação de que a frequência da segunda linha da série de Lyman é a soma da frequência da primeira linha da série de Lyman com a frequência da primeira linha da série de Balmer Este é um exemplo do princípio descoberto empiricamente conhecido como princípio de combinação de Ritz Use o diagrama para descobrir outras combinações válidas 70 O átomo de hidrogênio pode ser considerado uma carga pontual positiva e o próton cercada por uma carga negativa e o elétron distribuída em uma nuvem esférica com uma densidade de carga ρ A exp 2ra0 em que A é uma constante a0 053 1010 m e r é a distância do núcleo a Use o fato de que o átomo de hidrogênio é eletricamente neutro para determinar o valor de A b Determine b o módulo e c a orientação do campo elétrico do átomo a uma distância a0 do núcleo 71 Em um antigo modelo do átomo a carga e do próton estava distribuída uniformemente em uma esfera de raio a0 com o elétron de carga e e massa m no centro a Qual seria a força exercida sobre o elétron se ele fosse deslocado do centro de uma distância r a0 b Qual seria a frequência angular das oscilações do elétron em relação ao centro do átomo depois que o elétron fosse liberado 72 Em um modelo simples do átomo de hidrogênio o elétron gira em torno do núcleo o próton em uma trajetória circular Calcule a o potencial elétrico criado pelo próton na posição do elétron a uma distância de 529 pm b a energia potencial elétrica do átomo e c a energia cinética do elétron d Qual é a energia necessária para ionizar o átomo ou seja remover o elétron até uma distância infinita com energia cinética zero Os valores de energia devem ser expressos em elétronsvolts 73 Considere um elétron de condução em um cristal cúbico de um material condutor O elétron está livre para se mover no interior do cristal mas não pode sair do cristal Isso significa que ele está confinado em um poço de potencial tridimensional infinito Como o elétron pode se mover nas três dimensões sua energia total é dada por em que n1 n2 e n3 são números inteiros positivos Calcule a energia dos cinco primeiros estados de um elétron de condução em um cristal cúbico com uma constante de rede L 025 μm CAPÍTULO 40 Tudo sobre os Átomos 401 PROPRIEDADES DOS ÁTOMOS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4001 Discutir o padrão que é observado em um gráfico de energias de ionização em função do número atômico Z 4002 Saber que os átomos possuem momento angular e magnetismo 4003 Explicar o experimento de Einsteinde Haas 4004 Conhecer os cinco números quânticos dos elétrons em um átomo e os valores permitidos de cada um 4005 Determinar o número máximo de elétrons em uma dada camada ou subcamada 4006 Saber que os elétrons atômicos possuem um momento angular orbital e um momento magnético orbital orb 4007 Calcular o módulo do momento angular orbital e do momento magnético orbital orb a partir do número quântico orbital ℓ 4008 Conhecer a relação entre o momento angular orbital e o momento magnético orbital orb 4009 Saber que e orb não podem ser observados medidos mas é possível medir uma componente desses vetores em relação a um eixo que em geral é chamado de eixo z 4010 Calcular as possíveis componentes Lz do momento angular orbital a partir do número quântico magnético orbital mℓ 4011 Calcular as possíveis componentes morbz do momento magnético orbital orb a partir do número quântico magnético mℓ e do magnéton de Bohr μB 4012 Dado um estado orbital ou um estado de spin calcular o ângulo semiclássico θ 4013 Saber que um momento angular de spin também chamado simplesmente de spin e um momento magnético de spin s são propriedades intrínsecas do elétron e também do próton e do nêutron 4014 Calcular o módulo do momento angular de spin e do momento magnético de spin s a partir do número quântico de spin s 4015 Conhecer a relação entre o momento angular de spin e o momento magnético de spin s 4016 Saber que e s não podem ser observados medidos mas é possível medir uma componente desses vetores em relação a um eixo que em geral é chamado de eixo z 4017 Calcular as possíveis componentes Sz do momento angular de spin a partir do número quântico magnético de spin ms 4018 Calcular as possíveis componentes μsz do momento magnético de spin s a partir do número quântico magnético de spin ms e do magnéton de Bohr μB 4019 Saber o que é o momento magnético efetivo de um átomo IdeiasChave A energia dos átomos é quantizada e pode mudar por meio de saltos quânticos Se a mudança envolve a emissão ou absorção de um fóton a frequência do fóton é dada por hf Ealta Ebaixa Estados do átomo com o mesmo valor do número quântico n formam uma camada Estados do átomo com os mesmos valores dos números quânticos n e ℓ formam uma subcamada O módulo do momento angular orbital de um elétron atômico possui valores quantizados dados por em que ħ h2π ℓ é o número quântico orbital e n é o número quântico principal do elétron A componente Lz do momento angular orbital em relação a um eixo z é quantizada e dada por Lz mħ para mℓ 0 1 2 ℓ em que mℓ é o número quântico magnético orbital O módulo μorb do momento magnético orbital de um elétron atômico possui valores quantizados dados por em que m é a massa do elétron A componente μorbz do momento magnético orbital em relação a um eixo z é quantizada e dada por em que μB é o magnéton de Bohr Todo elétron livre ou não possui um momento angular de spin intrínseco cujo módulo é quantizado e dado por em que s é o número quântico de spin Como o número quântico de spin do elétron só pode ter o valor 12 costumase dizer que o elétron é uma partícula de spin 12 A componente Sz do momento angular de spin em relação a um eixo z é quantizada e dada por em que ms é o número quântico magnético de spin Todo elétron livre ou não possui um momento magnético de spin intrínseco s que é quantizado e dado por A componente msz do momento magnético de spin em relação a um eixo z é quantizada e dada por O que É Física Neste capítulo continuamos a discutir um dos principais objetivos na física descobrir e compreender as propriedades dos átomos Há cerca de 100 anos os cientistas tinham dificuldade para planejar e executar experimentos capazes de provar a existência dos átomos Hoje em dia a existência dos átomos não é mais questionada já que dispomos de fotografias de átomos obtidas com o auxílio do microscópio de tunelamento Também podemos manipular os átomos individualmente como foi feito para montar o curral quântico da Fig 3912 Podemos até mesmo manter um átomo indefinidamente em um poço de potencial Fig 401 para estudar suas propriedades quando está totalmente isolado de outros átomos Cortesia de Warren Nagourney Figura 401 O ponto azul da fotografia foi produzido pela luz emitida por um único íon de bário mantido por um longo tempo em um poço de potencial na Universidade de Washington Técnicas especiais foram usadas para fazer com que o íon emitisse luz várias vezes enquanto sofria transições entre os mesmos níveis de energia O ponto representa o efeito cumulativo da emissão de muitos fótons Algumas Propriedades dos Átomos O leitor talvez tenha a impressão de que os detalhes da física atômica não têm nenhuma relação com a vida cotidiana Considere porém o modo como as propriedades dos átomos expostas a seguir tão básicas que raramente despertam atenção afetam nossa existência Os átomos são estáveis Praticamente todos os átomos que formam o universo não sofreram nenhuma mudança durante bilhões de anos Como seria o universo se os átomos estivessem constantemente mudando Os átomos se combinam Os átomos se unem para formar moléculas estáveis e sólidos rígidos Um átomo é composto principalmente de espaço vazio mas mesmo assim podemos pisar no chão que é feito de átomos com a certeza de que nosso pé não vai atravessálo A física quântica pode explicar essas propriedades básicas dos átomos e outras três propriedades menos óbvias que serão discutidas a seguir Os Átomos Podem Ser Agrupados em Famílias A Fig 402 mostra um exemplo de uma propriedade dos elementos que depende da posição na tabela periódica Apêndice G A figura é um gráfico da energia de ionização dos elementos a energia necessária para remover de um átomo neutro o elétron mais fracamente ligado em função do número atômico do elemento a que o átomo pertence As notáveis semelhanças das propriedades químicas e físicas dos elementos pertencentes à mesma coluna da tabela periódica constituem uma indicação segura de que os átomos podem ser agrupados em famílias Figura 402 Gráfico da energia de ionização dos elementos em função do número atômico mostrando a repetição periódica da propriedade em seis períodos completos da tabela periódica O número de elementos em cada período está indicado na figura Os elementos estão dispostos na tabela periódica em seis períodos horizontais completos e um sétimo período incompleto com exceção do primeiro cada período começa à esquerda com um metal alcalino lítio sódio potássio etc altamente reativo e termina com um gás nobre neônio argônio criptônio etc quimicamente inerte As propriedades químicas desses elementos são explicadas pela física quântica Os números de elementos nos seis períodos são os seguintes 2 8 8 18 18 e 32 Esses números são previstos pela física quântica Os Átomos Emitem e Absorvem Luz Já sabemos que os átomos podem existir apenas em certos estados discretos e que a cada estado está associada uma energia Um átomo pode sofrer uma transição de um estado a outro emitindo luz para passar a um nível de menor energia Ebaixa ou absorvendo luz para passar a um nível de maior energia Ealta Como vimos no Módulo 391 a luz é emitida ou absorvida na forma de um fóton cuja energia é dada por Assim o problema de determinar as frequências da luz emitida ou absorvida por um átomo se reduz ao problema de determinar as energias dos estados quânticos do átomo A física quântica permite pelo menos em princípio calcular essas energias Os Átomos Possuem Momento Angular e Magnetismo A Fig 403 mostra uma partícula negativamente carregada descrevendo uma órbita circular Como vimos no Módulo 325 uma partícula em órbita possui um momento angular e como o movimento da partícula equivale a uma corrente elétrica um momento magnético Como indicado na Fig 403 os vetores e são perpendiculares ao plano da órbita e como a carga é negativa têm sentidos opostos O modelo da Fig 403 é estritamente clássico e não representa corretamente um elétron em um átomo Na física quântica as órbitas eletrônicas foram substituídas por densidades de probabilidade que podem ser visualizadas por meio de gráficos de pontos Mesmo assim continua a ser verdadeiro o fato de que cada estado de um elétron em um átomo possui um momento angular e um momento magnético orientados em sentidos opostos dizemos que as duas grandezas vetoriais estão acopladas Figura 403 Modelo clássico de uma partícula de massa m e carga e que se move com velocidade v em uma órbita circular de raio r A partícula tem um momento angular dado por em que em que é o momento linear da partícula m O movimento da partícula equivale a uma espira percorrida por corrente e produz um momento magnético no sentido oposto ao de Figura 404 O experimento de Einsteinde Haas a Inicialmente o campo magnético no cilindro de ferro é zero e os momentos magnéticos atômicos estão orientados aleatoriamente Os momentos angulares atômicos que não aparecem na figura têm a direção oposta dos momentos magnéticos e portanto também estão orientados aleatoriamente b Quando o cilindro é submetido a um campo magnético paralelo ao eixo do cilindro os momentos magnéticos atômicos se alinham paralelamente a o que significa que os momentos angulares atômicos se alinham antiparalelamente a fazendo com que a soma dos momentos angulares dos átomos do cilindro se torne diferente de zero Como o momento angular total do cilindro não pode variar o cilindro como um todo começa a girar da forma indicada O Experimento de Einsteinde Haas Em 1915 antes do advento da física quântica Albert Einstein e o físico holandês W J de Haas executaram um experimento engenhoso com o objetivo de verificar se o momento angular e o momento magnético de um átomo estão acoplados Einstein e de Haas suspenderam um cilindro de ferro por um fio fino como mostra a Fig 404 Um solenoide foi colocado em torno do cilindro mas sem tocálo Inicialmente os momentos magnéticos dos átomos do cilindro apontam em direções aleatórias e portanto seus efeitos magnéticos se cancelam Fig 404a Quando uma corrente elétrica circula no solenoide Fig 404b é criado um campo magnético paralelo ao eixo do cilindro que exerce uma força sobre os momentos magnéticos dos átomos alinhandoos com o campo Se o momento angular de cada átomo estiver acoplado ao momento magnético esse alinhamento dos momentos magnéticos fará com que os momentos angulares dos átomos se alinhem na direção oposta à do campo magnético Como inicialmente não existe nenhum torque agindo sobre o cilindro o momento angular do cilindro como um todo deve permanecer nulo durante todo o experimento Entretanto quando o campo é aplicado e os momentos magnéticos dos átomos se alinham na direção do campo os momentos angulares dos átomos também se alinham e o cilindro passa a possuir um momento angular total int dirigido para baixo na Fig 404b Para manter o momento angular total igual a zero o cilindro começa a girar em torno do eixo de modo a produzir um momento angular ext no sentido oposto para cima na Fig 404b Se não fosse pelo fio o cilindro continuaria a girar no mesmo sentido enquanto o campo magnético estivesse presente entretanto a torção do fio produz uma força que interrompe momentaneamente a rotação do cilindro e depois faz com que comece a girar no sentido oposto desfazendo a torção Em seguida a fibra é torcida no sentido oposto e o processo se repete várias vezes fazendo com que o cilindro oscile em torno da orientação inicial descrevendo um movimento angular harmônico simples A observação da rotação do cilindro mostrou que o momento angular e o momento magnético de um átomo estão acoplados e tendem a apontar em direções opostas Além disso o experimento demonstrou que os momentos angulares associados aos estados quânticos dos átomos podem se manifestar por meio de rotações visíveis de objetos de dimensões macroscópicas Momento Angular e Momentos Magnéticos A cada estado quântico dos elétrons de um átomo estão associados um momento angular orbital e um momento magnético orbital Além disso todo elétron livre ou não possui um momento angular de spin e um momento magnético de spin que são grandezas tão intrínsecas quanto a massa e a carga do elétron Vamos discutir essas várias grandezas Tabela 401 Estados Quânticos de um Elétron Atômico Número Quântico Símbolo Valores Permitidos Relacionado a Principal n 1 2 3 Distância do núcleo Orbital ℓ 1 2 3 n 1 Momento angular orbital Magnético orbital mℓ 0 1 2 ℓ Momento angular orbital componente z De spin s Momento angular de spin Magnético de spin ms Momento angular de spin componente z Momento Angular Orbital Classicamente uma partícula em movimento possui um momento angular em relação a qualquer ponto de referência arbitrariamente escolhido No Capítulo 11 o momento angular foi definido por meio da equação vetorial em que é um vetor posição que liga a partícula ao ponto de referência é o momento linear m da partícula e o sinal significa produto vetorial Embora um elétron atômico não seja uma partícula clássica também possui um momento angular dado por com o núcleo como ponto de referência Ao contrário do que acontece com uma partícula clássica o momento angular orbital de um elétron atômico é quantizado isto é pode ter apenas certos valores No caso do elétron de um átomo de hidrogênio podemos determinar os valores permitidos do momento angular resolvendo a equação de Schrödinger Nesse caso e em qualquer outro podemos também determinar os valores permitidos usando a matemática apropriada para o produto vetorial na física quântica Essa matemática é a álgebra linear que faz parte do currículo da maioria dos cursos de engenharia Usando um dos dois métodos descobrimos que os valores permitidos de são dados por em que ħ h2π ℓ é o número quântico orbital que foi apresentado na Tabela 392 e aparece novamente na Tabela 401 e n é o número quântico principal do elétron Figura 405 Valores permitidos de Lz para um elétron em um estado quântico com ℓ 2 Para cada vetor momento angular orbital da figura existe um vetor apontando na direção oposta que representa o momento magnético orbital orb O elétron pode ter um valor definido de L dado pela Eq 402 mas o vetor do elétron não tem uma direção definida Por outro lado é possível medir detectar valores definidos de uma componente Lz do vetor em relação a um eixo escolhido chamado em geral de eixo z que são dados por em que mℓ é o número quântico magnético orbital Tabela 401 Se o elétron tem um valor definido de Lz ele não pode ter valores definidos de Lx e Ly Não é possível evitar essa indeterminação medindo primeiro Lz obtendo um valor definido e depois medindo Lx por exemplo porque a segunda medição afeta o valor de Lz de forma imprevisível Além disso não é possível obter uma orientação definida para o vetor porque isso equivaleria a obter valores definidos para as três componentes de A Fig 405 mostra uma forma comum de representar os valores permitidos de Lz usando como exemplo o caso em que ℓ 2 A figura não deve ser interpretada literalmente pois sugere de forma incorreta que tem uma orientação definida Mesmo assim ajuda a relacionar as cinco componentes z permitidas ao módulo do vetor e a definir o ângulo semiclássico θ dado por Momento Magnético Orbital Classicamente uma partícula carregada em órbita cria um campo magnético dipolar como foi discutido no Módulo 325 De acordo com a Eq 3228 o momento dipolar está relacionado com o momento angular da partícula clássica pela equação em que m é a massa da partícula um elétron no caso O sinal negativo significa que os dois vetores da Eq 405 têm sentidos opostos o que se deve ao fato de a carga do elétron ser negativa Um elétron atômico também possui um momento magnético dipolar dado pela Eq 405 mas orb é quantizado Podemos descobrir quais são os valores permitidos do módulo de orb usando o módulo de da Eq 402 Como o momento angular o momento magnético dipolar orb tem um módulo definido mas não tem uma direção definida O melhor que podemos fazer é medir a componente em relação a um eixo z cujo valor é dado por em que μB é o magnéton de Bohr Se o elétron tem um valor definido de morbz ele não pode ter valores definidos de morbx e morby Momento Angular de Spin Todo elétron livre ou não possui um momento angular intrínseco que não tem um equivalente clássico não é da forma Esse momento é chamado de momento angular de spin ou simplesmente spin O módulo de é quantizado e só pode ter um valor em que s é o número quântico de spin Como o número quântico de spin do elétron só pode ter o valor 12 costumase dizer que o elétron é uma partícula de spin 12 Os prótons e nêutrons também são partículas de spin 12 A terminologia nesse caso é um pouco ambígua já que tanto como s são chamados normalmente de spin Como o momento angular orbital o momento angular intrínseco tem um módulo definido mas não tem uma direção definida O melhor que podemos fazer é medir a componente em relação a um eixo z cujo valor é dado por em que ms é o número quântico magnético de spin que pode ter apenas dois valores ms s 12 caso em que dizemos que o spin do elétron está para cima e ms s 12 caso em que dizemos que o spin do elétron está para baixo Como a Fig 405 a Fig 406 não deve ser interpretada literalmente pois sugere de forma incorreta que tem uma orientação definida mas ajuda a relacionar as duas componentes permitidas ao módulo do vetor A existência do spin do elétron foi postulada por dois alunos de doutorado holandeses George Uhlenbeck e Samuel Goudsmit a partir de observações de espectros atômicos A base teórica para a existência do spin foi estabelecida alguns anos depois pelo físico inglês P A M Dirac que formulou uma teoria quântica relativística para o elétron A Tabela 401 mostra o conjunto completo dos números quânticos de um elétron atômico Um elétron livre possui apenas os números quânticos do spin intrínseco s e ms Momento Magnético de Spin Como o momento angular orbital o momento angular de spin também tem um momento magnético associado em que o sinal negativo significa que os dois vetores têm sentidos opostos isso se deve ao fato de que a carga do elétron é negativa O momento magnético s é uma propriedade intrínseca de todos os elétrons O vetor s não têm uma orientação definida mas tem um módulo definido dado por O vetor também tem uma componente definida em relação a um eixo z dada por mas isso significa que o vetor não pode ter valores definidos de μsx e μsy A Fig 406 mostra os valores possíveis de μsz No próximo módulo vamos discutir os primeiros experimentos que levaram à conclusão de que o momento magnético de spin do elétron é quantizado Figura 406 Valores permitidos de Sz e μz para um elétron Camadas e Subcamadas Como foi visto no Módulo 395 todos os estados com o mesmo valor de n formam uma camada e todos os estados com os mesmos valores de n e ℓ formam uma subcamada Como mostra a Tabela 401 para um dado valor de ℓ existem 2ℓ 1 valores possíveis do número quântico mℓ e para um dado valor de mℓ existem dois valores possíveis do número quântico ms spin para cima e spin para baixo Assim existem 22ℓ 1 estados em uma subcamada O número total de estados em uma camada de número quântico n é 2n2 Soma dos Momentos Angulares Orbitais e de Spin No caso de um átomo com mais de um elétron definimos um momento angular total como a soma vetorial dos momentos angulares tanto orbitais como de spin de todos os elétrons Cada elemento da tabela periódica é definido pelo número de prótons presentes no núcleo de um átomo do elemento O número de prótons é chamado de número atômico ou número de carga e representado pela letra Z Como um átomo eletricamente neutro contém um número igual de prótons e elétrons Z também é o número de elétrons de um átomo neutro e usamos esse fato para indicar o valor de de um átomo neutro Da mesma forma o momento magnético total de um átomo com mais de um elétron é a soma vetorial dos momentos magnéticos tanto orbitais como de spin de todos os elétrons Entretanto por causa do fator 2 na Eq 4013 o momento magnético resultante de um átomo não tem a mesma direção que o vetor porém faz certo ângulo com esse vetor O momento magnético efetivo ef do átomo é a componente na direção de da soma vetorial dos momentos magnéticos dos elétrons Fig 407 Em um átomo típico a soma vetorial dos momentos angulares orbitais e dos momentos angulares de spin da maioria dos elétrons de um átomo é zero Assim e ef se devem à contribuição de um número relativamente pequeno de elétrons às vezes de um único elétron de valência Figura 407 Modelo clássico usado para representar o momento angular total e o momento magnético efetivo ef Teste 1 Um elétron se encontra em um estado quântico no qual o módulo do momento angular orbital é Quantos valores são permitidos para a projeção do momento magnético orbital do elétron no eixo z 402 O EXPERIMENTO DE STERNGERLACH Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4020 Fazer um desenho esquemático mostrando o experimento de SternGerlach e explicar o tipo de átomo utilizado o resultado previsto o resultado que foi observado e a importância do experimento 4021 Conhecer a relação entre o gradiente de campo magnético e a força experimentada por um átomo no experimento de SternGerlach IdeiasChave O experimento de SternGerlach mostrou que o momento magnético dos átomos de prata é quantizado o que foi considerado uma prova experimental de que os momentos magnéticos atômicos são quantizados Um átomo com um momento magnético diferente de zero experimenta uma força ao ser submetido a um campo magnético não uniforme Se o campo varia a uma taxa dBdz ao longo de um eixo z a força tem a direção do eixo z e está relacionada à componente μz do momento magnético pela equação O Experimento de SternGerlach Em 1922 Otto Stern e Walther Gerlach da Universidade de Hamburgo na Alemanha mostraram experimentalmente que o momento magnético dos átomos de prata é quantizado No experimento de SternGerlach como hoje é conhecido uma amostra de prata é vaporizada em um forno e alguns dos átomos do vapor escapam por uma fenda estreita na parede do forno entrando em um tubo evacuado Alguns desses átomos passam por uma segunda fenda paralela à primeira para formar um feixe estreito de átomos Fig 408 Dizemos que os átomos estão colimados isto é suas trajetórias são paralelas e a segunda fenda recebe o nome de colimador O feixe passa entre os polos de um eletroímã e atinge uma placa de vidro onde forma um depósito de prata Com o eletroímã desligado o depósito de prata forma uma mancha estreita paralela às fendas Com o eletroímã ligado a mancha deveria se alargar no sentido vertical pois os átomos de prata se comportam como dipolos magnéticos e portanto sofrem o efeito de uma força magnética ao passarem entre os polos do eletroímã Essa força pode desviar o átomo para cima ou para baixo dependendo da orientação relativa entre o dipolo atômico e o campo magnético produzido pelo eletroímã Analisando o depósito de prata na placa de vidro é possível determinar a deflexão produzida pelo campo magnético nos átomos de prata Quando Stern e Gerlach observaram a mancha de prata que se formou na placa de vidro ficaram surpresos Antes de explicar qual foi a surpresa e o que significou para a física quântica vamos discutir a força magnética a que estão submetidos os átomos de prata Figura 408 Desenho esquemático do experimento de SternGerlach A Força Magnética que Age sobre um Átomo de Prata Ainda não discutimos o tipo de força magnética que age sobre os átomos de prata no experimento de SternGerlach Não se trata da mesma força que age sobre uma partícula carregada em movimento dada pela Eq 282 q A razão é simples Um átomo de prata é eletricamente neutro a carga total q é nula e portanto esse tipo de força magnética também é nulo O tipo de força magnética em que estamos interessados se deve à interação entre o campo magnético do eletroímã e os dipolos magnéticos dos átomos de prata Podemos encontrar uma expressão para a força dessa interação a partir da energia U de um dipolo magnético na presença de um campo magnético De acordo com a Eq 2838 temos em que é o momento magnético de um átomo de prata Na Fig 408 o sentido positivo do eixo z é para cima e o campo magnético aponta na mesma direção Assim podemos escrever a Eq 4015 em termos da componente μz do momento magnético do átomo de prata na direção de Aplicando a Eq 822 F dUdx ao eixo z da Fig 408 obtemos A Eq 4017 é o que procurávamos uma equação para a força magnética a que é submetido um átomo de prata ao passar por um campo magnético O termo dBdz da Eq 4017 é o gradiente do campo magnético na direção z Se o campo magnético não varia ao longo do eixo z o que acontece por exemplo quando o campo é nulo ou uniforme dBdz 0 e os átomos de prata não sofrem nenhuma deflexão ao passarem entre os polos do eletroímã No experimento de SternGerlach o formato dos polos é escolhido de modo a maximizar o gradiente dBdz e portanto a deflexão dos átomos de prata De acordo com a física clássica as componentes μz dos átomos de prata deveriam variar entre μ momento magnético apontando no sentido negativo do eixo z e μ momento magnético apontando no sentido positivo do eixo z Assim de acordo com a Eq 4017 os átomos deveriam ser submetidos a forças diferentes dentro de certa faixa e portanto sofrer deflexões diferentes também dentro de certa faixa tanto para cima como para baixo Isso significa que a mancha de prata na placa de vidro deveria ser alongada no sentido vertical pela presença do campo magnético Entretanto não foi isso que os pesquisadores observaram A Surpresa O que Stern e Gerlach observaram foi que os átomos de prata formaram duas manchas separadas na placa de vidro uma acima do ponto onde se acumulavam quando o eletroímã estava desligado e outra abaixo desse ponto As manchas eram inicialmente fracas demais para serem observadas mas ficaram visíveis quando Stern por acaso respirou perto da placa de vidro depois de fumar um charuto barato O enxofre que o ar exalado continha por causa do charuto reagiu com a prata para formar um composto preto sulfeto de prata bem mais visível que a prata pura Duas manchas distintas podem ser vistas nos gráficos da Fig 409 que mostram o resultado de uma versão mais recente do experimento de SternGerlach Nessa versão um feixe de átomos de césio que se comportam como dipolos magnéticos como os átomos de prata usados no experimento de SternGerlach atravessou uma região onde existia um campo magnético com um forte gradiente vertical dBdz O campo podia ser ligado e desligado à vontade e a intensidade do feixe após passar pelo campo podia ser medida ao longo da direção vertical com o auxílio de um detector móvel Com o campo desligado o feixe naturalmente não sofreu nenhuma deflexão e o detector registrou uma distribuição com um pico central como a que aparece na Fig 409 Quando o campo foi ligado o feixe foi dividido pelo campo magnético em dois feixes menores um acima e outro abaixo do feixe incidente A distribuição registrada pelo detector passou a apresentar dois picos como podemos observar na Fig 409 Figura 409 Resultados de uma versão moderna do experimento de SternGerlach Com o eletroímã desligado é observado um único feixe com o eletroímã ligado o feixe original se divide em dois Os dois subfeixes correspondem aos dois possíveis alinhamentos dos momentos magnéticos dos átomos de césio com o campo magnético externo O Significado dos Resultados No experimento original de SternGerlach duas manchas de prata apareceram na placa de vidro em lugar de uma mancha única alongada na direção vertical Isso queria dizer que a componente μz do momento magnético dos átomos de prata não podia ter qualquer valor entre μ e μ como previa a teoria clássica Em vez disso μz podia ter apenas dois valores um para cada mancha no vidro Assim o experimento de SternGerlach mostrou que a componente μz era quantizada o que levou os cientistas a suspeitar corretamente que o vetor também era quantizado Além disso como existe uma relação entre o momento magnético e o momento angular tudo levava a crer que o momento angular e sua componente Lz também eram quantizados A teoria quântica moderna permite compreender melhor os resultados do experimento de Stern Gerlach Hoje sabemos que um átomo de prata contém muitos elétrons cada qual com o seu momento magnético angular e o seu momento magnético de spin Sabemos também que todos esses momentos se cancelam mutuamente exceto no caso de certo elétron e que é zero o momento angular orbital e portanto o momento magnético orbital desse elétron conhecido como elétron desemparelhado Desse modo o momento magnético total do átomo de prata é igual ao momento magnético de spin de um único elétron De acordo com a Eq 4013 isso significa que existem apenas dois valores permitidos para a componente μz desse momento magnético Uma das componentes está associada ao número quântico μs 12 o spin do elétron desemparelhado está para cima e a outra ao número quântico μs 12 o spin do elétron desemparelhado está para baixo Substituindo μs por esses valores na Eq 4013 obtemos Substituindo essas expressões de μz na Eq 4017 descobrimos que a força Fz responsável pela deflexão dos átomos de prata pode ter apenas dois valores e que portanto é natural que apareçam duas manchas na placa de vidro Embora o spin do elétron ainda não fosse conhecido na época o experimento de SternGerlach foi a primeira demonstração experimental da existência do spin Exemplo 4001 Separação do feixe no experimento de SternGerlach No experimento de SternGerlach da Fig 408 um feixe de átomos de prata passa por uma região onde existe um gradiente de campo magnético dBdz de 14 Tmm na direção do eixo z Essa região tem um comprimento w de 35 cm na direção do feixe incidente A velocidade dos átomos é 750 ms Qual é a deflexão d dos átomos ao deixarem a região onde existe o gradiente de campo magnético A massa M de um átomo de prata é 18 1025 kg IDEIASCHAVE 1 A deflexão dos átomos de prata do feixe se deve à interação entre o momento magnético dos átomos e o gradiente de campo magnético dBdz A força de deflexão tem a direção do gradiente de campo a direção do eixo z e é dada pela Eq 4019 Vamos considerar apenas deflexões no sentido positivo do eixo z assim usaremos a Eq 4019 na forma Fz μBdBdz 2 Vamos supor que o gradiente de campo dBdz tem o mesmo valor em toda a região por onde passam os átomos de prata Assim a força Fz é constante nessa região e de acordo com a segunda lei de Newton a aceleração az de um átomo na direção z devido à força Fz também é constante Cálculos Juntando essas ideias escrevemos a aceleração na forma Como a aceleração é constante podemos usar a Eq 215 da Tabela 21 para escrever a deflexão d na direção z na forma Como a força responsável pela deflexão é perpendicular à direção original de movimento dos átomos a componente v da velocidade dos átomos ao longo da direção original de movimento não é afetada pela força Assim cada átomo necessita de um tempo t wv para atravessar a região em que existe um gradiente de campo magnético Substituindo t por wv na Eq 4020 obtemos A distância entre os dois feixes é duas vezes esse valor ou seja 016 mm Essa separação não é grande mas pode ser medida com facilidade 403 RESSONÂNCIA MAGNÉTICA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4022 No caso de um próton submetido a um campo magnético uniforme desenhar os vetores do campo magnético e do momento magnético do próton para o estado de menor energia e para o estado de maior energia identificando os estados de spin para cima e de spin para baixo 4023 No caso de um próton submetido a um campo magnético uniforme calcular a diferença de energia entre os dois estados de spin e determinar a frequência e o comprimento de onda do fóton necessário para produzir uma transição entre os estados 4024 Explicar o método usado para obter um espectro de ressonância magnética nuclear IdeiasChave Um próton possui um momento angular intrínseco de spin e um momento magnético intrínseco que apontam no mesmo sentido porque o próton tem carga positiva Na presença de um campo magnético o momento magnético de um próton tem dois estados possíveis com o spin para cima μz no sentido do campo e com o spin para baixo μz no sentido oposto ao do campo Ao contrário do que acontece no caso do elétron o estado do próton de menor energia é com o spin para cima a diferença entre os dois estados é 2μzB A energia necessária para que um fóton produza uma transição entre as duas orientações do spin do próton é dada por hf 2μzB O campo é a soma vetorial do campo externo produzido pelo equipamento e o campo interno produzido pelos elétrons e núcleos mais próximos do próton A detecção das transições de spin pode ser usada para obter espectros de ressonância magnética nuclear que permitem identificar substâncias específicas Ressonância Magnética Como discutimos brevemente no Módulo 325 um próton possui um momento magnético que está associado ao momento angular intrínseco do próton Como a carga do próton é positiva o momento magnético e o momento angular apontam na mesma direção Suponha que um próton seja submetido a um campo magnético uniforme paralelo ao eixo z nesse caso a componente μz do momento magnético de spin só pode ter dois valores μz se o momento magnético e o campo magnético forem paralelos Fig 4010a e μz se o momento magnético e o campo magnético forem antiparalelos Fig 4010b De acordo com a Eq 2838 Uθ existe uma energia associada à orientação de qualquer momento magnético na presença de um campo magnético externo Assim são diferentes as energias dos estados de spin representados pelas orientações das Figs 4010a e 4010b A orientação da Fig 40 10a corresponde ao estado de menor energia μzB e é chamada de spin para cima porque a componente Sz do spin do próton que não aparece na figura tem a mesma orientação que o campo magnético A orientação da Fig 4010b corresponde ao estado de maior energia μzB e é chamada de spin para baixo porque a componente Sz do spin do próton tem a orientação oposta à do campo magnético A diferença de energia entre os dois estados é Suponha que uma gota dágua seja submetida a um campo magnético uniforme nesse caso os núcleos de hidrogênio prótons das moléculas de água tendem a assumir o estado de menor energia Não estamos considerando os átomos de oxigênio Qualquer um desses prótons pode passar para um estado de maior energia absorvendo um fóton com uma energia hf igual a ΔE Em outras palavras o próton pode sofrer uma transição absorvendo um fóton de energia Esse fenômeno é chamado de ressonância magnética no caso que estamos discutindo como se trata de núcleos o nome completo é ressonância magnética nuclear RMN ou NMR1 existe também a ressonância magnética de elétrons conhecida como ressonância magnética eletrônica RME ou EMR2 e a mudança de sinal da componente Sz do spin produzida pela transição é chamada de inversão de spin Na prática os fótons usados nos experimentos de ressonância magnética nuclear estão na faixa da radiofrequência RF e são criados por uma pequena bobina colocada em torno da amostra Um oscilador eletromagnético conhecido como fonte de RF produz uma corrente senoidal de frequência f na bobina O campo eletromagnético criado pela bobina oscila com a mesma frequência f Quando f satisfaz a Eq 40 22 o campo eletromagnético oscilante pode transferir um quantum de energia para um próton da amostra produzindo uma inversão do spin do próton Figura 4010 A componente z de para um próton a no estado de menor energia spin para cima e b no estado de maior energia spin para baixo c Diagrama de níveis de energia dos estados mostrando o salto quântico que o próton executa quando o spin muda de orientação O campo magnético B que aparece na Eq 4022 é o módulo do campo magnético total no local onde se encontra o próton cujo spin foi invertido Esse campo total é a soma vetorial do campo magnético externo ext produzido pelo aparelho de ressonância magnética usando um grande eletroímã e o campo magnético interno int produzido pelos momentos magnéticos de elétrons e núcleos mais próximos do próton Por questões práticas que não serão discutidas neste livro a ressonância magnética é muitas vezes detectada fazendo variar o valor de Bext e mantendo constante a frequência f da fonte de RF enquanto a energia absorvida pela amostra é monitorada Um gráfico da energia absorvida pela amostra em função de Bext mostra um pico de ressonância para cada valor de Bext em que ocorre uma inversão de spin Um gráfico desse tipo é chamado de espectro de ressonância magnética nuclear A Fig 4011 mostra o espectro de ressonância magnética nuclear do etanol uma molécula que contém três grupos de átomos CH3 CH2 e OH Os prótons dos três grupos podem sofrer inversões de spin mas o campo de ressonância Bext é diferente para cada grupo porque os grupos estão sujeitos a valores diferentes do campo interno int por ocuparem posições diferentes na molécula de CH3CH2OH Assim os picos de ressonância no espectro da Fig 4011 constituem um espectro particular a partir do qual o etanol pode ser identificado Figura 4011 Espectro de ressonância magnética nuclear do etanol CH3CH2OH As linhas representam absorções de energia associadas a transições do spin dos prótons Os três grupos de linhas correspondem como está indicado na figura aos prótons do grupo OH do grupo CH2 e do grupo CH3 da molécula de etanol A variação do campo magnético ao longo do eixo horizontal é de menos de 104 T 404 O PRINCÍPIO DE EXCLUSÃO DE PAULI E VÁRIOS ELÉTRONS NO MESMO POÇO DE POTENCIAL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4025 Saber o que é o princípio de exclusão de Pauli 4026 Explicar o que acontece quando vários elétrons são introduzidos em poços de potencial com uma duas e três dimensões incluindo a necessidade de obedecer ao princípio de exclusão de Pauli e de levar em conta a existência de estados degenerados explicar o que significa um nível de energia vazio parcialmente ocupado e totalmente ocupado 4027 Desenhar diagramas de níveis de energia de poços de potencial unidimensionais bidimensionais e tridimensionais IdeiaChave Os elétrons aprisionados em átomos e outros poços de potencial obedecem ao princípio de exclusão de Pauli segundo o qual dois elétrons no mesmo poço de potencial não podem ter o mesmo conjunto de valores para os números quânticos O Princípio de Exclusão de Pauli No Capítulo 39 discutimos vários tipos de poços de potencial para elétrons desde poços de potencial fictícios unidimensionais até o poço de potencial tridimensional natural que é o átomo de hidrogênio Em todos esses exemplos havia apenas um elétron no interior do poço Ao discutir poços de potencial que contêm dois ou mais elétrons como vamos fazer nos próximos dois módulos devemos levar em conta um princípio que se aplica a todas as partículas cujo número quântico de spin s não é zero ou um número inteiro Esse princípio se aplica não só aos elétrons mas também aos prótons e aos nêutrons já que s 12 para as três partículas O princípio é conhecido como princípio de exclusão de Pauli em homenagem a Wolfgang Pauli que o formulou em 1925 No caso de elétrons esse princípio pode ser enunciado da seguinte forma Dois elétrons confinados no mesmo poço de potencial não podem ter o mesmo conjunto de valores para os números quânticos 1 2 3 Como vamos ver no Módulo 405 isso significa que não podem existir dois elétrons no mesmo átomo ocupando estados com os mesmos valores de n ℓ mℓ e μs o valor de s é o mesmo s 12 para todos os elétrons Em outras palavras entre os valores dos números quânticos n ℓ mℓ e μs de dois elétrons do mesmo átomo deve haver pelo menos um valor diferente Se não fosse assim os átomos não seriam estáveis e o mundo que conhecemos não poderia existir Poços de Potencial Retangulares com Mais de um Elétron Para nos prepararmos para a discussão de átomos com mais de um elétron vamos discutir o caso de dois elétrons confinados nos poços de potencial retangulares do Capítulo 39 Além dos números quânticos que usamos quando havia apenas um elétron no poço de potencial vamos usar também os números quânticos de spin dos dois elétrons Para isso vamos supor que o poço de potencial está submetido a um campo magnético uniforme Nesse caso de acordo com a Eq 4010 Sz μsħ um elétron pode ocupar um estado com o spin para cima μs 12 ou um estado com o spin para baixo μs 12 Vamos supor que o campo magnético é tão fraco que a contribuição do campo para a energia potencial dos elétrons pode ser ignorada Ao examinarmos o que acontece quando dois elétrons são confinados em poços de potencial de vários tipos devemos levar em conta o princípio de exclusão de Pauli ou seja o fato de que os dois elétrons não podem ter o mesmo conjunto de valores para os números quânticos Poço de potencial unidimensional No poço de potencial unidimensional da Fig 392 um elétron possui apenas um número quântico n Assim um elétron confinado no poço de potencial deve ter um determinado valor de n e o número quântico de spin μs pode ser igual a 12 ou 12 Dois elétrons podem ter diferentes valores de n ou o mesmo valor de n no segundo caso os números quânticos de spin μs dos dois elétrons devem ser diferentes Curral retangular No curral retangular na Fig 3913 um elétron possui dois números quânticos nx e ny Assim um elétron confinado no poço de potencial deve ter determinados valores de nx e ny e o número quântico de spin μs pode ser igual a 12 ou 12 No caso de dois elétrons pelo menos um desses três números quânticos deve ser diferente para o segundo elétron Caixa retangular Na caixa retangular da Fig 3914 um elétron possui três números quânticos nx ny e nz Assim um elétron confinado no poço de potencial deve ter determinados valores de nx ny e nz e o número quântico de spin μs pode ser igual a 12 ou 12 No caso de dois elétrons pelo menos um desses quatro números quânticos deve ser diferente para o segundo elétron Suponha que novos elétrons sejam acrescentados um a um a um dos poços de potencial que acabamos de discutir Os primeiros elétrons tendem a ocupar o nível de menor energia do sistema ou seja o nível fundamental De acordo com o princípio de exclusão de Pauli o número de estados disponíveis no nível fundamental é limitado já que dois elétrons não podem ter o mesmo conjunto de valores dos números quânticos Quando um nível de energia não pode ser ocupado por novos elétrons por causa do princípio de exclusão de Pauli dizemos que o nível está completo ou totalmente ocupado Na situação oposta em que não existe nenhum elétron em um dado nível dizemos que o nível está vazio ou desocupado Em situações intermediárias dizemos que o nível está parcialmente ocupado A configuração eletrônica de um sistema de elétrons aprisionados é uma lista ou diagrama dos níveis de energia ocupados pelos elétrons ou dos conjuntos de números quânticos associados aos elétrons Determinação da Energia Total Para calcular a energia total de um sistema de dois ou mais elétrons confinados em um poço de potencial vamos supor que os elétrons não interagem eletricamente ou seja vamos desprezar a energia potencial elétrica de pares de elétrons Nesse caso podemos determinar a energia total do sistema calculando a energia de cada elétron como no Capítulo 39 e somando essas energias Uma boa forma de organizar os níveis de energia de um sistema de elétrons é desenhar um diagrama de níveis de energia para o sistema como fizemos para um elétron isolado nos poços de potencial do Capítulo 39 O nível de menor energia E0 é o estado fundamental do sistema O nível seguinte E1 é o primeiro estado excitado O nível seguinte E2 é o segundo estado excitado e assim por diante Exemplo 4002 Níveis de energia de um sistema de vários elétrons em um poço de potencial infinito bidimensional Sete elétrons são confinados em um curral quadrado poço de potencial infinito bidimensional de dimensões Lx Ly L Fig 39 13 Despreze a interação elétrica entre os elétrons a Qual é a configuração eletrônica do estado fundamental do sistema de sete elétrons O diagrama de um elétron Podemos determinar a configuração eletrônica do sistema colocando os sete elétrons um a um no curral Como estamos desprezando a interação elétrica entre os elétrons podemos usar o diagrama de níveis de energia de um único elétron para determinar quais serão os níveis de energia ocupados pelos sete elétrons Esse diagrama de níveis de energia para um elétron aparece na Fig 3915 e está reproduzido parcialmente na Fig 4012a Nas duas figuras os níveis são rotulados pelas energias correspondentes expressas na forma Enxny Assim por exemplo o nível fundamental é o nível E11 para o qual nx ny 1 Figura 4012 a Diagrama de níveis de energia para um elétron em um curral quadrado de largura L A energia E está expressa em múltiplos de h28mL2 O primeiro nível está ocupado por um elétron com o spin para baixo b O primeiro nível está ocupado por dois elétrons um com o spin para baixo e outro com o spin para cima c O terceiro elétron ocupa o nível seguinte d Quatro elétrons podem ser colocados no segundo nível e A configuração do sistema no estado fundamental f Três possíveis transições para o sistema g As três menores energias totais do sistema O princípio de Pauli Os elétrons aprisionados devem respeitar o princípio de exclusão de Pauli isto é não podem existir dois elétrons com o mesmo conjunto de valores para os números quânticos nx ny e μs O primeiro elétron ocupa o nível E11 e pode ter μs 12 ou μs 12 Escolhemos arbitrariamente o segundo valor e desenhamos uma seta voltada para baixo para representar o spin para baixo no nível E11 da Fig 4012a O segundo elétron pode ocupar o mesmo nível mas o spin deve estar para cima μs 12 para evitar que todos os números quânticos sejam iguais aos do primeiro elétron Representamos esse segundo elétron por uma seta voltada para cima para representar o spin para cima no nível E11 da Fig 4012b 1 2 Os elétrons um a um O nível E11 está completo e portanto o terceiro elétron não pode ter a mesma energia que os dois primeiros Assim o terceiro elétron vai para o estado imediatamente acima que corresponde a dois níveis com a mesma energia E21 e E12 ou seja o nível é degenerado Os números quânticos do terceiro elétron podem ser nx 1 e ny 2 ou nx 2 e ny 1 o número quântico de spin pode ser μs 12 ou μs 12 Vamos escolher arbitrariamente os valores nx 2 ny 1 e ms 12 Representamos esse elétron por uma seta voltada para baixo no nível E21 E12 da Fig 4012c É fácil mostrar que esse nível comporta mais três elétrons Assim quando o nível contém quatro elétrons Fig 4012d cujos números quânticos nx ny μs são ele está totalmente ocupado Isso significa que o sétimo elétron deve ir para o estado imediatamente acima que é o nível E22 Vamos supor arbitrariamente que o spin desse elétron está voltado para baixo ou seja que μs 12 A Fig 4012e mostra os sete elétrons em um diagrama de níveis de energia para um elétron Agora temos sete elétrons no curral e eles estão na configuração de menor energia que é compatível com o princípio de exclusão de Pauli Desse modo a configuração do estado fundamental do sistema é a que está representada na Fig 4012e e é descrita na Tabela 402 b Qual é a energia total do sistema de sete elétrons no estado fundamental em múltiplos de h28mL2 IDEIACHAVE A energia total E0 do sistema no estado fundamental é a soma das energias dos elétrons na configuração de menor energia do sistema Energia do estado fundamental A energia de cada elétron pode ser obtida na Tabela 391 que está reproduzida parcialmente na Tabela 402 ou na Fig 4012e Como existem dois elétrons no primeiro nível quatro no segundo e um no terceiro temos c Que energia deve ser fornecida para que o sistema passe ao primeiro estado excitado e qual é a energia desse estado IDEIASCHAVE Quando o sistema é excitado um dos sete elétrons realiza um salto quântico no diagrama de níveis de energia da Fig 40 12e Para que o salto possa ocorrer é preciso que a variação de energia ΔE do elétron e portanto do sistema seja dada por ΔE Ealta Ebaixa Eq 395 em que Ebaixa é a energia do estado em que o salto começa e Ealta é a energia do estado em que o salto termina 3 O princípio de exclusão de Pauli deve ser respeitado isto é um elétron não pode saltar para um nível que esteja totalmente ocupado Energia do primeiro estado excitado Vamos considerar os três saltos indicados na Fig 4012f todos são permitidos pelo princípio de exclusão de Pauli já que o estado final está vazio ou apenas parcialmente ocupado Em um dos saltos possíveis um elétron passa do nível E11 para o nível E22 A variação de energia correspondente é Estamos supondo que a orientação do spin do elétron que realiza o salto é adequada para que o princípio de exclusão de Pauli seja respeitado Em outro dos saltos possíveis da Fig 4012f um elétron passa do nível degenerado E21 E12 para o nível E22 Nesse caso a variação de energia é No terceiro salto possível da Fig 4012f o elétron do nível E22 passa para o nível degenerado E13 E31 A variação de energia correspondente é Tabela 402 Configuração e Energias do Estado Fundamental nX ny ms Energiaa 2 2 8 2 1 5 2 1 5 1 2 5 1 2 5 1 1 2 1 1 2 Total 32 aEm múltiplos de h28mL2 Dos três saltos o que envolve a menor variação de energia é o último Poderíamos considerar outros saltos mas nenhum envolveria uma energia menor Assim para que o sistema passe do estado fundamental para o primeiro estado excitado é preciso que o elétron que ocupa o nível E22 passe para o nível E13 E31 A energia necessária para que isso ocorra é A energia E1 do primeiro estado excitado do sistema é portanto Podemos representar essa energia e a energia E0 do estado fundamental do sistema em um diagrama de níveis de energia para o sistema como aquele que aparece na Fig 4012g 405 CONSTRUÇÃO DA TABELA PERIÓDICA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4028 Saber que todos os estados de uma subcamada têm a mesma energia que é determinada principalmente pelo número quântico n mas também depende em menor grau do número quântico ℓ 4029 Conhecer o sistema usado para rotular o número atômico de momento angular orbital 4030 Conhecer o processo usado para construir a tabela periódica preenchendo as camadas e subcamadas 4031 Saber o que distingue os gases nobres dos outros elementos em termos de interações químicas momento angular total e energia de ionização 4032 No caso de uma transição entre dois níveis de energia de um átomo causada por emissão ou absorção de luz conhecer a relação entre a diferença de energia e a frequência e comprimento de onda da luz IdeiasChave Os elementos estão dispostos na tabela periódica em ordem crescente do número atômico Z que é o número de prótons do núcleo No caso de um átomo neutro Z também é o número de elétrons Os estados com o mesmo valor do número quântico n formam uma camada Os estados com o mesmo valor dos números quânticos n e ℓ formam uma subcamada Uma camada completa e uma subcamada completa contêm o número máximo de elétrons permitido pelo princípio de exclusão de Pauli O momento angular total e o momento magnético total de qualquer subcamada completa e portanto de qualquer camada completa são iguais a zero Construção da Tabela Periódica Os quatro números quânticos n ℓ mℓ e μs identificam os estados quânticos dos elétrons nos átomos com mais de um elétron As funções de onda desses estados porém não são iguais às funções de onda dos estados correspondentes do átomo de hidrogênio porque nos átomos com mais de um elétron a energia potencial de um elétron não depende apenas da carga e da posição do elétron em relação ao núcleo do átomo mas também das cargas e posições de todos os outros elétrons As soluções da equação de Schrödinger para átomos com mais de um elétron podem ser obtidas numericamente pelo menos em princípio com o auxílio de um computador Camadas e Subcamadas Como vimos no Módulo 401 todos os estados com o mesmo valor de n formam uma camada e todos os estados com os mesmos valores dos números quânticos n e ℓ formam uma subcamada Para um dado valor de ℓ existem 2ℓ 1 valores possíveis do número quântico magnético mℓ e para cada conjunto dos outros números quânticos existem dois valores possíveis do número quântico de spin μs Consequentemente existem 22ℓ 1 estados em cada subcamada O número máximo de elétrons com o mesmo valor de n é 2n2 desse modo existem 2n2 estados em cada camada Todos os estados de uma subcamada têm a mesma energia que é determinada principalmente pelo número quântico n mas também depende em menor grau do número quântico ℓ Na classificação das subcamadas os valores de ℓ são representados por letras ℓ 0 1 2 3 4 5 s p d f g h Assim por exemplo a subcamada com n 3 ℓ 2 é conhecida como subcamada 3d Ao distribuir elétrons pelos estados de um átomo de vários elétrons devemos respeitar o princípio de exclusão de Pauli do Módulo 404 ou seja não podemos atribuir a dois elétrons o mesmo conjunto de valores dos números quânticos n ℓ mℓ e μs Se esse importante princípio não existisse todos os elétrons de um átomo ocupariam o estado fundamental o que tornaria impossível a formação de moléculas Vamos examinar os átomos de alguns elementos para ver de que forma o princípio de exclusão de Pauli leva à formação da tabela periódica Neônio O átomo de neônio tem 10 elétrons Somente dois desses elétrons podem ser acomodados na primeira subcamada a subcamada 1s Os dois elétrons têm n 1 ℓ 0 e mℓ 0 mas um tem μs 12 e o outro μs 12 A subcamada 1s possui 220 1 2 estados Como no neônio essa subcamada contém todos os elétrons permitidos pelo princípio de exclusão de Pauli dizemos que ela está completa Dois dos oito elétrons restantes ocupam a subcamada seguinte a subcamada 2s Os outros seis elétrons completam a camada 2p que com ℓ 1 comporta 221 1 6 estados Em uma subcamada completa todas as projeções no eixo z do momento angular orbital estão presentes e como se pode ver na Fig 405 essas projeções se cancelam duas a duas para cada projeção positiva existe uma projeção negativa com o mesmo valor absoluto Como as projeções dos momentos angulares de spin também se cancelam o momento angular e o momento magnético de uma subcamada completa são nulos Além disso a densidade de probabilidade tem simetria esférica Assim o neônio com três subcamadas completas 1s 2s e 2p não possui elétrons desemparelhados que possam formar ligações químicas com outros átomos O neônio juntamente com os outros gases nobres forma a coluna da direita da tabela periódica a dos elementos quimicamente inertes Sódio O sódio com 11 elétrons vem logo depois do neônio na tabela periódica Dez desses elétrons formam uma nuvem esférica semelhante à do neônio que como vimos possui momento angular zero O elétron restante está sozinho na subcamada 3s Como esse elétron de valência se encontra em um estado com ℓ 0 ou seja um estado s o momento angular e o momento magnético do átomo de sódio se devem exclusivamente ao spin e ao momento magnético intrínseco desse elétron respectivamente O sódio tende a se combinar com átomos que possuem uma lacuna na última camada de elétrons O sódio juntamente com os outros metais alcalinos forma a coluna da esquerda da tabela periódica composta por metais quimicamente ativos Cloro O átomo de cloro com 17 elétrons possui uma nuvem esférica de 10 elétrons semelhante à do neônio e mais 7 elétrons Dois desses elétrons completam a subcamada 3s e os outros cinco vão para a subcamada 3p Como essa subcamada com ℓ 1 pode acomodar 221 1 6 elétrons existe uma lacuna não preenchida por elétrons O cloro tende a se combinar com átomos como o de sódio que possuem um elétron na última camada O cloreto de sódio NaCl por exemplo é um composto muito estável O cloro juntamente com os outros halogênios forma a coluna VIIA da tabela periódica composta por não metais quimicamente ativos Ferro O arranjo dos 26 elétrons do átomo de ferro pode ser representado da seguinte forma Nessa representação as camadas estão em ordem numérica as subcamadas na ordem do momento angular orbital e o índice superior indica o número de elétrons em cada subcamada De acordo com a Tabela 401 uma subcamada tipo s ℓ 0 pode acomodar dois elétrons uma subcamada tipo p ℓ 1 pode acomodar seis elétrons e uma subcamada tipo d ℓ 2 pode acomodar 10 elétrons Assim os primeiros 18 elétrons do ferro formam as cinco subcamadas completas sublinhadas deixando oito elétrons para serem acomodados nas subcamadas superiores Seis desses oito elétrons vão para a subcamada 3d e dois para a subcamada 4s Os últimos dois elétrons não vão também para a subcamada 3d que pode acomodar até 10 elétrons porque na configuração 3d6 4s2 o átomo está em um estado de menor energia que na configuração 3d8 Um átomo de ferro com oito elétrons em vez de seis na camada 3d tende a decair para a configuração 3d6 4s2 emitindo um fóton com uma energia igual à diferença de energia entre as duas configurações Isso mostra que nem sempre as subcamadas são preenchidas na ordem mais natural 406 OS RAIOS X E A ORDEM DOS ELEMENTOS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4033 Saber qual é a posição dos raios X no espectro eletromagnético 4034 Explicar como são produzidos os raios X nos laboratórios e nos hospitais 4035 Saber a diferença existente entre o espectro contínuo e o espectro característico de raios X 4036 Explicar a existência de um comprimento de onda de corte λmín no espectro contínuo de raios X 4037 Saber que a energia e o momento são conservados em uma colisão entre um elétron e um átomo 4038 Conhecer a relação entre o comprimento de onda de corte λmín e a energia cinética K0 dos elétrons incidentes 4039 Desenhar um diagrama de níveis de energia para buracos e identificar usando dísticos as transições que produzem raios X 4040 Calcular o comprimento de onda do raio X emitido em uma transição específica 4041 Explicar a importância do trabalho de Moseley para a tabela periódica 4042 Desenhar um gráfico de Moseley 4043 Descrever o efeito de blindagem em um átomo com mais de um elétron 4044 Conhecer a relação entre a frequência dos raios X Kα e o número atômico Z dos átomos IdeiasChave Quando um feixe de elétrons de alta energia incide em um alvo os elétrons podem perder energia ao serem espalhados por átomos do alvo e emitir um espectro contínuo de raios X O menor comprimento de onda do espectro contínuo de raios X é o comprimento de onda de corte λmín que corresponde aos fótons emitidos quando toda a energia cinética de um elétron do feixe incidente é perdida em uma só colisão O espectro característico de raios X é produzido quando os elétrons incidentes removem elétrons de átomos do alvo próximos do núcleo e elétrons de níveis mais distantes do núcleo sofrem transições para os buracos resultantes emitindo fótons no processo O gráfico de Moseley é um gráfico da raiz quadrada da frequência dos raios X característicos em função do número atômico do material do alvo O fato de o gráfico ser uma linha reta é uma indicação de que a posição de um elemento na tabela periódica depende do número atômico e não do peso atômico Os Raios X e a Ordem dos Elementos Quando um alvo sólido como um bloco de cobre ou de tungstênio é bombardeado com elétrons cuja energia cinética é da ordem de quiloelétronsvolts são emitidas ondas eletromagnéticas conhecidas como raios X O que nos interessa aqui é o que esses raios cujas aplicações na medicina na odontologia e na indústria são muito conhecidas podem revelar a respeito dos átomos A Fig 4013 mostra o espectro de raios X produzido quando um feixe de elétrons de 35 keV incide em um alvo de molibdênio O que vemos é um espectro contínuo relativamente largo combinado com dois picos estreitos O espetro contínuo e os picos são produzidos por mecanismos diferentes que serão discutidos em separado Figura 4013 Intensidade dos raios X produzidos quando elétrons de 35 keV incidem em um alvo de molibdênio em função do comprimento de onda O espectro contínuo e os picos são produzidos por mecanismos diferentes O Espectro Contínuo de Raios X Para começar vamos discutir o espectro contínuo de raios X da Fig 4013 ignorando os dois picos Considere um elétron de energia cinética inicial K0 que colide interage com um dos átomos do alvo como na Fig 4014 Na colisão o elétron perde uma energia ΔK que aparece como a energia de um fóton de raios X A energia transferida para o átomo do alvo é muito pequena já que a massa do átomo é muito maior que a do elétron nos cálculos que se seguem essa energia é desprezada O elétron espalhado da Fig 4014 cuja energia é menor que K0 pode ter uma segunda colisão com outro átomo do alvo produzindo um segundo fóton cuja energia em geral é diferente da do fóton produzido na primeira colisão Esse processo de espalhamento continua até que o elétron perca quase toda a sua energia cinética Todos os fótons gerados nas colisões contribuem para o espectro contínuo de raios X Uma característica importante do espectro da Fig 4013 é a existência de um comprimento de onda de corte λmín abaixo do qual o espectro contínuo não existe Esse comprimento de onda mínimo corresponde a uma colisão na qual um elétron incidente perde toda a energia cinética K0 em uma só colisão com um átomo do alvo Essa energia aparece como a energia de um fóton cujo comprimento de onda o comprimento de onda de corte pode ser calculado a partir da relação ou O comprimento de onda de corte não depende do material do alvo Quando substituímos o alvo de molibdênio por um alvo de cobre por exemplo o espectro de raios X fica muito diferente do espectro da Fig 4013 mas o comprimento de onda de corte permanece o mesmo Figura 4014 Um elétron de energia cinética K0 ao passar nas proximidades de um átomo do alvo pode gerar um fóton de raios X e perder parte da energia O espectro contínuo de raios X é gerado por esse processo Teste 2 O comprimento de onda de corte λmín do espectro contínuo de raios X aumenta diminui ou permanece o mesmo quando a a energia cinética dos elétrons que incidem no alvo aumenta b a espessura do alvo diminui c o alvo é substituído por um elemento de maior número atômico O Espectro Característico de Raios X Vamos agora discutir os dois picos da Fig 4013 que são chamados de Kα e Kβ Esses picos e outros picos em comprimentos de onda maiores que os que aparecem na Fig 4013 formam o espectro característico de raios X do elemento do alvo Os picos surgem em duas etapas 1 Ao se chocar com um átomo do alvo um elétron do feixe incidente arranca um elétron de uma das camadas internas de baixo valor de n do átomo Se esse elétron estava por exemplo na camada n 1 conhecida por questões históricas como camada K o resultado é o aparecimento de uma lacuna ou buraco nessa camada 2 Um elétron de uma das camadas de maior energia salta para a camada K completando novamente a camada O salto é acompanhado pela emissão de um fóton cuja energia é igual à diferença de energia entre os níveis de origem e de destino Se o elétron que salta para completar a camada K vem da camada com n 2 conhecida como camada L a radiação emitida corresponde à linha Kα da Fig 4013 se o elétron vem da camada com n 3 conhecida como camada M a radiação emitida corresponde à linha Kb Se os elétrons incidentes criam buracos na camada L ou na camada M os buracos são preenchidos por elétrons provenientes de camadas com valores ainda maiores de n Ao estudar os raios X característicos é mais conveniente acompanhar os buracos criados nos estados com pequeno valor de n do que os elétrons que vêm de outros estados para preenchêlos A Fig 4015 foi desenhada de acordo com este enfoque tratase do diagrama de níveis de energia do molibdênio cujo espectro de raios X aparece na Fig 4013 A linha de base E 0 representa o átomo neutro no estado fundamental O nível K em E 20 keV representa a energia do átomo de molibdênio com um buraco na camada K o nível L em E 27 keV representa a energia do átomo com um buraco na camada L e assim por diante As transições Kα e Kb da Fig 4015 são responsáveis pelos dois picos da Fig 4013 A linha espectral Kα por exemplo é produzida quando um elétron da camada L passa por uma transição para preencher um buraco na camada K Na Fig 4015 esse salto corresponde a uma transição de um buraco para baixo do nível K para o nível L Figura 4015 Diagrama simplificado de níveis de energia do molibdênio mostrando as transições de buracos não de elétrons que produzem alguns dos raios X característicos do elemento As linhas horizontais representam a energia do átomo com um buraco a falta de um elétron na camada indicada A Ordem dos Elementos Em 1913 o físico inglês H G J Moseley produziu raios X característicos de todos os elementos que conseguiu obter 38 usandoos como alvos em um sistema de bombardeamento projetado por ele próprio Com a ajuda de um carrinho manipulado por cordas Moseley colocou diferentes alvos na trajetória de um feixe de elétrons produzido em um tubo de vidro evacuado e mediu os comprimentos de onda dos raios X emitidos usando o método de difração de cristais descrito no Módulo 367 Depois de obter os espectros Moseley procurou e encontrou regularidades e buscou uma forma de correlacionálas às regularidades da tabela periódica Em particular ele observou que se plotasse em um gráfico a raiz quadrada de uma linha espectral como a linha Kα por exemplo em função da posição do elemento na tabela periódica o resultado seria uma linha reta A Fig 4016 mostra uma parte dos resultados A conclusão de Moseley foi a seguinte Temos uma prova de que existe no átomo uma grandeza fundamental que aumenta de forma regular quando passamos de um elemento para o seguinte Essa grandeza só pode ser a carga do núcleo central Graças ao trabalho de Moseley o espectro característico de raios X se tornou a assinatura universalmente aceita de um elemento o que levou os cientistas a rever a posição de vários elementos na tabela periódica Até aquela época 1913 as posições dos elementos na tabela eram atribuídas de acordo com a massa atômica embora nem sempre essa ordem era compatível com as propriedades químicas dos elementos Moseley mostrou que todas as incongruências da tabela periódica desapareciam quando os elementos eram colocados na ordem da carga nuclear isto é do número atômico Z o que podia ser feito com base nos espectros característicos de raios X Figura 4016 Gráfico de Moseley para a linha Kα do espectro característico de raios X de 21 elementos A frequência é calculada a partir do comprimento de onda medido experimentalmente Em 1913 a tabela periódica apresentava várias lacunas e ao mesmo tempo muitos cientistas afirmavam haver descoberto novos elementos O espectro característico de raios X se revelou o método ideal para investigar e classificar esses novos elementos Os lantanídeos também conhecidos como terrasraras tinham sido classificados apenas parcialmente porque possuíam propriedades químicas muito semelhantes Depois que o trabalho de Moseley se tornou conhecido foi possível colocar as terrasraras na ordem correta Não é difícil entender por que os espectros característicos de raios X dos elementos mostram uma regularidade tão notável enquanto o mesmo não acontece com os espectros óticos O que identifica um elemento é a carga nuclear O ouro por exemplo é o que é porque seus átomos possuem uma carga nuclear igual a 79e ou seja Z 79 Um átomo com uma carga a mais no núcleo corresponde ao elemento mercúrio um átomo com uma carga a menos corresponde à platina Os elétrons K que desempenham um papel tão importante da produção dos espectros característicos de raios X estão muito próximos do núcleo e portanto são muito sensíveis à carga nuclear O espectro ótico por outro lado envolve transições de elétrons mais distantes que estão separados do núcleo pelos outros elétrons do átomo e portanto não são muito sensíveis à carga nuclear Explicação do Gráfico de Moseley Os resultados experimentais de Moseley mostrados em parte na Fig 4016 logo passaram a ser usados para determinar a posição correta dos elementos na tabela periódica embora não houvesse ainda uma explicação teórica para a reta observada Mais tarde a explicação foi encontrada De acordo com as Eqs 3933 e 3934 a energia do átomo de hidrogênio é dada por Considere um dos dois elétrons da camada K de um átomo com vários elétrons Devido à presença do outro elétron K nosso elétron enxerga uma carga nuclear efetiva de aproximadamente Z 1e em que e é a carga elementar e Z é o número atômico do elemento O fator e4 na Eq 4024 é o produto de e2 o quadrado da carga do núcleo de hidrogênio por e2 o quadrado da carga do elétron No caso de um átomo com vários elétrons podemos determinar a energia aproximada do átomo substituindo o fator e4 da Eq 4024 por Z 12e2 e2 e4Z 12 Isso nos dá Vimos que os fótons responsáveis pela linha Kα de energia hf surgem quando elétrons sofrem transições da camada L com n 2 e energia E2 para a camada K com n 1 e energia E1 De acordo com a Eq 4025 a energia desses fótons é dada por Nesse caso a frequência f da linha Kα é Tomando a raiz quadrada de ambos os membros obtemos em que C é uma constante 496 107 Hz12 A Eq 4027 é a equação de uma linha reta Em outras palavras se plotarmos a raiz quadrada da frequência da linha espectral Kα em função do número atômico Z deveremos obter uma linha reta Como mostra a Fig 4016 foi isso exatamente que Moseley observou Exemplo 4003 Espectro característico de raios X Um alvo de cobalto é bombardeado com elétrons e os comprimentos de onda do espectro característico de raios X são medidos Existe também um segundo espectro característico menos intenso que é atribuído a uma impureza presente no alvo de cobalto Os comprimentos de onda das linhas Kα são 1789 pm cobalto e 1435 pm impureza O número de prótons do cobalto é ZCo 27 Identifique a impureza IDEIACHAVE Os comprimentos de onda das linhas Kα do cobalto Co e da impureza X devem satisfazer a Eq 4027 Cálculos Substituindo f por cλ na Eq 4027 obtemos Dividindo a segunda equação pela primeira eliminamos C e obtemos a relação Substituindo os valores conhecidos temos Explicitando a incógnita obtemos Consultando a tabela periódica verificamos que a impureza procurada é o zinco Note que a um valor menor do comprimento de onda da linha Kα corresponde um valor maior do número atômico Z Isso significa que a energia associada ao salto quântico responsável pela linha é maior no caso do zinco do que no caso do cobalto 407 O LASER Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4045 Saber a diferença entre a luz de um laser e a luz de uma lâmpada comum 4046 Desenhar diagramas de níveis de energia para os três tipos de interação da luz com a matéria e saber em qual desses tipos se baseia o funcionamento de um laser 4047 Saber o que são estados metaestáveis 4048 No caso de dois estados com diferentes energias conhecer a relação entre as populações relativas dos dois estados em função da temperatura e da diferença de energia entre os estados 4049 Saber o que é inversão de população explicar por que é necessária para que um laser funcione e conhecer a relação entre a inversão de população e o tempo de vida dos 1 2 3 estados 4050 Descrever o funcionamento de um