Sistema em Vibração Livre de 1 Gdl

ALUNOA MATRÍCULA 1 O esboço de um Sistema Mecânico ver figura 1 é formado por uma barra prisma retangular e homogênea rotacionando no ponto O apoio fixo massas m1 m2 e m3 molas de rigidez k1 k2 e k3 e amortecedor c Dimensione os elementos vibracionais do sistema mecânico considerando o modelo simplificado de 1 grau de liberdade em vibração livre 60 pontos Pedese a Demonstre a equação da massa equivalente do Sistema Mecânico considerando o Ponto D b Substitua os dados e obtenha o valor da massa equivalente no ponto D 3 casas decimais c Use a tabela 1 para dimensionar as molas do sistema mecânico de forma que a frequência natural seja 62 01 Hz d A figura 2 mostra o sistema simplificado do sistema mecânico Desenvolva a EDO aplicando a função de θt Cest como solução do sistema e Trace os gráficos do deslocamento t x θ da velocidade t x θ e da aceleração t x θ da posição da massa m3 quando o ângulo inicial θ02 e θ00 rads f Considerando o amortecedor c na posição de m2 calcule amortecimento crítico do sistema em Nsm Mostre a EDO em função de θt Mostre o gráfico da posição da massa m3 t x θ t x θ e t x θ quando o ângulo inicial θ02 e θ00 rads g Considerando o amortecedor c na posição de m2 calcule o sub amortecimento do sistema para o fator de amortecimento ξ015 Mostre a EDO em função de θt Mostre o gráfico t x θ t x θ e t x θ quando o ângulo inicial θ02e θ00 rads h Considerando o amortecedor c na posição de m2 calcule o superamortecimento do sistema para o fator de amortecimento ξ145 Mostre a EDO em função de θt Mostre o gráfico da posição da massa m3 t x θ t x θ e t x θ quando o ângulo inicial θ02 e θ00 rads 2 Um sistema massamola conforme mostrado na figura 3 20 pontos Qual a rigidez equivalente Qual o amortecimento equivalente Qual o valor da massa M para uma frequência natural de 3 Hz Deduz a EDO do Sistema em vibração livre Mostre os gráficos deslocamento x tempo velocidade x tempo e aceleração x tempo 3 Um corpo é abandonado em um plano inclinado θ conforme figura 4 Qual seria o valor da mola k para que a altura s diminua 1 cm a cada meio ciclo até o sistema massamola parar Mostre a EDO e utilizando a tabela 1 qual seria a mola escolhida Trace o gráfico deste sistema 20 pontos Questão 1 a Comprimentos LAB 200 mm LBO100 mm LOD300 mm A barra é homogênea logo seu CG está no centro LAB LBE LEO LOD LAB LBE LEO LEO LEO LOD LAB LBO 2 LEO LOD 200 100 2 LEO 300 300 2 LEO 300 LEO 300 300 2 LEO 0 mm O comprimento ED é nulo O enunciado diz que a barra gira em O então a mola KZ NÃO é ativada porque o ponto E apenas rotaciona segundo o enunciado Diagrama do corpo livre LAB LBO LOD m3 m1 m2 E0 m3 mg m1 m2 CG θ x3 K1 x1 x2 AMZ E0 Equação do movimento da rotação gTo IoΘ m1gLAO m2gLBO m3gLOD k1x1LAO Cx2LBO k3x3LOD m1LAO2 m2LBO2 m3LOD2 mCGLAD212 Θ Relacionando as variáveis Θ x1LAO x2LBO x3LOD Usando a variável x3 x1 x3LAOLOD x2 x3LBOLOD Θ x3LOD Substituindo m1LAO2 m2LBO2 m3LOD2 mCGLAD212 X3LOD gm1LAO m2LBO m3LOD k1x3LAOLODLAO k3x3LOD Cx3LBOLODLBO Dividindo por LOD m1LAOLOD2 m2LBOLOD2 m3 mCG12LADLOD2X3 k1LAOLOD2 k3x3 CLBOLOD2X3 gm1LAOLOD m2LBOLOD m3 Parâmetros equivalentes MEQ m1LAOLOD2 m2LBOLOD2 m3 mCG12LADLOD2 CEQ CLBOLOD2 KEQ k1LAOLOD2 k3 FO gm1LAOLOD m2LBOLOD m3 MEQX3 CEQX3 KEQX3 FO Massa da barra MCO PabLAD Logo MEQ m1LAOLOD2 m2LBOLOD2 m3 PabLAP12LAPLOD2 b Substituindo valores MEQ 253003002 151003002 45 785000200106126003002 MEQ 7481 kg c Cálculo da frequência angular natural ω 2πf 2π62 01 2π62 2π01 ω 38956 0628 rads Cálculo da rigidez equivalente KEQ MEQω2 748138956 06282 KEQ 7481389562 06282 2062838956 KEQ 113551891 366036 10989855 KEQ 11721927 Nm Dimensionando as molas 