Exercícios Resolvidos - Sistema de 1 GDL com Amortecimento - Professor Alexandre Ribeiro Andrade

Exercício resolvido Professor Alexandre Ribeiro Andrade Sistema de 1 GDL com Amortecimento Veja o desenho do sistema mecânico abaixo e calcule o que se pede para cada caso Dados do sistema Massa m 5 kg Comprimento a 030 m Comprimento b 045 m O engate da viga é um pivô rotulado Massa da viga desprezível Caso 1 Obtenha os valores c e k para que o fator de amortecimento do sistema seja ξ 005 Caso 2 Obtenha os valores c e k para que o fator de amortecimento do sistema seja ξ 100 Caso 3 Obtenha os valores c e k para que o fator de amortecimento do sistema seja ξ 125 Em cada caso mostre a equação do movimento e os gráficos deslocamento da massa m em relação ao tempo e a FFT indicando a frequência em Hz do sistema SOLUÇÃO 𝑃𝑎𝑟𝑎 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝑥1 𝑎 𝑥2 𝑏 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑥1 𝑎𝜃 𝑒 𝑥2 𝑏𝜃 1 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 ሶ𝑥1 𝑎 ሶ𝜃 𝑒 ሶ𝑥2 𝑏 ሶ𝜃 2 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 ሷ𝑥1 𝑎 ሷ𝜃 𝑒 ሷ𝑥2 𝑏 ሷ𝜃 Somatório dos momentos no ponto pivotado 𝑀𝑜 𝑎𝐹𝑚 𝑎𝐹𝑐 𝑏𝐹𝑘 𝑀𝑜 𝑎𝑚 ሷ𝑥1 𝑎𝑐 ሶ𝑥1 𝑏𝑘𝑥2 ቐ 𝐹𝑚 𝑚 ሷ𝑥1 𝐹𝑐 𝑐 ሶ𝑥1 𝐹𝑘 𝑘𝑥2 ൞ ሷ𝑥1 𝑎 ሷ𝜃 ሶ𝑥1 𝑎 ሶ𝜃 𝑥2 𝑏𝜃 𝑎𝑚𝑎 ሷ𝜃 𝑎𝑐𝑎 ሶ𝜃 𝑏𝑘𝑏𝜃 𝑎2𝑚 ሷ𝜃 𝑎2𝑐 ሶ𝜃 𝑏2𝑘𝜃 0 𝑎2𝑚 ሷ𝜃 𝑎2𝑐 ሶ𝜃 𝑏2𝑘𝜃 0 𝑎2 𝑚 ሷ𝜃 𝑐 ሶ𝜃 𝑏2 𝑎2 𝑘𝜃 0 𝑚 ሷ𝜃 𝑐 ሶ𝜃 𝑏 𝑎 2 𝑘𝜃 0 Equação diferencial parcial de 2 ordem EDP Possível solução da EDP 𝜃 𝑡 C𝑒𝑠𝑡 ሶ𝜃 𝑡 Cs𝑒𝑠𝑡 ሷ𝜃 𝑡 C𝑠2𝑒𝑠𝑡 𝑚C𝑠2𝑒𝑠𝑡 𝑐Cs𝑒𝑠𝑡 𝑏 𝑎 2 𝑘C𝑒𝑠𝑡 0 𝑚C𝑠2𝑒𝑠𝑡 𝑐Cs𝑒𝑠𝑡 𝑏 𝑎 2 𝑘C𝑒𝑠𝑡 0 𝐶𝑒𝑠𝑡 𝑚𝑠2 𝑐s 𝑏 𝑎 2 𝑘 0 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙 𝐶𝑒𝑠𝑡 0 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝐶 0 Solução não trivial 𝑚𝑠2 𝑐s 𝑏 𝑎 2 𝑘 0 Equação do 2 grau 𝑠12 𝑐 𝑐2 4𝑚 𝑏 𝑎 2 𝑘 2𝑚 𝑠12 𝑐 2𝑚 𝑐2 4𝑚2 4𝑚 𝑏 𝑎 2 𝑘 4𝑚2 𝑠12 𝑐 2𝑚 𝑐 2𝑚 2 𝑏 𝑎 2 𝑘 𝑚 𝑠12 𝑐 2𝑚 𝑐 2𝑚 2 𝑏 𝑎 2 𝑘 𝑚 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑐 𝑐𝑐 𝑐 2𝑚 2 𝑏 𝑎 2 𝑘 𝑚 0 𝑐𝑐 2𝑚 2 𝑏 𝑎 2 𝑘 𝑚 𝑐𝑐 2𝑚 2 𝑏 𝑎 2 𝑘 𝑚 0 𝑐𝑐 2𝑚 2 𝑏 𝑎 2 𝑘 𝑚 𝑐𝑐 2𝑚 𝑏 𝑎 𝑘 𝑚 𝑐𝑐 2𝑚 𝑏 𝑎 𝑘 𝑚 Como 𝜔𝑛 𝑘 𝑚 𝑐𝑐 2𝑚 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐 𝑐𝑐 𝑐 2𝑚 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝑐 2𝑚 𝑠12 𝑐 2𝑚 𝑐 2𝑚 2 𝑏 𝑎 2 𝑘 𝑚 𝑠12 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 2 𝑏 𝑎 2 𝜔𝑛 2 Então 𝜔𝑛2 𝑘 𝑚 𝑠12 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 2 𝑏 𝑎 2 𝜔𝑛 2 𝑏 𝑎 2 𝜔𝑛 2 𝑠12 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑏 𝑎 2 𝜔𝑛 2 𝑠12 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑠12 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝑠12 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝑠1 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝑠2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 Apresenta duas soluções possíveis escrever a solução como combinação linear 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 𝐶2𝑒𝑠2𝑡 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 1 caso 1 subamortecido 21 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑛ã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑖𝑠 𝑖1 2 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜 Euler ቊ 𝑒𝑖𝛿 