Trabalho de Sinais

Sinais e Sistemas Trabalho 2 Espaço de Estados Série de Fourier e Resposta em Frequência Prof José Luiz Apresentação 2507 1 A partir dos resultados obtidos no trabalho 1 obtenha a representação do motor de corrente contínua em espaço de estados e compare através de simulação com a representação em diagrama de blocos e função de transferência 2 Calcule os três primeiros termos não nulos da série de Fourier que representa a tensão de regime permanente vi se Vm 30π V e o período da tensão de entrada é igual 200π µs Através de simulação no LTspice compare a soma dos 3 três primeiros termos não nulos com o sinal original A onda quadrada de tensão da Figura a é aplicada ao circuito da Figura b 3 Desenhe o diagrama de Bode correspondente à função de transferência do circuito da figura b da questão anterior 4 A partir da resposta das questões 2 e 3 calcule o sinal de sáida vo e compare com o sinal em regime permanente simulado no Ltspice Sinais e Sistemas Trabalho 1 Motor de Corrente Contínua Prof José Luiz Apresentação 1107 Modelagem Motor de Corrente Contínua Um atuador comum em sistemas de controle é o motor DC Ele fornece diretamente o movimento rotativo e pode fornecer movimento translacional O circuito elétrico da armadura e o diagrama do rotor são mostrados na figura a seguir Para este exemplo assumiremos que a entrada do sistema é a fonte de tensão V aplicada à armadura do motor enquanto a saída é a velocidade de rotação do eixo d theta dt Considerase que o rotor e o eixo são rígidos Além disso assumimos um modelo de fricção viscosa ou seja o torque de fricção é proporcional à velocidade angular do eixo Os parâmetros físicos para o nosso exemplo são Jmomento de inércia do rotor kgm2 b constante de fricção viscosa do motorNms Ke constante de força eletromotriz Vradsec Kt Constante do torque do motor NmAmp R resistência elétrica Ohm L indutãncia elétrica H Modelagem Motor de Corrente Contínua Em geral o torque gerado por um motor DC é proporcional à corrente da armadura e à força do campo magnético Neste exemplo assumiremos que o campo magnético é constante e portanto que o torque do motor é proporcional somente à corrente da armadura i por um fator constante Kt como mostrado na equação abaixo Isso é referido como um motor controlado por armadura 1 A fem de retorno e é proporcional à velocidade angular do eixo por um fator constante Ke 2 Nas unidades SI o torque do motor e as constantes de fme de retorno são iguais isto é Kt Ke portanto vamos usar K para representar a constante de torque do motor e a constante de fem 1 Construindo o modelo com o diagrama de blocos no Simulink Este sistema será modelado ao somar os torques atuando sobre a inércia do rotor e integrando a aceleração para dar velocidade Além disso as leis da Kirchoff serão aplicadas ao circuito da armadura Primeiro modelaremos as integrais da aceleração rotacional e da taxa de mudança da corrente da armadura 3 4 Para construir o modelo de simulação abra o Simulink e abra uma nova janela do modelo Então siga a passos listados abaixo Insira um bloco Integrator da biblioteca Simulink Continuous e desenhe linhas de e para seus terminais de entrada e saída Rotule a linha de entrada d2 dt2 theta e a linha de saída d dt theta como mostrado abaixo Para adicionar esse rótulo clique duas vezes no espaço vazio logo abaixo da linha Insira outro bloco Integrador acima do anterior e desenhe linhas para e de seus terminais de entrada e saída Rotule a linha de entrada d dt i e a linha de saída i Construindo o modelo com diagrama de blocos no Simulink Em seguida aplicaremos a lei de Newton e a lei de Kirchoff ao sistema motor para gerar as seguintes equações 5 6 A aceleração angular é igual a 1 J multiplicado pela soma de dois termos um positivo um negativo Da mesma forma a derivada da corrente é igual a 1 L multiplicado pela soma de três termos um positivo dois