10989855 k1LAOLOD2 k3 11721927 10989855 k13003002 k3 11721927 10989855 k1 k3 11721927 Usando molas iguais k1 k3 109898552 k1 k3 117219272 5494927 k1 k3 5860963 Nm 5495 k1 k3 5861 Nmm Não há nenhuma mola nesse intervalo Usando K1 5Nmm 10990 K1 K3 11722 Nmm 10990 5 k3 11722 5990 K3 6722 Logo K1 5 Nmm K3 6 Nmm K2 NÃO HÁ K2 PORQUE OS PONTOS E0 COINCIDEM E SÓ GIRA d Cálculo da rigidez equivalente KEQ K1401002 K3 50002003002 6000 Keq 11000 Nm Equação equivalente com valores MEQ X3 KEQX3 CEQX3 Fo Considerando o referencial em que a deflexão estática é zero X3 X3 F0 KEQ X3 X3 X3 X3 MEQX3 CEQX3 KEQ X3 0 5 7 748 X3 CEQ X3 11000 X3 0 71481X3 C LBOLOD2X3 11000 X3 0 71481X3 C 1003002X3 11000X30 71481X3 C9X3 11000X3 X3 00149CX3 110007481X30 Voltando à variável ângulo θ X3LOD X3 03θ 03 00149C 03 1100003 θ0 θ 00149C 110007481 θ0 Aplicando a função proposta θtCest θ Csest θ Cs2est Cs2est 00149xCsest 110007481Cest 0 s2 00149scs 110007481 0 Desconsiderando o amortecedor c0 s2 110007481 s 38346 θt Acos38346t Bsin38346t 6 θt 38346Asen38346t 38346Bcos38346t Com as condições iniciais θ0 0 38346Asen0 38346Bcos0 B0 θ0 2 π 180 Acos0 A 00349 Logo θt 00349cos38346t rad θt 13385sen38346t rads θt 513273cos38346t rads2 E Gráficos no anexo f Amortecedor crítico ICR 2MeqKEQMeq 2748138346 5737328 ICR 51635957 Nsm Equação correspondente 71481X3 57317328X3 11000X3 0 X3 θ03 71481 57317328 11000θ0 θ 761632θ 14701392θ0 s2 761632s 14701392 0 7 Ẍ 2 ξ Wn Ẋ Wn² θ 0 Ẍ 201538346Ẋ 14701392θ 0 Ẍ 11504Ẋ 14701392θ 0 s² 115045 14701392 0 s 115042 ½ 11504² 414701392 s 5752 37912i θt e5752t Acos37912t Bsin37912t Ẋt 5752e5752t Acos37912t Bsin37912t 37912e5752t Asin37912t Bcos37912t Com as condições iniciais Ẋ0 0 5752 A 37912 B θ0 2π180 A A 0103491 B 010053 θt e5752t 0103491cos37912t 010053sin37912t Ẋt e5752t 13540sin37912t Ẍt e5752t 71788sin37912t 571333cos37912t Os gráficos estão no anexo 9 H EQUAÇÃO CORRESPONDENTE PARA ξ 145 CG 2Mea KEQMEA ξ 27481 110007481 145 831906 KE 7487152 Nsm Ẍ 2 ξ Wn Ẋ Wn² X 0 Ẍ 2145 38346 Ẋ 14701392 X 0 Ẍ 111203 Ẋ 14701392 X 0 S 1112032 111204² 414701392 ½ S 55602 401264 S 95866 S 151338 Xt Ae95866t Be151338t Ẋt 95866 Ae95866t 151338 B e151338t Com AS Condições iniciais Ẋ0 0 95866 A 151338 B X0 2π180 A B A 0100665 B 004156 Xt 0100665 e95866t 004156 e151338t Ẋt 06375 e95866t 06374 e151338t Ẍt 617146 e95866t 9764 e151338t Os gráficos estão no anexo 10 S 7616922 ½ 761692² 414701392 S 38346 0 S 38346 Xt Ae38346t B t e38346t Ẋt 38346 A e38346t Be38346t 38346 Bt e38346t Com as condições iniciais Ẋ0 0 38346 A B X0 2π180 A A 0103491 B 113385 Xt 0103491e38346t 113385te38346t RAD Ẋt 513267e38346tt RADs Ẍt 513267e38346t 19681594te38346t RADs² Gráficos Em Anexo G EQUAÇÃO CORRESPONDENTE PARA ξ 015 CG 2Mea ξ KEQMEA 27481015110007481 860552 KE 7745330 Nsm 8 Questão 2 Modar um Série KEQ 2323 65 12 kNm Diagrama de Corpo Livre 1200x 4000x 1x M 10000x 2x 2000x Equação do Movimento ΣF mẍ 1200x 4000x 10000x 2000x ẋ 2ẍ mẍ Mẍ 3ẋ 17200x 0 Rígidez equivalente Meqẍ Ceqẋ Keqx 0 KEQ17200 Nm Amortecimento equivalente Ceq 3 Nsm Cálculo da massa W 2πf KEQm 2π3 17200m m 48409 Kg Substituindo valores 48409ẍ 3ẋ 17200x 0 Solução ẍ 0106798ẋ 3553058x 0 S 0106798 0106798² 4 35530582 0103099 188495i Xt e⁰¹⁰³⁰⁹⁹t ACOS188495t BSIN188495t ẋt e⁰¹⁰³⁰⁹⁹t 0103099ACOS 188495t BSIN188495t 188495e⁰¹⁰³⁰⁹⁹ ASIN188495t BCOS188495t Condições iniciais ẋ0 0 0103099A 188495B x0 1 A A1 B00100164 Xt e⁰¹⁰³⁰⁹⁹t COS188495t 000164SEN188495t ẋt e⁰¹⁰³⁰⁹⁹t 188496SEN188495t ẍt e⁰¹⁰³⁰⁹⁹t 05779SEN188495t 3553074COS188495t Os graficos estão em Anexo Questão 3 Amortecimento de Coulomb Amplitude decrescente linearmente m μN mgcosθ N Taxa de decresimo de Amplitude a cada meio ciclo ΔS