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿 𝑒𝑖𝛿 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒 𝑖 12 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒 𝑖 12 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 1 caso 1 subamortecido Euler ቊ 𝑒𝑖𝛿 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿 𝑒𝑖𝛿 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝛿 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛t 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒 𝑖 12 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒 𝑖 12 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒𝑖𝛿 𝐶2𝑒𝑖𝛿 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝐶1𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝐶1𝑠𝑒𝑛𝛿 𝐶2𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝐶2𝑠𝑒𝑛𝛿 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝐶1 𝐶2𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝐶1 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝛿 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 1 caso 1 subamortecido 𝜃 𝑡 𝐶1 𝐶2𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝐶1 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝛿 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝛿 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝐷1𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝐷2𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷1 𝐶1 𝐶2 𝑒 𝐷2 𝑖𝐶1 𝐶2 1 caso 1 subamortecido 𝜃 𝑡 𝐷1𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝐷2𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝜃 0 𝜃0 𝐷1 𝜃 𝑡 𝜃0𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝐷2𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 1 caso 1 subamortecido Derivando 𝜃 𝑡 𝜃0𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝐷2𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝜃0𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐷2𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 ሶ𝜃 𝑡 𝜃0 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐷2 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐷2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 1 caso 1 subamortecido ሶ𝜃 𝑡 ሶ𝜃0 𝜃0 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐷2 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐷2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ሶ𝜃 0 ሶ𝜃0 ሶ𝜃 𝑡 ሶ𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0 𝐷2 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 1 caso 1 subamortecido ሶ𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0 𝐷2 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐷2 ሶ𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝜃 𝑡 𝜃0𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 ሶ𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 2 caso 1 amortecido criticamente 𝑠12 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝑠1 𝑠2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 Apresenta duas soluções iguais escrever a solução como combinação linear 𝜃 𝑡 C𝑒𝑠12𝑡 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 