negativos Continuando a modelar essas equações no Simulink siga as etapas abaixo Insira dois blocos de Ganho da biblioteca Simulink Math Operations um anexo a cada um dos integradores Edite o bloco Ganho correspondente à aceleração angular clicando duas vezes nele e alterando seu valor para 1 J Altere o rótulo deste bloco de ganho para Inertia clicando na palavra Ganho embaixo do bloco Da mesma forma edite o valor do outro Ganho em 1 L e seu rótulo para Inductance Insira dois blocos Add da biblioteca Simulink Math Operations um anexado por uma linha para cada um dos blocos Gain Edite os sinais do bloco Add correspondente à rotação para uma vez que um termo é positivo e um negativo Edite os sinais do outro Add bloco para para representar os sinais dos termos na equação elétrica Agora vamos adicionar os torques que são representados na equação rotacional Primeiro vamos adicionar o torque de amortecimento Insira o bloco de ganho abaixo do bloco Inertia Em seguida clique com o botão direito do mouse no bloco e selecione Format Flip Block no menu resultante para virar o bloco da esquerda para a direita Você também pode virar um bloco selecionado mantendo pressionada a tecla CtrlI Defina o valor Ganho como b e renomeie esse bloco para Damping Toque uma linha segure Ctrl ao desenhar ou clicar com o botão direito na linha da saída do integrador rotativo e conectálo à entrada do bloco Damping Desenhe uma linha da saída do bloco Damping para a entrada negativa do bloco Add Em seguida vamos adicionar o torque da armadura Insira um bloco de ganho ligado à entrada positiva do bloco de rotação Add com uma linha Edite seu valor em K para representar a constante do motor e rotulálo Kt Continue desenhando a linha que leva do Integrador atual e conecteo ao bloco Kt Agora adicionaremos os termos de tensão que são representados na equação elétrica Primeiro adicionaremos a queda de tensão através da resistência da armadura Insira um bloco de ganho acima do bloco Indutância e flip ele da esquerda para a direita Defina o valor Ganho como R e renomeie esse bloco para Resistência Toque uma linha da saída do Integrador atual e conectea à entrada do bloco Resistência Desenhe uma linha da saída do bloco Resistência para a entrada negativa superior do bloco Add de equação atual Em seguida vamos adicionar a força eletromotriz induzida do motor Insira um bloco Gain ligado à outra entrada negativa do bloco Add a uma linha Edite seu valor para K para representar a constante de emf do motor e rotulálo Ke Toque uma linha na saída do Integrador rotacional e conectea ao bloco Ke Adicione os blocos In1 e Out1 da biblioteca Simulink Portas e Subsistemas e em seguida rotulálos Voltage e Speed Para salvar todos esses componentes como um único bloco de subsistema primeiro selecione todos os blocos e selecione Criar subsistema do menu Editar Nomeie o subsistema DC Motor e em seguida guarde o modelo Seu modelo deve aparecer da seguinte maneira Para simular a resposta ao Degrau os detalhes da simulação devem primeiro ser definidos Isso pode ser feito selecionando parâmetros de configuração no menu Simulação Dentro do menu resultante defina o tempo para o qual a simulação deve ser executada no campo de tempo de parada Entraremos 3 pois 3 segundos serão longos o suficiente para que a resposta ao Degrau atinja o estado estacionário Dentro desta janela você também pode especificar vários aspectos do solucionador numérico mas usaremos os valores padrão para este exemplo Simulação no Simulink c Em seguida precisamos adicionar um sinal de entrada e um meio para exibir a saída de nossa simulação Isso é feito fazendo o seguinte Remova os blocos In1 e Out1 Insira um bloco Step da biblioteca Simulink Fontes e conecteo com uma linha à entrada de tensão do subsistema do motor Para visualizar a saída de Velocidade insira um Scope na biblioteca Simulink Sinks e conecte o à saída de Velocidade