laser de hélioneônio indicando qual é o gás responsável pelo efeito laser e explicando por que o outro gás é necessário 4051 Conhecer a relação entre a variação de energia a frequência e o comprimento de onda no caso da emissão estimulada 4052 Conhecer as relações entre energia potência tempo intensidade área energia dos fótons e taxa de emissão de fótons no caso da emissão estimulada IdeiasChave Na emissão estimulada um átomo que se encontra em um estado excitado pode ser induzido a decair para um estado de menor energia emitindo um fóton se um fóton passar pelo átomo A luz emitida por emissão estimulada está em fase e se propaga na mesma direção que a luz responsável pela emissão Para que um laser funcione é preciso que haja uma inversão de população Em outras palavras para que o número de fótons emitidos seja maior que o número de fótons envolvidos é preciso que o número de átomos no estado de maior energia seja maior que o número de átomos no estado de menor energia A Luz do Laser No início da década de 1960 foi anunciada mais uma das numerosas contribuições da física quântica para a tecnologia o laser A luz do laser como a de uma lâmpada comum é emitida quando os átomos de um elemento sofrem uma transição para um estado quântico de menor energia No laser porém ao contrário do que acontece em outras fontes luminosas os átomos agem em conjunto para produzir uma luz com várias características especiais A luz de um laser é monocromática A luz de uma lâmpada incandescente está distribuída por uma larga faixa de comprimentos de onda A luz produzida por uma lâmpada fluorescente ou por um LED está concentrada em poucos comprimentos de onda mas as linhas espectrais são relativamente largas com valores de Δff da ordem de 106 Um laser produz linhas espectrais muito mais estreitas com valores de Δff que podem chegar a 1015 A luz de um laser é coerente Quando dois feixes luminosos produzidos pelo mesmo laser são separados e recombinados depois de viajarem centenas de quilômetros ainda existe uma relação definida entre as fases dos dois feixes e eles são capazes de formar uma figura de interferência Essa propriedade é chamada de coerência No caso de uma lâmpada comum a distância de coerência é menor que um metro A luz de um laser é altamente direcional A divergência do feixe de luz produzido por um laser é muito pequena os raios só não são perfeitamente paralelos por causa da difração sofrida no orifício 4 de saída do laser Assim por exemplo um pulso de luz gerado por um laser e usado para medir a distância entre a Terra e a Lua com grande precisão tinha um diâmetro de apenas alguns quilômetros ao chegar à Lua A luz de uma lâmpada comum pode ser convertida por uma lente em um feixe com raios aproximadamente paralelos mas a divergência do feixe é muito maior que no caso de um laser como cada ponto do filamento de uma lâmpada irradia de forma independente a divergência angular do feixe é proporcional ao tamanho do filamento A luz de um laser pode ser focalizada em uma região muito pequena Se dois feixes luminosos possuem a mesma energia total o feixe que pode ser focalizado em uma região menor produz uma intensidade luminosa potência por unidade de área maior nessa região No caso da luz de um laser o tamanho da região é tão pequeno que uma intensidade de 1017 Wcm2 pode ser obtida com facilidade Para efeito de comparação a chama de um maçarico de acetileno tem uma intensidade de apenas 103 Wcm2 Os Lasers Têm Muitas Aplicações Os lasers menores usados para gerar sinais a serem transmitidos por fibras óticas utilizam como meio ativo cristais semicondutores do tamanho de cabeças de alfinete Embora pequenos esses lasers podem gerar potências da ordem de 200 mW Os lasers maiores usados em pesquisas de fusão nuclear na astronomia e em aplicações militares podem ser do tamanho de edifícios e desenvolver potências de até 1014 W durante curtos intervalos ou seja valores centenas de vezes maiores que a capacidade de geração de energia elétrica dos Estados Unidos Para evitar que a rede de energia elétrica do país entre em colapso cada vez que o laser é ligado os responsáveis por esses lasers utilizam um banco de capacitores para acumular durante um período de tempo relativamente longo a energia necessária para cada disparo Entre as muitas aplicações dos lasers estão a leitura de códigos de barras a gravação e leitura de CDs e DVDs os vários tipos de cirurgias para definir o campo operatório como na Fig 4017 ou fazendo o papel de bisturi e cautério levantamentos topográficos corte de tecidos na indústria de roupas centenas de peças de cada vez soldagem de carrocerias de automóveis e geração de hologramas 1 2 Sam OgdenPhoto Researchers Inc Figura 4017 A cabeça de um paciente é mapeada com a luz vermelha de um laser como preparação para uma cirurgia cerebral Durante a cirurgia a imagem da cabeça obtida com o auxílio do laser é superposta ao modelo do cérebro mostrado no monitor para guiar a equipe cirúrgica para a região mostrada em verde no modelo Como Funcionam os Lasers Como a palavra laser é o acrônimo de light amplification by stimulated emission of radiation ou seja amplificação da luz por emissão estimulada de radiação não é de admirar que o funcionamento do laser se baseie na emissão estimulada um conceito introduzido por Einstein em 1917 Embora o mundo tivesse que esperar até 1960 para ver um laser em operação os princípios em que se baseava o dispositivo já eram conhecidos há várias décadas Considere um átomo isolado que pode existir no estado de menor energia estado fundamental de energia E0 ou em um estado de maior energia estado excitado de energia Ex Existem três processos pelos quais o átomo pode passar de um desses estados para o outro Absorção A Fig 4018a mostra o átomo inicialmente no estado fundamental Se o átomo é submetido a uma radiação eletromagnética de frequência f ele pode absorver em fóton de energia hf e passar para um estado excitado De acordo com a lei de conservação da energia O processo é chamado de absorção Emissão espontânea Na Fig 4018b o átomo se encontra em um estado excitado e não é submetido a nenhuma radiação Depois de algum tempo o átomo passa para o estado fundamental emitindo um fóton de energia hf O processo é chamado de emissão espontânea A luz de uma vela é produzida assim 3 Normalmente o tempo que os átomos passam em estados excitados conhecido como tempo de vida é da ordem de 108 s Alguns estados excitados porém têm um tempo de vida muito maior que pode chegar a 1023 s Esses estados que são chamados de metaestáveis desempenham um papel importante no funcionamento dos lasers Emissão estimulada Na Fig 4018c o átomo também se encontra em um estado excitado mas desta vez é submetido a uma radiação cuja frequência é dada pela Eq 4028 Um fóton de energia hf pode estimular um átomo a passar para o estado fundamental emitindo outro fóton de energia hf O processo recebe o nome de emissão estimulada O fóton emitido é igual sob todos os aspectos ao fóton que estimulou a emissão assim as ondas associadas aos dois fótons têm a mesma frequência energia fase polarização e direção de propagação Figura 4018 Interação de radiação e matéria nos processos a de absorção b de emissão espontânea e c de emissão estimulada Os átomos matéria estão representados por pontos vermelhos O átomo pode estar no estado fundamental com energia E0 ou em um estado excitado como energia Ex Em a o átomo absorve um fóton de energia hf Em b o átomo emite espontaneamente um fóton de energia hf Em c um fóton de energia hf estimula o átomo a emitir um fóton com a mesma energia o que aumenta a energia da onda luminosa Figura 4019 a Distribuição de equilíbrio de átomos entre o estado fundamental E0 e o estado excitado Ex estabelecida por agitação térmica b Inversão de população estabelecida por métodos especiais A inversão de população é necessária para que a maioria dos lasers funcione A Fig 4018c mostra a emissão estimulada de um fóton por um átomo isolado Suponha que uma amostra contenha um grande número de átomos em equilíbrio térmico à temperatura T Antes que a amostra seja submetida a qualquer radiação N0 dos átomos estão no estado fundamental com energia E0 e Nx estão em um estado excitado com energia Ex Ludwig Boltzmann mostrou que a relação entre Nx e N0 é dada por em que k é a constante de Boltzmann A Eq 4029 parece razoável A grandeza kT é uma medida da energia média dos átomos à temperatura T Quanto maior a temperatura maior o número de átomos excitados pela agitação térmica isto é por colisões com outros átomos para um estado de maior energia Ex Além disso como Ex E0 a Eq 4029 prevê que Nx N0 ou seja que sempre haverá menos átomos no estado excitado do que no estado fundamental Isso é exatamente o que se espera se as populações N0 e Nx forem determinadas exclusivamente pela agitação térmica A Fig 4019a ilustra essa situação Quando submetemos os átomos da Fig 4019a a uma radiação de energia Ex E0 alguns fótons da radiação são absorvidos pelos átomos que se encontram no estado fundamental mas novos fótons na mesma energia são produzidos por emissão estimulada pelos átomos que se encontram no estado excitado Einstein demonstrou que as probabilidades dos dois processos são iguais Assim como existem mais átomos no estado fundamental o efeito total é a absorção de fótons Para que um laser produza luz é preciso que o número de fótons emitidos seja maior que o número de fótons absorvidos isto é devemos ter uma situação na qual a emissão estimulada seja dominante Para que isso aconteça é preciso que existam mais átomos no estado excitado que no estado fundamental como na Fig 4019b Como essa inversão de população não é compatível com o equilíbrio térmico os cientistas tiveram de encontrar meios engenhosos para criála e mantêla Figura 4020 Laser de hélioneônio Um potencial aplicado V0 faz com que elétrons atravessem um tubo que contém uma mistura gasosa de hélio e neônio Os elétrons colidem com átomos de hélio que por sua vez colidem com átomos de neônio Os átomos de neônio emitem luz que se propaga ao longo do tubo A luz passa pelas janelas transparentes W e é refletida várias vezes nos espelhos M1 e M2 estimulando outros átomos de neônio a emitir fótons Parte da luz atravessa o espelho semitransparente M2 para formar o feixe de luz emitido pelo laser O Laser de HélioNeônio A Fig 4020 mostra um tipo de laser muito usado nos laboratórios de física das universidades que foi inventado em 1961 por Ali Javan e colaboradores Um tubo de vidro é carregado com uma mistura de 20 de hélio e 80 de neônio o segundo gás é o responsável pela emissão de luz A Fig 4021 mostra os diagramas de níveis de energia dos átomos dos dois gases em forma simplificada Os elétrons de uma corrente elétrica são usados para excitar muitos átomos de hélio para o estado E3 que é metaestável com um tempo médio de vida maior que 1 μs Como os átomos de neônio têm massa muito maior que os átomos de hélio a probabilidade de serem excitados por colisões com elétrons é muito menor Figura 4021 Cinco níveis de energia envolvidos no funcionamento do laser de hélioneônio A transição responsável pela luz emitida pelo laser ocorre entre os níveis E2 e E1 do neônio para que o laser funcione é preciso que haja mais átomos no nível E2 que no nível E1 A energia do estado E3 do hélio 2061 eV está muito próxima da energia do estado E2 do neônio 2066 eV Assim quando um átomo de hélio que se encontra no estado metaestável E3 colide com um átomo de neônio que se encontra no estado fundamental E0 existe uma alta probabilidade de que a energia de excitação do átomo de hélio seja transferida para o átomo de neônio que passa para o estado E2 Por meio desse mecanismo o nível E2 do neônio com um tempo médio de vida de 170 ns pode acabar ficando com uma população maior que o nível E1 que com um tempo médio de vida de apenas 10 ns está sempre quase vazio Essa inversão de população pode ser estabelecida com relativa facilidade porque 1 inicialmente quase não existem átomos de neônio no estado E1 2 o fato de que o estado E3 do hélio é metaestável faz com que um número relativamente grande de átomos de neônio possa ser excitado para o estado E2 por meio de colisões 3 os átomos de neônio que sofrem emissão estimulada e passam para o estado E1 decaem rapidamente por meio de estados intermediários que não são mostrados na figura para o estado fundamental E0 Suponha que um átomo de neônio decaia espontaneamente do estado E2 para o estado E1 emitindo um fóton Ao incidir em outro átomo de neônio que se encontra no estado E2 o fóton pode induzir o átomo a decair por emissão estimulada o que produz um segundo fóton capaz de produzir novos eventos de emissão estimulada Essa reação em cadeia pode produzir rapidamente um feixe de luz coerente paralelo ao eixo do tubo A luz com um comprimento de onda de 6328 nm vermelho atravessa várias vezes o tubo ao ser refletida pelos espelhos M1 e M2 Fig 4020 produzindo novos fótons por emissão estimulada a cada passagem O espelho M1 é totalmente refletor mas o espelho M2 deixa passar parte da luz que assim pode deixar o dispositivo para ser usada em alguma aplicação Teste 3 O comprimento de onda da luz do laser A um laser de hélioneônio é 6328 nm o do laser B um laser de dióxido de carbono é 106 μm o do laser C um laser semicondutor de arseneto de gálio é 840 nm Coloque os três lasers na ordem decrescente da diferença de energia entre os estados quânticos responsáveis pela emissão de luz Exemplo 4004 Inversão de população em um laser No laser de hélioneônio da Fig 4020 a luz se deve a uma transição entre dois estados excitados do átomo de neônio Em muitos lasers porém a luz é resultado de uma transição do estado excitado para o estado fundamental como na Fig 4019b a Considere um laser do segundo tipo que emite luz com um comprimento de onda λ 550 nm Se o laser está desligado ou seja se não está sendo produzida uma inversão de população qual é a razão entre a população Ex do excitado e a população E0 do estado fundamental supondo que o laser está à temperatura ambiente IDEIASCHAVE 1 A razão NxN0 entre as populações de dois estados em equilíbrio térmico obedece à Eq 4029 que pode ser escrita na forma Para determinar a razão NxN0 usando a Eq 4030 precisamos conhecer a diferença de energia Ex E0 entre os dois estados 2 Podemos calcular Ex E0 a partir do comprimento de onda da luz emitida pelo laser Cálculo Temos Para aplicar a Eq 4030 precisamos conhecer também o valor do produto kT à temperatura ambiente que vamos tomar como 300 K kT 862 105 eVK300K 00259 eV em que k é a constante de Boltzmann Substituindo os dois resultados na Eq 4030 podemos calcular a razão entre as duas populações à temperatura ambiente Tratase de um número extremamente pequeno o que é razoável A probabilidade de que átomos com uma energia térmica da ordem de apenas 00259 eV por átomo o valor de kT transfiram para outros átomos uma energia de 226 eV tem que ser mesmo muito pequena b Nas condições do item a a que temperatura a razão NxN0 é igual a 12 Cálculo Desta vez estamos interessados em determinar a temperatura T na qual a agitação térmica é suficiente para que NxN0 12 Substituindo esse valor na Eq 4030 tomando o logaritmo natural de ambos os membros e explicitando T obtemos Tratase de uma temperatura muito maior que a da superfície do Sol O resultado deixa claro que na ausência de um mecanismo capaz de transferir átomos seletivamente para o estado excitado a população desse estado é sempre muito menor que a do estado fundamental Revisão e Resumo Algumas Propriedades dos Átomos A energia dos átomos é quantizada ou seja os átomos podem possuir apenas certos valores de energia associados a diferentes estados quânticos Os átomos podem sofrer uma transição entre diferentes estados quânticos emitindo ou absorvendo um fóton a frequência f associada a esse fóton é dada por em que Ealta é a maior e Ebaixa é a menor das energias dos estados quânticos envolvidos na transição O momento angular e o momento magnético dos átomos também são quantizados Momento Angular Orbital e Momento Magnético Orbital Um elétron atômico possui um momento angular orbital cujo módulo é dado por em que ℓ é o número quântico orbital que pode ter os valores indicados na Tabela 401 e a constante h cortado é dada por ħ h2π A projeção Lz de em um eixo z arbitrário é quantizada e mensurável e pode ter os valores em que mℓ é o número quântico magnético orbital que pode ter os valores indicados na Tabela 401 Existe um momento magnético orbital orb associado ao momento angular orbital cujo módulo é dado por em que m é a massa do elétron A projeção morbz do momento magnético orbital em um eixo z arbitrário é quantizada e mensurável e pode ter os valores em que μB é o magnéton de Bohr Momento Angular de Spin e Momento Magnético de Spin Todo elétron possui um momento angular de spin ou simplesmente spin cujo módulo é dado por em que s é o número quântico de spin do elétron que é sempre igual a 12 A projeção Sz de em um eixo z arbitrário é quantizada e mensurável e pode ter os valores em que μs é o número quântico de spin Existe um momento magnético de spin ss associado ao momento angular de spin cujo módulo é dado por A projeção μsz do momento magnético de spin em um eixo z arbitrário é quantizada e mensurável e pode ter os valores O Experimento de SternGerlach O experimento de SternGerlach revelou que o momento magnético dos átomos de prata é quantizado e foi a primeira prova experimental de que os momentos magnéticos dos átomos são quantizados Um átomo com um momento magnético é submetido a uma força na presença de um campo magnético não uniforme Se a taxa de variação do campo ao longo de um eixo z é dBdz a força aponta na direção do eixo z e é proporcional à componente μz do momento magnético Ressonância Magnética Um próton possui um momento angular de spin e um momento magnético de spin que apontam na mesma direção Se um próton é submetido a um campo magnético uniforme paralelo a um eixo z a componente μz do momento magnético do próton só pode apontar na direção de ou na direção oposta A diferença de energia entre as duas orientações é 2μzB A energia necessária para inverter a orientação do spin é dada por Em geral é a soma vetorial do campo externo etx produzido pelo aparelho de ressonância magnética e o campo interno int produzido pelos momentos magnéticos de elétrons e núcleos situados nas proximidades do próton considerado A detecção dessas inversões de spin leva a espectros de ressonância magnética nuclear que podem ser usados entre outras coisas para identificar substâncias O Princípio de Exclusão de Pauli Os elétrons confinados em átomos e outros poços de potencial estão sujeitos ao princípio de exclusão de Pauli segundo o qual dois elétrons confinados no mesmo poço de potencial não podem ter o mesmo conjunto de números quânticos Construção da Tabela Periódica Na tabela periódica os elementos são classificados na ordem crescente do número atômico Z que é igual ao número de prótons do núcleo e o número de elétrons do átomo neutro Os estados com o mesmo valor de n formam uma camada os estados com os mesmos valores de n e ℓ formam uma subcamada Nas camadas e subcamadas completas que são as que contêm o maior número possível de elétrons compatível com o princípio de exclusão de Pauli o momento angular total e o momento magnético total são nulos Os Espectros de Raios X dos Elementos Quando um feixe de elétrons de alta energia incide em um alvo os elétrons podem perder energia emitindo raios X ao serem espalhados por átomos do alvo A emissão pode ocorrer em uma faixa de comprimentos de onda que formam o chamado espectro contínuo O menor comprimento de onda do espectro contínuo é o comprimento de onda de corte λmín que é emitido quando um elétron perde toda a energia cinética em uma só colisão e é dado por em que K0 é a energia cinética inicial dos elétrons que incidem no alvo O espectro característico de raios X é produzido quando os elétrons incidentes arrancam elétrons de camadas internas do átomo e elétrons de camadas mais externas decaem para ocupar esses buracos emitindo raios X no processo O gráfico de Moseley é um gráfico da raiz quadrada da frequência de uma das linhas do espectro característico em função da posição do elemento na tabela periódica O fato de o gráfico ser uma linha reta revela que a posição de um elemento na tabela periódica depende do número atômico Z e não do peso atômico O Laser Na emissão estimulada um fóton induz um átomo que está em um estado excitado a passar para o estado fundamental emitindo outro fóton Um fóton emitido por emissão estimulada está em fase com o fóton responsável pela emissão e se move na mesma direção Um laser pode emitir luz por emissão estimulada mas para isso em geral é preciso que exista uma inversão de população isto é que haja mais átomos no estado de maior energia que no estado de menor energia Perguntas 1 a Quantas subcamadas e b quantos estados eletrônicos há na camada n 2 c Quantas subcamadas e d quantos estados eletrônicos há na camada n 5 2 Um elétron em um átomo de ouro se encontra em um estado com n 4 Entre os valores de ℓ a seguir indique quais são os valores possíveis 3 0 2 3 4 5 3 Indique quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas a Uma e apenas uma das seguintes subcamadas não pode existir 2p 4f 3d 1p b O número de valores de mℓ permitidos depende de ℓ mas não de n c A camada n 4 tem quatro subcamadas d O menor valor de n para um dado valor de ℓ é ℓ 1 e Todos os estados com ℓ 0 também têm mℓ 0 f Existem n subcamadas para cada valor de n 4 Em um átomo de urânio as subcamadas 6p e 7s estão completas Qual das subcamadas tem um número maior de elétrons 5 Em um átomo de prata as subcamadas 3d e 4d estão completas Uma das subcamadas tem mais elétrons que a outra ou as duas subcamadas têm o mesmo número de elétrons 6 Nos pares de elementos a seguir indique de que elemento é mais fácil remover um elétron a criptônio e bromo b rubídio e cério c hélio e hidrogênio 7 Um elétron de um átomo de mercúrio está na subcamada 3d Entre os valores de mℓ que aparecem a seguir indique quais são os valores possíveis 3 1 0 1 2 8 A Fig 4022 mostra três pontos nos quais pode ser colocado um elétron com o spin para cima em uma região em que o campo magnético não é uniforme existe um gradiente ao longo do eixo z a Coloque os três pontos na ordem da energia potencial U do momento magnético intrínseco s do elétron começando pelo maior valor positivo b Qual é a orientação da força que o campo magnético exerce sobre um elétron que está no ponto 2 Figura 4022 Pergunta 8 9 A linha Kα do espectro de raios X de qualquer elemento se deve a uma transição entre a camada K n 1 e a camada L n 2 A Fig 4013 mostra essa linha para um alvo de molibdênio como uma linha única Quando a linha é examinada com maior resolução observase que é formada por várias linhas com comprimentos de onda ligeiramente diferentes já que os diferentes estados da camada L não possuem exatamente a mesma energia a De quantas linhas é composta a linha Kα b De quantas linhas é composta a linha Kb 10 Considere os elementos criptônio e rubídio a Qual dos dois elementos é mais apropriado para um experimento como o de SternGerlach ilustrado na Fig 408 b Seria impossível realizar o experimento com um dos elementos Qual 11 De que números quânticos a energia de um elétron depende a em um átomo de hidrogênio e b em um átomo de vanádio 12 Indique quais das condições a seguir são essenciais para o funcionamento de um laser baseado em transições entre dois níveis de energia de um átomo a Haver mais átomos no nível de maior energia do que no nível de menor energia b O nível de maior energia ser metaestável c O nível de menor energia ser metaestável d O nível de menor energia ser o estado fundamental e A substância estar no estado gasoso 13 A Fig 4021 mostra alguns níveis de energia dos átomos de hélio e neônio envolvidos no funcionamento do laser de hélioneônio É dito no texto que um átomo de hélio no estado E3 pode colidir com um átomo de neônio no estado fundamental e excitálo para o estado E2 A energia do estado E3 do hélio 2061 eV não é exatamente igual à energia do estado E2 do neônio 2066 eV Como pode ocorrer a transferência de energia se as duas energias não são exatamente iguais 14 O espectro de raios X da Fig 4013 é para elétrons de 350 keV incidindo em um alvo de molibdênio Z 42 Se o alvo de molibdênio for substituído por um alvo de prata Z 47 determine se cada uma das seguintes grandezas aumenta diminui ou permanece constante a o comprimento de corte λmín b o comprimento de onda da linha Kα e c o comprimento de onda da linha Kb Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 401 Propriedades dos Átomos 1 Um elétron de um átomo de hidrogênio se encontra em um estado com ℓ 5 Qual é o menor valor possível do ângulo semiclássico entre e Lz 2 Quantos estados eletrônicos existem na camada n 5 3 a Qual é o módulo do momento angular orbital em um estado com ℓ 3 b Qual é o módulo da maior projeção desse momento em um eixo arbitrário z 4 Determine quantos estados eletrônicos existem nas seguintes camadas a n 4 b n 1 c n 3 d n 2 5 a Quantos valores de ℓ estão associados ao estado n 3 b Quantos valores de mℓ estão associados ao estado ℓ 1 6 Determine quantos estados eletrônicos existem nas subcamadas a seguir a n 4 ℓ 3 b n 3 ℓ 1 c n 4 ℓ 1 d n 2 ℓ 0 7 Um elétron de um átomo tem mℓ 4 Para esse elétron determine a o valor de ℓ b o menor valor possível de n e c o número de valores possíveis de μs 8 Na subcamada ℓ 3 a qual é o maior valor possível de mℓ b Quantos estados existem com o maior valor possível de mℓ Qual é o número total de estados disponíveis nesta subcamada 9 Um elétron de um átomo se encontra em um estado com ℓ 3 Determine a o módulo de em múltiplos de ħ b o módulo de em múltiplos de μB c o maior valor possível de mℓ d o valor correspondente de Lz em múltiplos de ħ e o valor correspondente de morbz em múltiplos de μB f o valor do ângulo semiclássico θ entre as direções de Lz e o valor de θ para g o segundo maior valor possível de mℓ e h o menor valor possível isto é o mais negativo de mℓ 10 Um elétron de um átomo se encontra em um estado com n 3 Determine a o número de valores possíveis de ℓ b o número de valores possíveis de mℓ c o número de valores possíveis de μs d o número de estados da camada n 3 e d o número de subcamadas da camada n 3 11 Mostre que se a componente Lz do momento angular orbital for medida o máximo que se pode dizer a respeito das outras duas componentes do momento angular orbital é que obedecem à relação 12 Um campo magnético é aplicado a uma esfera homogênea de ferro com raio R 200 mm que flutua livremente no espaço O momento magnético da esfera inicialmente é nulo mas o campo alinha 12 dos momentos magnéticos dos átomos ou seja 12 dos momentos magnéticos dos elétrons fracamente ligados da esfera que correspondem a um elétron por átomo de ferro A soma do momento magnético desses elétrons alinhados constitui o momento magnético intrínseco da esfera s Qual é a velocidade angular ω induzida na esfera pelo campo Módulo 402 O Experimento de SternGerlach 13 Qual será a aceleração de um átomo de prata ao passar pelo ímã do experimento de SternGerlach Fig 408 se o gradiente de campo elétrico for 14 Tmm 14 Um átomo de hidrogênio no estado fundamental se desloca 80 cm perpendicularmente a um campo magnético vertical não uniforme cujo gradiente é dBdz 16 102 Tm a Qual é o módulo da força exercida pelo campo magnético sobre o átomo devido ao momento magnético do elétron que é aproximadamente 1 magnéton de Bohr b Qual é a distância vertical percorrida pelo átomo nos 80 cm de percurso se o átomo está se movendo a uma velocidade de 12 105 ms 15 Determine a o menor e b o maior valor do ângulo semiclássico entre o vetor momento angular de spin do elétron e o campo magnético em um experimento de SternGerlach Não se esqueça de que o momento angular orbital do elétron de valência do átomo de prata é zero 16 Suponha que no experimento de SternGerlach executado com átomos neutros de prata o campo magnético tem um módulo de 050 T a Qual é a diferença de energia entre os átomos de prata nos dois subfeixes b Qual é a frequência da radiação que induziria transições entre esses dois estados c Qual é o comprimento de onda da radiação d Em que região do espectro eletromagnético essa radiação está situada Módulo 403 Ressonância Magnética 17 Em um experimento de ressonância magnética nuclear a frequência da fonte de RF é 34 MHz e a ressonância dos átomos de hidrogênio da amostra é observada quando a intensidade do campo magnético ext do eletroímã é 078 T Suponha que int e ext são paralelos e que a componente μz do momento magnético dos prótons é 141 1026 JT Qual é o módulo de int 18 O estado fundamental do átomo de hidrogênio é na verdade um par de estados muito próximos já que o elétron está sujeito ao campo magnético do núcleo próton Em consequência existe uma energia associada à orientação no momento magnético do elétron em relação a e podemos dizer que o spin do elétron está para cima estado de maior energia ou para baixo estado de menor energia em relação ao campo Quando o elétron é excitado para o estado de maior energia pode passar espontaneamente para o estado de menor energia invertendo o sentido do spin e emitindo um fóton com um comprimento de onda de 21 cm Esse processo é muito comum na Via Láctea e a radiação de 21 cm que pode ser detectada com o auxílio de radiotelescópios revela a existência de nuvens de hidrogênio no espaço sideral Qual é o módulo B do campo magnético efetivo experimentado pelo elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio 19 Qual é o comprimento de onda de um fóton capaz de produzir uma transição do spin de um elétron em um campo magnético de 0200 T Suponha que ℓ 0 Módulo 404 O Princípio de Exclusão de Pauli e Vários Elétrons no Mesmo Poço de Potencial 20 Um curral retangular de dimensões Lx L e Ly 2L contém sete elétrons Qual é a energia do estado fundamental do sistema em múltiplos de h28mL2 Suponha que os elétrons não interagem e não se esqueça de levar em conta o spin 21 Sete elétrons são confinados em um poço de potencial unidimensional infinito de largura L Qual é a energia do estado fundamental do sistema em múltiplos de h28mL2 Suponha que os elétrons não interagem e não se esqueça de levar em conta o spin 22 A Fig 4023 mostra o diagrama de níveis de energia de um elétron em um átomo fictício simulado por um poço de potencial unidimensional infinito de largura L O número de estados degenerados em cada nível está indicado na figura não significa não degenerado o que também se aplica ao estado fundamental duplo significa 2 estados e triplo significa 3 estados Suponha que o poço de potencial contém 11 elétrons Desprezando a interação eletrostática dos elétrons que múltiplo de h28mL2 corresponde à energia do primeiro estado excitado do sistema de 11 elétrons Figura 4023 Problema 22 23 Uma caixa cúbica de dimensões Lx Ly Lz L contém oito elétrons Qual é a energia do estado fundamental do sistema em múltiplos de h28mL2 Suponha que os elétrons não interagem e não se esqueça de levar em conta o spin 24 Para a situação do Problema 20 qual é a energia em múltiplos de h28mL2 a do primeiro estado excitado b do segundo estado excitado e c do terceiro estado excitado do sistema de sete elétrons d Construa um diagrama de níveis de energia para os primeiros quatro níveis de energia do sistema 25 Para a situação do Problema 21 qual é a energia em múltiplos de h28mL2 a do primeiro estado excitado b do segundo estado excitado e c do terceiro estado excitado do sistema de sete elétrons d Construa um diagrama de níveis de energia para os primeiros quatro níveis de energia do sistema 26 Para a situação do Problema 23 qual é a energia em múltiplos de h28mL2 a do primeiro estado excitado b do segundo estado excitado e c do terceiro estado excitado do sistema de oito elétrons d Construa um diagrama de níveis de energia para os primeiros quatro níveis de energia do sistema Módulo 405 Construção da Tabela Periódica 27 Dois dos três elétrons de um átomo de lítio têm números quânticos n ℓ mℓ e μs iguais a 1 0 0 12 e 1 0 0 12 Que números quânticos são possíveis para o terceiro elétron se o átomo se encontra a no estado fundamental e b no primeiro estado excitado 28 Mostre que o número de estados com o mesmo número quântico n é 2n2 29 Um elemento descoberto há relativamente pouco tempo é o darmstádio Ds que possui 110 elétrons Suponha que os níveis de energia disponíveis para os elétrons fossem ocupados na ordem crescente de n e dentro de cada camada na ordem crescente de ℓ o que equivale a ignorar as interações elétronelétron Nesse caso com o átomo no estado fundamental qual seria o número quântico ℓ do último elétron em notação espectroscópica 30 Para um átomo de hélio no estado fundamental quais são os números quânticos n ℓ mℓ e μs a quando o spin do elétron está para cima e b quando o spin do elétron está para baixo 31 Considere os elementos selênio Z 34 bromo Z 35 e criptônio Z 36 Nessa região da tabela periódica as subcamadas dos estados eletrônicos são preenchidas na seguinte ordem 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p Determine a a última subcamada ocupada do selênio e b o número de elétrons que ocupam essa subcamada c a última subcamada ocupada do bromo e d o número de elétrons que ocupam essa subcamada e a última subcamada ocupada do criptônio e f o número de elétrons que ocupam essa subcamada 32 Suponha que dois elétrons de um átomo possuem números quânticos n 2 e ℓ 1 a Quantos estados são possíveis para esses dois elétrons Não se esqueça de que é impossível distinguir dois elétrons b Se o princípio de exclusão de Pauli não existisse quantos estados seriam possíveis Módulo 406 Os Raios X e a Ordem dos Elementos 33 Qual a menor diferença de potencial a que um elétron deve ser submetido em um tubo de raios X para produzir raios X com um comprimento de onda de 0100 nm 34 O comprimento de onda da linha Kα do ferro é 193 pm Qual é a diferença de energia entre os dois estados do átomo de ferro responsáveis por essa linha 35 Na Fig 4013 os raios X são produzidos quando elétrons de 350 keV incidem em um alvo de molibdênio Z 42 Se o mesmo potencial de aceleração for usado e o alvo for substituído por um alvo de prata Z 47 determine os novos valores a de λmín b do comprimento de onda da linha Kα e c do comprimento de onda da linha Kb Os níveis K L e M do átomo de prata compare com a Fig 4015 são 2551 356 053 keV 36 Quando um alvo de molibdênio é bombardeado com elétrons são produzidos um espectro contínuo e um espectro característico de raios X como mostrado na Fig 4013 Na figura a energia cinética dos elétrons incidentes é 350 keV Se o potencial de aceleração dos elétrons for aumentado para 500 keV a qual será o valor médio de λmín b Os comprimentos de onda das linhas Kα e Kb aumentam diminuem ou permanecem iguais 37 Mostre que um elétron em movimento não pode se transformar espontaneamente em um fóton um terceiro corpo átomo ou núcleo deve estar presente Por quê Sugestão Verifique o que é necessário para que as leis de conservação da energia e do momento sejam obedecidas 38 A tabela a seguir mostra o comprimento de onda da linha Kα para alguns elementos Elemento λ pm Elemento λ pm Ti 275 Co 179 V 250 Ni 166 Cr 229 Cu 154 Mn 210 Zn 143 Fe 193 Ga 134 Faça um gráfico de Moseley semelhante ao da Fig 4016 com base nesses dados e verifique a partir da inclinação da reta se está correto o valor de C que aparece no Módulo 406 após a Eq 4027 39 Calcule a razão entre os comprimentos de onda da linha Kα do nióbio Nb e do gálio Ga Os dados necessários podem ser encontrados na tabela periódica do Apêndice G 40 a Use a Eq 4026 para estimar a razão entre as energias dos fótons associados às linhas Kα de dois elementos cujos números atômicos são Z e Z b Qual é essa razão para os elementos urânio e alumínio c Qual é essa razão para os elementos urânio e lítio 41 As energias de ligação dos elétrons da camada K e da camada L do cobre são 8979 e 0951 keV respectivamente Se um feixe de raios X da linha Kα do cobre incide em um cristal de cloreto de sódio e produz uma reflexão de Bragg de primeira ordem com um ângulo de 741 em relação a planos paralelos de átomos de sódio qual é a distância entre esses planos paralelos 42 Use a Fig 4013 para estimar a diferença de energia EL EM para o molibdênio Compare o resultado com o valor obtido a partir da Fig 4015 43 Um alvo de tungstênio Z 74 é bombardeado com elétrons em um tubo de raios X Os níveis K L e M do átomo de tungstênio compare com a Fig 4015 são 695 113 e 230 keV respectivamente a Qual é o menor valor do potencial de aceleração que permite a produção das linhas características Kα e Kβ do tungstênio b Qual é o valor de λmin para esse potencial de aceleração Quais são os comprimentos de onda das linhas c Kα e d Kβ 44 Um elétron de 20 keV fica em repouso depois de sofrer duas colisões com átomos como na Fig 40 14 Suponha que os átomos permanecem estacionários O comprimento de onda do fóton emitido na segunda colisão é 130 pm maior que o comprimento de onda do fóton emitido na primeira colisão a Qual é a energia cinética do elétron após a primeira colisão Determine b o comprimento de onda λ1 e c a energia E1 do primeiro fóton Determine d o comprimento de onda λ2 e e a energia E2 do segundo fóton 45 Raios X são produzidos em um tubo de raios X por elétrons acelerados por uma diferença de potencial de 500 kV Seja K0 a energia cinética de um elétron após a aceleração O elétron colide com um átomo do alvo suponha que o núcleo permanece estacionário e passa a ter uma energia cinética K1 0500K0 a Qual é o comprimento de onda do fóton emitido O elétron colide com outro átomo do alvo suponha que esse átomo também permanece estacionário e passa a ter uma energia cinética K2 0500K1 b Qual é o comprimento de onda do fóton emitido 46 Determine a constante C da Eq 4027 com cinco algarismos significativos expressando C em termos das constantes fundamentais da Eq 4024 e usando os valores do Apêndice B para essas constantes Usando esse valor de C na Eq 4027 determine a energia teórica Eteor do fóton Kα para os elementos leves que aparecem na tabela a seguir A tabela mostra o valor experimental Eexp em elétrons volts da energia do fóton Kα para os mesmos elementos A diferença percentual entre Eteor e Eexp é dada por Determine a diferença percentual a para o Li b para o Be c para o B d para o C e para o N f para o O g para o F h para o Ne i para o Na j para o Mg Li 543 O 5249 Be 1085 F 6768 B 1833 Ne 8486 C 277 Na 1041 N 3924 Mg 1254 Existe na verdade mais de uma linha Kα por causa do desdobramento do nível L mas o desdobramento é desprezível no caso dos elementos leves Módulo 407 O Laser 47 O volume ativo de um laser semicondutor de GaAlAs é apenas 200 μm3 menor que o volume de um grão de areia no entanto o laser é capaz de desenvolver uma potência de 50 mW com um comprimento de onda de 080 μm Quantos fótons o laser emite por segundo 48 Um laser de alta potência λ 600 nm diâmetro do feixe 12 cm é apontado para a Lua a 38 105 km de distância O feixe diverge apenas por causa da difração A posição angular da borda do disco central de difração veja a Eq 3612 é dada por em que d é o diâmetro da abertura de saída do laser Qual é o diâmetro do disco central de difração na superfície da Lua 49 Suponha que o comprimento de onda dos lasers pudesse ser ajustado para qualquer frequência na faixa da luz visível ou seja de 450 nm a 650 nm e que esses lasers pudessem ser usados para transmitir programas de televisão Se cada canal de televisão ocupasse 10 MHz quantos canais de televisão poderiam ser acomodados nesse intervalo 50 Um átomo hipotético possui apenas dois níveis de energia separados por 32 eV Suponha que na atmosfera de uma estrela a certa altitude existem 61 1013 desses átomos por centímetro cúbico no estado de maior energia e 25 1015 átomos por centímetro cúbico no estado de menor energia Qual é a temperatura da atmosfera da estrela a essa altitude 51 Um átomo hipotético possui níveis de energia com uma separação uniforme de 12 eV À temperatura de 2000 K qual é a razão entre o número de átomos no 13o estado excitado e o número de átomos no 11o estado excitado 52 Um laser emite fótons de 424 nm em um único pulso que dura 0500 ms A potência do pulso é 280 MW Supondo que os átomos do laser sofreram emissão estimulada apenas uma vez quantos átomos contribuíram para o pulso luminoso 53 Um laser de hélioneônio emite luz com um comprimento de onda de 6328 nm e uma potência de 23 mW Quantos fótons são emitidos por segundo pelo laser 54 Um laser de gás emite luz com um comprimento de onda de 550 nm que resulta da inversão de população entre o estado fundamental e um estado excitado Quantos mols do gás são necessários à temperatura ambiente para colocar 10 átomos no estado excitado 55 Um laser pulsado emite luz com um comprimento de onda de 6944 nm A duração dos pulsos é 12 ps e a energia por pulso é 0150 J a Qual é a largura dos pulsos b Quantos fótons são emitidos em cada pulso 56 Uma inversão de população entre dois níveis de energia às vezes é representada atribuindo uma temperatura absoluta negativa ao sistema Que temperatura negativa descreveria um sistema no qual a população do nível de maior energia excede de 10 a população do nível de menor energia e a diferença de energia entre os dois níveis é 226 eV 57 Um átomo hipotético possui dois níveis de energia e a transição entre esses níveis produz luz com um comprimento de onda de 580 nm Em uma amostra a 300 K 40 1020 átomos se encontram no estado de menor energia a Quantos átomos estão no estado de maior energia supondo que a amostra se encontra em equilíbrio térmico b Suponha que 30 1020 átomos sejam bombeados para o estado de maior energia por um processo externo com 10 1020 átomos permanecendo no estado de menor energia Qual será a energia liberada pelos átomos em um pulso de luz se todos os átomos sofrerem ao mesmo tempo uma transição entre os dois níveis alguns por absorção outros por emissão estimulada 58 Os espelhos do laser da Fig 4020 que estão separados por uma distância de 80 cm formam uma cavidade ótica na qual podem se estabelecer ondas estacionárias da luz do laser Para qualquer onda estacionária a distância de 80 cm deve corresponder a um número inteiro n de meios comprimentos de onda Na prática n é um número muito grande e portanto a diferença entre os comprimentos de onda das ondas estacionárias é muito pequena Nas proximidades de λ 533 nm qual é a diferença entre os comprimentos de onda de duas ondas estacionárias correspondentes a valores sucessivos de n 59 A Fig 4024 mostra os níveis de energia de dois tipos de átomo Os átomos A estão em um tubo e os átomos B estão em outro tubo As energias em relação à energia do estado fundamental tomada como zero estão indicadas o tempo médio de vida dos átomos em cada nível também está indicado Todos os átomos são inicialmente excitados para níveis mais altos que os que aparecem na figura Em seguida os átomos decaem passando pelos níveis da figura e muitos ficam presos em certos níveis o que resulta em uma inversão de população e na possibilidade da existência do efeito laser A luz emitida por A ilumina B e pode causar emissão estimulada por parte de B Qual é a energia por fóton dessa emissão estimulada Figura 4024 Problema 59 60 O feixe de um laser de argônio com um comprimento de onda de 515 nm tem um diâmetro d de 300 mm e uma potência contínua de 500 W O feixe é focalizado em uma tela por uma lente cuja distância focal f é 350 cm Uma figura de difração com a da Fig 3610 é formada na qual o raio do disco central é dado por veja a Eq 3612 e a Fig 3614 É possível demonstrar que o disco central contém 84 da potência incidente a Qual é o raio do disco central b Qual é a intensidade média potência por unidade de área do feixe incidente c Qual é a intensidade média no disco central 61 O meio ativo de um laser que produz fótons com um comprimento de onda de 694 nm tem 600 cm de comprimento e 100 cm de diâmetro a Considere o meio como uma cavidade ótica ressonante semelhante a um tubo de órgão fechado Quantos nós possui uma onda estacionária ao longo do eixo do laser b Qual teria de ser o aumento Δf da frequência do laser para que a onda estacionária tivesse mais um nó c Mostre que Δf é igual ao inverso do tempo que a luz leva para fazer uma viagem de ida e volta ao longo do eixo do laser d Qual seria o aumento relativo da frequência Δff O índice de refração do meio ativo um cristal de rubi é 175 62 O laser de rubi tem um comprimento de onda de 694 nm Um cristal de rubi possui 400 1019 íons de Cr que são responsáveis pelo efeito laser A transição envolvida é do primeiro estado excitado para o estado fundamental e o pulso produzido dura 200 ms Quando o pulso começa 600 dos íons de Cr estão no primeiro estado excitado e os outros estão no estado fundamental Qual é a potência média emitida durante o pulso Sugestão Não deixe de levar em conta os íons que estão no estado fundamental Problemas Adicionais 63 A Fig 4025 mostra o diagrama de níveis de energia para um elétron em um átomo fictício simulado por um poço de potencial unidimensional infinito de largura L O número de estados degenerados em cada nível está indicado na figura não significa não degenerado o que também se aplica ao estado fundamental duplo significa 2 estados e triplo significa 3 estados Suponha que o poço de potencial contém 22 elétrons Desprezando a interação eletrostática dos elétrons que múltiplo de h28mL2 corresponde à energia do estado fundamental do sistema de 22 elétrons Figura 4025 Problema 63 64 Laser de CO2 marciano Quando a luz solar banha a atmosfera de Marte as moléculas de dióxido de carbono a uma altitude de aproximadamente 75 km se comportam como o meio ativo de um laser Os níveis de energia envolvidos aparecem na Fig 4026 uma inversão de população ocorre entre os níveis E2 e E1 a Qual comprimento de onda da luz solar excita as moléculas para o nível E2 b Qual é o comprimento de onda da luz emitida pelo laser c Em que região do espectro eletromagnético se encontram os comprimentos de onda calculados nos itens a e b Figura 4026 Problema 64 65 Os átomos de sódio excitados emitem duas linhas espectrais muito próximas o chamado dubleto do sódio veja a Fig 4027 com comprimentos de onda de 588995 nm e 589592 nm a Qual é a diferença de energia entre os dois níveis superiores n 3 ℓ 1 b A diferença de energia do item a se deve ao fato de que o momento magnético de spin do elétron pode estar orientado paralelamente ou antiparalelamente ao campo magnético associado ao movimento orbital do elétron Use o resultado do item a para calcular o módulo desse campo magnético interno Figura 4027 Problema 65 66 Emissão estimulada em cometas Quando um cometa se aproxima do Sol o calor faz com que o gelo da superfície do cometa sublime produzindo uma tênue atmosfera de vapor dágua A luz solar dissocia as moléculas de vapor dágua produzindo H e OH A luz solar também pode excitar os radicais OH para níveis de maior energia Quando o cometa ainda está relativamente distante do Sol a luz solar excita os átomos para os níveis E1 e E2 com igual probabilidade Fig 4028a Assim não ocorre uma inversão de população entre os dois níveis Quando o cometa se aproxima do Sol a excitação de elétrons para o nível E1 diminui e acontece uma inversão de população A razão tem a ver com um dos muitos comprimentos de onda as chamadas linhas de Fraunhofer que estão ausentes da luz solar por causa da absorção dos átomos da atmosfera solar Quando o cometa se aproxima do Sol a velocidade do cometa em relação ao Sol aumenta e o efeito Doppler se acentua fazendo uma das linhas de Fraunhofer coincidir com o comprimento de onda necessário para excitar os elétrons dos radicais OH para o nível E1 A inversão de população resultante faz com que o radical comece a irradiar por emissão estimulada Fig 4028b Ao se aproximar do Sol em dezembro de 1973 e janeiro de 1974 o cometa Kouhoutek apresentou uma forte emissão na frequência de 1666 MHz em meados de janeiro a Qual é a diferença de energia E2 E1 para essa emissão b Em que região do espectro eletromagnético fica essa frequência Figura 4028 Problema 66 67 Mostre que a frequência de corte em picômetros do espectro contínuo de raios X de qualquer alvo é dada por λmín 1240V em que V é a diferença de potencial em quilovolts usada para acelerar os elétrons 68 Medindo o tempo que um pulso de laser emitido por um observatório da Terra leva para ir à Lua e voltar depois de ser refletido por um espelho deixado pelos astronautas em nosso satélite é possível medir a distância entre os dois astros a Qual é o valor previsto desse tempo b A distância pode ser medida com uma precisão da ordem de 15 cm A que indeterminação do tempo de percurso corresponde este valor c Se o laser ilumina uma região da Lua com um diâmetro de 3 km qual é a divergência angular do feixe 69 Um míssil balístico intercontinental pode ser destruído por um laser de alta potência Um feixe com uma intensidade de 108 Wm2 provavelmente seria suficiente para destruir um míssil em 1 s a Um laser com uma potência de 50 MW um comprimento de onda de 30 μm e um feixe com 40 m de diâmetro essa descrição corresponde a um laser de grande porte seria capaz de destruir um míssil a uma distância de 3000 km b Qual deveria ser no máximo o valor do comprimento de onda do laser para que o míssil fosse destruído a essa distância Use a equação para o disco central de difração dada pela Eq 3612 sen θ 122λd 70 Um alvo de molibdênio Z 42 é bombardeado com elétrons de 350 keV produzindo o espectro de raios X da Fig 4013 Os comprimentos de onda das linhas Kα e Kβ são 630 e 710 pm respectivamente Determine a energia dos fótons responsáveis a pela linha Kα e b pela linha Kb Desejase filtrar a radiação usando uma das substâncias da tabela a seguir de modo a obter uma predominância da linha Kα Uma substância absorve mais a radiação x1 que a radiação x2 se um fóton da radiação x1 tem energia suficiente para ejetar um elétron K de um átomo da substância mas o mesmo não acontece com um fóton da radiação x2 A tabela mostra a energia de ionização do elétron K no molibdênio e em quatro outras substâncias c Qual é a substância mais apropriada para ser usada como filtro d Qual é a segunda substância mais apropriada Zr Nb Mo Tc Ru Z 40 40 42 43 44 EK keV 1800 1899 2000 2104 2212 71 Um elétron de um átomo tem o número quântico ℓ 3 Quais são os valores possíveis de n mℓ e μs 72 Mostre que se os 63 elétrons de um átomo de európio fossem distribuídos em camadas de acordo com a ordem natural dos números quânticos esse elemento seria quimicamente semelhante ao sódio 73 Os lasers podem ser usados para gerar pulsos luminosos muito estreitos com uma duração de apenas 10 fs a Quantos comprimentos de onda de luz visível λ 500 nm estão contidos em um pulso com essa duração b Determine o valor de X em anos na seguinte relação 74 Mostre que ħ 106 1034 J s 659 1016 eV s 75 Suponha que os elétrons não tivessem spin e que o princípio de exclusão de Pauli pudesse ser aplicado Algum dos gases nobres permaneceria nessa categoria 76 Um problema que envolve o princípio de correspondência Estime a o número quântico ℓ associado ao movimento da Terra em torno do Sol e b o número de orientações permitidas do plano da órbita da Terra de acordo com as regras de quantização do momento angular c Determine o valor de θmín metade do ângulo do menor cone que pode ser varrido por uma perpendicular à órbita de Terra quando o planeta se move em torno do Sol 77 Com base na informação de que o comprimento de onda mínimo dos raios X produzidos por elétrons de 400 keV ao atingirem um alvo é 311 pm estime o valor de h a constante de Planck 78 Considere um átomo com dois estados excitados muito próximos A e B Se o átomo salta do estado fundamental para o estado A ou para o estado B ele emite um fóton com um comprimento de onda de 500 nm ou 510 nm respectivamente Qual é a diferença de energia entre os estados A e B 79 Em 1911 Ernest Rutherford propôs um modelo segundo o qual o átomo seria formado por uma carga pontual de carga positiva Ze no centro de uma esfera de carga negativa Ze uniformemente distribuída em uma esfera de raio R A uma distância r R do centro da esfera o potencial elétrico é a A partir da expressão de V calcule o módulo do campo elétrico para 0 r R Determine b o campo elétrico e c o potencial para r R CAPÍTULO 41 Condução de Eletricidade nos Sólidos 411 PROPRIEDADES ELÉTRICAS DOS METAIS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4101 Conhecer as três propriedades básicas dos sólidos cristalinos e desenhar a célula unitária de um sólido cristalino 4102 Conhecer a diferença entre isolantes metais e semicondutores 4103 Explicar usando desenhos a transição dos níveis de energia de um átomo isolado para as bandas de energia dos sólidos 4104 Desenhar o diagrama de níveis de energia de um isolante mostrando as bandas cheias e vazias e explicar o que impede os elétrons de participar de uma corrente elétrica 4105 Desenhar o diagrama de níveis de energia de um metal e explicar por que ao contrário do que acontece nos isolantes os elétrons dos metais podem participar de uma corrente elétrica 4106 Saber o que é o nível de Fermi a energia de Fermi e a velocidade de Fermi 4107 Conhecer a diferença entre átomos monovalentes átomos divalentes e átomos trivalentes 4108 No caso de um condutor conhecer a relação entre a concentração de elétrons de condução e a massa específica o volume e a massa molar do material 4109 Saber que no caso de uma banda de energia parcialmente ocupada de um metal a agitação térmica pode transferir alguns elétrons de condução para níveis de maior energia 4110 Calcular a densidade de estados NE de um material e saber que se trata na verdade de uma dupla densidade por unidade de volume e por unidade de intervalo de energia 4111 Calcular o número de estados por unidade de volume em um intervalo ΔE no entorno da energia E de uma banda integrando NE ao longo do intervalo ou se ΔE E calculando o produto NE ΔE 4112 Calcular a probabilidade PE de que um nível de energia E de um material esteja ocupado por elétrons 4113 Saber que a probabilidade PE é 05 para E EF em que EF é o nível de Fermi 4114 Calcular a densidade de estados ocupados NoE 4115 Calcular o número de estados e o número de estados ocupados em um dado intervalo de energia 4116 Desenhar os gráficos da densidade de estados NE da probabilidade de ocupação PE e da densidade de estados ocupados NoE 4117 Conhecer a relação entre a energia de Fermi e a concentração de elétrons de condução IdeiasChave Os sólidos cristalinos podem ser classificados em isolantes metais e semicondutores Os níveis de energia quantizados dos sólidos cristalinos formam bandas permitidas que são separadas por bandas proibidas Nos metais a banda ocupada de maior energia está parcialmente ocupada por elétrons e o nível ocupado de maior energia a 0 K é chamado de nível de Fermi e representado pelo símbolo EF Nos metais os elétrons de condução são os elétrons de uma banda parcialmente ocupada cuja concentração número por unidade de volume é dada por em que M é a massa molar do material e NA é o número de Avogadro A densidade de estados NE dos níveis de energia por unidade de volume e por unidade de intervalo de energia é dada por em que m é a massa do elétron A probabilidade de ocupação PE é a probabilidade de que um nível de energia seja ocupado por um elétron A densidade de estados ocupados NoE é dada pelo produto da densidade de estados pela probabilidade de ocupação NoE NE PE A energia de Fermi EF de um metal pode ser calculada integrando NoE para T 0 K zero absoluto de E 0 a E EF O resultado é O que É Física Uma questão importante da física da qual depende o desenvolvimento da microeletrônica é a seguinte Quais são os mecanismos por meio dos quais um material conduz ou não conduz uma corrente elétrica Essa pergunta ainda não foi respondida de forma totalmente satisfatória principalmente porque qualquer explicação envolve a aplicação da física quântica não a átomos e partículas isoladas como nos últimos capítulos mas a um número enorme de partículas que estão concentradas em um pequeno volume e interagem de várias formas Nosso ponto de partida para abordar essa questão será dividir os sólidos entre os que conduzem e os que não conduzem corrente elétrica Figura 411 a A célula unitária do cobre tem a forma de um cubo Existe um átomo de cobre tom mais escuro em cada vértice do cubo e um átomo de cobre tom mais claro no centro de cada face do cubo Esse tipo de estrutura é chamado de rede cúbica de faces centradas b A célula unitária do silício e do diamante também tem a forma de um cubo nesse tipo de estrutura conhecido com rede do diamante existe um átomo representado em tom mais escuro em cada vértice do cubo e um átomo representado em tom mais claro no centro de cada face do cubo Além disso existem quatro átomos representados em tom intermediário no interior do cubo Cada átomo está ligado aos quatro vizinhos mais próximos por uma ligação covalente que envolve dois elétrons A figura mostra os quatro vizinhos mais próximos apenas para os quatro átomos que estão no interior do cubo Propriedades Elétricas dos Sólidos Neste capítulo vamos discutir apenas sólidos cristalinos isto é sólidos cujos átomos estão dispostos em uma estrutura periódica tridimensional conhecida como rede cristalina Não consideraremos sólidos como a madeira o plástico o vidro e a borracha cujos átomos não formam uma estrutura periódica A Fig 411 mostra as unidades básicas células unitárias das redes cristalinas do cobre nosso protótipo de metal e do silício e do diamante carbono nossos protótipos de semicondutor e isolante respectivamente 1 2 3 Podemos classificar os sólidos do ponto de vista elétrico de acordo com três propriedades básicas A resistividade r cuja unidade no SI é o ohmmetro Ω m a resistividade foi definida no Módulo 263 O coeficiente de temperatura da resistividade α é definido pela relação α 1ρdρdT veja a Eq 2617 cuja unidade no SI é o inverso do kelvin K1 Para determinar experimentalmente o a de um sólido é preciso medir a resistividade ρ em várias temperaturas A concentração de portadores de carga n definida como o número de portadores de carga por unidade de volume cuja unidade no SI é o inverso do metro cúbico m3 Um dos métodos para medir essa grandeza utiliza o efeito Hall que foi discutido no Módulo 283 Medindo a resistividade de diferentes materiais constatamos que existem alguns materiais os chamados isolantes que para todos os efeitos práticos não conduzem eletricidade Em outras palavras a resistividade elétrica desses materiais é extremamente elevada O diamante um bom exemplo tem uma resistividade 1024 vezes maior que a do cobre Podemos usar as medidas de ρ α e n para dividir os materiais que não são isolantes em duas categorias principais metais e semicondutores Os semicondutores possuem uma resistividade ρ bem maior que a dos metais O coeficiente de temperatura da resistividade α dos semicondutores é negativo e relativamente elevado enquanto o dos metais é positivo e relativamente pequeno Em outras palavras a resistividade de um semicondutor diminui rapidamente quando a temperatura aumenta enquanto a dos metais aumenta lentamente quando a temperatura aumenta Os semicondutores possuem uma concentração de portadores n bem menor que a dos metais A Tabela 411 mostra os valores dessas grandezas para o cobre nosso protótipo de metal e para o silício nosso protótipo de semicondutor Vamos agora tentar responder à questão central deste capítulo O que faz do diamante um isolante do cobre um metal e do silício um semicondutor Níveis de Energia em um Sólido Cristalino A distância entre átomos vizinhos no cobre à temperatura ambiente é 260 pm A Fig 412a mostra dois átomos isolados de cobre separados por uma distância r muito maior que 260 pm Como se pode ver na Fig 412b cada átomo contém 29 elétrons distribuídos em diferentes subcamadas da seguinte forma Figura 412 a Dois átomos de cobre separados por uma grande distância as distribuições de elétrons nos átomos estão representadas por gráficos de pontos b Cada átomo de cobre possui 29 elétrons distribuídos em várias subcamadas Em um átomo neutro no estado fundamental todas as subcamadas até o nível 3d estão totalmente ocupadas e a subcamada 4s contém um elétron a subcamada pode acomodar dois elétrons as subcamadas de maior energia estão vazias Para simplificar o desenho a separação entre os níveis de energia foi mostrada na figura como se fosse constante Tabela 411 Algumas Propriedades Elétricas do Cobre e do Silícioa Propriedade Unidade Elemento Cobre Silício Tipo de condutor Metal Semicondutor Resistividade ρ Ω m 2 108 3 103 Coeficiente de temperatura da resistividade α K1 4 103 70 103 Concentração de portadores de carga n m3 9 1028 1 1016 aTodos os valores são para a temperatura ambiente 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s1 A notação do Módulo 405 foi usada para rotular as subcamadas Assim por exemplo a subcamada com número quântico principal n 3 e número quântico orbital ℓ 1 é denominada subcamada 3p Essa subcamada pode acomodar 22ℓ 1 6 elétrons o número de estados realmente ocupados é indicado por um índice superior Podemos ver que as primeiras seis subcamadas do cobre estão totalmente ocupadas mas a última a subcamada 4s que pode acomodar 2 elétrons contém apenas um Quando aproximamos dois átomos como os da Fig 412a as funções de onda se superpõem Nesse caso não podemos mais falar de átomos independentes temos que considerar um sistema de dois átomos Esse sistema que no caso do cobre contém 2 29 58 elétrons está sujeito ao princípio de exclusão de Pauli o que significa que os 58 elétrons devem ocupar estados quânticos diferentes Em consequência cada nível de energia do átomo isolado se desdobra em dois níveis A rede cristalina do cobre é formada por um número muito maior de átomos reunidos em um arranjo periódico Se a rede cristalina contém N átomos cada nível de um átomo isolado de cobre se desdobra em N níveis Assim em uma rede cristalina os níveis de energia de um átomo isolado se desdobram para formar bandas de energia separadas por bandas proibidas isto é níveis de energia que nenhum elétron pode ocupar Uma banda típica tem alguns elétronsvolts de largura Como N pode ser da ordem de 1024 o espaçamento dos níveis no interior de uma banda é extremamente pequeno e a banda pode ser considerada praticamente contínua A Fig 413 mostra a estrutura de bandas de energia de um sólido cristalino típico Observe que as bandas de menor energia são mais estreitas que as de maior energia Isso acontece porque os elétrons que ocupam as bandas de menor energia estão mais próximos do núcleo atômico e as funções de onda desses elétrons não sofrem uma grande superposição com as funções de onda dos elétrons correspondentes dos átomos vizinhos Por essa razão o desdobramento dos níveis de energia não é tão grande como o dos níveis de energia ocupados pelos elétrons mais distantes do núcleo Figura 413 Bandas de energia de um sólido cristalino típico Como mostra a ampliação as bandas são formadas por um grande número de níveis de energia com um espaçamento extremamente pequeno Em muitos sólidos bandas vizinhas se superpõem para simplificar o desenho não mostramos essa situação Isolantes Dizemos que uma substância é isolante se a aplicação de uma diferença de potencial à substância não produz uma corrente elétrica Para que exista uma corrente elétrica é necessário que a energia cinética média dos elétrons do material aumente Para isso alguns elétrons devem passar para um nível mais alto de energia Nos isolantes como mostra a Fig 414 a banda de maior energia que contém elétrons está totalmente ocupada e o princípio de exclusão de Pauli impede que elétrons sejam transferidos para níveis já ocupados Assim os elétrons da banda totalmente ocupada de um isolante não têm para onde ir É como se alguém tentasse escalar uma escada estreita com uma pessoa parada em cada degrau por falta de degraus vazios a pessoa não conseguiria subir Existem muitos níveis desocupados em uma banda que fica acima da última banda ocupada da Fig 414 Entretanto para que um elétron seja transferido para um desses níveis ele precisa adquirir energia suficiente para superar a diferença de energia entre as duas bandas No diamante a diferença é tão grande 55 eV ou seja 140 vezes a energia térmica de um elétron à temperatura ambiente que praticamente nenhum elétron consegue transpôla Por essa razão o diamante se comporta como um isolante Figura 414 Bandas de energia de um isolante os níveis ocupados são mostrados em vermelho e os níveis desocupados em azul Exemplo 4101 Probabilidade de excitação de um elétron em um isolante Estime a probabilidade de que à temperatura ambiente 300 K um elétron da extremidade superior da última banda ocupada do diamante um isolante passe para a extremidade inferior da primeira banda desocupada separada da primeira por uma energia Eg Para o diamante Eg 55 eV IDEIACHAVE No Capítulo 40 usamos a Eq 4029 para relacionar a população Nx de átomos do nível de energia Ex à população N0 do nível E0 supondo que os átomos façam parte de um sistema em equilíbrio térmico à temperatura T medida em kelvins k é a constante de Boltzmann 862 105 eVK Neste capítulo podemos usar a Eq 411 para calcular a probabilidade aproximada P de que um elétron em um isolante transponha a barreira de energia Eg da Fig 414 Cálculos A probabilidade P é aproximadamente igual à razão NxN0 entre as populações na extremidade inferior da banda de cima e na extremidade superior da banda de baixo que pode ser calculada usando a Eq 411 com Ex E0 Eg No caso do diamante o expoente da Eq 411 é A probabilidade pedida é portanto Esse resultado mostra que aproximadamente 3 elétrons em cada 1093 conseguem passar para a banda de cima Como os maiores diamantes conhecidos têm menos de 1023 elétrons a probabilidade de que esse salto ocorra é extremamente pequena É por isso que o diamante é um ótimo isolante Figura 415 Bandas de energia de um metal O nível mais alto ocupado chamado nível de Fermi fica perto do centro de uma banda Como existem níveis vazios disponíveis dentro da banda os elétrons podem ser transferidos facilmente para esses níveis e o material conduz corrente elétrica Metais O que define um metal é que como na Fig 415 o nível de energia mais alto ocupado pelos elétrons está perto do centro de uma banda de energias permitidas Quando aplicamos uma diferença de potencial a um metal produzimos uma corrente elétrica já que existem muitos estados com uma energia ligeiramente maior para os quais os elétrons podem ser transferidos pela diferença de potencial No Módulo 264 apresentamos o modelo dos elétrons livres para um metal no qual os elétrons de condução estavam livres para se mover no interior do material como as moléculas de um gás em um recipiente fechado Usamos esse modelo para chegar a uma expressão para a resistividade de um metal supondo que os elétrons obedeciam às leis da mecânica newtoniana Agora vamos usar o mesmo modelo para explicar o comportamento dos elétrons de condução na banda parcialmente completa da Fig 415 Desta vez vamos respeitar as leis da física quântica supondo que as energias dos elétrons são quantizadas e que o princípio de exclusão de Pauli é respeitado Vamos supor também que a energia potencial elétrica U de um elétron de condução tem o mesmo valor em todos os pontos do material Tomamos arbitrariamente esse valor como zero caso em que a energia mecânica E dos elétrons é igual à energia cinética e a extremidade inferior da banda parcialmente ocupada da Fig 415 corresponde a E 0 O nível mais alto ocupado da banda no zero absoluto T 0 K é denominado nível de Fermi a energia correspondente é chamada de energia de Fermi e representada pelo símbolo EF No caso do cobre EF 70 eV A velocidade de um elétron com uma energia cinética igual à energia de Fermi é chamada de velocidade de Fermi e representada pelo símbolo vF No caso do cobre vF 16 106 ms Este fato deve ser suficiente para desmentir a crença popular de que todos os movimentos cessam no zero absoluto A essa temperatura por causa do princípio de exclusão de Pauli os elétrons estão distribuídos na banda parcialmente completa da Fig 415 com energias que vão de zero até a energia de Fermi Quantos Elétrons de Condução Existem Se pudéssemos observar o que acontece com os elétrons dos átomos quando se unem para formar um sólido veríamos que os elétrons de condução de um metal são os elétrons de valência elétrons da última camada dos átomos originais Os átomos monovalentes contribuem com um elétron para os elétrons de condução de um metal os átomos divalentes contribuem com dois Assim o número total de elétrons de condução é dado por Neste capítulo vamos escrever várias equações usando palavras em lugar de símbolos porque os símbolos que usamos anteriormente para representar essas grandezas agora representam outras grandezas A concentração de elétrons de condução em uma amostra representada pela letra n é o número de elétrons de condução por unidade de volume Podemos relacionar o número de átomos em uma amostra a várias outras propriedades da amostra e do material de que é feita a amostra usando as seguintes equações 1 2 3 em que a massa molar M é a massa de um mol do material de que é feita a amostra e NA é o número de Avogadro 602 1023 mol1 Exemplo 4102 Número de elétrons de condução de um metal Quantos elétrons de condução existem em um cubo de magnésio com um volume de 200 106 m3 Os átomos de magnésio são divalentes IDEIASCHAVE Como os átomos de magnésio são divalentes cada átomo de magnésio contribui com dois elétrons de condução O número de elétrons de condução existentes no cubo está relacionado ao número de átomos do cubo pela Eq 412 Podemos determinar o número de átomos usando a Eq 414 e os dados conhecidos a respeito do volume do cubo e das propriedades do magnésio Cálculos A Eq 414 pode ser escrita na forma O magnésio tem massa específica de 1738 gcm3 1738 103 kgm3 e massa molar de 24312 gmol 24312 103 kgmol veja o Apêndice F O numerador é igual a Usando esse resultado e o fato de que os átomos de magnésio são divalentes obtemos Condutividade Acima do Zero Absoluto Nosso interesse prático está na condução de eletricidade por metais em temperaturas muito acima do zero absoluto O que acontece com a distribuição de elétrons da Fig 415 quando a temperatura aumenta Como vamos ver em seguida as mudanças em relação à distribuição no zero absoluto são surpreendentemente pequenas Dos elétrons que estão na banda parcialmente ocupada da Fig 415 apenas os que têm energias próximas da energia de Fermi são afetados pela agitação térmica Mesmo para T 1000 K temperatura na qual o cobre já está incandescente a distribuição de elétrons entre os níveis disponíveis não é muito diferente da distribuição para T 0 K Existe uma explicação para isso A grandeza kT em que k é a constante de Boltzmann é uma medida conveniente da energia que pode ser fornecida a um elétron de condução pelas vibrações aleatórias da rede cristalina Para T 1000 K kT 0086 eV É extremamente improvável que a agitação térmica forneça a um elétron uma energia muito maior que esse valor em consequência apenas um pequeno número de elétrons aqueles muito próximos do nível de Fermi recebe energia suficiente para ser promovido a um nível desocupado Em linguagem poética a agitação térmica produz apenas pequenas ondulações na superfície do mar de elétrons de Fermi as vastas profundezas do mar não são afetadas Quantos Estados Quânticos Existem A capacidade de um metal de conduzir eletricidade depende do número de estados disponíveis para os elétrons e da energia desses estados Surge naturalmente uma pergunta Quais são as energias dos estados que compõem a banda parcialmente completa da Fig 415 Essa pergunta não pode ser respondida pois os estados são tão numerosos que seria impossível enumerálos Uma pergunta que pode ser respondida é a seguinte Quantos estados existem por unidade de volume no intervalo de energias entre E e E dE Esse número é normalmente escrito na forma NE dE em que NE é uma grandeza conhecida como densidade de estados A unidade de NE dE no SI é o número de estados por metro cúbico estadosm3 ou simplesmente m3 e a unidade de NE mais usada na prática embora não seja uma unidade do SI é o número de estados por metro cúbico e por elétronvolt m3 eV1 Podemos obter uma expressão para a densidade de estados contando o número de diferentes ondas estacionárias que podem ser excitadas em uma caixa do tamanho da amostra que estamos estudando O processo é análogo ao de contar o número de ondas sonoras estacionárias que podem existir em um tubo de órgão A diferença é que nosso problema é tridimensional o problema do tubo de órgão é unidimensional e as ondas são ondas de matéria as ondas em um tubo de órgão são ondas sonoras É possível demonstrar o seguinte resultado em que m 9109 1031 kg é a massa do elétron h 6626 1034 J s é a constante de Planck E é a energia em joules para a qual o valor de NE é calculado e NE é a densidade de estados em número de estados por metro cúbico e por joule m3 J1 Para modificar a Eq 415 de tal maneira que o valor de E esteja em elétronsvolts e o