𝐶2𝑒𝑠2𝑡 Como os termos 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 𝐶2𝑒𝑠2𝑡 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑠1 𝑠2 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝐶1 𝐶2 𝑟𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟 um dos termos 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 𝐶2𝑒𝑠2𝑡 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑠1 𝑠2 𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐶1 𝐶2 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 𝐶2𝑡𝑒𝑠2𝑡 2 caso 1 amortecido criticamente 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 𝐶2𝑡𝑒𝑠2𝑡 𝑠1 𝑠2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝜃 0 𝜃0 𝐶1 𝜃 𝑡 𝜃0𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 1 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 ሶ𝜃 𝑡 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝐶2 𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ሶ𝜃 0 ሶ𝜃0 ሶ𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0 𝐶2 𝐶2 ሶ𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0 2 caso 1 amortecido criticamente 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 𝐶2𝑡𝑒𝑠2𝑡 𝑠1 𝑠2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝜃 𝑡 𝜃0𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 ሶ𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0 𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶1 𝜃0 𝐶2 ሶ𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0 𝜃 𝑡 𝜃0 ሶ𝜃0𝑡 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 3 caso 1 superamortecido 𝑠12 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 𝐶2𝑒𝑠2𝑡 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 3 caso 1 superamortecido 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝜃 0 𝜃0 𝜃0 𝐶1 𝐶2 𝐶1 𝜃0 𝐶2 𝜃 𝑡 𝜃0 𝐶2 𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝜃0𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 3 caso 1 superamortecido 𝜃 𝑡 𝜃0𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 1 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 ሶ𝜃 𝑡 ሶ𝜃0 𝜃0 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 3 caso 1 superamortecido Condições iniciais ሶ𝜃 0 ሶ𝜃0 ሶ𝜃 𝑡 ሶ𝜃0 𝜃0 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 ሶ𝜃0 𝜃0 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 3 caso 1 superamortecido ሶ𝜃0 𝜃0 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 ሶ𝜃0 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 ሶ𝜃0 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 ሶ𝜃0 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 2𝐶2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 2𝐶2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 ሶ𝜃0 3 caso 1 superamortecido 2𝐶2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 ሶ𝜃0 𝐶2 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 ሶ𝜃0 2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶1 𝜃0 𝐶2 𝐶1 𝜃0 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 ሶ𝜃0 2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 3 caso 1 superamortecido 𝐶1 𝜃0 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 ሶ𝜃0 