Gabarito-Avaliacao-Vibracao-Livre-Mecanismos-2024-2-Professor-Alexandre-Ribeiro-Andrade

GABARITO DA 1 AVALIAÇÃO PROFESSOR ALEXANDRE RIBEIRO ANDRADE 20242 Questão 01 Um mecanismo em vibração livre é composto pelos seguintes elementos uma massa m em translação no eixo xt duas barras delgadas e rígidas respectivamente com massas m1 e m2 e uma esfera oca de casca fina de massa me movendose no eixo x2t sem deslizamento e sem atrito acopladas mecanicamente por 4 molas helicoidais respectivamente k1 k2 k3 e k4 distribuídas conforme mostrado pela figura 1 As massas m e m2 possuem APENAS movimentos translacionais e as massas me e m1 possuem além dos movimentos translacionais também rotacionais Dados dos elementos mecânico deste mecanismo A esfera tem raio re 015 m e momento de Inércia de massa Je 0045 kgm² a barra delgada 1 tem comprimento L1 12 m e centro de gravidade CG L12 e momento de Inércia J1 048 kgm² a barra delgada 2 massa m2 05 kg a massa de m 15 kg Figura 1 mecanismo barra rígida massa m1 Barra rígida vazada m2 Esfera oca massa me Sem deslizamento TABELA 1 Dados das molas que devem ser usadas na solução da questão Solução letra a Deduza a expressão da massa equivalente meq do sistema em relação ao eixo xt em termos dos componentes de massa m m1 m2 e me 𝑥 𝐿1 𝐿1 4 3𝐿1 4 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝑥 3 4 𝐿1 𝑥𝐶𝐺 1 2 𝐿1 𝑥2 1 5 𝐿1 𝐿1 5 𝑥2 𝜃 𝐿1 2 𝑥𝐶𝐺 𝐽𝑒 2 3 𝑚𝑒𝑟𝑒2 𝐽1 1 3 𝑚1𝑙1 2 Translação Translação e rotação 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥𝑒𝑞 2 𝑖 𝑛 𝑚𝑖 ሶ𝑥𝑖 2 𝑖 𝑛 𝐽𝑖 ሶ𝜃𝑖 2 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝑥 3 4 𝐿1 𝑥𝐶𝐺 1 2 𝐿1 𝑥2 1 5 𝐿1 ሶ𝑥 3 4𝑙1 ሶ𝑥𝐶𝐺 1 2𝑙1 ሶ𝑥2 1 5𝑙1 ሶ𝑥 ሶ𝑥𝑒𝑞 ሶ𝑥2 4 15 ሶ𝑥 ሶ𝑥𝐶𝐺 2 3 ሶ𝑥 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥𝑒𝑞 2 𝑚 ሶ𝑥2 𝑚2 ሶ𝑥2 𝑚1 ሶ𝑥𝐶𝐺 2 𝑚𝑒 ሶ𝑥2 2 𝐽1 ሶ𝜃2 𝐽𝑒 ሶ𝜃𝑒2 𝐽𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑜𝑐𝑎 𝐽1 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑟í𝑔𝑖𝑑𝑎 1 𝐽1 1 3 𝑚1𝐿1 2 𝜆 𝑀 𝐿 𝑑𝑚 𝑑𝑟 𝑘𝑔 𝑚 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑑𝑚 𝜆𝑑𝑟 𝐽 න 0 𝐿 𝑅2𝑑𝑚 λ න 0 𝐿 𝑅2𝑑𝑟 𝐽 λ 𝑅3 3 0 𝐿 𝑀 𝐿 𝐿3 3 1 3 𝑀𝐿2 𝐽1 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑟í𝑔𝑖𝑑𝑎 1 𝐶 𝐺 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑚1 k 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥𝑒𝑞 