valor de NE em número de estados por metro cúbico e por elétronvolt m3 eV1 basta multiplicar o lado direito da equação por e32 em que e é a carga fundamental 1602 1019 C A Fig 416 mostra um gráfico dessa versão modificada da Eq 415 Observe que a densidade de estados é independente da forma temperatura e composição da amostra Figura 416 A função densidade de estados NE definida como o número de níveis de energia disponíveis para os elétrons por unidade de energia e por unidade de volume plotada em função da energia A função densidade de estados expressa apenas o número de estados disponíveis esses estados podem estar ou não ocupados por elétrons Teste 1 A distância entre níveis de energia vizinhos em uma amostra de cobre para E 4 eV é maior igual ou menor que a distância entre níveis vizinhos para E 6 eV Exemplo 4103 Número de estados por elétronvolt em um metal a Use os dados da Fig 416 para determinar o número de estados por elétronvolt para E 7 eV em uma amostra metálica com um volume V 2 109 m3 IDEIACHAVE Podemos obter o número de estados por elétronvolt para uma energia qualquer a partir da densidade de estados NE para essa energia e do volume V da amostra Cálculos Para uma energia de 7 eV temos Segundo a Fig 416 para uma energia de 7 eV a densidade de estados é 18 1028 m3 eV1 Assim temos b Determine o número N de estados em um pequeno intervalo de energia ΔE 0003 eV com centro em 7 eV o intervalo é considerado pequeno porque é muito menor que o valor central Cálculo De acordo com a Eq 415 e a Fig 416 sabemos que a densidade de estados depende da energia E entretanto para um pequeno intervalo ΔE pequeno nesse contexto significa ΔE E podemos supor que a densidade de estados e portanto o número de estados por elétronvolt é aproximadamente constante Assim para uma energia de 7 eV e um intervalo de energia ΔE 0003 eV temos a seguinte relação aproximada ou Quando tiver que calcular o número de estados em um intervalo de energia o leitor deve verificar primeiro se o intervalo é suficientemente pequeno para que esse tipo de aproximação possa ser usado A Probabilidade de Ocupação PE Se um nível de energia E está disponível qual é a probabilidade PE de que o nível esteja ocupado por um elétron Em T 0 K sabemos que para todas as energias menores que a energia de Fermi PE 1 ou seja todos os níveis estão ocupados Sabemos também que para todas as energias maiores que a energia de Fermi PE 0 isto é todos os níveis estão desocupados Essa situação está ilustrada na Fig 417a Para determinar a função PE em temperaturas acima do zero absoluto precisamos usar uma estatística quântica conhecida como estatística de FermiDirac em homenagem aos cientistas que a propuseram Usando essa estatística é possível demonstrar que a probabilidade de ocupação PE é dada por Figura 417 A função probabilidade de ocupação PE expressa a probabilidade de que um nível de energia seja ocupado por um elétron a Em T 0 K PE 1 para níveis com energia menor que a energia de Fermi EF e PE 0 para níveis com energia maior que EF b Em T 1000 K a agitação térmica faz com que alguns poucos elétrons com energia ligeiramente menor que a energia de Fermi sejam excitados para estados com energia ligeiramente maior que a energia de Fermi O ponto na curva mostra que para E EF PE 05 em que EF é a energia de Fermi Observe que PE não depende da energia E do nível e sim da diferença E EF que pode ser positiva ou negativa Para verificar se a Eq 416 cobre a situação representada na Fig 417a basta fazer T 0 O resultado é o seguinte Para E EF o termo exponencial da Eq 416 é e 0 portanto PE 1 o que está de acordo com a Fig 417a Para E EF o termo exponencial da Eq 416 é e1 portanto PE 0 o que também está de acordo com a Fig 417a A Fig 417b mostra o gráfico da função PE para T 1000 K Examinando a figura vemos que como já foi comentado a distribuição de elétrons entre os estados disponíveis só difere da distribuição a 0 K da Fig 417a para uma pequeno intervalo de energias nas vizinhanças do nível de Fermi Observe que para E EF qualquer que seja a temperatura o termo exponencial da Eq 416 é e0 1 e portanto PE 05 Este fato leva a uma outra forma de definir a energia de Fermi A energia de Fermi de um material é a energia do estado quântico cuja probabilidade de estar ocupado por um elétron é 05 As Figs 417a e 417b foram plotadas para o cobre cuja energia de Fermi é 70 eV Assim para o cobre tanto em T 0 como em T 1000 K a probabilidade de o estado de energia E 70 eV estar ocupado é 051 Exemplo 4104 Probabilidade de ocupação de um estado quântico em um metal a Qual é a probabilidade de um estado quântico cuja energia é 010 eV maior que a energia de Fermi estar ocupado por um elétron A temperatura da amostra é 800 K IDEIACHAVE A probabilidade de ocupação de qualquer estado de um metal pode ser calculada usando a Eq 416 Cálculos Para aplicar a Eq 416 vamos primeiro calcular o expoente Substituindo esse valor na Eq 416 obtemos b Qual é a probabilidade de ocupação de um estado cuja energia é 010 eV menor que a energia de Fermi Cálculo A mesma IdeiaChave do item a se aplica neste caso Como o estado está abaixo da energia de Fermi o expoente de e na Eq 416 é negativo mas o valor absoluto da diferença E EF permanece o mesmo Assim temos No caso de estados abaixo da energia de Fermi estamos frequentemente mais interessados na probabilidade de que o estado esteja desocupado Essa probabilidade é simplesmente 1 PE o que no caso que estamos examinando corresponde a 19 Observe que essa probabilidade é igual à obtida no item a Este fato não é uma simples coincidência mas resulta da simetria da função PE em relação à energia de Fermi Quantos Estados Ocupados Existem A Eq 415 e a Fig 416 mostram qual é a distribuição de estados disponíveis em função da energia A probabilidade de que um estado disponível esteja ocupado por um elétron é dada pela Eq 416 Para determinar NoE a densidade de estados ocupados devemos atribuir a cada estado disponível um peso correspondente à probabilidade de ocupação escrevendo ou A Fig 418a mostra um gráfico da Eq 417 para o cobre a 0 K A curva pode ser obtida multiplicando para cada energia o valor da densidade de estados veja a Eq 416 pelo valor da probabilidade de ocupação a 0 K Fig 417a A Fig 418b que é obtida de forma semelhante mostra a densidade de estados ocupados do cobre a 1000 K Figura 418 a Densidade de estados ocupados NoE do cobre no zero absoluto A área sob a curva é a concentração de elétrons n Observe que todos os estados com energia menor que a energia de Fermi EF 7 eV estão ocupados e todos os estados com energia maior que a energia de Fermi estão vazios b Densidade de estados ocupados NoE do cobre para T 1000 K Observe que apenas os elétrons com energia próxima da energia de Fermi foram afetados pelo aumento da temperatura Exemplo 4105 Número de estados ocupados em um pequeno intervalo de energia Uma amostra de cobre energia de Fermi 70 eV tem um volume de 2 109 m3 Quantos estados ocupados por elétronvolt existem em um pequeno intervalo de energia no entorno de 70 eV IDEIASCHAVE 1 A densidade de estados ocupados NoE é dada pela Eq 417 NoE NEPE 2 Como estamos interessados em calcular o número de estados ocupados por unidade de energia em pequeno intervalo de energia nas vizinhanças de 70 eV a energia de Fermi do cobre a probabilidade de ocupação PE é aproximadamente 050 Cálculos De acordo com a Fig 416 a densidade de estados para uma energia de 7 eV é aproximadamente 18 1028 m3 eV1 Assim conforme a Eq 417 a densidade de estados ocupados é NoE NE PE 18 1028 m3 eV1050 09 1028 m3 eV1 Temos também Substituindo NoE e V por seus valores obtemos Cálculo da Energia de Fermi Se calcularmos por integração o número de estados ocupados de um metal por unidade de volume a 0 K para todas as energias entre E 0 e E EF o resultado terá de ser igual a n o número de elétrons de condução por unidade de volume do material já que a essa temperatura nenhum estado com energia maior que o nível de Fermi está ocupado Temos Graficamente a integral representa a área sob a curva da Fig 418a Como no zero absoluto PE 1 para todas as energias menores que a energia de Fermi podemos substituir NoE na Eq 418 por NE usando a Eq 417 e usar a Eq 418 para calcular a energia de Fermi EF Substituindo a Eq 415 na Eq 418 obtemos em que m é a massa do elétron Explicitando EF obtemos Assim se conhecemos n o número de elétrons de condução por unidade de volume de um metal podemos calcular a energia de Fermi do metal 412 PROPRIEDADES ELÉTRICAS DOS SEMICONDUTORES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4118 Desenhar o diagrama de níveis de energia de um semicondutor indicando as bandas de condução e de valência os elétrons de condução os buracos e a banda proibida 4119 Comparar a largura da banda proibida de um semicondutor com a largura da banda proibida de um isolante 4120 Conhecer a relação entre a largura da banda proibida e a probabilidade de a agitação térmica fazer com que um elétron passe da banda de valência para a banda de condução 4121 Desenhar a estrutura cristalina do silício puro e do silício dopado 4122 Saber o que são buracos como são produzidos e como se movem sob a ação de um campo elétrico 4123 Comparar a resistividade e o coeficiente de temperatura da resistividade de metais e semicondutores e explicar a variação da resistividade com a temperatura nos semicondutores 4124 Explicar como são produzidos semicondutores tipo n e tipo p 4125 Conhecer a relação entre o número de elétrons de condução em um semicondutor puro e o número de elétrons de condução em um semicondutor dopado 4126 Saber o que são impurezas doadoras e aceitadoras e mostrar os níveis de energia correspondentes às impurezas doadoras e aceitadoras em um diagrama de níveis de energia 4127 Saber o que são portadores em maioria e portadores em minoria 4128 Saber qual é uma das vantagens de dopar um semicondutor IdeiasChave A estrutura de bandas de um semicondutor é semelhante à de um isolante exceto pelo fato de que a largura Eg da banda proibida é muito menor o que possibilita a passagem de elétrons da banda de valência para a banda de condução por excitação térmica No silício à temperatura ambiente a agitação térmica transfere alguns elétrons para a banda de condução deixando um número igual de buracos na banda de valência Quando o silício é submetido a uma diferença de potencial elétrons e buracos se comportam como portadores de carga O número de elétrons na banda de condução do silício pode ser aumentado dopando o material com uma pequena concentração de fósforo produzindo assim um semicondutor tipo n O fósforo é chamado de impureza doadora porque doa elétrons para a banda de condução O número de buracos na banda de valência do silício pode ser aumentado dopando o material com uma pequena concentração de alumínio produzindo assim um semicondutor tipo p O alumínio é chamado de impureza aceitadora porque aceita elétrons da banda de valência Semicondutores Comparando a Fig 419a com a Fig 414 vemos que a estrutura de bandas de um semicondutor é parecida com a de um isolante a diferença é que nos semicondutores a distância Eg entre o nível mais alto da última banda ocupada a banda de valência e o nível mais baixo da primeira banda desocupada a banda de condução é muito menor que nos isolantes Assim por exemplo o silício Eg 11 eV é um semicondutor enquanto o diamante Eg 55 eV é um isolante No silício ao contrário do que acontece no diamante existe uma probabilidade significativa de que a agitação térmica faça um elétron passar da banda de valência para a banda de condução Na Tabela 411 comparamos três propriedades elétricas básicas do cobre nosso protótipo de metal com as do silício nosso protótipo de semicondutor Vamos examinar novamente a tabela uma linha de cada vez para ver o que diferencia um semicondutor de um metal Figura 419 a Bandas de energia de um semicondutor A situação é semelhante à de um isolante veja a Fig 414 exceto pelo fato de que nos semicondutores o valor de Eg é muito menor assim os elétrons graças à agitação térmica têm uma probabilidade razoável de passar para a banda superior b A agitação térmica fez alguns elétrons passarem da banda de valência para a banda de condução deixando um número igual de buracos na banda de valência Concentração de Portadores n A última linha da Tabela 411 mostra que o cobre possui uma concentração muito maior de portadores de carga por unidade de volume do que o silício a razão entre as concentrações é da ordem de 1013 No caso do cobre todos os átomos contribuem com um elétron o elétron de valência para o processo de condução Os portadores de carga do silício existem apenas porque em temperaturas maiores que o zero absoluto a agitação térmica faz com que alguns elétrons da banda de valência muito poucos na verdade adquiram energia suficiente para passar para a banda de condução deixando um número igual de estados desocupados chamados buracos na banda de valência A Fig 419b ilustra essa situação Tanto os elétrons da banda de condução como os buracos da banda de valência se comportam como portadores de carga Os buracos fazem isso oferecendo certa liberdade de movimento aos elétrons da banda de valência que na ausência de buracos estariam impedidos de se mover de átomo para átomo Se um campo elétrico é aplicado a um semicondutor os elétrons da banda da valência por terem carga negativa tendem a se mover na direção oposta à de fazendo com que os buracos se desloquem da direção de Assim os buracos se comportam como partículas em movimento de carga e Essa situação é análoga à de uma fila de carros estacionados na qual o primeiro carro da fila está a um carro de distância da esquina Se o primeiro carro avança até a esquina surge uma vaga na posição em que o carro se encontrava Se o segundo carro se adianta para ocupar a vaga surge uma vaga mais atrás e assim por diante O movimento de todos os carros em direção à esquina pode ser substituído pelo movimento no sentido oposto de um único buraco vaga Nos semicondutores a condução por buracos é tão importante quanto a condução por elétrons No estudo da condução por buracos é conveniente imaginar que todos os estados desocupados da banda de valência estão ocupados por partículas de carga e e que os elétrons da banda de valência não existem de modo que os portadores de carga positivos podem se mover livremente na banda Quando um elétron da banda de condução encontra um buraco da banda de valência ambos deixam de existir na analogia com a fila de carros estacionados é como se chegasse um carro para ocupar a vaga Esse fenômeno recebe o nome de recombinação Resistividade ρ Como vimos no Capítulo 26 a resistividade ρ de um material é igual a me2nτ em que m é a massa do elétron e é a carga fundamental n é o número de portadores por unidade de volume e τ é o tempo médio entre colisões dos portadores de carga A Tabela 411 mostra que à temperatura ambiente a resistividade do silício é maior que a do cobre por um fator de aproximadamente 1011 Essa enorme diferença se deve à enorme diferença no número de portadores A resistividade depende também de outros fatores mas a influência desses fatores se torna insignificante diante de uma diferença tão grande nos valores de n Coeficiente de Temperatura da Resistividade α Como vimos no Capítulo 26 Eq 2617 a é a variação relativa da resistividade por unidade de temperatura A resistividade do cobre aumenta com a temperatura isto é dρdT 0 porque as colisões dos portadores de carga do cobre com os átomos da rede cristalina ocorrem mais frequentemente em temperaturas elevadas Assim o a do cobre é positivo A frequência das colisões dos portadores com os íons da rede cristalina também aumenta com a temperatura no caso do silício Entretanto a resistividade do silício diminui com a temperatura drdT 0 porque a concentração n de portadores de carga elétrons na banda de condução e buracos na banda da valência aumenta rapidamente com a temperatura Um número maior de elétrons passa da banda de condução para a banda de valência Assim o a do silício é negativo Figura 4110 a Projeção bidimensional da estrutura cristalina do silício puro Cada átomo de silício está unido a quatro átomos vizinhos por uma ligação covalente que envolve dois elétrons representados por pontos vermelhos entre as retas paralelas Esses elétrons pertencem às ligações não aos átomos e ocupam a banda de valência do material b Substituição de um átomo de silício por um átomo de fósforo cuja valência é 5 O elétron a mais está fracamente preso ao átomo de fósforo e pode facilmente passar para a banda de condução na qual está livre para vagar pela rede cristalina c Substituição de um átomo de silício por um átomo de alumínio cuja valência é 3 Com a substituição fica faltando um elétron em uma das ligações covalentes o que equivale à criação de um buraco na banda de valência O buraco pode migrar para outra ligação covalente quando a lacuna original é preenchida por um elétron proveniente de uma ligação vizinha Com isso o buraco se desloca no sentido contrário ao do movimento dos elétrons comportandose como uma partícula de carga positiva Na figura o buraco se desloca para a direita Semicondutores Dopados A versatilidade dos semicondutores pode ser grandemente aumentada se introduzirmos um pequeno número de átomos chamados impurezas na rede cristalina esse processo é conhecido como dopagem Em geral apenas 1 átomo em cada 107 é substituído por uma impureza Quase todos os dispositivos semicondutores modernos utilizam semicondutores dopados que podem ser de dois tipos tipo n e tipo p Semicondutores Tipo n Os elétrons de um átomo isolado de silício estão distribuídos em subcamadas de acordo com o seguinte esquema 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2 em que como de costume o índice superior cuja soma é igual a 14 o número atômico do silício representa o número de elétrons em cada subcamada A Fig 4110a é uma projeção bidimensional da rede cristalina do silício puro compare com a Fig 411b que mostra a rede tridimensional Cada átomo de silício contribui com seus dois elétrons 3s e seus dois elétrons 3p para formar ligações covalentes com os quatro átomos vizinhos Ligação covalente é uma ligação química na qual dois átomos compartilham elétrons As quatro ligações são mostradas na Fig 411b para os quatro átomos da figura que não estão em um vértice ou em uma face do cubo maior Os elétrons que participam das ligações entre os átomos de silício pertencem à banda de valência do material Quando um elétron é arrancado de uma das ligações covalentes e fica livre para vagar pelo material dizemos que o elétron passou da banda de valência para a banda de condução A energia mínima necessária para que isso aconteça é Eg a largura da banda proibida que separa a banda de valência da banda de condução Como os quatro elétrons da última camada do silício estão envolvidos em ligações com os átomos vizinhos cada átomo de silício da rede cristalina é na verdade um íon formado por uma nuvem eletrônica com a configuração do neônio contendo 10 elétrons em volta de um núcleo cuja carga é 14e 14 é o número atômico do silício Como a carga total nuvem eletrônica mais núcleo é 10e 15e 4e dizemos que a valência do íon é 4 Na situação da Fig 4110b o átomo de silício central foi substituído por um átomo de fósforo cuja valência é 5 Quatro dos elétrons de valência do fósforo formam ligações covalentes com os quatro átomos vizinhos de silício O quinto elétron não forma nenhuma ligação e fica fracamente ligado ao núcleo de fósforo Em um diagrama de níveis de energia esse elétron excedente ocupa um nível de energia situado entre a banda de valência e a banda de condução a uma pequena distância Ed da banda de condução como mostra a Fig 4111a Como Ed Eg a energia necessária para transferir elétrons desse nível para a banda de condução é muito menor que a necessária para transferir elétrons da banda da valência para a banda de condução O átomo de fósforo é chamado de impureza doadora já que pode doar elétrons para a banda de condução Na verdade à temperatura ambiente praticamente todos os elétrons excedentes das impurezas doadoras estão na banda de condução Acrescentando impurezas doadoras à rede cristalina do silício é possível aumentar de várias ordens de grandeza o número de elétrons na banda de condução muito mais do que a Fig 4111a sugere Os semicondutores dopados com impurezas doadoras são chamados de semicondutores tipo n o n vem de negativo para indicar que os portadores de carga negativos elétrons da banda de condução elétrons já existentes mais elétrons provenientes das impurezas doadoras são mais numerosos que os buracos da banda de valência Nos semicondutores tipo n os elétrons são os portadores em maioria e os buracos são os portadores em minoria Semicondutores Tipo p Considere agora a situação da Fig 4110c na qual um dos átomos de silício cuja valência é 4 foi substituído por um átomo de alumínio cuja valência é 3 Como o átomo de alumínio pode formar ligações covalentes com apenas três átomos de silício existe uma lacuna um buraco em uma das ligações covalentes alumíniosilício É necessária apenas uma pequena energia para que um elétron seja deslocado de uma ligação silíciosilício vizinha para completar a lacuna deixando um buraco na ligação covalente original Esse buraco por sua vez pode ser preenchido por um elétron de outra ligação covalente e assim por diante Isso significa que o buraco criado pela presença do átomo de alumínio pode se mover na rede cristalina do silício Figura 4111 a Em um semicondutor tipo n o nível de energia introduzido por uma impureza doadora está a uma pequena distância Ed da banda de condução Como um dos elétrons da impureza doadora pode ser facilmente excitado para a banda de condução existem muito mais elétrons nessa banda do que no semicondutor puro O número de buracos na banda de valência por outro lado é menor do que no semicondutor puro já que alguns buracos se recombinam com elétrons da banda de condução b Em um semicondutor tipo p o nível de energia introduzido por uma impureza aceitadora está a uma pequena distância Ea da banda de valência Como os elétrons da banda de valência podem ser facilmente excitados para o nível das impurezas aceitadoras existem muito mais buracos nessa banda do que no semicondutor puro O número de elétrons na banda de condução por outro lado é menor do que no semicondutor puro já que alguns elétrons se recombinam com buracos da banda de valência As diferenças entre o número de elétrons e o número de buracos nos dois casos são muito maiores do que as mostradas na figura O átomo de alumínio é chamado de impureza aceitadora já que pode aceitar elétrons de ligações covalentes ou seja da banda de valência Como mostra a Fig 4111b esses elétrons são transferidos para um nível de energia situado entre a banda de valência e a banda de condução a uma pequena distância Ea da banda de valência Como Ea Eg a energia necessária para transferir elétrons da banda de valência para esse nível é muito menor que a necessária para transferir elétrons da banda da valência para a banda de condução Na verdade à temperatura ambiente praticamente todos os níveis das impurezas aceitadoras estão ocupados por elétrons provenientes da banda de valência Acrescentando impurezas aceitadoras à rede cristalina do silício é possível aumentar de várias ordens de grandeza o número de elétrons na banda de condução muito mais do que a Fig 4111b sugere Os semicondutores dopados com impurezas aceitadoras são chamados de semicondutores tipo p o p vem de positivo para indicar que os portadores de carga positivos buracos da banda de valência buracos já existentes mais buracos criados pelas impurezas aceitadoras são mais numerosos que os elétrons da banda de condução Nos semicondutores tipo p os buracos são os portadores em maioria e os elétrons são os portadores em minoria As propriedades de um semicondutor tipo n típico e de um semicondutor tipo p típico aparecem na Tabela 412 É importante notar que os íons das impurezas doadoras e aceitadoras embora possuam carga elétrica não são portadores de carga porque estão unidos aos átomos vizinhos por ligações covalentes e portanto não podem se mover quando o material é submetido a uma diferença de potencial Tabela 412 Propriedades de Dois Semicondutores Dopados Propriedade Tipo de Semicondutor n p Material da matriz Silício Silício Carga nuclear da matriz 14e 14e Eg da matriz 12 eV 12 eV Dopante Fósforo Alumínio Tipo de dopante Doador Aceitador Portadores em maioria Elétrons Buracos Portadores em minoria Buracos Elétrons ΔE do dopante Ed 0045 eV Ea 0067 eV Valência do dopante 5 3 Carga nuclear do dopante 15e 13e Carga do íon do dopante e e Exemplo 4106 Dopagem do silício com fósforo A concentração n0 de elétrons de condução no silício puro à temperatura ambiente é aproximadamente 1016 m3 Suponha que ao doparmos o silício com fósforo estejamos interessados em multiplicar esse número por um milhão 106 Que fração dos átomos de silício devemos substituir por átomos de fósforo Lembrese de que à temperatura ambiente a agitação térmica é suficiente para transferir todos os elétrons excedentes das impurezas doadoras para a banda de condução Número de átomos de fósforo Como cada átomo de fósforo contribui com um elétron para a banda de condução e queremos que a concentração de elétrons de condução seja 106n0 a concentração de átomos de fósforo nP deve ser tal que 106n0 n0 np e portanto np 106n0 n0 106n0 1061016 m3 1022 m3 Isso significa que devemos dopar o material com 1022 átomos de fósforo por metro cúbico de silício Concentração de átomos de silício Para calcular a concentração de átomos de silício nSi no silício puro antes da dopagem podemos usar a Eq 414 Dividindo ambos os membros pelo volume V da amostra e lembrando que o número de átomos de silício da amostra dividido pelo volume V é igual à concentração de átomos de silício nSi temos De acordo com o Apêndice F a massa específica do silício é 233 gcm3 2330 kgm3 e a massa molar do silício é 281 gmol 00281 kgmol Assim temos A fração que procuramos é aproximadamente Assim se substituirmos apenas um átomo de silício em cada cinco milhões por um átomo de fósforo o número de elétrons na banda de condução será multiplicado por um milhão Como é possível que a adição ao silício de uma quantidade tão pequena de fósforo tenha um efeito tão grande sobre o número de portadores A resposta é que embora o efeito seja importante em termos de aplicações práticas esse efeito não pode ser chamado de grande A concentração de elétrons de condução era 1016 m3 antes da dopagem e se tornou 1022 m3 após a dopagem No caso do cobre a concentração de elétrons na banda de condução dada na Tabela 411 é aproximadamente 1029 m 3 Assim mesmo depois da dopagem a concentração de elétrons na banda de concentração do silício é cerca de 107 vezes menor que em um metal como o cobre 413 A JUNÇÃO pn E O TRANSISTOR Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4129 Descrever uma junção pn e explicar como funciona 4130 Saber o que é corrente de difusão carga espacial zona de depleção diferença de potencial de contato e corrente de deriva 4131 Descrever o funcionamento de um diodo retificador 4132 Conhecer a diferença entre polarização direta e polarização inversa 4133 Saber o que é um LED um fotodiodo um laser semicondutor e um MOSFET IdeiasChave A junção pn é um cristal semicondutor que foi dopado de um lado com uma impureza aceitadora e do outro com uma impureza doadora Em condições ideais as duas regiões se encontram em um único plano que é chamado de plano da junção Em equilíbrio térmico os seguintes fenômenos acontecem no plano da junção 1 Os portadores em maioria atravessam o plano por difusão produzindo uma corrente de difusão Idif 2 Os portadores em minoria atravessam o plano sob a ação de um campo elétrico produzindo uma corrente de deriva Ider 3 Uma zona de depleção de largura d0 é formada nas vizinhanças do plano 4 Um potencial de contato V0 aparece entre as extremidades da zona de depleção Uma junção pn apresenta uma resistência menor à passagem de corrente para uma polaridade de uma tensão externa aplicada polarização direta do que para a polaridade oposta polarização inversa Isso significa que a junção pode ser usada como um diodo retificador Uma junção pn feita de certos materiais emite luz quando é polarizada diretamente e portanto pode ser usada como um diodo emissor de luz LED Da mesma forma como a passagem de corrente em uma junção pn pode produzir luz a incidência de luz em uma junção pn pode dar origem a uma corrente elétrica essa é a base de funcionamento do fotodiodo Um diodo emissor de luz pode em certas condições se comportar como um laser semicondutor O transistor é um dispositivo semicondutor de três terminais que pode ser usado para amplificar sinais A Junção pn A junção pn Fig 4112a é um cristal semicondutor que foi dopado de um lado com uma impureza aceitadora e do outro com uma impureza aceitadora Esse tipo de junção está presente em quase todos os dispositivos semicondutores Suponhamos para facilitar a explicação embora na prática as junções sejam fabricadas de outra forma que uma junção desse tipo tenha sido formada mecanicamente simplesmente colocando um bloco de semicondutor tipo n em contato com um bloco de semicondutor tipo p Nesse caso a transição de uma região para a outra é abrupta pois ocorre em um único plano que pode ser chamado de plano da junção Vamos discutir o movimento dos elétrons e buracos logo depois que os blocos tipo n e tipo p ambos eletricamente neutros são colocados em contato para formar a junção Examinaremos primeiro o que acontece com os portadores em maioria que são os elétrons do bloco tipo n e os buracos do bloco tipo p Movimento dos Portadores em Maioria Quando um balão de hélio estoura os átomos de hélio se difundem se espalham no ar Isso acontece porque existem muito poucos átomos de hélio na atmosfera Em linguagem mais formal existe um gradiente de concentração de hélio na interface balãoar a concentração de hélio é diferente dos dois lados da interface o movimento dos átomos de hélio é no sentido de reduzir o gradiente Da mesma forma os elétrons do lado n da Fig 4112a que estão próximos do plano da junção tendem a se difundir para o outro lado da direita para a esquerda na figura e passar para o lado p onde existem muito poucos elétrons livres Ao mesmo tempo os buracos do lado p que estão próximos da junção tendem a atravessála da esquerda para a direita e passar para o lado n onde existem poucos buracos O movimento combinado dos elétrons e buracos constitui uma corrente de difusão Idif cujo sentido convencional é da esquerda para a direita como mostra a Fig 4112d Acontece que o lado n contém os íons positivos das impurezas doadoras firmemente presos à rede cristalina Normalmente a carga positiva desses íons é compensada pela carga negativa dos elétrons da banda de condução Quando um elétron do lado n passa para o outro lado da junção um desses íons doadores fica descoberto o que introduz uma carga positiva fixa no lado n perto do plano da junção Quando o elétron chega ao lado p da junção logo se recombina com um buraco fazendo com que um íon de uma impureza aceitadora fique descoberto o que introduz uma carga negativa fixa no lado p perto do plano da junção Dessa forma a difusão de elétrons do lado n para o lado p da junção da direita para a esquerda na Fig 4112a resulta na formação de uma carga espacial dos dois lados do plano da junção como mostra a Fig 4112b A difusão de buracos do lado p para o lado n da junção tem exatamente o mesmo efeito Não prossiga enquanto não se convencer de que isso é verdade Os movimentos dos dois portadores em maioria elétrons e buracos contribuem para a formação de duas regiões de carga espacial uma positiva e a outra negativa As duas regiões formam uma zona de depleção assim chamada porque quase não contém cargas móveis a largura da zona de depleção está indicada como d0 na Fig 4112b A formação da carga espacial dá origem a uma diferença de potencial de contato V0 entre as extremidades da zona de depleção como mostra a Fig 4112c Essa diferença de potencial impede que os elétrons e buracos continuem a atravessar o plano da junção Como as cargas negativas tendem a evitar as regiões em que o potencial é pequeno um elétron que se aproxime do plano da junção vindo da direita na Fig 4112b encontra uma região na qual o potencial está diminuindo e é repelido de volta para o lado n Da mesma forma um buraco que se aproxime do plano da junção vindo da esquerda encontra uma região na qual o potencial está aumentando e é repelido de volta para o lado p Figura 4112 a Junção pn b A difusão dos portadores de carga em maioria dá origem a uma carga espacial associada aos íons não compensados de impurezas doadoras à direita do plano da junção e aceitadoras à esquerda do plano da junção c A carga espacial produz uma diferença de potencial de contato V0 entre as extremidades da zona de depleção cuja largura é d0 d A difusão de portadores em maioria produz uma corrente de difusão Idif e a diferença de potencial de contato produz uma corrente de deriva Ider Em uma junção pn não polarizada as duas correntes se cancelam e a corrente total é zero Em uma junção pn real os limites da zona de depleção não são tão bem definidos como na figura e a curva de potencial de contato c é mais suave sem mudanças abruptas a b c d e Movimento dos Portadores em Minoria Como mostra a Fig 4111a embora os portadores em maioria em um semicondutor tipo n sejam elétrons existem alguns buracos Da mesma forma em um semicondutor tipo p Fig 4111b embora os portadores em maioria sejam buracos existem alguns elétrons Esses poucos elétrons e buracos são chamados de portadores em minoria A diferença de potencial V0 da Fig 4112c funciona como uma barreira para os portadores em maioria mas facilita o movimento dos portadores em minoria tanto os elétrons do lado p como os buracos do lado n Cargas positivas buracos tendem a procurar regiões de baixo potencial cargas negativas elétrons tendem a procurar regiões de alto potencial Assim quando pares elétronburaco são formados por excitação térmica na zona de depleção os dois tipos de portadores são transportados para o outro lado da junção pela diferença de potencial de contato e o movimento combinado dos elétrons e buracos constitui uma corrente de deriva Ider que atravessa a junção da direita para a esquerda como mostra a Fig 4112d Assim em uma junção pn em equilíbrio existe uma diferença de potencial V0 entre o lado p e o lado n Essa diferença de potencial tem um valor tal que a corrente de difusão Idif produzida pelos gradientes de concentração é exatamente equilibrada por uma corrente de deriva Ider no sentido contrário É de se esperar que as duas correntes se cancelem mutuamente se uma fosse maior que a outra haveria uma transferência ilimitada de cargas de um lado para outro da junção o que não seria razoável Teste 2 Quais das cinco correntes a seguir são nulas no plano da junção da Fig 4112a A corrente total de buracos incluindo os portadores em maioria e os portadores em minoria A corrente total de elétrons incluindo os portadores em maioria e os portadores em minoria A corrente total de elétrons e buracos incluindo os portadores em maioria e os portadores em minoria A corrente total de portadores em maioria incluindo elétrons e buracos A corrente total de portadores em minoria incluindo elétrons e buracos O Diodo Retificador A Fig 4113 mostra o que acontece quando uma junção pn é submetida a uma diferença de potencial Quando a diferença de potencial tem uma polaridade tal que o lado p fica positivo em relação ao lado n rotulada na figura como Polarização direta uma corrente apreciável atravessa a junção se a diferença de potencial é aplicada com a polaridade oposta rotulada na figura como Polarização inversa a corrente que atravessa a junção é praticamente nula Um dispositivo semicondutor que faz uso dessa propriedade é o diodo retificador cujo símbolo aparece na Fig 4114b a seta aponta para o lado p do dispositivo e indica o sentido convencional da corrente quando a polarização é direta Uma tensão senoidal aplicada ao dispositivo Fig 4114a é transformada em uma tensão retificada Fig 4114c já que o diodo retificador se comporta como uma chave fechada resistência zero para uma polaridade da tensão de entrada e como uma chave aberta resistência infinita para a outra polaridade O valor médio da tensão de entrada Fig 4114a do circuito da Fig 4114b é zero mas o valor médio da tensão de saída Fig 4114c é diferente de zero Assim o diodo retificador pode ser usado para transformar uma tensão alternada em tensão contínua uma aplicação muito importante já que a tensão da rede elétrica é alternada e a grande maioria dos aparelhos eletrônicos funciona com tensão contínua Figura 4113 Curva característica correntetensão de uma junção pn mostrando que a junção tem alta condutividade quando é polarizada diretamente e praticamente não conduz quando é polarizada inversamente Figura 4114 Uso de uma junção pn como diodo retificador O circuito b deixa passar a parte positiva da forma de onda a e bloqueia a parte negativa O valor médio da tensão de entrada é zero mas a forma de onda da tensão de saída c tem um valor médio positivo Vméd Figura 4115 a Em uma junção pn polarizada diretamente a zona de depleção é estreita e a corrente é elevada b Em uma junção pn polarizada inversamente a zona de depleção é larga e a corrente é pequena A Fig 4115 mostra por que uma junção pn se comporta como um diodo retificador Na Fig 4115a uma bateria foi ligada à junção com o terminal positivo do lado p Nessa configuração que recebe o nome de polarização direta o lado p se torna mais positivo e o lado n se torna mais negativo o que diminui a barreira de potencial V0 da Fig 4112c Assim um número maior de portadores em maioria consegue atravessar a barreira e a corrente de difusão Idif aumenta consideravelmente Os portadores em minoria responsáveis pela corrente de deriva não estão sujeitos a uma barreira de potencial e portanto a corrente de deriva Ider não é afetada pela fonte externa O equilíbrio que existia entre as correntes de difusão e de deriva veja a Fig 4112d é rompido e como mostra a Fig 4115a uma grande corrente atravessa o circuito Outro efeito da polarização direta é tornar mais estreita a zona de depleção como mostra uma comparação das Figs 4112b e 4115a Isso acontece porque com o aumento da corrente de difusão os íons das impurezas são parcialmente neutralizados pelos portadores em maioria que são injetados pela fonte nos dois lados da junção no lado p a remoção de elétrons pela fonte equivale à injeção de buracos Como normalmente contém um número muito pequeno de portadores a zona de depleção é uma região de alta resistividade Quando a largura da zona é reduzida pela aplicação de uma polarização direta a resistência da região diminui o que está de acordo com o fato de que uma grande corrente atravessa a junção A Fig 4115b mostra a configuração conhecida como polarização inversa na qual o terminal negativo da bateria é ligado ao lado p da junção pn aumentando a barreira de potencial Isso faz com que a corrente de difusão diminua e a corrente de deriva aumente ligeiramente a corrente de deriva adicional produzida pelo aumento da barreira de potencial não pode ser muito grande porque é constituída pelos portadores em minoria que são escassos o resultado é uma pequena corrente inversa II A zona de depleção se torna mais larga e portanto a resistência da região aumenta o que está de acordo com o fato de que uma pequena corrente atravessa a junção O Diodo Emissor de Luz LED2 Hoje em dia os mostradores digitais estão em toda parte dos relógios de cabeceira aos fornos de micro ondas e seria difícil passar sem os raios invisíveis de luz infravermelha que vigiam as portas dos elevadores para que ninguém se machuque e fazem funcionar o controle remoto dos receptores de televisão Em quase todos esses casos a luz é emitida por uma junção pn funcionando como um diodo emissor de luz LED3 Como uma junção pn pode produzir luz Considere primeiro um semicondutor simples Quando um elétron da banda de condução ocupa um buraco da banda de valência ou seja quando ocorre uma recombinação uma energia Eg igual à diferença entre os dois níveis é liberada No silício germânio e muitos outros semicondutores essa energia se manifesta na forma de um aumento das vibrações da rede cristalina Em alguns semicondutores porém como o arseneto de gálio a energia é emitida como um fóton de energia hf cujo comprimento de onda é dado por Para um semicondutor emitir uma quantidade razoável de luz é preciso que haja um grande número de recombinações Isso não acontece em um semicondutor puro porque à temperatura ambiente o número de pares elétronburaco é relativamente pequeno Como mostra a Fig 4111 dopar o semicondutor não resolve o problema Um semicondutor tipo n contém um grande número de elétrons mas não existem buracos suficientes para se recombinar com todos esses elétrons um semicondutor tipo p contém um grande número de buracos mas não existem elétrons suficientes para se recombinar com todos esses buracos Assim nem um semicondutor puro nem um semicondutor dopado gera luz suficiente para ser usado em aplicações práticas O que precisamos é de um semicondutor no qual elétrons e buracos estejam presentes em grande número na mesma região Podemos obter um dispositivo com essa propriedade polarizando diretamente uma junção pn fortemente dopada como na Fig 4116 Nesse caso a corrente I que percorre o circuito externo serve para injetar elétrons no lado n e buracos no lado p Quando a dopagem é suficientemente alta e a corrente é suficientemente intensa a zona de depleção se torna muito estreita com apenas alguns micrômetros de largura Isso faz com que muitos elétrons consigam passar do lado n para o lado p e muitos buracos consigam passar do lado p para o lado n A consequência é uma grande quantidade de recombinações que resulta em uma alta intensidade luminosa A Fig 4117 mostra a estrutura interna de um LED comercial Os LEDs comerciais projetados para emitir luz visível são feitos de arsenieto de gálio lado n e arseneto fosfeto de gálio lado p Um arranjo no qual do lado p existem 60 átomos de arsênio e 40 átomos de fósforo para cada 100 átomos de gálio resulta em uma energia Eg de 18 eV que corresponde à luz vermelha Usando diferentes proporções de arsênio fósforo e outros elementos como o alumínio é possível fabricar LEDs que emitem luz em qualquer parte do espectro visível e suas vizinhanças Figura 4116 Junção pn polarizada diretamente mostrando elétrons sendo injetados no lado n e buracos sendo injetados no lado p Os buracos se movem no sentido convencional da corrente I os elétrons se movem no sentido oposto A luz é emitida das vizinhanças da zona de depleção quando elétrons e buracos se recombinam emitindo luz no processo O Fotodiodo Da mesma forma como a passagem de corrente em uma junção pn pode produzir luz a incidência de luz em uma junção pn pode dar origem a uma corrente elétrica essa é a base de funcionamento de um dispositivo conhecido como fotodiodo Quando o leitor aperta um botão do controle remoto da televisão um LED emite uma sequência de pulsos de luz infravermelha O circuito que recebe os pulsos no aparelho de televisão contém um fotodiodo e outros componentes e se encarrega não só de detectar os pulsos mas também de amplificá los e transformálos em sinais elétricos que são usados por exemplo para mudar o canal ou ajustar o volume Figura 4117 Corte de um LED o dispositivo é simétrico em relação ao eixo central O lado tipo p que é suficientemente fino para deixar passar a luz tem forma de disco A ligação elétrica com o lado p é feita por um anel de metal A zona de depleção entre o lado n e o lado p não é mostrada na figura O Laser Semicondutor No arranjo da Fig 4116 existem muitos elétrons na banda de condução no lado n da junção e muitos buracos na banda de valência no lado p Isso corresponde a uma inversão de população já que o número de elétrons em um nível mais alto de energia a banda de condução é maior que em um nível mais baixo a banda de valência Como vimos no Módulo 407 essa é uma condição normalmente necessária mas não suficiente para que um dispositivo funcione como um laser Como vimos em nossa discussão dos LEDs em alguns materiais semicondutores a transição de um elétron da banda de condução para a banda de valência é acompanhada pela emissão de um fóton Esse fóton pode induzir um segundo elétron a passar para a banda de valência produzindo um segundo fóton por emissão estimulada Em certas condições uma reação em cadeia de eventos de emissão estimulada faz com que a junção pn se comporte como um laser Para isso normalmente é preciso que as faces opostas do cristal semicondutor sejam planas e paralelas o que faz com que a luz seja refletida repetidas vezes no interior do cristal No laser de hélioneônio da Fig 4020 um par de espelhos é usado para esse fim Assim a junção pn pode funcionar como um laser semicondutor emitindo uma luz coerente e com uma faixa de comprimentos de onda bem menor que um LED Os aparelhos de CD e DVD dispõem de um laser semicondutor cuja luz após ser refletida em minúsculas reentrâncias do disco é detectada e convertida em sinais de áudio e vídeo respectivamente Os lasers semicondutores também são muito usados em sistemas de comunicações baseados em fibras óticas A Fig 4118 dá uma ideia do pequeno tamanho desses dispositivos Em geral são projetados para operar na região do infravermelho já que as fibras óticas possuem duas janelas nessa região em λ 131 e 155 μm nas quais a absorção de energia por unidade de comprimento da fibra é mínima Cortesia de ATT Archives and History Center Warren NJ Figura 4118 Laser semicondutor fabricado no ATT Bell Laboratories O cubo à direita é um grão de sal Exemplo 4107 Diodo emissor de luz LED Um LED é construído a partir de um material semicondutor GaAsP no qual a banda proibida tem uma largura Eg 19 eV Qual é o comprimento de onda da luz emitida Cálculo Como a luz é produzida por transições da base da banda de condução para o topo da banda de valência o comprimento de onda é dado pela Eq 4111 Assim temos Esse comprimento de onda corresponde à luz vermelha Figura 4119 Circuito com um transistor de efeito de campo Os elétrons atravessam o transistor da fonte F para o dreno D A corrente convencional IDF tem o sentido oposto A intensidade da corrente IDF é controlada pelo campo elétrico produzido por uma tensão aplicada à porta P O Transistor O transistor é um dispositivo semicondutor de três terminais que pode ser usado para amplificar sinais A Fig 4119 mostra um circuito com um tipo de transistor conhecido como transistor de efeito de campo FET4 no qual uma tensão aplicada ao terminal P a porta é usada para controlar a corrente de elétrons que atravessa o dispositivo do terminal F a fonte para o terminal D o dreno Existem muitos tipos de transistores vamos discutir apenas um tipo especial de FET conhecido como transistor de efeito de campo metalóxidosemicondutor ou MOSFET5 O MOSFET é considerado por muitos o componente mais importante da indústria eletrônica moderna Nos circuitos digitais o MOSFET opera em apenas dois estados com a corrente drenofonte IDF diferente de zero porta aberta estado ON e com a corrente IDF igual a zero porta fechada estado OFF O primeiro estado representa 1 e o segundo 0 na aritmética binária em que se baseia a lógica digital A comutação entre os estados ON e OFF de um MOSFET é muito rápida MOSFETs com 500 nm de comprimento o que corresponde aproximadamente ao comprimento de onda da luz amarela são usados rotineiramente na indústria eletrônica A Fig 4120 mostra a estrutura básica de um MOSFET Um monocristal de silício ou outro semicondutor é fracamente dopado com impurezas aceitadoras tornandose um material tipo p Nesse substrato são criadas por meio de uma forte dopagem com impurezas doadoras duas ilhas de material tipo n que constituem a fonte e o dreno A fonte e o dreno são ligados por uma camada estreita de material tipo n conhecida como canal n Uma fina camada isolante de óxido de silício daí o O de MOSFET é depositada sobre o canal e uma camada metálica daí o M é depositada sobre o óxido para servir como porta Camadas metálicas também são depositadas sobre a fonte e o dreno Observe que não há nenhum contato elétrico entre a porta e o transistor por causa da camada de óxido Suponha primeiro que a fonte e o substrato tipo p estão ligados à terra potencial zero e a porta está no ar ou seja não está ligada a uma fonte externa Suponha também que uma fonte de tensão VDF está ligada entre o dreno e a fonte com o terminal positivo do lado do dreno Nesse caso os elétrons se movem ao longo do canal n da fonte para o dreno e a corrente convencional IDF é do dreno para a fonte como mostra a Fig 4120 Suponha agora que uma fonte de tensão VPF seja ligada entre a porta e a fonte com o terminal negativo do lado da porta A porta negativa cria um campo elétrico no interior do dispositivo daí o nome efeito de campo que repele os elétrons do canal n para o substrato Esse movimento dos elétrons aumenta a zona de depleção entre o canal n e o substrato diminuindo a largura do canal n A redução da largura do canal combinada com uma redução do número de portadores de carga no canal faz com que a resistência do canal aumente o que acarreta uma redução da corrente IDF Para valores suficientemente elevados de VPF a corrente pode ser totalmente interrompida Assim a tensão da porta pode ser usada para comutar o MOSFET entre os estados ON e OFF Figura 4120 Um tipo de transistor de efeito de campo conhecido como MOSFET A intensidade da corrente IDF que atravessa o canal é controlada pela diferença de potencial VPF aplicada entre a fonte F e a porta P A zona de depleção que existe entre as regiões tipo n e o substrato tipo p não é mostrada na figura Os elétrons não podem passar da fonte para o dreno pelo substrato porque este está separado do canal n e das duas ilhas tipo n por uma região de depleção semelhante à da Fig 4112b que sempre se forma nas junções entre semicondutores tipo n e tipo p Os computadores e outros eletrodomésticos utilizam uma grande quantidade de dispositivos eletrônicos como transistores diodos retificadores capacitores e resistores agrupados em pastilhas feitas de material semicondutor que contêm circuitos integrados com milhões de componentes Revisão e Resumo Metais Semicondutores e Isolantes Três propriedades elétricas que podem ser usadas para classificar os sólidos cristalinos são a resistividade ρ o coeficiente de temperatura da resistividade α e a concentração de portadores de carga n Os sólidos podem ser divididos em três categorias isolantes ρ muito grande metais ρ pequena α pequeno e positivo e n grande e semicondutores ρ grande α grande e negativo e n pequena Níveis de Energia em um Sólido Cristalino Um átomo isolado pode ter apenas certas energias Quando os átomos se unem para formar um sólido os níveis de energia dos átomos se combinam para formar bandas de energia As bandas de energia são separadas por bandas proibidas isto é bandas de energia que nenhum elétron pode ocupar As bandas de energia são formadas por um grande número de níveis de energia muito próximos uns dos outros De acordo com o princípio de exclusão de Pauli cada um desses níveis pode ser ocupado apenas por um elétron Isolantes Nos isolantes a banda de maior energia que contém elétrons está totalmente ocupada e está separada da banda seguinte por uma distância tão grande que a agitação térmica não é suficiente para transferir um número significativo de elétrons para a outra banda Metais Nos metais a banda de maior energia que contém elétrons está apenas parcialmente ocupada A energia do nível mais alto ocupado a 0 K recebe o nome de energia de Fermi e é representada pelo símbolo EF No caso do cobre EF 70 eV Os elétrons da banda parcialmente ocupada são chamados de elétrons de condução e seu número é dado por O número de átomos em uma amostra é dado por A concentração n de elétrons de condução é definida pela seguinte equação A densidade de estados NE é o número de níveis de energia disponíveis por unidade de volume e por intervalo de energia e é dada por em que m 9109 1031 kg é a massa do elétron h 6626 1034 J s é a constante de Planck e E é a energia em joules para a qual o valor de NE é calculado Se o valor de E é dado em eV e o valor de NE em m3 eV1 o lado direito da Eq 415 deve ser multiplicado por e32 em que e 1602 1019 C A probabilidade de ocupação PE probabilidade de que um dado nível de energia seja ocupado por um elétron é dada por A densidade de estados ocupados NoE é igual ao produto da densidade de estados Eq 415 pela probabilidade de ocupação Eq 416 A energia de Fermi de um metal pode ser calculada integrando NoE para T 0 de E 0 a E EF O resultado é o seguinte Semicondutores A estrutura de bandas dos semicondutores é igual à dos isolantes exceto pelo fato de que a largura Eg da banda proibida é muito menor nos semicondutores No silício um semicondutor à temperatura ambiente a agitação térmica faz com que alguns elétrons sejam transferidos para a banda de condução deixando um número igual de buracos na banda de valência Tanto os elétrons como os buracos se comportam como portadores de carga O número de elétrons na banda de condução do silício pode ser aumentado consideravelmente dopando o material com uma pequena concentração de fósforo ou outra impureza doadora para produzir um semicondutor tipo n O número de buracos na banda de valência do silício pode ser aumentado consideravelmente dopando o material com uma pequena concentração de alumínio ou outra impureza aceitadora para produzir um semicondutor tipo p A Junção pn Uma junção pn é um cristal semicondutor com um lado dopado com impurezas aceitadoras para formar uma região tipo p e outro lado dopado com impurezas doadoras para formar uma região tipo n O plano em que ocorre a transição de uma região para a outra é chamado de plano da junção Em uma junção pn em equilíbrio térmico acontece o seguinte Os portadores em maioria elétrons do lado n e buracos do lado p atravessam por difusão o plano da junção produzindo uma corrente de difusão Idif Os portadores em minoria buracos do lado n e elétrons do lado p atravessam o plano da junção sob a ação de um campo elétrico produzindo uma corrente de deriva Ider Como as duas correntes têm o mesmo valor absoluto e sentidos opostos a corrente total é zero Uma zona de depleção que contém átomos ionizados de impurezas doadoras e aceitadoras surge nas proximidades do plano da junção Uma diferença de potencial de contato aparece entre as extremidades da zona de depleção Aplicações da Junção pn Quando uma diferença de potencial é aplicada a uma junção pn o dispositivo conduz mais corrente para uma polaridade da diferença de potencial do que para a outra isso significa que a junção pn pode ser usada como um diodo retificador Uma junção pn feita de certos materiais emite luz quando é polarizada diretamente e portanto pode ser usada como um diodo emissor de luz LED A incidência de luz em uma junção pn pode dar origem a uma corrente elétrica essa é a base de funcionamento do fotodiodo Um LED pode em certas condições se comportar como um laser semicondutor O transistor é um dispositivo semicondutor de três terminais que pode ser usado para amplificar sinais Perguntas 1 A distância entre níveis de energia vizinhos na última banda ocupada de um metal depende a do material de que é feita a amostra b do tamanho da amostra c da posição do nível dentro da banda d da temperatura da amostra e da energia de Fermi do metal 2 A Fig 411a mostra os 14 átomos que formam a célula unitária do cobre Como cada átomo é compartilhado por uma ou mais células unitárias vizinhas apenas uma fração de cada átomo pertence à célula unitária da figura Qual é o número de átomos por célula unitária no caso do cobre Sugestão Some as frações de átomo que pertencem à mesma célula unitária 3 A Fig 411b mostra os 18 átomos que formam a célula unitária do silício Quatorze desses átomos são compartilhados por uma ou mais células unitárias vizinhas Qual é o número de átomos por célula unitária no caso do silício Sugestão Veja a Pergunta 2 4 A Fig 4121 mostra três níveis de uma banda e o nível de Fermi do material a 0 K Coloque os três níveis na ordem decrescente da probabilidade de ocupação para uma temperatura a de 0 K e b de 1000 K c Para a segunda temperatura coloque os níveis na ordem decrescente da densidade de estados NE Figura 4121 Pergunta 4 5 A probabilidade de ocupação para certa energia E1 da banda de valência de um metal é 060 quando a temperatura é 300 K A energia E1 é maior ou menor que a energia de Fermi 6 Um átomo de germânio possui 32 elétrons dispostos em subcamadas da seguinte forma 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p2 O germânio possui a mesma estrutura cristalina que o silício e como o silício é um semicondutor Os elétrons de quais subníveis formam a banda de valência de um cristal de germânio 7 Se a temperatura de um pedaço de metal aumenta a probabilidade de ocupação 01 eV acima do nível de Fermi aumenta diminui ou permanece a mesma 8 Nas junções polarizadas da Fig 4115 existe um campo elétrico nas zonas de depleção associado à diferença de potencial entre as extremidades da zona a O sentido de é da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda b O módulo de é maior quando a junção está polarizada diretamente ou quando está polarizada inversamente 9 A velocidade de deriva vd dos elétrons de condução em um fio de cobre percorrido por corrente é aproximadamente igual muito maior ou muito menor que a velocidade de Fermi vF 10 Na rede cristalina do silício determine onde podem ser encontrados a um elétron de condução b um elétron de valência c um elétron pertencente à subcamada 2p de um átomo isolado de silício 11 A largura Eg da banda proibida é 112 eV no silício e 067 eV no germânio Quais das seguintes afirmações são verdadeiras a Os dois semicondutores têm a mesma concentração de portadores à temperatura ambiente b A concentração de portadores no germânio é maior que no silício à temperatura ambiente c Os dois semicondutores têm uma concentração maior de elétrons do que de buracos d Nos dois semicondutores a concentração de elétrons é igual à de buracos Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 411 Propriedades Elétricas dos Metais 1 Mostre que a Eq 419 pode ser escrita na forma EF An23 em que a constante A tem o valor de 365 1019 m2 eV 2 Calcule a densidade de estados NE de um metal para a energia E 80 eV e mostre que o resultado está de acordo com a curva da Fig 416 3 O cobre um metal monovalente tem massa molar de 6354 gmol e massa específica de 896 gcm3 Qual é a concentração n de elétrons de condução do cobre 4 Um estado 63 meV acima do nível de Fermi tem uma probabilidade de ocupação de 0090 Qual é a probabilidade de ocupação de um estado 63 meV abaixo do nível de Fermi 5 a Mostre que a Eq 415 pode ser escrita na forma NE CE12 b Calcule o valor de C tomando como unidade de comprimento o metro e como unidade de energia o elétronvolt c Calcule o valor de NE para E 500 eV 6 Use a Eq 419 para mostrar que a energia de Fermi do cobre é 70 eV 7 Qual é a probabilidade de que um estado 00620 eV acima da energia de Fermi esteja ocupado para a T 0 K e b T 320 K 8 Qual é a concentração de elétrons de condução no ouro que é um metal monovalente Use os valores de massa molar e massa específica do Apêndice F 9 A prata é um metal monovalente Calcule para esse elemento a a concentração de elétrons de condução b a energia de Fermi c a velocidade de Fermi e d o comprimento de onda de de Broglie correspondente à velocidade determinada no item c Os dados necessários estão no Apêndice F 10 Mostre que a probabilidade PE de que um nível de energia E não esteja ocupado é em que ΔE E EF 11 Calcule NoE a densidade de estados ocupados para o cobre a 1000 K nas energias de a 400 eV b 675 eV c 700 eV d 725 eV e e 900 eV Compare os resultados com a curva da Fig 418b A energia de Fermi do cobre é 700 eV 12 Qual é a probabilidade de que à temperatura de 300 K um elétron atravesse a barreira de energia Eg 55 eV em um diamante com mesma massa que a Terra Use a massa molar do carbono do Apêndice F e suponha que o diamante possua um elétron de valência por átomo de carbono 13 A energia de Fermi do cobre é 700 eV Para o cobre a 1000 K determine a a energia do nível cuja probabilidade de ser ocupado por um elétron é 0900 Para essa energia determine b a densidade de estados NE e c a densidade de estados ocupados NoE 14 Suponha que o volume total de uma amostra metálica seja a soma do volume ocupado pelos íons do metal que formam a rede cristalina com o volume ocupado pelos elétrons de condução A massa específica e a massa molar do sódio um metal são 971 kgm3 e 230 gmol respectivamente o raio do íon Na1 é 980 pm a Que porcentagem do volume de uma amostra de sódio é ocupada pelos elétrons de condução b Repita o cálculo para o cobre que possui massa específica massa molar e raio iônico de 8960 kgm3 635 gmol e 135 pm respectivamente c Em qual dos dois metais o comportamento dos elétrons de condução é mais parecido com o das moléculas de um gás 15 Na Eq 416 faça E EF ΔE 100 eV a Para que temperatura o resultado obtido usando essa equação difere de 10 do resultado obtido usando a equação clássica de Boltzmann PE eΔEkT que é a Eq 411 com duas mudanças de notação b Para que temperatura os dois resultados diferem de 10 16 Calcule a concentração número por unidade de volume a de moléculas de oxigênio a 00o C e uma pressão de 10 atm e b de elétrons de condução do cobre c Qual é a razão entre o segundo valor e o primeiro d Determine a distância média d entre as moléculas de oxigênio e e entre os elétrons de condução supondo que essa distância seja a aresta de um cubo cujo volume é igual ao volume disponível por partícula molécula ou elétron 17 A energia de Fermi do alumínio é 116 eV a massa específica e a massa molar são 270 gcm3 e 270 gmol respectivamente A partir desses dados determine o número de elétrons de condução por átomo 18 Uma amostra de um metal tem volume de 40 105 m3 O metal tem massa específica de 90 gcm3 e uma massa molar de 60 gmol Os átomos do metal são divalentes Quantos elétrons de condução existem na amostra 19 A energia de Fermi da prata é 55 eV a Determine a probabilidade de que os seguintes níveis de energia estejam ocupados a 0oC a 44 eV b 54 eV c 55 eV d 56 eV e e 64 eV f Para que temperatura a probabilidade de o nível de 56 eV estar ocupado é 016 20 Qual é o número de estados ocupados em um intervalo de energia de 00300 eV com centro no nível de 610 eV da banda de valência de uma substância se o volume da amostra é 500 108 m3 o nível de Fermi é 500 eV e a temperatura é 1500 K 21 A 1000 K a fração de elétrons de condução em um metal com energia maior que a energia de Fermi é igual à área sob a parte da curva da Fig 418b acima de EF dividida pela área sob a curva inteira É difícil calcular essas áreas por integração direta Entretanto uma aproximação dessa fração válida para qualquer temperatura T é a seguinte Observe que frac 0 para T 0 K como era de se esperar Qual é a fração para o cobre a a 300 K e b a 1000 K Para o cobre EF 70 eV c Confirme as respostas por integração numérica usando a Eq 417 22 Em que temperatura 130 dos elétrons de condução do lítio um metal têm energia maior do que a energia de Fermi EF que é 470 eV Sugestão Veja o Problema 21 23 Mostre que em T 0 K a energia média Eméd dos elétrons de condução de um metal é igual a 3EF5 Sugestão De acordo com a definição de média Eméd 1n Ú E NoE dE em que n é a concentração de elétrons de condução 24 Um material tem massa molar de 200 gmol energia de Fermi de 500 eV e 2 elétrons de valência por átomo Determine a massa específica do material em gcm3 25 a Use o resultado do Problema 23 e a energia de Fermi de 700 eV do cobre para estimar a energia que seria liberada pelos elétrons de condução de uma moeda de cobre com massa de 310 g se fosse possível desligar bruscamente o princípio de exclusão de Pauli b Essa energia seria suficiente para manter acesa durante quanto tempo uma lâmpada de 100 W Nota Não existe nenhuma forma conhecida de anular o princípio de exclusão de Pauli 26 A uma temperatura de 300 K a que distância da energia de Fermi está um estado cuja probabilidade de ocupação por um elétron é 010 27 O zinco é um metal divalente Para esse elemento calcule a a concentração de elétrons de condução b a energia de Fermi c a velocidade de Fermi e d o comprimento de onda de de Broglie correspondente à velocidade determinada no item c Os dados necessários estão no Apêndice F 28 Qual é a energia de Fermi do ouro que é um metal monovalente com massa molar de 197 gmol e massa específica de 193 gcm3 29 Use o resultado do Problema 23 para calcular a energia cinética total de translação dos elétrons de condução em 100 cm3 de cobre a 0 K 30 Um metal possui 170 1028 elétrons de condução por metro cúbico Uma amostra do metal tem volume de 600 106 m3 e está à temperatura de 200 K Quantos estados ocupados existem em um intervalo de energia de 320 1020 J com centro em uma energia de 400 1019 J Sugestão Não arredonde o expoente Módulo 412 Propriedades Elétricas dos Semicondutores 31 a Qual é o comprimento de onda máximo de uma luz capaz de excitar um elétron da banda de valência do diamante para a banda de condução A distância entre as duas bandas é 550 eV b A que parte do espectro eletromagnético pertence esse comprimento de onda 32 O composto arseneto de gálio é um semicondutor com Eg 143 eV que possui uma estrutura cristalina semelhante à do silício na qual metade dos átomos de silício são substituídos por átomos de arsênio e metade por átomos de gálio Faça um desenho bidimensional da rede cristalina do arseneto de gálio tomando como modelo a Fig 4110a a Qual é a carga elétrica a dos íons de gálio e b dos íons de arsênio c Quantos elétrons existem por ligação Sugestão Consulte a tabela periódica do Apêndice G 33 A função probabilidade de ocupação Eq 416 também pode ser aplicada aos semicondutores Nos semicondutores não dopados a energia de Fermi está praticamente no centro da banda proibida veja o Problema 34 No germânio a largura da banda proibida é 067 eV Supondo que a energia de Fermi seja exatamente no centro da banda proibida determine a probabilidade a de que um estado na base da banda de condução do germânio e b de que um estado no alto da banda de valência do germânio esteja ocupado Suponha que T 290 K 34 Em um modelo simplificado de um semicondutor não dopado a distribuição de estados disponíveis pode ser substituída por uma distribuição na qual existem Nv estados na banda de valência todos com a mesma energia Ev e Nc estados na banda de condução todos com a mesma energia Ec O número de elétrons na banda de condução é igual ao número de buracos na banda de valência a Mostre que para esta última condição ser satisfeita é preciso que em que ΔEc Ec EF e ΔEv Ev EF b Se o nível de Fermi está na banda proibida e a distância entre o nível de Fermi e as duas bandas é muito maior que kT expΔEckT 1 expΔEckT e expΔEvkT 1 expΔEvkT na equação do item a Mostre que nessas condições o que para Nv Nc significa que o nível de Fermi de um semicondutor não dopado está praticamente no centro da banda proibida 35 Que massa de fósforo é necessária para dopar 10 g de silício de tal forma que a concentração de elétrons aumente do valor do silício puro 1016 m3 para 1022 m3 um valor 106 vezes maior 36 Uma amostra de silício é dopada com átomos que introduzem estados doadores 0110 eV abaixo da banda de condução No silício a largura da banda proibida é 111 eV a o nível de Fermi está na banda proibida ou na banda de valência b Se a probabilidade de ocupação de um estado doador é 500 10 5 para T 300 K qual é a distância entre o nível de Fermi e o alto da banda de valência c Nas condições do item a qual é a probabilidade de um estado na base da banda de condução estar ocupado 37 Como mostra o Problema 36 a dopagem muda a posição da energia de Fermi de um semicondutor Considere o silício com uma distância de 111 eV entre a extremidade superior da banda da valência e a extremidade inferior da banda de condução A 300 K o nível de Fermi do silício puro está praticamente a meio caminho entre a banda de valência e a banda de condução Suponha que o silício seja dopado com átomos de uma impureza doadora que introduz um estado 015 eV abaixo da banda de condução suponha ainda que a dopagem mude a posição do nível de Fermi para 011 eV abaixo da banda de condução Fig 4122 Calcule a probabilidade de que um estado na base da banda de condução esteja ocupado a antes da dopagem e b depois da dopagem c Calcule a probabilidade de que o nível introduzido pela impureza doadora esteja ocupado Figura 4122 Problema 37 38 No silício puro à temperatura ambiente a concentração de elétrons na banda de condução é 5 1015 m3 e a concentração de buracos na banda de valência tem o mesmo valor Suponha que um em cada 107 átomos de silício seja substituído por um átomo de fósforo a Que tipo de semicondutor é o novo material n ou p b A concentração de que tipo de portador de carga aumenta com a dopagem c Qual é a razão entre a concentração de portadores de carga elétrons e buracos no material dopado e a concentração no material não dopado Módulo 413 A Junção pn e o Transistor 39 Quando um fóton penetra na zona de depleção de uma junção pn ele pode colidir com elétrons da banda de valência transferindoos para a banda de condução e criando pares elétronburaco Por essa razão as junções pn são muito usadas para detectar radiações principalmente nas regiões de raios X e raios gama do espectro eletromagnético Suponha que um fóton de raios gama de 662 keV transfira energia para elétrons em eventos de espalhamento no interior de um semicondutor em que a largura da banda proibida é 11 eV até desaparecer Supondo que os elétrons excitados pelo fóton sejam transferidos do alto da banda de valência para a base da banda de condução determine o número de pares elétronburaco criados no processo 40 Em uma junção pn ideal a relação entre a corrente I e a diferença de potencial aplicada à junção V é dada por I I0eeVkT 1 em que I0 que depende dos materiais de que é feita a junção mas não da corrente nem da diferença de potencial é a corrente inversa de saturação A diferença de potencial V é positiva quando a junção é polarizada diretamente e negativa quando a junção é polarizada inversamente Para mostrar que um dispositivo com essas características se comporta como um diodo retificador a faça um gráfico de I em função de V para uma junção ideal de 012 V a 012 V supondo que T 300 K e I0 50 nA b Para a mesma temperatura calcule a razão entre a corrente de uma junção submetida a uma polarização direta de 050 V e uma junção submetida a uma polarização inversa de 050 V 41 Em um cristal a última banda ocupada está completa O cristal é transparente para todos os comprimentos de onda maiores que 295 nm e opaco para comprimentos de onda menores Calcule a distância em elétronsvolts entre a última banda ocupada e a primeira banda vazia nesse material 42 Em um cristal de cloreto de potássio a distância entre a última banda ocupada que está completa e a primeira banda vazia é 76 eV O cristal é opaco ou transparente a uma luz com um comprimento de onda de 140 nm 43 Um circuito integrado que é do tamanho de um selo postal 254 cm 222 cm contém cerca de 35 milhões de transistores Quais devem ser no máximo as dimensões dos transistores supondo que são quadrados Nota Além de transistores um circuito integrado contém outros componentes deve haver também espaço para as ligações entre os elementos do circuito Na verdade hoje é possível fabricar transistores com dimensões de menos de 002 μm 44 Um MOSFET de silício tem uma porta quadrada com 050 μm de lado A camada isolante de óxido de silício que separa a porta do substrato tipo p tem 020 μm de espessura e uma constante dielétrica de 45 a Qual é a capacitância equivalente do conjunto portasubstrato considerando a porta como uma das placas do capacitor e o substrato como a outra placa b Quantas cargas elementares e se acumulam na porta quando existe uma diferença de potencial de 10 V entre a porta e a fonte6 Problemas Adicionais 45 a Mostre que a derivada dPdE da Eq 416 é 14kT para E EF b Mostre que a tangente à curva da Fig 417b no ponto E EF intercepta o eixo horizontal no ponto E EF 2kT 46 Use os dados da Tabela 411 para calcular drdT à temperatura ambiente a para o cobre e b para o silício 47 a Determine o ângulo θ entre ligações vizinhas na rede cristalina do silício Na rede do silício cada átomo está ligado a quatro outros átomos que formam um tetraedro regular pirâmide formada por triângulos equiláteros no centro do qual se encontra o átomo considerado b Determine o comprimento da ligação dado que a distância entre os átomos dos vértices do tetraedro é 388 pm 48 Mostre que PE a probabilidade de ocupação dada pela Eq 416 é simétrica em relação à energia de Fermi ou seja mostre que PEF ΔE PEF ΔE 1 49 a Mostre que a densidade de estados em um metal para uma energia igual à energia de Fermi é dada por em que n é a concentração de elétrons de condução b Calcule NEF para o cobre que é um