2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶1 2𝜃0 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝜃0 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 ሶ𝜃0 2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶1 𝜃0 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 ሶ𝜃0 2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 3 caso 1 superamortecido 𝐶1 𝜃0 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 ሶ𝜃0 2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶1 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 ሶ𝜃0 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝐶2 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 ሶ𝜃0 2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 3 caso 1 superamortecido 𝐶2 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 ሶ𝜃0 2 21 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝐶2 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 ሶ𝜃0 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝐶1 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 ሶ𝜃0 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝐶2 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 ሶ𝜃0 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 3 caso 1 superamortecido 𝐶1 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 ሶ𝜃0 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝐶2 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 ሶ𝜃0 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 ሶ𝜃0 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 ሶ𝜃0 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 ሶ𝜃0 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 ሶ𝜃0 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 21 𝑒 21 𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 Caso 3 1 𝜃 𝑡 𝜃0 ሶ𝜃0𝑡 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 Caso 2 1 Caso 1 1 𝜃 𝑡 𝜃0𝑐𝑜𝑠 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 ሶ𝜃0 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝜃0 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛 𝑠𝑒𝑛 1 2 𝑏 𝑎 𝜔𝑛𝑡 𝑒𝑏 𝑎𝜔𝑛𝑡 Obtendo a relação entre c e k Fator de amortecimento 𝑐 𝑐𝑐 𝑐 2𝑚𝜔𝑛 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐𝑐 2𝑚𝜔𝑛 𝑏 𝑎 𝑐 2𝑚 𝑘 𝑚 𝑏 𝑎 𝑐 2 𝑚 𝑏 𝑎 𝑘 𝑘 𝑐𝑚𝑎 2𝑏 2 𝑘 𝑎 𝑏 2 𝑚 2 2 𝑐2 𝑐 2 𝑚 𝑏 𝑎 𝑘 Obtendo a relação entre c e k 𝑐 2 𝑚 𝑏 𝑎 𝑘 Obtendo a relação entre c e k 𝑐 2 𝑚 𝑏 𝑎 𝑘 20 Nmm Gabarito da 1 prova 20232 Questão 01 30 pontos Dimensione os elementos de rigidez k keq do sistema mecânico veja figura abaixo para que sua frequência natural permaneça no intervalo mínimo de 4 Hz e no máximo 5 Hz considerando um sistema equivalente de 1 grau de liberdade Também dimensione para cada caso de fator de amortecimento o elemento amortecedor c Observação Mostre sempre a dedução matemática Dados complementares do sistema mecânico 𝑘1 2 3 𝑘 𝑒 𝑘2 1 3 𝑘 sendo k valor da rigidez da mola escolhida no catálogo As deformações das molas devem permanecer no intervalo de 17 a 25 Comprimento a 050 m O engate da viga é um pivô rotulado Massa da viga desprezível a Qual o valor da rigidez equivalente calculada Caso 𝑚 10𝑘𝑔 