2 𝑚 ሶ𝑥2 𝑚2 ሶ𝑥2 𝑚1 ሶ𝑥𝐶𝐺 2 𝑚𝑒 ሶ𝑥2 2 1 3 𝑚1𝐿1 2 ሶ𝜃2 𝐽𝑒 ሶ𝜃𝑒2 𝐽𝑒 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 Oca 𝐽 න 0 𝐿 𝑅2𝑑𝑚 anel A aproximação é tanto melhor quanto maior for o valor de n e consequentemente menor a área da base de cada pirâmide no caso Indicando por Ab a área da base de cada uma destas pirâmides o volume de cada uma é 13 Ab r Na totalidade n 13 Abr que podemos fazer igual ao volume da esfera Assim temos n 13 Abr 4πr³3 e daí n Ab 4πr² Como para n suficientemente grande n Ab é a área da superfície esférica indicando esta área por A temos A 4πr² 𝜃 𝑑𝑥 𝑅𝑑𝜃 𝑑𝐴 2𝜋𝑟𝑅𝑑𝜃 Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑒𝑙 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑜𝑐𝑎 𝐽 න 0 𝑅 𝑆2𝑑𝑚 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 𝑅 𝑟 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑟 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑑𝐴 2𝜋𝑅2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑑𝑚 𝜌𝑑𝐴 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑒𝑙 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑒𝑙 𝑅 𝜃 𝑟 anel 𝜌 𝑚 𝐴𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑚 4𝜋𝑅2 𝑥 𝑑𝐴 2𝜋𝑟𝑑𝑥 𝜃 𝑑𝑥 𝑅𝑑𝜃 𝐽 න𝑟2𝑑𝑚 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 𝑅 𝑟 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑚 𝜌𝑑𝐴 𝑅 𝜃 𝑟 anel 𝜌 𝑚 𝐴𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑚 4𝜋𝑅2 𝑑𝑚 𝑚 4𝜋𝑅2 2𝜋𝑅2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑑𝑚 𝑚 2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝐽 න 𝑟2 𝑚 2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝜃 𝑑𝑥 𝑅𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 𝑅 𝑟 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑅 𝜃 𝑟 anel 𝐽 න 𝑟2 𝑚 2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝐽 න𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃2𝑚 2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝐽 න 𝑅2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑚 2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝐽 𝑚𝑅2 2 න 0 𝜋 𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝐽 𝑚𝑅2 2 න 0 𝜋 1 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝜃 𝑑𝑥 𝑅𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 