metal monovalente com massa molar 6354 gmol e massa específica 896 gcm3 c Compare o resultado com a curva da Fig 416 lembrando que a energia de Fermi do cobre é 70 eV 50 A prata se funde a 961 oC No ponto de fusão que fração dos elétrons de condução está em estados com energias maiores que a energia de Fermi que é 55 eV Sugestão Veja o Problema 21 51 A energia de Fermi do cobre é 70 eV Mostre que a velocidade de Fermi correspondente é 1600 kms 52 Mostre que o fator numérico 0121 na Eq 419 está correto 53 Para que pressão em atmosferas o número de moléculas por unidade de volume em um gás ideal é igual à concentração de elétrons de condução no cobre supondo que tanto o gás como o metal estejam a uma temperatura de 300 K 1Na verdade a energia de Fermi diminui ligeiramente quando a temperatura aumenta mas a variação é tão pequena que normalmente é desprezada NT 2Do inglês LightEmitting Diode NT 3Recentemente os LEDs passaram a ser usados também em sinais de trânsito faróis de automóveis receptores de televisão monitores de computador e lâmpadas de iluminação residencial NT 4Do inglês FieldEffect Transistor NT 5Do inglês MetalOxideSemiconductor FieldEffect Transistor NT 6No MOSFET a que se refere este problema que é de um tipo diferente do descrito no texto não existe uma região tipo n ligando a fonte ao dreno o canal é obtido exclusivamente por polarização da porta É por isso que existe apenas material isolante entre a porta e o substrato tipo p NT CAPÍTULO 42 Física Nuclear 421 A DESCOBERTA DO NÚCLEO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4201 Explicar em que consistiu o experimento de Rutherford e o que ele revelou a respeito do átomo 4202 Em um experimento de espalhamento como o de Rutherford conhecer a relação entre a energia cinética da partícula alfa e a distância de máxima aproximação do núcleo alvo IdeiasChave A carga positiva de um átomo está concentrada em uma pequena região central Esse modelo foi proposto em 1910 por Ernest Rutherford a partir de experimentos de espalhamento nos quais fez incidir partículas alfa em folhas finas de metais como o ouro e o cobre A energia total soma da energia cinética com a energia potencial elétrica do sistema partícula alfanúcleo alvo é conservada quando a partícula alfa se aproxima do núcleo O que É Física Vamos agora voltar nossa atenção para a parte central do átomo o núcleo Durante os últimos 90 anos um objetivo importante da física tem sido aplicar os princípios da física quântica ao estudo dos núcleos e um objetivo importante da engenharia tem sido utilizar os conhecimentos assim obtidos em aplicações práticas que vão desde o uso da radiação no tratamento do câncer até a detecção do gás radônio no porão das casas Antes de falar das aplicações práticas e da física quântica dos núcleos vamos explicar como os físicos descobriram que o átomo possui um núcleo A existência do núcleo por mais óbvia que possa parecer hoje em dia constituiu inicialmente uma grande surpresa A Descoberta do Núcleo Nos primeiros anos do século XX praticamente a única coisa que se sabia a respeito da estrutura dos átomos era que continham elétrons e que os elétrons possuíam uma carga elétrica que por convenção era considerada negativa O elétron tinha sido descoberto por J J Thomson em 1897 porém a massa do elétron era desconhecida Assim não era possível dizer quantos elétrons um átomo continha Os físicos já sabiam que os átomos eram eletricamente neutros e portanto deviam conter também cargas positivas mas ninguém sabia como eram essas cargas positivas De acordo com um modelo muito popular na época as cargas positivas e negativas estavam distribuídas uniformemente em uma esfera Em 1911 Ernest Rutherford sugeriu que a carga positiva estava concentrada no centro do átomo formando um núcleo e que além disso o núcleo era responsável pela maior parte da massa do átomo A sugestão de Rutherford não era uma simples especulação mas se baseava nos resultados de um experimento proposto por ele e executado por dois colaboradores Hans Geiger o inventor do contador Geiger e Ernest Marsden um estudante de 20 anos que ainda não havia terminado o curso de graduação Figura 421 Arranjo experimental visto de cima usado no laboratório de Rutherford entre 1911 e 1913 para estudar o espalhamento de partículas α por folhas finas de metal A posição do detector podia ser ajustada para vários valores do ângulo de espalhamento ϕ A fonte de partículas α era o gás radônio um produto do decaimento do rádio Foi esse experimento relativamente simples que levou à descoberta do núcleo atômico Na época de Rutherford já se sabia que certos elementos ditos radioativos se transformam espontaneamente em outros elementos emitindo partículas no processo Um desses elementos é o gás radônio que emite partículas α com uma energia de aproximadamente 55 MeV Hoje sabemos que as partículas α são núcleos de átomos de hélio A ideia de Rutherford era fazer as partículas α incidirem em uma folha fina de metal e medir o desvio da trajetória das partículas ao passarem pelo material As partículas α cuja massa é cerca de 7300 vezes maior que a do elétron têm uma carga de 2e A Fig 421 mostra o arranjo experimental usado por Geiger e Marsden A fonte de partículas α era um tubo de vidro de paredes finas contendo radônio O experimento consistia em medir o número de partículas α em função do ângulo de espalhamento ϕ Os resultados obtidos por Geiger e Marsden aparecem na Fig 422 Observe que a escala vertical é logarítmica O ângulo de espalhamento é pequeno para a grande maioria das partículas entretanto e essa foi a grande surpresa algumas poucas partículas apresentam ângulos de espalhamento extremamente elevados próximos de 1808 Nas palavras de Rutherford Foi a coisa mais incrível que aconteceu em toda a minha vida É quase como se você desse um tiro de canhão em uma folha de papel e a bala ricocheteasse Figura 422 Os pontos no gráfico representam os resultados experimentais do espalhamento de partículas α por uma folha fina de ouro obtidos por Geiger e Marsden usando o equipamento da Fig 42 1 A curva é a previsão teórica baseada na hipótese de que o átomo possui um núcleo pequeno maciço positivamente carregado Observe que a escala vertical é logarítmica e cobre seis ordens de grandeza Os dados foram ajustados para que a curva teórica passe pelo ponto experimental envolvido por uma circunferência Por que Rutherford ficou tão surpreso Na época em que o experimento foi realizado a maioria dos físicos acreditava no modelo do pudim de passas para o átomo proposto por J J Thomson De acordo com o modelo a carga positiva do átomo estava uniformemente distribuída em todo o volume do átomo Os elétrons as passas do modelo vibravam em torno de posições fixas no interior dessa esfera de carga positiva o pudim A força experimentada por uma partícula α ao passar por uma esfera de carga positiva do tamanho de um átomo produziria uma deflexão menor que 1 A deflexão esperada foi comparada por um pesquisador à que aconteceria se alguém desse um tiro em um saco cheio de bolas de neve Os elétrons do átomo praticamente não afetariam a partícula α muito mais pesada Na verdade os elétrons é que seriam espalhados para todos os lados como uma nuvem de mosquitos atingida por uma pedra Para sofrer uma deflexão de mais de 90 raciocinou Rutherford a partícula α teria que ser submetida a uma força considerável essa força poderia ser explicada se a carga positiva em vez de se espalhar por todo o átomo estivesse concentrada em uma pequena região central Nesse caso a partícula α poderia se aproximar muito da carga positiva sem atravessála e essa aproximação resultaria em uma força considerável A Fig 423 mostra algumas possíveis trajetórias de partículas α no interior da folha de metal Como vemos a maioria das partículas não sofre nenhuma deflexão ou sofre apenas uma pequena deflexão mas umas poucas aquelas que por acaso passam nas proximidades de um núcleo sofrem grandes deflexões Analisando os dados Rutherford chegou à conclusão de que o raio do núcleo era aproximadamente 104 vezes menor que o raio do átomo Em outras palavras o átomo era composto principalmente de espaço vazio Figura 423 O ângulo de espalhamento de uma partícula α depende da distância a que a partícula passa de um núcleo atômico Para sofrer uma grande deflexão a partícula tem que passar muito perto de um núcleo Exemplo 4201 Espalhamento de Rutherford de uma partícula α por um núcleo de ouro Uma partícula α cuja energia cinética é Ki 530 MeV está em rota de colisão com o núcleo de um átomo neutro de ouro Fig 42 4a Qual é a distância de máxima aproximação d menor distância entre o centro da partícula α e o centro do núcleo Ignore o recuo do núcleo IDEIASCHAVE 1 No processo de espalhamento a energia mecânica total E do sistema constituído pela partícula α e pelo núcleo de Au é conservada 2 A energia total do sistema é a soma da energia cinética com a energia potencial elétrica fornecida pela Eq 2446 U q1q24πε0r Cálculos A partícula α tem uma carga 2e pois contém dois prótons O núcleo de ouro tem uma carga qAu 79e já que contém 79 prótons Entretanto a carga do núcleo é cercada por uma nuvem de elétrons com uma carga qe 79e e portanto a partícula α enxerga inicialmente um átomo neutro com uma carga total qátomo 0 Assim a força elétrica que age sobre a partícula e a energia potencial elétrica do sistema partículaátomo são inicialmente nulas Depois que a partícula α penetra no átomo podemos supor que a partícula está no interior da nuvem eletrônica que envolve o núcleo A nuvem se comporta como uma casca esférica condutora e de acordo com a lei de Gauss não exerce nenhuma força sobre a partícula α Isso significa que a partícula α enxerga apenas a carga nuclear qAu Como qα e qAu são cargas positivas uma força de repulsão age sobre a partícula α reduzindo sua velocidade e o sistema partículaátomo passa a ter uma energia potencial que depende da distância r entre o centro da partícula α e o centro do átomo veja a Fig 424b Com a redução da velocidade da partícula α a energia cinética é gradualmente convertida em energia potencial A conversão se completa quando a partícula α para momentaneamente na distância de máxima aproximação d Fig 424c Nesse instante a energia cinética é Kf 0 e a energia potencial do sistema partículaátomo é Figura 424 Uma partícula α a se aproxima e b penetra em um átomo de ouro em rota de colisão com o núcleo atômico A partícula α c para momentaneamente no ponto de máxima aproximação e d é repelida para fora do átomo Para calcular o valor de d aplicamos a lei de conservação da energia total ao estado inicial do sistema e ao estado do sistema no ponto de máxima aproximação o que nos dá ki Ui Kf Uf e Estamos supondo que a partícula α não é afetada pela força que mantém o núcleo coeso já que o alcance dessa força não se estende muito além da superfície do núcleo Explicitando d e substituindo as cargas e a energia cinética inicial por valores numéricos obtemos Essa distância é muito maior que a soma dos raios do núcleo de ouro e da partícula alfa Isso significa que a partícula alfa é repelida Fig 424d antes de colidir com o núcleo de ouro 422 PROPRIEDADES DOS NÚCLEOS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4203 Saber o que é nuclídeo número atômico número de prótons número de nêutrons número de massa núcleon isótopo desintegração excesso de nêutrons isóbara zona de núcleos estáveis e ilha de estabilidade e explicar os símbolos como por exemplo 197Au usados para representar os núcleos 4204 Desenhar um gráfico do número de prótons em função do número de nêutrons e indicar no gráfico a localização aproximada dos núcleos estáveis dos núcleos com excesso de prótons e dos núcleos com excesso de nêutrons 4205 Usar a relação entre o raio de um núcleo esférico e o número de massa para calcular a massa específica da matéria nuclear 4206 Trabalhar com massas em unidades de massa atômica conhecer a relação entre o número de massa e a massa aproximada de um núcleo e converter unidades de massa para unidades de energia 4207 Calcular o excesso de massa 4208 Saber o que significam a energia de ligação ΔEl e a energia de ligação por núcleon ΔEln de um núcleo 4209 Desenhar um gráfico da energia de ligação por núcleon em função do número de massa e indicar os núcleos mais estáveis os núcleos que podem liberar energia por meio da fusão e os núcleos que podem liberar energia por meio da fissão 4210 Conhecer a força responsável pela estabilidade dos núcleos atômicos IdeiasChave Tipos diferentes de núcleos são chamados de nuclídeos Os nuclídeos podem ser descritos por meio de três parâmetros o número atômico Z o número de prótons o número de nêutrons N e o número de massa A número total de núcleons Portanto A Z N Os nuclídeos são representados por símbolos como por exemplo 197Au ou 197 79Au em que o símbolo do elemento é acompanhado por um índice superior que indica o valor de A e opcionalmente um índice inferior que indica o valor de Z Nuclídeos com o mesmo número de prótons e um número diferente de nêutrons são chamados de isótopos O raio médio dos nuclídeos é dado por r r0A13 em que r0 12 fm As massas atômicas são frequentemente expressas em termos do excesso de massa Δ M A em que M é a massa do átomo em unidades de massa atômica e A é o número de massa do núcleo do átomo A energia de ligação de um núcleo é a diferença ΔEl Σmc2 Mc2 em que Σmc2 é a energia de repouso total dos prótons e nêutrons A energia de ligação de um núcleo é a quantidade de energia necessária para separar os componentes do núcleo e não é uma energia contida no núcleo A energia de ligação por núcleon é dada por A energia equivalente a uma unidade de massa atômica 1 u é 931494 013 MeV Um gráfico da energia de ligação por núcleon ΔEln em função do número de massa A mostra que os nuclídeos de massa intermediária são os mais estáveis e que é possível liberar energia pela fissão de núcleos pesados ou pela fusão de núcleos leves Algumas Propriedades dos Núcleos A Tabela 421 mostra as propriedades de alguns núcleos atômicos Quando estamos interessados nas propriedades intrínsecas dos núcleos atômicos e não nos núcleos como parte dos átomos eles são muitas vezes chamados de nuclídeos Terminologia Os núcleos são feitos de prótons e nêutrons O número de prótons do núcleo também conhecido como número atômico é representado pela letra Z o número de nêutrons é representado pela letra N A soma do número de prótons e do número de nêutrons é chamada de número de massa e representada pela letra A Os prótons e nêutrons recebem o nome genérico de núcleons Os nuclídeos são representados por símbolos como os que aparecem na primeira coluna da Tabela 421 Considere por exemplo o nuclídeo 197Au O índice superior 197 indica o valor do número de massa A O símbolo químico Au indica que o elemento é o ouro cujo número atômico é 79 De acordo com a Eq 421 o número de nêutrons desse nuclídeo é 197 79 118 Os nuclídeos com o mesmo número atômico Z e diferentes números N de nêutrons são chamados de isótopos O elemento ouro possui 36 isótopos que vão desde o 169Au até o 205Au Apenas um desses nuclídeos é estável os outros 35 são radioativos Esses radionuclídeos sofrem um processo espontâneo de decaimento ou desintegração no qual emitem uma ou mais partículas e se transformam em um nuclídeo diferente Classificação dos Nuclídeos Os átomos neutros de todos os isótopos de um elemento para os quais por definição o valor de Z é o mesmo possuem o mesmo número de elétrons as mesmas propriedades químicas e ocupam a mesma posição na tabela periódica dos elementos As propriedades nucleares dos isótopos de um elemento por outro lado podem ser muito diferentes Assim a tabela periódica é de pouca valia para os físicos nucleares químicos nucleares e engenheiros nucleares Os nuclídeos podem ser organizados em uma carta de nuclídeos como a da Fig 425 na qual um nuclídeo é representado por um par de coordenadas uma para o número de prótons e outra para o número de nêutrons Os nuclídeos estáveis estão representados em verde e os nuclídeos radioativos em amarelo Como se pode ver os radionuclídeos estão acima abaixo e à direita de uma faixa bem definida de nuclídeos estáveis Observe também que os nuclídeos estáveis mais leves estão próximos da reta N Z o que significa que possuem um número aproximadamente igual de nêutrons e prótons Os nuclídeos pesados por outro lado têm um número muito maior de nêutrons do que de prótons Assim por exemplo o 197Au possui 118 nêutrons e 79 prótons ou seja um excesso de 39 nêutrons Tabela 421 Propriedades de Alguns Nuclídeos Nuclídeo Z N A AbundânciaMeia vidaa Massab u Spinc Energia de Ligação MeVnúcleon 1H 1 0 1 99985 1007 825 7Li 3 4 7 925 7016 004 560 31P 15 16 31 100 30973 762 848 84Kr 36 48 84 570 83911 507 0 872 120Sn 50 70 120 324 119902 197 0 851 157Gd 64 93 157 157 156923 957 821 197Au 79 118 197 100 196966 552 791 227Ac 89 138 227 218 anos 227027 747 765 239Pu 94 145 239 24100 anos 239052 157 756 aNo caso de núcleos estáveis é dada a abundância isotópica ou seja a fração de átomos desse tipo em uma amostra típica do elemento No caso de nuclídeos radioativos é dada a meiavida bSeguindo a prática usual a massa dada é a massa do átomo neutro e não a massa do núcleo cMomento angular de spin em unidades de ħ Figura 425 Gráfico dos nuclídeos conhecidos A cor verde indica os nuclídeos estáveis a cor amarela os radionuclídeos Os nuclídeos estáveis de pequena massa têm aproximadamente o mesmo número de nêutrons e prótons mas os nuclídeos pesados têm um excesso de nêutrons A figura mostra que não existem nuclídeos estáveis com Z 83 bismuto Em algumas cartas de nuclídeos feitas para serem penduradas na parede cada nuclídeo é representado por um retângulo que contém dados como a massa atômica e a abundância do nuclídeo A Fig 426 mostra uma pequena região de uma carta desse tipo nas vizinhanças do 197Au O número abaixo do símbolo químico indica a abundância relativa do isótopo no caso de nuclídeos estáveis e a meia vida uma medida da taxa de decaimento no caso de radionuclídeos A linha reta liga uma série de isóbaros nuclídeos de mesma massa atômica A 198 neste caso Nos últimos anos nuclídeos com número atômico até Z 118 A 294 foram observados em laboratório não existem na Terra nuclídeos naturais com Z maior que 92 Embora os nuclídeos pesados sejam em geral extremamente instáveis e tenham por isso uma meiavida muito curta alguns nuclídeos superpesados fogem à regra e possuem uma meiavida relativamente longa Esses nuclídeos formam uma ilha de estabilidade na região de altos valores de Z e N de uma carta de nuclídeos como a da Fig 425 Figura 426 Vista ampliada e detalhada de uma parte da carta de nuclídeos da Fig 425 nas vizinhanças do 197Au Os quadrados verdes representam nuclídeos estáveis para os quais é dada a abundância isotópica Os quadrados amarelos representam radionuclídeos para os quais é dada a meia vida Também é mostrado um exemplo de reta isobárica com A 5 198 Teste 1 Com base na Fig 425 indique quais dos nuclídeos a seguir provavelmente não existem 52Fe Z 26 90As Z 33 158Nd Z 60 175Lu Z 71 208Pb Z 82 Raio dos Núcleos Uma unidade conveniente para medir distâncias subatômicas é o femtômetro 1015 m Essa unidade também é chamada de fermi os dois nomes têm a mesma definição e a mesma abreviação Podemos descobrir muita coisa a respeito do tamanho e da estrutura de um núcleo bombardeandoo com elétrons de alta energia e observando de que forma os elétrons são defletidos Os elétrons devem ter uma energia suficiente mais de 200 MeV para que o comprimento de onda de de Broglie seja menor que as dimensões do núcleo O núcleo como o átomo não é um corpo sólido com uma superfície bem definida Além disso alguns núcleos não são perfeitamente esféricos Mesmo assim nos experimentos de espalhamento de elétrons e em outros experimentos é conveniente atribuir aos nuclídeos um raio efetivo dado por em que A é o número de massa e r0 12 fm De acordo com a Eq 423 o volume do nuclídeo que varia com r3 é diretamente proporcional ao número de massa A e não depende dos valores separados de Z e N Isso significa que podemos tratar a maioria dos nuclídeos como esferas cujo volume depende apenas do número de núcleons sejam eles prótons ou nêutrons A Eq 423 não se aplica aos halonuclídeos nuclídeos ricos em nêutrons produzidos pela primeira vez em laboratório na década de 1980 Os raios desses nuclídeos são maiores que os valores dados pela Eq 423 porque alguns dos nêutrons formam um halo que envolve um caroço esférico formado pelos prótons e os nêutrons restantes Um bom exemplo são os isótopos do lítio Quando um nêutron é acrescentado ao 8Li para formar 9Li o raio efetivo aumenta 4 aproximadamente Quando porém dois nêutrons1 são acrescentados ao 9Li para formar 11Li o mais pesado dos isótopos do lítio os dois nêutrons não se combinam com o núcleo já existente mas formam um halo em torno do resto do núcleo Em consequência o raio efetivo aumenta aproximadamente 30 Obviamente isso significa que essa configuração é mais estável do que aquela em que os 11 núcleons ocupam a mesma região Em todos os exemplos estudados neste capítulo vamos supor que a Eq 423 pode ser aplicada Massas dos Núcleos As massas atômicas atualmente podem ser medidas com grande precisão mas as massas dos núcleos em geral não podem ser medidas diretamente porque é difícil remover todos os elétrons de um átomo Como vimos no Módulo 376 as massas atômicas normalmente são expressas em unidades de massa atômica u definidas de tal forma que a massa atômica do 12C neutro é exatamente 12 u Massas atômicas precisas estão disponíveis em muitos sites da Internet e em geral são fornecidas no enunciado dos problemas Às vezes porém precisamos apenas de um valor aproximado da massa de um núcleo ou de um átomo neutro Nesses casos utilizamos o número de massa A que é a massa do nuclídeo expressa em unidades de massa atômica e arredondada para o número inteiro mais próximo Assim por exemplo o número de massa tanto para o núcleo como para o átomo neutro de 197Au é 197 u enquanto a massa atômica é 196966 552 u Como vimos no Módulo 376 Vimos também que se a massa total das partículas envolvidas em uma reação nuclear varia de Δm existe uma liberação ou absorção de energia fornecida pela Eq 3750 Q Δm c2 Como vamos ver em seguida as energias nucleares são frequentemente medidas em múltiplos de 1 MeV A relação entre a massa em unidades de massa atômica e a energia em MeV é dada pela constante c2 da Eq 3746 Os cientistas e engenheiros que trabalham com massas atômicas muitas vezes preferem expressar a massa de um átomo em termos do excesso de massa D do átomo definido pela equação em que M é a massa do átomo em unidades de massa atômica e A é o número de massa do núcleo do átomo Energias de Ligação dos Núcleos A massa M de um núcleo é menor que a massa total Σm das partículas que o compõem Isso significa que a energia de repouso Mc2 de um núcleo é menor que a energia de repouso total Σmc2 dos prótons e nêutrons que fazem parte do núcleo A diferença entre as duas energias é chamada de energia de ligação do núcleo Atenção A energia de ligação não é uma energia existente no núcleo e sim a diferença entre a energia de repouso do núcleo e a soma das energias de repouso das partículas existentes no núcleo Para separar as partículas que compõem o núcleo teríamos que fornecer ao núcleo uma energia ΔEl durante o processo de separação Embora um núcleo não possa ser desintegrado dessa forma a energia de ligação é uma medida conveniente da estabilidade de um núcleo Uma medida ainda melhor é a energia de ligação por núcleon ΔEln que é a razão entre a energia de ligação ΔEl de um núcleo e o número A de núcleons do núcleo Podemos pensar na energia de ligação por núcleon como a energia média necessária para arrancar um núcleon do núcleo Quanto maior a energia de ligação por núcleon maior a estabilidade do núcleo A Fig 427 mostra um gráfico da energia de ligação por núcleon ΔEln em função do número de massa A para um grande número de núcleos Os núcleos que aparecem na parte superior da curva são os mais estáveis já que é necessária uma energia maior por núcleon para desintegrálos Os núcleos que aparecem na parte inferior da curva isto é nas duas extremidades são os menos estáveis Figura 427 Energia de ligação por núcleon mostrando alguns nuclídeos representativos O 62Ni níquel é o nuclídeo com a maior energia de ligação por núcleon 8794 60 MeVnúcleon Observe que a energia de ligação por núcleon da partícula α 4He é bem maior que a dos vizinhos da tabela periódica o que significa que se trata de um nuclídeo particularmente estável Essas observações simples a respeito da curva da Fig 427 têm consequências importantes Os núcleos situados na extremidade direita da curva perdem massa ao se transformarem em dois núcleos com um número de massa intermediário Esse processo conhecido como fissão ocorre espontaneamente isto é sem que seja necessária uma fonte de energia externa em núcleos de elementos pesados com um grande número de massa A como o urânio O processo também acontece em armas nucleares nas quais muitos núcleos de urânio ou plutônio são induzidos a sofrer fissão praticamente ao mesmo tempo produzindo uma explosão e em reatores nucleares nos quais a energia da fissão é liberada de forma controlada Os núcleos situados na extremidade esquerda da curva perdem massa ao se combinarem para formar um único núcleo com um número de massa intermediário Esse processo conhecido como fusão ocorre naturalmente no interior das estrelas Sem ele o Sol não brilharia e portanto a vida não poderia existir na Terra Como será discutido no próximo capítulo a fusão também é usada em armas nucleares nas quais a energia é liberada de forma explosiva e está sendo investigada para uso em reatores de fusão nos quais a energia da fusão seria liberada de forma controlada como nos reatores nucleares de fissão Níveis de Energia dos Núcleos A energia dos núcleos como a energia dos átomos é quantizada Em outras palavras os núcleos só podem existir em estados quânticos discretos cada um com uma energia bem definida A Fig 428 mostra alguns desses níveis para o 28Al um nuclídeo leve típico Note que a escala de energia está em milhões de elétronsvolts e não em elétronsvolts como no caso dos átomos Quando um núcleo sofre uma transição para um estado de menor energia o fóton emitido quase sempre está na região dos raios gama do espectro eletromagnético Figura 428 Níveis de energia do nuclídeo 28Al determinados a partir de reações nucleares conhecidas Spin e Magnetismo dos Núcleos Muitos nuclídeos possuem um momento angular nuclear intrínseco ou spin nuclear e um momento magnético nuclear associado Embora os momentos angulares nucleares sejam da mesma ordem de grandeza que os momentos angulares dos elétrons os momentos magnéticos nucleares são muito menores que os momentos magnéticos eletrônicos A Força Nuclear A força que mantém os elétrons nas vizinhanças do núcleo para formar os átomos é a força eletromagnética Para manter o núcleo coeso é necessária uma força nuclear de um tipo diferente suficientemente intensa para superar a força de repulsão eletromagnética experimentada pelos prótons e para manter os prótons e nêutrons confinados no pequeno volume do núcleo Os experimentos mostram que essa força é de curto alcance seus efeitos não se estendem muito além de alguns femtômetros Atualmente os cientistas acreditam que a força nuclear que mantém os prótons e nêutrons unidos para formar o núcleo não é uma força fundamental da natureza e sim um efeito secundário da interação forte que mantém os quarks unidos para formar os prótons e os nêutrons Um efeito semelhante é observado na 1 2 atração entre moléculas neutras força de van der Waals que é um efeito secundário da interação elétrica que mantém os átomos unidos para formar as moléculas Exemplo 4202 Energia de ligação por núcleon Qual é a energia de ligação por núcleon do 120Sn IDEIASCHAVE De acordo com a Eq 428 ΔEln ΔElA podemos determinar a energia de ligação por núcleon ΔEln calculando a energia de ligação ΔEl e dividindo o resultado pelo número A de núcleons do núcleo De acordo com a Eq 427 ΔEl Σmc2 Mc2 podemos determinar ΔEl calculando a diferença entre a energia de repouso Mc2 do núcleo e a soma das energias de repouso Σmc2 dos núcleons que compõem o núcleo Cálculos Segundo a Tabela 421 um núcleo de 120Sn contém 50 prótons Z 50 e 70 nêutrons N A Z 120 50 70 Assim precisamos imaginar que um núcleo de 120Sn foi separado em 50 prótons e 70 nêutrons e calcular a variação da energia de repouso resultante Para realizar o cálculo precisamos conhecer as massas do núcleo de 120Sn do próton e do nêutron No enanto como a massa de um átomo neutro núcleo mais elétrons é muito mais fácil de medir do que a massa de um núcleo isolado os cálculos das energias de ligação quase sempre são feitos a partir das massas atômicas Assim vamos modificar a Eq 429 de modo a podermos usar a massa do átomo de 120Sn em vez da massa do núcleo de 120Sn Para isso temos que acrescentar as massas de 50 elétrons ao lado direito da equação de modo a compensar as massas dos 50 elétrons do átomo de 120Sn Esses 50 elétrons podem ser combinados com os 50 prótons para formar 50 átomos de hidrogênio Assim temos De acordo com a Tabela 421 a massa MSn de um átomo de 120Sn é 119902 197 u e a massa mH de um átomo de hidrogênio é 1007 825 u de acordo com a Apêndice B a massa mn do nêutron é 1008 665 u Assim a Eq 427 nos dá ΔEl Σmc2 Mc2 50mHc2 70mnc2 MSnc2 501007 825 uc2 701008 665 uc2 119902 197 uc2 1095 603 uc2 1095 603 u931494 013 MeVu 10205 MeV em que a conversão para MeV foi feita usando a Eq 425 c2 931494 013 MeVu Observe que o uso de massas atômicas em vez de massas nucleares não afeta o resultado porque a massa dos 50 elétrons do átomo de 120Sn é compensada pela massa dos elétrons dos 50 átomos de hidrogênio De acordo com a Eq 428 a energia de ligação por núcleon é Exemplo 4203 Massa específica da matéria nuclear Podemos imaginar que todos os nuclídeos são feitos de uma mistura de nêutrons e prótons conhecida como matéria nuclear Qual é a massa específica da matéria nuclear IDEIACHAVE Podemos determinar a massa específica média ρ de um núcleo dividindo a massa do núcleo pelo volume do núcleo Cálculos Seja m a massa de um núcleon que pode ser um próton ou um nêutron já que as duas partículas têm aproximadamente a mesma massa Nesse caso a massa de um núcleo com A núcleons é Am Suponha que o núcleo é uma esfera de raio r O volume dessa esfera é 4πr33 e a massa específica do núcleo é dada por O raio r é dado pela Eq 423 r r0A13 em que r0 12 fm 12 1015 m Nesse caso temos Observe que o número de massa A não aparece no resultado final o valor obtido para a massa específica é válido para qualquer núcleo que possa ser considerado esférico com um raio dado pela Eq 423 Usando o valor de 167 1027 kg para a massa m de um núcleon temos Esse valor é 2 1014 vezes maior que a massa específica da água e da mesma ordem que a massa específica das estrelas de nêutrons 423 DECAIMENTO RADIOATIVO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4211 Explicar o que é decaimento radioativo e saber que se trata de um processo aleatório 4212 Saber o que é a constante de desintegração ou constante de decaimento λ 4213 Saber que em qualquer instante a taxa de decaimento dNdt de um nuclídeo radioativo em uma amostra é proporcional ao número N de nuclídeos desse tipo presentes na amostra nesse instante 4214 Conhecer a função que expressa o número N de nuclídeos radioativos em função do tempo 4215 Conhecer a função que expressa a taxa de decaimento R dNdt de um nuclídeo radioativo em função do tempo 4216 Conhecer a relação entre a taxa de decaimento R e o número N de nuclídeos radioativos em um instante qualquer 4217 Saber o que é a atividade de uma amostra radioativa 4218 Conhecer a relação entre o becquerel Bq o curie Ci e o número de decaimentos por segundo 4219 Saber a diferença entre a meiavida T12 e a vida média τ de um nuclídeo radioativo 4220 Conhecer a relação entre a meiavida T12 a vida média τ e a constante de desintegração λ 4221 Saber que em qualquer processo nuclear incluindo o decaimento radioativo a carga e o número de núcleons são conservados IdeiasChave A taxa de decaimento dos nuclídeos radioativos em uma amostra R dNdT é proporcional ao número N de nuclídeos radioativos presentes na amostra A constante de proporcionalidade é a constante de desintegração λ O número de nuclídeos radioativos presentes em uma amostra varia com o tempo de acordo com a equação N N0eλt em que N0 é o número de nuclídeos no instante t 0 A taxa de decaimento dos nuclídeos radioativos presentes em uma amostra varia com o tempo de acordo com a equação R R0eλt em que R0 é a taxa de decaimento no instante t 0 A meiavida T12 e a vida média τ duas medidas do tempo de sobrevivência de um tipo particular de radionuclídeo obedecem à seguinte relação Decaimento Radioativo Como se pode ver na Fig 425 os nuclídeos em sua maioria são radioativos ou seja emitem espontaneamente uma ou mais partículas transformandose em outros nuclídeos O decaimento radioativo foi a primeira indicação de que as leis que governam o mundo subatômico são estatísticas Considere por exemplo uma amostra de 1 mg de urânio A amostra contém 25 1018 átomos do radionuclídeo de longa vida 238U Os átomos presentes na amostra foram criados em supernovas provavelmente muito antes da formação do sistema solar Em um segundo apenas 12 dos núcleos presentes na amostra se desintegram emitindo uma partícula alfa para se transformar em núcleos de 234Th Entretanto Não existe nenhum meio de prever se um dado núcleo de uma amostra radioativa estará entre os que decairão no segundo seguinte A probabilidade de decaimento é a mesma para todos os núcleos Embora seja impossível prever quais serão os núcleos a decair podemos dizer que se uma amostra contém N núcleos radioativos a taxa de decaimento dos núcleos dNdt é proporcional a N em que λ a constante de desintegração ou constante de decaimento tem um valor diferente para cada radionuclídeo A unidade de λ no SI é o inverso do segundo s1 Para determinar N em função do tempo t separamos as variáveis da Eq 4211 o que nos dá e integramos ambos os membros para obter ou Aqui N0 é o número de núcleos radioativos em um instante inicial arbitrário t0 Fazendo t0 0 e transformando a diferença de logaritmos no logaritmo de uma fração obtemos Tomando a exponencial de ambos os membros a função exponencial é a função inversa do logaritmo natural obtemos ou em que N0 é o número de núcleos radioativos no instante t 0 e N é o número de núcleos que restam na amostra em um instante t 0 Observe que as lâmpadas elétricas para dar um exemplo não obedecem a uma lei semelhante Se medirmos a vida útil de 1000 lâmpadas todas decairão ou seja queimarão dentro de um intervalo de tempo relativamente curto O decaimento dos radionuclídeos segue uma lei muito diferente Muitas vezes estamos mais interessados na taxa de decaimento R dNdt do que no valor de N Derivando a Eq 4215 em relação ao tempo obtemos ou que pode ser considerada uma forma alternativa da lei do decaimento radioativo Eq 4215 Na Eq 42 16 R0 é a taxa de decaimento no instante t 0 e R é a taxa de decaimento em um instante t 0 Podemos escrever a Eq 4211 em termos da taxa de decaimento R da amostra como em que R e N o número de núcleos radioativos que ainda não decaíram devem ser calculados ou medidos para o mesmo valor de t A soma das taxas de decaimento R de todos os radionuclídeos presentes em uma amostra é chamada de atividade da amostra A unidade de atividade no SI foi chamada de becquerel em homenagem a Henri Becquerel o descobridor da radioatividade 1 becquerel 1 Bq 1 decaimento por segundo Uma unidade mais antiga o curie continua a ser usada até hoje 1 curie 1 Ci 37 1010 Bq Frequentemente uma amostra radioativa é colocada nas proximidades de um detector que por motivos de geometria ou de falta de sensibilidade não registra todas as desintegrações ocorridas na amostra Nesse caso a leitura do detector é menor que a atividade da amostra embora em muitos casos possa ser considerada proporcional à atividade Medidas desse tipo não são expressas em unidades de becquerel e sim em contagens por unidade de tempo Tempos de vida Existem duas medidas principais do tempo de sobrevivência de um tipo particular de radionuclídeo Uma dessas medidas é a meiavida T12 de um radionuclídeo que é o tempo necessário para que N e R caiam para a metade do valor inicial a outra é a vida média τ que é o tempo necessário para que N e R caiam para 1e do valor inicial Para determinar a relação entre T12 e a constante de desintegração λ fazemos R R02 na Eq 4216 e substituímos t por T12 o que nos dá a seguinte equação Tomando o logaritmo natural de ambos os membros e explicitando T12 obtemos Da mesma forma para relacionar τ a λ fazemos R R0e na Eq 4216 substituímos t por τ e explicitamos τ o que nos dá Esses resultados podem ser resumidos da seguinte forma Teste 2 O nuclídeo 131I é radioativo com uma meiavida de 804 dias Ao meiodia de 1o de janeiro a atividade de uma amostra é 600 Bq Usando o conceito de meiavida determine sem fazer nenhum cálculo escrito se a atividade da amostra ao meiodia de 24 de janeiro será um pouco menor que 200 Bq um pouco maior que 200 Bq um pouco menor que 75 Bq ou um pouco maior que 75 Bq Exemplo 4204 Determinação da constante de desintegração e da meiavida a partir de um gráfico A tabela a seguir mostra a taxa de decaimento para vários instantes de tempo de uma amostra de 128I um radionuclídeo muito usado na medicina especialmente para medir a taxa de absorção de iodo pela glândula tireoide Tempo min R contagenss Tempo min R contagenss 4 3922 132 109 36 1614 164 456 68 655 196 186 100 268 218 100 Determine a constante de desintegração λ e a meiavida T12 do 128I IDEIASCHAVE Como é a constante de desintegração λ que determina a variação com o tempo da taxa de decaimento R Eq 4216 R R0eλt devemos ser capazes de calcular λ a partir de medidas de R em função de t Entretanto isso não pode ser feito diretamente já que a relação entre R e t não é linear Um método engenhoso consiste em transformar a Eq 4216 em uma função linear tomando o logaritmo natural de ambos os membros Cálculos Tomando o logaritmo natural de ambos os membros da Eq 4216 obtemos Como a Eq 4219 é da forma y b mx com b e m constantes a equação de ln R em função de t é a equação de uma linha reta Assim se plotarmos ln R em vez de R em função de t deveremos obter uma linha reta Além disso a inclinação da reta será igual a λ A Fig 429 mostra um gráfico de ln R em função de t no qual estão plotados os pontos da tabela A inclinação da reta que melhor se ajusta aos pontos experimentais é Assim λ 00276 min1 ou O tempo que a taxa de decaimento R leva para diminuir à metade está relacionado à constante de desintegração λ pela Eq 4218 T12 ln 2λ Assim temos Figura 429 Gráfico semilogarítmico do decaimento de uma amostra de 128I com base nos dados da tabela Exemplo 4205 Radioatividade do potássio em uma banana Uma banana contém 600 mg de potássio Sabendo que a abundância natural do isótopo radioativo 40K que tem meiavida de 125 109 anos é 00117 e supondo que o potássio é o único elemento radioativo presente na fruta então qual é a atividade da banana IDEIASCHAVE 1 Segundo a Eq 4217 R λN40 em que R é a atividade da banana λ é a constante de desintegração e N40 é o número de núcleos e átomos de 40K 2 De acordo com a Eq 4218 a meiavida de um nuclídeo radioativo é dada por T12 ln 2λ Cálculos Combinando as Eqs 4217 e 4218 obtemos Sabemos que N40 é 00117 do número total N de átomos de potássio contidos na banana Podemos obter o valor de N combinando duas expressões para o número n de mols do potássio contidos na banana Pela Eq 192 n NNA em que NA é o número de Avogadro 602 1023 mol1 De acordo com a Eq 193 n MamM em que Mam é a massa da amostra no caso os 600 mg de potássio e M é a massa molar do potássio Combinando as duas equações para eliminar n obtemos De acordo com o Apêndice F a massa molar do potássio é 39102 gmol Substituindo as variáveis por valores numéricos na Eq 4221 obtemos Substituindo N40 e T12 por seus valores na Eq 4220 obtemos Essa atividade equivale a cerca de 051 nCi O corpo humano contém aproximadamente 160 g de potássio Repetindo o cálculo para essa massa de potássio concluímos que a atividade dos núcleos de 40K presentes em nosso organismo é da ordem de 5 103 Bq o que equivale a 014 μCi Assim comer uma banana acrescenta menos de 1 à radioatividade natural a que o nosso corpo é exposto permanentemente pelo decaimento do potássio 424 DECAIMENTO ALFA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4222 Saber o que é uma partícula alfa e o que é o decaimento alfa 4223 Calcular a variação de massa e o valor de Q para um decaimento alfa 4224 Calcular a variação do número atômico Z e do número de massa A de um núcleo que sofre um decaimento alfa 4225 Explicar como uma partícula alfa pode escapar de um núcleo com uma energia menor que a barreira de potencial a que estão sujeitas as partículas que formam o núcleo IdeiaChave Alguns nuclídeos decaem emitindo uma partícula alfa um núcleo de hélio 4He Esse decaimento é dificultado pela existência de uma barreira de potencial que só pode ser superada por tunelamento Decaimento Alfa Quando um núcleo sofre um decaimento alfa ele se transforma em um núcleo diferente emitindo uma partícula alfa ou seja um núcleo de hélio 4He Assim por exemplo quando o isótopo do urânio 238U sofre um decaimento alfa ele se transforma em 234Th um isótopo do tório por meio da reação Esse decaimento alfa do 238U pode ocorrer espontaneamente na ausência de uma fonte de energia externa porque a soma das massas dos produtos da reação 234Th e 4He é menor que a massa do nuclídeo original 238U Portanto a energia de repouso dos produtos do decaimento é menor que a energia de repouso do nuclídeo original Em um processo desse tipo a diferença entre a energia de repouso inicial e a energia de repouso final é chamada de Q da reação veja a Eq 3750 Q ΔM c2 No caso do decaimento de um núcleo atômico dizemos que a diferença entre as energias de repouso inicial e final é a energia de desintegração Q do núcleo O Q do decaimento representado na Eq 4222 é 425 MeV essa é a energia liberada pelo decaimento alfa do 238U que aparece na forma de energia cinética dos produtos da reação A meiavida do 238U para este processo de decaimento é 45 109 anos Por que a meiavida é tão longa Se o 238U pode decair dessa forma por que os nuclídeos de 238U não decaem todos de uma vez Para responder a essas perguntas temos que examinar mais de perto o processo de decaimento alfa Usamos um modelo no qual a partícula alfa já existe no interior do núcleo antes que ocorra o decaimento A Fig 4210 mostra a energia potencial Ur do sistema formado pela partícula alfa e o núcleo residual de 234Th em função da distância r entre os dois corpos Essa energia é a soma de duas parcelas 1 a energia potencial associada à força nuclear atrativa que existe no interior do núcleo e 2 a energia potencial associada à força elétrica repulsiva que existe para qualquer distância entre os dois corpos A reta preta horizontal Q 425 MeV da Fig 4210 mostra a energia de desintegração do processo Se supusermos que esse valor corresponde à energia total da partícula alfa durante o decaimento a parte da curva de Ur acima dessa linha constitui uma barreira de energia potencial como a da Fig 3817 Classicamente essa barreira não pode ser ultrapassada Se penetrasse na região sombreada da figura a partícula alfa teria uma energia potencial U maior que a energia total E e sua energia cinética K que é igual a E U ficaria negativa algo fisicamente impossível Tunelamento Podemos compreender agora por que a partícula alfa não é imediatamente emitida pelo núcleo de 238U O núcleo está cercado por uma respeitável barreira de potencial que ocupa se pensarmos em três dimensões o volume limitado por duas superfícies esféricas com 8 e 60 fm de raio aproximadamente Esse argumento é tão convincente que nos vemos forçados a mudar de posição e perguntar Se existe uma barreira tão grande em torno do núcleo como é possível que alguns núcleos de 238U emitam partículas alfa A resposta é que como vimos no Módulo 389 existe uma probabilidade finita de que uma partícula atravesse uma barreira por efeito túnel mesmo que não possua energia suficiente para atravessála classicamente Na verdade o decaimento alfa se deve exclusivamente ao efeito túnel Figura 4210 Função energia potencial associada à emissão de uma partícula alfa por um núcleo de 238U A reta preta horizontal Q 425 MeV mostra a energia de desintegração para o processo A parte cinzenta mais grossa da linha representa distâncias r que são classicamente proibidas para a partícula alfa A partícula alfa está representada por um ponto vermelho tanto do lado de dentro da barreira de potencial lado esquerdo quanto do lado de fora lado direito depois que a partícula atravessou a barreira por tunelamento A reta preta horizontal Q 681 MeV mostra a energia de desintegração para o decaimento alfa do 228U A função energia potencial é a mesma para os dois isótopos porque a carga elétrica do núcleo é a mesma nos dois casos O fato de a meiavida do 238U ser muito longa indica que a barreira é quase intransponível A partícula alfa que nesse modelo está se movendo de um lado para outro no interior do núcleo incide na barreira em média 1038 vezes antes de conseguir ultrapassála Esse número corresponde a 1021 choques por segundo durante 4 109 anos um tempo igual à idade da Terra Enquanto isso ficamos esperando do lado de fora para contar as partículas alfa que finalmente conseguem escapar Podemos testar essa explicação do decaimento alfa estudando outros emissores alfa Para examinar um caso no extremo oposto considere o decaimento alfa de outro isótopo do urânio o 228U que possui uma energia de desintegração Q de 681 MeV aproximadamente 60 maior que a do 238U Uma segunda linha preta horizontal foi traçada na Fig 4210 na altura correspondente a esse valor Como vimos no Módulo 389 o coeficiente de transmissão de uma barreira é muito sensível a pequenas variações da energia total de partícula que tenta atravessála Assim esperamos que o decaimento alfa desse nuclídeo seja bem mais frequente que o do 238U É o que se observa na prática Como mostra a Tabela 422 a meiavida do 228U é apenas 91 minutos Quando Q é multiplicada por 16 a meiavida é dividida por 3 1014 Isso é que é sensibilidade Tabela 422 Comparação entre Dois Emissores Alfa Radionuclídeo Q Meiavida 238U 425 MeV 45 109 anos 228U 681 MeV 91 min Exemplo 4206 Determinação do valor de Q de um decaimento alfa a partir das massas São dadas as seguintes massas atômicas 238U 238050 79 u 4He 4002 60 u 234Th 234043 63 u 1He 1007 83 u 237Pa 237051 21 u em que Pa é o símbolo do elemento protactínio com Z 91 a Calcule a energia liberada no decaimento alfa do 238U A reação de decaimento é 238U 234Th 4He Note incidentalmente que a carga nuclear é conservada nesse tipo de reação A soma dos números atômicos do tório 90 e do hélio 2 é igual ao número atômico do urânio 92 O número de núcleons também é conservado 238 234 4 IDEIACHAVE A energia liberada no decaimento é a energia de desintegração Q que podemos calcular a partir da diferença de massa ΔM entre a massa do nuclídeo original e as massas dos produtos do decaimento Cálculo De acordo com a Eq 3750 em que a massa inicial Mi é a massa do 238U e a massa final Mf é a soma das massas do 234Th e do 4He Usando as massas atômicas dadas no enunciado do problema obtemos Note que o uso de massas atômicas em lugar de massas nucleares não afeta o resultado porque as massas dos elétrons se cancelam já que o número total de elétrons nos produtos da reação é igual ao número de elétrons no nuclídeo original b Mostre que o 238U não pode emitir espontaneamente um próton isto é a repulsão entre os prótons não é suficiente para ejetar um próton do núcleo Solução A ejeção de um próton do núcleo corresponde à reação 238U 237Pa 1H Fica a cargo do leitor verificar se a carga nuclear e o número de núcleons são conservados na reação Usando a mesma Ideia chave do item a verificamos que a soma das massas dos dois supostos produtos do decaimento 237051 21 u 1007 83 u é maior que a massa do 238U 238050 79 ou seja Δm 0008 25 u o que corresponde a uma energia de desintegração Q 768 MeV O valor negativo de Q significa que um núcleo de 238U precisa receber uma energia de 768 MeV para poder emitir um próton assim essa reação certamente não ocorre de forma espontânea 425 DECAIMENTO BETA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4226 Saber quais são os dois tipos de partículas beta e os dois tipos de decaimento beta 4227 Saber o que é neutrino 4228 Saber por que no decaimento beta as partículas beta podem ser emitidas com diferentes energias 4229 Calcular a variação de massa e o valor de Q de um decaimento beta 4230 Determinar a variação do número atômico Z de um núcleo que sofre um decaimento beta e saber que o número de massa A permanece o mesmo IdeiasChave No decaimento beta o núcleo emite um elétron ou um pósitron juntamente com um neutrino A energia de desintegração é compartilhada pelas partículas emitidas Às vezes o neutrino fica com a maior parte da energia e às vezes a maior parte da energia fica com o elétron ou com o pósitron Decaimento Beta Quando um núcleo se transforma em um núcleo diferente emitindo um elétron ou um pósitron partícula de carga positiva com a mesma massa que o elétron dizemos que esse núcleo sofreu um decaimento beta Como o decaimento alfa tratase de um processo espontâneo com uma energia de desintegração e uma meiavida bem definidas Também como o decaimento alfa o decaimento beta é um processo estatístico que pode ser descrito pelas Eqs 4215 e 4216 No decaimento beta menos β um elétron é emitido por um núcleo como na reação No decaimento beta mais β um pósitron é emitido por um núcleo como na reação O símbolo v representa um neutrino uma partícula neutra de massa muito pequena que é emitida pelo núcleo juntamente com o elétron ou o pósitron no processo de decaimento Os neutrinos interagem fracamente com a matéria e por essa razão são tão difíceis de detectar que sua existência passou despercebida durante muito tempo A carga e o número de núcleons são conservados nos dois tipos de reação No decaimento da Eq 42 24 por exemplo a carga total antes e depois da reação é a mesma 15e 16e e 0 pois o 32P possui 15 prótons o 32S possui 16 prótons e o neutrino tem carga zero O número de núcleons antes e depois da reação também é o mesmo 32 32 0 0 pois o 32P e o 32S possuem 32 núcleons e o elétron e o neutrino não são núcleons Pode parecer estranho que os núcleos sejam capazes de emitir elétrons pósitrons e neutrinos quando sabemos que contêm apenas prótons e nêutrons Entretanto já vimos que os átomos são capazes de emitir fótons embora não seja correto afirmar que os átomos contêm fótons O que acontece é que os fótons são criados durante o processo de emissão e o mesmo se pode dizer dos elétrons pósitrons e neutrinos emitidos pelos núcleos no decaimento beta No caso do decaimento beta menos um dos nêutrons do núcleo emite um elétron e um neutrino e se transforma em um próton segundo a reação Figura 4211 Distribuição da energia cinética dos pósitrons emitidos no decaimento beta do 64Cu A energia cinética máxima da distribuição Kmáx é 0653 MeV Em todos os decaimentos essa energia é dividida entre o pósitron e o neutrino em diferentes proporções A energia mais provável do pósitron emitido é aproximadamente 015 MeV No decaimento beta mais um dos prótons do núcleo emite um pósitron e um neutrino e se transforma em um nêutron segundo a reação Examinando as reações de decaimento vemos por que o número de massa A de um nuclídeo que sofre decaimento beta é conservado nesse processo um nêutron se transforma em um próton ou viceversa Eqs 4226 e 4227 o que significa que o número de núcleons permanece constante Tanto o decaimento alfa como o decaimento beta envolvem a liberação de certa quantidade de energia No decaimento alfa todas as partículas alfa têm a mesma energia cinética Em um decaimento beta menos como o da Eq 4226 por outro lado a energia de desintegração pode se dividir em diferentes proporções entre a energia cinética do elétron e a energia do neutrino Em alguns decaimentos quase toda a energia vai para o elétron em outros quase toda a energia vai para o neutrino Em todos os casos a soma da energia cinética do elétron com a energia do neutrino é igual à energia de desintegração Q Em um decaimento beta mais como o da Eq 4227 a energia também pode se dividir em diferentes proporções entre a energia do pósitron e a energia do neutrino Assim no decaimento beta a energia cinética dos elétrons ou pósitrons emitidos varia desde zero até um valor máximo Kmáx A Fig 4211 mostra a distribuição de energia cinética dos pósitrons emitidos no decaimento beta do 64Cu veja a Eq 4225 A energia máxima dos pósitrons Kmáx é igual à energia de desintegração Q porque se a energia do neutrino for desprezível toda a energia de desintegração aparecerá na forma da energia cinética do elétron ou seja O Neutrino A existência dos neutrinos foi proposta por Wolfgang Pauli em 1930 não só para explicar a distribuição de energia dos elétrons e pósitrons nos decaimentos beta mas também para evitar que a lei de conservação do momento angular fosse violada O neutrino é uma partícula que interage apenas fracamente com a matéria o livre caminho médio de um neutrino de alta energia na água é da ordem de milhares de anosluz Ao mesmo tempo os neutrinos gerados no big bang que presumivelmente assinalou a criação do universo são as partículas mais abundantes que a física conhece bilhões deles atravessam a cada segundo o corpo de cada habitante da Terra sem deixar vestígios Os neutrinos foram observados pela primeira vez em laboratório em 1953 por F Reines e C L Cowan entre as partículas geradas por um reator nuclear de alta potência Em 1995 Reines o membro sobrevivente da dupla recebeu o Prêmio Nobel de Física por esse trabalho Apesar das dificuldades de detecção o estudo dos neutrinos é hoje em dia um ramo importante da física experimental As reações nucleares que ocorrem no Sol produzem grande quantidade de neutrinos à noite esses neutrinos chegam até nós vindo de baixo já que os neutrinos atravessam a Terra quase como se ela não existisse Em fevereiro de 1987 a luz de uma estrela que explodiu na Grande Nuvem de Magalhães uma galáxia próxima chegou à Terra depois de viajar durante 170000 anos Um número gigantesco de neutrinos foi gerado na explosão e alguns foram captados por um detector de neutrinos situado no Japão como mostra a Fig 4212 Figura 4212 Uma chuva de neutrinos causada pela explosão da supernova SN 1987A que ocorreu no instante relativo t 0 é claramente visível neste gráfico No caso dos neutrinos a detecção de 10 partículas já pode ser considerada uma chuva As partículas foram detectadas por um equipamento sofisticado nas profundezas de uma antiga mina japonesa Como a supernova foi visível apenas no Hemisfério Sul os neutrinos tiveram que atravessar a Terra uma barreira insignificante para eles para chegar ao detector A Radioatividade e a Carta de Nuclídeos Podemos aumentar a quantidade de informações da carta de nuclídeos da Fig 425 plotando em um terceiro eixo o excesso de massa Δ em unidades de MeVc2 A superfície assim formada Fig 4213 constitui uma representação gráfica da estabilidade dos nuclídeos Como se pode ver na figura para os nuclídeos de pequena massa essa superfície forma um vale de nuclídeos com a faixa de estabilidade da Fig 425 no fundo do vale Os nuclídeos situados na encosta rica em prótons decaem em direção ao vale emitindo pósitrons enquanto os nuclídeos situados na encosta rica em nêutrons decaem emitindo elétrons Figura 4213 Parte do vale dos nuclídeos mostrando apenas os nuclídeos leves O vale que se alarga progressivamente vai na figura até Z 22 e N 35 Os nuclídeos instáveis podem decair para o interior do vale por decaimento alfa decaimento beta ou fissão divisão do nuclídeo em dois fragmentos Teste 3 O 238U decai para 234Th emitindo uma partícula alfa Seguese uma série de outros decaimentos uns do tipo alfa e outros do tipo beta até que o produto seja um nuclídeo estável Qual dos nuclídeos estáveis a seguir é o produto final da cadeia de decaimentos do 238U 206Pb 207Pb 208Pb ou 209Pb Sugestão Considere as mudanças do número de massa A nos dois tipos de decaimento Exemplo 4207 Determinação do valor de Q para um decaimento beta a partir das massas Calcule a energia de desintegração Q para o decaimento beta do 32P descrito pela Eq 4224 As massas atômicas dos nuclídeos envolvidos na reação são 31973 91 u 32P e 31972 07 u 32S IDEIACHAVE A energia de desintegração Q para o decaimento beta é igual à variação da energia de repouso causada pelo decaimento Cálculos A energia de desintegração Q é dada pela Eq 3750 Q ΔM c2 Entretanto precisamos tomar cuidado para distinguir as massas nucleares que não conhecemos das massas atômicas que são conhecidas Vamos representar as massas nucleares de 32P e do 32S pelos símbolos em negrito mP e mS e as massas atômicas pelos símbolos em itálico mP e mS Nesse caso a variação de massa causada pelo decaimento da Eq 4224 pode ser expressa na forma Δm mS me mP em que me é a massa do elétron Somando e subtraindo 15me do lado direito da equação obtemos Δm mS 16me mP 15me Como as grandezas entre parênteses são as massas atômicas do 32S e do 32P temos Δm mS mP Vemos portanto que quando calculamos a diferença entre as massas atômicas a massa do elétron emitido é automaticamente levada em consideração Isso não acontece quando a partícula emitida é um pósitron A energia de desintegração para o decaimento do 32P é portanto Verificase experimentalmente que essa energia é igual a Kmáx a energia máxima dos elétrons emitidos Embora uma energia de 171 MeV seja liberada toda vez que um núcleo de 32P se desintegra na grande maioria dos casos a energia cinética do elétron emitido é menor que esse valor O restante da energia fica com o neutrino que deixa o laboratório sem ser detectado 426 DATAÇÃO RADIOATIVA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4231 Usar as equações do decaimento radioativo para determinar a idade de rochas e materiais arqueológicos 4232 Usar o método do radiocarbono para determinar a idade de amostras biológicas IdeiaChave Os nuclídeos radioativos que existem na natureza permitem estimar a data de eventos históricos e préhistóricos Assim por exemplo a idade de materiais orgânicos muitas vezes pode ser determinada medindo a concentração de 14C e a idade das rochas pode ser calculada a partir da desintegração do 40K Datação Radioativa Se a meiavida de um radionuclídeo é conhecida podemos em princípio usar o decaimento do radionuclídeo como um relógio para medir intervalos de tempo O decaimento de nuclídeos de meiavida muito longa pode ser usado para medir a idade das rochas ou seja o tempo transcorrido desde que se formaram No caso das rochas da Terra da Lua e dos meteoritos as medidas indicam uma idade máxima muito parecida da ordem de 45 109 anos O radionuclídeo 40K por exemplo se transforma em 40Ar um isótopo estável do argônio A meiavida desse decaimento é 125 109 anos A medida da razão entre o número de átomos de 40K e o número de átomos de 40Ar presentes em uma rocha pode ser usada para estimar a idade da rocha Outros decaimentos de longa meiavida como o do 235U para 207Pb que envolve vários estágios intermediários podem ser usados para confirmar a estimativa A datação com radiocarbono tem sido extremamente útil para medir intervalos de tempo mais curtos como os correspondentes ao período histórico O radionuclídeo 14C com T12 5730 anos é produzido constantemente na atmosfera superior pelo choque dos raios cósmicos com átomos de nitrogênio do ar Esse radiocarbono se mistura com o carbono normalmente presente na atmosfera na forma de CO2 de tal forma que existe aproximadamente um átomo de 14C para cada 1013 átomos de 12C o isótopo mais abundante do carbono que é estável Graças às atividades biológicas como fotossíntese e respiração os átomos do carbono presentes na atmosfera trocam de lugar aleatoriamente com os átomos de carbono presentes em todos os seres vivos desde brócolis e cogumelos até pinguins e seres humanos Isso faz com que a fração de átomos de 14C nos seres vivos seja a mesma que na atmosfera O equilíbrio persiste apenas enquanto o organismo está vivo Quando o organismo morre as trocas com a atmosfera cessam e a fração de radiocarbono presente no organismo diminui com uma meiavida de 5730 anos Medindo a quantidade de radiocarbono por grama de matéria orgânica é possível estimar o tempo transcorrido desde a morte do organismo As cinzas de antigas fogueiras os manuscritos do Mar Morto e muitos artefatos préhistóricos foram datados dessa forma A idade dos manuscritos do Mar Morto foi determinada a partir da análise de uma amostra do tecido usado para selar um dos vasos em que os manuscritos foram encontrados Foto de cima George RockwinBruce Coleman IncPhotoshot Holdings Ltd Foto de baixo wwwBibleLandPicturescomAlamy Fragmento dos manuscritos do Mar Morto e as cavernas onde foram encontrados Exemplo 4208 Datação radioativa de uma rocha lunar Em uma rocha lunar a razão entre o número de átomos de 40Ar estáveis e o número de átomos de 40K radioativos é 103 Suponha que todos os átomos de argônio tenham sido produzidos pelo decaimento de átomos de potássio com uma meiavida de 125 109 anos Qual é a idade da rocha IDEIASCHAVE 1 Se N0 átomos de potássio estavam presentes na época em que a rocha se formou por solidificação de uma massa fundida o número de átomos de potássio restantes no momento da análise é dado pela Eq 4215 em que t é a idade da rocha 2 Para cada átomo de potássio que decai um átomo de argônio é produzido Assim o número de átomos de argônio presentes no momento da análise é Cálculos Como não conhecemos o valor de N0 vamos eliminálo das Eqs 4229 e 4230 Depois de algumas manipulações algébricas obtemos a seguinte equação em que NArNK é uma grandeza que pode ser medida Explicitando t e usando a Eq 4218 para substituir λ por ln 2T12 obtemos Idades menores foram obtidas para outras rochas lunares e terrestres mas não idades muito maiores A conclusão é que o sistema solar deve ter se formado há cerca de 4 bilhões de anos 427 MEDIDAS DA DOSE DE RADIAÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4233 Saber o que é dose absorvida dose equivalente e quais são as unidades correspondentes 4234 Calcular a dose absorvida e a dose equivalente IdeiasChave O becquerel 1 Bq 1 decaimento por segundo é a unidade do SI usada para medir a atividade de uma amostra O gray 1 Gy 1 Jkg é a unidade do SI usada para medir a energia absorvida por uma amostra O efeito biológico estimado da energia absorvida é a dose equivalente cuja unidade do SI é o sievert Medidas da Dose de Radiação O efeito de radiações como raios gama elétrons e partículas alfa sobre os seres vivos especialmente os seres humanos é uma questão de interesse público As fontes naturais de radiação são os raios cósmicos e os elementos radioativos presentes na crosta terrestre Entre as radiações associadas às atividades humanas as principais são os raios X e os radionuclídeos usados na medicina e na indústria Nosso objetivo neste livro não é discutir as diferentes fontes de radiação mas apenas definir as unidades em que são expressas as propriedades e os efeitos das radiações Já nos referimos à atividade 1 2 de uma fonte radioativa Existem outras duas grandezas de interesse Dose Absorvida Tratase de uma medida da dose de radiação energia por unidade de massa realmente absorvida por um objeto específico como a mão ou o tórax de um paciente A unidade de dose absorvida no SI é o gray Gy Uma unidade mais antiga o rad do inglês radiation absorbed dose ou seja dose de radiação absorvida ainda é muito usada até hoje As duas unidades são definidas da seguinte forma Um uso típico desse tipo de unidade seria o seguinte Uma dose de raios gama de 3 Gy 300 rad aplicada ao corpo inteiro em um curto período de tempo causa a morte de 50 das pessoas expostas Felizmente a dose que uma pessoa recebe por ano levando em conta tanto as fontes naturais como as artificiais raramente ultrapassa 2 mGy 02 rad Dose Equivalente Quando dois tipos de radiação raios gama e nêutrons por exemplo fornecem a mesma quantidade de energia a um ser vivo os efeitos biológicos podem ser bem diferentes O conceito de dose equivalente permite expressar o efeito biológico multiplicando a dose absorvida em grays ou rads por um fator numérico chamado RBE do inglês relative biological effectiveness ou seja eficiência biológica relativa No caso de raios X raios gama e elétrons RBE 1 para nêutrons lentos RBE 5 para partículas alfa RBE 10 e assim por diante Os dispositivos de monitoração individual como filmes fotográficos são calibrados de modo a registrar a dose equivalente A unidade de dose equivalente do SI é o sievert Sv Uma unidade mais antiga o rem ainda é muito usada até hoje A relação entre as duas unidades é a seguinte Um uso típico dessa unidade seria o seguinte O Conselho Nacional de Proteção Radiológica recomenda que nenhum indivíduo exposto não profissionalmente a radiação receba uma dose equivalente maior que 5 mSv 05 rem em um período de um ano Esse tipo de recomendação inclui radiações de todos os tipos naturalmente o fator RBE apropriado deve ser usado em cada caso 428 MODELOS DO NÚCLEO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4235 Saber qual é a diferença entre o modelo coletivo o modelo das partículas independentes e o modelo misto 4236 Saber o que é um núcleo composto 4237 Saber o que são números mágicos IdeiasChave O modelo coletivo da estrutura dos núcleos se baseia na hipótese de que os núcleos colidem constantemente e que núcleos compostos de vida relativamente longa são formados quando uma partícula é capturada por um núcleo A formação e eventual decaimento de um núcleo composto são considerados eventos totalmente independentes O modelo das partículas independentes da estrutura dos núcleos se baseia na hipótese de que os núcleons ocupam estados quantizados no interior do núcleo e praticamente não interagem O modelo prevê números mágicos associados a camadas completas de núcleons O modelo misto se baseia na hipótese de que alguns núcleons ocupam estados quantizados na periferia de um caroço central formado por camadas completas Modelos do Núcleo Os núcleos são mais complexos que os átomos No caso dos átomos a lei básica da força que age entre os componentes lei de Coulomb tem uma expressão simples e a força é exercida a partir de um centro bem definido o núcleo atômico No caso dos núcleos a força que mantém os componentes unidos tem uma expressão complicada Além disso o núcleo uma mistura de prótons e nêutrons não possui um centro bem definido Na falta de uma teoria nuclear satisfatória os físicos se dedicaram à elaboração de modelos do núcleo Um modelo do núcleo é simplesmente uma forma de encarar o núcleo que permite estudar da melhor maneira possível suas propriedades A utilidade de um modelo é testada pela capacidade de fazer previsões que possam ser testadas experimentalmente Dois modelos do núcleo se revelaram particularmente úteis Embora sejam baseados em hipóteses aparentemente irreconciliáveis cada um reflete razoavelmente bem um grupo seleto de propriedades nucleares Após descrevêlos separadamente vamos ver como esses dois modelos podem ser combinados para formar uma única imagem coerente do núcleo atômico O Modelo Coletivo No modelo coletivo formulado por Niels Bohr os núcleons movendose aleatoriamente no interior do núcleo interagem fortemente entre si como as moléculas em uma gota de líquido Um dado núcleon colide frequentemente com outros núcleons no interior do núcleo já que seu livre caminho médio é bem menor que o raio nuclear O modelo coletivo permite correlacionar muitos fatos a respeito das massas e energias de ligação dos núcleos pode ser usado por exemplo como veremos mais adiante para explicar a fissão nuclear além de facilitar a análise de um grande número de reações nucleares Considere por exemplo uma reação nuclear da forma geral Imaginamos que o projétil a penetra no núcleo alvo X formando um núcleo composto C e transferindo para esse núcleo uma energia de excitação O projétil que pode ser por exemplo um nêutron começa imediatamente a participar dos movimentos aleatórios que caracterizam as partículas do interior do núcleo Perde rapidamente a identidade e sua energia passa a ser compartilhada por todos os núcleons de C O estado quase estável representado por C na Eq 4234 pode ter meiavida de 1016 s antes de decair em Y e b Pelos padrões nucleares tratase de um tempo extremamente longo cerca de um milhão de vezes maior que o tempo necessário para que um núcleon com uma energia de alguns milhões de elétrons volts percorra uma distância igual ao diâmetro do núcleo Um aspecto importante do modelo coletivo é o fato de que a formação e o eventual decaimento de um núcleo composto são eventos totalmente independentes Ao decair o núcleo composto já esqueceu o modo como foi formado o que significa que o modo de decaimento não é influenciado pelo modo de formação A Fig 4214 mostra por exemplo três modos diferentes de formação do núcleo composto 20Ne e três modos diferentes de decaimento do mesmo núcleo Qualquer dos três modos de formação pode ser seguido por qualquer dos três modos de decaimento O Modelo das Partículas Independentes No modelo coletivo supomos que os núcleons se movem ao acaso e estão sujeitos a colisões frequentes com outros núcleons O modelo das partículas independentes por outro lado se baseia na hipótese diametralmente oposta de que cada núcleon permanece em um estado quântico bem definido no interior do núcleo praticamente sem colidir com outros núcleons Ao contrário do átomo o núcleo não possui um centro de força bem definido supomos nesse modelo que cada núcleon se move em um poço de potencial determinado pelo movimento médio de todos os outros núcleos A cada núcleon pertencente a um núcleo como a cada elétron pertencente a um átomo é possível atribuir um conjunto de números quânticos que define seu estado de movimento Além disso como os elétrons de um átomo os núcleons de um núcleo obedecem ao princípio de exclusão de Pauli ou seja não podem existir dois núcleons com os mesmos números quânticos Sob esse aspecto os prótons e os nêutrons são tratados separadamente ou seja um próton e um nêutron podem ter o mesmo conjunto de números quânticos Figura 4214 Modos de formação e de decaimento do núcleo composto 20Ne O fato de que os núcleons obedecem ao princípio de exclusão de Pauli ajuda a explicar a relativa estabilidade dos estados dos núcleons Para que ocorra uma colisão entre dois núcleons além de serem obedecidas as leis de conservação da energia e do momento é preciso que a energia de cada um dos núcleons após a colisão corresponda à energia de um estado desocupado Se essa condição não é satisfeita a colisão simplesmente não pode ocorrer Assim um núcleon que experimenta repetidas oportunidades frustradas de colisão permanece no mesmo estado de movimento por um tempo suficientemente longo para tornar válida a afirmação de que se encontra em um estado quântico bem definido Nos átomos as repetições das propriedades físicas e químicas que observamos na tabela periódica estão associadas a uma propriedade dos elétrons a de se distribuírem em camadas que apresentam uma estabilidade fora do comum quando estão totalmente ocupadas Podemos considerar os números atômicos dos gases nobres 2 10 18 36 54 86 como números mágicos eletrônicos que indicam que as camadas eletrônicas de um átomo estão completas Os núcleos apresentam uma propriedade semelhante associada aos números mágicos nucleares 2 8 20 28 50 82 126 Os nuclídeos com um número de prótons Z ou um número de nêutrons N igual a um desses números apresenta uma estabilidade fora do comum que pode ser demonstrada de várias formas Entre os nuclídeos mágicos estão o 18O Z 8 o 40Ca Z 20 N 20 o 92Mo N 50 e o 208Pb Z 82 N 126 O 40Ca e o 208Pb são considerados duplamente mágicos porque contêm camadas completas de prótons e camadas completas de nêutrons O número mágico 2 se manifesta na excepcional estabilidade da partícula alfa 4He que com Z N 2 é duplamente mágica Na curva da Fig 427 a energia de ligação por núcleon do 4He é bem maior que a dos vizinhos na tabela periódica hidrogênio lítio e berílio Na verdade a partícula alfa é tão estável que é impossível acrescentar a ela um único núcleon não existe nenhum nuclídeo estável com A 5 A ideia principal que está por trás do conceito de camada completa é que em um sistema formado por uma camada completa e mais uma partícula basta uma energia relativamente pequena para remover a partícula excedente mas é necessária uma energia muito maior para remover uma das partículas da camada completa O átomo de sódio por exemplo possui camadas completas de elétrons e mais um elétron Para remover esse elétron do átomo de sódio são necessários eV para remover um segundo elétron que deve ser arrancado de uma camada completa são necessários 22 eV No caso dos núcleos considere o 121Sb Z 51 que contém camadas completas de