Caso 𝑚 20 𝑘𝑔 Caso 𝑚 40 𝑘𝑔 b Qual o modelo de mola escolhida no catálogo Caso 𝑚 10𝑘𝑔 Caso 𝑚 20 𝑘𝑔 Caso 𝑚 40 𝑘𝑔 c d e Para m 10 20 e 40 kg Obtenha a equação e mostre o gráfico do deslocamento x tempo e para cada calcule as deformações das molas k1 e k2 a Qual o valor de c quando 015 b Qual o valor de c quando 100 c Qual o valor de c quando 150 Questão 02 10 pontos Um sistema massa mola conforme mostrado na figura abaixo a Qual a rigidez equivalente b Qual o amortecimento equivalente c Qual a frequência natural do sistema d Obtenha a equação diferencial ordinária EDO do sistema em vibração livre e Obtenha a função que representa a solução da EDO f Mostre os gráficos deslocamento x tempo velocidade x tempo e aceleração x tempo Solução da questão 2 Associação de molas em série 𝑘𝑒𝑞𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 12 1 1 𝑘1 1 𝑘2 1 1 2 1 5 𝑘1 2𝑘𝑁 𝑚 𝑒 𝑘2 5𝑘𝑁 𝑚 𝑘𝑒𝑞𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 12 14286 𝑘𝑁𝑚 Solução da questão 2 Associação de molas em paralela 𝑘𝑒𝑞𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 34 𝑘3 𝑘4 𝑘3 14286𝑘𝑁 𝑚 𝑒 𝑘4 4𝑘𝑁 𝑚 𝑘𝑒𝑞𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 34 54286 𝑘𝑁𝑚 Solução da questão 2 Associação de molas em paralela 𝑘𝑒𝑞𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 56 𝑘5 𝑘6 𝑘5 10𝑘𝑁 𝑚 𝑒 𝑘6 2𝑘𝑁 𝑚 𝑘𝑒𝑞𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 56 12 𝑘𝑁𝑚 𝑘𝐴 54286 𝑘𝑁 𝑚 𝑒 𝑘𝐵 12𝑘𝑁 𝑚 𝑐1 1 𝑘𝑔 𝑠 𝑒 𝑐2 2 𝑘𝑔 𝑠 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐1 𝑒 𝑐2 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 981 𝑚 𝑠2 𝑝𝑎𝑟𝑎 trabalhar com Ns 𝑐1 981 𝑁 𝑠 𝑒 𝑐2 1962 𝑁 𝑠 𝑘𝐴 54286 𝑁 𝑚 𝑒 𝑘𝐵 12000 𝑁 𝑚 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑘1 𝑒 𝑘2 𝑝𝑜𝑟 103 para trabalhar com Nm Letra aRigidez equivalente 𝑘𝑒𝑞 𝑘𝐴 𝑘𝐵 174283 Nm 𝑘𝑒𝑞 174283 𝑁𝑚𝑚 Letra b Amortecimento equivalente 𝑐𝑒𝑞 𝑐1 𝑐2 2943 Ns 𝑐𝑒𝑞 3 kgs 174283 2943 Diagrama do corpo livre 𝑚 ሷ𝑥 𝑘𝑒𝑞𝑥 𝑐𝑒𝑞 ሶ𝑥 𝑚 ሷ𝑥 𝑘𝑒𝑞𝑥 𝑐𝑒𝑞 ሶ𝑥 𝑚 ሷ𝑥 𝑘𝑒𝑞𝑥 𝑐𝑒𝑞 ሶ𝑥 0 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 ሷ𝑥 𝑐𝑒𝑞 𝑚 ሶ𝑥 𝑘𝑒𝑞 𝑚 𝑥 0 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑚 174283 2943 𝑚 ሷ𝑥 𝑐𝑒𝑞 ሶ𝑥 𝑘𝑒𝑞𝑥 0 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜 ሷ𝑥 2943 15 ሶ𝑥 174283 15 𝑥 0 ሷ𝑥 14715 ሶ𝑥 11618867𝑥 0 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 174283 2943 ሷ𝑥 𝑐𝑒𝑞 𝑚 ሶ𝑥 𝑘𝑒𝑞 𝑚 𝑥 0 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝜔𝑛2 𝑘𝑒𝑞 𝑚 11618867 ሷ𝑥 𝑐𝑒𝑞 𝑚 ሶ𝑥 𝑘𝑒𝑞 𝑚 𝑥 0 ሷ𝑥 𝑐𝑒𝑞 𝑚 ሶ𝑥 𝜔𝑛2𝑥 0 𝜔𝑛 𝑘𝑒𝑞 𝑚 11618867 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑐 𝜔𝑛 340865 rads 𝑓𝑛 𝜔𝑛 2𝜋 5425 𝐻𝑧 174283 2943 ሷ𝑥 14715 ሶ𝑥 11618867𝑥 0 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 Letra d Solução da EDO 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑥 𝐶𝑒𝑠𝑡 ሶ𝑥 𝐶𝑠𝑒𝑠𝑡 ሷ𝑥 𝐶𝑠2𝑒𝑠𝑡 𝐶𝑠2𝑒𝑠𝑡 14715𝐶𝑠𝑒𝑠𝑡 11618867𝐶𝑒𝑠𝑡 0 𝐶𝑒𝑠𝑡𝑠2 14715𝑠 11618867 0 Solução trivial 𝐶𝑒𝑠𝑡 0 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝐶 0 Solução não trivial 𝑠214715𝑠 11618867 0 𝑠12 14715 21 14715 21 2 11618867 1 174283 2943 ሷ𝑥 14715 ሶ𝑥 11618867𝑥 0 𝑠12 73575 73575 2 11618867 𝑠12 73575 5413280625 11618867 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜 𝑠12 