𝑅 𝑟 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑅 𝜃 𝑟 anel 𝐽 𝑚𝑅2 2 න 0 𝜋 1 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝐽 𝑚𝑅2 2 න 0 𝜋 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 න 0 𝜋 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝐽 𝑚𝑅2 2 𝑐𝑜𝑠𝜃0 𝜋 න 0 𝜋 𝑢2𝑑𝑢 𝐽 𝑚𝑅2 2 1 1 𝑢3 3 𝜃 𝑑𝑥 𝑅𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 𝑅 𝑟 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑅 𝜃 𝑟 anel 𝐽 𝑚𝑅2 2 2 𝑐𝑜𝑠3𝜃 3 0 𝜋 𝐽 𝑚𝑅2 2 2 1 3 1 1 𝐽 𝑚𝑅2 2 2 2 3 𝐽 𝑚𝑅2 2 4 3 2𝑚𝑅2 3 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥𝑒𝑞 2 𝑖 𝑛 𝑚𝑖 ሶ𝑥𝑖 2 𝑖 𝑛 𝐽𝑖 ሶ𝜃𝑖 2 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝑥 3 4 𝐿1 𝑥𝐶𝐺 1 2 𝐿1 𝑥2 1 5 𝐿1 ሶ𝑥 3 4𝑙1 ሶ𝑥𝐶𝐺 1 2𝑙1 ሶ𝑥2 1 5𝑙1 ሶ𝑥 ሶ𝑥𝑒𝑞 ሶ𝑥2 4 15 ሶ𝑥 ሶ𝑥𝐶𝐺 2 3 ሶ𝑥 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥𝑒𝑞 2 𝑚 ሶ𝑥2 𝑚2 ሶ𝑥2 𝑚1 ሶ𝑥𝐶𝐺 2 𝑚𝑒 ሶ𝑥2 2 𝐽1 ሶ𝜃2 𝐽𝑒 ሶ𝜃𝑒2 𝐽𝑒 2 3 𝑚𝑒𝑟𝑒2 𝐽1 1 3 𝑚1𝐿1 2 𝜃 𝑥 𝑥𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 3𝐿1 4 𝐿1 𝜃 𝑥 3 4 𝐿1 𝑥𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐿1 𝑥𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 4 3 𝑥 𝜃 𝑥𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐿1 4 3 𝑥 𝐿1 𝐸𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑜𝑐𝑎 𝜃2 𝜃𝑒 𝑥2 𝑟𝑒 4𝑥 15𝑟𝑒 𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎 1 𝑚𝑒𝑞 𝑥𝑡 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥𝑒𝑞 2 𝑚 ሶ𝑥2 𝑚2 ሶ𝑥2 𝑚1 2 3 2 ሶ𝑥2 𝑚𝑒 4 15 2 ሶ𝑥2 1 3 𝑚1𝐿1 2 4 3𝐿1 2 ሶ𝑥2 2 3 𝑚𝑒𝑟𝑒2 4 15𝑟𝑒 2 ሶ𝑥2 𝑚𝑒𝑞 ሶ𝑥𝑒𝑞 2 𝑚 ሶ𝑥2 𝑚2 ሶ𝑥2 𝑚1 ሶ𝑥𝐶𝐺 2 𝑚𝑒 ሶ𝑥2 2 𝐽1 ሶ𝜃2 𝐽𝑒 ሶ𝜃𝑒2 𝑚𝑒𝑞 𝑚 𝑚2 𝑚1 2 3 2 𝑚𝑒 4 15 2 1 3 𝑚1𝐿1 2 4 3𝐿1 2 2 3 𝑚𝑒𝑟𝑒2 4 15𝑟𝑒 2 𝑚𝑒𝑞 𝑚 𝑚2 4 9 𝑚1 16 225 𝑚𝑒 16 27 𝑚1 32 675 𝑚𝑒 𝑚𝑒𝑞 𝑚 𝑚2 4 9 16 27 𝑚1 16 225 32 675 𝑚𝑒 𝑚𝑒𝑞 𝑚 𝑚2 28 27 𝑚1 80 675 𝑚𝑒 𝑚𝑒𝑞 𝑚 28 27 𝑚1 𝑚2 16 135 𝑚𝑒 𝑚𝑒𝑞 𝑥𝑡 Solução letra b Qual o valor da massa meq em kg em relação ao eixo xt ELEMENTO Momento de Inércia de Massa kgm2 Comprimento ou raio m Massa kg Massa m nada nada 1 5 Massa m1 J1 048 L1 12 10 Massa m2 nada nada 05 Massa me Je 0045 R1 015 30 𝑚𝑒𝑞 𝑥𝑡 𝑚 28 27 𝑚1 𝑚2 16 135 𝑚𝑒 15 28 27 10 05 16 135 30 3393 kg 𝐽1 1 3 𝑚1𝐿1 2 𝐽𝑒 2𝑚𝑅2 3 Solução letra c Dimensionar as molas deste sistema de modo que a frequência natural permaneça numa faixa entre 82 02 Hz e que k1k4 k2k3 Use a tabela 1 para dimensionar as molas necessários