Equações de Maxwell e Radiações Eletromagnéticas

Unidade ELETROMAGNETISMO Subunidade Teoria Eletromagnética TE Aula As Equações de Maxwell e a TE EQUAÇÕES DE MAXWELL a A Lei de Gauss Na forma integral e na forma diferencial Levando em conta o vetor densidade de fluxo elétrico o qual não depende do meio obtemos A v q E dA dv div H 0 0 A B dA divE divD b Ausência de Monopolos Magnéticos Na forma integral e na forma diferencial div B 0 Levando em conta o vetor campo magnético o qual não depende do meio obtemos RADIAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS NO VÁCUO Para um meio dielétrico sem carga líquida temos 0 e Jc 0 Portanto as EM ficam Aplicando o operador rotacional em c e levando em conta as propriedades do Cálculo Vetorial obtemos Sem perda de generalidade consideremos a radiação se propagando ao longo do eixo x cuja equação fica a div E 0 Substituindo a e d na equação anterior obtemos a equação de propagação da onda eletromagnética no meio a qual é dada por 2 2 2 E E t Quando comparamos a equação anterior com a da onda progressiva obtemos a velocidade de propagação a qual é dada por Substituindo os valores para o vácuo obtémse b div B 0 c rot B E t d rot E B t 2 rot divdiv B E E t 2 2 2 2 E x t E x t x t 1 v 8 310 ms v c Sucesso da Teoria FUNÇÃO DE ONDA ELETROMAGNÉTICA A solução para equação de propagação da onda eletromagnética é dada por Se para esse caso considerarmos o vetor campo elétrico vibrando no plano xy com amplitude 2 k Levando esta solução à equação da onda obtemos 0 cos E x t E kx t E aplicando a equação c ou d obtemos a solução com o vetor indução magnética dada por É o número de onda e o módulo do vetor de onda B kB kx t ˆ 0 cos v f Aonde 2 f É a frequência angular da onda Velocidade de fase da onda E jE 0 0 ˆ Aonde a amplitude desse vetor é dada por k E B E v 0 0 0 Como os vetores campo elétrico e indução magnética vibram perpendicularmente entre si obtemos a radiação eletromagnética se propagando ao longo do eixo x FUNÇÃO DE ONDA ELETROMAGNÉTICA Para uma direção de propagação qualquer as soluções generalizadas para os vetores campo elétrico e campo magnético são Para obter a relação entre as amplitudes das soluções generalizadas vamos partir da situação específica Aonde é o vetor de propagação da onda cujo o módulo é o número de onda E r t E k r t H r t H k r t 0 0 cos e cos Fazendo H k E k 0 0 Generalizando obtemos E B v jE kB iv jE k H i 0 0 0 0 0 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Podese obter a solução da equação de onda a partir da solução complexa da propagação de uma onda plana bastando para isso o uso das Relações de Euler o que dá k i k ˆ i k r t E r t E 0 Re e TRANSPORTE DE ENERGIA ELETROMAGNÉTICA As densidades de energia referentes aos campos elétricos e magnéticos se propagando no vácuo são respectivamente dadas por Usando a relação E B B u r t E u r t 2 2 0 0 1 1 e 2 2 uEM r t E 2 0 Obtemos B E Bv 0 0 A grandeza mensurada correspondente ao transporte de energia por uma onda eletromagnética é a intensidade da onda que a qual é dada por B E u r t E 2 2 0 0 0 0 1 1 2 2 Portanto a densidade de energia do campo eletromagnético é dada por U I A t Como E E E E k r t 2 2 2 0 cos O valor médio da densidade de energia é dado por uEM r t E 2 1 0 0 2 Pois k r t 2 1 cos 2 TRANSPORTE DE ENERGIA ELETROMAGNÉTICA De acordo com a figura ao lado podemos escrever a intensidade em função do volume de propagação a qual é dada por Portanto a intensidade da radiação eletromagnética é dada por Podemos obter o mesmo resultado a partir da média do módulo de Portanto E k E B k r t c k 2 2 0 cos Definindo o vetor de Poynting responsável pelo transporte de energia como I c E 2 1 0 0 2 I 2 No SI Wm U I uc V t E cE E B c c 2 2 0 0 2 2 2 E B S E H 0 Concluímos a intensidade da radiação eletromagnética é dada pelo valor médio do módulo do Vetor de Poynting c E E B 2 0 0 0 2 E B I 0 Ou Ou ainda