73575 𝑖 11618867 5413280625 𝑠12 73575 𝑖 110775389375 𝑠12 73575 332829𝑖 𝑠12 73575 5413280625 11618867 𝑠12 73575 𝑖 11618867 5413280625 Combinação linear 𝑥 𝑡 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 𝐶2𝑒𝑠2𝑡 𝑥 𝑡 𝐶1𝑒73575332829𝑖𝑡 𝐶2𝑒73575332829𝑖𝑡 𝑥 𝑡 𝐶1𝑒73575𝑡𝑒332829𝑖𝑡 𝐶2𝑒73575𝑡𝑒332829𝑖𝑡 𝑥 𝑡 𝐶1𝑒332829𝑖𝑡 𝐶2𝑒332829𝑖𝑡𝑒73575𝑡 𝑠12 73575 332829𝑖 Euler ቊ 𝑒𝑖𝛿 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿 𝑒𝑖𝛿 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿 𝑥 𝑡 𝐶1𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿 𝐶2𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿𝑒73575𝑡 Fazendo 𝛿 332829𝑡 𝑥 𝑡 𝐶1𝑐𝑜𝑠𝛿 𝐶1𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿 𝐶2𝑐𝑜𝑠𝛿 𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿𝑒73575𝑡 𝑥 𝑡 𝐶1𝐶2 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝐶1𝐶2𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿𝑒73575𝑡 𝑥 𝑡 𝐷1𝑐𝑜𝑠𝛿 𝐷2𝑠𝑒𝑛𝛿𝑒73575𝑡 𝐹𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷1 𝐶1 𝐶2 𝑒 𝐷2 𝐶1 𝐶2𝑖 𝑥 𝑡 𝐶1𝑒332829𝑖𝑡 𝐶2𝑒332829𝑖𝑡𝑒73575𝑡 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑥 0 𝑥0 Como 𝛿 332829𝑡 𝑥 𝑡 𝐷1 cos 332829𝑡 𝐷2𝑠𝑒𝑛 332829𝑡 𝑒73575𝑡 𝑥0 𝐷1cos 0 𝐷2𝑠𝑒𝑛 0 𝑒0 𝑥0 𝐷1 𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑡 𝑥0 cos 332829𝑡 𝐷2𝑠𝑒𝑛 332829𝑡 𝑒73575𝑡 𝑥 𝑡 𝐷1𝑐𝑜𝑠𝛿 𝐷2𝑠𝑒𝑛𝛿𝑒73575𝑡 𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ሶ𝑥 0 ሶ𝑥0 Derivando𝑥 𝑡 𝑥0 cos 332829𝑡 𝐷2𝑠𝑒𝑛 332829𝑡 𝑒73575𝑡 ሶ𝑥 𝑡 73575𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 332829𝑥0 s𝑒𝑛 332829𝑡 𝑒73575𝑡 𝑥 𝑡 𝑥0cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 𝐷2𝑠𝑒𝑛 332829𝑡 𝑒73575𝑡 73575𝐷2 se𝑛 332829𝑡 𝑒73575𝑡 332829𝐷2𝑐𝑜𝑠 332829𝑡 𝑒73575𝑡 ሶ𝑥0 73575𝑥0 332829𝐷2 ሶ𝑥0 73575𝑥0 332829𝐷2 𝐷2 ሶ𝑥0 73575𝑥0 332829 𝑥 𝑡 𝑥0cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 ሶ𝑥0 73575𝑥0 332829 𝑠𝑒𝑛 332829𝑡 𝑒73575𝑡 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑒 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑥 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑟 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 ሶ𝑥𝑡 ሶ𝑥 𝑡 73575𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 332829𝑥0 sen 332829𝑡 𝑒73575𝑡 73575 ሶ𝑥073575𝑥0 332829 𝑠𝑒𝑛 332829𝑡 𝑒73575𝑡 ሶ𝑥0 73575𝑥0 𝑐𝑜𝑠 332829𝑡 𝑒73575𝑡 ሶ𝑥 𝑡 73575𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 332829𝑥0 sen 332829𝑡 𝑒73575𝑡 73575 ሶ𝑥05413280625𝑥0 332829 𝑠𝑒𝑛 332829𝑡 𝑒73575𝑡 ሶ𝑥0 73575𝑥0 𝑐𝑜𝑠 332829𝑡 𝑒73575𝑡 ሶ𝑥 𝑡 ሶ𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 332829𝑥0 sen 332829𝑡 𝑒73575𝑡 73575 332829 ሶ𝑥0 5413280625 332829 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 332829𝑡 𝑒73575𝑡 𝑥 𝑡 𝑥0cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 ሶ𝑥0 73575𝑥0 332829 𝑠𝑒𝑛 332829𝑡 𝑒73575𝑡 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 ሶ𝑥 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑟 𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 ሶ𝑥 𝑡 ሶ𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 332829𝑥0 sen 332829𝑡 𝑒73575𝑡 73575 332829 ሶ𝑥0 5413280625 332829 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 332829𝑡 𝑒73575𝑡 ሶ𝑥 𝑡 ሶ𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 