núcleons e mais um próton Para remover esse próton bastam 58 MeV para remover um segundo próton são necessários 11 MeV Existem muitos outros indícios experimentais de que os núcleons estão distribuídos em camadas no interior do núcleo e de que essas camadas são particularmente estáveis Como vimos no Capítulo 40 a teoria quântica explica os números mágicos eletrônicos como consequência do fato de que cada subcamada de um átomo comporta apenas certo número de elétrons Acontece que a partir de certas hipóteses é possível fazer o mesmo com os números mágicos nucleares O Prêmio Nobel de Física de 1963 foi concedido a Maria Mayer e Hans Jensen por descobertas referentes à estrutura de camadas do núcleo Um Modelo Misto Considere um núcleo no qual um pequeno número de núcleons gira em torno de um caroço formado por camadas completas contendo números mágicos de nêutrons eou prótons Os núcleons externos ocupam estados quantizados em um poço de potencial estabelecido pelo caroço central preservando assim a característica principal do modelo de partículas independentes Os núcleons externos também interagem com o caroço deformandoo e excitando modos de vibração e rotação no interior Os movimentos do caroço como um todo preservam a característica principal do modelo coletivo Esse modelo de estrutura nuclear que combina as hipóteses aparentemente irreconciliáveis do modelo coletivo e do modelo das partículas independentes permite explicar muitas propriedades dos núcleos Exemplo 4209 Tempo de vida do estado excitado de um núcleo composto formado pela captura de um nêutron Considere a reação de captura de um nêutron na qual é formado um núcleo composto 110Ag A Fig 4215 mostra a taxa relativa da reação em função da energia do nêutron incidente Determine a vida média do estado excitado do núcleo composto usando o princípio de indeterminação na forma em que ΔE é a indeterminação da energia do estado do núcleo após a reação e Δt é o intervalo de tempo disponível para medir a energia o que equivale a dizer que nesse caso Δt tméd o tempo médio que o núcleo composto leva para decair para o estado fundamental por emissão de um raio gama Raciocínio De acordo com a Fig 4215 a taxa da reação é máxima quando a energia do nêutron é aproximadamente 52 eV Isso significa que estamos lidando com um estado excitado do núcleo composto 110Ag Quando a energia do nêutron incidente é igual à diferença de energia entre esse estado e o estado fundamental do 110Ag acontece uma ressonância e a reação da Eq 4235 é favorecida Por outro lado a reação não acontece para uma única energia mas varia com a energia segundo uma curva cuja largura a meia altura ΔE na figura é aproximadamente 020 eV Isso significa que a energia do estado excitado possui uma indeterminação ΔE 020 eV Figura 4215 Gráfico do número relativo de reações do tipo descrito pela Eq 4235 em função da energia do nêutron incidente A largura de linha a meia altura ΔE da curva de ressonância é aproximadamente 020 eV Cálculo De acordo com a Eq 4236 temos Revisão e Resumo Os Nuclídeos Existem aproximadamente 2000 nuclídeos conhecidos Cada um é caracterizado por um número atômico Z o número de prótons um número de nêutrons N e um número de massa A o número total de núcleons prótons e nêutrons Assim A Z N Os nuclídeos com o mesmo número atômico e diferentes números de nêutrons são chamados de isótopos O raio médio dos núcleos é dado por em que r0 12 fm Massa e Energia de Ligação As massas atômicas são frequentemente expressas em termos do excesso de massa em que M é a massa real do átomo em unidades de massa atômica e A é o número de massa do núcleo do átomo A energia de ligação de um núcleo é a diferença em que Σmc2 é a energia de repouso total dos prótons e nêutrons considerados separadamente A energia de ligação por núcleon é dada por Equivalência entre Massa e Energia A energia equivalente a uma unidade de massa atômica 1 u é 931494 013 MeV O gráfico da energia de ligação por núcleon em função do número de massa mostra que os nuclídeos de massa intermediária são os mais estáveis assim tanto a fissão de núcleos pesados como a fusão de núcleos leves acarretam uma liberação de energia A Força Nuclear A integridade dos núcleos é mantida por uma força de atração entre os núcleons Acreditase que essa força seja um efeito secundário da interação forte a que estão sujeitos os quarks que compõem os núcleons Decaimento Radioativo Os nuclídeos em sua maioria são radioativos e decaem espontaneamente a uma taxa R dNdt que é proporcional ao número N de átomos radioativos presentes a constante de proporcionalidade é a constante de desintegração λ Tanto o número N de átomos radioativos como a taxa de decaimento R diminuem exponencialmente com o tempo A meiavida T12 ln 2λ de um nuclídeo radioativo é o tempo necessário para que R ou N diminua para metade do valor inicial Decaimento Alfa Alguns nuclídeos decaem emitindo uma partícula alfa núcleo de hélio 4He Esse decaimento é inibido por uma barreira de potencial que classicamente não pode ser transposta mas que de acordo com a física quântica pode ser atravessada por tunelamento A probabilidade de atravessar a barreira e a resultante meiavida para o decaimento alfa são muito sensíveis à energia da partícula alfa no interior do núcleo que é igual à energia de desintegração Decaimento Beta No decaimento beta um núcleo emite um elétron ou um pósitron juntamente com um neutrino A energia de desintegração é compartilhada pelas partículas emitidas Os elétrons e pósitrons emitidos no decaimento beta podem ter qualquer energia entre praticamente zero e um valor limite Kmáx Q Δmc2 Datação Radioativa Os nuclídeos radioativos naturais podem ser usados para estimar a data de eventos históricos e préhistóricos Assim por exemplo muitas vezes é possível estimar a idade de uma substância de origem orgânica medindo o teor de 14C e datar rochas com o auxílio do isótopo radioativo 40K Medidas da Dose de Radiação Três unidades são usadas para descrever a exposição a radiações ionizantes O becquerel 1 Bq 1 decaimento por segundo mede a atividade de uma fonte A quantidade de energia absorvida por um corpo é medida em grays com 1 Gy correspondendo a 1 Jkg O efeito biológico estimado da energia absorvida é medido em sieverts uma dose de 1 Sv causa o mesmo efeito biológico qualquer que seja o tipo de radiação envolvido Modelos do Núcleo O modelo coletivo da estrutura nuclear supõe que os núcleos colidem frequentemente e que núcleos compostos se formam quando um núcleo captura uma partícula A formação de um núcleo composto e o decaimento desse núcleo são considerados eventos independentes O modelo das partículas independentes da estrutura nuclear supõe que os núcleons se movem de forma independente sem sofrer colisões em estados quantizados O modelo prevê a existência de níveis quantizados de energia para os núcleons e números mágicos de núcleons 2 8 20 28 50 82 e 126 associados a camadas completas Os nuclídeos que possuem um número mágico de prótons eou nêutrons são particularmente estáveis O modelo misto no qual alguns núcleons ocupam estados quantizados do lado de fora de um caroço formado por camadas completas permite explicar muitas propriedades dos núcleos Perguntas 1 O radionuclídeo 196Ir decai emitindo um elétron a Em que quadrado da Fig 426 está o núcleo resultante b O núcleo resultante sofre outro decaimento 2 O excesso de massa da uma partícula alfa medido com uma régua na Fig 4213 é maior ou menor que a energia de ligação total da partícula calculada a partir da energia de ligação por núcleon da Fig 427 3 No instante t 0 uma amostra do radionuclídeo A tem a mesma taxa de decaimento que uma amostra do radionuclídeo B no instante t 30 min As constantes de desintegração são λA e λB com λA λB Existe algum instante no qual a taxa de decaimento é a mesma para as duas amostras Sugestão Faça um gráfico da atividade das duas amostras em função do tempo 4 Certo nuclídeo é considerado particularmente estável A energia de ligação por núcleon desse nuclídeo está ligeiramente acima ou ligeiramente abaixo da curva de energia de ligação da Fig 427 5 Suponha que a partícula alfa de um experimento de espalhamento como o de Rutherford seja substituída por um próton com a mesma energia cinética inicial e que esteja em rota de colisão com o núcleo de um átomo de ouro a A distância de máxima aproximação entre o próton e o núcleo será maior menor ou igual à distância de máxima aproximação entre a partícula alfa e o núcleo b Se em vez de substituirmos a partícula alfa por um próton substituirmos o núcleo de ouro por um núcleo com um valor maior de Z a distância de máxima aproximação entre a partícula alfa e o novo núcleo será maior menor ou igual que a distância de máxima aproximação entre a partícula alfa e o núcleo de ouro 6 A Fig 4216 mostra a atividade de três amostras radioativas em função do tempo Coloque as amostras na ordem a da meiavida e b da constante de desintegração começando pela maior Sugestão No caso do item a use uma régua para extrair informações do gráfico Figura 4216 Pergunta 6 7 O nuclídeo 244Pu Z 94 é um emissor de partículas alfa Qual é o núcleo resultante do decaimento 240Np Z 93 240U Z 92 248Cm Z 96 ou 244Am Z 95 8 O radionuclídeo 49Sc tem uma meiavida de 570 minutos Em uma amostra que contém esse nuclídeo o número de contagens por minuto no instante t 0 é 6000 contagensmin a mais que a atividade de fundo que é de 30 contagensmin Sem fazer nenhum cálculo determine se o número de contagens por minuto da amostra será aproximadamente igual à atividade de fundo após 3 h 7 h 10 h ou um tempo muito maior que 10 h 9 No instante t 0 começamos a observar dois núcleos radioativos iguais com uma meiavida de minutos No instante t 1 min um dos núcleos decai Depois desse evento a probabilidade de o segundo núcleo decair nos 4 minutos seguintes aumenta diminui ou permanece a mesma 10 A Fig 4217 mostra a curva da energia de ligação por núcleon ΔEln em função do número de massa A Três isótopos estão indicados Coloqueos na ordem decrescente da energia necessária para remover um núcleon do isótopo Figura 4217 Pergunta 10 11 No instante t 0 uma amostra do radionuclídeo A tem uma taxa de decaimento duas vezes maior que uma amostra do radionuclídeo B As constantes de desintegração são λA e λB com λA λB Existe algum instante no qual a taxa de decaimento é a mesma para as duas amostras 12 A Fig 4218 é um gráfico do número de massa A em função do número atômico Z A posição de um núcleo no gráfico está indicada por um ponto Qual das setas que partem do ponto representa uma reação na qual o núcleo sofre a um decaimento β e b um decaimento α Figura 4218 Pergunta 12 13 a Quais dos nuclídeos a seguir são mágicos 122Sn 132Sn 98Cd 198Au 208Pb b Quais desses nuclídeos são duplamente mágicos 14 Se a massa de uma amostra radioativa é multiplicada por dois a a atividade da amostra aumenta diminui ou permanece constante b A constante de desintegração aumenta diminui ou permanece a mesma 15 Como foi visto no Módulo 428 os números mágicos de núcleons são 2 8 20 28 50 82 e 126 Um nuclídeo é mágico isto é especialmente estável a apenas se o número de massa A for igual a um número mágico b apenas se o número atômico Z for igual a um número mágico c apenas se o número de nêutrons N for igual a um número mágico ou d apenas se Z for igual a um número mágico N for igual a um número mágico ou Z e N forem iguais a um número mágico Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 421 A Descoberta do Núcleo 1 Um núcleo de 7Li com uma energia cinética de 300 MeV sofre uma colisão frontal com um núcleo de 232Th Qual é a menor distância entre os centros dos dois núcleos supondo que o núcleo de 232Th cuja massa é muito maior permanece imóvel durante a colisão 2 Calcule a distância de máxima aproximação para uma colisão frontal entre uma partícula alfa de 530 MeV e o núcleo de um átomo de cobre 3 Um núcleo de Li com uma energia cinética inicial de 102 MeV sofre uma colisão frontal com um núcleo de Ds Qual é a distância entre o centro do núcleo de Li e o centro do núcleo de Ds no instante em que o núcleo de Li fica momentaneamente em repouso Suponha que o núcleo de Ds permanece em repouso durante o processo 4 Um núcleo de ouro tem um raio de 623 fm e uma partícula alfa tem um raio de 180 fm Que energia deve ter uma partícula alfa incidente para encostar na superfície do núcleo de ouro em uma colisão frontal 5 Quando uma partícula alfa colide elasticamente com um núcleo o núcleo sofre um recuo Suponha que uma partícula alfa de 500 MeV sofre uma colisão elástica frontal com um núcleo de ouro que está inicialmente em repouso a Qual é a energia cinética após a colisão do núcleo b E após a colisão da partícula alfa Módulo 422 Propriedades dos Núcleos 6 O grande excesso de nêutrons N Z nos núcleos pesados é ilustrado pelo fato de que raramente a fissão de um núcleo pesado ocorre sem que alguns nêutrons sejam ejetados Considere por exemplo a fissão espontânea de um núcleo de 235U em dois núcleos filhos estáveis de números atômicos 39 e 53 Depois de consultar o Apêndice F determine o nome a do primeiro núcleo filho e b do segundo núcleo filho De acordo com a Fig 425 quantos nêutrons existem aproximadamente c no primeiro núcleo filho e d no segundo núcleo filho e Quantos nêutrons aproximadamente são ejetados 7 Determine a massa específica nuclear ρm a do nuclídeo 55Mn moderadamente leve e b do nuclídeo 209Bi moderadamente pesado c Compare as respostas dos itens a e b A diferença parece razoável Justifique sua resposta Determine a densidade de carga nuclear ρq d do 55Mn e e do 209Bi f Compare as respostas dos itens d e e A diferença parece razoável Justifique sua resposta 8 a Mostre que uma expressão aproximada para a massa M de um átomo é Map Amp em que A é o número de massa e mp é a massa do próton Para os nuclídeos b 1H c 31P d 120Sn e 197Au e f 239Pu use as massas da Tabela 421 para calcular o erro percentual cometido ao usar a expressão aproximada g A expressão aproximada é suficientemente precisa para ser usada nos cálculos da energia de ligação dos núcleos 9 O nuclídeo 14C contém a quantos prótons b Quantos nêutrons 10 Qual é o excesso de massa Δ1 do 1H cuja massa real é 1007 825 u a em unidades de massa atômica e b em MeVc2 Qual é o excesso de massa Δn do nêutron cuja massa real é 1008 665 u c em unidades de massa atômica e d em MeVc2 Qual é o excesso de massa Δ120 do 120Sn cuja massa real é 119902 197 u e em unidades de massa atômica e f em MeVc2 11 O raio de um núcleo pode ser determinado a partir de uma análise dos resultados do espalhamento de elétrons de alta energia pelo núcleo a Qual é o comprimento de onda de de Broglie de um elétron de 200 MeV b Um elétron de 200 MeV é apropriado para esse tipo de estudo 12 A energia potencial elétrica de uma esfera homogênea de carga q e raio r é dada por a Essa energia representa uma tendência da esfera de se contrair ou de se dilatar O nuclídeo 239Pu tem a forma de uma esfera com 664 fm de raio Para esse nuclídeo calcule b a energia potencial elétrica U c a energia potencial elétrica por próton e d a energia potencial elétrica por núcleon A energia de ligação por núcleon do 239Pu é 756 MeV e Por que o núcleo do 239Pu se mantém coeso se as respostas dos itens c e d são valores altos e positivos 13 Uma estrela de nêutrons é um corpo celeste com massa específica da mesma ordem de grandeza que a massa específica da matéria nuclear 2 1017 kgm3 Suponha que o Sol se transformasse em uma estrela de nêutrons mantendo a massa que possui atualmente Qual seria o novo raio do Sol 14 Qual é a energia de ligação por núcleon do isótopo do amerício 244 95Am Seguem algumas massas atômicas e a massa do nêutron 15 a Mostre que a energia associada à interação forte entre núcleons no interior de um núcleo é proporcional a A o número de massa do núcleo em questão b Mostre que a energia associada à interação eletrostática entre os prótons de um núcleo é proporcional a ZZ 1 c Mostre que quando consideramos núcleos cada vez maiores veja a Fig 425 a energia associada à interação eletrostática aumenta mais rapidamente que a energia associada à interação forte 16 Qual é a energia de ligação por núcleon do isótopo do európio 152 63Eu Seguem algumas massas atômicas e a massa do nêutron 17 Como o nêutron não possui carga elétrica não é possível medir a massa do nêutron usando um espectrômetro de massa Quando um nêutron e um próton se encontram supondo que ambos estejam quase estacionários combinamse para formar um dêuteron emitindo um raio gama cuja energia é 22233 MeV As massas do próton e do dêuteron são 1007 276 467 u e 2013 553 212 u respectivamente Determine a massa do nêutron a partir desses dados 18 Qual é a energia de ligação por núcleon do isótopo do rutherfórdio 259 104Rf Seguem algumas massas atômicas e a massa do nêutron 19 Uma tabela periódica pode mostrar a massa atômica do magnésio como 24312 u Esse valor é a média ponderada das massas atômicas dos isótopos naturais do magnésio de acordo com a abundância natural na Terra Os três isótopos e as massas correspondentes são o 24Mg 23985 04 u o 25Mg 25985 84 u e o 26Mg 25982 59 u A abundância natural do 24Mg é 7899 em massa ou seja 7899 da massa de uma amostra natural de magnésio se deve à presença de 24Mg Calcule a abundância natural a do 25Mg e b do 26Mg 20 Qual é a energia de ligação por núcleon do 262Bh A massa do átomo é 2621231 u 21 a Mostre que a energia de ligação total El de um nuclídeo é dada por El ZΔH NΔn Δ em que ΔH é o excesso de massa do 1H Δn é o excesso de massa do nêutron e D é o excesso de massa do nuclídeo b Use esse método para calcular a energia de ligação por núcleon do 197Au Compare o resultado com o valor que aparece na Tabela 421 Os excessos de massa necessários para realizar o cálculo arredondados para três algarismos significativos são os seguintes ΔH 729 MeV Δn 807 MeV e Δ197 312 MeV Observe que os cálculos se tornam muito mais simples quando os excessos de massa são usados em lugar das massas 22 Uma partícula α núcleo de 4He foi desintegrada em várias etapas Determine a energia trabalho necessária para cada etapa a remover um próton b remover um nêutron c separar o próton e o nêutron restantes Determine para uma partícula α d a energia de ligação total e e a energia de ligação por núcleon f Uma das respostas dos itens d e e é igual a uma das respostas dos itens a b ou c As massas necessárias para realizar os cálculos são as seguintes 4He 4002 60 u 2H 2014 10 u 3H 3016 05 u 1H 1007 83 u n 1008 67 u 23 Mostre que o valor da energia de ligação por núcleon dado na Tabela 421 para o 239Pu está correto A massa do átomo é 239052 16 u 24 Uma moeda pequena tem uma massa de 30 g Calcule a energia necessária para separar todos os nêutrons e prótons da moeda Para facilitar os cálculos suponha que a moeda é feita inteiramente de átomos de 63Cu de massa 62929 60 u As massas do próton e do nêutron são 1007 83 u e 1008 66 u respectivamente Módulo 423 Decaimento Radioativo 25 As células cancerosas são mais vulneráveis aos raios X e aos raios gama do que as células normais No passado os tratamentos de radioterapia utilizavam o 60Co que decai com uma meiavida de 527 anos em um estado nuclear excitado de 60Ni Esse isótopo do níquel imediatamente emite dois fótons de raios gama cada um com uma energia de aproximadamente 12 MeV Quantos núcleos de 60Co existem em uma fonte de 6000 Ci do tipo usado nos hospitais Hoje em dia os tratamentos de radioterapia quase sempre são feitos com aceleradores lineares 26 A meiavida de um isótopo radioativo é de 140 dias Quantos dias são necessários para que a taxa de decaimento de uma amostra do isótopo diminua para um quarto do valor inicial 27 Um nuclídeo radioativo tem uma meiavida de 300 anos Que fração de uma amostra inicialmente pura desse nuclídeo permanece intacta após a 60 anos e b após 90 anos 28 O isótopo de plutônio 239Pu é um subproduto dos reatores nucleares e por isso está se acumulando na Terra O 239Pu é radioativo com uma meiavida de 241 104 anos a Quantos núcleos de Pu existem em uma dose quimicamente letal de 200 mg b Qual é a taxa de decaimento dessa quantidade de plutônio 29 Um isótopo radioativo do mercúrio 197Hg se transforma em ouro 197Au com uma constante de desintegração de 00108 h1 a Calcule a meiavida do isótopo Que fração de uma amostra continua a existir após b três meiasvidas e c após 100 dias 30 A meiavida de um isótopo radioativo é 65 horas Se existem inicialmente 48 1019 átomos do isótopo quantos átomos existem após 26 horas 31 Considere uma amostra inicialmente pura de 34 g de 67Ga um isótopo com uma meiavida de 78 horas a Qual é a taxa de decaimento inicial b Qual é a taxa de decaimento 48 horas depois 32 Quando testes nucleares eram realizados na atmosfera as explosões injetavam poeira radioativa na atmosfera superior A circulação do ar espalhava a poeira pelo mundo inteiro antes que se precipitasse no solo e na água Um desses testes foi realizado em outubro de 1976 Que fração do 90Sr produzido por essa explosão ainda existia em outubro de 2006 A meiavida do 90Sr é de 29 anos 33 O ar de algumas cavernas contém uma concentração significativa do gás radônio que pode produzir câncer do pulmão se for respirado por muito tempo Entre as cavernas inglesas a mais contaminada com radônio tem uma atividade de 155 105 Bq por metro cúbico de ar Suponha que um explorador passe dois dias inteiros no interior da caverna Quantos átomos de 222Rn são inalados e exalados durante esse período O radionuclídeo 222Rn tem meiavida de 382 dias Para resolver o problema é preciso estimar a capacidade pulmonar e a taxa média de respiração do explorador 34 Calcule a massa de uma amostra inicialmente pura de 40K com uma taxa de decaimento inicial de 170 105 desintegraçõess O isótopo tem uma meiavida de 128 109 anos 35 Um radionuclídeo está sendo fabricado em um cíclotron a uma taxa constante R ao mesmo tempo está decaindo com uma constante de desintegração λ Suponha que o radionuclídeo vem sendo fabricado durante um tempo muito maior que a meiavida a Mostre que nessas condições o número de núcleos radioativos presentes permanece constante e é dado por N Rλ b Explique por que esse número não depende do número inicial de núcleos radioativos Em uma situação como essa dizemos que o nuclídeo está em equilíbrio secular com a fonte a taxa de decaimento é igual à taxa de produção 36 O isótopo do plutônio 239Pu decai emitindo uma partícula alfa com meiavida de 24100 anos Quantos miligramas de hélio estão presentes em uma amostra de 120 g de 239Pu inicialmente pura após 20000 anos Despreze o hélio produzido pelos produtos do decaimento considere apenas o hélio produzido diretamente pelo decaimento do plutônio 37 O radionuclídeo 64Cu tem meiavida de 127 horas Se no instante t 0 uma amostra contém 550 g de 64Cu inicialmente puro quantos gramas de 64Cu se desintegram entre os instantes t 140 h e t 160 h 38 Uma dose de 860 μCi de um isótopo radioativo foi injetada em um paciente O isótopo tem meia vida de 30 horas Quantos átomos do isótopo radioativo foram injetados 39 O radionuclídeo 56Mn tem meiavida de 258 horas e é produzido em um cíclotron por meio do bombardeio de um alvo de manganês com dêuterons O alvo contém apenas o isótopo estável do manganês 55Mn e a reação que produz o 56Mn é 55Mn d 56Mn p Depois de ser bombardeado por um tempo muito maior que a meiavida do 56Mn a atividade do 56Mn produzido no alvo atinge o valor limite de 888 1010 Bq Nessa situação a qual é a taxa de produção de núcleos de 56Mn b Quantos núcleos de 56Mn estão presentes no alvo c Qual é a massa total desses núcleos 40 Uma fonte contém dois radionuclídeos de fósforo 32P T12 143 d e 33P T12 253 d Inicialmente o 33P é responsável por 100 dos decaimentos Depois de quanto tempo o 33P é responsável por 900 dos decaimentos 41 Uma amostra de 10 g de samário emite partículas alfa à taxa de 120 partículass O isótopo responsável é o 147Sm cuja abundância natural é 150 Calcule a meiavida desse isótopo 42 Qual é a atividade de uma amostra de 20 ng de 92Kr que possui uma meiavida de 184 s 43 Uma cápsula radioativa contendo uma substância que será usada para tratar um paciente internado em um hospital é preparada em um laboratório vizinho A substância tem meiavida de 8361 horas Qual deve ser a atividade inicial para que a atividade seja 74 108 Bq quando a cápsula for usada no tratamento 24 horas depois 44 A Fig 4219 mostra o decaimento de uma amostra radioativa A escala dos eixos é definida por Ns 200 106 e ts 100 s Qual é a atividade da amostra no instante t 270 s Figura 4219 Problema 44 45 Em 1992 a polícia suíça deteve dois homens que estavam tentando contrabandear ósmio para fora da Europa Oriental para vender o produto no mercado negro Por engano os contrabandistas haviam roubado um carregamento de 137Cs Segundo as notícias cada contrabandista levava no bolso uma cápsula contendo 10 g de 137Cs Qual era a atividade de uma das cápsulas a em becquerels e b em curies O 137Cs tem meiavida de 302 anos A atividade dos radioisótopos usados em hospitais é da ordem de alguns milicuries 46 O nuclídeo radioativo 99Tc pode ser injetado no sistema circulatório de um paciente para monitorar o fluxo sanguíneo medir o volume de sangue ou localizar um tumor entre outras coisas O nuclídeo é produzido em um hospital por uma vaca que contém 99Mo um nuclídeo radioativo que se transforma em 99Tc com uma meiavida de 67 horas Uma vez por dia a vaca é ordenhada para extrair o 99Tc produzido pelo 99Mo em um estado excitado o 99Tc decai para o estado fundamental emitindo um raio gama que é registrado por detectores colocados em torno do paciente Esse decaimento tem uma meia vida de 60 horas a Por meio de qual processo o 99Mo decai para 99Tc b Se um paciente recebe uma injeção de 99Tc com uma atividade de 82 107 Bq quantos raios gama são produzidos por segundo no interior do corpo logo após a injeção c Se a taxa de emissão de raios gama em um pequeno tumor que concentrou o 99Tc é 38 por segundo em determinado momento quantos átomos de 99Tc no estado excitado existem no tumor nesse momento 47 Em 1902 depois de muito trabalho Marie e Pierre Curie conseguiram extrair do minério de urânio a primeira quantidade palpável de rádio um decigrama de RaCl2 puro Tratavase do isótopo radioativo 226Ra que tem meiavida de 1600 anos a Quantos núcleos de rádio havia na amostra preparada pelo casal b Qual era a taxa de decaimento da amostra em desintegrações por segundo Módulo 424 Decaimento Alfa 48 Qual é o valor da energia liberada quando um núcleo de 238U decai emitindo a uma partícula alfa e b uma sequência de nêutron próton nêutron próton c Mostre usando argumentos teóricos e cálculos numéricos que a diferença entre os valores calculados dos itens a e b é igual à energia de ligação da partícula alfa d Determine a energia de ligação Os dados necessários são os seguintes 238U 238050 79 u 234Th 234043 63 u 237U 237048 73 u 4He 4002 60 u 236Pa 236048 91 u 1He 1007 83 u 235Pa 235045 44 u ne 1008 66 u 49 Os núcleos muito pesados são os mais sujeitos a decaimento alfa Assim por exemplo o isótopo mais estável do urânio o 238U sofre decaimento alfa com meiavida de 45 109 anos Outros nuclídeos que também sofrem o mesmo tipo de decaimento são o 244Pu o isótopo mais estável do plutônio com meiavida de 80 107 anos e o 248Cm o isótopo mais estável do cúrio com uma meiavida de 34 105 anos Em um intervalo de tempo no qual metade dos átomos de uma amostra de 238U decaem que fração dos átomos resta em amostras a de 244Pu e b de 248Cm 50 Os radionuclídeos pesados emitem partículas alfa em vez de outras combinações de núcleons porque as partículas alfa formam uma estrutura particularmente estável Para confirmar essa tese calcule a energia de desintegração das reações hipotéticas a seguir e discuta os resultados a 235U 232Th 3He b 235U 231Th 4He c 235U 230Th 5He Os dados necessários são os seguintes 232Th 2320381 u 3He 30160 u 231Th 2310363 u 4He 40026 u 230Th 2300331 u 5He 50122 u 235U 2350429 u 51 Um núcleo de 238U emite uma partícula alfa de 4196 MeV Calcule a energia de desintegração Q para o processo levando em conta a energia de recuo do núcleo residual de 234Th 52 Em raros casos um núcleo decai emitindo uma partícula de massa maior que uma partícula alfa Considere os decaimentos 223Ra 209Pb 14C e 223Ra 219Rn 4He Calcule o valor de Q a para o primeiro decaimento e b para o segundo decaimento e verifique se ambos são energeticamente possíveis c A altura da barreira de Coulomb para a emissão de uma partícula alfa é 300 MeV Qual é a altura da barreira para a emissão de 14C Os dados necessários são os seguintes 223Ra 223018 50 u 14C 14003 24 u 209Pb 208981 07 u 4He 4002 60 u 219Rn 219009 48 u Módulo 425 Decaimento Beta 53 O isótopo do césio 137Cs é produzido nas explosões nucleares Como decai para 137Ba com uma meiavida relativamente longa 302 anos liberando uma quantidade considerável de energia no processo é considerado muito perigoso As massas atômicas do 137Cs e do 137Ba são 1369071 e 1369058 u respectivamente calcule a energia total liberada no decaimento de um átomo de 137Cs 54 Alguns radionuclídeos decaem capturando um dos elétrons atômicos que pode pertencer à camada K ou mais raramente à camada L Um exemplo desse tipo de reação é 49V e 49Ti v T12 331 d Mostre que a energia de desintegração Q para esse processo supondo que o elétron capturado pertencia a camada K é dado por Q mV mTic2 EK em que mV e mTi são as massas atômicas do 49V e do 49Ti respectivamente e EK é a energia de ligação de um elétron da camada K do vanádio Sugestão Chame as massas nucleares correspondentes de mV e mTi e some um número de elétrons suficiente para que seja possível usar as massas atômicas 55 Um nêutron livre decai de acordo com a Eq 4226 Se a diferença de massa entre o nêutron e o átomo de hidrogênio é 840 μu qual é a máxima energia cinética Kmáx do elétron emitido 56 Um elétron é emitido por um nuclídeo de massa intermediária A 150 por exemplo com uma energia cinética de 10 MeV a Qual é o comprimento de onda de de Broglie do elétron b Calcule o raio do núcleo responsável pela emissão c Um elétron com essas características pode ser confinado em uma caixa de mesmas dimensões que o núcleo d É possível usar o resultado do item c para rejeitar a hipótese hoje descartada de que existem elétrons permanentemente no interior do núcleo 57 O radionuclídeo 11C decai segundo a reação 11C 11B e v T12 203 min A energia máxima do pósitron emitido é 0960 MeV a Mostre que a energia de desintegração para esse processo é dada por Q mC mB 2mec2 em que mC e mB são as massas atômicas do 11C e do 11B respectivamente e me é a massa do pósitron b Fornecidas as massas mC 11011 434 u mB 11009 305 u e me 0000 548 6 u calcule o valor de Q e compareo com a máxima energia do pósitron emitido Sugestão Chame as massas nucleares de mC e mB e acrescente um número suficiente de elétrons para que seja possível usar as massas atômicas 58 Dois nuclídeos que são instáveis em relação ao decaimento alfa o 238U e o 232Th e um que é instável em relação ao decaimento beta o 40K são suficientemente abundantes no granito para contribuírem significativamente para o aquecimento da Terra Os isótopos que emitem partículas alfa dão origem a cadeias de decaimentos que resultam na formação de isótopos estáveis do chumbo O isótopo 40K sofre apenas um decaimento beta Suponha que esse é o único modo de decaimento do isótopo Os dados relevantes são os seguintes Nuclídeo Inicial Modo de Decaimento Meiavida anos Nuclídeo Final Q MeV f ppm 238U α 447 109 206Pb 517 4 232Th α 141 1010 208Pb 427 13 40K β 128 109 40Ca 131 4 Na tabela Q é a energia total liberada em uma série de decaimentos até que o nuclídeo final seja estável e f é a abundância do isótopo em quilogramas por quilograma de granito ppm significa partes por milhão a Mostre que esses isótopos produzem energia à taxa de 10 109 W por quilograma de granito b Supondo que existam 27 1022 kg de granito em uma casca esférica de 20 km de espessura na superfície da Terra estime a potência associada a esses processos de decaimento Compare essa potência com a potência solar recebida pela Terra 17 1017 W 59 O radionuclídeo 32P decai para 32S de acordo com a Eq 4224 Em um desses decaimentos é emitido um elétron de 171 MeV o maior valor possível da energia cinética do elétron Qual é a energia cinética do 32S após a emissão Sugestão No caso do elétron é necessário usar as expressões relativísticas da energia cinética e do momento linear no caso do 32S que se move muito mais devagar não há problema em usar as expressões clássicas Módulo 426 Datação Radioativa 60 Em uma amostra de 500 g de carvão vegetal proveniente dos restos de uma antiga fogueira o 14C tem uma atividade de 630 desintegraçõesmin Em uma árvore viva o 14C tem uma atividade de 153 desintegraçõesg min O 14C possui meiavida de 5730 anos Qual é a idade da amostra 61 O 238U decai para 206Pb com uma meiavida de 447 109 anos Embora o decaimento ocorra em várias etapas a meiavida da primeira etapa é muito maior do que a meiavida das etapas subsequentes assim podemos supor que o decaimento leva diretamente ao chumbo e escrever 238u 206Pb produtos dos decaimentos Uma rocha contém 420 mg de 238U e 2135 mg de 206Pb Estudos geológicos revelam que a rocha provavelmente não continha chumbo na época em que se formou de modo que todo o chumbo presente pode ser atribuído ao decaimento do urânio Quantos átomos de a 238U e b 206Pb contém a rocha c Quantos átomos de 238U a rocha continha na época em que se formou d Qual é a idade da rocha 62 Estimase que uma rocha tem uma idade de 260 milhões de anos Se a rocha contém 370 mg de 238U quantos miligramas de 206Pb ela deve conter Veja o Problema 61 63 Uma rocha extraída do subsolo contém 086 mg de 238U 015 mg de 206Pb e 16 mg de 40Ar Quantos miligramas de 40K deve conter a rocha Suponha que o 40K decai apenas para 40Ar com uma meiavida de 125 109 anos Suponha também que o 238U tem uma meiavida de 447 109 anos 64 O isótopo 40K pode se transformar em 40Ca ou em 40Ar suponha que nos dois casos a meiavida é de 126 109 anos A razão entre o número de átomos de Ca produzidos e o número de átomos de Ar produzidos é 854 Uma amostra que continha inicialmente apenas 40K agora contém quantidades iguais de 40K e 40Ar Qual é a idade da amostra Sugestão Analise o problema da mesma forma que qualquer problema de datação radioativa mas levando em conta o fato de que existem dois produtos do decaimento em vez de apenas um Módulo 427 Medidas da Dose de Radiação 65 O nuclídeo 198Au com uma meiavida de 270 dias é usado no tratamento do câncer Qual é a massa de 198Au necessária para produzir uma atividade de 250 Ci 66 Um detector de radiação registra 8700 contagens em 100 minuto Supondo que o detector tenha registrado todos os decaimentos determine a atividade da fonte de radiação a em becquerels e b em curies 67 Uma amostra orgânica com massa de 400 kg absorve uma energia de 200 mJ proveniente de nêutrons lentos RBE 5 Qual é a dose equivalente em mSv 68 Um indivíduo de 75 kg recebe uma dose de corpo inteiro de 24 104 Gy na forma de partículas alfa com um fator RBE de 12 Determine a a energia absorvida em joules e a dose equivalente b em sieverts e c em rem 69 Um operário de 85 kg que trabalha em um reator regenerador ingere acidentalmente 25 mg de 239Pu em pó O 239Pu tem meiavida de 24100 anos e é um emissor alfa A energia das partículas alfa emitidas é 52 MeV com um fator RBE de 13 Supondo que o plutônio permanece por 12 horas no corpo do operário e que 95 das partículas alfa emitidas são absorvidas pelos tecidos do corpo determine a o número de átomos de plutônio ingeridos b o número de átomos que decaem durante o tempo que o plutônio permanece no corpo do operário c a energia absorvida pelo corpo do operário d a dose recebida pelo operário em grays e e a dose equivalente recebida pelo operário em sieverts Módulo 428 Modelos do Núcleo 70 A energia cinética de um núcleon em um núcleo de massa intermediária é da ordem de 500 MeV A que temperatura efetiva corresponde essa energia de acordo com o modelo coletivo do núcleo 71 A medida da energia E de um produto intermediário de uma reação nuclear deve ser feita dentro de um intervalo de tempo menor que o tempo de vida médio Δt do núcleo e envolve necessariamente uma indeterminação ΔE da energia de acordo com o princípio de indeterminação ΔE Δt ħ a Qual é a indeterminação ΔE se a vida média do núcleo é 1022 s b Esse núcleo pode ser considerado um núcleo composto 72 Na lista de nuclídeos a seguir indique a os que possuem apenas camadas completas de núcleons b os que possuem um núcleon a mais que a última camada completa e c os que possuem um núcleon a menos que a última camada completa 13C 18O 40K 49Ti 60Ni 91Zr 92Mo 121Sb 143Nd 144Sm 205Tl e 207Pb 73 Considere os três processos de formação indicados na Fig 4214 para o núcleo composto 20Ne As massas das partículas envolvidas são as seguintes 20Ne 19992 44 u α 4002 60 u 19F 18998 40 u p 1007 83 u 16O 15994 91 u Que energia deve ter a a partícula alfa b o próton e c o fóton de raios γ para que o núcleo composto seja formado com uma energia de excitação de 250 MeV Problemas Adicionais 74 Em uma rocha a razão entre o número de átomos de chumbo e o número de átomos de urânio é 0300 Tome a meiavida do urânio como de 447 109 anos e suponha que a rocha não continha chumbo quando se formou Qual é a idade da rocha 75 Um nuclídeo estável depois de absorver um nêutron emite um elétron e o novo nuclídeo se divide espontaneamente em duas partículas alfa Identifique o nuclídeo 76 A dose típica recebida em uma radiografia simples do tórax é 250 mSv produzida por raios X com um fator RBE de 085 Supondo que um paciente tem massa de 88 kg e a massa do tecido exposto é metade da massa corporal calcule a energia absorvida em joules 77 Quantos anos são necessários para que a atividade do 14C diminua para 0020 do valor inicial A meiavida do 14C é 5730 anos 78 O elemento radioativo AA pode decair no elemento BB ou no elemento CC A forma de decaimento é aleatória mas a razão entre o número resultante de átomos do elemento BB e átomos do elemento CC é constante e igual a 2 O elemento AA tem meiavida de 800 dias Uma amostra contém inicialmente apenas o elemento AA Após quanto tempo o número de átomos do elemento CC é 150 vez o número de átomos do elemento AA 79 Um dos resíduos mais perigosos das explosões nucleares é o 90Sr que decai com uma meiavida de 29 anos Como possui propriedades químicas muito parecidas com as do cálcio o estrôncio quando ingerido por uma vaca se concentra no leite Parte desse 90Sr é incorporada aos ossos das pessoas que bebem o leite Os elétrons de alta energia emitidos pelo 90Sr danificam a medula óssea reduzindo a produção de hemácias Uma bomba de 1 megaton produz aproximadamente 400 g de 90Sr Se os resíduos se espalham uniformemente por uma área de 2000 km2 que área contém uma radioatividade igual ao limite tolerável para uma pessoa que é 74000 contagenss 80 Quando um dos reatores de Chernobyl se incendiou e explodiu no norte da Ucrânia em 1986 parte da Ucrânia ficou contaminada com 137Cs que decai por emissão de um elétron com uma meiavida de 302 anos Em 1996 a atividade total da contaminação do solo em uma área de 26 105 km2 foi estimada em 1 1016 Bq Supondo que o 137Cs se espalhou uniformemente em toda a área e que metade dos elétrons resultantes do decaimento são emitidos verticalmente para cima e metade dos elétrons são emitidos verticalmente para baixo quantos elétrons emitidos pelo 137Cs atingiriam uma pessoa que permanecesse deitada no chão na região contaminada durante 1 hora a em 1996 e b este ano O leitor terá que estimar a área da seção reta de um indivíduo adulto 81 A Fig 4220 mostra parte da série de decaimentos do 237Np em um gráfico do número de massa A em função do número atômico Z cinco retas que representam decaimentos alfa e decaimentos beta ligam pontos que representam isótopos Qual é o isótopo ao final dos cinco decaimentos assinalado com um ponto de interrogação na Fig 4220 Figura 4220 Problema 81 82 Quando uma amostra de prata é irradiada com nêutrons por um curto período de tempo dois isótopos radioativos se formam 108Ag T12 242 min com uma taxa de decaimento inicial de 31 105s e 110Ag T12 246 s com uma taxa de decaimento inicial de 41 106s Faça um gráfico semilog semelhante ao da Fig 429 mostrando a taxa de decaimento global da amostra em função do tempo entre t 0 e t 10 min A Fig 429 foi usada para ilustrar um método de determinação da meiavida de um único isótopo radioativo Dado apenas o gráfico da taxa de decaimento global do sistema de dois isótopos mostre que é possível analisálo e determinar as meiasvidas dos dois radioisótopos 83 Como um núcleon está confinado em um núcleo podemos tomar a indeterminação Δx da posição do núcleon como aproximadamente o raio r do núcleo e usar o princípio de indeterminação para calcular a indeterminação Δp do momento linear Supondo que p Δp e que o núcleon é não relativístico calcule a energia cinética de um núcleon em um núcleo com A 100 84 Uma fonte de rádio contém 100 mg de 226Ra que decai com uma meiavida de 1600 anos para produzir 222Rn um gás nobre Esse isótopo do radônio por sua vez decai por emissão alfa com uma meiavida de 382 dias Se o processo continua durante um intervalo de tempo muito mais longo que a meiavida do 222Rn a taxa de decaimento do 222Rn atinge um valor limite igual à taxa de produção do 222Rn que é aproximadamente constante por causa da meiavida relativamente longa do 226Ra Para uma fonte nessas condições limite determine a a atividade do 226Ra b a atividade do 222Rn e c a massa total de 222Rn 85 Faça uma carta de nuclídeos semelhante à da Fig 426 para os 25 nuclídeos 118122Te 117121Sb 116 120Sn 115119In e 114118Cd Trace e rotule a todas as retas isobáricas A constante e b todas as retas de excesso de nêutrons N Z constante 86 Uma partícula alfa sofre uma colisão frontal com um núcleo de alumínio As duas partículas são aproximadamente esféricas Qual deve ser a energia da partícula alfa para ficar momentaneamente em repouso no instante em que a superfície da partícula entra em contato com a superfície do núcleo de alumínio Suponha que o núcleo de alumínio permanece estacionário durante o processo 87 Imagine um núcleo de 238U como uma combinação de uma partícula alfa 4He e um núcleo residual 234Th Faça um gráfico da energia potencial eletrostática Ur em função de r em que r é a distância entre as duas partículas para 10 fm r 100 fm Compare o resultado com a Fig 4210 88 O tempo nuclear característico é uma grandeza útil mas vagamente definida tomada como o tempo necessário para que um núcleon com uma energia cinética de alguns milhões de elétronsvolts percorra uma distância igual ao diâmetro de um nuclídeo de massa mediana Qual é a ordem de grandeza desse tempo Utilize a Eq 423 supondo que os núcleons são nêutrons de 5 MeV e o diâmetro é o do núcleo de 197Au 89 Medidas de espalhamento de elétrons revelam que o raio de certo núcleo esférico é 36 fm Qual é o número de massa do núcleo 90 Com o auxílio de uma carta de nuclídeos escreva os símbolos a de todos os isótopos estáveis com Z 60 b de todos os nuclídeos radioativos com N 60 c de todos os nuclídeos com A 60 91 Se a unidade de massa atômica fosse definida de tal forma que a massa do 1H tivesse o valor exato de 1000 000 u determine qual seria a massa a do 12C cuja massa é 12000 000 u e b do 238U cuja massa é 238050 785 u 92 Os nuclídeos pesados que podem ser emissores alfa ou beta pertencem a uma de quatro cadeias de decaimentos caracterizadas por números de massa A da forma 4n 4n 1 4n 2 ou 4n 3 em que n é um número inteiro positivo a Justifique essa afirmação mostrando que se um nuclídeo pertencer a uma dessas famílias todos os produtos do decaimento pertencerão à mesma família Determine a que família pertencem os seguintes nuclídeos b 235U c 236U d 238U e 239Pu f 240Pu g 245Cm h 246Cm i 249Cf e j 253Fm 93 Determine a energia de desintegração Q para o decaimento do 49V por captura de um elétron da camada K veja o Problema 54 Os dados necessários são os seguintes mV 48948 52 u mTi 48947 87 u e EK 547 keV 94 Localize na carta da Fig 425 os nuclídeos que aparecem na Tabela 421 e verifique quais são os que estão na zona de estabilidade 95 O radionuclídeo 32P T12 1428 d é muito usado como traçador das reações bioquímicas que envolvem o fósforo a Se a taxa de contagem em determinado experimento é inicialmente 3050 contagenss quanto tempo é necessário para que a taxa de contagem caia para 170 contagenss b Uma solução contendo 32P é aplicada à raiz de um pé de tomate e a atividade do 32P em uma folha é medida 348 dias depois Por qual fator a leitura deve ser multiplicada para compensar o efeito do decaimento ocorrido desde que o experimento começou 96 Quando a Segunda Guerra Mundial terminou as autoridades holandesas prenderam o artista holandês Hans van Meegeren acusandoo de ter vendido um quadro valioso ao criminoso de guerra nazista Hermann Goering A pintura Cristo e a Adúltera como várias outras de autoria do mestre holandês Johannes Vermeer 16321675 tinha sido encontrada por van Meegeren depois de permanecer desaparecida durante quase 300 anos Vender aquele tesouro nacional ao inimigo só podia ser considerado um ato de alta traição Pouco depois de ser detido porém van Meegeren declarou para surpresa geral que Cristo e a Adúltera e os outros quadros descobertos por ele não passavam de falsificações Explicou ele que havia imitado o estilo de Vermeer usando telas de 300 anos de idade e pigmentos da época assinara os trabalhos como se fossem de Vermeer e submetera as pinturas a um processo de envelhecimento acelerado em um forno para que parecessem autênticas Estaria van Meegeren mentindo para escapar à acusação da alta traição na esperança de ser condenado a uma pena menor pelo crime de fraude Para os peritos Cristo e a Adúltera certamente parecia um legítimo Vermeer mas na época do julgamento de van Meegeren em 1947 não existia nenhum método científico capaz de esclarecer a questão Depois de pintar uma imitação de Vermeer enquanto estava na prisão van Meegeren conseguiu convencer os acusadores e foi condenado a apenas um ano de prisão por fraude Alguns especialistas porém continuaram a sustentar que os Vermeer eram autênticos Em 1968 Bernard Keisch da CarnegieMellon University chegou a uma resposta definitiva usando uma pequena amostra de pigmento à base de chumbo removido do mais famoso entre os quadros supostamente descobertos por Meegeren Cristo e Seus Discípulos em Emaús Esse pigmento é obtido a partir de minério de chumbo no qual parte do chumbo é produzida através de uma longa série de decaimentos que começa com o 238U e termina com o 206Pb Para acompanhar o raciocínio de Keisch vamos concentrar a atenção na parte da série que começa com o 230Th e termina com o 206Pb e que pode ser resumida da seguinte forma alguns radionuclídeos intermediários de meiavida relativamente curta foram omitidos a Mostre que em uma amostra de minério de chumbo a taxa de variação do número de núcleos de 210Pb é dada por em que N210 e N226 são os números de núcleos de 210Pb e 226Ra na amostra e λ210 e λ226 são as constantes de desintegração correspondentes Como os decaimentos vêm ocorrendo há bilhões de anos e a meiavida do 210Pb é muito menor que a do 226Ra os nuclídeos 226Ra e 210Pb estão em equilíbrio isto é o número desses nuclídeos na amostra não varia com o tempo b Qual é a razão R226R210 das atividades desses nuclídeos em uma amostra de minério de chumbo c Qual é a razão N226N210 dos números desses nuclídeos em uma amostra de minério de chumbo Quando o pigmento à base de chumbo é fabricado a partir do minério a maior parte do 226Ra é perdida Suponha que permanece apenas 100 Pouco depois que o pigmento é produzido quanto valem as razões d R226R210 e e N226N210 Keisch sabia que com o tempo a razão R226R210 no pigmento tende novamente ao valor de equilíbrio Se Emaús tivesse sido pintado por Vermeer e portanto o pigmento tivesse 300 anos de idade ao ser examinado em 1968 a razão entre as atividades estaria mais próxima da resposta do item b do que da resposta do item d Se por outro lado Emaús tivesse sido pintado por van Meegeren na década de 1930 e o pigmento tivesse apenas 30 anos de idade a razão estaria mais próxima da resposta do item d Keish encontrou uma razão de 009 f Emaús pode ter sido pintado por Vermeer 97 A partir dos dados apresentados nos primeiros parágrafos do Módulo 423 determine a a constante de desintegração λ e b a meiavida do 238U 1O raio do nuclídeo 10Li não é conhecido porque se trata de um nuclídeo com um tempo de vida extremamente curto cujas propriedades ainda estão sendo investigadas NT O decaimento beta tambem inclui a captura eletronica um processo que nao sera discutido neste livro no qual o nucleo absorve um dos eletrons do atomo e emite um neutrino Convem observar tambem que a particula emitida juntamente com o eletron na reacao descrita pela Eq 4224 e na realidade um antineutrino No tratamento introdutorio apresentado neste capitulo nao faremos distincao entre neutrinos e antineutrinos CAPÍTULO 43 Energia Nuclear 431 FISSÃO NUCLEAR Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4301 Saber a diferença entre a geração de calor por meio de reações químicas e de reações nucleares embora os dois casos envolvam uma perda de massa 4302 Saber o que é o processo de fissão 4303 Descrever o processo de fissão de um núcleo de 235U por um nêutron térmico e explicar o papel do núcleo composto intermediário 4304 No caso da absorção de um nêutron térmico calcular a variação de massa do sistema e a energia transferida para as oscilações do núcleo composto intermediário 4305 Calcular o valor de Q de um processo de fissão a partir das energias de ligação por núcleon antes e depois da fissão 4306 Conhecer o modelo de BohrWheeler da fissão nuclear 4307 Explicar por que o núcleo de 238U não pode ser fissionado por nêutrons térmicos 4308 Conhecer o valor aproximado de energia em MeV resultante da fusão de um núcleo pesado em dois núcleos de massa intermediária 4309 Conhecer a relação entre o número de fissões por unidade de tempo e a rapidez com a qual a energia é liberada IdeiasChave Os processos nucleares transformam massa em outras formas de energia com uma eficiência um milhão de vezes maior que os processos químicos Se um nêutron térmico é capturado por um núcleo de 235U o núcleo de 236U pode sofrer fissão produzindo dois núcleos de massa intermediária e um ou mais nêutrons A energia liberada na fissão de um átomo de 235U é da ordem de 200 MeV A fissão pode ser explicada em termos do modelo coletivo no qual o núcleo se comporta como uma gota de líquido eletricamente carregada Para que a fissão ocorra os fragmentos da fissão precisam atravessar uma barreira de potencial É preciso portanto que a energia de excitação En transferida para o núcleo pela captura de um nêutron seja da mesma ordem que a altura Eb da barreira de potencial O que É Física Agora que discutimos algumas propriedades dos núcleos atômicos vamos nos voltar para uma preocupação importante da física e de certas especialidades da engenharia Será possível aproveitar a energia dos núcleos atômicos da mesma forma como a humanidade vem aproveitando a energia dos átomos há milhares de anos ao queimar substâncias como madeira e carvão Como o leitor já sabe a resposta é positiva mas existem diferenças importantes entre as duas fontes de energia Quando extraímos energia da madeira e do carvão queimando esses combustíveis estamos lidando com reações químicas que envolvem apenas os elétrons da última camada dos átomos de carbono e oxigênio reagrupandoos em configurações mais estáveis Quando extraímos energia do urânio em um reator nuclear estamos também queimando um combustível mas dessa vez estamos mexendo com o núcleo de urânio reagrupando os núcleons em configurações mais estáveis Os elétrons estão confinados nos átomos pela interação eletromagnética e bastam alguns elétrons volts para arrancálos Por outro lado os núcleons estão confinados nos núcleos pela interação forte são necessários milhões de elétronsvolts para arrancálos Esse fator da ordem de milhões se reflete no fato de que podemos extrair muito mais energia de um quilograma de urânio do que de um quilograma de carvão Tanto na queima de um combustível químico como na queima de um combustível nuclear a liberação de energia é acompanhada por uma diminuição da massa de acordo com a equação Q Dm c2 A diferença principal entre a queima de urânio e a queima de carvão é que no primeiro caso uma fração muito maior da massa disponível é consumida mais uma vez o fator nesse caso é da ordem de milhões Tabela 431 Energia Liberada por 1 kg de Matéria Forma de Matéria Processo Tempoa Água Queda dágua de 50 m 5 s Carvão Combustão 8 h UO2 enriquecido Fissão em um reator 690 anos 235U Fissão total 3 104 anos Deutério Fusão total 3 104 anos Matéria e antimatéria Aniquilação total 3 107 anos aEsta coluna mostra o tempo durante o qual a energia gerada manteria acesa uma lâmpada de 100 W Os diferentes processos usados para queimar combustíveis químicos ou nucleares desenvolvem potências diferentes ou seja produzem energia a taxas diferentes No caso da energia nuclear é possível queimar um quilograma de urânio de forma explosiva como nas bombas ou de forma gradual como nos reatores nucleares No caso da energia química é possível fazer explodir uma banana de dinamite ou digerir um filé com fritas A Tabela 431 mostra a quantidade de energia que pode ser extraída de 1 kg de matéria por vários processos Em vez de apresentar o valor da energia a tabela indica o tempo durante o qual a energia manteria acesa uma lâmpada de 100 W Apenas os três primeiros processos correspondem à realidade os outros três são limites teóricos que provavelmente jamais serão atingidos na prática O último processo a aniquilação mútua de matéria e antimatéria pode ser considerado o mais eficiente de todos já que toda a energia de repouso é transformada em outras formas de energia O leitor deve ter em mente que as comparações da Tabela 431 são feitas em termos da mesma quantidade de matéria Quilograma por quilograma é possível extrair milhões de vezes mais energia da fissão do urânio que da queima do carvão ou da força da água entretanto existe muito mais carvão que urânio na crosta terrestre e uma quantidade muito grande de água pode ser acumulada em uma represa Fissão Nuclear O Processo Básico Em 1932 o físico inglês James Chadwick descobriu o nêutron Alguns anos mais tarde o físico italiano Enrico Fermi observou que quando alguns elementos são bombardeados com nêutrons outros elementos são produzidos Fermi havia previsto que o nêutron por não possuir carga elétrica seria um projétil muito útil para estudar reações nucleares já que ao contrário do próton e da partícula alfa não estaria sujeito a uma força repulsiva ao se aproximar de um núcleo Mesmo os nêutrons térmicos que são nêutrons que se movem lentamente por estarem em equilíbrio com o meio que os rodeia possuindo por isso uma energia cinética de apenas 004 eV à temperatura ambiente são projéteis úteis para o estudo das reações nucleares No final da década de 1930 a física Lise Meitner e os químicos Otto Hahn e Fritz Strassmann trabalhando em Berlim e continuando o trabalho de Fermi e colaboradores expuseram soluções de sais de urânio a nêutrons térmicos e descobriram que alguns produtos dessa interação eram radioativos Em 1939 um dos radionuclídeos foi identificado sem sombra de dúvida como o bário Como era possível admiraramse Hahn e Strassmann que a reação com um nêutron de um elemento pesado como o urânio Z 92 pudesse produzir um elemento de massa moderada como o bário Z 56 Uma solução para o enigma foi encontrada algumas semanas mais tarde por Meitner e seu sobrinho Otto Frisch Segundo os dois pesquisadores o núcleo de urânio depois de absorver um nêutron térmico se dividia com liberação de energia em dois fragmentos aproximadamente iguais um dos quais era o bário Frisch chamou o processo de fissão O papel relevante de Meitner na descoberta da fissão foi conhecido apenas recentemente por meio de pesquisas históricas ela não dividiu com Hahn o Prêmio Nobel de Química que o químico alemão recebeu em 1944 pela descoberta Em 1997 um elemento o meitnério símbolo Mt Z 109 foi batizado em sua homenagem A Fissão Vista de Perto A Fig 431 mostra a distribuição por número de massa dos fragmentos produzidos quando o 235U é bombardeado com nêutrons térmicos Os números de massa mais prováveis que estão presentes em cerca de 7 dos eventos são A 140 e A 95 Curiosamente até hoje não foi encontrada uma justificativa teórica para essa distribuição bimodal Em um evento típico de fissão do 235U um núcleo de 235U absorve um nêutron térmico o que leva à formação de um núcleo composto 236U em um estado altamente excitado É esse núcleo que sofre o processo de fissão dividindose em dois fragmentos Os fragmentos imediatamente emitem dois ou mais nêutrons dando origem a fragmentos de fissão como o 140Xe Z 54 e o 94Sr Z 38 A equação completa para esse evento de fissão é Observe que durante a formação e fissão do núcleo composto são conservados o número de prótons e o número de nêutrons e portanto o número total de núcleons e a carga total Na Eq 431 os fragmentos 140Xe e 94Sr são altamente instáveis e sofrem vários decaimentos beta que convertem um nêutron em um próton com a emissão de um elétron e um antineutrino até que o produto do decaimento seja estável No caso do xenônio a cadeia de decaimentos é No caso do estrôncio a cadeia de decaimentos é Figura 431 Distribuição estatística por número de massa dos fragmentos de fissão do 235U Note que a escala vertical é logarítmica Como era de se esperar veja o Módulo 425 os números de massa dos fragmentos 140 e 94 permanecem inalterados durante os processos de decaimento beta e os números atômicos que são inicialmente 54 e 38 aumentam de uma unidade a cada decaimento Examinando a faixa de estabilidade da carta de nuclídeos da Fig 425 vemos por que os fragmentos da fissão são instáveis O nuclídeo 236U que é o núcleo que sofre fissão na reação da Eq 431 possui 92 prótons e 236 92 144 nêutrons o que corresponde a uma razão 14492 16 entre o número de nêutrons e o número de prótons A razão é aproximadamente a mesma nos fragmentos da fissão No caso dos elementos estáveis de massa intermediária a razão entre o número de nêutrons e o número de prótons é menor da ordem de 13 a 14 Isso significa que os fragmentos possuem um excesso de nêutrons e tendem a ejetar imediatamente alguns desses nêutrons dois no caso da reação da Eq 431 Mesmo assim os fragmentos continuam a conter nêutrons demais para serem estáveis Os decaimentos beta eliminam o excesso de nêutrons dos fragmentos transformando alguns nêutrons em prótons Podemos estimar a energia liberada pela fissão de um nuclídeo pesado calculando a energia de ligação por núcleon ΔEln antes e depois da fissão Para que a fissão seja possível é necessário que a energia de repouso total diminua isso significa que ΔEln deve ser maior após a fissão A energia Q liberada pela fissão é dada por Para nossa estimativa vamos supor que a fissão transforma o núcleo pesado em dois núcleons de massa intermediária com o mesmo número de núcleons Nesse caso temos De acordo com a Fig 427 no caso dos nuclídeos pesados A 240 a energia de ligação por núcleo é da ordem de 76 MeVnúcleon No caso dos nuclídeos de massa intermediária A 120 a energia é da ordem de 85 MeVnúcleon Portanto a energia liberada pela fissão de um nuclídeo pesado em dois nuclídeos de massa intermediária é Teste 1 A equação a seguir representa um evento genérico de fissão 235U n X Y 2n Qual dos seguintes pares não pode substituir X e Y a 141Xe e 93Sr b 139Cs e 95Rb c 156Nd e 79Ge d 121In e 113Ru Um Modelo Para a Fissão Nuclear Logo depois que a fissão nuclear foi descoberta Niels Bohr e John Archibald Wheeler usaram o modelo coletivo do núcleo Módulo 428 baseado em uma analogia entre o núcleo e uma gota de líquido carregada eletricamente para explicar os principais aspectos do fenômeno A Fig 432 mostra os vários estágios do processo de fissão de acordo com esse modelo Quando um núcleo pesado como o 235U absorve um nêutron térmico lento como na Fig 432a o nêutron fica confinado em um poço de potencial associado à interação forte que age no interior do núcleo Com isso a energia potencial do nêutron se transforma em uma energia de excitação do núcleo como mostra a Fig 432b Essa energia de excitação é igual à energia de ligação En do nêutron capturado que por sua vez é igual à redução da energia de repouso do sistema núcleonêutron em consequência da captura do nêutron As Figs 432c e 432d mostram que o núcleo comportandose como uma gota de líquido em oscilação mais cedo ou mais tarde adquire um pescoço e começa a se separar em duas gotas menores Se a repulsão elétrica entre as duas gotas as afasta o suficiente para romper o pescoço os dois fragmentos são arremessados em direções opostas Figs 432e e 432f o que constitui o processo de fissão propriamente dito Esse modelo fornecia uma boa visão qualitativa do processo de fissão o que faltava era explicar por que alguns nuclídeos pesados como o 235U e o 239Pu são facilmente fissionados por nêutrons térmicos enquanto outros nuclídeos igualmente pesados como o 238U e o 243Am não sofrem o mesmo tipo de fissão A questão foi esclarecida por Bohr e Wheeler A Fig 433 mostra um gráfico da energia potencial de um núcleo em vários estágios do processo de fissão em função do parâmetro de distorção r que é uma medida do grau de afastamento do núcleo em relação à forma esférica Quando os fragmentos estão muito afastados um do outro r é simplesmente a distância entre os centros dos fragmentos Fig 432e A diferença entre a energia do núcleo no estado inicial r 0 e no estado final r ou seja a energia de desintegração Q está indicada na Fig 433 O interessante é que a energia potencial do sistema passa por um máximo para certo valor de r Isso significa que existe uma barreira de potencial de altura Eb que os fragmentos têm que vencer seja diretamente seja por tunelamento O mesmo acontece no decaimento alfa Fig 4210 que também é um processo limitado por uma barreira de potencial Figura 432 Os vários estágios de um processo típico de fissão de acordo com o modelo coletivo de Bohr e Wheeler Figura 433 Energia potencial em vários estágios do processo de fissão de acordo com o modelo coletivo de Bohr e Wheeler O Q da reação cerca de 200 MeV e a altura da barreira para a fissão Eb estão indicados na figura Vemos portanto que a fissão só pode ocorrer se o nêutron absorvido fornecer uma energia de excitação En suficiente para que os fragmentos possam vencer a barreira Na verdade por causa da possibilidade de tunelamento basta que a energia En seja próxima de Eb a altura da barreira A Tabela 432 mostra a situação para quatro nuclídeos pesados Para cada nuclídeo a tabela mostra a altura da barreira Eb no núcleo formado pela captura do nêutron e a energia de excitação En devido à captura Os valores de Eb foram calculados a partir da teoria de Bohr e Wheeler os valores de En foram calculados a partir da variação da energia de repouso devido à captura do nêutron Como exemplo do cálculo de En vamos examinar a primeira linha da tabela que representa o processo de captura de um nêutron 235U n 236U As massas envolvidas são 235043 922 u para o 235U 1008 665 u para o nêutron e 236045 562 u para o 236U É fácil mostrar que a redução de massa após a captura do nêutron é 7025 103 u Essa portanto é a massa convertida em energia Multiplicando a redução de massa por c2 931494 013 MeVu obtemos En 65 MeV o valor que aparece na primeira linha da tabela A primeira e a terceira linhas da Tabela 432 têm grande importância histórica já que ajudam a explicar por que as duas bombas atômicas usadas na Segunda Guerra Mundial continham 235U a primeira lançada sobre Hiroxima e 239Pu a segunda lançada sobre Nagasáqui Esses nuclídeos foram escolhidos porque tanto para o 235U como para o 239Pu En Eb Isso significa que de acordo com a teoria a absorção de um nêutron térmico1 por parte desses nuclídeos deve ser seguida por uma fissão No caso dos outros dois nuclídeos 238U e 243Am temos En Eb assim um nêutron térmico não fornece ao núcleo energia suficiente para que os fragmentos vençam a barreira de potencial Em vez de sofrer fissão o núcleo se livra do excesso de energia emitindo um raio gama Tabela 432 Energia de Excitação e Barreira de Potencial para Quatro Nuclídeos Pesados Nuclídeo Inicial Nuclídeo Formado En MeV Eb MeV Fissão por Nêutrons Térmicos 235U 236U 65 52 Sim 238U 239U 48 57 Não 239Pu 240Pu 64 48 Sim 243Am 244Am 55 58 Não Cortesia do US Department of Energy Figura 434 Imagens como esta vêm aterrorizando a humanidade desde o final da Segunda Guerra Mundial Quando Robert Oppenheimer o chefe do grupo de cientistas que criou a bomba atômica presenciou a primeira explosão nuclear citou um trecho de um antigo livro sagrado indiano Agora eu me tornei a Morte a destruidora de mundos Os nuclídeos 238U e 243Am podem ser fissionados mas para isso é preciso que o nêutron possua uma energia cinética muito maior que a de um nêutron térmico No caso do 238U por exemplo o nêutron incidente deve ter uma energia cinética de pelo menos 13 MeV para que o processo de fissão rápida possa ocorrer o nome rápida vem do fato de que é preciso que o nêutron esteja se movendo rapidamente para que o processo ocorra pois só assim o nêutron terá a energia cinética necessária As duas bombas atômicas usadas na Segunda Guerra Mundial dependiam da capacidade dos nêutrons livres produzidos pela fissão de um nuclídeo pesado de fissionar muitos outros nuclídeos pesados em um intervalo de tempo extremamente curto produzindo uma violenta explosão Os pesquisadores sabiam que o 235U daria bons resultados mas tinham obtido a partir de minério de urânio uma quantidade de 235U suficiente apenas para uma bomba O minério é constituído principalmente por 238U que absorve um número excessivo de nêutrons sem sofrer fissão para permitir uma reação explosiva Por outro lado embora dispusessem de uma quantidade relativamente grande de 239Pu tinham dúvidas a respeito da possibilidade de fazer explodir com sucesso uma bomba feita com esse material Por isso o único teste realizado em solo americano antes que as duas bombas fossem lançadas no Japão foi feito com uma bomba de 239Pu Fig 4342 Como os resultados foram positivos decidiuse lançar uma bomba de 239Pu depois que a única bomba disponível de 235U tinha sido lançada Exemplo 4301 Valor de Q para a fissão de urânio 235 Determine a energia de desintegração Q para o evento de fissão da Eq 431 levando em conta o decaimento dos fragmentos da fissão mostrado nas Eqs 432 e 433 As massas necessárias para realizar o cálculo são 235U 2350439 u 140Ce 1399054 u n 1008 66 u 94Zr 939063 u IDEIASCHAVE 1 A energia de desintegração Q é a energia que é convertida de energia de repouso em energia cinética dos produtos do decaimento 2 Q Δm c2 em que Δm é a variação de massa Cálculos Como devemos levar em conta o decaimento dos fragmentos da fissão combinamos as Eqs 431 432 e 433 para obter a transformação global Apenas um nêutron aparece na Eq 437 porque o nêutron causador da reação que deveria aparecer do lado esquerdo da equação é compensado do lado direito por um dos nêutrons emitidos no processo de fissão A diferença de massa para a reação da Eq 437 é e a energia de desintegração correspondente é em boa concordância com a estimativa da Eq 436 Se a fissão acontece no interior de um corpo sólido a maior parte da energia de desintegração que a princípio assume a forma da energia cinética dos produtos da fissão é convertida em energia interna acarretando um aumento da temperatura do corpo Cinco ou seis por cento da energia de desintegração estão associados aos antineutrinos emitidos durante o decaimento beta dos fragmentos da fissão Essa energia escapa quase toda do corpo e é perdida 1 432 O REATOR NUCLEAR Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4310 Saber o que é uma reação em cadeia 4311 Explicar o problema da fuga dos nêutrons o problema da energia dos nêutrons e o problema da captura dos nêutrons 4312 Saber o que é o fator de multiplicação e como pode ser controlado 4313 Saber o que são os regimes crítico supercrítico e subcrítico 4314 Saber o que é o tempo de resposta 4315 Descrever o que acontece em um ciclo completo de nêutrons térmicos IdeiaChave Um reator nuclear utiliza reações de fissão nuclear para produzir energia elétrica O Reator Nuclear Para que o processo de fissão libere grande quantidade de energia é preciso que um evento de fissão produza outros eventos fazendo o processo se espalhar pelo combustível nuclear como o fogo em um pedaço de madeira O fato de que dois ou mais nêutrons são liberados em cada evento de fissão é essencial para a ocorrência de uma reação em cadeia na qual cada nêutron produzido pode causar uma nova fissão A reação pode ser explosiva como em uma bomba atômica ou controlada como em um reator nuclear Suponha que estejamos interessados em projetar um reator baseado na fissão de 235U por nêutrons térmicos O urânio natural contém 07 desse isótopo o resto é 238U que não pode ser fissionado por nêutrons térmicos Para começar podemos aumentar a probabilidade de que ocorra uma fissão enriquecendo artificialmente o combustível até que contenha aproximadamente 3 de 235U Mesmo assim temos que resolver três problemas O Problema da Fuga dos Nêutrons Alguns nêutrons produzidos pelas fissões escapam do reator antes de terem oportunidade de fissionar outros núcleos e portanto não contribuem para a reação em cadeia A fuga de nêutrons é um efeito de superfície a probabilidade de fuga é proporcional ao quadrado de uma dimensão típica do reator a área da superfície de um cubo é igual a 6a2 em que a é a aresta do cubo A produção de nêutrons por outro lado acontece em todo o volume do combustível e portanto é proporcional ao cubo de uma dimensão típica do reator o volume de um cubo é igual a a3 É possível reduzir a fração de nêutrons perdidos aumentando o volume do reator para reduzir a razão entre a superfície e o volume que é igual a 6a no caso de um cubo 2 3 O Problema da Energia dos Nêutrons Os nêutrons produzidos nas reações de fissão são nêutrons rápidos com uma energia da ordem de 2 MeV mas a fissão do 235U é induzida com mais eficiência por nêutrons térmicos Para transformar os nêutrons rápidos em nêutrons térmicos misturase o urânio com uma substância o chamado moderador que deve possuir duas propriedades remover energia dos nêutrons com eficiência por meio de colisões elásticas e não absorver nêutrons A maioria dos reatores nucleares nos Estados Unidos e outros países usa a água como moderador o componente ativo são núcleos de hidrogênio prótons Como vimos no Capítulo 9 quando uma partícula em movimento sofre uma colisão elástica com uma partícula estacionária a transferência de energia é máxima se as duas partículas têm a mesma massa Os prótons são um bom moderador justamente porque possuem massa quase igual à dos nêutrons O Problema da Captura dos Nêutrons Quando os nêutrons rápidos 2 MeV produzidos pela fissão são esfriados pelo moderador até se tornarem nêutrons térmicos 004 eV passam por um intervalo crítico de energias entre 1 e 100 eV no qual existe alta probabilidade de serem capturados por um núcleo de 238U Essa captura ressonante que resulta na emissão de um raio gama remove o nêutron definitivamente da reação em cadeia Para minimizar a probabilidade de captura ressonante o urânio e o moderador não são usados como uma mistura homogênea e sim instalados em regiões diferentes do reator Em um reator típico o combustível está na forma de pastilhas de óxido de urânio que são introduzidas em longos tubos de metal Essas barras de combustível são agrupadas em feixes e imersas no líquido moderador formando o núcleo do reator Esse arranjo geométrico aumenta a probabilidade de um nêutron rápido produzido no interior de uma barra de combustível estar no moderador ao passar pelo intervalo crítico de energias Depois de se tornar um nêutron térmico o nêutron ainda pode ser capturado de formas que não resultam em fissão é a chamada captura térmica mas é muito mais provável que o nêutron térmico penetre novamente em um elemento combustível e encontre um núcleo de 235U para produzir um evento de fissão A Fig 435 mostra o equilíbrio de nêutrons em um reator comercial típico funcionando a uma potência constante Vamos acompanhar uma amostra de 1000 nêutrons térmicos ao longo de um ciclo completo ou uma geração no núcleo do reator Os 1000 nêutrons iniciais produzem 1330 nêutrons por fissão de átomos de 235U e 40 nêutrons por fissão rápida do 238U o que resulta em 370 nêutrons a mais todos rápidos Quando o reator está operando a uma potência constante exatamente o mesmo número 370 é perdido por fuga do núcleo e captura o que deixa 1000 nêutrons para iniciar a geração seguinte Nesse ciclo naturalmente cada evento de fissão libera certa quantidade de energia inicialmente na forma de energia cinética dos produtos de fissão mas a longo prazo na forma de um aumento da energia interna dos materiais do núcleo o que aumenta a temperatura do núcleo Figura 435 Equilíbrio de nêutrons em um reator nuclear Em uma geração 1000 nêutrons