massamola 2MNK 2mgcosθK 001 201453981COS 35K K 2169688 Nm K 2170 Nmm EDO durante o contato da mola com a parede st m m ingluso KS mgsmg mgsmo mẍ S Km S gsino gμCosθ Mola mais próxima escolhida K 32 Nmm Gráfico do movimento ω km 27696883 2689 rads T 2πω 2π2689 0232 cm 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 1s 023 046 Anexo Questão 1 E clc clear close all Definição do tempo t linspace0 03 1000 intervalo de tempo em segundos Definição do deslocamento angular em rad teta 00349 cos38346 t Cálculo da velocidade angular derivada de teta omega 00349 38346 sin38346 t Cálculo da aceleração angular segunda derivada alpha 00349 383462 cos38346 t Plotagem figure plott teta b LineWidth 15 hold on plott omega r LineWidth 15 plott alpha g LineWidth 15 hold off Configurações do gráfico titleResposta Angular Velocidade e Aceleração xlabelTempo s ylabelAmplitude rad rads rads² legend hetat omegat alphat Location best grid on Questão 1 F clc clear close all Definição do tempo t linspace0 02 1000 intervalo de tempo em segundos Deslocamento angular rad teta 03491 exp38346 t 13385 t exp38346 t Velocidade angular derivada de teta omega 03491 38346 exp38346 t 13385 exp38346 t 13385 38346 t exp38346 t Aceleração angular segunda derivada alpha 03491 383462 exp38346 t 2 13385 38346 exp38346 t 13385 383462 t exp38346 t Plotagem figure plott teta b LineWidth 15 hold on plott omega r LineWidth 15 plott alpha g LineWidth 15 hold off Configurações do gráfico titleResposta Angular Velocidade e Aceleração xlabelTempo s ylabelAmplitude rad rads rads² legend hetat omegat alphat Location best grid on Questão 1 G clc clear close all Definição do tempo t linspace0 05 1000 tempo em segundos Parâmetros a 5752 b 37912 Deslocamento angular rad teta expa t 003491 cosb t 00053 sinb t Velocidade angular derivada de teta omega expa t a 003491 cosb t 00053 sinb t 003491 b sinb t 00053 b cosb t Aceleração angular segunda derivada alpha expa t a2 b2 003491 cosb t 00053 sinb t 2 a b 003491 sinb t 00053 cosb t Plotagem figure plott teta b LineWidth 15 hold on plott omega r LineWidth 15 plott alpha g LineWidth 15 yline0 k linha horizontal no zero hold off Configurações do gráfico titleResposta Angular Velocidade e Aceleração xlabelTempo s ylabelAmplitude rad rads rads² legend hetat omegat alphat Location best grid on Questão 1 H clc clear close all Definição do tempo t linspace0 03 1000 tempo em segundos Coeficientes A1 000665 a1 95866 A2 004156 a2 15338 Deslocamento angular rad teta A1 expa1 t A2 expa2 t Velocidade angular rads omega A1 a1 expa1 t A2 a2 expa2 t Aceleração angular rads² alpha A1 a12 expa1 t A2 a22 expa2 t Plotagem figure plott teta b LineWidth 15 hold on plott omega r LineWidth 15 plott alpha g LineWidth 15 yline0 k linha horizontal no zero hold off Configurações do gráfico titleResposta Angular Velocidade e Aceleração xlabelTempo s ylabelAmplitude rad rads rads² legend hetat omegat alphat Location best grid on Questão 2 clc clear close all Definição do tempo t linspace0 1 1000 tempo em segundos Parâmetros a 003099 b 188495 A 1 B 000164 Deslocamento m x expa t A cosb t B sinb t Velocidade ms primeira derivada v expa t a A cosb t B sinb t A b sinb t B b cosb t Aceleração ms² segunda derivada at expa t a2 b2 A cosb t B sinb t 2 a b A sinb t B cosb t Plotagem figure plott x b LineWidth 15 hold on plott v r LineWidth 15 plott at g LineWidth 15 yline0 k linha horizontal no zero hold off Configurações do gráfico titleDeslocamento Velocidade e Aceleração xlabelTempo s ylabelAmplitude m ms ms² legendxt vt at Location best grid on Deslocamento Velocidade e Aceleração xt vt Amplitude m ms ms² 20 10 0 10 20 0 02 04 06 08 1