para atender as condições do projeto Obter a rigidez equivalente 𝑘14 e 𝑘23 𝑘1 𝑒 𝑘4 𝑒𝑠𝑡ã𝑜 𝑒𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑘14 𝑘1 𝑘4 𝑘2 𝑒 𝑘3 𝑒𝑠𝑡ã𝑜 𝑒𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑘23 𝑘2 𝑘3 𝑘14 𝑘1 𝑘4 𝑘23 𝑘2 𝑘3 𝑘14 𝑘23 𝑥 𝑥2 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜃 1 2 𝑘𝑖𝑥𝑖 2 1 2 𝑘𝑒𝑞𝑥2 𝑘14 𝑘23 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 Obter a Rigidez equivalente do sistema 𝑘14 𝑘1 𝑘4 𝑘23 𝑘2 𝑘3 𝑘14 𝑘23 𝑥 𝑥2 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜃 1 2 𝑘𝑖𝑥𝑖 2 1 2 𝑘𝑒𝑞𝑥2 𝑘𝑒𝑞𝑥𝑒𝑞 2 𝑘14𝑥2 𝑘23𝑥2 2 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝑥 3 4 𝐿 𝑥2 1 5 𝐿 𝑥 𝑥𝑒𝑞 𝑥2 4 15 𝑥 𝑘𝑒𝑞𝑥2 𝑘14𝑥2 𝑘23 4 15 2 𝑥2 𝑘𝑒𝑞 𝑘14 16 225 𝑘23 Obter a Rigidez equivalente do sistema 𝑘14 𝑘1 𝑘4 𝑘23 𝑘2 𝑘3 𝑘14 𝑘23 𝑘𝑒𝑞 𝑘14 16 225 𝑘23 𝑘𝑒𝑞 meq 𝜔𝑛 𝑘𝑒𝑞 𝑚𝑒𝑞 𝜔𝑛 2𝜋𝑓𝑛 2𝜋𝑓𝑛 𝑘𝑒𝑞 𝑚𝑒𝑞 2𝜋𝑓𝑛 2 𝑘𝑒𝑞 𝑚𝑒𝑞 2𝜋 2𝑓𝑛2 𝑘𝑒𝑞 𝑚𝑒𝑞 𝑘𝑒𝑞 2𝜋 2𝑓𝑛2𝑚𝑒𝑞 𝑘14 16 225 𝑘23 2𝜋 2𝑓𝑛2𝑚𝑒𝑞 𝑘14 16 225 𝑘23 2𝜋 2𝑓𝑛2𝑚𝑒𝑞 Mola Carga Leve Série V polimold INDUSTRIAL SA Legenda DH Diâmetro do Furo Dd Diâmetro do Eixo b x h Secção do Arame L0 Comprimento Livre de Carga D Valor aproximado para Deflexão Sólida Same as 40 DH Dd b x h L0 mm Referência Rigidez N mm 25 30 40 D Aprox 10 5 17 x 11 25 V 10 25 10 63 63 75 75 100 100 135 135 32 V 10 32 85 80 68 96 82 128 109 175 149 38 V 10 38 68 95 65 114 78 152 103 208 141 44 V 10 44 60 110 66 132 79 176 106 239 143 51 V 10 51 50 128 64 153 77 204 102 289 145 64 V 10 64 43 160 69 192 83 256 110 361 155 76 V 10 76 32 190 61 228 73 304 97 432 138 305 V 10 305 11 763 84 915 101 1220 134 1787 197 16 8 32 x 15 25 V 16 25 234 63 147 75 176 100 234 126 295 32 V 16 32 229 80 183 96 220 128 293 164 376 38 V 16 38 193 95 183 114 220 152 293 197 380 44 V 16 44 171 110 188 132 226 176 301 225 385 51 V 16 51 157 128 201 153 240 204 320 263 413 64 V 16 64 107 160 171 192 205 256 274 333 356 76 V 16 76 100 190 190 228 228 304 304 402 402 89 V 16 089 86 223 192 267 230 356 306 476 409 102 V 16 102 78 255 199 306 239 408 318 554 432 115 V 16 115 66 288 190 345 228 460 304 608 401 305 V 16 305 25 763 191 915 229 1220 305 1653 413 Obter a Rigidez equivalente do sistema 𝑘14 𝑘1 𝑘4 𝑘23 𝑘2 𝑘3 𝑘14 𝑘23 𝑘𝑒𝑞 𝑘14 16 225 𝑘23 𝑘𝑒𝑞 meq 𝑘2 𝑘3 𝑘1 𝑘4 𝑓𝑛 820 020 Hz 𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑘2 𝑘3 32 𝑁𝑚𝑚 𝑘1 𝑘4 43 𝑁𝑚𝑚 𝑘14 16 225 𝑘23 2𝜋 2𝑓𝑛2𝑚𝑒𝑞 2 43 2 16 225 32 2𝜋 2 822 23393 𝑟𝑒𝑓 V1064 𝑒𝑟𝑟𝑜 005 𝑟𝑒𝑓 V1076 904972 905511 Obter a Rigidez equivalente do sistema 𝑘14 𝑘1 𝑘4 𝑘23 𝑘2 𝑘3 𝑘14 𝑘23 𝑘𝑒𝑞 𝑘14 16 225 𝑘23 𝑘𝑒𝑞 meq 𝑓𝑛 820 020 Hz 𝑘2 𝑘3 32 𝑁𝑚𝑚 𝑘1 𝑘4 43 𝑁𝑚𝑚 𝑘𝑒𝑞 𝑘14 16 225 𝑘23 905511 Nm 𝑚𝑒𝑞 3393 kg 𝑘𝑒𝑞 905511 Nmm 𝜔𝑛 𝑘𝑒𝑞 𝑚𝑒𝑞 904972 3393 5164 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑓𝑛 𝜔𝑛 2𝜋 821 𝐻𝑧 POSSÍVEIS SOLUÇÕES PARA A CONDIÇÃO K1K4 K2K3 fn 8202 Hz K1K4 Nmm K2K3 Nmm Fn Hz molas Referências 43 11 8086 V1064 k1 e K4 V10305 k2 e K3 43 32 8222 V1064 k1 e K4 V1076 k2 e K3 43 50 8338 V1064 k1 e K4 V1051 k2 e K3 43 25 8177 V1064 k1 e K4 V16305 k2 e K3 32 193 8263 V1076 k1 e K4 V1638 k2 e K3 32 171 8121 V1076 k1 e K4 V1644 k2 e K3 32 157 8028 V1076 k1 e K4 V1651 k2 e K3 Solução letra d Valor da rigidez equivalente Keq para cada caso K1K4 Nmm K2K3 Nmm Keq Nmm Nm 43 11 88 87564 43 32 91 90551 43 50 93 93111 43 25 90 89556 32 193 91 91449 32 171 88 88320 32 157 86 86329 𝑘14 𝑘1 𝑘4 𝑘23 𝑘2 𝑘3 𝑘𝑒𝑞 𝑘14 16 225 𝑘23 Solução letra e Obtenha a equação EDO de 2 ordem que represente este sistema equivalente do mecanismo em relação à rotação da barra 1 em termos de t Sistema mecânico proposto Sistema mecânico equivalente 𝑘𝑒𝑞 meq 𝜃𝑡 𝑃𝑎𝑟𝑎 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 4𝑥 3𝐿1 𝜃 𝑥 3𝐿1 4 𝑘𝑒𝑞 meq 𝜃𝑡 Somatório dos momentos no ponto pivotado 𝑀𝑜 3 4 𝐿1𝐹𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 3 4 𝐿1𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 0 ൝𝐹𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑞 ሷ𝑥 𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 𝑘𝑒𝑞𝑥 3 4 𝐿1𝐹𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 3 4 𝐿1𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 0 𝜃 4𝑥 3𝐿1 3 4 𝐿1𝑚𝑒𝑞 ሷ𝑥 3 4 𝐿1𝑘𝑒𝑞𝑥 0 𝑥 3𝐿1 4 𝜃 ሶ𝑥 3𝐿1 4 ሶ𝜃 ሷ𝑥 3𝐿1 4 ሷ𝜃 3 4 𝐿1𝑚𝑒𝑞 3𝐿1 4 ሷ𝜃 3 4 𝐿1𝑘𝑒𝑞 3𝐿1 4 𝜃 0 𝑚𝑒𝑞 ሷ𝜃 𝑘𝑒𝑞𝜃 0 ሷ𝜃 𝑘𝑒𝑞 𝑚𝑒𝑞 𝜃 0 ሷ𝜃 𝑛 2𝜃 0 Solução letra f Admitindo a solução da EDO de 2 ordem como 𝜃 𝑡 C𝑒𝑠𝑡 letra e trace o gráfico t x do sistema equivalente Equação diferencial parcial de 2 ordem EDP Possível solução da EDP 𝜃 𝑡 C𝑒𝑠𝑡 ሶ𝜃 𝑡 Cs𝑒𝑠𝑡 ሷ𝜃 𝑡 C𝑠2𝑒𝑠𝑡 C𝑠2𝑒𝑠𝑡 𝑘 𝑚 C𝑒𝑠𝑡 0 ሷ𝜃 𝑘 𝑚 𝜃 0 Eq letra e 𝐶𝑒𝑠𝑡 𝑠2 𝑘 𝑚 0 