térmicos interagem com o 235U com o 238U e com o moderador A fissão produz 1370 nêutrons 370 dos quais são capturados sem produzir fissão ou escapam do reator isso significa que restam 1000 nêutrons para a geração seguinte A figura foi desenhada para um gerador funcionando com potência constante O fator de multiplicação k um parâmetro importante dos reatores é a razão entre o número de nêutrons presentes no início de uma geração e o número de nêutrons presentes no início da geração seguinte Na Fig 435 o fator de multiplicação é 10001000 1 Quando k 1 dizemos que o reator está funcionando no regime crítico em que o número de nêutrons é exatamente o necessário para que o reator produza uma potência constante Os reatores são projetados para serem intrinsecamente supercríticos k 1 o fator de multiplicação é ajustado para o regime crítico k 1 por meio da inserção de barras de controle no núcleo do reator As barras que contêm um material que absorve nêutrons com facilidade como o cádmio podem ser usadas para regular a potência produzida pelo reator e para compensar com sua retirada parcial a tendência do reator de se tornar subcrítico k 1 depois de algum tempo de funcionamento por causa do acúmulo dos produtos de fissão alguns dos quais absorvem nêutrons Se uma das barras de controle é removida bruscamente quanto tempo a potência produzida pelo reator leva para aumentar Esse tempo de resposta depende do fato de que uma pequena fração dos nêutrons produzidos pela fissão não escapa imediatamente dos fragmentos de fissão mas é emitida mais tarde quando os fragmentos decaem por emissão beta Dos 370 nêutrons novos produzidos na Fig 43 5 por exemplo cerca de 16 são nêutrons retardados emitidos por fragmentos após decaimentos beta com meiavida de 02 a 55 s Esses nêutrons retardados são pouco numerosos mas desempenham uma função essencial a de aumentar o tempo de resposta do reator possibilitando o controle por meios mecânicos necessariamente lentos como a inserção de barras A Fig 436 mostra o diagrama esquemático de um reator nuclear conhecido como reator de água pressurizada PWR3 usado nos Estados Unidos e em outros países como o Brasil para gerar energia elétrica Nesse tipo de reator a água é usada como moderador e como fluido de transferência de calor No circuito primário a água que circula no vaso de pressão do reator no interior do qual fica o núcleo é mantida a uma alta temperatura da ordem de 600 K e a uma alta pressão da ordem de 150 atmosferas No gerador de vapor o calor da água do circuito primário é transferido para a água do circuito secundário que se transforma em vapor e é usada para mover uma turbina que por sua vez aciona um gerador de eletricidade Para completar o circuito secundário o vapor que sai da turbina é resfriado condensado e bombeado de volta para o gerador de vapor O vaso de pressão de um reator típico de 1000 MW elétricos tem 12 m de altura e pesa 4 MN A água circula no circuito primário com uma vazão de 1 MLmin Figura 436 Diagrama simplificado de um reator nuclear de água pressurizada PWR Muitos componentes foram omitidos como o sistema para resfriar o núcleo do reator em caso de emergência Uma consequência inevitável da operação dos reatores é a produção de rejeitos radioativos tanto produtos de fissão como nuclídeos transurânicos como o plutônio e o amerício Uma das medidas do grau de radioatividade desses resíduos é a rapidez com que liberam energia em forma térmica A Fig 43 7 mostra a potência térmica liberada pelos rejeitos produzidos durante um ano de operação em uma barra de combustível de um reator típico em função do tempo após a remoção da barra Observe que as duas escalas são logarítmicas As barras de combustível removidas dos reatores quase sempre são armazenadas no local imersas em água ainda não foram criadas instalações permanentes para o armazenamento desses rejeitos Os rejeitos da fabricação de bombas nucleares também estão na grande 1 2 maioria dos casos armazenados provisoriamente perto do local onde foram gerados Figura 437 Potência térmica liberada pelos rejeitos radioativos presentes em uma barra de combustível após um ano de operação em um reator nuclear de grande porte em função do tempo após a remoção da barra A curva é a superposição dos efeitos de muitos radionuclídeos com uma grande variedade de meiasvidas Observe que as duas escalas são logarítmicas Exemplo 4302 Reator nuclear eficiência taxa de fissão consumo de combustível Uma usina de energia elétrica utiliza como fonte de energia um reator nuclear de água pressurizada A potência térmica gerada no núcleo do reator é 3400 MW e a usina é capaz de gerar 1100 MW de eletricidade A carga de combustível é 860 104 kg de urânio na forma de óxido de urânio distribuídos em 570 104 barras de combustível O urânio é enriquecido a 30 de 235U a Qual é a eficiência da usina IDEIACHAVE A eficiência dessa usina e de qualquer outro mecanismo capaz de gerar energia útil é a razão entre a potência de saída potência útil e a potência de entrada potência de alimentação Cálculo Neste caso a eficiência ef é dada por b Qual é a taxa R com que ocorrem eventos de fissão no núcleo do reator IDEIASCHAVE Os eventos de fissão são responsáveis pela potência de alimentação P 3400 MW De acordo com a Eq 436 a energia Q liberada por evento é de aproximadamente 200 MeV Cálculo Supondo que a usina está operando a uma potência constante temos c Qual é o consumo de 235U da usina em quilogramas por dia Suponha que para cada 100 átomos de 235U que sofrem fissão ao capturarem um nêutron 25 se transformam em 236U um nuclídeo não físsil IDEIACHAVE O 235U é consumido em dois processos 1 o processo de fissão cuja taxa foi calculada no item b e 2 o processo de captura de nêutrons cuja taxa é quatro vezes menor que a primeira Cálculos A taxa total de consumo de 235U é 1 025106 1020 átomoss 133 1020átomoss Para completar o cálculo precisamos conhecer a massa de um átomo de 235U Não podemos usar a massa molar do urânio que aparece no Apêndice F já que esse valor é para o 238U o isótopo mais comum do urânio Em vez disso vamos supor que a massa de um átomo de 235U em unidades de massa atômica é igual ao número de massa A Nesse caso a massa de um átomo de 235U em kg é 235 u 390 10225 kg O consumo de 235U é portanto d Com esse consumo de combustível quanto tempo vai durar o suprimento de 235U Cálculo Sabemos que a massa inicial de 235U é 30 dos 86 104 kg de óxido de urânio Assim o tempo T necessário para consumir essa massa de 235U à taxa constante de 45 kgd é Na prática as barras de combustível são substituídas geralmente em lotes muito antes que o 235U se esgote e Com que rapidez a massa está sendo convertida em outras formas de energia pela fissão de 235U no núcleo do reator IDEIACHAVE A conversão da massa energia de repouso em outras formas de energia está ligada apenas às fissões responsáveis pela potência de entrada 3400 MW e não à captura de nêutrons embora o segundo processo também contribua para o consumo de 235U 1 Cálculo De acordo com a relação de Einstein E mc2 podemos escrever Vemos que a taxa de conversão de massa corresponde à massa de uma pequena moeda por dia um valor bem menor que o consumo de combustível calculado em c 433 UM REATOR NUCLEAR NATURAL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4316 Explicar quais são os indícios de que um reator nuclear natural operou no Gabão África Ocidental há cerca de 2 bilhões de anos 4317 Explicar por que no passado remoto um depósito de urânio natural podia atingir o regime crítico ao passo que hoje em dia isso seria impossível IdeiaChave Um reator nuclear natural operou na África Ocidental há cerca de dois bilhões de anos Um Reator Nuclear Natural Em 2 de dezembro de 1942 quando o reator que havia sido construído sob a arquibancada do estádio da Universidade de Chicago entrou em operação Fig 438 Enrico Fermi e sua equipe tinham todas as razões para acreditar que estavam inaugurando o primeiro reator de fissão a funcionar em nosso planeta Trinta anos depois descobriuse que estavam errados Há cerca de dois bilhões de anos em um depósito de urânio situado no Gabão África Ocidental que foi explorado comercialmente durante quarenta anos um reator natural de fissão entrou em funcionamento e provavelmente operou durante centenas de milhares de anos Podemos verificar se isso realmente ocorreu examinando duas questões Havia Combustível Suficiente O combustível de um reator de fissão à base de urânio é o isótopo físsil 235U que constitui apenas 072 do urânio natural A abundância isotópica do 235U foi medida em amostras terrestres em rochas lunares e em meteoritos os resultados foram praticamente os mesmos em todos os casos A pista para a descoberta do reator natural foi o fato de que o urânio extraído da mina do Gabão apresentava uma deficiência de 235U em algumas amostras a abundância não passava de 044 As primeiras investigações levaram os cientistas a especular que o déficit de 235U talvez se devesse ao fato de que parte do 235U teria sido consumida durante o funcionamento de 2 um reator natural O problema era que com uma abundância isotópica de apenas 072 é muito difícil como Fermi e sua equipe tiveram ocasião de constatar construir um reator que funcione A chance de que isso aconteça por acaso em um depósito de urânio é praticamente nula Acontece que as coisas eram diferentes no passado Tanto o 235U como o 238U são radioativos mas o 235U tem meiavida 63 vezes menor as meiasvidas são de 704 108 anos para o 235U e 447 108 anos para o 238U Como o 235U decai mais depressa que o 238U sua abundância isotópica era maior no passado Há dois bilhões de anos a abundância não era 072 mas 38 um valor maior que o do urânio enriquecido artificialmente que hoje se usa nos reatores comerciais Dada essa concentração relativamente elevada do isótopo físsil a existência de um reator natural se outras condições forem satisfeitas não parece tão surpreendente O combustível estava lá A propósito Há dois bilhões de anos a forma de vida mais avançada que existia na Terra eram as cianobactérias Gary Sheehan Birth of the Atomic Age 1957 Reproduzido por cortesia da Chicago Historical Society Figura 438 Desenho do primeiro reator nuclear construído durante a Segunda Guerra Mundial por um grupo de cientistas comandado por Enrico Fermi sob a arquibancada do estádio da Universidade de Chicago O reator era feito de camadas alternadas de tijolos de grafita pura e tijolos de grafita contendo cilindros e esferas de urânio e óxido de urânio Quais São as Provas A simples deficiência de 235U em um depósito de minério não pode ser considerada uma prova de que existiu um reator natural de fissão por isso os cientistas se puseram em campo em busca de mais indícios Não existe um reator sem produtos de fissão Dos trinta e poucos elementos cujos isótopos estáveis são produzidos em um reator alguns deveriam estar presentes até hoje na mina de urânio O estudo da abundância isotópica desses elementos poderia fornecer a prova que faltava Dos vários elementos investigados o neodímio foi o que apresentou resultados mais convincentes A Fig 439a mostra a abundância isotópica de sete isótopos estáveis do neodímio em amostras terrestres A Fig 439b mostra a abundância dos mesmos isótopos nos rejeitos de um reator nuclear É compreensível que haja uma diferença já que os dois conjuntos de isótopos têm origens totalmente diversas Observe em particular que o 142Nd o isótopo mais abundante no elemento natural não aparece nos produtos de fissão A questão passa a ser a seguinte Quais são as abundâncias relativas dos isótopos do neodímio encontrados na mina do Gabão Se realmente um reator natural funcionou na região esperamos encontrar uma distribuição intermediária entre a distribuição natural e a distribuição produzida em um reator A Fig 439c mostra as abundâncias encontradas na região da mina depois de introduzidas correções para levar em conta vários fatores como a presença de neodímio natural A semelhança da Fig 439c com a Fig 439b é considerada uma prova segura de que realmente existiu um reator natural na região Figura 439 Distribuição por número de massa dos isótopos de neodímio encontrados a em depósitos naturais do elemento e b nos rejeitos de um reator nuclear c Distribuição depois de várias correções do neodímio encontrado em uma mina de urânio do Gabão na África Ocidental Observe que as distribuições b e c são praticamente iguais e muito diferentes de a 434 FUSÃO TERMONUCLEAR O PROCESSO BÁSICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4318 Saber o que é fusão termonuclear e por que é necessária uma temperatura extremamente elevada para que ela aconteça 4319 Conhecer a relação entre a temperatura e a energia cinética dos núcleos atômicos 4320 Conhecer as duas razões pelas quais a fusão pode acontecer mesmo que a energia cinética correspondente à velocidade mais provável seja menor que a barreira de energia IdeiasChave A liberação de energia pela fusão de dois núcleos leves é inibida pela barreira de potencial associada à da repulsão eletrostática dos núcleos A fusão nuclear só pode acontecer se a temperatura for suficientemente alta ou seja se as partículas tiverem energia cinética suficiente para que a probabilidade de tunelamento seja significativa Fusão Termonuclear O Processo Básico A curva de energia de ligação da Fig 427 mostra que existe um excesso de energia quando dois núcleos leves se combinam para formar um núcleo mais pesado um processo conhecido como fusão nuclear Em condições normais o processo é impedido pela repulsão eletrostática entre duas partículas de carga positiva que impede que dois núcleos se aproximem o suficiente para que a interação forte predomine promovendo a fusão Enquanto o alcance da interação forte é muito pequeno indo pouco além da superfície dos núcleos o alcance da força eletrostática é infinito e portanto essa força constitui uma barreira de potencial A altura dessa barreira eletrostática depende da carga e do raio dos núcleos No caso de dois prótons Z 1 a altura da barreira é 400 keV Se os núcleos tiverem um número maior de prótons a barreira naturalmente será maior Para gerar energia útil é preciso produzir um grande número de fusões em um curto período de tempo Isso pode ser conseguido aumentando a temperatura de um sólido até que os núcleos tenham energia suficiente graças à agitação térmica para vencer a barreira eletrostática O processo é chamado de fusão termonuclear Em estudos desse tipo a temperatura é geralmente expressa em termos da energia cinética K das partículas envolvidas dada pela relação em que K é a energia cinética que corresponde à velocidade mais provável das partículas k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura em kelvins Assim em vez de dizer que a temperatura no centro do Sol é 15 107 K é mais comum afirmar que a temperatura no centro do Sol é 13 keV A temperatura ambiente corresponde a K 003 eV uma partícula com essa energia é totalmente incapaz de superar uma barreira da ordem de 400 keV Mesmo no centro do Sol em que kT 13 keV a situação não parece favorável à fusão nuclear Entretanto sabemos que a fusão nuclear não só acontece no centro do Sol como é o processo mais importante de geração de energia não só no Sol como em qualquer estrela A aparente contradição desaparece quando nos damos conta de dois fatos 1 A energia calculada usando a Eq 439 é a das partículas com a velocidade mais provável definida no Módulo 196 a distribuição inclui partículas com velocidades muito maiores e portanto energias muito maiores 2 As partículas não precisam ter uma energia maior que a altura da barreira para atravessála o tunelamento pode ocorrer em energias bem menores como vimos no Módulo 424 quando discutimos o decaimento alfa A situação real está representada na Fig 4310 A curva nK mostra a distribuição de energia cinética dos prótons solares plotada de modo a corresponder à temperatura no centro do Sol A curva é diferente da curva de distribuição de velocidades da Fig 198 porque agora o eixo horizontal representa energia e não velocidade Para cada energia cinética K a expressão nK dK é proporcional à probabilidade de um próton ter uma energia cinética no intervalo entre K e K 1 dK O valor de kT no centro do Sol está indicado por uma reta vertical observe que muitos prótons têm uma energia maior que esse valor A curva pK da Fig 4310 mostra a probabilidade de penetração da barreira no caso da colisão de dois prótons As duas curvas da Fig 4310 sugerem que existe uma energia para a qual a probabilidade de fusão é máxima Para energias muito maiores que esse valor é fácil atravessar a barreira mas existem muito poucos prótons disponíveis para atravessála para energias muito menores que esse valor existem muitos prótons disponíveis mas a barreira é alta demais para ser transposta Figura 4310 A curva nK mostra a concentração de prótons por unidade de energia no centro do Sol A curva pK mostra a probabilidade de penetração da barreira eletrostática e portanto a probabilidade de fissão para colisões entre prótons na temperatura do centro do Sol A reta vertical mostra o valor de kT para essa temperatura As escalas verticais das duas curvas são diferentes Teste 2 Quais das possíveis reações de fusão a seguir não liberam energia a 6Li 6Li b 4He 4He c 12C 12C d 20Ne 20Ne e 35Cl 35Cl e f 14N 35Cl Sugestão Consulte a curva de energias de ligação da Fig 427 Exemplo 4303 Fusão em um gás de prótons Suponha que o próton seja uma esfera de raio R 1 fm Dois prótons com a mesma energia cinética K sofrem uma colisão frontal a Qual deve ser o valor de K para que as partículas sejam imobilizadas momentaneamente pela repulsão eletrostática no momento em que estão se tocando Podemos tomar esse valor de K como uma medida representativa da altura da barreira eletrostática IDEIASCHAVE A energia mecânica E do sistema de dois prótons é conservada quando os prótons se aproximam e se imobilizam momentaneamente Em particular a energia mecânica inicial Ei é igual à energia mecânica Ef no momento em que as partículas estão paradas A energia inicial Ei consiste apenas na energia cinética total 2K dos dois prótons Quando os prótons se imobilizam Ef consiste apenas na energia potencial elétrica U do sistema dada pela Eq 2446 U q1q24pe0r Cálculos A distância r entre os prótons no momento em que se imobilizam é igual à distância 2R entre os centros já que imaginamos que as superfícies dos prótons estão se tocando nesse momento q1 e q2 são iguais a e Assim podemos escrever a lei da conservação de energia Ei Ef na forma Nesse caso temos b Para que temperatura um próton de um gás de prótons possui a energia cinética média calculada no item a ou seja uma energia cinética igual à altura da barreira eletrostática IDEIACHAVE Tratando o gás de prótons como um gás ideal a energia média dos prótons de acordo com a Eq 1924 é Kméd 3kT2 em que k é a constante de Boltzmann Cálculo Explicitando T e usando o resultado do item a obtemos Como a temperatura no centro do Sol é apenas 15 107 K é evidente que as fusões que ocorrem no centro do Sol envolvem prótons com uma energia muito maior que a energia média 435 A FUSÃO TERMONUCLEAR NO SOL E EM OUTRAS ESTRELAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4321 Saber o que é o ciclo prótonpróton que acontece no Sol 4322 Explicar o que vai acontecer depois que o Sol consumir todo o hidrogênio 4323 Explicar como foram formados provavelmente os elementos mais pesados que o hidrogênio e o hélio IdeiasChave A energia do Sol se deve principalmente ao ciclo prótonpróton em que núcleos de hidrogênio se fundem para formar núcleos de hélio Os elementos até A 62 o pico da curva de energia de ligação podem ser produzidos por outros processos de fusão depois que o hidrogênio de uma estrela se esgota A Fusão Termonuclear no Sol e em Outras Estrelas O Sol irradia uma potência de 39 1026 W e vem fazendo isso há bilhões de anos Qual é a origem de tanta energia As reações químicas estão fora de cogitação se o Sol fosse feito de carvão e oxigênio nas proporções corretas para que houvesse combustão o carvão se esgotaria em menos de 1000 anos Outra possibilidade é a de que o Sol esteja encolhendo lentamente por ação de sua própria força gravitacional Transformando a energia potencial gravitacional em energia térmica o Sol poderia produzir energia durante muito mais tempo Mesmo assim os cálculos mostram que o tempo de vida associado a esse mecanismo seria muito menor do que a idade do Sol A única possibilidade que resta é a fusão termonuclear O Sol como vamos ver não queima carvão e sim hidrogênio e o faz em uma fornalha nuclear não em uma fornalha química A reação de fusão que ocorre no Sol é um processo de várias etapas no qual o hidrogênio se transforma em hélio o hidrogênio pode ser considerado o combustível e o hélio as cinzas A Fig 4311 mostra o ciclo prótonpróton pp do processo de fusão O ciclo pp começa com a colisão de dois prótons 1H 1 1H para formar um dêuteron 2H com a criação simultânea de um pósitron e1 e um neutrino n O pósitron logo encontra um elétron livre e2 do Sol e as duas partículas se aniquilam mutuamente veja o Módulo 213 a energia de repouso das partículas é convertida em dois raios gama γ Dois desses eventos aparecem na parte superior da Fig 4311 Esses eventos são extremamente raros na verdade apenas uma em cada 1026 colisões prótonpróton leva à formação de um dêuteron na maioria dos casos os dois prótons simplesmente ricocheteiam É a lentidão desse gargalo que regula a potência produzida e impede que o Sol seja consumido em uma violenta explosão Apesar da baixa probabilidade da reação existem tantos prótons no Sol que os dêuterons são produzidos à razão de 1012 kgs Quando um dêuteron é produzido logo ele colide com um próton para formar um núcleo de 3He como mostra a parte central da Fig 4311 Dois núcleos de 3He ocasionalmente se encontram o tempo médio para que isso aconteça é 105 anos um tempo relativamente curto para formar uma partícula alfa 4He e dois prótons como mostra a parte de baixo da figura Figura 4311 O ciclo prótonpróton responsável pela produção de energia no Sol No processo quatro prótons se fundem para formar uma partícula alfa 4He com uma liberação de energia de 267 MeV Levando em conta todas as reações mostradas da Fig 4311 o ciclo pp resulta na combinação de quatro prótons e dois elétrons para formar uma partícula alfa dois neutrinos e seis raios gama Acrescentando dois elétrons a ambos os membros da Eq 4310 obtemos As grandezas entre parênteses representam átomos e não núcleos de hidrogênio e hélio Isso nos permite calcular a energia liberada pela reação da Eq 4310 e da Eq 4311 como a diferença entre a energia de repouso de um átomo de hélio 4 e a energia de repouso de quatro átomos de hidrogênio Q Δm c2 4002 603 u 41007 825 u9315 MeVu 267 MeV em que 4002 603 u é a massa de um átomo de hélio 4 e 1007 825 u é a massa de um átomo de hidrogênio Os neutrinos têm massa de repouso insignificante e a massa de repouso dos raios γ é zero assim essas partículas não entram no cálculo da energia de desintegração O mesmo valor é obtido como não podia deixar de ser somando os valores de Q para os diferentes estágios do ciclo prótonpróton na Fig 4311 Temos Q 2042 MeV 2102 MeV 2549 MeV 1286 MeV 267 MeV Cerca de 05 MeV dessa energia é removido do Sol pelos dois neutrinos que aparecem nas Eqs 4310 e 4311 o resto 262 MeV é incorporado ao centro no Sol na forma de energia térmica Essa energia térmica é gradualmente transportada para a superfície solar de onde é irradiada para o espaço na forma de ondas eletromagnéticas entre elas as da luz visível A queima de hidrogênio vem acontecendo no Sol há mais ou menos 5 bilhões de anos e os cálculos mostram que existe hidrogênio suficiente para mais uns 5 bilhões de anos Depois desse tempo a parte central do Sol que a essa altura será constituída principalmente de hélio começará a esfriar e o Sol sofrerá um processo de encolhimento por causa de sua própria gravidade Isso aumentará a temperatura e fará as camadas externas se expandirem transformando o Sol em uma gigante vermelha Se a temperatura no centro do Sol chegar de novo a cerca de 108 K o processo de fusão começará novamente só que dessa vez queimando hélio para produzir carbono Quando uma estrela evolui e se aquece ainda mais outros elementos podem ser formados por outras reações de fusão Entretanto elementos mais pesados que os que estão nas proximidades do máximo da curva de energia de ligação da Fig 427 como o ferro e o níquel não podem ser formados por reações de fusão Acreditase que esses elementos sejam produzidos por captura de nêutrons durante as explosões de estrelas conhecidas como supernovas Fig 4312 nas quais a camada externa de uma estrela é ejetada para o espaço sideral onde se mistura com o meio tênue que existe entre as estrelas É a partir desse meio constantemente enriquecido pelos resíduos de explosões estelares que novas estrelas se formam por condensação sob a influência da força gravitacional Cortesia de Anglo Australian Telescope Board Figura 4312 a A seta mostra a estrela Sanduleak antes de 1987 b Em 1987 começamos a receber a luz da supernova em que a estrela se tornou batizada como SN1987a o brilho da supernova era 100 milhões de vezes maior que o brilho do Sol e ela podia ser observada a olho nu embora estivesse fora da nossa Galáxia A abundância na Terra de elementos mais pesados que o hidrogênio e o hélio sugere que nosso sistema solar se condensou a partir de uma nuvem interestelar que continha os restos dessas explosões Assim todos os elementos à nossa volta incluindo aqueles de que é feito nosso corpo foram produzidos no interior de estrelas que já não existem mais Como disse um cientista Na verdade somos filhos das estrelas Exemplo 4304 Consumo de hidrogênio no Sol Qual é a taxa de consumo de hidrogênio dmdt para o ciclo pp da Fig 4311 em uma estrela como o Sol IDEIACHAVE A taxa de produção de energia dEdt no interior do Sol é igual à potência P irradiada pelo Sol Cálculos Para introduzir a taxa de consumo de hidrogênio dmdt na equação da potência podemos escrevêla na forma em que ΔE é a energia produzida quando uma massa Δm de prótons é consumida De acordo com o que vimos neste módulo uma energia térmica de 262 MeV 420 1012 J é produzida quando quatro prótons são consumidos Desse modo ΔE 420 10 12 J para um consumo de massa Δm 4 167 1027 kg Substituindo esses valores na Eq 4312 e usando a potência P do Sol dada no Apêndice C obtemos Assim uma grande quantidade de hidrogênio é consumida pelo Sol a cada segundo Entretanto o leitor não deve se preocupar muito com isso já que existe hidrogênio suficiente no Sol 2 1030 kg para manter a fornalha nuclear em operação por um longo tempo 436 A FUSÃO NUCLEAR CONTROLADA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4324 Conhecer os três requisitos de um reator de fusão 4325 Conhecer o critério de Lawson 4326 Saber a diferença entre confinamento magnético e confinamento inercial IdeiasChave Ainda não foi possível usar a fusão controlada para gerar energia As reações de fusão mais promissoras para esse fim são as reações dd e dt Um reator de fusão deve atender ao critério de Lawson nt 1020 sm3 e o plasma deve operar a uma temperatura suficientemente elevada Em um tokamak o plasma é confinado por um campo magnético 1 2 3 A fusão a laser se baseia no confinamento inercial A Fusão Nuclear Controlada A primeira reação termonuclear terrestre aconteceu em 1o de novembro de 1952 no Atol de Eniwetok onde os Estados Unidos detonaram uma bomba de fusão liberando uma energia equivalente a 10 milhões de toneladas de TNT As altas temperaturas e densidades necessárias para iniciar a reação foram conseguidas usando uma bomba de fissão como espoleta Uma fonte constante e controlada de energia de fusão um reator de fusão usado para gerar energia elétrica por exemplo é um objetivo muito mais difícil de ser atingido Mesmo assim essa meta vem sendo ativamente perseguida em vários países do mundo já que muitos acreditam que o reator de fusão seja a fonte de energia do futuro pelo menos para a produção de eletricidade O ciclo pp que aparece na Fig 4311 não se presta a esse tipo de aplicação porque é excessivamente lento O processo funciona bem no Sol apenas por causa da enorme concentração de prótons no centro do astro As reações mais promissoras para uso terrestre parecem ser duas reações dêuterondêuteron dd e a reação dêuterontríton dt O núcleo do isótopo de hidrogênio 3H trítio é chamado de tríton Tratase de um radionuclídeo com uma meiavida de 123 anos A abundância isotópica do deutério a fonte de dêuterons para essas reações é de apenas 1 parte em 6700 mas esse isótopo do hidrogênio pode ser extraído em quantidades praticamente ilimitadas da água do mar Os defensores da energia nuclear argumentam que depois que os combustíveis fósseis se esgotarem teremos apenas duas escolhas queimar pedra fissão do urânio extraído de rochas ou queimar água fusão do deutério extraído da água Um reator termonuclear deve atender três requisitos Uma Alta Concentração de Partículas n A concentração de partículas número de dêuterons por unidade de volume digamos deve ser suficiente para assegurar um grande número de colisões por unidade de tempo Nas altas temperaturas utilizadas o deutério certamente estará totalmente ionizado formando um plasma gás ionizado de dêuterons e elétrons Uma Alta Temperatura do Plasma T O plasma deve estar muito quente caso contrário os dêuterons não terão energia suficiente para vencer a barreira eletrostática que tende a mantêlos afastados Uma temperatura de plasma de 35 keV correspondente a 4 108 K já foi conseguida em laboratório tratase de uma temperatura cerca de 30 vezes maior que a do centro do Sol Um Longo Tempo de Confinamento τ Um problema difícil é conter o plasma durante um tempo suficiente para que as reações de fusão ocorram É evidente que nenhum recipiente sólido pode suportar as altas temperaturas necessárias para a fusão de modo que é preciso usar outras técnicas de confinamento duas das quais serão discutidas a seguir Como foi demonstrado pelo cientista americano J D Lawson para que um reator termonuclear baseado na reação dt produza mais energia do que consome a seguinte relação deve ser satisfeita Essa condição conhecida como critério de Lawson mostra que temos uma escolha entre confinar muitas partículas por pouco tempo ou poucas partículas por muito tempo Além de satisfazer essa condição também é preciso manter o plasma a uma temperatura suficientemente elevada Duas abordagens para a geração de energia por meio da fusão controlada estão sendo investigadas Embora nenhuma das duas tenha sido bemsucedida até o momento ambas estão sendo testadas porque são consideradas promissoras e por causa da possibilidade de que a fusão controlada venha a resolver os problemas da energia que o mundo enfrenta atualmente Confinamento Magnético Uma forma de conseguir a fusão controlada é conter o material a ser fundido em uma armadilha formada por campos magnéticos daí o nome confinamento magnético Em uma das versões dessa abordagem um campo magnético de forma apropriada é usado para confinar o plasma em uma câmara de forma toroidal chamada tokamak o nome é formado pelas primeiras sílabas de três palavras do russo toroidál toroidal kámera câmara e aksiál axial As forças magnéticas que agem sobre as partículas carregadas do plasma evitam que as partículas se aproximem das paredes da câmara Figura 4313 As pequenas esferas sobre a moeda foram feitas de uma mistura de deutério e trítio para serem usadas em uma câmara de fusão a laser O plasma é aquecido induzindo uma corrente elétrica no plasma e bombardeandoo com um feixe de partículas aceleradas externamente O primeiro objetivo dos testes é atingir o equilíbrio breakeven que ocorre quando o critério de Lawson é satisfeito O objetivo final é conseguir a ignição que corresponde a uma reação termonuclear autossustentada com um ganho líquido de energia Confinamento Inercial Em uma segunda abordagem conhecida como confinamento inercial uma pequena esfera de combustível sólido é bombardeada de todos os lados por raios laser de alta intensidade que fazem o material da superfície evaporar A evaporação produz uma onda de choque que comprime a parte central da esfera aumentando drasticamente a densidade e a temperatura do material O processo é chamado de confinamento inercial porque o que impede que o plasma escape da região central durante o curto período em que a esfera é aquecida pelos raios laser é a inércia do material A fusão a laser usando a técnica do confinamento inercial está sendo investigada em vários laboratórios dos Estados Unidos e outros países No Lawrence Livermore Laboratory por exemplo situado no estado americano da Califórnia esferas de uma mistura de deutério e trítio menores que um grão de areia veja a Fig 4313 são submetidas a pulsos sincronizados de 10 lasers de alta potência distribuídos simetricamente Os pulsos são planejados para fornecer no total uma energia de 200 kJ a cada esfera em menos de um nanossegundo Isso corresponde a uma potência de 2 1014 W ou seja 100 vezes mais que a potência elétrica instalada em todo o mundo Exemplo 4305 Número de partículas e critério de Lawson para a fusão a laser Uma esfera de combustível de um reator de fusão a laser contém números iguais de átomos de deutério e trítio e nenhum outro material A massa específica d 200 kgm3 da esfera é multiplicada por 1000 quando a esfera é atingida pelos pulsos dos lasers a Quantos átomos por unidade de volume a esfera contém no estado comprimido A massa molar Md dos átomos de deutério é 20 103 kgmol e a massa molar Mt dos átomos de trítio é 30 103 kgmol IDEIACHAVE No caso de um sistema que contém apenas um tipo de partícula podemos escrever a massa específica do sistema em termos da massa e concentração número por unidade de volume das partículas Seja n o número total de partículas por unidade de volume na esfera comprimida Nesse caso como sabemos que a esfera contém um número igual de átomos de deutério e trítio o número de átomos de deutério por unidade de volume é n2 e o número de átomos de trítio por unidade de volume é também n2 Cálculos Podemos aplicar a Eq 4317 a um sistema formado por dois tipos de partículas escrevendo a massa específica d da esfera comprimida como uma combinação das massas específicas das partículas em que md e mt são as massas de um átomo de deutério e de um átomo de trítio respectivamente Podemos substituir essas massas pelas massas molares usando as relações em que NA é o número de Avogadro Fazendo essas substituições e levando em conta que d 1000d podemos explicitar n na Eq 4318 para obter o que nos dá b De acordo com o critério de Lawson uma vez atingida uma temperatura suficientemente elevada por quanto tempo essa massa específica deve ser mantida para que a produção de energia seja igual ao consumo IDEIACHAVE Para que haja uma situação de breakeven a densidade específica deve ser mantida por um período de tempo τ dado pela Eq 43 16 nτ 1020 sm3 Cálculo Temos Revisão e Resumo Energia Nuclear Os processos nucleares produzem um milhão de vezes mais energia por unidade de massa que os processos químicos Fissão Nuclear A Eq 431 descreve a fissão do 236U que é formado quando o 235U captura um nêutron térmico Nas Eqs 432 e 433 são mostradas as cadeias de decaimento de produtos da fissão A energia liberada em um evento de fissão é da ordem de 200 MeV A fissão pode ser explicada pelo modelo coletivo que se baseia em uma analogia entre o núcleo e uma gota de líquido carregada eletricamente que recebe uma energia de excitação Para que a fissão ocorra os fragmentos devem vencer por tunelamento uma barreira de potencial isso só é possível se a energia de excitação En for da mesma ordem que a altura da barreira Eb Os nêutrons liberados durante a fissão tornam possível uma reação em cadeia A Fig 435 mostra o equilíbrio de nêutrons em um reator nuclear típico e a Fig 436 mostra o diagrama esquemático de um reator nuclear Fusão Nuclear A fusão de dois núcleos leves um processo que libera energia é inibida por uma barreira de potencial que se deve à repulsão eletrostática de duas cargas positivas A fusão de átomos em grande escala só acontece se a temperatura for suficiente ou seja se a energia dos núcleos for suficiente para que os núcleos vençam a barreira A principal fonte de energia do Sol é a queima termonuclear de hidrogênio para formar hélio no ciclo prótonpróton representado na Fig 4311 Os elementos até A 62 o pico da curva de energia de ligação podem ser produzidos por outros processos de fusão depois que o suprimento de hidrogênio de uma estrela se esgota Os elementos mais pesados não podem ser formados por reações de fusão acreditase que sejam produzidos por captura de nêutrons durante as explosões de estrelas conhecidas como supernovas Fusão Controlada A fusão termonuclear controlada pode vir a ser uma importante fonte de energia As reações dd e dt são as mais promissoras Um reator de fusão deve satisfazer o critério de Lawson além de manter o plasma a uma temperatura suficientemente elevada para que as fusões ocorram Em um tokamak o plasma é confinado por campos magnéticos na fusão a laser utilizase o confinamento inercial Perguntas 1 No processo de fissão quais são os números que devem aparecer a no quadrado de cima o índice superior e b no quadrado de baixo o valor de Z 2 Se um processo de fusão envolve a absorção de energia a energia média de ligação por núcleon aumenta ou diminui 3 Suponha que um núcleo de 238U absorva um nêutron e decaia não por fissão mas por emissão beta menos emitindo um elétron e um neutrino Qual é o nuclídeo resultante 239Pu 238Np 239Np ou 238Pa 4 Os fragmentos iniciais da fissão têm mais prótons que nêutrons mais nêutrons que prótons ou aproximadamente o mesmo número de prótons e nêutrons 5 Na reação de fissão 235U n X Y 2n coloque os nuclídeos a seguir que podem tomar o lugar de X ou de Y em ordem de probabilidade começando pelo mais provável 152Nd 140I 128In 115Pd 105Mo Sugestão Veja a Fig 431 6 Para obter elementos muito pesados que não existem na natureza os pesquisadores provocam colisões de núcleos de porte médio com núcleos pesados Em algumas colisões os núcleos se fundem para formar um dos elementos muito pesados Nesse tipo de evento a massa do produto é maior ou menor que a massa dos núcleos envolvidos na colisão 7 Quando um núcleo se divide em dois núcleos menores com liberação de energia a energia de ligação média por núcleo aumenta ou diminui 8 Quais dos seguintes elementos não são produzidos por fusões termonucleares no interior das estrelas carbono silício cromo bromo 9 O critério de Lawson para a reação dt Eq 4316 é nτ 1020 sm3 Para a reação dd o número do lado direito da desigualdade deve ser igual menor ou maior 10 Cerca de 2 da energia gerada no centro do Sol pela reação pp é transportada para fora do Sol por neutrinos A energia associada a esse fluxo de neutrinos é igual maior ou menor que a energia irradiada da superfície solar na forma de ondas eletromagnéticas 11 Um reator nuclear está operando em certo nível de potência com o fator de multiplicação k ajustado para 1 Se as barras de controle são usadas para reduzir a potência do reator a 25 do valor inicial o novo fator de multiplicação é ligeiramente menor que 1 muito menor que 1 ou continua igual a 1 12 Escolha nos pares a seguir o nuclídeo mais provável como fragmento inicial de um evento de fissão a 93Sr ou 93Ru b 140Gd ou 140I c 155Nd ou 155Lu Sugestão Consulte a Fig 425 e a tabela periódica e leve em conta o número de nêutrons Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 431 Fissão Nuclear 1 O 235U decai por emissão alfa com uma meiavida de 70 108 anos Também decai raramente por fissão espontânea se o decaimento alfa não acontecesse a meiavida desse nuclídeo exclusivamente por fissão espontânea seria 30 1017 anos a Qual é o número de fissões espontâneas por dia em 10 g de 235U b Quantos eventos de decaimento alfa do 235U acontecem para cada evento de fissão espontânea 2 Uma energia de 42 MeV é necessária para fissionar o 238Np Para remover um nêutron desse nuclídeo é necessária uma energia de 50 MeV O 237Np pode ser fissionado por nêutrons térmicos 3 Um nêutron térmico com energia cinética desprezível é absorvido por um núcleo de 238U Qual é o valor da energia convertida de energia de repouso do nêutron em oscilação do núcleo A lista a seguir mostra a massa do nêutron e de alguns isótopos do urânio 237U 237048 723 u 238U 238050 782 u 239U 239054 287 u 240U 240056 585 u n 1008 664 u 4 As propriedades de fissão do isótopo do plutônio 239Pu são muito semelhantes às do 235U A energia média liberada por fissão é 180 MeV Qual seria a energia liberada em MeV se todos os átomos contidos em 100 kg de 239Pu puro sofressem fissão 5 Durante a Guerra Fria o primeiroministro da União Soviética ameaçou os Estados Unidos com ogivas nucleares de 20 megatons de 239Pu Cada ogiva teria o poder explosivo equivalente a 20 megatons de TNT um megaton de TNT libera uma energia de 26 1028 MeV Se a fissão ocorre em 800 dos átomos de plutônio qual é a massa total de plutônio presente em uma dessas ogivas 6 ad Complete a tabela a seguir que se refere à reação de fissão genérica 235U n X Y bn X Y b 140Xe a 1 139I b 2 c 100Zr 2 141Cs 92Rb d 7 Qual deve ser o número de núcleos por segundo de 235U fissionados por nêutrons para que seja desenvolvida uma potência de 10 W Suponha que Q 200 MeV 8 a Calcule a energia de desintegração Q para a fissão do 98Mo em dois fragmentos iguais As massas envolvidas são 97905 41 u 98Mo e 48950 02 u 49Sc b Se Q for positiva explique por que o processo não ocorre espontaneamente 9 a Quantos átomos existem em 10 kg de 235U puro b Qual seria a energia em joules liberada pela fissão completa de 10 kg de 235U Suponha que Q 200 MeV c Durante quanto tempo essa energia manteria acesa uma lâmpada de 100 W 10 Calcule a energia liberada na reação de fissão 235U n 141Cs 93Rb 2n As massas das partículas envolvidas são 235U 235043 92 u 93Rb 92921 57 u 141Cs 140919 63 u n 1008 66 u 11 Calcule a energia de desintegração Q para a fissão do 52Cr em dois fragmentos iguais As massas envolvidas são 52Cr 51940 51 u 26Mg 25982 59u 12 Considere a fissão do 238U por nêutrons rápidos Em um desses eventos de fissão nenhum nêutron foi emitido e os produtos finais estáveis depois do decaimento beta dos produtos primários da fissão foram o 140Ce e o 99Ru a Quantos eventos de decaimento beta ocorreram no total considerando os dois fragmentos b Calcule o valor de Q para este processo de fissão As massas envolvidas são 238U 238050 79 u 140Ce 139905 43 u n 1008 66 u 99Ru 98905 94 u 13 Suponha que imediatamente após a fissão do 236U conforme a reação da Eq 431 os núcleos de 140Xe e 94Sr estejam tão próximos que as superfícies dos dois núcleos se toquem a Supondo que os núcleos sejam esféricos calcule a energia potencial elétrica em MeV associada à repulsão mútua dos fragmentos Sugestão Use a Eq 423 para calcular o raio dos fragmentos b Compare essa energia com a energia liberada em um evento de fissão típico 14 Um núcleo de 236U sofre fissão e se parte em dois fragmentos de massa média 140Xe e 96Sr a Qual é a diferença percentual entre a área da superfície dos produtos de fissão e a área da superfície do núcleo original b Qual é a diferença percentual de volume c Qual é a diferença percentual de energia potencial elétrica A energia potencial elétrica de uma esfera uniformemente carregada de raio r e carga Q é dada por 15 Uma bomba atômica de 66 quilotons é feita de 235U puro Fig 4314 e apenas 40 do material sofre fissão a Qual é a massa de urânio na bomba Não é 66 quilotons essa é a energia produzida pela bomba expressa em termos da massa de TNT necessária para produzir a mesma energia b Quantos fragmentos primários de fissão são produzidos c Quantos nêutrons são gerados nas fissões e liberados no ambiente Em média cada fissão produz 25 nêutrons Cortesia de Martin Marietta Energy SystemsUS Department of Energy Figura 4314 Problema 15 Um botão de 235U pronto para ser refundido usinado e incorporado a uma ogiva nuclear 16 Em uma bomba atômica a liberação de energia se deve à fissão não controlada de 239Pu ou 235U O poder explosivo da bomba é expresso em termos da massa de TNT necessária para produzir a mesma liberação de energia A explosão de um megaton 106 toneladas de TNT libera uma energia de 26 1028 MeV a Calcule o poder explosivo em megatons de uma bomba atômica que contém 95 kg de 239Pu dos quais 25 kg sofrem fissão Veja o Problema 4 b Por que os outros 925 kg de 239Pu são necessários se não sofrem fissão 17 Em um evento no qual o 235U é fissionado por um nêutron térmico nenhum nêutron é emitido e um dos fragmentos primários da fissão é o 83Ge a Qual é o outro fragmento A energia de desintegração é Q 170 MeV Que parte dessa energia vai b para o 83Ge e c para o outro fragmento Calcule a velocidade logo após a fissão d do 83Ge e e do outro fragmento Módulo 432 O Reator Nuclear 18 Um reator de fissão de 200 MW consumiu metade do combustível em 300 anos Qual era a quantidade inicial de 235U Suponha que toda a energia tenha sido produzida a partir da fissão de 235U e que esse nuclídeo tenha sido consumido apenas pelo processo de fissão 19 O tempo de geração de nêutrons tger de um reator é o tempo médio necessário para que um nêutron rápido emitido em uma fissão seja termalizado e portanto possa produzir outra fissão Suponha que a potência de um reator no instante t 0 é P0 Mostre que a potência do reator em um instante t 0 é dada por Pt P0kttger em que k é o fator de multiplicação Para k 1 a potência se mantém constante independentemente do valor de tger 20 Um reator está operando a 400 MW com um tempo de geração de nêutrons veja o Problema 19 de 300 ms Se a potência aumenta durante 500 minutos com um fator de multiplicação de 10003 qual é a potência no final desse intervalo 21 A energia térmica gerada quando as emissões de radionuclídeos são absorvidas pela matéria serve de base para a construção de pequenas fontes de energia usadas em satélites sondas espaciais e estações meteorológicas situadas em locais de difícil acesso Esses radionuclídeos são produzidos em grande quantidade nos reatores nucleares e podem ser separados quimicamente dos outros rejeitos da fissão Um dos radionuclídeos mais usados para esse fim é o 238Pu T12 877 anos que é um emissor alfa com Q 550 MeV Qual é a potência desenvolvida por 100 kg desse material 22 O tempo de geração de nêutrons tger veja o Problema 19 em um reator é 10 ms Se o reator está operando com uma potência de 500 MW quantos nêutrons livres estão presentes no reator em um dado instante 23 O tempo de geração de nêutrons veja o Problema 19 em um reator é 13 ms O reator está operando com uma potência de 1200 MW Para que sejam realizados alguns testes de rotina a potência do reator deve ser reduzida temporariamente para 35000 MW Desejase que a transição para o novo regime leve 26000 s Para qual novo valor constante deve ser ajustado o fator de multiplicação para que a transição aconteça da forma prevista 24 Veja o Problema 21 Entre os muitos produtos de fissão que podem ser extraídos quimicamente do combustível irradiado de um reator nuclear está o 90Sr T12 29 anos A radioatividade desse isótopo que é produzido em reatores de grande porte à taxa de cerca de 18 kgano é capaz de desenvolver uma potência térmica de 093 Wg a Calcule a energia de desintegração efetiva Qef associada ao decaimento de um núcleo de 90Sr O valor de Qef inclui as contribuições de todos os produtos da cadeia de decaimento do 90Sr com exceção dos neutrinos cuja energia é totalmente perdida b Desejase construir uma fonte de alimentação capaz de gerar 150 W de eletricidade para uso em um transmissor submarino de sonar usado para guiar embarcações Se a fonte utiliza a energia térmica gerada pelo 90Sr e se a eficiência da conversão termelétrica é 50 qual é a quantidade necessária de 90Sr 25 a Um nêutron de massa mn e energia cinética K sofre uma colisão elástica frontal com um átomo estacionário de massa m Mostre que a fração de energia cinética perdida pelo nêutron é dada por Determine o valor de ΔKK para os seguintes alvos estacionários b hidrogênio c deutério d carbono e e chumbo f Se inicialmente K 100 MeV quantas colisões desse tipo são necessárias para que a energia cinética do nêutron seja reduzida ao valor térmico 0025 eV se o alvo for o deutério um átomo frequentemente usado como moderador Na prática a eficiência dos moderadores é menor que nesse modelo porque a maioria das colisões não é do tipo frontal Módulo 433 Um Reator Nuclear Natural 26 Quantos anos se passaram desde que a razão 235U238U nos depósitos naturais de urânio era igual a 015 27 Calculase que o reator natural de fissão discutido no Módulo 433 tenha gerado 15 gigawattsanos de energia durante o tempo em que funcionou a Se o reator durou 200000 anos qual foi a potência média de operação b Quantos quilogramas de 235U foram consumidos pelo reator 28 Algumas amostras de urânio retiradas do local onde funcionou o reator natural de fissão discutido no Módulo 433 estavam levemente enriquecidas em 235U em vez de empobrecidas Explique essa observação em termos da absorção de um nêutron pelo isótopo mais abundante do urânio 238U e decaimento do nuclídeo resultante por meio de emissões beta e alfa 29 O urânio natural hoje contém apenas 072 de 235U em mistura com o 238U uma quantidade insuficiente para fazer funcionar um reator do tipo PWR Por essa razão o urânio deve ser enriquecido artificialmente em 235U Tanto o 235U T12 70 108 anos como o 238U T12 45 109 anos são radioativos Quantos anos se passaram desde a época em que o urânio natural com uma razão 235U238U de 30 poderia ter sido usado diretamente em um reator Módulo 434 Fusão Termonuclear O Processo Básico 30 Mostre que a fusão de 10 kg de deutério pela reação 2H 2H 3He n Q 327 MeV pode manter uma lâmpada de 100 W funcionando durante 25 104 anos 31 Calcule a altura da barreira eletrostática para a colisão frontal de dois dêuterons com um raio efetivo de 21 fm 32 Outros métodos além do aquecimento do material têm sido propostos para vencer a barreira eletrostática que impede a fusão nuclear Um desses métodos seria o uso de aceleradores de partículas para acelerar dois feixes de dêuterons e provocar colisões frontais a Que tensão seria necessária para acelerar cada um dos feixes até que os dêuterons tivessem uma energia suficiente para vencer a barreira eletrostática b Por que esse método não é usado atualmente 33 Calcule a altura da barreira eletrostática para a colisão frontal de dois núcleos de 7Li com a mesma energia cinética K Sugestão Use a Eq 423 para calcular o raio dos núcleos 34 Na Fig 4310 a equação de nK a concentração de prótons por unidade de energia é em que n é a concentração total de prótons número de prótons por unidade de volume No centro do Sol a temperatura é 150 107 K e a energia média dos prótons Kméd é 194 keV Calcule a razão entre a concentração de prótons com 500 keV e a concentração de prótons com uma energia igual à energia média Módulo 435 A Fusão Termonuclear no Sol e em Outras Estrelas 35 Suponha que todos os prótons em um gás de prótons possuam uma energia cinética igual a kT em que k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta Se T 1 107 K qual é aproximadamente a distância mínima entre dois prótons 36 Determine o Q do seguinte processo de fusão 2H1 1 1H1 3He2 1 fóton As massas envolvidas são 2H1 2014 102 u 1H1 1007 825 u 3He2 3016 029 u 37 O Sol tem massa de 20 1030 kg e irradia uma potência de 39 1026 W para o espaço a Qual é a taxa em kgs com a qual o Sol transforma a massa em outras formas de energia b Que fração da massa original o Sol perdeu dessa forma desde que começou a queimar hidrogênio há cerca de 45 109 anos 38 Vimos que o Q do ciclo de fusão prótonpróton é 267 MeV Qual é a relação entre esse número e os valores de Q para as diversas reações que compõem o ciclo mostradas na Fig 4311 39 Mostre que a energia liberada quando três partículas alfa se fundem para formar 12C é 727 MeV A massa atômica do 4He é 40026 u e a do 12C é 120000 u 40 Calcule e compare a energia liberada a pela fusão de 10 kg de hidrogênio no interior do Sol e b pela fissão de 10 kg de 235U em um reator nuclear 41 Uma estrela converte todo o hidrogênio em hélio passando a ser composta por 100 de hélio Em seguida converte o hélio em carbono pelo processo triplo alfa 4He 4He 4He 12C 727 MeV A massa da estrela é 46 1032 kg e ela gera energia à taxa de 53 1030 W Quanto tempo leva para converter todo o hélio em carbono 42 Mostre que os três valores de Q dados no texto para as reações da Fig 4311 estão corretos As massas envolvidas são 1H 1007 825 u 4He 4002 603 u 2H 2014 102u e 0000 548 6 u 3He 3016 029 u Sugestão Não confunda as massas atômicas com as massas nucleares e leve em conta a existência de pósitrons entre os produtos de decaimento 43 A Fig 4315 mostra um dos primeiros projetos de uma bomba de hidrogênio O combustível para a fusão é o deutério 2H Uma esfera feita do material é envolvida por uma casca de 235U ou 239Pu cuja fissão explosiva aquece e comprime o deutério fazendo com que atinja altas temperaturas e densidades necessárias para que haja uma reação de fusão autossustentável A reação de fusão é a seguinte 5 2H 3He 4He 1H 2n a Calcule o valor de Q para a reação de fusão As massas atômicas envolvidas aparecem no Problema 42 b Calcule o poder explosivo em megatons da parte de fusão da bomba veja o Problema 16 se ela contiver 500 kg de deutério e se 300 do material sofrer fusão Figura 4315 Problema 43 44 Suponha que a parte central do Sol contenha um oitavo da massa total e ocupe uma esfera de raio igual a um quarto do raio solar Suponha ainda que a parte central seja composta de 35 de hidrogênio em massa e que toda a energia do Sol seja produzida nessa região Se o Sol continuasse a queimar hidrogênio à taxa atual de 62 1011 kgs quanto tempo seria necessário para que todo o hidrogênio fosse consumido A massa do Sol é 20 1030 kg 45 a Calcule quantos neutrinos por segundo são produzidos no Sol supondo que toda a energia solar seja gerada pelo ciclo prótonpróton b De acordo com o resultado do item a quantos neutrinos solares deveriam chegar à Terra por segundo 46 No caso de certas estrelas o ciclo do carbono é mais provável do que o ciclo prótonpróton como forma de gerar energia O ciclo do carbono envolve as seguintes reações a Mostre que esse ciclo de reações é equivalente quando considerado como um todo ao ciclo próton próton da Fig 4311 b Mostre que os dois ciclos como não poderia deixar de ser têm o mesmo valor de Q 47 A queima do carvão acontece de acordo com a reação C O2 CO2 O calor de combustão é 33 107 Jkg de carbono atômico consumido a Expresse esse valor em termos da energia produzida por átomo de carbono b Expresse esse valor em termos da energia produzida por quilograma dos reagentes iniciais carbono e oxigênio c Suponha que o Sol massa 20 1030 kg fosse feito de carbono e oxigênio nas proporções adequadas para a combustão total do carbono produzindo energia à taxa atual 39 1026 W quanto tempo o Sol levaria para queimar todo o combustível Módulo 436 A Fusão Nuclear Controlada 48 Mostre que os valores de Q dados nas Eqs 4313 4314 e 4315 estão corretos As massas envolvidas são 1H 1007 825 u 4He 4002 603 u 2H 2014 102u n 1008 665 u 3H 3016 049 u 49 A água comum contém aproximadamente 00150 em massa de água pesada na qual um dos dois átomos de hidrogênio é substituído por um átomo de deutério 2H Qual seria a potência gerada pela queima de todo o deutério contido em 100 litro de água em 100 dia se fosse possível fazer os átomos de deutério se fundirem segundo a reação 2H 2H 3He n Problemas Adicionais 50 O Q efetivo para o ciclo prótonpróton da Fig 4311 é 262 MeV a Expresse esse valor de Q em termos de energia por quilograma de hidrogênio consumido b A potência do Sol é 39 1026 W Se essa energia é produzida inteiramente pelo ciclo prótonpróton a que taxa o Sol está perdendo hidrogênio c A que taxa o Sol está perdendo massa d Explique a diferença entre os resultados dos itens b e c e A massa do Sol é 20 1030 kg Se o Sol continuar perdendo massa à taxa calculada no item c quanto tempo ele levará para perder 010 da massa total 51 Muitas pessoas temem que ajudar as nações emergentes a desenvolver a tecnologia dos reatores nucleares pode aumentar a probabilidade de uma guerra nuclear já que além de produzir energia os reatores podem ser usados por meio da captura de nêutrons pelo 238U para produzir 239Pu um material que pode ser usado para fazer bombas Que série de reações envolvendo captura de nêutrons e decaimentos beta leva à formação desse isótopo do plutônio 52 Na reação de fusão dêuterontríton da Eq 4315 qual é a energia cinética a da partícula alfa e b do nêutron Despreze a energia cinética das duas partículas do lado esquerdo da equação em presença das outras energias envolvidas 53 Mostre que como é dito no Módulo 431 os nêutrons em equilíbrio com o meio à temperatura ambiente 300 K têm energia cinética de aproximadamente 004 eV 54 Mostre que como informa a Tabela 431 as fissões do 235U contido em 10 kg de UO2 enriquecido de tal forma que o 235U constitui 3 do urânio total poderiam manter acesa uma lâmpada de 100 W durante 690 anos 55 No centro do Sol a massa específica é 15 105 kgm3 e a composição é 35 de hidrogênio e 65 de hélio em massa a Qual é o número de prótons por unidade de volume no centro do Sol b Qual é a razão entre esse número e o número de moléculas por unidade de volume de um gás ideal nas condições normais de temperatura 0oC e pressão 101 105 Pa 56 A expressão da distribuição de velocidades de Maxwell das moléculas de um gás é dada no Capítulo 19 a Mostre que a energia mais provável é dada por Mostre que esse resultado está correto para a curva nK da Fig 4310 que foi traçada para T 15 107 K b Mostre que a velocidade mais provável é dada por Calcule o valor de vp para o caso de prótons a uma temperatura T 15 107 K c Mostre que a energia correspondente à velocidade mais provável que não é a mesma coisa que a energia mais provável é dada por Kvp kT Assinale esse ponto na curva de nK da Fig 4310 57 Suponha que o raio da esfera de combustível do Exemplo 4305 antes de ser comprimida seja 20 μm Se a esfera depois de ser comprimida queima com uma eficiência de 10 ou seja se 10 dos dêuterons e 10 dos trítons sofrem a reação de fusão da Eq 4315 a qual é a energia liberada na explosão de uma única esfera b Qual é a energia equivalente em gramas de TNT O calor de combustão do TNT é 46 MJkg c Se um reator de fusão faz 100 esferas explodirem por segundo qual é a potência desenvolvida pelo reator Parte dessa potência seria usada para alimentar os lasers 58 Suponha que a temperatura do plasma em um reator de fusão a laser seja 1 108 K a Qual é a velocidade mais provável de um dêuteron a essa temperatura b Qual é a distância percorrida por um dêuteron com essa velocidade em um tempo de confinamento de 1 1012 s 1Na verdade ao contrário do que acontece nos reatores nucleares os nêutrons responsáveis pelas fissões nas bombas atômicas não são nêutrons térmicos e sim nêutrons rápidos que também são capazes de fissionar o 235U embora com menor probabilidade que os nêutrons térmicos Não é possível fazer uma bomba atômica com 238U porque a probabilidade de que esse isótopo absorva um nêutron de qualquer energia sem sofrer fissão é muito elevada NT 2A foto da Fig 434 é de um teste nuclear realizado em Nevada em 1957 mas dá uma ideia de como deve ter sido o primeiro teste de uma bomba atômica NT 3Do inglês Pressurized Water Reactor NT CAPÍTULO 44 Quarks Léptons e o Big Bang 441 PROPRIEDADES GERAIS DAS PARTÍCULAS ELEMENTARES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4401 Saber que existem muitas partículas elementares e que quase todas são instáveis 4402 Saber que as mesmas equações usadas para estudar o decaimento dos nuclídeos radioativos podem ser aplicadas ao decaimento das partículas elementares instáveis 4403 Saber que o spin é o momento angular intrínseco das partículas elementares 4404 Conhecer a diferença entre férmions e bósons e saber qual dos dois tipos de partículas obedece ao princípio de exclusão de Pauli 4405 Conhecer a diferença entre léptons e hádrons e saber quais são os dois tipos de hádrons 4406 Saber o que são antipartículas e o que é a aniquilação mútua de uma partícula e uma antipartícula 4407 Saber a diferença entre a interação forte e a interação fraca 4408 Aplicar as leis de conservação da carga elétrica do momento linear do momento angular e da energia para verificar se uma reação entre partículas elementares é possível IdeiasChave O termo partícula elementar atualmente é aplicado a qualquer partícula menor que um átomo Os termos partícula e antipartícula são aplicados a duas partículas com a mesma massa e alguns números quânticos opostos Os férmions partículas de spin semiinteiro obedecem ao princípio de exclusão de Pauli os bósons partículas de spin inteiro não obedecem ao princípio de exclusão de Pauli O que É Física Os físicos costumam chamar as teorias da relatividade e da física quântica de física moderna para distinguilas das teorias da mecânica newtoniana e do eletromagnetismo maxwelliano que são consideradas física clássica Com o passar dos anos o adjetivo moderna parece cada vez menos apropriado para teorias cujos fundamentos foram estabelecidos nos primeiros anos do século passado Afinal de contas Einstein publicou seu artigo sobre o efeito fotelétrico e o primeiro artigo sobre relatividade restrita em 1905 Bohr propôs um modelo para o átomo de hidrogênio em 1913 e Schrödinger formulou a equação das ondas de matéria em 1926 Mesmo assim a expressão física moderna continua a ser usada para designar essas teorias Neste último capítulo vamos discutir duas linhas de pesquisa que realmente merecem ser chamadas de modernas embora tenham por objetivo investigar o que ocorreu no passado distante Elas giram em torno de duas perguntas aparentemente simples De que é feito o universo Como o universo se tornou o que é atualmente Nas últimas décadas o progresso no estudo dessas questões tem sido considerável Muitas descobertas recentes foram feitas com base em experimentos realizados em grandes aceleradores de partículas Entretanto embora os cientistas continuem a promover colisões entre partículas com energias cada vez mais altas usando aceleradores cada vez maiores são forçados a reconhecer que nenhum acelerador terrestre será capaz de gerar partículas com energia suficiente para testar as teorias mais gerais Só existiu uma fonte de partículas com essas energias o próprio universo no primeiro milissegundo de existência Neste capítulo o leitor encontrará muitos termos pouco familiares e um grande número de partículas exóticas cujos nomes são difíceis de memorizar Se isso deixar você um pouco confuso saiba que esse sentimento é também o dos físicos que participam das pesquisas e que às vezes têm a impressão de que os novos resultados experimentais servem apenas para tornar as coisas ainda mais obscuras A persistência porém é recompensada quando os dados dos físicos experimentais se combinam com novas e ousadas ideias dos físicos teóricos para proporcionar uma visão mais profunda do universo A mensagem principal deste livro é que embora os seres humanos tenham aprendido muita coisa a respeito da física do universo ainda restam muitos mistérios para serem desvendados Partículas Partículas e Mais Partículas Na década de 1930 muitos cientistas acreditavam que o problema da estrutura básica da matéria estava muito próximo de ser resolvido O átomo era constituído por apenas três partículas o elétron o próton e o nêutron A física quântica podia explicar a estrutura do átomo e o decaimento alfa das substâncias radioativas Os mistérios do decaimento beta tinham sido aparentemente resolvidos depois que Enrico Fermi postulara a existência de uma nova partícula o neutrino Havia a esperança de que a aplicação da teoria quântica aos prótons e aos nêutrons levasse em breve a um modelo para a estrutura do núcleo O que mais havia para explicar A euforia não durou muito tempo Antes do final da década começou um período de descoberta de novas partículas que perdura até hoje As novas partículas têm nomes e símbolos como múon μ píon π káon K e sigma Σ Todas as novas partículas são instáveis isto é transformamse espontaneamente em outras partículas segundo as mesmas leis que regem o comportamento dos núcleos instáveis Assim se N0 partículas de um tipo estão presentes em uma amostra no instante t 0 o número N de partículas em um instante t 0 é dado pela Eq 4215 e a taxa de decaimento R é dada pela Eq 4216 em que R0 é a taxa de decaimento no instante t 0 A meiavida T12 a constante de decaimento λ e a vida média τ estão relacionadas pela Eq 4218 A meiavida das novas partículas varia de 1026 a 10223 s Algumas têm um tempo de vida tão curto que não podem ser detectadas diretamente sendo identificadas apenas pelos produtos de decaimento As novas partículas são quase sempre produzidas em colisões frontais entre prótons ou elétrons de alta energia produzidos em aceleradores situados em laboratórios como o Brookhaven National Laboratory perto de Nova York o Fermilab perto de Chicago o CERN perto de Genebra o SLAC perto de San Francisco e o DESY perto de Hamburgo Foram descobertas com o auxílio de detectores cuja sofisticação aumentou até se tornarem tão grandes e complexos como os próprios aceleradores de partículas de algumas décadas atrás Hoje em dia são conhecidas centenas de partículas Para batizálas os físicos esgotaram as letras do alfabeto grego e a maioria é conhecida apenas pelo número de ordem em um catálogo de partículas que é publicado regularmente Para dar sentido a essa profusão de partículas os cientistas procuram classificá las de acordo com critérios simples O resultado é conhecido como ModeloPadrão de partículas Embora seja constantemente questionado pelos físicos teóricos o modelo constitui até o momento a melhor forma de descrever as partículas conhecidas CERN Genebra Um dos detectores do Large Hadron Collider do CERN onde o ModeloPadrão das partículas elementares está sendo testado Para discutir o ModeloPadrão é conveniente dividir as partículas conhecidas de acordo com três propriedades férmionsbósons hádronsléptons e partículasantipartículas Vamos examinar separadamente as três classificações Férmion ou Bóson Todas as partículas possuem um momento angular intrínseco chamado spin que foi discutido no caso de elétrons prótons e nêutrons no Módulo 325 Generalizando a notação usada naquela ocasião podemos escrever a componente do spin em qualquer direção tomada como o eixo z na forma em que ħ h2π ms é o número quântico magnético de spin e s é o número quântico de spin O último pode ter valores positivos semiinteiros ou não negativos inteiros 0 1 2 No caso do elétron por exemplo s Assim o spin de um elétron medido em qualquer direção como a direção z pode ter os valores ou Na prática o termo spin é usado para designar tanto o momento angular intrínseco da partícula o uso correto como o número quântico de spin da partícula s Assim por exemplo costumase dizer que o spin do elétron é As partículas com número quântico de spin semiinteiro como os elétrons são chamadas de férmions em homenagem a Enrico Fermi que juntamente com Paul Dirac descobriu as leis estatísticas que regem o comportamento desse tipo de partícula Os prótons e os nêutrons também têm s e são férmions As partículas com número quântico de spin não negativo inteiro são chamadas de bósons em homenagem ao físico indiano Satyendra Nath Bose que juntamente com Albert Einstein descobriu as leis estatísticas que regem o comportamento desse tipo de partícula Os fótons que têm s 1 são bósons outras partículas da mesma categoria serão discutidas mais adiante Essa pode parecer uma forma trivial de classificar partículas mas é muito importante pela seguinte razão Os férmions obedecem ao princípio de exclusão de Pauli segundo o qual duas partículas não podem ocupar o mesmo estado quântico Os bósons não obedecem ao princípio de exclusão de Pauli o mesmo estado quântico pode ser ocupado por um número ilimitado de bósons Já vimos como é importante o princípio de exclusão de Pauli quando montamos os átomos colocando elétrons nos estados quânticos disponíveis em ordem crescente de energia A aplicação desse princípio permite explicar a estrutura e as propriedades dos elementos e de sólidos como os metais e os semicondutores Como não obedecem ao princípio de exclusão de Pauli os bósons tendem a se acumular nos estados quânticos de menor energia Em 1995 um grupo de cientistas em Boulder Colorado conseguiu produzir um condensado de cerca de 2000 átomos de rubídio 87 que são bósons em um único estado quântico de energia quase nula Para que isso aconteça o vapor de rubídio tem que estar a uma temperatura tão baixa e com uma densidade tão grande que os comprimentos de onda de de Broglie dos átomos sejam maiores que a distância média entre os átomos Quando essa condição é satisfeita as funções de onda dos átomos se superpõem e todo o conjunto se torna um único sistema quântico conhecido como condensado de Bose Einstein Como se pode ver na Fig 441 quando a temperatura cai abaixo de 170 1027 K aproximadamente o sistema colapsa em um único estado quântico no qual a velocidade dos átomos é praticamente nula Hádron ou Lépton Podemos também classificar as partículas em termos das interações fundamentais a que estão sujeitas A interação gravitacional age sobre todas as partículas mas seu efeito é tão pequeno em comparação com o das outras interações que não é preciso levála em consideração no estudo de partículas subatômicas pelo menos no estágio em que se encontram atualmente as pesquisas A interação eletromagnética age sobre todas as partículas que possuem carga elétrica seus efeitos são bem conhecidos e sabemos como leválos em conta em caso de necessidade mas serão praticamente ignorados neste capítulo Figura 441 Gráficos da distribuição de velocidades em um vapor de átomos de rubídio 87 para três temperaturas diferentes A temperatura é maior no gráfico a intermediária no gráfico b e menor no gráfico c O gráfico c mostra um pico acentuado em torno do ponto de velocidade zero isso significa que todos os átomos se encontram no mesmo estado quântico formando o chamado condensado de Bose Einstein Considerado por muitos como o Santo Graal da física atômica o condensado de Bose Einstein havia sido previsto no início do século XX mas só foi observado em 1995 Restam a interação forte que mantém os núcleons unidos para formar os núcleos1 e a interação fraca que está envolvida no decaimento beta e processos semelhantes A interação fraca age sobre todas as partículas a interação forte apenas sobre algumas partículas Podemos portanto classificar as partículas com base nos efeitos da interação forte As partículas que estão sujeitas à interação forte são chamadas de hádrons as partículas que não estão sujeitas à interação forte são chamadas de léptons O próton o nêutron e o píon são hádrons o elétron e o neutrino são léptons Os hádrons podem ser subdivididos em mésons e bárions Enquanto os mésons como o píon são bósons os bárions como o próton e o nêutron são férmions Partícula ou Antipartícula Em 1928 Dirac previu a existência de uma partícula semelhante ao elétron e mas com carga positiva Essa partícula o pósitron e foi descoberta na radiação cósmica em 1932 por Carl Anderson Mais tarde os físicos chegaram à conclusão de que toda partícula possui uma antipartícula Os membros desses pares possuem a mesma massa o mesmo spin cargas elétricas opostas se tiverem carga elétrica e outros números quânticos que ainda não discutimos com sinais opostos A princípio o nome partícula era usado para designar as partículas mais comuns na natureza como os elétrons os prótons e os nêutrons e o nome antipartícula era reservado para partículas mais raras encontradas apenas nos raios cósmicos nos decaimentos das substâncias radioativas e nos aceleradores de partículas Mais tarde porém no caso de partículas menos comuns a atribuição dos nomes partícula e antipartícula passou a ser feita com base em certas leis de conservação que serão discutidas mais adiante Na prática tanto partículas como antipartículas são frequentemente chamadas de partículas Muitas vezes mas nem sempre os físicos representam uma antipartícula colocando uma barra sobre o símbolo da partícula correspondente Assim por exemplo como p é o símbolo do próton p que se lê p barra é o símbolo do antipróton Aniquilação Quando uma partícula encontra sua antipartícula as duas podem se aniquilar mutuamente Nesse caso a partícula e a antipartícula desaparecem e a energia que elas possuíam assume novas formas No caso da aniquilação mútua de um elétron e um pósitron são produzidos dois raios gama Se o elétron e o pósitron estão estacionários no momento da aniquilação a energia total é igual à soma das energias de repouso das duas partículas e é compartilhada igualmente pelos dois fótons Como o momento linear total deve ser conservado os fótons são emitidos em direções opostas Um grande número de átomos de antihidrogênio formados por um pósitron e um antipróton que se mantêm unidos como o elétron e o próton de um átomo de hidrogênio já foi obtido e estudado no CERN De