do subsistema do motor Para fornecer uma entrada Degrau Unitária apropriada em t0 clique duas vezes no bloco Step e defina o tempo de Step como 0 Em seguida execute a simulação pressione CtrlT ou selecione Iniciar no menu Simulação Quando a simulação for concluída clique duas vezes no SCOPE e aperte seu botão de escala automática Simulação no Simulink Lembre que os parâmetros físicos necessitam ser definidos previamente no workspace do Matlab Nome J b ke kt R L Ana Catarine Souza Lima 012 02 001 001 1 05 Guilherme Henrique Martins Cruz 009 02 001 001 2 05 2 A partir da equação diferencial que modela o sistema desenvolver a Função de Transferência Hs que representa o motor dc Hs Ω𝑠 𝑉𝑠 Onde Ωs é a transformada de Laplace da velocidade do eixo de carga ωt Vs é a transformada de Laplace da tensão de entrada do motor vt 3 A partir de Hs calcular a resposta a entrada degrau unitário e rampa unitária comparar com o resultado obtido realizando simulação utilizando o bloco transfer fcn do Simulink e o resultado obtido anteriormente utilizando o diagrama de blocos 4 A partir de Hs e uma entrada degrau unitário através do teorema do valor inicial e teorema do valor final obtenha o valor de w0 e w e compare com os resultados obtidos anteriormente Figure 1 Step response of the electrical subsystem 2 Hs Omegas Vs T kT i 1 e ke dot theta 2 d²theta dt² dt dtheta dt 3 di dt dt i 4 J d²theta dt² T b dtheta dt d²theta dt² 1J kT i b dtheta dt 5 L di dt R i V e di dt 1L R i V ke dtheta dt 6 Como dtheta dt Omega e passando as equacoes 5 e 6 para o dominio de Laplace obtemo s Omegas 1J kT Is b Omegas 5 s Is 1L R Is Vs ke Omegas 6 Isolando Omegas na 5 Omegas s bJ kT J Is Omegas kT J Taus s b J 7 Isolando Is na 6 Is s RL 1L Vs ke Omegas Is 1L Vs ke Omega s s R L 8 Substituindo 8 em 7 Omegas kT J 1 L Vs ke Omegas s R L s b J Omegas Vs ke Omegas s R L s b J J L Vs Omegas kT s R L s b J Vs Omegas kT Omegas ke JL s R L s b J kT Vs ke kT JL s R L s b J Figure 2 Step response of the electrical subsystem using the transfer function fracOmegasVin frackTke kT sJ left s2 leftfracbJ fracRLrights fracbRJLright fracOmegasVin frackTsJ s2 bL RJ s bR 3 Percebese resultado semelhante entre o bloco DC Motor e a função de transferência Hin 4 limt o infty winfty lims o 0 s Omegas como Vinfty frac1s omegainfty limlambda o 0 sHin frac1s lims o 0 Hin lims o 0 frackTsJ s2 bL RJ s bR frackTbR Winfty frackTbR frac00101 cdot 1 01 como visto nos gráficos limt o infty winfty lims o 0 sOmegas lims o 0 Hin lims o infty frackTsJ s2 bL RJ s bR 0 o W0 0 como nos gráficos Sendo Vm 30π V e T 200π µs e em se tratando de uma onda quadrada simétrica a decomposição desse sinal em série de Fourier é composta por senos apenas de ordem ímpar de modo que vit n13 5 4V m nπ sennω0t Assim os 3 primeiros termos não nulos são n1 A1430π 1 π 120 n3 A1430π 3π 40 n1 A1430π 5π 24 De modo que vit 120 senωt 40 sen3ωt 24 sen5ωt A seguir temse o gráfico comparativo de ambos os sinais Partindo para o cálculo da função de transferência do circuito em se tratando de um filtro RL série temse H s V os V is sL RsL 10 2s 30010 2s s s30000 Fazendo s jω H s jω jω30000 A partir da função de transferência e da decomposição em série de Fourier tornase possível aproximar a resposta desse filtro Assim basta calcular o módulo e a fase correspondente para cada uma dessas 3 primeiras frequências não nulas Como a frequência fundamental é de 104 H j10 4 10 4 10 8310 4 2 0316 H j 10 4arctan 10 4 310 418 43 Realizando o mesmo cálculo para a 3ª e 5ª harmônicas encontrase os seguintes valores H j310 40707 H j 310 445 H j510 4086 H j 510 459 Portanto vot 1200316 senωt1843400707sen 3ωt4524086sen5ωt59 vot 379sinωt032128 3sin3ωt0785206sin5ωt103 V s Comparando as duas saídas Resposta ao Degrau do Sistema por Espaço de Estados Amplitude Time seconds No text detected 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 01 02 03 04 05