𝑆𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙 𝐶𝑒𝑠𝑡 0 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝐶 0 Solução não trivial 𝑠2 𝑘 𝑚 0 Solução 𝑠12 𝑖𝜔𝑛 C𝑠2𝑒𝑠𝑡 𝑘 𝑚 C𝑒𝑠𝑡 0 𝑠2 𝑘 𝑚 𝑠2 𝜔𝑛2 𝑠2 𝜔𝑛 2 Solução é a combinação linear de 𝜃 𝑡 C𝑒𝑠𝑡 𝑠12 𝑖𝜔𝑛 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 𝐶2𝑒𝑠2𝑡 𝜃 𝑡 𝐶1𝑒𝑖𝜔𝑛𝑡 𝐶2𝑒𝑖𝜔𝑛𝑡 Euler ቊ 𝑒𝑖𝛿 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿 𝑒𝑖𝛿 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿 𝜃 𝑡 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿 𝐶2 𝑐𝑜𝑠𝛿 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛿 𝜃 𝑡 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝐶1 𝐶2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 𝑖 𝐶1 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 𝜃 𝑡 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 𝐴 𝐵 Aplicando as condições iniciais 𝜃 𝑡 𝜃 0 𝜃0 𝜃 𝑡 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 𝜃 0 𝜃0 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛 0 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛 0 1 0 𝜃0 𝐴 𝜃 𝑡 𝜃0𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 Aplicando as condições iniciais ሶ𝜃 𝑡 ሶ𝜃 0 ሶ𝜃0 𝜃 𝑡 𝜃0𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 𝐵𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 ሶ𝜃 𝑡 𝜔𝑛𝜃0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 𝜔𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 ሶ𝜃 0 ሶ𝜃0 𝜔𝑛𝜃0𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛0 𝜔𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛0 0 𝐵 ሶ𝜃0 𝜔𝑛 1 𝜃 𝑡 𝜃0𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 ሶ𝜃0 𝜔𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 DH Dd b x h L0 mm Referência Rigidez N mm 25 30 40 D Aprox 10 5 17 x 11 25 V 10 25 10 63 63 75 75 100 100 135 135 32 V 10 32 85 80 68 96 82 128 109 175 149 38 V 10 38 68 95 65 114 78 152 103 208 141 44 V 10 44 60 110 66 132 79 176 106 239 143 51 V 10 51 50 128 64 153 77 204 102 289 145 64 V 10 64 43 160 69 192 83 256 110 361 155 76 V 10 76 32 190 61 228 73 304 97 432 138 305 V 10 305 11 763 84 915 101 1220 134 1787 197 16 8 32 x 15 25 V 16 25 234 63 147 75 176 100 234 126 295 32 V 16 32 229 80 183 96 220 128 293 164 376 38 V 16 38 193 95 183 114 220 152 293 197 380 44 