02210594629675 ሶ𝑥0 34909345𝑥0 sen 332829𝑡 𝑒73575𝑡 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑟 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 ሷ𝑥 𝑡 73575 ሶ𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 332829 ሶ𝑥0 sen 332829𝑡 𝑒73575𝑡 73575 02210594629675 ሶ𝑥0 34909345𝑥0 sen 332829𝑡 𝑒73575𝑡 332829 02210594629675 ሶ𝑥0 34909345𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 ሶ𝑥 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑟 𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 ሷ𝑥 𝑡 73575 ሶ𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 73575 02210594629675 ሶ𝑥0 34909345𝑥0 sen 332829𝑡 𝑒73575𝑡 332829 02210594629675 ሶ𝑥0 34909345𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 332829 ሶ𝑥0 sen 332829𝑡 𝑒73575𝑡 ሷ𝑥 𝑡 73575 ሶ𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 73575 ሶ𝑥0 11618842387005𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 162644499878338125 ሶ𝑥0 2568455058375𝑥0 sen 332829𝑡 𝑒73575𝑡 332829 ሶ𝑥0 sen 332829𝑡 𝑒73575𝑡 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 ሶ𝑥 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑟 𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 ሷ𝑥 𝑡 11618842387005𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 34909345 ሶ𝑥0 2568455058375𝑥0 sen 332829𝑡 𝑒73575𝑡 ሷ𝑥 𝑡 11618842𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 34909345 ሶ𝑥0 2568455058375𝑥0 sen 332829𝑡 𝑒73575𝑡 ሶ𝑥 𝑡 ሶ𝑥0 cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 02210594629675 ሶ𝑥0 34909345𝑥0 sen 332829𝑡 𝑒73575𝑡 𝑥 𝑡 𝑥0cos 332829𝑡 𝑒73575𝑡 ሶ𝑥0 73575𝑥0 332829 𝑠𝑒𝑛 332829𝑡 𝑒73575𝑡 PROGRAMA QUESTÃO 02 clc clear close format short DADOS INICIAIS DA FUNÇÃO DESLOCAMENTO Xo 003 deslocamento inicial m Wn 20931 Frequência natural rads Fn Wn2pi Frequência natural Hz P 1Fn Período em s Vo XoWn velocidade inicial ms to 0 tempo inicial s tf 10 tempo final s dt 0001 incremento do tempo s t todttf FUNÇÃO HARMÔNICA DO DESLOCAMENTO Eq1 exp0327t Eq2 cos20928t Eq3 sin20928t Cte1 Vo0327Xo20928 X1 XoEq2Eq1 X2 Cte1Eq3Eq1 X X1X2 FUNÇÃO HARMÔNICA DA VELOCIDADE V1 0327XoEq2Eq1 V2 20928XoEq3Eq1 V3 0015625Vo0327XoEq3Eq1 V4 Vo0327XoEq2Eq1 V V1V2V3V4 FUNÇÃO HARMÔNICA DA ACELERAÇÃO cte1 438088113Xo cte2 0654Vo cte3 cte1cte2 A1 cte3Eq2Eq1 ct2 13672957765625Xo ct3 120928Vo ct4 ct2ct3 A2 ct4Eq3Eq1 A A1A2 FUNÇÃO HARMÔNICA DA VELOCIDADE V1 0327XoEq2Eq1 V2 20928XoEq3Eq1 V3 0015625Vo0327XoEq3Eq1 V4 Vo0327XoEq2Eq1 V V1V2V3V4 FUNÇÃO HARMÔNICA DA ACELERAÇÃO A1 438088113Xo0654VoEq2Eq1 A2 13672957765625Xo120928VoEq3Eq1 A A1A2 GERANDO AS CURVAS Questão 3 10 pontos Considere o sistema da Figura abaixo a escreva as equações de movimento em termos do ângulo θ a barra faz com a vertical Suponha deflexões lineares do molas e linearizar as equações de movimento a Qual a rigidez equivalente b Qual o amortecimento equivalente c Qual a frequência natural do sistema d Obtenha a equação diferencial ordinária EDO do sistema em vibração livre em termos do ângulo θ e Obtenha a função que representa a solução desta EDO Supor a massa da haste atua no centro como indicado na figura