acordo com o ModeloPadrão os níveis de energia de um átomo de antihidrogênio são os mesmos que os de um átomo de hidrogênio Assim qualquer diferença entre as transições eletrônicas do átomo de hidrogênio e as transições positrônicas do átomo de antihidrogênio do primeiro estado excitado para o estado fundamental por exemplo seria uma indicação de que o ModeloPadrão não está totalmente correto Até o momento não foi observada nenhuma diferença Um sistema de antipartículas como é caso por exemplo de um átomo de antihidrogênio recebe o nome de antimatéria para distinguilo de um sistema de partículas comuns matéria No futuro é possível que os cientistas e engenheiros venham a construir objetos feitos de antimatéria entretanto não há indícios de que existam naturalmente corpos de antimatéria Pelo contrário todas as estrelas e galáxias parecem ser feitas de matéria comum Essa é uma observação inesperada pois significa que no início da história no universo algum fator ainda desconhecido fez com que se formasse mais matéria do que antimatéria Interlúdio Antes de tratar da classificação das partículas vamos fazer uma digressão e tentar captar um pouco do espírito da física experimental de partículas analisando um evento típico que aparece na imagem da Fig 442a obtida em uma câmara de bolhas Os rastros mostrados na figura são compostos pelas bolhas que se formam ao longo da trajetória de uma partícula eletricamente carregada quando a partícula atravessa uma câmara com hidrogênio líquido Podemos identificar a partícula responsável por um rastro analisando entre outras coisas a distância entre as bolhas A câmara está imersa em um campo magnético uniforme que encurva a trajetória das partículas positivas no sentido antihorário e a trajetória das partículas negativas no sentido horário Medindo o raio de curvatura de uma trajetória podemos calcular o momento da partícula A Tabela 441 mostra algumas propriedades das partículas e antipartículas envolvidas no evento da Fig 442a mas duas o neutrino e o antineutrino não deixam rastros em uma câmara de bolhas Seguindo a tendência atual as massas das partículas que aparecem na Tabela 441 e nas outras tabelas deste capítulo estão expressas em unidades de MeVc2 A razão é que a energia de repouso aparece com maior frequência que a massa nas equações da física de partículas Assim por exemplo a massa do próton aparece na Tabela 441 como 9383 MeVc2 Para obter a energia de repouso do próton basta multiplicar a massa por c2 para obter o valor desejado 9383 MeV Figura 442 a Fotografia em uma câmara de bolhas de uma série de eventos iniciada por um antipróton que penetra na câmara vindo da esquerda b Os mesmos rastros reforçados para maior nitidez com a identidade das partículas assinalada c Os rastros são curvos porque a câmara está imersa em um campo magnético que modifica a trajetória das partículas que possuem carga elétrica Tabela 441 Particulas e Antiparticulas Envolvidas no Evento da Fig 442 Particula Simbolo Carga q Massa MeVc2 Número Quântico de Spin s Tipo Vida Media Antiparticula Neutrino n 0 1 107 Lépton Estável Elétron e 1 0511 Lépton Estável e Múon μ 1 1057 Lépton 22 106 μ 1 Píon π 1 1396 0 Méson 22 108 π Próton p 1 9383 Bárion Estável Para analisar fotografias como a da Fig 442a os físicos usam as leis de conservação da energia do momento linear do momento angular da carga elétrica e outras leis de conservação que ainda não foram discutidas neste livro A Fig 442a faz parte de um par de fotografias estereoscópicas de modo que na verdade a análise é realizada em três dimensões O evento da Fig 442a foi produzido por um antipróton de alta energia proveniente de um acelerador de partículas do Lawrence Berkeley Laboratory que entrou na câmara pelo lado esquerdo Existem três subeventos distintos um no ponto 1 da Fig 442b outro no ponto 2 e um terceiro fora da figura Vamos discutilos separadamente Aniquilação PrótonAntipróton No ponto 1 da Fig 442b um antipróton rastro azul chocouse com um próton núcleo de um dos átomos de hidrogênio presentes na câmara e as duas partículas se aniquilaram mutuamente Sabemos que a aniquilação ocorreu muito antes que o antipróton perdesse velocidade porque a maioria das partículas produzidas pela colisão se move no mesmo sentido que o antipróton ou seja para a direita na Fig 442 De acordo com a lei de conservação do momento linear o antipróton tinha um momento para a direita no momento em que foi aniquilado Além disso como as partículas possuem carga elétrica e estão submetidas a um campo magnético a curvatura de cada trajetória revela se a partícula é negativa como o antipróton ou positiva Fig 442c A energia total envolvida na colisão do antipróton com o próton é a soma da energia cinética do antipróton com as energias de repouso do próton e do antipróton 2 9383 MeV 18766 MeV A energia é suficiente para criar várias partículas mais leves e fornecer a essas partículas uma energia cinética No evento que estamos examinando o processo de aniquilação produziu quatro píons positivos rastros vermelhos na Fig 442b e quatro píons negativos rastros verdes Vamos supor para simplificar a análise que não foram produzidos raios gama que não deixam rastros O processo de aniquilação pode ser descrito portanto pela reação Podemos ver na Tabela 441 que os píons positivos π são partículas e os píons negativos π são antipartículas A reação da Eq 446 é mediada pela interação forte já que todas as partículas envolvidas são hádrons Vamos verificar se a carga elétrica é conservada na reação Para isso escrevemos a carga elétrica de cada partícula na forma qe em que q é o número quântico de carga Para determinar se a carga elétrica é conservada em uma dada reação basta comparar o número quântico de carga inicial com o número de carga final Na reação da Eq 446 o número quântico de carga inicial é 1 1 0 e o número quântico de carga final é 41 41 0 assim a lei de conservação de carga é respeitada Para verificar se a lei de conservação de energia é respeitada observe que de acordo com o que 2 3 vimos anteriormente a energia após a colisão é no mínimo igual à soma das energias de repouso do próton e do antipróton 18766 MeV Como a energia de repouso de um píon é 1396 MeV a soma das energias de repouso dos oito píons é 8 1396 11168 MeV o que deixa pelo menos cerca de 760 MeV de energia para ser distribuída pelos oito píons na forma de energia cinética Assim a lei de conservação de energia é respeitada Decaimento dos Píons Os píons são partículas instáveis os píons positivos e negativos decaem com uma vida média de 26 108 s a vida média dos píons neutros é muito menor No ponto 2 da Fig 442b um dos píons positivos π decaiu em um antimúon μ rastro roxo e um neutrino ν Como não possui carga elétrica o neutrino não produz um rastro Tanto o antimúon como o neutrino são léptons isto é partículas que não estão sujeitas à interação forte Assim a reação da Eq 447 é mediada pela interação fraca Vamos examinar as energias envolvidas no decaimento De acordo com a Tabela 441 a energia de repouso do antimúon é 1057 MeV e a energia de repouso do neutrino é praticamente zero Assim uma energia de 1396 MeV 1057 MeV 339 MeV pode ser dividida entre o antimúon e o neutrino na forma de energia cinética Vamos verificar se a lei de conservação do momento angular é respeitada na reação da Eq 447 Para isso basta determinar se a componente Sz do spin total em uma direção arbitrária z é a mesma antes e depois da reação Os números quânticos de spin s das partículas envolvidas são 0 para o píon π e 12 para o antimúon μ1 e para o neutrino ν Assim para o píon a componente Sz deve ser igual a 0 enquanto para o antimúon e para o neutrino pode ser ħ2 ou ħ2 Para que o momento angular seja conservado basta que as componentes Sz do momento angular do antimúon e do neutrino tenham sinais opostos A lei de conservação da carga também é respeitada na reação da Eq 447 já que a carga inicial é 1 e a carga final é 1 0 1 Decaimento dos Múons Os múons μ e antimúons μ também são partículas instáveis com uma vida média de 22 106 s Embora nenhum decaimento de um múon ou antimúon apareça na Fig 44 2 o antimúon produzido no ponto 2 e os antimúons resultantes do decaimento dos outros píons decaem espontaneamente de acordo com a reação Como a energia de repouso do antimúon é 1057 MeV e a energia de repouso do pósitron é apenas 0511 MeV resta uma energia de 1052 MeV para ser distribuída na forma de energia cinética pelas três partículas resultantes da reação O leitor deve estar se perguntando Qual é a razão para a presença do antineutrino na Eq 448 Por que o antimúon não decai apenas em um pósitron e um neutrino como o píon decai em um antimúon e em neutrino na Eq 447 Uma das razões é que como o número quântico de spin do antimúon do pósitron e do neutrino é 12 o decaimento do antimúon em um pósitron e um neutrino violaria a lei de conservação do momento angular Outro motivo será discutido no Módulo 442 Exemplo 4401 Momento e energia cinética no decaimento de um píon Um píon positivo estacionário pode decair de acordo com a reação π μ ν Qual é a energia cinética do antimúon μ Qual é a energia cinética do neutrino IDEIACHAVE O decaimento do píon deve respeitar as leis de conservação da energia e do momento linear Conservação da energia Vamos escrever primeiro a equação de conservação da energia total energia de repouso mc2 mais energia cinética K na forma mπc2 Kπ mμc2 Kμ mvc2 Kv Como o píon estava estacionário Kπ 0 Assim usando as massas mπ mμ e mν da Tabela 441 obtemos em que tomamos mn 0 Conservação do momento Para determinar os valores de Kμ e Kν na Eq 449 vamos usar a lei de conservação do momento linear Como o píon estava estacionário no instante do decaimento o múon e o neutrino devem se mover em sentidos opostos após o decaimento Tomando a direção do movimento das duas partículas como eixo de referência podemos escrever para as componentes do momento das partículas em relação a esse eixo pπ pμ pv que com pπ 0 nos dá Relação entre p e K Queremos relacionar os momentos pμ e pν às energias cinéticas Kμ e Kv Como não temos razões para acreditar que a velocidade do múon e do neutrino seja pequena isto é não relativística usamos a Eq 3754 a relação entre momento e energia cinética para velocidades relativísticas De acordo com a Eq 4410 temos Aplicando a Eq 4411 aos dois membros da Eq 4412 obtemos Tomando mv 0 fazendo Kv 339 MeV Kμ de acordo com a Eq 449 e explicitando Kμ obtemos A energia cinética do neutrino é portanto de acordo com a Eq 449 Este resultado mostra que embora os momentos do antimúon e do neutrino sejam iguais em módulo a maior parte 88 da energia cinética vai para o neutrino Exemplo 4402 O valor de Q de uma reação prótonpíon Os prótons do hidrogênio usado em uma câmara de bolhas são bombardeados com antipartículas de alta energia conhecidas como píons negativos A colisão entre um píon e um próton pode dar origem a um káon negativo e a um sigma positivo de acordo com a seguinte reação π p K Σ As energias de repouso das partículas envolvidas são as seguintes π 1396 MeV K 4937 MeV p 9383 MeV Σ 11894 MeV Qual é o Q da reação IDEIACHAVE O Q de uma reação é dado por Cálculo No caso da reação dada temos O sinal negativo significa que a reação é endotérmica ou seja que o píon incidente π deve ter uma energia cinética maior que certo valor mínimo para que a reação ocorra Esse valor mínimo é maior que 605 Mev já que o momento linear deve ser conservado e portanto o káon K e a partícula sigma Σ devem ter uma energia cinética diferente de zero Um cálculo relativístico cujos detalhes não serão discutidos aqui mostra que a energia mínima para a reação ocorrer é 907 MeV 442 LÉPTONS HÁDRONS E ESTRANHEZA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4409 Saber que existem seis léptons e seis antiléptons que podem ser divididos em três famílias com um tipo diferente de neutrino em cada família 4410 Para verificar se uma reação entre partículas elementares é possível determinar se os números leptônicos são conservados exceto no caso dos neutrinos 4411 Saber que existe um número quântico chamado número bariônico associado aos bárions 4412 Para verificar se uma reação entre partículas elementares é possível determinar se o número bariônico é conservado 4413 Saber que existe um número quântico chamado estranheza associado a alguns bárions e mésons 4414 Saber que a estranheza é conservada nas reações medidas pela interação forte mas pode não ser conservada nas reações mediadas por outras interações 4415 Descrever o padrão conhecido como caminho óctuplo IdeiasChave As partículas e antipartículas podem ser classificadas em duas famílias principais léptons e hádrons Os hádrons podem ser divididos em mésons e bárions Três léptons o elétron o múon e o táuon têm carga elétrica e Os outros três léptons o neutrino do elétron o neutrino do múon e o neutrino do táuon não possuem carga elétrica As antipartículas do elétron do múon e do táuon têm carga elétrica e A cada lépton é atribuído um número quântico leptônico os números quânticos leptônicos são conservados exceto no caso dos neutrinos em todas as reações que envolvem léptons O número quântico de spin de todos os léptons é semiinteiro o que significa que todos os léptons são férmions e obedecem ao princípio de exclusão de Pauli Os bárions são hádrons com spin semiinteiro o que significa que são férmions e obedecem ao princípio de exclusão de Pauli Os mésons são hádrons com spin inteiro o que significa que são bósons e não obedecem ao princípio de exclusão de Pauli A cada bárion é atribuído um número quântico bariônico o número quântico bariônico é conservado em todas as reações que envolvem bárions A cada bárion também é atribuído um número quântico de estranheza o número quântico de estranheza é conservado nas reações mediadas pela interação forte mas pode não ser conservado nas reações mediadas por outras interações Os Léptons Neste módulo vamos discutir algumas partículas à luz de uma de nossas classificações a que dividiu as partículas em léptons e hádrons Começamos pelos léptons as partículas que não estão sujeitas à interação forte Entre os léptons que encontramos até agora estão o elétron e o antineutrino que é criado juntamente com o elétron no decaimento beta O múon cujo decaimento é descrito pela Eq 448 também pertence a essa família Os físicos constataram que o neutrino que aparece na Eq 447 associado à produção de um múon não é a mesma partícula que o neutrino produzido no decaimento beta associado ao aparecimento de um elétron O primeiro é chamado de neutrino do múon símbolo νμ e o segundo de neutrino do elétron símbolo νe quando é necessário distinguilos Sabemos que os dois tipos de neutrinos são diferentes porque se um feixe de neutrinos do múon produzidos pelo decaimento de píons de acordo com a reação da Eq 447 incide em um alvo apenas múons são observados entre as partículas produzidas pelas colisões ou seja não são observados elétrons Por outro lado se o alvo é submetido a neutrinos do elétron produzidos pelo decaimento beta de produtos de fissão em um reator nuclear apenas elétrons são observados entre as partículas produzidas pelas colisões ou seja não são observados múons Outro lépton o táuon foi descoberto no SLAC em 1975 o descobridor Martin Perl foi um dos ganhadores do Prêmio Nobel de Física de 1995 Ao táuon está associado um neutrino diferente dos outros dois A Tabela 442 mostra as propriedades dos léptons conhecidos partículas e antipartículas todos possuem um número quântico de spin s Existem razões para dividir os léptons em três famílias cada uma composta por uma partícula elétron múon e táuon o neutrino associado e as antipartículas correspondentes Além disso existem razões para acreditar que existem apenas as três famílias de léptons que aparecem na Tabela 442 Os léptons não possuem estrutura interna nem dimensões mensuráveis comportamse como partículas pontuais nas interações com outras partículas e com as ondas eletromagnéticas Tabela 442 Os Leptonsa Família Partícula Símbolo Massa MeVc2 Carga q Antipartícula Elétron Elétron e 0511 1 e Neutrino do elétronb ve 1 107 0 e Múon Múon μ 1057 1 μ Neutrino do múonb vm 1 107 0 μ Táuon Táuon τ 1777 1 τ Neutrino do táuonb vt 1 107 0 τ aTodos os léptons têm spin 12 e portanto são férmions bAs massas dos neutrinos ainda não são conhecidas com precisão Além disso por causa das oscilações talvez não seja possivel associar um valor diferente de massa a cada tipo de neutrino A Lei de Conservação dos Números Leptônicos De acordo com os experimentos em todas as interações que envolvem léptons são conservados três números quânticos conhecidos como números leptônicos o número leptônico eletrônico Le o número leptônico muônico Lμ e o número leptônico tauônico Lτ Essa observação é conhecida como lei de conservação dos números leptônicos O número quântico Le é igual a 1 para o elétron e para o neutrino do elétron 1 para as antipartículas correspondentes e 0 para todas as outras partículas O número quântico Lμ é igual a 1 para o múon e para o neutrino do múon 1 para as antipartículas correspondentes e 0 para todas as outras partículas O número quântico Lτ é igual a 1 para o táuon e para o neutrino do táuon 1 para as antipartículas correspondentes e 0 para todas as outras partículas Os números leptônicos são conservados exceto no caso dos neutrinos em todas as reações que envolvem léptons Uma importante exceção diz respeito aos neutrinos Por questões que fogem ao escopo deste livro o fato de que os neutrinos possuem massa diferente de zero significa que eles podem oscilar entre os três tipos neutrino do elétron neutrino do múon e neutrino do táuon ao percorrerem grandes distâncias Essas oscilações foram propostas para explicar por que os detectores terrestres registram apenas um terço do número esperado de neutrinos produzidos no Sol pela reação de fusão prótonpróton Fig 43 11 Os neutrinos produzidos na reação de fusão prótonpróton são neutrinos do elétron e os detectores usados para observálos são sensíveis apenas a neutrinos desse tipo Se os neutrinos oscilam entre os três tipos no percurso até a Terra é natural que apenas um terço dos neutrinos cheguem ao nosso planeta na forma de neutrinos do elétron Essas oscilações significam que os números leptônicos não são conservados no caso dos neutrinos Neste livro não vamos levar em conta as oscilações e vamos supor que os números leptônicos são sempre conservados mesmo no caso dos neutrinos Para dar um exemplo concreto vamos considerar novamente a reação de decaimento de um antimúon Eq 448 identificando melhor o neutrino e o antineutrino envolvidos Considere a reação da Eq 4413 em termos da família de múons O μ é uma antipartícula veja a Tabela 442 e portanto possui um número leptônico muônico Lμ 1 As partículas e e νe não pertencem à família do múon logo possuem um número leptônico muônico Lμ 0 O μ sendo uma antipartícula possui um número muônico Lμ 1 Assim Lμ 1 nos dois lados da equação e o número leptônico muônico é conservado Como não existe nenhum membro da família dos elétrons do lado esquerdo da Eq 4413 Le 0 Do lado direito o pósitron e sendo uma antipartícula possui Le 1 o neutrino do elétron νe sendo uma partícula possui Le 1 e o μ como não pertence à família dos elétrons possui Le 0 Assim Le 0 dos dois lados da equação e o número leptônico eletrônico também é conservado Como não existe nenhum membro da família dos táuons nem do lado esquerdo nem do lado direito da equação Lτ 0 dos dois lados da equação Assim os três números quânticos leptônicos Lμ Le e Lτ são os mesmos antes e depois da reação de decaimento descrita pela Eq 4413 com valores constantes 1 0 e 0 respectivamente Teste 1 a O píon positivo π decai de acordo com a reação π μ1 ν A que família de léptons pertence o neutrino ν b Esse neutrino é uma partícula ou uma antipartícula c Qual é o número leptônico correspondente Os Hádrons Vamos agora discutir os hádrons bárions e mésons ou seja as partículas sujeitas à interação forte Começamos por acrescentar uma lei de conservação à nossa lista a lei da conservação do número bariônico Como exemplo dessa lei de conservação considere o hipotético decaimento de um próton A reação anterior nunca foi observada Devemos nos sentir gratos por isso se todos os prótons do universo se transformassem gradualmente em pósitrons as consequências seriam desastrosas Entretanto a reação da Eq 4414 não viola nenhuma das leis de conservação que discutimos até agora incluindo a lei de conservação dos números leptônicos Podemos explicar a estabilidade do próton e também o fato de que muitas outras reações envolvendo hádrons jamais foram observadas introduzindo um novo número quântico o número bariônico B e uma nova lei de conservação a lei de conservação do número bariônico O número bariônico B é igual a 1 para os bárions 1 para os antibárions e 0 para todas as outras partículas As únicas reações possíveis são aquelas em que o número bariônico permanece constante Na reação da Eq 4414 o próton possui um número bariônico B 1 e o pósitron e o neutrino possuem um número bariônico B 0 assim a reação não conserva o número bariônico e não pode acontecer Teste 2 A reação de decaimento de um nêutron que aparece a seguir nunca foi observada n p e Quais das seguintes leis de conservação são violadas pela reação a da energia b do momento angular c do momento linear d da carga e dos números leptônicos f do número bariônico As massas das partículas envolvidas são mn 9396 MeVc2 mp 9383 MeVc2 e me 0511 MeVc2 Mais Uma Lei de Conservação As partículas possuem outras propriedades intrínsecas além das que foram discutidas até agora massa carga spin número leptônico e número bariônico Uma dessas propriedades foi descoberta quando os físicos observaram que certas partículas exóticas como o káon K e a partícula sigma Σ eram sempre produzidas em pares Parecia ser impossível produzir apenas uma dessas partículas em uma reação Assim por exemplo quando um feixe de píons de alta energia interage com prótons em uma câmara de bolhas a reação é observada com frequência Por outro lado a reação que não viola nenhuma das leis de conservação discutidas até agora jamais é observada Para explicar esse comportamento inesperado Murray GellMann nos Estados Unidos e independentemente K Nishijima no Japão propuseram que certas partículas possuem uma propriedade chamada estranheza à qual estão associados um número quântico S e uma lei de conservação O símbolo S não tem nada a ver com spin O nome estranheza se deve ao fato de que as partículas com essa propriedade que não está presente nas partículas comuns eram chamadas de partículas estranhas e o nome pegou O próton o nêutron e o píon têm S 0 ou seja não são partículas estranhas A partícula K tem S 1 e a partícula Σ tem S 1 Na reação da Eq 4415 a estranheza total é 0 antes e depois da reação ou seja a estranheza é conservada e a reação ocorre Por outro lado na reação hipotética da Eq 4416 a estranheza total é 0 antes da reação e 1 depois da reação assim a estranheza não é conservada e a reação não ocorre Aparentemente portanto devemos acrescentar uma nova lei de conservação a nossa lista a lei da conservação de estranheza A estranheza é conservada nas reações que envolvem a interação forte Ao contrário das leis de conservação que foram discutidas até agora a lei de conservação de estranheza não é obedecida em todas as reações mas apenas nas reações que envolvem a interação forte Na verdade todas as partículas com número de estranheza diferente de zero são instáveis e decaem para partículas com S 0 em reações que envolvem a interação fraca Pode parecer um pouco forçado inventar uma nova propriedade das partículas apenas para explicar um pequeno enigma como o apresentado pelas reações das Eqs 4415 e 4416 logo depois porém os físicos usaram a ideia da conservação da estranheza para explicar por que muitas outras reações hipotéticas não podiam ocorrer O leitor não se deve deixar enganar pelo nome a estranheza não é uma propriedade mais misteriosa que a carga elétrica Ambas são propriedades que as partículas podem ou não possuir ambas são descritas por números quânticos apropriados Ambas obedecem a uma lei de conservação Outras propriedades das partículas foram descobertas e receberam nomes ainda mais curiosos como charme e bottomness mas todas são propriedades perfeitamente legítimas Como vamos ver em seguida a propriedade da estranheza disse ao que veio levando os físicos a descobrir importantes regularidades nas propriedades das partículas O Caminho Óctuplo Existem oito bárions entre eles o nêutron e o próton cujo número quântico de spin é outras propriedades desses bárions aparecem na Tabela 443 A Fig 443a mostra o interessante padrão que surge quando a estranheza desses bárions é plotada em função da carga usando para a carga um eixo inclinado Seis dos oito bárions formam um hexágono com os dois bárions restantes no centro Tabela 443 Oito Bárions de Spin ½ Partícula Símbolo Massa MeVc2 Números Quânticos Carga q Estranheza S Próton p 9383 1 0 Nêutron n 9396 0 0 Lambda Λ0 1156 0 1 Sigma Σ 11894 1 1 Sigma Σ0 1925 0 1 Sigma Σ 11973 1 1 Csi Ξ0 13149 0 2 Csi Ξ 13213 1 2 Tabela 444 Nove Mésons de Spin Zeroa Partícula Símbolo Massa MeVc2 Números Quânticos Carga q Estranheza S Píon π0 1350 0 0 Píon π 1396 1 0 Píon π 1396 1 0 Káon K 4937 1 1 Káon K 4937 1 1 Káon K0 4977 0 1 Káon 0 4977 0 1 Eta η 5475 0 0 Eta linha η 9578 0 0 aTodos os mésons têm spin inteiro e portanto são bósons Os que aparecem nesta tabela têm spin 0 Vamos agora passar dos hádrons chamados bárions para os hádrons chamados mésons Existem nove mésons cujo número quântico de spin é 0 outras propriedades desses mésons aparecem na Tabela 444 Quando plotamos a estranheza dos mésons em função da carga usando para a carga um eixo inclinado como na Fig 443b obtemos um hexágono semelhante ao da Fig 443a Estes gráficos e outros semelhantes que caracterizam o chamado caminho óctuplo foram propostos independentemente em 1961 por Murray GellMann do California Institute of Technology e por Yuval Neeman do Imperial College de Londres Os dois padrões da Fig 443 são representativos de um número maior de padrões simétricos nos quais os bárions e mésons podem ser agrupados O padrão do caminho óctuplo para os bárions de spin que não é mostrado neste livro envolve dez partículas dispostas como os pinos de um jogo de boliche Quando o padrão foi proposto apenas nove partículas eram conhecidas o pino da frente estava faltando Em 1962 guiado pela teoria e pela simetria do padrão GellMann fez uma ousada profecia Existe um bárion de spin carga 1 estranheza 3 e energia de repouso 1680 MeV aproximadamente Se procurarem a partícula ômegamenos como proponho que seja chamada estou certo de que a encontrarão Um grupo de físicos liderado por Nicholas Samios do Brookhaven National Laboratory aceitou o desafio e encontrou uma partícula com as propriedades previstas por GellMann Nada como uma comprovação experimental para aumentar a credibilidade de uma teoria O caminho óctuplo fez pela física de partículas o que a tabela periódica fez pela química Nos dois casos existe um padrão bem definido no qual certas lacunas partículas ou elementos faltantes se destacam claramente guiando os experimentadores em suas buscas A existência da tabela periódica sugere que os átomos dos elementos não são partículas fundamentais mas possuem uma estrutura interna Da mesma forma os padrões do caminho óctuplo podem ser considerados uma indicação de que os bárions e mésons possuem uma estrutura interna que é responsável pela regularidade de suas propriedades Essa estrutura pode ser descrita pelo modelo dos quarks que será discutido a seguir Figura 443 a O padrão do caminho óctuplo para os oito bárions de spin da Tabela 443 As partículas são representadas em um gráfico da estranheza em função da carga usando um eixo inclinado para o número quântico de carga b O padrão do caminho óctuplo para os nove mésons de spin zero da Tabela 444 Exemplo 4403 Decaimento do próton conservação dos números quânticos da energia e do momento Verifique se um próton estacionário pode decair de acordo com a seguinte reação p π0 π As propriedades do próton e do píon π1 aparecem na Tabela 441 O píon π0 tem carga zero spin zero e uma energia de repouso de 1350 MeV IDEIACHAVE Precisamos verificar se a reação proposta viola alguma das leis de conservação que foram discutidas até agora Carga elétrica O número quântico de carga é 1 do lado esquerdo do lado direito é 0 1 1 Assim a carga é conservada Os números leptônicos também são conservados já que nenhuma das três partículas é um lépton e portanto os três números leptônicos são nulos nos dois lados da equação Momento linear Como o próton está estacionário com momento linear nulo para que o momento linear seja conservado basta que os dois píons tenham momentos de mesmo módulo e sentidos opostos O fato de que o momento linear pode ser conservado significa que a reação não viola a lei de conservação do momento linear Energia A lei da conservação de energia é respeitada Como o próton está estacionário isso equivale a perguntar se a energia de repouso do próton é maior que a soma das energias de repouso dos píons Para responder à pergunta calculamos o Q da reação O fato de Q ser positivo mostra que a energia de repouso inicial é maior que a energia de repouso final Assim a reação não viola a lei de conservação da energia Spin A lei de conservação do momento angular é respeitada Isso equivale a perguntar se a componente Sz do spin total em relação a um eixo z arbitrário pode ser conservada na reação Os números quânticos de spin envolvidos são 12 para o próton e 0 para os píons assim a componente z do spin do próton pode ser ħ2 ou ħ2 e a componente z do spin da cada píon só pode ser 0 É evidente que a componente Sz não pode ser conservada na reação Isso significa que a reação proposta não pode ocorrer Número bariônico A reação também viola a lei de conservação do número bariônico já que o número bariônico é B 1 para o próton e B 0 para os dois píons Essa é mais uma razão para que a reação proposta seja impossível Exemplo 4404 Decaimento da partícula csimenos conservação dos números quânticos Uma partícula chamada csimenos representada pelo símbolo Ξ decai de acordo com a seguinte reação A partícula Λ0 denominada lambdazero e a partícula π são instáveis As reações a seguir ocorrem em sucessão até que restem apenas partículas estáveis a A partícula Ξ é um lépton ou um hádron Se for um hádron é um bárion ou um méson IDEIASCHAVE 1 Existem apenas três famílias de léptons Tabela 442 e nenhuma inclui a partícula Ξ Assim Ξ só pode ser um hádron 2 Para responder à segunda pergunta precisamos determinar o número bariônico da partícula Ξ Se for 1 ou 1 Ξ é um bárion se for 0 Ξ é um méson Número bariônico Para verificar qual das possibilidades é a correta vamos escrever a reação global colocando do lado esquerdo a partícula inicial Ξ e do lado direito os produtos finais No lado direito o número bariônico do próton é 11 e o número bariônico das outras partículas é 0 Assim o número bariônico total do lado direito é 1 Esse deve ser também o número bariônico da única partícula do lado esquerdo que é a partícula Ξ Assim concluímos que a partícula Ξ é um bárion b Mostre que os três números leptônicos são conservados na reação IDEIACHAVE Como a partícula Ξ não é um lépton os números leptônicos do lado esquerdo da Eq 4415 são todos nulos e portanto os números leptônicos do lado direito também devem ser nulos Números leptônicos Como o número leptônico eletrônico Le é 1 para o elétron 1 para o antineutrino do elétron e e 0 para o neutrino e antineutrino do múon o número leptônico eletrônico total é 0 21 1 20 0 0 Como o número leptônico muônico Lμ é 1 para o neutrino do múon 1 para o antineutrino do múon e 0 para o elétron e o antineutrino do elétron o número leptônico muônico total é 0 20 0 21 1 0 Finalmente o número leptônico tauônico é 0 para todas as partículas do lado direito da reação e portanto o número tauônico total é 0 Esses resultados mostram que os três números leptônicos são conservados na reação c O que se pode dizer a respeito do spin da partícula Ξ IDEIACHAVE A reação global Eq 4417 deve conservar a componente Sz do spin Spin A componente Sz do spin da partícula Ξ a única partícula do lado esquerdo da Eq 4417 é igual à soma das componentes Sz das nove partículas do lado direito As nove partículas possuem número quântico de spin s e portanto a componente Sz de cada uma delas pode ser ħ2 ou ħ2 Como o número de partículas é ímpar a componente Sz total não pode ser um múltiplo inteiro de ħ Assim a componente Sz da partícula Ξ deve ser um múltiplo semiinteiro de ħ o que significa que o número quântico de spin s da partícula Ξ deve ser um número semiinteiro Na verdade o número quântico da partícula Ξ é s 443 QUARKS E PARTÍCULAS MENSAGEIRAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4416 Saber que existem seis quarks 4417 Saber que os bárions contêm três quarks os mésons contêm um quark e um antiquark e muitos desses hádrons são estados excitados da mesma combinação de quarks 4418 Conhecer a combinação de quarks correspondente a um determinado hádron e vice versa 4419 Saber o que são partículas virtuais 4420 Conhecer a relação entre a violação da lei de conservação da energia por uma partícula virtual e o tempo de duração dessa violação uma versão do princípio de indeterminação 4421 Saber quais são as partículas mensageiras da interação eletromagnética da interação fraca e da interação forte IdeiasChave Os seis quarks up down estranho charme bottom e top em ordem crescente de massa têm número bariônico e carga ou A cada quark é atribuído um número quântico específico que é 1 para os quarks de carga positiva e 1 para os quarks de carga negativa Esse número quântico é 0 para todos os outros quarks Os léptons não contêm quarks e não possuem estrutura interna Os mésons contêm um quark e um antiquark Os bárions contêm três quarks A interação eletromagnética que ocorre entre duas partículas que possuem carga elétrica é mediada por fótons virtuais A interação fraca que ocorre entre dois léptons ou entre um lépton e um quark é mediada pelas partículas W e Z A interação forte que ocorre entre dois quarks é mediada por glúons A interação eletromagnética e a interação fraca são diferentes manifestações da mesma interação conhecida como interação eletrofraca O Modelo dos Quarks Em 1964 Murray GellMann e George Zweig observaram independentemente que os padrões do caminho óctuplo podiam ser explicados se os bárions e mésons fossem feitos de partículas menores que Gell Mann chamou de quarks Vamos nos concentrar inicialmente nos três quarks mais leves conhecidos como quark up símbolo u quark down símbolo d e quark estranho símbolo s cujas propriedades aparecem na Tabela 445 Os nomes desses quarks como os nomes de outros quarks que serão discutidos mais tarde são totalmente arbitrários Coletivamente os nomes são chamados de sabores Poderíamos perfeitamente chamar os três quarks mais leves de baunilha chocolate e morango em vez de up down e estranho Cortesia do Brookhaven National Laboratory A violenta colisão frontal de dois átomos de ouro de 30 GeV no acelerador RHIC do Brookhaven National Laboratory produz por alguns instantes um gás de quarks e glúons isolados Tabela 445 Os Quarks e Suas Propriedadesa Sabor Símbolo Massa MeVc2 q U D C S T B Up u 5 1 0 0 0 0 0 Down d 10 0 1 0 0 0 0 Charme c 1500 0 0 1 0 0 0 Estranho s 200 0 0 0 1 0 0 Top t 175000 0 0 0 0 1 0 Bottom b 4300 0 0 0 0 0 1 aTodos os quarks têm spin e número bariônico B Os números quânticos q U D C S T e B são chamados respectivamente de carga upness downness charme estranheza topness e bottomness o símbolo de bottomness é B porque B é o símbolo de número bariônico Todos os antiquarks têm spin e número bariônico os outros números quânticos são o negativo dos números quânticos do quark correspondente As massas dos antiquarks são as mesmas dos quarks correspondentes O fato de que o número quântico de carga dos quarks é fracionário pode deixar o leitor um pouco chocado Entretanto abstenhase de protestar até que tenhamos oportunidade de mostrar que essas cargas fracionárias explicam muito bem as cargas inteiras dos mésons e dos bárions Em todas as situações normais seja aqui na Terra seja no espaço sideral os quarks estão sempre combinados em pares ou trincas e possivelmente outras combinações por questões que ainda não são totalmente compreendidas para formar partículas cujo número quântico de carga é sempre nulo ou inteiro Uma notável exceção foi observada em experimentos realizados no Relativistic Heavy Ion Collider RHCI um acelerador de partículas do Brookhaven National Laboratory Nesses experimentos em que dois feixes de átomos de ouro sofreram colisões frontais a energia cinética dos átomos era da mesma ordem das partículas presentes logo após o Big Bang veja o Módulo 444 As colisões foram tão violentas que os prótons e nêutrons dos núcleos de ouro se desintegraram para formar por alguns instantes um gás de quarks isolados O gás também continha glúons as partículas que normalmente mantêm os quarks unidos como será discutido mais adiante Nesses experimentos os quarks podem ter existido isoladamente pela primeira vez desde a época do Big Bang Figura 444 a Quarks que compõem os oito bárions de spin da Fig 443a Embora sejam formados pelos mesmos quarks os dois bárions do centro são partículas diferentes O sigma é um estado excitado do lambda e se transforma no lambda por emissão de um raio gama b Quarks que compõem os nove mésons de spin zero da Fig 443b Quarks e Bárions Os bárions são combinações de três quarks algumas dessas combinações aparecem na Fig 444a Como todos os quarks têm número bariônico B o número bariônico de todos os bárions é B 1 como devia ser As cargas também são as esperadas como vamos mostrar por meio de três exemplos O próton é composto por dois quarks up e um quark down e portanto o número quântico de carga do próton é O nêutron é composto por um quark up e dois quarks down o número quântico de carga é A partícula Σ sigma menos é composta por um quark estranho e dois quarks down o número quântico de carga é Os números quânticos de estranheza também são os esperados como o leitor pode verificar usando a Tabela 443 para determinar a estranheza das três partículas e a Tabela 445 para determinar a estranheza dos quarks que as compõem Observe porém que a massa de um próton nêutron Σ ou de qualquer outro bárion não é a soma das massas dos quarks componentes Assim por exemplo a massa total dos três quarks que formam um próton é apenas 20 MeVc2 muito menos que a massa total do próton 9383 MeVc2 Quase toda a massa do próton se deve à energia interna 1 do movimento dos quarks e 2 dos campos que mantêm os quarks unidos Lembrese de que a massa está relacionada à energia pela equação de Einstein que pode ser escrita na forma m Ec2 Como a maior parte da nossa massa está nos prótons e nêutrons que compõem o nosso corpo essa massa e portanto nosso peso em uma balança de banheiro é na verdade uma medida da energia do movimento dos quarks e dos campos que mantêm os quarks unidos dentro no nosso corpo Quarks e Mésons Os mésons são combinações de um quark e um antiquark algumas dessas combinações aparecem na Fig 444b Esse modelo é coerente com o fato de que os mésons não são bárions Como todos os quarks têm número bariônico B e todos os antiquarks têm número bariônico B o número bariônico de qualquer méson é B 0 Considere o méson π que é formado por um quark up u e um antiquark down Vemos na Tabela 445 que o número quântico de carga de um quark up é e o de um antiquark down é ou seja o sinal oposto ao de um quark down A carga do méson π1 é portanto Os números quânticos de carga e estranheza obtidos a partir das combinações de quarks que aparecem na Fig 444b estão de acordo com a Tabela 444 e a Fig 443b Além disso todas as combinações possíveis de quarks e antiquarks representam mésons de spin zero que já foram observados experimentalmente tudo se encaixa no lugar Teste 3 A combinação de um quark down d com um antiquark up é a um méson π0 b um próton c um méson π d um méson π ou e um nêutron Uma Nova Visão do Decaimento Beta Vamos ver como o decaimento beta é interpretado usando o modelo dos quarks Na Eq 4224 apresentamos um exemplo desse tipo de reação 32p 32S e v Depois que o nêutron foi descoberto e Fermi formulou a teoria do decaimento beta os físicos passaram a encarar o processo do decaimento beta como a transformação de um nêutron em um próton no interior do núcleo por meio da reação n p e e na qual o neutrino está identificado com maior precisão tratase na realidade de um antineutrino do elétron Atualmente vamos ainda mais longe e dizemos que um nêutron udd se transforma em um próton uud por meio da conversão de um quark down em um quark up Hoje portanto imaginamos que o processo fundamental responsável pelo decaimento beta é a reação d u e e Assim à medida que aprofundamos nosso conhecimento da estrutura íntima da matéria podemos explicar os mesmos processos em níveis cada vez mais básicos Vemos também que o modelo dos quarks não só nos ajuda a compreender a estrutura das partículas mas também a explicar as reações entre partículas Outros Quarks Existem outras partículas e outros padrões do caminho óctuplo que não foram discutidos até agora Para explicálos é preciso postular a existência de outros três quarks o quark charme c o quark top t e o quark bottom b Por isso atualmente os físicos acreditam que existem seis quarks como mostra a Tabela 445 Observe que três quarks possuem massas muito elevadas sendo a massa de um deles o quark top quase 190 vezes maior que a do próton As partículas que contêm esses quarks são geradas apenas em colisões de alta energia e essa é a razão pela qual só foram observadas a partir da década de 1970 A primeira partícula que continha um quark charme a ser descoberta foi o méson Jψ formado por um quark charme e um antiquark charme c Esse méson foi observado independentemente em 1974 por dois grupos um liderado por Samuel Ting do Brookhaven National Laboratory e outro por Burton Richter da Universidade de Stanford O quark top só foi observado em 1995 em experimentos realizados usando o Tevatron o gigantesco acelerador de partículas do Fermilab Nesse acelerador que foi desativado em 2011 prótons e antiprótons com uma energia de 09 TeV 9 1011 eV colidiam no centro de dois grandes detectores de partículas Muito raramente a colisão produz um méson formado por um quark top e um antiquark top tt Esse méson decai tão depressa que não pode ser observado diretamente mas sua existência pode ser deduzida a partir dos produtos do decaimento Comparando a Tabela 445 que mostra a família dos quarks com a Tabela 442 que mostra a família dos léptons vemos que existem certas semelhanças entre as duas famílias de partículas como o fato de possuírem seis membros e o fato de poderem ser divididas em três grupos de duas partículas De acordo com nossos conhecimentos atuais os quarks e léptons parecem ser partículas realmente fundamentais sem estrutura interna Exemplo 4405 Composição de quarks da partícula csi menos A partícula Ξ csi menos é um bárion que possui número quântico de spin s número quântico de carga q 1 e número quântico de estranheza S 2 Sabese ainda que a partícula não contém um quark bottom Quais são os quarks que compõem a partícula Ξ Raciocínio Como o Ξ é um bárion é formado por três quarks se fosse formado por dois quarks seria um méson Considere agora a estranheza S 2 do Ξ Apenas o quark estranho s e o antiquark estranho têm um número quântico de estranheza diferente de zero veja a Tabela 445 Além disso apenas o quark estranho tem um número quântico de estranheza negativo e esse número quântico é 1 Assim se o número quântico de estranheza do Ξ é 2 a partícula deve conter dois quarks estranhos Para determinar qual é o terceiro quark que vamos chamar provisoriamente de x considere as outras propriedades conhecidas do Ξ O número quântico de carga da partícula é 1 e os dois quarks estranhos têm número quântico de carga assim o terceiro quark x deve ter número quântico de carga para que Além do quark s os únicos quarks com q são o quark down d e o quark bottom b Como foi dito no enunciado que a partícula não contém o quark bottom o terceiro quark só pode ser o quark down Essa conclusão também leva ao número bariônico correto Assim a composição da partícula Ξ é ssd As Interações Básicas e as Partículas Mensageiras Vamos considerar agora as interações básicas a que estão sujeitas as partículas que acabamos de discutir A Interação Eletromagnética A interação de duas partículas que possuem carga elétrica é descrita por uma teoria conhecida como eletrodinâmica quântica QED2 segundo a qual as partículas carregadas interagem por meio de uma troca de fótons Esses fótons não podem ser detectados pois são emitidos por uma partícula e logo em seguida absorvidos por outra por isso são conhecidos como fótons virtuais Como é por meio dos fótons virtuais que uma partícula carregada toma conhecimento da presença de outra eles são chamados de partículas mensageiras da interação eletromagnética Uma partícula não pode emitir um fóton e permanecer no mesmo estado sem violar a lei de conservação da energia No caso dos fótons virtuais a lei de conservação da energia é preservada pelo princípio de indeterminação que pode ser escrito na forma A Eq 4418 pode ser interpretada no sentido de que é possível sacar a descoberto uma energia ΔE violando a lei de conservação da energia contanto que haja uma reposição dentro de um intervalo de tempo Δt ħΔE para que a violação não possa ser detectada Os fótons virtuais se comportam exatamente dessa forma Quando por exemplo dois elétrons estão interagindo e o elétron A emite um fóton virtual o déficit de energia é logo compensado pela chegada de um fóton virtual proveniente do elétron B de modo que a violação do princípio de conservação da energia é escondida pelo princípio de indeterminação A Interação Fraca A teoria da interação fraca à qual estão sujeitas todas as partículas foi formulada por analogia com a teoria da interação eletromagnética As partículas mensageiras da interação fraca são as partículas W e Z que ao contrário do fóton possuem energia de repouso diferente de zero O modelo foi tão bem sucedido que mostrou que a interação eletromagnética e a interação fraca são aspectos diferentes da mesma interação denominada interação eletrofraca Essa conclusão constitui uma extensão lógica do trabalho de Maxwell que mostrou que a interação elétrica e a interação magnética são aspectos diferentes de uma única interação a interação eletromagnética A teoria eletrofraca levou a previsões detalhadas com relação às propriedades das partículas mensageiras As previsões quanto às cargas e massas por exemplo foram as seguintes Partícula Carga Massa W e 804 GeVc2 Z 0 912 GeVc2 Como a massa do próton é apenas 0938 GeVc2 essas partículas são realmente pesadas O Prêmio Nobel de Física de 1979 foi concedido a Sheldon Glashow Steven Weinberg e Abdus Salam pela formulação da teoria eletrofraca A teoria foi confirmada em 1983 por Carlo Rubbia e seu grupo no CERN que observaram experimentalmente as duas partículas mensageiras e verificaram que as massas estavam de acordo com os valores previstos Rubbia e Simon van der Meer receberam o Prêmio Nobel de Física de 1984 por esse brilhante trabalho experimental Podemos ter uma ideia da complexidade das pesquisas modernas de física de partículas comparando as com um experimento mais antigo de física de partículas que também mereceu um prêmio Nobel a descoberta do nêutron Essa descoberta extremamente importante foi feita com um equipamento modesto utilizando como projéteis partículas emitidas por substâncias radioativas e anunciada em 1932 em um artigo assinado por um único cientista James Chadwick intitulado Possible Existence of a Neutron A Possível Existência de um Nêutron A descoberta das partículas mensageiras W e Z em 1983 por outro lado foi realizada com o auxílio de um gigantesco acelerador de partículas com cerca de 7 km de circunferência operando na faixa das centenas de bilhões de elétronsvolts O principal detector de partículas pesava nada menos que 20 MN O experimento contou com a participação de mais de 130 físicos de 12 instituições de 8 países além de um número ainda maior de técnicos A Interação Forte A teoria da interação forte isto é da força que mantém os quarks unidos para formar os hádrons também já foi formulada Nesse caso as partículas mensageiras são chamadas de glúons e como os fótons não possuem energia de repouso De acordo com a teoria cada sabor de quark pode ser encontrado em três tipos que foram chamados de vermelho verde e azul Assim existem três tipos de quark up um de cada cor e o mesmo se aplica aos outros quarks Os antiquarks também podem ser de três tipos que são chamados de antivermelho antiverde e antiazul O leitor não deve pensar que os quarks são realmente coloridos como pequenas bolas de sinuca os nomes foram escolhidos apenas por conveniência embora dessa vez para variar a escolha tenha certa lógica como veremos a seguir A força que age entre os quarks é chamada de força de cor e a teoria associada por analogia com a eletrodinâmica quântica QED recebeu o nome de cromodinâmica quântica QCD3 Os experimentos mostram que os quarks só se unem em combinações que sejam neutras em relação à cor Existem duas maneiras de tornar neutra uma combinação de quarks Da mesma forma como no caso das cores de verdade a combinação de vermelho verde e azul resulta no branco uma cor neutra podemos combinar três quarks para formar um bárion contanto que um seja vermelho outro verde e outro azul e combinar três antiquarks para formar um antibárion contanto que um seja antivermelho outro seja antiverde e outro antiazul Outra forma de obter o branco é combinar uma cor com a cor complementar que pode ser chamada de anticor como por exemplo azul com amarelo antiazul no caso dos quarks podemos combinar um quark de uma cor com o antiquark da anticor correspondente para formar um méson A força de cor não só mantém unidos os quarks para formar os bárions e mésons mas também mantém unidos os prótons e nêutrons para formar os núcleos atômicos no primeiro caso é chamada de interação forte no segundo de interação nuclear O Campo de Higgs e a Partícula de Higgs O ModeloPadrão das partículas fundamentais é uma combinação da teoria da interação eletrofraca com a teoria da interação forte Um sucesso importante do modelo foi a demonstração de que existem quatro partículas mensageiras da interação eletrofraca o fóton a partícula Z a partícula W e a partícula W Entretanto havia um mistério relacionado à massa dessas partículas Por que a massa do fóton é zero enquanto as partículas Z e W têm uma massa de quase 100 GeVc2 Na década de 1960 Peter Higgs e independentemente Robert Brout e François Englert sugeriram que a diferença de massa se deve a um campo hoje chamado de campo de Higgs que existe em todo o espaço e portanto é uma propriedade do vácuo Sem esse campo as quatro partículas mensageiras da interação eletrofraca não teriam massa e seriam uma só partícula Em outras palavras a interação eletrofraca seria simétrica A teoria de BroutEnglertHiggs demonstrou que o campo de Higgs quebra essa simetria produzindo além de uma partícula mensageira de massa zero três partículas mensageiras com massa diferente de zero A teoria explica também por que todas as outras partículas com exceção dos glúons possuem massa diferente de zero O quantum do campo de Higgs é o bóson de Higgs Por causa do papel importante desempenhado no ModeloPadrão buscas intensivas pelo bóson de Higgs foram conduzidas no Tevatron do Fermilab e no Large Hadron Collider do CERN Em 2012 pesquisadores do CERN anunciaram que haviam finalmente conseguido detectar o bóson de Higgs com uma massa de 125 GeVc2 O Sonho de Einstein A unificação das forças fundamentais da natureza à qual Einstein dedicou boa parte dos seus esforços nos últimos anos de vida continua a ser objeto de muitas pesquisas Vimos que a interação fraca foi combinada com a interação eletromagnética e as duas interações passaram a ser consideradas aspectos diferentes da mesma interação a interação eletrofraca Teorias que tentam acrescentar a interação forte a essa combinação conhecidas como teorias da grande unificação vêm sendo discutidas pelos físicos há algum tempo As teorias que procuram completar o trabalho acrescentando a interação gravitacional as chamadas teorias de tudo estão em um estágio incipiente Uma das abordagens propostas é a teoria das cordas na qual as partículas são modeladas por cordas vibrantes 444 COSMOLOGIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 4422 Saber que o universo começou com o Big Bang e está se expandindo até hoje 4423 Saber que por causa da expansão todas as galáxias distantes estão se afastando da Via Láctea 4424 Conhecer a lei de Hubble que relaciona a velocidade de recessão v de uma galáxia distante à distância r da galáxia e à constante de Hubble H 4425 Usar a equação do efeito Doppler para relacionar o deslocamento Δλ do comprimento de onda à velocidade de recessão v de uma galáxia e ao comprimento de onda próprio λ0 da luz emitida 4426 Calcular a idade aproximada do universo a partir da constante de Hubble 4427 Saber o que é a radiação cósmica de fundo e por que é importante para a cosmologia 4428 Conhecer a razão pela qual os cientistas acreditam na existência da matéria escura 4429 Conhecer os vários estágios da evolução do universo 4430 Saber que a expansão do universo está sendo acelerada por uma propriedade desconhecida denominada energia escura 4431 Saber que a energia total da matéria bariônica prótons e nêutrons é uma pequena fração da energia total do universo IdeiasChave O universo está se expandindo isso significa que o espaço entre nossa galáxia e as galáxias distantes está aumentando A taxa v com a qual a distância de uma galáxia distante está aumentando a galáxia parece estar se afastando de nós a uma velocidade v é dada pela lei de Hubble v Hr em que r é a distância atual da galáxia e H é a constante de Hubble cujo valor estimado é H 710 kms Mpc 218 mms anoluz A expansão do universo produz um desvio para o vermelho da luz que recebemos das galáxias distantes Podemos supor que o deslocamento Δλ do comprimento de onda é dado aproximadamente pela Eq 3735 em que λ0 é o comprimento de onda próprio ou seja o comprimento de onda medido por um observador estacionário em relação à fonte de luz A expansão descrita pela lei de Hubble e a existência de uma radiação cósmica de fundo sugerem que o universo começou com um Big Bang há 137 bilhões de anos A expansão do universo está sendo acelerada por uma propriedade desconhecida do vácuo denominada energia escura Grande parte da energia do universo está contida em uma matéria escura que aparentemente interage com a matéria comum matéria bariônica apenas por meio da força gravitacional Uma Pausa para Refletir Vamos colocar o que aprendemos na devida perspectiva Se estamos interessados apenas na estrutura dos objetos que nos cercam podemos passar muito bem apenas com o elétron o neutrino o nêutron e o próton Como disse alguém essas partículas são suficientes para fazer funcionar a Espaçonave Terra Algumas poucas partículas exóticas podem ser encontradas nos raios cósmicos entretanto para observar a maioria dessas partículas precisamos construir gigantescos aceleradores e empreender uma busca longa e dispendiosa A razão para isso é que em termos de energia vivemos em um mundo cuja temperatura é extremamente baixa Mesmo no centro do Sol o valor de kT é apenas da ordem de 1 keV Para produzir as partículas exóticas temos que acelerar prótons e elétrons até que atinjam energias da ordem de GeV ou TeV Houve uma época em que a temperatura era suficiente para que as partículas tivessem energias tão elevadas foi a época que se seguiu ao Big Bang a grande explosão que assinala a origem do universo Uma das razões pelas quais os cientistas se interessam pelo comportamento das partículas com altas energias é justamente o desejo de compreender como era o universo no passado distante Como vamos ver daqui a pouco o universo antigamente ocupava um espaço muito pequeno e a temperatura das partículas no interior desse espaço era incrivelmente elevada Com o tempo o universo se expandiu e esfriou até se tornar o universo que conhecemos hoje Na verdade a expressão que conhecemos hoje não é muito apropriada Quando olhamos para o espaço o que vemos são vários estágios diferentes da evolução do universo já que a luz das estrelas e galáxias leva muito tempo para chegar até nós Os objetos mais distantes que somos capazes de detectar os quasars são núcleos extremamente luminosos de galáxias situadas a mais de 13 bilhões de anosluz da Terra Cada núcleo contém um gigantesco buraco negro quando a matéria nuvens de gás e mesmo estrelas inteiras é atraída para um desses buracos negros o aquecimento resultante produz uma quantidade enorme de radiação suficiente para que a luz possa ser detectada na Terra apesar da enorme distância Assim hoje vemos um quasar como era no passado remoto quando a luz emitida por ele começou a viajar em nossa direção O Universo em Expansão Como vimos no Módulo 375 é possível calcular a velocidade com a qual uma fonte luminosa está se aproximando ou se afastando de um observador a partir do deslocamento dos comprimentos de onda da luz emitida pela fonte Quando estudamos a luz das galáxias desprezando apenas as que se encontram em nossa vizinhança imediata observamos um fato interessante Todas estão se afastando da Terra Em 1929 Edwin P Hubble descobriu que existe uma relação direta entre a velocidade aparente de recessão v de uma galáxia e a distância r a que se encontra da Terra em que H a constante de proporcionalidade é chamada de constante de Hubble O valor de H é geralmente medido em quilômetros por segundomegaparsec kms Mpc em que o parsec é uma unidade de comprimento muito usada na astronomia4 O valor da constante de Hubble não se manteve constante durante a evolução do universo É difícil determinar o valor atual com exatidão já que a medida envolve o estudo da luz proveniente de galáxias muito distantes Com base em dados recentes os cientistas atribuem a H o seguinte valor A recessão das galáxias é interpretada como uma indicação de que o universo está se expandindo da mesma forma como a distância entre os pontos de um balão aumenta quando o balão é inflado Observadores em outras galáxias também veriam as galáxias distantes se afastarem de acordo com a lei de Hubble Na analogia do balão nenhum ponto da superfície do balão tem um ponto de vista privilegiado A lei de Hubble está de acordo com a hipótese de que o universo começou com uma grande explosão o Big Bang e está se expandindo desde aquela época Supondo que a velocidade de expansão tenha se mantido constante ou seja que o valor de H não tenha mudado durante todo esse tempo podemos estimar a idade T do universo a partir da Eq 4419 Vamos imaginar que desde que aconteceu o Big Bang uma parte do universo uma galáxia digamos tenha se afastado de nós com uma velocidade v dada pela Eq 4419 Nesse caso o tempo necessário para que a galáxia se afastasse de uma distância r foi Para o valor de H fornecido pela Eq 4421 T 138 109 anos Estudos muito mais sofisticados da expansão do universo levam a um valor de T ligeiramente menor que é T 137 109 anos Exemplo 4406 Uso da lei de Hubble para relacionar uma distância a uma velocidade de recessão O deslocamento do comprimento de onda da luz de um quasar indica que ele está se afastando da Terra a uma velocidade de 28 108 ms o que corresponde a 93 da velocidade da luz A que distância da Terra está o quasar IDEIASCHAVE Vamos supor que a distância e a velocidade estão relacionadas pela lei de Hubble Cálculo De acordo com as Eqs 4419 e 4421 temos Este resultado é apenas uma estimativa já que o quasar não passou o tempo todo se afastando de nós com a mesma velocidade v ou seja o valor de H não se manteve constante durante a expansão do universo Exemplo 4407 Uso da lei de Hubble para relacionar uma distância a um deslocamento Doppler Uma linha de emissão detectada na luz de uma galáxia tem um comprimento de onda λdet 11λ em que λ é o comprimento de onda próprio da linha A que distância a galáxia se encontra da Terra IDEIASCHAVE 1 Vamos supor que a lei de Hubble v Hr pode ser aplicada à galáxia 2 Vamos supor também que a expressão para o deslocamento Doppler da Eq 3736 v cΔλλ para v c pode ser aplicada ao deslocamento do comprimento de onda da galáxia devido à velocidade de recessão Cálculos Podemos igualar os lados direitos das duas equações e escrever o que nos leva a Na Eq 4424 Δλ λdet λ 11λ λ 01λ Substituindo esse valor na Eq 4424 obtemos A Radiação Cósmica de Fundo Em 1965 quando testavam um receptor de microondas muito sensível usado em pesquisas de comunicações Arno Penzias e Robert Wilson do Bell Telephone Laboratories notaram um leve chiado cuja intensidade não variava com a direção para a qual a antena do aparelho estava apontada Depois de descartar várias outras possibilidades Penzias e Wilson se convenceram de que estavam captando uma radiação cósmica de fundo produzida no passado remoto Essa radiação cuja intensidade é máxima para um comprimento de onda de 11 mm na região de microondas do espectro eletromagnético tem a mesma distribuição de comprimentos de onda que uma cavidade corpo negro cujas paredes são mantidas a uma temperatura de 27 K Nesse caso podemos dizer que a cavidade é o universo inteiro Penzias e Wilson receberam o Prêmio Nobel de Física de 1978 pela descoberta Hoje sabemos que a radiação cósmica de fundo é a luz que começou a vagar pelo universo pouco depois que o universo começou a existir há bilhões de anos Quando o universo era ainda mais recente a luz não podia percorrer uma distância razoável sem interagir com partículas de matéria Se um raio luminoso partisse digamos do ponto A seria desviado tantas vezes que se um observador o interceptasse mais adiante não poderia saber que a luz havia partido do ponto A Quando as partículas começaram a formar átomos o espalhamento da luz diminuiu drasticamente Um raio de luz que partisse do ponto A poderia se propagar durante bilhões de anos sem interagir com a matéria É essa luz que hoje constitui a radiação cósmica de fundo Quando a natureza da radiação foi conhecida os cientistas começaram a se perguntar Será possível usar a radiação cósmica de fundo para conhecer os pontos onde se originou de modo a produzir uma imagem de como era o universo primitivo na época em que os átomos se formaram e a luz deixou de ser espalhada A resposta é afirmativa e essa imagem será mostrada mais adiante Figura 445 Velocidade de rotação das estrelas de uma galáxia típica em função da distância do centro da galáxia A curva contínua baseada em um modelo teórico mostra que se a galáxia contivesse apenas a massa visível a velocidade de rotação diminuiria com a distância para grandes distâncias Os pontos representam valores observados e mostram que a velocidade de rotação é aproximadamente constante para grandes distâncias A Matéria Escura No Observatório Nacional de Kitt Peak no Arizona Vera Rubin e seu colaborador Kent Ford mediram a velocidade de rotação de várias galáxias distantes a partir do deslocamento Doppler de aglomerados de estrelas situados a diferentes distâncias do centro da galáxia Os resultados como se pode ver na Fig 44 5 foram surpreendentes As estrelas situadas na periferia das galáxias tinham praticamente a mesma velocidade de rotação que estrelas muito mais próximas do centro Como mostra a curva contínua da Fig 445 esse não é o comportamento que seria de se esperar se toda a massa da galáxia estivesse contida nas estrelas cuja luz podemos ver Um sistema que se comporta da forma prevista é o sistema solar no qual a velocidade orbital de Plutão o planeta mais distante do Sol é apenas um décimo da velocidade orbital de Mercúrio o planeta mais próximo do Sol A única explicação dos resultados de Rubin e Ford que não entra em contradição com a mecânica newtoniana é que uma galáxia típica contém muito mais matéria do que podemos enxergar Para que os resultados experimentais estejam de acordo com os modelos teóricos é preciso que a parte visível das galáxias corresponda a apenas a 10 da massa total Além dos estudos da rotação das galáxias muitas outras investigações levaram à conclusão de que o universo contém uma quantidade muito grande de matéria que não podemos observar diretamente Essa matéria invisível é chamada de matéria escura porque não emite luz ou suas emissões de luz são fracas demais para serem detectadas A matéria normal como as estrelas os planetas a poeira e os gases é frequentemente chamada de matéria bariônica porque sua massa se deve principalmente à massa dos prótons e nêutrons bárions que contém A massa dos elétrons pode ser desprezada porque é muito menor que a dos prótons e nêutrons É de se esperar que parte da matéria normal de uma galáxia como estrelas extintas e nuvens de gás e poeira se comporte como matéria escura entretanto de acordo com vários cálculos a matéria normal constitui uma pequena parte da matéria escura existente A parcela restante é chamada de matéria escura não bariônica porque não contém prótons e nêutrons Conhecemos apenas um membro dessa classe de matéria escura o neutrino Embora a massa do neutrino seja muito menor que a de um próton ou nêutron o número de neutrinos em uma galáxia é gigantesco e portanto a massa total de neutrinos é muito grande Mesmo assim os cálculos indicam que os neutrinos não são suficientes para explicar a massa total da matéria escura não bariônica Deve haver portanto um outro tipo de matéria escura Embora as partículas elementares venham sendo estudadas há mais de cem anos as partículas que constituem esse outro tipo de matéria escura não bariônica ainda não foram observadas e praticamente nada se conhece a seu respeito Como não emitem nem absorvem radiação eletromagnética devem interagir apenas gravitacionalmente com a matéria comum O Big Bang Em 1985 um físico declarou em uma conferência É tão certo que o universo começou com um Big Bang há cerca de 15 bilhões de anos como é certo que a Terra gira em torno do Sol Essa declaração mostra a confiança que muitos cientistas depositam na teoria do Big Bang proposta pela primeira vez pelo físico belga Georges Lemaître em 1927 O leitor não deve ficar com a impressão de que o Big Bang foi algo como a explosão de uma bomba gigantesca que alguém poderia pelo menos em princípio observar à distância Para os cosmólogos o Big Bang representa o começo do próprio espaçotempo Não existe um ponto no espaço atual para o qual os cientistas possam apontar e dizer O Big Bang aconteceu aqui O Big Bang aconteceu em toda parte Além disso não faz sentido falar do que existia antes do Big Bang já que o tempo começou no instante do Big Bang Nesse contexto a palavra antes deixa de ter significado Por outro lado podemos imaginar o que aconteceu durante intervalos de tempo sucessivos após o Big Bang Fig 446 t 1043 s Esse é o primeiro instante no qual podemos dizer alguma coisa que faça sentido a respeito da evolução do universo É nesse momento que os conceitos de espaço e tempo adquirem o significado atual e as leis da física como as conhecemos podem ser aplicadas Nesse instante o universo inteiro é muito menor que um próton e a temperatura é da ordem de 1032 K Flutuações quânticas da estrutura do espaçotempo são as sementes que mais tarde levam à formação de galáxias aglomerados de galáxias e superaglomerados de galáxias t 1034 s Nesse instante o universo sofre uma inflação extremamente rápida que multiplica seu tamanho por um fator da ordem de 1030 causando a formação de matéria com uma distribuição estabelecida pelas flutuações quânticas iniciais O universo se torna uma mistura de fótons quarks e léptons a uma temperatura da ordem de 1027 K alta demais para que prótons e nêutrons se formem t 104 s Os quarks se combinam para formar prótons nêutrons e as antipartículas correspondentes O universo já esfriou a tal ponto por causa da expansão continuada embora a uma taxa muito menor que na fase de inflação que os fótons não têm energia suficiente para desintegrar as partículas recémformadas Partículas de matéria e antimatéria colidem e se aniquilam mutuamente Existe um pequeno excesso de matéria que sobrevive para dar origem ao mundo de matéria que conhecemos hoje t 1 min O universo esfriou o suficiente para que os prótons e nêutrons ao colidirem possam formar os nuclídeos leves 2H 3He 4He e 7Li As abundâncias relativas previstas para esses nuclídeos são as mesmas que observamos hoje em dia Existe muita radiação presente mas os fótons não conseguem percorrer distâncias apreciáveis sem interagir com o plasma constituído por íons positivos e elétrons livres por essa razão o universo é opaco Cortesia da NASA Figura 446 Uma ilustração do universo desde as primeiras flutuações quânticas logo após o instante t 0 extremidade esquerda até a atual expansão acelerada 137 109 anos depois extremidade direita A ilustração não deve ser encarada literalmente o universo não pode ser visto de fora já que não existe um lado de fora do universo t 379000 anos A temperatura caiu para 2970 K e elétrons se combinam com íons para formar átomos Como a interação dos fótons com átomos neutros é muito menor que com plasmas a luz agora pode percorrer grandes distâncias sem interagir com a matéria A radiação existente nessa época sobrevive para se tornar a radiação cósmica de fundo mencionada anteriormente Os átomos de hidrogênio e de hélio por influência da gravidade começam a se aglomerar dando início à formação de estrelas e galáxias até que isso aconteça o universo é relativamente escuro veja a Fig 446 As primeiras investigações mostraram uma radiação cósmica de fundo praticamente isotrópica o que parecia significar que 379000 anos após o Big Bang a distribuição de matéria do universo era homogênea Essa descoberta foi considerada surpreendente já que atualmente a matéria do universo não está distribuída homogeneamente mas se concentra em galáxias aglomerados de galáxias e superaglomerados de aglomerados de galáxias Existem também vastos vazios nos quais a quantidade de matéria é muito menor que a média e regiões que contêm uma quantidade tão grande de matéria que são chamadas de muralhas Para que a teoria do Big Bang da origem do universo estivesse correta seria preciso que as sementes dessa distribuição não homogênea de matéria já estivessem presentes no universo antes que este completasse 379000 anos caso em que se manifestariam como uma assimetria na distribuição da radiação cósmica de fundo Em 1992 medidas realizadas por um satélite da NASA conhecido como Cosmic Background Explorer COBE revelaram que a radiação cósmica de fundo não é na verdade perfeitamente uniforme Em 2003 medidas realizadas por outro satélite da NASA o Wilkinson Microwave Anisotropy Probe WMAP permitiram medir a não uniformidade com uma resolução muito maior A imagem resultante Fig 447 pode ser considerada uma fotografia em cores falsas do universo quando este tinha apenas 379000 anos de idade Como se pode ver a matéria já tinha começado a formar grandes aglomerados assim tudo indica que a teoria do Big Bang com uma inflação em t 10234 s está correta A Expansão Acelerada do Universo Como vimos no Módulo 138 toda massa produz uma curvatura do espaço Assim temos razões para esperar que o espaço seja curvo nas vizinhanças de um buraco negro e em menor escala nas vizinhanças de uma estrela comum Agora que sabemos que a massa é uma forma de energia de acordo com a equação de Einstein E mc2 podemos generalizar a ideia toda energia produz uma curvatura do espaço Isso nos leva à seguinte questão Será que o espaço do universo como um todo é encurvado pela energia contida no universo Cortesia do WMAP Science TeamNASA Figura 447 Esta imagem em cores falsas é uma verdadeira fotografia do universo como era há 137 bilhões de anos quando tinha apenas 379000 anos de idade Esta é a visão que um observador teria se olhasse em todas as direções todo o espaço foi concentrado em uma forma oval Manchas luminosas produzidas por aglomerados de átomos estão espalhadas pelo céu mas galáxias estrelas e planetas ainda não se formaram Essa pergunta foi respondida pela primeira vez em 1992 a partir das medidas da radiação cósmica de fundo realizadas pelo COBE Foi respondida de forma mais precisa em 2003 a partir das medidas realizadas pelo WMAP que produziram a imagem da Fig 447 Os pontos que vemos na imagem são as fontes originais de radiação cósmica de fundo e a distribuição angular desses pontos revela a curvatura do universo na região que a luz atravessou para chegar até nós Se pontos vizinhos subtendem um ângulo de mais de 18 Fig 448a ou menos de 18 Fig 448b do ponto de vista do detector ou do nosso ponto de vista o universo é curvo A análise da distribuição de pontos na imagem obtida pelo WMAP mostra que os pontos subtendem aproximadamente 18 Fig 448c o que significa que o universo é plano não possui uma curvatura Assim tudo indica que a curvatura inicial desapareceu durante a rápida inflação que o universo sofreu em t 1034 s O fato de o universo ser plano constitui um problema muito difícil para