V 16 44 171 110 188 132 226 176 301 225 385 51 V 16 51 157 128 201 153 240 204 320 263 413 64 V 16 64 107 160 171 192 205 256 274 333 356 76 V 16 76 100 190 190 228 228 304 304 402 402 89 V 16 089 86 223 192 267 230 356 306 476 409 102 V 16 102 78 255 199 306 239 408 318 554 432 115 V 16 115 66 288 190 345 228 460 304 608 401 305 V 16 305 25 763 191 915 229 1220 305 1653 413 K1K4 Nmm K2K3 Nmm Keq Nmm Keq Nm Meq kg 𝝎𝒏 𝒓𝒂𝒅𝒔 Fn Hz Deform 40 da mola k1 mm Deform 40 da mola k2 mm Desloc Inicial 𝜽𝟎 rad Veloc Inicial 𝜽𝟎 43 11 88 87564 3393 508008 8086 256 1220 0028444 1630 43 32 91 90551 3393 51663 8222 256 304 0028444 1630 43 50 93 93111 3393 52388 8338 256 204 0028444 1630 43 25 90 89556 3393 51378 8177 256 1220 0028444 1630 32 193 91 91449 3393 51919 8263 304 152 0033778 1935 32 171 88 88320 3393 51023 8121 304 176 0033778 1935 32 157 86 86329 3393 50444 8028 304 204 0033778 1935 𝜃 𝑡 𝜃0𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 ሶ𝜃0 𝜔𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 𝑘14 𝑘23 3𝐿1 4 09 𝑚 𝐿1 5 024m 𝜃 𝑥 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚 𝑚𝑜𝑙𝑎 𝑥2 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 𝐿1 12 m 𝜃𝑘1𝑘4 4𝑥 3𝐿1 4 00256 3 12 0028444 rad 163 𝜃𝑘2𝑘3 5𝑥2 𝐿1 50122 12 0508333 2913 K1K4 Nmm K2K3 Nmm Keq Nmm Keq Nm Meq kg 𝝎𝒏 𝒓𝒂𝒅𝒔 Fn Hz Deform 40 da mola k1 mm Deform 40 da mola k2 mm ângulo Inicial 𝜽𝟎 rad ângulo Inicial 𝜽𝟎 43 11 88 87564 3393 508008 8086 256 1220 0028444 1630 43 32 91 90551 3393 51663 8222 256 304 0028444 1630 43 50 93 93111 3393 52388 8338 256 204 0028444 1630 43 25 90 89556 3393 51378 8177 256 1220 0028444 1630 32 193 91 91449 3393 51919 8263 304 152 0033778 1935 32 171 88 88320 3393 51023 8121 304 176 0033778 1935 32 157 86 86329 3393 50444 8028 304 204 0033778 1935 𝜃 𝑡 𝜃0𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 ሶ𝜃0 𝜔𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 𝑘14 𝑘23 3𝐿1 4 09 𝑚 𝐿1 5 024m 𝜃 𝑥 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚 𝑚𝑜𝑙𝑎 𝑥2 𝐿1 12 m ሶ𝜃0 0 𝜃 𝑡 𝜃0𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 Gráfico ROTAÇÃO DA BARRA 1 Ângulo em radianos 003 002 001 0 001 002 003 0 05 1 15 2 Tempo s Gráfico ROTAÇÃO DA BARRA 1 Ângulo em graus 2 1 0 1 2 0 05 1 15 2 Tempo s subplot3346