os físicos porque a quantidade na forma de massa ou em outras formas de energia necessária para que o universo seja plano pode ser calculada Acontece que todas as estimativas da quantidade de energia do universo tanto nas formas conhecidas como na forma desconhecida da matéria escura não bariônica resultam em valores muito menores que o necessário para tornar o universo plano Na verdade a energia estimada é apenas um terço da energia necessária Uma das teorias a respeito dessa forma desconhecida de energia atribui a ela o nome gótico de energia escura e a estranha propriedade de fazer com que a expansão do universo acelere com o tempo Até 1998 era muito difícil verificar se a expansão do universo estava de fato se acelerando pois para isso seria preciso medir com precisão as distâncias de objetos astronômicos muito afastados Em 1998 o progresso tecnológico permitiu que os astrônomos observassem um certo tipo de supernova em galáxias extremamente distantes Além disso os astrônomos puderam medir a duração do clarão emitido por essas supernovas que é uma indicação da sua luminosidade intrínseca Conhecendo a luminosidade intrínseca e medindo a intensidade aparente das supernovas os astrônomos puderam calcular a que distância estavam da Terra A partir do desvio para o vermelho da luz da galáxia que continha a supernova os astrônomos também puderam medir a velocidade de recessão da galáxia Combinando essas observações eles calcularam a taxa de expansão do universo A conclusão foi a de que a expansão do universo está realmente se acelerando como previa a teoria da energia escura Fig 446 Entretanto ainda não sabemos o que é essa energia escura Figura 448 Se o universo fosse curvo os raios de luz provenientes de dois pontos próximos chegariam a nós separados por um ângulo a maior que 1 ou b menor que 1 c Um ângulo de 1 sugere que o espaço não é curvo A Fig 449 dá uma ideia do estágio atual do nosso conhecimento a respeito da energia do universo Cerca de 4 estão associados à matéria bariônica que compreendemos razoavelmente bem Cerca de 23 estão associados à matéria escura não bariônica a respeito da qual temos algumas informações que podem ser úteis O resto espantosos 73 está associado à energia escura a respeito da qual não sabemos praticamente nada Houve épocas na história da física mesmo no passado recente em que alguns cientistas de renome declararam que a física estava quase completa que restavam apenas pequenos detalhes para serem esclarecidos Na verdade ainda temos um longo caminho a percorrer Conclusão Nestes parágrafos finais vamos examinar as conclusões que é possível extrair dos conhecimentos atuais a respeito do universo Nossas descobertas têm sido notáveis mas podem também ser vistas como uma lição de humildade por revelarem com maior clareza nossa insignificância diante do universo Assim em ordem cronológica os seres humanos descobriram que A Terra não é o centro do sistema solar O Sol é apenas uma estrela entre as muitas que existem em nossa galáxia Nossa galáxia é apenas uma entre as muitas que existem no universo Figura 449 A distribuição de massa e energia no universo A Terra existe há menos de um terço da idade do universo e certamente será destruída quando o combustível do Sol se esgotar e o astro se tornar uma gigante vermelha Nossa espécie habita a Terra há menos de um milhão de anos um piscar de olhos na história do universo Embora nossa posição no universo possa ser insignificante as leis da física descobertas por nós parecem ser válidas em toda parte e até onde sabemos em todos os momentos presentes passados e futuros Até hoje não foram encontrados indícios de que as leis da física tenham sido diferentes no passado ou sejam diferentes em outras regiões do universo Assim até que alguém proteste temos o direito de carimbar as leis da física com a inscrição Descoberta na Terra Ainda resta muito para descobrir Nas palavras do escritor inglês Eden Phillpotts O universo está cheio de coisas mágicas pacientemente aguardando que nossa inteligência fique mais aguçada Essa declaração nos permite responder pela última vez à pergunta O que é física que vem sendo feita no início de cada capítulo deste livro Física é a porta de acesso a essas coisas mágicas Revisão e Resumo Léptons e Quarks As pesquisas parecem mostrar que a matéria é feita de seis tipos de léptons Tabela 442 seis tipos de quarks Tabela 445 e 12 antipartículas cada uma associada a um lépton ou quark Todas as partículas de matéria têm um número quântico de spin igual a e são portanto férmions partículas que obedecem ao princípio de exclusão de Pauli As Interações As partículas que possuem carga elétrica estão sujeitas à interação eletromagnética que ocorre por meio da troca de fótons virtuais Os léptons podem interagir entre si e com os quarks por meio da interação fraca cujas partículas mensageiras são as partículas W e Z Os quarks interagem entre si por meio da interação forte A interação eletromagnética e a interação fraca são manifestações diferentes da mesma interação conhecida como interação eletrofraca Léptons Três dos léptons o elétron o múon e o táuon possuem carga elétrica e Os outros três léptons são neutrinos cada um associado a um dos léptons que não possuem carga elétrica As antipartículas do elétron do múon e do táuon têm carga elétrica positiva as antipartículas dos neutrinos não possuem carga elétrica Quarks Os seis quarks up down estranho charme bottom e top em ordem crescente de massa têm número quântico bariônico e carga 2e3 ou e3 A cada quark é atribuído um número quântico específico que é 1 para os quarks de carga positiva e 1 para os quarks de carga negativa Esse número quântico é 0 para todos os outros quarks Os números quânticos dos antiquarks são o negativo dos números quânticos do quark correspondente Hádrons Bárions e Mésons Os quarks se combinam para formar partículas sujeitas à interação forte chamadas hádrons Os bárions são hádrons cujo número quântico de spin é semiinteiro ou e portanto são férmions Os mésons são hádrons cujo número quântico de spin é inteiro 0 ou 1 e portanto são bósons partículas que não obedecem ao princípio de exclusão de Pauli O número bariônico dos mésons é zero o número bariônico dos bárions é 1 e o número bariônico dos antibárions é 1 De acordo com a cromodinâmica quântica os bárions são combinações de três quarks e os mésons são combinações de um quark com um antiquark A Expansão do Universo As observações astronômicas mostram que o universo está se expandindo As galáxias distantes se afastam da Terra a uma velocidade v dada pela lei de Hubble em que H a constante de Hubble tem o valor estimado A expansão descrita pela lei de Hubble e a existência da radiação cósmica de fundo levam à conclusão de que o universo surgiu em uma grande explosão Big Bang ocorrida há 137 bilhões de anos Perguntas 1 Um elétron não pode decair em dois neutrinos Quais das seguintes leis de conservação seriam violadas se isso acontecesse a da energia b do momento angular c da carga d do número leptônico e do momento linear f do número bariônico 2 Qual dos oito píons da Fig 442b possui a menor energia cinética 3 A Fig 4410 mostra as trajetórias de duas partículas na presença de um campo magnético uniforme As partículas têm cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos a Que trajetória corresponde à da partícula de maior massa b Se o campo magnético aponta para dentro do papel a partícula de maior massa tem carga positiva ou negativa Figura 4410 Pergunta 3 4 Um próton tem suficiente energia de repouso para decair em vários elétrons neutrinos e antipartículas correspondentes Que lei de conservação seria violada se isso acontecesse a do número leptônico eletrônico ou a do número bariônico 5 Um próton não pode decair em um nêutron e um neutrino Quais das seguintes leis de conservação seriam violadas se isso acontecesse a da energia suponha que o próton esteja estacionário b do momento angular c da carga d do número leptônico e do momento linear f do número bariônico 6 O decaimento Λ p K respeita a lei de conservação a da carga elétrica b do spin e c da estranheza d A energia de repouso da partícula Λ é suficiente para criar os produtos do decaimento 7 Não só as partículas como o elétron e o píon mas também os sistemas de partículas como os átomos e as moléculas podem ser classificados como férmions ou bósons dependendo do valor do número quântico de spin associado ao sistema Considere os isótopos do hélio 3He e 4He Qual das seguintes afirmações está correta a Ambos são férmions b Ambos são bósons c O 4He é um férmion e o 3He é um bóson d O 3He é um férmion e o 4He é um bóson Os dois elétrons do hélio formam uma camada completa e não precisam ser considerados 8 Três cosmólogos plotaram retas no gráfico de Hubble da Fig 4411 Se a idade do universo for estimada a partir dessas retas coloque os gráficos na ordem decrescente da idade calculada Figura 4411 Pergunta 8 9 Uma partícula Σ possui os seguintes números quânticos estranheza S 1 carga q 1 e spin s Qual é a composição da partícula em termos de quarks a dds b s c uus d ssu e uu 10 O píon negativo π2 é formado por um quark down e um antiquark up d Quais das seguintes leis de conservação seriam violadas se um píon negativo fosse formado por um quark down e um quark up du a da energia b do momento angular c da carga d do número leptônico e do momento linear f do número bariônico 11 Considere o neutrino cujo símbolo é τ a Tratase de um quark um lépton um méson ou um bárion b Tratase de uma partícula ou de uma antipartícula c Tratase de um bóson ou de um férmion d Tratase de uma partícula ou antipartícula estável ou instável Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 441 Propriedades Gerais das Partículas Elementares 1 Um píon positivo decai por meio da reação π μ ν Qual é a reação de decaimento do píon negativo Sugestão O píon negativo é a antipartícula do píon positivo 2 De acordo com algumas teorias o próton é instável com uma meiavida da ordem de 1032 anos Supondo que isso seja verdade calcule o número de decaimentos de prótons que deverão ocorrer durante um ano no interior de uma piscina olímpica que contém aproximadamente 432 105 L de água 3 Um elétron e um pósitron se aniquilam mutuamente Eq 445 Se a energia cinética das partículas era desprezível antes da aniquilação qual é o comprimento de onda de um dos raios g resultantes da aniquilação 4 Um píon neutro inicialmente em repouso decai em dois raios gama por meio da reação π0 γ γ Calcule o comprimento de onda dos raios gama Por que os raios gama têm o mesmo comprimento de onda 5 Um elétron e um pósitron estão separados por uma distância r Determine a razão entre a força gravitacional e a força elétrica a que uma das partículas está submetida em consequência da presença da outra O que esse resultado permite concluir a respeito das forças que agem sobre as partículas detectadas em uma câmara de bolhas É preciso levar em conta as interações gravitacionais 6 a Uma partícula estacionária 1 decai em duas partículas 2 e 3 que são emitidas em direções opostas com momentos iguais Mostre que a energia cinética K2 da partícula 2 é dada por em que E1 E2 e E3 são as energias de repouso das três partículas b Um píon positivo estacionário π energia de repouso 1396 MeV pode decair em um antimúon μ energia de repouso 1057 MeV e um neutrino ν energia de repouso aproximadamente 0 Determine a energia cinética do antimúon 7 A energia de repouso de muitas partículas de vida curta não pode ser medida diretamente mas deve ser determinada a partir dos momentos e energias de repouso dos produtos do decaimento Considere o méson ρ0 que decai por meio da reação ρ0 π π Calcule a energia de repouso do ρ0 a partir da informação de que os píons resultantes do decaimento que são emitidos em direções opostas têm um momento de 3583 MeVc cada um As massas dos píons estão na Tabela 444 8 Um táuon positivo τ energia de repouso 1777 MeV está se movendo com uma energia cinética de 2200 MeV em uma trajetória circular cujo plano é perpendicular a um campo magnético constante de 120 T a Calcule o momento do táuon em quilogramasmetros por segundo Não se esqueça de levar em conta os efeitos relativísticos b Determine o raio da trajetória circular 9 A observação dos neutrinos emitidos pela supernova SN1987a Figs 4212 e 4312b permitiu estabelecer um limite superior de 20 eV para a energia de repouso do neutrino do elétron Se a energia de repouso do neutrino do elétron tivesse exatamente este valor qual seria a diferença entre a velocidade da luz e a velocidade de um neutrino de 15 MeV 10 Um píon neutro tem uma energia de repouso de 135 MeV e uma vida média de 83 1017 s Se o píon é produzido com uma energia cinética inicial de 80 MeV e decai após um intervalo de tempo igual à vida média qual é o comprimento do maior rastro que ele pode deixar em uma câmara de bolhas Não se esqueça de levar em conta a dilatação relativística dos tempos Módulo 442 Léptons Hádrons e Estranheza 11 Que leis de conservação são violadas nos decaimentos a seguir Suponha que a partícula inicial esteja em repouso e que os produtos do decaimento têm momento angular orbital zero a μ e νμ b μ e νe μ c μ π νμ 12 A partícula A 2 e seus produtos decaem de acordo com as seguintes reações a Quais são os produtos finais estáveis do decaimento b A partícula A 2 é um férmion ou um bóson c A partícula é um méson ou um bárion d Qual é o número bariônico da partícula 13 Mostre que se em vez de plotarmos a estranheza S em função da carga q para os bárions de spin da Fig 443a e para os mésons de spin 0 da Fig 443b plotarmos a grandeza Y B S em função da grandeza Tz q B S2 obteremos padrões hexagonais usando um sistema de eixos ortogonais A grandeza Y é chamada de hipercarga e Tz é a componente z de uma grandeza vetorial conhecida como isospin 14 Calcule a energia de desintegração das seguintes reações a π p Σ K e b K p Λ0 π0 15 Qual lei de conservação é violada nas reações a seguir Suponha que o momento angular orbital dos produtos seja nulo a Λ0 p K b Ω Σ π0 S 3 q 1 m 1672 MeVc2 e ms para a partícula Ω c K p Λ0 π 16 A reação p Λ0 Σ e conserva a a carga b o número bariônico c o número leptônico eletrônico d o spin e a estranheza e f o número leptônico muônico 17 A reação Ξ π n K p conserva a a carga b o número bariônico c o spin e d a estranheza 18 Use a lei de conservação da estranheza para determinar quais das seguintes reações são mediadas pela interação forte a K0 π π b Λ0 p Σ n c Λ0 p π d K p Λ0 π0 19 A reação π p p p é mediada pela interação forte Use as leis de conservação para determinar a o número quântico de carga b o número bariônico e c o número quântico de estranheza do antinêutron 20 Existem 10 bárions com spin Os símbolos e números quânticos de carga q e estranheza S dessas partículas são os seguintes q S q S Δ 1 0 Σ0 0 1 Δ0 0 0 Σ1 1 1 Δ 1 0 Ξ 1 2 Δ 2 0 Ξ0 0 2 Ξ 1 1 Ω 1 3 Faça um gráfico cargaestranheza para esses bárions usando o sistema de coordenadas da Fig 443 Compare o gráfico com o da Fig 443 21 Use as leis de conservação e as Tabelas 443 e 444 para identificar a partícula x nas seguintes reações que são mediadas pela interação forte a p p p Λ0 x b p n x c π p Ξ0 K0 x 22 Uma partícula Σ que está se movendo com uma energia cinética de 220 MeV decai por meio da reação Σ π n Calcule a energia cinética total dos produtos do decaimento 23 Considere o decaimento Λ0 p π com a partícula Λ0 em repouso a Calcule a energia de desintegração Determine a energia cinética b do próton e c do píon Sugestão Veja o Problema 6 24 O bárion de spin 32 Σ0 veja a tabela do Problema 20 tem uma energia de repouso de 1385 MeV com uma indeterminação intrínseca que vamos ignorar aqui o bárion de spin 12 Λ0 tem uma energia de repouso de 11925 MeV Se as duas partículas têm uma energia cinética de 1000 MeV a qual das duas está se movendo mais depressa b Qual é a diferença entre as velocidades das duas partículas Módulo 443 Quarks e Partículas Mensageiras 25 As composições do próton e do nêutron em termos de quarks são uud e udd respectivamente Quais são as composições a do antipróton e b do antinêutron 26 Determine a identidade das combinações de quarks a seguir usando as Tabelas 443 e 445 e verifique se os resultados estão corretos comparando as Figs 443a e 444a a ddu b uus e c ssd 27 De que quarks é composta a partícula 0 28 De que quarks é composta a a partícula Λ0 b E a partícula Ξ0 29 Que hádron das Tabelas 443 e 444 corresponde à combinação de quarks a ssu e b dds 30 Usando apenas quarks up down e estranhos construa se for possível a um bárion com q 1 e S 2 e b um bárion com q 2 e S 0 Módulo 444 Cosmologia 31 No laboratório uma das linhas do sódio é emitida com um comprimento de onda de 5900 nm Na luz de uma certa galáxia a mesma linha é detectada com um comprimento de onda de 6020 nm Calcule a distância a que a galáxia se encontra da Terra supondo que a velocidade da galáxia obedeça à lei de Hubble e que o deslocamento Doppler seja dado pela Eq 3736 32 Devido à expansão do universo a emissão de uma galáxia distante tem um comprimento de onda 200 vezes maior que o comprimento de onda da emissão no laboratório Supondo que a lei de Hubble e o deslocamento Doppler se apliquem a esse caso a que distância em anosluz a galáxia se encontrava da Terra no momento em que a luz foi emitida 33 Qual é o comprimento de onda observado da linha do hidrogênio de 6563 nm primeira linha de Balmer no caso de uma galáxia situada a 240 108 anosluz da Terra Suponha que a velocidade da galáxia obedeça à lei de Hubble e que o deslocamento Doppler seja dado pela Eq 3736 34 Um astro está a uma distância de 15 104 anosluz da Terra e não possui nenhum movimento em relação à Terra a não ser o movimento associado à expansão do universo Se a distância entre o astro e a Terra aumenta de acordo com a lei de Hubble com H 218 mms anoluz a qual será a distância adicional entre o astro e a Terra daqui a um ano e b com que velocidade o astro está se afastando da Terra 35 Se a lei de Hubble pudesse ser extrapolada indefinidamente para qual distância a velocidade aparente de recessão das galáxias seria igual à velocidade da luz 36 Qual teria que ser a massa do Sol para que Plutão o planeta mais distante a maior parte do tempo tivesse a mesma velocidade orbital que Mercúrio o planeta mais próximo possui hoje em dia Use os dados do Apêndice C expresse a resposta em termos da massa atual do Sol MS e suponha que as órbitas dos dois planetas sejam circulares 37 O comprimento de onda para o qual um corpo aquecido a uma temperatura T irradia ondas eletromagnéticas com maior intensidade é dado pela lei de Wien λmáx 2898 μm KT a Mostre que a energia E de um fóton correspondente a esse comprimento de onda é dada por E 428 1010 MeVKT b Qual é a menor temperatura para a qual um fóton com essa energia é capaz de criar um par elétron pósitron como é discutido no Módulo 213 38 Use a lei de Wien veja o Problema 37 para responder às seguintes perguntas a Se a intensidade da radiação cósmica de fundo é máxima para um comprimento de onda de 11 mm qual é a temperatura correspondente b Cerca de 379000 anos após o Big Bang o universo se tornou transparente à radiação eletromagnética Se nessa ocasião a temperatura era 2970 K qual era a comprimento de onda correspondente 39 O universo continuará a se expandir para sempre Para tentar responder a essa pergunta suponha que a teoria da energia escura esteja errada e que a velocidade de recessão v de uma galáxia situada a uma distância ρ da Terra depende apenas da atração gravitacional da matéria contida em uma esfera de raio ρ e centro na Terra Se a massa total no interior da esfera é M a velocidade de escape ve da esfera é Eq 1328 a Mostre que para que a expansão não continue indefinidamente a massa específica média no interior da esfera deve ser pelo menos igual a b Calcule o valor numérico dessa densidade crítica e expresse a resposta em átomos de hidrogênio por metro cúbico As medidas experimentais da densidade média do universo são complicadas pela presença da matéria escura 40 Como a velocidade aparente de recessão dos quasares e galáxias situados a uma grande distância da Terra é próxima da velocidade da luz é preciso usar a fórmula relativística do deslocamento Doppler Eq 3731 Esse deslocamento é normalmente expresso em termos do desvio relativo para o vermelho z Δλλ0 a Mostre que em termos de z o parâmetro de velocidade β vc é dado por b No caso de um quasar descoberto em 1987 z 443 Calcule o valor do parâmetro de velocidade c Determine a distância do quasar supondo que a lei de Hubble seja válida para essa distância 41 Um elétron salta do nível n 3 para o nível n 2 de um átomo de hidrogênio de uma galáxia distante emitindo luz no processo Se detectamos essa luz com um comprimento de onda de 300 mm por qual fator foi multiplicado o comprimento da luz e portanto o tamanho do universo desde o instante em que a luz foi emitida 42 Devido à presença da radiação cósmica de fundo a menor temperatura possível de um gás no espaço interestelar ou intergaláctico não é 0 K e sim 27 K Isso significa que uma fração significativa das moléculas que existem no espaço se encontra em estados excitados O decaimento dessas moléculas para o estado fundamental é acompanhado pela emissão de fótons que podem ser detectados na Terra Considere uma molécula hipotética com apenas um estado excitado a Qual teria que ser a diferença de energia entre o estado excitado e o estado fundamental para que 25 das moléculas em média estivessem no estado excitado Sugestão Use a Eq 4029 b Qual seria o comprimento de onda do fóton emitido em uma transição do estado excitado para o estado fundamental 43 Suponha que o raio do Sol aumentasse para 590 1012 m o raio médio da órbita do planeta Plutão que a distribuição de massa do novo Sol fosse uniforme que a massa do Sol permanecesse a mesma e que os planetas girassem no interior do novo astro Supondo que o raio da órbita da Terra permanecesse o mesmo a calcule a velocidade orbital da Terra na nova configuração e b calcule a razão entre a velocidade orbital calculada no item a e a velocidade orbital atual que é 298 kms c Qual seria o novo período de revolução da Terra 44 Suponha que a matéria estrelas gás poeira de uma certa galáxia de massa M esteja distribuída uniformemente em uma esfera de raio R Uma estrela de massa μ está girando em torno do centro da galáxia em uma órbita circular de raio ρ R a Mostre que a velocidade orbital v da estrela é dada por e que o período de revolução T é dado por qualquer que seja o valor de r Ignore as forças de atrito b Suponha agora que a massa da galáxia esteja concentrada na região central no interior de uma esfera de raio menor que r Qual é a nova expressão do período orbital da estrela Problemas Adicionais 45 Nunca foi observado um méson com número quântico de carga q 1 e número quântico de estranheza S 1 ou com q 1 e S 1 Explique a razão em termos do modelo de quarks 46 A Fig 4412 é um gráfico hipotético da velocidade de recessão v de várias galáxias em função da distância r que as separa da Terra a reta que melhor se ajusta às observações também está indicada na figura Determine a partir do gráfico a idade do universo supondo que a lei de Hubble seja válida e que o valor da constante de Hubble se mantenha constante durante a expansão do universo Figura 4412 Problema 46 47 Qual seria a energia liberada se a Terra fosse aniquilada pela colisão com uma antiTerra 48 O jogo das partículas A Fig 4413 mostra os rastros produzidos por partículas em um experimento fictício realizado em uma câmara de nuvens com um campo magnético uniforme perpendicular ao plano do papel e a Tabela 446 mostra os números quânticos fictícios das partículas responsáveis pelos rastros A partícula A entrou na câmara pela esquerda produzindo o rastro 1 e decaindo em três partículas A partícula responsável pelo rastro 6 decaiu em outras três partículas e a partícula responsável pelo rastro 4 decaiu em outras duas partículas uma das quais não possuía carga elétrica a trajetória da última partícula está representada por uma reta tracejada Sabese que o número quântico de seriedade da partícula responsável pelo rastro 8 é zero Figura 4413 Problema 48 Supondo que todos os números quânticos fictícios associados às partículas sejam conservados e levandose em conta o sentido da curvatura dos rastros identifique as partículas responsáveis pelo rastro a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 f 6 g 7 h 8 e i 9 Uma das partículas que aparecem na tabela não é observada as outras são observadas uma vez cada uma Tabela 446 Problema 4448 Partícula Carga Graça Seriedade Simpatia A 1 1 2 2 B 0 4 3 0 C 1 2 3 1 D 1 1 0 1 E 1 0 4 2 F 1 0 0 0 G 1 1 1 1 H 3 3 1 0 I 0 6 4 6 J 1 6 4 6 49 A Fig 4414 mostra parte do arranjo experimental que levou à descoberta dos antiprótons na década de 1950 Os pesquisadores fizeram um feixe de prótons de 62 GeV produzido em um acelerador de partículas colidir com os núcleos atômicos de um alvo de cobre De acordo com as previsões teóricas da época as colisões com os prótons e nêutrons dos núcleos de cobre deveriam produzir antiprótons por meio das reações p p p p p e p n p n p Entretanto mesmo que essas reações ocorressem seriam raras em comparação com as reações p p p p π π e p n p n π π Assim esperavase que a maioria das partículas produzidas pelas colisões entre os prótons de 62 GeV e o alvo de cobre fossem píons Para distinguir os antiprótons de outras partículas produzidas nas colisões os pesquisadores fizeram as partículas que deixavam o alvo passar por uma série de campos magnéticos e detectores como mostra a Fig 4414 O primeiro campo magnético M1 encurvava a trajetória das partículas de tal forma que para chegar ao segundo campo magnético Q1 as partículas tinham que ter carga negativa e um momento de 119 GeVc Isso excluía todas as partículas exceto os antiprótons e os píons negativos π Q1 era um tipo especial de campo magnético campo quadrupolar usado para focalizar as partículas em um feixe estreito permitindo que atravessassem um furo na blindagem para chegar ao cintilômetro S1 A passagem pelo cintilômetro de uma partícula carregada produzia um sinal que indicava a chegada de um píon negativo de 119 GeVc ou possivelmente de um antipróton de 119 GeVc Depois de ser focalizado novamente pelo campo magnético Q2 o feixe era dirigido pelo campo magnético M2 para um segundo cintilômetro S2 seguido por dois contadores de Cerenkov C1 e C2 que emitiam um sinal apenas quando atravessados por uma partícula cuja velocidade estava dentro de um certo intervalo No experimento uma partícula com uma velocidade maior que 079c fazia disparar o contador C1 enquanto uma partícula com uma velocidade entre 075c e 078c fazia disparar o contador C2 Havia portanto duas formas de distinguir os antiprótons mais raros dos píons negativos mais abundantes Ambas se baseavam no fato de que a velocidade de um de 119 GeVc e a de um π de 119 GeVc são diferentes 1 De acordo com os cálculos um dispararia um dos contadores de Cerenkov e um π dispararia o outro 2 O intervalo de tempo Δt entre os sinais produzidos pelos cintilômetros S1 e S2 que estavam separados por uma distância de 12 m seria diferente para as duas partículas Assim se o contador de Cerenkov correto fosse disparado e o intervalo de tempo Δt tivesse o valor correto o experimento provaria a existência de antiprótons Qual é a velocidade a de um antipróton com um momento de 119 GeVc e b de um píon negativo com o mesmo momento A velocidade de um antipróton ao passar pelos detectores de Cerenkov seria na verdade ligeiramente menor que o valor calculado já que o antipróton perderia um pouco de energia no interior dos detectores Qual dos detectores seria disparado c por um antipróton e d por um píon negativo Qual seria o intervalo de tempo Δt e para um antipróton e f para um píon negativo Este problema foi adaptado do artigo de O Chamberlain E Segrè C Wiegand e T Ypsilantis Observation of Antiprotons Physical Review Vol 100 pp 947950 1955 Figura 4414 Problema 49 50 Mostre que o decaimento hipotético do próton dado pela Eq 4414 não viola as leis de conservação a de carga b de energia e c de momento linear d O que dizer da lei de conservação do momento angular 51 Desvio cosmológico para o vermelho A expansão do universo é representada frequentemente por um desenho como o da Fig 4415a Na figura estamos situados no ponto VL as iniciais de Via Láctea a nossa galáxia na origem de um eixo r que se afasta de nós em uma direção qualquer Outras galáxias muito distantes da nossa também estão representadas As setas associadas a essas galáxias mostram a velocidade de cada uma de acordo com o desvio para o vermelho da luz que recebemos Segundo a lei de Hubble a velocidade de cada galáxia é proporcional à distância que a separa de nós Desenhos como esse podem causar uma impressão errônea porque parecem mostrar 1 que os desvios para o vermelho se devem ao movimento das galáxias em relação à Terra enquanto se deslocam em um espaço estático estacionário e 2 que estamos no centro de todo esse movimento Figura 4415 Problema 51 Na verdade a expansão do universo e o aumento da distância entre as galáxias não se devem ao movimento divergente das galáxias em um espaço preexistente mas à expansão do próprio espaço O espaço não é estático e sim dinâmico As Figs 4415b 4415c e 4415d mostram uma forma diferente de representar o universo e sua expansão Cada parte da figura constitui uma seção unidimensional do universo ao longo do eixo r as outras duas dimensões espaciais do universo não são mostradas Cada uma das três partes da figura mostra a Via Láctea e seis outras galáxias representadas por pontos as seções estão situadas em diferentes posições ao longo do eixo dos tempos com t3 t2 t1 Na seção b a mais antiga a Via Láctea e as seis outras galáxias estão mais próximas entre si Com a passagem do tempo o universo se expande o que faz aumentar a distância entre as galáxias Observe que as figuras foram traçadas do ponto de vista da Via Láctea e por isso as outras galáxias parecem se afastar da Via Láctea por causa da expansão Na verdade a Via Láctea não ocupa uma posição especial as galáxias também pareceriam se afastar de qualquer outro ponto escolhido como referência As Figs 4416a e 4416b mostram apenas a Via Láctea e uma das outras galáxias a galáxia A em dois instantes de tempo diferentes durante a expansão Na Fig 4416a a galáxia A se encontra a uma distância r da Via Láctea e está emitindo uma onda luminosa de comprimento de onda λ Na Fig 4416b após um intervalo de tempo Δt a onda está sendo detectada na Terra Vamos chamar de α a taxa de expansão do universo por unidade de tempo e supor que essa taxa se mantém constante durante o intervalo de tempo Δt Nesse caso durante o intervalo Δt todas as dimensões espaciais sofrem uma expansão de αΔt assim a distância r aumenta de rαΔt A onda luminosa das Figs 4416a e 4416b se propaga com velocidade c da galáxia A até a Terra a Mostre que O comprimento de onda detectado λ é maior que λ o comprimento de onda emitido porque o espaço se expandiu durante o intervalo de tempo Δt Esse aumento do comprimento de onda é chamado de desvio cosmológico para o vermelho não se trata de um efeito Doppler b Mostre que a variação do comprimento de onda Δλ λ λ é dada por c Calcule a expansão binomial veja o Apêndice E do lado direito da equação d Qual é o valor da razão Δλλ se for conservado apenas o primeiro termo da expansão Figura 4416 Problema 51 Por outro lado se usarmos o modelo da Fig 4415a e supusermos que o desvio para o vermelho Δλ se deve ao efeito Doppler teremos de acordo com a Eq 3736 em que v é a velocidade radial da galáxia A em relação à Terra e Depois de usar a lei de Hubble para determinar a velocidade da galáxia A compare o valor da razão Δλλ obtido usando esse modelo com o resultado do item d e calcule o valor de α em termos da constante de Hubble Essa análise mostra que os dois modelos usados para explicar o desvio para o vermelho das galáxias distantes levam aos mesmos resultados Suponha que a luz proveniente da galáxia A apresente um desvio para o vermelho Δλλ 0050 e que a taxa de expansão do universo tenha se mantido constante com o valor dado neste capítulo desde que a luz foi emitida pela galáxia f Use o resultado do item b para calcular qual era a distância entre a galáxia e a Terra na época em que a luz foi emitida Determine há quanto tempo a luz foi emitida pela galáxia g usando o resultado do item a e h supondo que o desvio para o vermelho se deva ao efeito Doppler Sugestão No caso do item h o tempo é dado pela distância no instante da emissão dividida pela velocidade da luz já que como estamos imaginando que o desvio para o vermelho se deve ao efeito Doppler a distância não varia durante o tempo que a luz leva para chegar à Terra Nesse caso os resultados dos dois modelos são diferentes i Qual é a distância entre a galáxia A e a Terra no instante em que a luz é detectada Estamos supondo que a galáxia A ainda existe se ela deixasse de existir os humanos só tomariam conhecimento do fato no instante em que a última luz emitida pela galáxia chegasse à Terra Suponha que a luz proveniente da galáxia B Fig 4416c apresente um desvio para o vermelho Δλλ 0080 j Use o resultado do item b para determinar a distância entre a galáxia B e a Terra no instante em que a luz foi emitida k Use o resultado do item a para determinar há quanto tempo a luz foi emitida pela galáxia B l Quando a luz que detectamos da galáxia A foi emitida qual era a distância entre a galáxia A e a galáxia B 52 Calcule a diferença de massa em quilogramas entre o múon e o píon do Exemplo 4401 53 Quais são os quarks que compõem a a partícula csi menos e b a partícula anticsi menos Os quarks charme bottom e top não fazem parte da partícula Sugestão Veja a Tabela 443 54 Um elétron e um pósitron ambos com uma energia de 2500 MeV se aniquilam mutuamente dando origem a um par de fótons que se propagam em sentidos opostos Qual é a frequência dos fótons 1Atualmente a interação que mantém os núcleons unidos é chamada de interação nuclear Essa interação é considerada um efeito secundário da interação forte entre os quarks que será discutida mais adiante NT A origem do nome está em um pensamento atribuído a Buda Esta ó monges é a nobre verdade do caminho que leva à cessação da dor Este é o nobre Caminho Óctuplo visão correta intenção correta discurso correto ação correta vida correta esforço correto atenção correta e concentração correta O óctuplo se refere ao número de partículas dos primeiros grupamentos descobertos por GellMann que são os que aparecem na Fig 443 mais tarde descobriuse que o grupamento dos mésons contém nove partículas e não oito 2Do inglês Quantum Electrodynamics NT 3Do inglês Quantum Chromodynamics NT 4O parsec corresponde à distância de uma estrela cuja paralaxe anual é um segundo de arco NT APÊNDICE A O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SI Tabela 1 As Unidades Fundameo SI Grandeza Nome Símbolo Definição comprimento metro m a distância percorrida pela luz no vácuo em 1299792458 de segundo 1983 massa quilograma kg este protótipo um certo cilindro de platinairídio será considerado daqui em diante como a unidade de massa 1889 tempo segundo s aduração de 9192631770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133 1967 em repouso a 0 K 1997 corrente elétrica ampère A a corrente constante que se mantida em dois condutores paralelos retos de comprimento infinito de seção transversal circular desprezível e separados por uma distância de 1 m no vácuo produziria entre esses condutores uma força igual a 2 107 newton por metro de comprimento 1946 temperatura termodinâmica kelvin K a fração 127316 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água 1967 quantidade de matéria mol mol a quantidade de matéria de um sistema que contém um número de entidades elementares igual ao número de átomos que existem em 0012 quilograma de carbono 12 1971 intensidade luminosa candela cd a intensidade luminosa em uma dada direção de uma fonte que emite radiação monocromática de frequéncia 540 1012 hertz e que irradia nesta direção com uma intensidade de 1683 watt por esferorradiano 1979 Tabela 2 Algumas Unidades Secundárias do SI Grandeza Nome da Unidade Símbolo área metro quadrado m2 volume metro cúbico m3 frequência hertz Hz s1 massa específica quilograma por metro cúbico kgm3 velocidade metro por segundo ms velocidade angular radiano por segundo rads aceleração metro por segundo ao quadrado ms2 aceleração angular radiano por segundo ao quadrado rads2 força newton N kg ms2 pressão pascal Pa Nm2 trabalho energia quantidade de calor joule J N m potência watt W Js quantidade de carga elétrica coulomb c As diferença de potencial força eletromotriz volt V WA intensidade de campo elétrico volt por metro ou newton por coulomb Vm NC resistência elétrica ohm Ω VA capacitância farad F AsV fluxo magnético weber Wb Vs indutância henry H VsA densidade de fluxo magnético tesla T Wbm2 intensidade de campo magnético ampère por metro Am entropia joule por kelvin JK calor específico joule por quilogramakelvin Jkg K condutividade térmica watt por metrokelvin Wm K intensidade radiante watt por esferorradiano Wsr Tabela 3 As Unidades Suplementares do SI Grandeza Nome da Unidade Símbolo ângulo plano radiano rad ângulo sólido esferorradiano sr Adaptado de The International System of Units SI Publicação Especial 330 do National Bureau of Standards edição de 2008 As definições acima foram adotadas pela Conferência Nacional de Pesos e Medidas órgão internacional nas datas indicadas A candela não é usada neste livro APÊNDICE B ALGUMAS CONSTANTES FUNDAMENTAIS DA FÍSICA Constante Símbolo Valor Prático Melhor Valor 2010 Valora Incertezab Velocidade da luz no vácuo c 300 108 ms 2997 924 58 exata Carga elementar e 160 1019C 1602 176 565 0022 Constante gravitacional G 667 1011 m3s2 kg 6673 84 120 Constante universal dos gases R 831 Jmol K 8314 462 1 091 Constante de Avogadro NA 602 1023 mol1 6022 141 29 0044 Constante de Boltzmann k 138 1023 JK 1380 648 8 091 Constante de StefanBoltzmann σ 567 108 Wm2K4 5670 373 36 Volume molar de um gás ideal nas CNTPC Vm 227 102 m3mol 2271 095 3 091 Constante elétrica ɛ0 885 1012 Fm 8854 187 817 exata Constante magnética μ0 126 106 Hm 1256 637 061 exata Constante de Planck h 663 1034 J s 6626 06957 0044 Massa do elétrond me 911 1031 kg 9109 382 91 0044 549 104 u 5485 799 094 6 40 104 Massa do prótond mp 167 1027 kg 1672 621 777 0044 10073 u 1007 276 466 812 89 105 Razão entre a massa do próton e a massa do elétron mpme 1840 1836152 67245 41 104 Razão entre a massa e a carga do elétron eme 176 1011 Ckg 1758 820 088 0022 Massa do nêutrond mn 168 1027kg 1674 927 351 0044 10087 u 1008 664 916 00 42 104 Massa do átomo de hidrogêniod m1H 10078 u 1007 825 032 07 10 104 Massa do átomo de deutériod m2H 20136 u 2014 101 778 040 40 105 Massa do átomo de héliod m4He 40026 u 4002 603 254 131 15 105 Massa do múon mμ 188 10 28 kg 1883 531 475 0051 Momento magnético do elétron μe 928 1024 JT 9284 764 30 0022 Momento magnético do próton μp 141 1026 JT 1410 606 743 0024 Magnéton de Bohr μB 927 1024 JT 9274 009 68 0022 Magnéton nuclear μN 505 1027 JT 5050 783 53 0022 Raio de Bohr a 529 1011 m 5291 772 109 2 32 104 Constante de Rydberg R 110 107m1 1097 373 156 853 9 50 106 Comprimento de onda de Compton do elétron λC 243 1012 m 2426 310 238 9 65 104 aOs valores desta coluna têm a mesma unidade e potência de 10 que o valor prático bPartes por milhão cCNTP significa condições normais de temperatura e pressão 0C e 10 atm 01 MPa dAs massas dadas em u estão em unidades unificadas de massa atómica 1 u 1660 538 782 1027 kg Os valores desta tabela foram selecionados entre os valores recomendados pelo Codata em 2010 wwwphysicsnistgov APÊNDICE C ALGUNS DADOS ASTRONÔMICOS Algumas Distâncias da Terra Á Lua 382 108 m Ao centro da nossa galáxia 22 1020 m Ao Sol 150 1011 m À galáxia de Andrômeda 21 1022 m À estrela mais próxima Proxima Centauri 404 1016 m Ao limite do universo observável 1026 m Distância média O Sol a Terra e a Lua Propriedade Unidade Sol Terra Lua Massa kg 199 1030 598 1024 736 1022 Raio médio m 696 108 637 106 174 106 Massa específica média kgm3 1410 5520 3340 Aceleração de queda livre na superfície ms2 274 981 167 Velocidade de escape kms 618 112 238 Período de rotaçãoa 37 d nos polosb 26 d no equadorb 23 h 56 min 273 d Potência de radiaçãoc W 390 1026 aMedido em relação às estrelas distantes bO Sol uma bola de gás não gira como um corpo rígido cPerto dos limites da atmosfera terrestre a energia solar é recebida a uma taxa de 1340 Wm2 supondo uma incidência normal Algumas Propriedades dos Planetas Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno Plutãod Distância média do Sol 106 km 579 108 150 228 778 1430 2870 4500 5900 Período de revolução anos 0241 0615 100 188 119 295 840 165 248 Período de rotaçãoa dias 587 243b 0997 103 0409 0426 0451b 0658 639 Velocidade orbital kms 479 350 298 241 131 964 681 543 474 Inclinação do eixo em relação à órbita 28 3 234 250 308 267 979 296 575 Inclinação da órbita em relação à órbita da Terra 700 339 185 130 249 077 177 172 Excentricidade da órbita 0206 00068 00167 00934 00485 00556 00472 00086 0250 Diâmetro equatorial km 4880 12 100 12 800 6790 143 000 120 000 51 800 49 500 2300 Massa Terra 1 00558 0815 1000 0107 318 951 145 172 0002 Densidade água 1 560 520 552 395 131 0704 121 167 203 Valor de g na superfíciec ms2 378 860 978 372 229 905 777 110 05 Velocidade de escapec kms 43 103 112 50 595 356 212 236 13 Satélites conhecidos 0 0 1 2 67 anel 62 anéis 27 anéis 13 anéis 4 aMedido em relação às estrelas distantes bVénus e Urano giram no sentido contrário ao do movimento orbital cAceleração gravitacional medida no equador do planeta dPlutão é atualmente classificado como um planeta anão APÊNDICE D FATORES DE CONVERSÃO Os fatores de conversão podem ser lidos diretamente das tabelas a seguir Assim por exemplo 1 grau 2778 103 revoluções e portanto 167 167 2778 103 revoluções As unidades do SI estão em letras maiúsculas Adaptado parcialmente de G Shortley and D Williams Elements of Physics 1971 PrenticeHall Englewood Cliffs NJ Ângulo Plano o RADIANOS rev 1 grau 1 60 3600 1745 102 2778 103 1 minuto 1667 102 1 60 2909 104 4630 105 1 segundo 2778 104 1667 102 1 4848 106 7716 107 1 RADIANO 5730 3438 2063 105 1 01592 1 revolução 360 216 104 1296 106 6283 1 Ângulo Sólido 1 esfera 4π esferorradianos 1257 esferorradianos Comprimento cm METROS km polegadas pés milhas 1 centímetro 1 102 105 03937 3281 102 6214 106 1 METRO 100 1 103 3937 3281 6214 104 1 quilômetro 105 1000 1 3937 104 3281 06214 1 polegada 2540 2540 102 2540 105 1 8333 102 1578 105 1 pé 3048 03048 3048 104 12 1 1894 104 1 milha 1609 105 1609 1609 6336 104 5280 1 1 angström 1010m 1 milha marítima 1852 m 1151 milha 6076 pés 1 fermi 1015 m 1 anoluz 9461 1012 km 1 parsec 3084 1013 km 1 braça 6 pés 1 raio de Bohr 5292 1011 m 1 jarda 3 pés 1 vara 165 pés 1 mil 103 polegadas 1 nm 109 m Área METROS2 cm2 pés2 polegadas2 1 METRO QUADRADO 1 104 1076 1550 1 centímetro quadrado 104 1 1076 103 01550 1 pé quadrado 9290 102 9290 1 144 1 polegada quadrada 6452 104 6452 6944 103 1 1 milha quadrada 2788 107 pés2 640 acres 1 barn 1028 m2 1 acre 43560 pés2 1 hectare 104 m2 2471 acres Volume METROS3 cm3 L pés3 polegadas3 1 METRO CÚBICO 1 106 1000 3531 6102 104 1 centímetro cúbico 106 1 1000 103 3531 105 6102 102 1 litro 1000 103 1000 1 3531 102 6102 1 pé cúbico 2832 102 2832 104 2832 1 1728 1 polegada cúbica 1639 105 1639 1639 102 5787 104 1 1 galão americano 4 quartos de galão americano 8 quartilhos americanos 128 onças fluidas americanas 231 polegadas3 1 galão imperial britânico 2774 polegadas3 1201 galão americano Massa As grandezas nas áreas sombreadas não são unidades de massa mas são frequentemente usadas como tais Assim por exemplo quando escrevemos 1 kg 2205 lb isso significa um quilograma é a massa que pesa 2205 libras em um local em que g tem o valorpadrão de 980665 ms2 g QUILOGRAMAS slug u onças libras toneladas 1 grama 1 0001 6852 105 6022 1023 3527 102 2205 103 1102 106 1 QUILOGRAMA 1000 1 6852 102 6022 1026 3527 2205 1102 103 1 slug 1459 104 1459 1 8786 1027 5148 3217 1609 102 unidade de massa atômica u 1661 1024 1661 1027 1138 1028 1 5857 1026 3662 1027 1830 1030 1 onça 2835 2835 102 1943 103 1718 1025 1 6250 102 3125 105 1 libra 4536 04536 3108 102 2732 1026 16 1 00005 1 tonelada 9072 105 9072 6216 5463 1029 32 104 2000 1 1 tonelada métrica 1000 kg Massa Específica As grandezas nas áreas sombreadas são pesos específicos e como tais dimensionalmente diferentes das massas específicas Veja a nota na tabela de massas slugpé3 QUILOGRAMASMETRO3 gcm3 lbpé3 lbpolegada3 1 slug por pé3 1 5154 05154 3217 1862 102 1 QUILOGRAMA por METRO3 1940 103 1 0001 6243 102 3613 105 1 grama por centímetro3 1940 1000 1 6243 3613 102 1 libra por pé3 3108 102 1602 1602 102 1 5787 104 1 libra por polegada3 5371 2768 104 2768 1728 1 Tempo ano d h min SEGUNDOS 1 ano 1 36525 8766 103 5259 105 3156 107 1 dia 2738 103 1 24 1440 8640 104 1 hora 1141 104 4167 102 1 60 3600 1 minuto 1901 106 6944 104 1667 102 1 60 1 SEGUNDO 3169 108 1157 105 2778 104 1667 102 1 Velocidade péss kmh METROSSEGUNDO milhash cms 1 pé por segundo 1 1097 03048 06818 3048 1 quilômetro por hora 09113 1 02778 06214 2778 1 METRO por SEGUNDO 3281 36 1 2237 100 1 milha por hora 1467 1609 04470 1 4470 1 centímetro por segundo 3281 102 36 102 001 2237 102 1 1 nó 1 milha marítimah 1688 pés 1 milhamin 8800 péss 6000 milhash Força O gramaforça e o quilogramaforça são atualmente pouco usados Um gramaforça 1 gf é a força da gravidade que atua sobre um objeto cuja massa é 1 grama em um local onde g possui o valorpadrão de 980665 ms2 dinas NEWTONS libras poundals gf kgf 1 dina 1 105 2248 106 7233 105 1020 103 1020 106 1 NEWTON 105 1 02248 7233 1020 01020 1 libra 4448 105 4448 1 3217 4536 04536 1 poundal 1383 104 01383 3108 102 1 1410 1410 102 1 gramaforça 9807 9807 103 2205 103 7093 102 1 0001 1 quilogramaforça 9807 105 9807 2205 7093 1000 1 1 tonelada 2000 libras Pressão atm dinascm2 polegadas de água cm Hg PASCALS libraspolegada2 libraspé2 1 atmosfera 1 1013 106 4068 76 1013 105 1470 2116 1 dina por centímetro2 9869 107 1 4015 104 7501 105 01 1405 105 2089 103 1 polegada de águaa a 4C 2458 103 2491 1 01868 2491 3613 102 5202 1 centímetro de mercúrioa a 0C 1316 102 1333 104 5353 1 1333 01934 2785 1 PASCAL 9869 106 10 4015 103 7501 104 1 1450 104 2089 102 1 libra por polegada2 6805 102 6895 104 2768 5171 6895 103 1 144 1 libra por pé2 4725 104 4788 01922 3591 102 4788 6944 103 1 aOnde a aceleração da gravidade possui o valorpadrão de 980665 ms2 1 bar 106 dinacm2 01 MPa 1 milibar 103 dinascm2 102 Pa 1 torr 1 mm Hg Energia Trabalho e Calor As grandezas nas áreas sombreadas não são unidades de energia mas foram incluídas por conveniência Elas se originam da fórmula relativística de equivalência entre massa e energia E mc2 e representam a energia equivalente a um quilograma ou uma unidade unificada de massa atómica u as duas últimas linhas e a massa equivalente a uma unidade de energia as duas colunas da extremidade direita Potência Btuh péslibrass hp cals kW WATTS 1 Btu por hora 1 02161 3929 104 6998 102 2930 104 02930 1 pélibra por segundo 4628 1 1818 103 03239 1356 103 1356 1 horsepower 2545 550 1 1781 07457 7457 1 caloria por segundo 1429 3088 5615 103 1 4186 103 4186 1 quilowatt 3413 7376 1341 2389 1 1000 1 WATT 3413 07376 1341 103 02389 0001 1 Campo Magnético gauss TESLAS miligauss 1 gauss 1 104 1000 1 TESLA 104 1 107 1 miligauss 0001 107 1 1 tesla 1 webermetro2 Fluxo Magnético maxwell WEBER 1 maxwell 1 108 1 WEBER 108 1 APÊNDICE E FÓRMULAS MATEMÁTICAS Geometria Círculo de raio r circunferência 2πr área πr2 Esfera de raio r área 4πr2 volume πr3 Cilindro circular reto de raio r e altura h área 2πr2 2πrh volume πr2h Triângulo de base a e altura h área ah Fórmula de Báskara Se ax2 bx c 0 então Funções Trigonométricas do Ângulo θ Teorema de Pitágoras Neste triângulo retângulo a2 b2 c2 Triângulos Ângulos A B C Lados opostos a b c A B C 180 c2 a2 b2 2ab cos C Ângulo externo D A C Sinais e Símbolos Matemáticos igual a aproximadamente igual a da ordem de grandeza de diferente de idêntico a definido como maior que muito maior que menor que muito menor que maior ou igual a não menor que menor ou igual a não maior que mais ou menos proporcional a Σ somatório de xméd valor médio de x Identidades Trigonométricas sen90 θ cos θ cos90 θ sen θ sen θcos θ tan θ sen2 θ cos2 θ 1 sen2 θ tan2 θ 1 csc2 θ cot2 θ 1 sen 2θ 2 sen θ cos θ cos 2θ cos2 θ sen2 θ 2 cos2 θ 1 1 2sen2 θ senα β sen α cos β cos α sen β cosα β cos α cos β sen α sen β sen α sen β 2 sen α β cos α θ cos α cos β 2 cos α β cos α θ cos α cos β 2 sen α β sen α θ Teorema Binomial Expansão Exponencial Expansão Logarítmica Expansões Trigonométricas θ em radianos Regra de Cramer Um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas x e y a1x b1y c1 e a2x b2y c2 tem como soluções e Produtos de Vetores Sejam î ĵ e vetores unitários nas direções x y e z respectivamente Nesse caso Qualquer vetor de componentes ax ay e az ao longo dos eixos x y e z pode ser escrito na forma Sejam e vetores arbitrários de módulos a b e c Nesse caso Seja θ o menor dos dois ângulos entre e Nesse caso Derivadas e Integrais Nas fórmulas a seguir as letras u e v representam duas funções de x e a e m são constantes A cada integral indefinida devese somar uma constante de integração arbitrária O Handbook of Chemistry and Physics CRC Press Inc contém uma tabela mais completa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 dx x² a² lnx x² a² 18 x dx x² a²32 1 x² a²12 19 dx x² a²32 x a²x² a²12 20 ₀ x2n1 eax² dx n2an1 a 0 21 x dx x d x d lnx d APÊNDICE F PROPRIEDADES DOS ELEMENTOS Todas as propriedades físicas são dadas para uma pressão de 1 atm a menos que seja indicado em contrário Elemento Símbolo Número Atômico Z Massa Molar gmol Massa Específica gcm3 a 20C Ponto de Fusão C Ponto de Ebulição C Calor Específico Jg c a 25C Actínio Ac 89 227 1006 1323 3473 0092 Alumínio A1 13 269815 2699 660 2450 0900 Amerício Am 95 243 1367 1541 Antimônio Sb 51 12175 6691 6305 1380 0205 Argônio Ar 18 39948 16626 103 1894 1858 0523 Arsênio As 33 749216 578 817 28 atm 613 0331 Astatínio At 85 210 302 Bário Ba 56 13734 3594 729 1640 0205 Berílio Be 4 90122 1848 1287 2770 183 Berquélio Bk 97 247 1479 Bismuto Bi 83 208980 9747 27137 1560 0122 Bóhrio Bh 107 26212 Boro B 5 10811 234 2030 111 Bromo Br 35 79909 312 líquido 72 58 0293 Cádmio Cd 48 11240 865 32103 765 0226 Cálcio Ca 20 4008 155 838 1440 0624 Califórnio Cf 98 251 Carbono c 6 1201115 226 3727 4830 0691 Cério Ce 58 14012 6768 804 3470 0188 Césio Cs 55 132905 1873 2840 690 0243 Chumbo Pb 82 20719 1135 32745 1725 0129 Cloro Cl 17 35453 3214 103 0C 101 347 0486 Cobalto Co 27 589332 885 1495 2900 0423 Cobre Cu 29 6354 896 108340 2595 0385 Copernício Cn 112 285 Criptônio Kr 36 8380 3488 103 15737 152 0247 Cromo Cr 24 51996 719 1857 2665 0448 Cúrio Cm 96 247 133 Darmstádtio Ds 110 271 Disprósio Dy 66 16250 855 1409 2330 0172 Dúbnio Db 105 262114 Einstêinio Es 99 254 Enxofre S 16 32064 207 1190 4446 0707 Érbio Er 68 16726 915 1522 2630 0167 Escândio Sc 21 44956 299 1539 2730 0569 Estanho Sn 50 11869 72984 231868 2270 0226 Estrôncio Sr 38 8762 254 768 1380 0737 Európio Eu 63 15196 5243 817 1490 0163 Férmio Fm 100 237 Ferro Fe 26 55847 7874 15365 3000 0447 Fleróvio F1 114 289 Flúor F 9 189984 1696 103 0C 2196 1882 0753 Fósforo P 15 309738 183 4425 280 0741 Frâncio Fr 87 223 27 Gadolínio Gd 64 15725 790 1312 2730 0234 Gálio Ga 31 6972 5907 2975 2237 0377 Germânio Ge 32 7259 5323 93725 2830 0322 Háfnio Hf 72 17849 1331 2227 5400 0144 Hássio Hs 108 265 Hélio He 2 40026 01664 103 2697 2689 523 Hidrogênio H 1 100797 008375 103 25919 2527 144 Hólmio Ho 67 164930 879 1470 2330 0165 Índio In 49 11482 731 156634 2000 0233 Iodo I 53 1269044 493 1137 183 0218 Irídio Ir 77 1922 225 2447 5300 0130 Itérbio Yb 70 17304 6965 824 1530 0155 Ítrio Y 39 88905 4469 1526 3030 0297 Lantânio La 57 13891 6189 920 3470 0195 Laurêncio Lr 103 257 Lítio Li 3 6939 0534 18055 1300 358 Livermório Lv 116 293 Lutécio Lu 71 17497 9849 1663 1930 0155 Magnésio Mg 12 24312 1738 650 1107 103 Manganês Mn 25 549380 744 1244 2150 0481 Meitnério Mt 109 266 Mendelévio Md 101 256 Mercúrio Hg 80 20059 1355 3887 357 0138 Molibdênio Mo 42 9594 1022 2617 5560 0251 Neodímio Nd 60 14424 7007 1016 3180 0188 Neônio Ne 10 20183 08387 103 248597 2460 103 Netúnio Np 93 237 2025 637 126 Níquel Ni 28 5871 8902 1453 2730 0444 Nióbio Nb 41 92906 857 2468 4927 0264 Nitrogênio N 7 140067 11649 103 210 1958 103 Nobélio No 102 255 Ósmio Os 76 1902 2259 3027 5500 0130 Ouro Au 79 196967 1932 106443 2970 0131 Oxigênio O 8 159994 13318 103 21880 1830 0913 Paládio Pd 46 1064 1202 1552 3980 0243 Platina Pt 78 19509 2145 1769 4530 0134 Plutônio Pu 94 244 198 640 3235 0130 Polônio Po 84 210 932 254 Potássio K 19 39102 0862 6320 760 0758 Praseodímio Pr 59 140907 6773 931 3020 0197 Prata Ag 47 107870 1049 9608 2210 0234 Promécio Pm 61 145 722 1027 Protactínio Pa 91 231 1537 estimada 1230 Rádio Ra 88 226 50 700 Radônio Rn 86 222 996 103 0C 71 618 0092 Rênio Re 75 1862 2102 3180 5900 0134 Ródio Rh 45 102905 1241 1963 4500 0243 Roentgênio Rg 111 280 Rubídio Rb 37 8547 1532 3949 688 0364 Rutênio Ru 44 101107 1237 2250 4900 0239 Rutherfórdio Rf 104 26111 Samário Sm 62 15035 752 1072 1630 0197 Seabórgio Sg 106 263118 Selênio Se 34 7896 479 221 685 0318 Silício Si 14 28086 233 1412 2680 0712 Sódio Na 11 229898 09712 9785 892 123 Tálio T1 81 20437 1185 304 1457 0130 Tântalo Ta 73 180948 166 3014 5425 0138 Tecnécio Tc 43 99 1146 2200 0209 Telúrio Te 52 12760 624 4495 990 0201 Térbio Tb 65 158924 8229 1357 2530 0180 Titânio Ti 22 4790 454 1670 3260 0523 Tório Th 90 232 1172 1755 3850 0117 Túlio Tm 69 168934 932 1545 1720 0159 Tungstênio W 74 18385 193 3380 5930 0134 Ununóctio Uuo 118 294 Ununpêntio Uup 115 288 Ununséptio Uus 117 Ununtrio Uut 113 284 Urânio U 92 238 1895 1132 3818 0117 Vanádio V 23 50942 611 1902 3400 0490 Xenônio Xe 54 13130 5495 103 11179 108 0159 Zinco Zn 30 6537 7133 41958 906 0389 Zircônio Zr 40 9122 6506 1852 3580 0276 Os números entre parênteses na coluna das massas molares são os números de massa dos isótopos de vida mais longa dos elementos radioativos Os pontos de fusão e pontos de ebulição entre parênteses são pouco confiáveis Os dados para os gases são válidos apenas quando eles estão no estado molecular mais comum como H2 He O2 Ne etc Os calores específicos dos gases são os valores a pressão constante Fonte Adaptada de J Emsley The Elements 3a edição 1998 Clarendon Press Oxford Veja também wwwwebelementscom para valores atualizados e possivelmente novos elementos Nome provisório APÊNDICE G TABELA PERIÓDICA DOS ELEMENTOS RESPOSTAS dos Testes e das Perguntas e Problemas Ímpares Capítulo 33 T 1 a Use a Fig 335 Do lado direito do retângulo aponta no sentido negativo do eixo y do lado esquerdo d é maior e aponta no mesmo sentido b aponta para baixo Do lado direito aponta no sentido negativo do eixo z do lado esquerdo d é maior e aponta no mesmo sentido 2 sentido positivo de x 3 a permanece constante b diminui 4 a d b c zero 5 a P 1 a sentido positivo do eixo z b x 3 a permanece constante b aumenta c diminui 5 a e b A 1 n 4 θ 30 7 a b c 9 B 11 nenhuma PR 1 749 GHz 3 a 515 nm b 610 nm c 555 nm d 541 1014 Hz e 185 1015 s 5 50 10 21 H 7 12 MWm2 9 010 MJ 11 a 67 nT b y c no sentido negativo do eixo y 13 a 103 kVm b 343 μT W 15 a 87 mVm b 029 nT c 63 kW 17 a 67 nT b 53 mWm2 c 67 W 19 10 107 Pa 21 59 108 Pa 23 a 468 1011 W b qualquer pequena perturbação tiraria a esfera da posição de equilíbrio pois nesse caso as duas forças deixariam de atuar ao longo do mesmo eixo 27 a 10 108 Hz b 63 108 rads c 21 m1 d 10 μT e z f 12 102 Wm2 g 80 107 N h 40 107 Pa 29 19 mms 31 a 017 μm b para perto do Sol 33 31 35 44 Wm2 37 a 2 filtros b filtros 39 a 19 Vm b 17 1011 Pa 41 20 ou 70 43 067 45 126 47 148 49 180 51 a 569 b 353 55 107 m 57 182 cm 59 a 489 b 290 61 a 268 b sim 63 a 1 sen2 θ05 b 205 c sim d não 65 232 67 a 139 b 281 c não 69 490 71 a 050 ms b 84 min c 24 h d 5446 aC 73 a 167 nT sen100 106 m1z 300 1014 s1t b 628 μm c 209 fs d 332 mWm2 e x f infravermelho 75 122 77 c 1376 d 1394 e 17 81 a o eixo z b 75 1014 Hz c 19 kWm2 83 a branca b avermelhada c não há luz refratada 85 15 109 ms2 87 a 35 mWm2 b 078 mW c 15 1017 Wm2 d 11 107 Vm e 025 fT 89 a 558 b 555 91 a 83 Wm2 b 17 MW 93 35 97 cos1p5005 99 8RI3c 101 0034 103 943 1010 T 105 a y b z c 191 kWm2 d Ez 120 kVm sen667 106 m1y 200 1015 s 1t e 942 nm f infravermelho 107 a 160 b 5808 Capítulo 34 T 1 02d 18d 22d 2 a real b invertida c do mesmo lado 3 a e b virtual do mesmo lado 4 virtual não invertida divergente P 1 a a b c 3 a a e c b três vezes c você 5 convexo 7 a todas exceto a combinação 2 b 1 3 4 à direita invertida 5 6 à esquerda a mesma 9 d infinita a e b empatadas c 11 a x b não c não d sim PR 1 910 m 3 111 5 351cm 7 105 cm 9 a 24 cm b 36 cm c 20 d R e I f M 11 a 20 cm b 44 cm c 056 d V e NI f O 13 a 36 cm b 36 cm c 30 d V e NI f O 15 a 16 cm b 44 cm c 044 d V e NI f O 17 b positivo c 40 cm e 20 cm f 20 g V h NI i O 19 a convexo b 20 cm d 20 cm f 050 g V h NI i O 21 a côncavo c 40 cm e 60 cm f 20 g R h I i M 23 a convexo b negativo c 60 cm d 12 m e 24cm g V h NI i O 25 a côncavo b 86 cm c 17 cm e 12 cm f negativo g R i M 27 a convexo c 60 cm d 30 cm f 050 g V h NI i O 29 b 20 cm c negativo d 50 cm e negativo f 080 g V h NI i O 31 b 056 cms c 11 ms d 67 cms 33 c 33 cm e V f M 35 d 26 cm e V f M 37 c 30 cm e V f M 39 a 200 b não 41 a 40 cm b 43 50 mm 45 186 mm 47 a 45 mm b 90 mm 49 22 cm 51 a 48 cm b 40 c V d NI e M 53 a 48 cm b 060 c V d NI e M 55 a 86 cm b 039 c V d NI e M 57 a 36 cm b 080 c R d I e O 59 a 55 cm b 074 c R d I e O 61 a 18 cm b 076 c V d NI e M 63 a 30 cm b 086 c V d NI e M 65 a 75 cm b 075 c V d NI e M 67 a 84 cm b 14 c R d I e O 69 a C d 10 cm e 20 f V g NI h M 71 a D b 53 cm d 40 cm f V g NI h M 73 a C b 33 cm d 50 cm f R g I h O 75 a D b negativo d 33 cm e 067 f V g NI 77 a C b 80 cm d 20 cm f V g NI h M 79 a C b positivo d 13 cm e 17 f V g NI h M 81 a 24 cm b 60 c R d NI e O 83 a 31 cm b 031 c R d I e O 85 a 46 cm b 069 c V d NI e M 87 a 55 cm b 012 c V d NI e M 89 a 30 cm b 523 cm c 325 d 313 e 102 91 a 35 cm b diminui 93 a 35 b 25 95 a 86 cm b 26 c R d NI e O 97 a 75 cm b 075 c R d I e O 99 a 24 cm b 058 c R d I e O 105 a 300 cm b 233 cm 107 a 40 cm b 20 cm c 40 cm d 40 cm 109 a 20 cm b 15 cm 111 a 60 mm b 16 kWm2 c 40 cm 113 100 cm 115 22 mm2 119 a 30 cm b não invertida c virtual d 10 121 a 12 cm 123 a 80 cm b 0 a 12 cm 127 a 80 cm b 16 cm c 48 cm 129 a para α 0500 rad 7799 cm para α 0100 rad 8544 cm para α 00100 rad 8571 cm utilizando a equação 8571 cm b para α 0500 rad 1356 cm para α 0100 rad 1205 cm para α 00100 rad 1200 cm usando a equação 1200 cm 131 42 mm 133 b Pn 135 a 05 2 nrn 1 b à direita 137 267 cm 139 a 333 cm b à esquerda c virtual d não invertida 141 a 1 25 cmf b 25 cmf c 35 d 25 Capítulo 35 T 1 b menor valor de n c a 2 a o de cima b um ponto claro a diferença de fase é 21 comprimentos de onda 3 a 3λ 3 b 25λ 25 4 a e d empatados a amplitude da onda resultante é 4E0 depois b e c empatados a amplitude da onda resultante é 2E0 5 a 1 e 4 b 1 e 4 P 1 a diminui b diminui c diminui d azul 3 a 2d b número ímparλ2 c λ4 5 a estado intermediário próximo de um máximo m 2 b mínimo m 3 c estado intermediário próximo de um máximo m 2 d máximo m 1 7 a máximo b mínimo c se alternam 9 a pico b vale 11 c d 13 c PR 1 a 155 nm b 310 nm 3 a 360 μm b mais próxima de construtiva 5 455 107 ms 7 156 9 a 155 μm b 465 μm 11 a 170 b 170 c 130 d todas empatadas 13 a 0833 b mais próxima da construtiva 15 648 nm 17 16 19 225 mm 21 72 μm 23 0 25 788 μm 27 664 μm 29 265 31 27 senωt 858 33 171 μVmsen20 1014 radst 35 120 nm 37 700 nm 39 a 0117 μm b 0352 μm 41 161 nm 43 560 nm 45 478 nm 47 509 nm 49 273 nm 51 409 nm 53 338 nm 55 a 552 nm b 442 nm 57 608 nm 59 528 nm 61 455 nm 63 248 nm 65 339 nm 67 329 nm 69 189 μm 71 0012 73 140 75m 12λR05 para m 0 1 2 77 100 m 79 588 nm 81 100030 83 a 500 nm b 362 nm 85 023 87 a 1500 nm b 2250 nm c 080 89 x D2am 05λ para m 0 1 2 91 a 228 b a refração reduz o valor de θ 93 600 nm 95 a 175 μm b 48 mm 97 Im cos22πxλ 99 a 420 ps b 423 ps c 432 ps d 418 ps e 4 101 33 μm 103 a mais clara b 594 nm c Razão principal as bandas coloridas se superpõem e ficam difíceis de distinguir Razão secundária as duas superfícies refletoras ficam tão separadas que os raios de luz refletidos por elas deixam de ser totalmente coerentes Capítulo 36 T 1 a se dilata b se dilata 2 a o segundo máximo secundário b 25 3 a vermelha b violeta 4 mais difícil 5 a esquerdo b menores P 1 a o mínimo correspondente a m 5 b o máximo aproximado entre os mínimos correspondentes a m 4 e m 5 3 a A B C b A B C 5 a 1 e 3 empatados depois 2 e 4 empatados b 1 e 2 empatados depois 3 e 4 empatados 7 a maiores b vermelha 9 a diminui b permanece constante c permanecem no mesmo lugar 11 a A b o da esquerda c à esquerda d à direita 13 a 1 e 2 empatados depois 3 b sim c não PR 1 a 25 mm b 22 104 rad 3 a 70 cm b 10 mm 5 a 700 nm b 4 c 6 7 604 μm 9 177 mm 11 160 13 a 018 b 046 rad c 093 15 d 525 e 101 f 506 17 b 0 c 0500 d 4493 rad e 0930 f 7725 rad g 196 19 a 19 cm b maior 21 a 11 104 km b 11 km 23 a 13 104 rad b 10 km 25 50 m 27 16 103 km 29 a 88 107 rad b 84 107 km c 0025 mm 31 a 0346 b 097 33 a 171 m b 137 1010 35 5 37 3 39 a 50 μm b 20 μm 41 a 743 103 b entre o mínimo correspondente a m 6 o sétimo e o máximo correspondente a m 7 o sétimo máximo secundário c entre o mínimo correspondente a m 3 o terceiro e o mínimo correspondente a m 4 o quarto 43 a 9 b 0255 45 a 621 b 450 c 320 47 3 49 a 60 μm b 15 μm c 9 d 7 e 6 51 a 21 b 21 c 11 53 a 470 nm b 560 nm 55 365 103 57 a 0032nm b 40 104 c 0076nm d 80 104 e 024nm f 12 105 59 015 nm 61 a 10 μm b 33 mm 63 109 103 ranhurasmm 65 a 017 nm b 013 nm 67 a 25 pm b 38 pm 69 026 nm 71 a 153 b 306 c 31 d 37 8 73 a 07071a0 b 04472a0 c 03162a0 d 02774a0 e 02425a0 75 a 625 nm b 500 nm c 416 nm 77 30 mm 83 a 13 b 6 85 595 pm 87 49 km 89 136 104 91 2 93 47 cm 97 36 cm 99 a a quarta b a sétima 103 a 24 μm b 080 μm c 2 107 9 Capítulo 37 T 1 a igual postulado da velocidade da luz b não o ponto inicial e o ponto final da medida não coincidem c não porque o tempo medido pelo passageiro não é um tempo próprio 2 a a Eq 2 b 090c c 25 ns d 70 m 3 a para a direita b maior 4 a igual b menor P 1 c 3 b 5 a C1 b C1 7 a 4 s b 3s c 5s d 4s e 10s 9 a 34 e 6 empatados depois 1 2 e empatados b 1 2 e 3 empatados 4 e 6 empatados c 1 2 3 4 5 6 d 2 e 4 e 1 2 11 a 3 1 e 2 empatados 4 b 4 1 e 2 empatados 3 c 1 4 2 3 PR 1 0990 50 3 a 0999 999 50 5 0446 ps 7 268 103 anos 9 a 874 m b 394 ns 11 132 m 13 a 2626 anos b 5226 anos c 3705 anos 15 a 0999 999 15 b 30 anosluz 17 a 138 km b 374 μs 19 a 258 μs b o pequeno clarão 21 a γ100 μs β400 m2998 108 ms d 0750 e 0 β 0750 f 0750 β 1 g não 23 a 125 b 0800 μs 25 a 0480 b negativo c o grande clarão d 439 μs 27 081c 29 a 035 b 062 31 12 μs 33 a 125 ano b 160 ano c 400 anos 35 229 MHz 37 013c 39 a 550 nm b amarela 41 a 196695 b 0999 987 43 a 10 keV b 11 MeV 45 110 km 47 101 107 km 49 a 0222 cm b 701 ps c 740 ps 51 283 mc 53 a γ2πmqB b não c 485 mm d 159 mm e 163 ps f 0334 ns 55 a 0707 b 141 c 0414 57 18 umsano 59 a 208 MeV b 121 MeV 61 d 0801 63 a νt sen θ b t1 vc cos θ c 324c 67 b 044c 69 a 193 m b 600 m c 136 ns d 136 ns e 0379 m f 305 m g 101 ns h não i 2 k não 1 ambos 71 a 54 104 kmh b 63 1010 73 189 MeV 75 87 103 anosluz 77 7 79 246 MeVc 81 027c 83 a 571 GeV b 665 GeV c 658 GeVc d 311 MeV e 362 MeV f 359 MeVc 85 095c 87 a 256 kV b 0745c 89 a 0858c b 0185c 91 0500c 93 a 119 MeV b 640 MeVc c 813 MeV d 640 MeVc 95 400 u provavelmente um núcleo de hélio 97 a 534 b 0999 998 25 c 223 T 99 a 415 mm b azul 101 a 88 kg b não 103 a 3 1018 b 2 1012 c 83 108 d 64 106 e 11 106 f 37 105 g 99 105 h 010 Capítulo 38 T 1 b a d c 2 a lítio sódio potássio césio b todos empatados 3 a são iguais b c d raios X 4 a o próton b são iguais c o próton 5 igual P 1 a maior b menor 3 é maior para o alvo de potássio 5 só depende de e 7 0 9 a é dividido por b é dividido por 2 11 porque a amplitude da onda refletida é menor que a da onda incidente 13 elétron nêutron partícula alfa 15 todas empatadas PR 1 a 21 μm b infravermelho 3 10 1045 fótonss 5 2047 eV 7 11 1010 W 9 a 296 1020 fótonss b 486 107 m c 589 1018 fótonsm2s 11 a a infravermelha b 14 1021 fótonss 13 47 1026 fótons 15 170 nm 17 676 kms 19 a 13 V b 68 102 kms 21 a 31 keV b 14 keV 23 a 200 eV b 0 c 200 V d 295 nm 25 a 382 nm b 182 eV 27 a 273 pm b 605 pm 29 a 857 1018 Hz b 355 104 eV c 354 keVc 31 300 33 a 81 109 b 49 10 4 c 89 d 66 e Os resultados mostram que o efeito Compton é significativo apenas nas faixas de raios X e de raios gama do espectro eletromagnético 35 a 243 pm b 132 fm c 0511 MeV d 939 MeV 37 a 418 keV b 82 keV 39 44 41 a 243 pm b 411 106 c 867 106 eV d 243 pm e 978 102 f 2445 keV 43 a 29 1010 m b raios X c 29 108 m d ultravioleta 45 a 935 μm b 147 105 W c 693 1014 fótonss d 233 1037 W e 587 10 19 fótonss 47 775 pm 49 a 19 1021 kgms b 346 fm 51 43 μeV 53 a 124 μm b 122 nm c 124 fm d 124 fm 55 a 15 keV b 120 keV c o microscópio eletrônico porque a energia necessária é muito menor 57 nêutron 59 a 396 106 ms b 817 kV 63 a ψx ψ0eikx ψ0cos kx i sen kx ψ0 cos kx iψ0 sen kx a ib b Φxt ψ0 coskx ωt iψ0 sen kx ωt 67 21 1024 kgms 69 O único valor surpreendente seria 12p 71 a 145 1011 m1 b 725 1010 m1 c 0111 d 556 104 73 481 mA 75 a 902 106 b 30 MeV c 30 MeV d 733 108 e 30 MeV f 30 MeV 77 a 20 b 10 c 15 79 a não b frentes de onda planas de extensão infinita perpendiculares ao eixo x 83 a 388 meV b 146 pm 85 a 414 1015 eVs b 231 eV 89 a não b 544 nm c verde Capítulo 39 T 1 b a c 2 a todos empatados b a b c 3 a b c d 4 E11 nx e ny não podem ser zero 5 a 5 b 7 P 1 a c b 3 a 18 b 17 5 igual 7 c 9 a diminui b aumenta 11 n 1 n 2 n 3 13 a n 3 b n 1 c n 5 15 b c e d PR 1 141 3 065 eV 5 085 nm 7 19 GeV 9 a 722 eV b 137 nm c 172 nm d 687 nm e 412 nm g 687 nm h 258 nm 11 a 13 b 12 13 a 0020 b 20 15 a 0050 b 010 c 00095 17 56 eV 19 109 eV 23 321 eV 25 14 103 27 a 8 b 075 c 100 d 125 e 375 f 300 g 225 29 a 7 b 100 c 200 d 300 e 900 f 800 g 600 31 40 33 a 121 eV b 645 1027 kg ms c 102 nm 35 a 291 nm3 b 102 nm1 41 a 00037 b 00054 43 a 136 eV b 272 eV 45 a r48a5expracos2 θ b r416a5exprasen2 θ 47 43 103 49 a 136 eV b 340 eV 51 068 59 b 2πh2mU0 E05 61 b metro25 63 a n b 2ℓ 1 c n2 65 a nhπmd2 b n2h24π2md2 67 a 39 1022 eV b 1020 c 30 1018 K 71 a e2r4πε0a3 b e4πε0ma3 005 73 181 362 543 663 724 μeV Capítulo 40 T 1 7 2 a diminui bc permanece constante 3 A C B P 1 a 2 b 8 c 5 d 50 3 são todas verdadeiras 5 o mesmo número 10 7 2 10 e 1 9 a 2 b 3 11 a n b n e ℓ 13 Além da energia quantizada o átomo de hélio possui energia cinética a energia total pode ser igual a 2066 eV PR 1 241 3 a 365 1034 Js b 316 1034 Js 5 a 3 b 3 7 a 4 b 5 c 2 9 a 346 b 346 c 3 d 3 e 3 f 300 g 547 h 150 13 72 kms2 15 a 547 b 125 17 19 mT 19 535 cm 21 44 23 42 25 a 51 b 53 c 56 27 a 2 0 0 12 2 0 0 12 b 2 1 1 12 2 1 1 12 2 1 0 12 2 1 0 12 2 1 1 12 2 1 1 12 29 g 31 a 4p b 4 c 4p d 5 e 4p f 6 33 124 kV 35 a 354 pm b 565 pm c 496 pm 39 0563 41 803 pm 43 a 695 kV b 178 pm c 213 pm d 185 pm 45 a 496 pm b 992 pm 47 20 l016 s1 49 2 107 51 90 107 53 73 1015 s1 55 a 360 mm b 524 1017 57 a 0 b 68 J 59 30 eV 61 a 303 105 b 143 GHz d 331 106 63 186 65 a 213 meV b 18 T 69 a não b 140 nm 71 n 3 l 3 mℓ 3 2 1 0 1 2 3 ms 12 12 73 a 60 b 32 106 anos 75 argônio 79 Ze4πε0r2 rR3 Capítulo 41 T 1 a maior b igual 2 a b e c P 1 b c d a última devido à dilatação térmica 3 8 5 menor 7 aumenta 9 muito menor 11 b e d PR 3 849 108 m3 5 b 681 107 m3eV32 c 152 1028 m3eV1 7 a 0 b 00955 9 a 586 1028 m3 b 549 eV c 139 103 kms d 0522 nm 11 a 136 1028 m3 eV1 b 168 1018 m 3eV1 c 901 1027 m3 eV1 d 956 1026 m3 eV1 e 171 1018 m3 eV1 13 a 681 eV b 177 1028 m3 eV1 c 159 1028 m3 eV1 15 a 250 103 K b 530 103 K 17 3 19 a 10 b 099 c 050 d 0014 e 24 l017 f 70 102 K 21 a 00055 b 0018 25 a 197 kJ b 197 s 27 a 131 1029 m3 b 943 eV c 182 103 kms d 040 nm 29 571 kJ 31 a 226 nm b ultravioleta 33 a 15 106 b 15 106 35 022 μg 37 a 479 1010 b 00140 c 0824 39 60 105 41 420 eV 43 13 μm 47 a 10958 b 238 pm 49 b 18 1028 m3 eV1 53 349 103 atm Capítulo 42 T 1 90As e 158Nd 2 um pouco maior que 75 Bq o tempo transcorrido é um pouco menor que três meias vidas 3 06Pb P 1 a 196Pt b não 3 sim 5 a menor b maior 7 240U 9 permanece a mesma 11 sim 13 a todos exceto 198Au b 132Sn e 208Pb 15 d PR 1 13 1013 m 3 466 fm 5 a 0390 MeV b 461 MeV 7 a 23 1017 kgm3 b 23 1017 kgm3 d 10 1025 Cm3 e 88 1024 Cm3 9 a 6 b 8 11 a 62 fm b sim 13 13 km 17 10087 u 19 a 9303 b 1171 21 b 792 MeVnúcleon 25 53 1022 27 a 0250 b 0125 29 a 642 h b 0125 c 00749 31 a 75 1016 s1 b 49 1016 s1 33 1 1013 átomos 37 265 mg 39 a 888 1010 s1 b 119 1015 c 0111 μg 41 112 1011 anos 43 90 108 Bq 45 a 32 1012 Bq b 86 Ci 47 a 20 1020 b 28 109 s1 49 a 12 1017 b 0 51 4269 MeV 53 121 MeV 55 0783 MeV 57 b 0961 MeV 59 783 eV 61 a 106 1019 b 0624 1019 c 168 1019 d 297 109 anos 63 17 mg 65 102 mg 67 250 mSv 69 a 63 1018 b 25 1011 c 020 J d 23 mGy e 30 mSv 71 a 66 MeV b não 73 a 254 MeV b 128 MeV c 250 MeV 75 7Li 77 32 104 anos 79 730 cm2 81 225Ac 83 30 MeV 89 27 91 a 11906 83 u b 2362025 u 93 600 keV 95 a 595 d b 118 97 a 48 1018 s1 b 46 109 anos Capítulo 43 T 1 c e d 2 e P 1 a 101 b 42 3 239Np 5 140I 105Mo 152Nd 123In 115Pd 7 aumenta 9 menor que 11 continua igual a 1 PR 1 a 16 d1 b 43 108 3 48 MeV 5 13 103 kg 7 31 1010 s1 9 a 26 1024 b 82 1013 J c 26 104 anos 11 230 MeV 13 a 251 MeV b a energia liberada em um evento de fissão típico é 200 MeV 15 a 84 kg b 17 1025 c 13 1025 17 a 153Nd b 110 MeV c 60 MeV d 16 107 ms e 87 106 ms 21 557 W 23 099938 25 b 10 c 089 d 028 e 0019 f 8 27 a 75 kW b 58 103 kg 29 17 109 anos 31 170 keV 33 141 MeV 35 1012 m 37 a 43 109 kgs b 31 104 41 16 108 anos 43 a 249 MeV b 865 megatons 45 a 18 1038 s1 b 82 1028 s1 47 a 41 eVátomo b 90 MJkg c 15 103 anos 49 144 kW 51 238U n 239U 239Np e ν 239Np 239Pu e ν 55 a 31 1031 prótonsm3 b 12 106 57 a 227 J b 493 mg c 227 kW Capítulo 44 T 1 a à família dos múons b uma partícula c Lμ 11 2 b e e 3 c P 1 b c d 3 a l b positiva 5 a b c d 7 d 9 c 11 a lépton b antipartícula c férmion d sim PR 1 π μ 3 24 pm 5 24 1043 7 769 MeV 9 27 cms 11 a do momento angular e do número leptônico eletrônico b da carga e do número leptônico muônico c da energia e do número leptônico muônico 15 a da energia b da estranheza c da carga 17 a sim b c d não 19 a 0 b 1 c 0 21 a K b c K0 23 a 377 MeV b 535 MeV c 324 MeV 25 a b 27 s 29 a Ξ0 b Ξ 31 277 108 anosluz 33 668 nm 35 14 1010 anosluz 37 a 26 K b 976 nm 39 b 57 átomosm3 41 457 103 43 a 121 ms b 000406 c 248 anos 47 108 1042 J 49 a 0785c b 0993c c C2 d C1 e 51 ns f 40 ns 51 c rαc rαc2 d rαc e α H f 65 108 anosluz g 69 108 anos h 65 108 anos i 69 108 anosluz j 10 109 anos luz k 11 109 anos l 39 108 anosluz 53 a ssd b FÓRMULAS MATEMÁTICAS Equação do Segundo Grau Se ax2 bx c 0 Teorema Binomial Produtos de Vetores Seja θ o menor dos dois ângulos entre e Nesse caso Identidades Trigonométricas Derivadas e Integrais Regra de Cramer Um sistema de duas equações com duas incógnitas x e y a1x b1y c1 e a2x b2y c2 tem como soluções e Uma lista mais completa está no Apêndice E PREFIXOS DO SI Fator Prefixo Símbolo Fator Prefixo Símbolo 1024 yotta Y 101 deci d 1021 zetta Z 102 centi c 1018 exa E 103 mili m 1015 peta P 106 micro μ 1012 tera T 109 nano n 109 giga G 1012 pico P 106 mega M 1015 femto f 103 quilo k 1018 atto a 102 hecto h 1021 zepto z 10 deca da 1024 yocto y ALGUMAS CONSTANTES FÍSICAS Velocidade da luz c 2998 108 ms Constante gravitacional G 6673 1011 N m2kg2 Constante de Avogadro NA 6022 1023 mol1 Constante universal dos gases R 8314 Jmol K Relação entre massa e energia c2 8988 1016 Jkg 93149 MeVu Constante de permissividade ε0 8854 1012 Fm Constante de permeabilidade μ0 1257 106 Hm Constante de Planck h 6626 1034J s 4136 1015 eV s Constante de Boltzmann k 1381 1023 JK 8617 105 eVK Carga elementar e 1602 1019C Massa do elétron me 9109 1031 kg Massa do próton mv 1673 1027 kg Massa do nêutron mn 1675 1027 kg Massa do dêuteron md 3344 1027 kg Raio de Bohr a 5292 1011 m Magnéton de Bohr μB 9274 1024 JT 5788 105 eVT Constante de Rydberg R 1097 373 107m1 Uma lista mais completa que mostra também os melhores valores experimentais está no Apêndice B ALFABETO GREGO Alfa A α Iota I ι Rô P ρ Beta B β Capa K κ Sigma Σ σ Gama Γ γ Lambda Λ λ Tau Τ τ Delta Δ δ Mi M μ Ípsilon Y υ Epsílon E ε Ni N υ Fi Φ ϕ φ Zeta Z ζ Csi Ξ ξ Qui X χ Eta H η Ômicron O o Psi Ψ ψ Teta θ θ Pi Π π Ômega Ω ω ALGUNS FATORES DE CONVERSÃO Massa e Massa Específica 1 kg 1000 g 602 1026 u 1 slug 1459 kg 1 u 1661 1027 kg 1 kgm3 103 gcm3 Comprimento e Volume 1 m 100 cm 394 in 328 ft 1 mi 161 km 5280 ft 1 in 254 cm 1 nm 109 m 10 Å 1 pm 1012 m 1000 fm 1 anoluz 9461 X 1015 m 1 m3 1000 L 353 ft3 264 gal Tempo 1 d 86 400 s 1 ano 365 d 6h 316 X 107 s Ângulos 1 rad 573 0159 rev π rad 180 rev Velocidade 1 ms 328 fts 224 mih 1 kmh 0621 mih 0278 ms Força e Pressão 1 N 105 dina 0225 lb 1 lb 445 N 1 t 2000 lb 1 Pa 1 Nm2 10 dinacm2 145 X 104 lbin2 1 atm 101 X 105 Pa 147 lbin2 760 cm Hg Energia e Potência 1 J 107 erg 02389 cal 0738 ft lb 1 kW h 36 X 106 J 1 cal 41868 J 1 eV 1602 X 1019 J 1 hp 746 W 550 ft lbs Magnetismo 1 T 1 Wbm2 104 gauss Uma lista mais completa está no Apêndice D A unidade de potência hp é uma abreviatura do inglês horsepower que não corresponde exatamente ao cavalovapor cv que é igual a 7355 W NT