Vibrações Mecânicas

Q1 Uma máquina de 70 kg é montada sobre um isolador não amortecido composto por quatro molas em paralelo com rigidez k 3104 Nm em cada mola Quando opera a uma velocidade de 27 Hz a amplitude em regime permanente é medida a partir de um teste experimental e corresponde a 08 mm Determinar a magnitude da força que excita esta máquina nesta velocidade O valor dessa força em kN é a103 b112 c152 d179 e123 q2 O motor elétrico de 47 kg gira um volante excêntrico equivalente a um peso não balanceado de 2 kg localizado a 140 mm do eixo de rotação Se o peso do motor causa na viga uma deflexão estática de 8 mm determinar a velocidade angular do volante para a qual ocorre ressonância Desprezar a massa da viga A velocidade angular do volante para que a ressonância ocorra é de em rads a30 b45 c40 d35 e25 q3 O motor elétrico de 47 kg gira um volante excêntrico equivalente a um peso não balanceado de 2 kg localizado a 140 mm do eixo de rotação O peso do motor causa na viga uma deflexão estática de 8 mm e a massa da viga deve ser desprezada Se a velocidade angular do volante for de 20 rads qual será a amplitude de vibração em regime permanente A amplitude de vibração em regime permanente em mm é a402 b289 c314 d175 e586 Q4 O motor elétrico de 47 kg gira um volante excêntrico equivalente a um peso não balanceado de 2 kg localizado a 140 mm do eixo de rotação O peso do motor causa na viga uma deflexão estática de 8 mm e a massa da viga deve ser desprezada Determinar a velocidade angular do volante que produzirá uma amplitude de vibração em regime permanente de 6 mm A velocidade angular é de em rads a389 b288 c299 d176 e201 Q5 A barra elástica e leve suporta uma esfera de 3 kg Quando se aplica à esfera uma força vertical de 13 N a barra sobre deflexão de 11 mm Se a parede oscila com frequência harmônica de 3 Hz e tem amplitude de 10 mm determinar a amplitude de vibração em regime permanente da esfera A amplitude de vibração em regime permanente da esfera é de em mm a98 b100 c96 d104 e102 Q6 Um gerador composto por um motor diesel de massa m 1400 kg está montado sobre isoladores com uma rigidez equivalente keq 11 MNm O pistão e a parte da biela equivalente têm massa de 22 kg e movemse de forma harmônica na máquina no sentido vertical com curso de 045 m a 300 rpm O curso é definido como curso 2e A partir de um teste experimental constatouse que a amplitude de vibração em regime permanente do motor Xp é de 0005 m Admitindo amortecimento viscoso calcular o coeficiente de amortecimento do sistema O fator de amortecimento ξ é a0761 b0256 c0437 d0165 e0379 Q7 O motor está montado sobre um bloco de fundação suportado por molas Descrever a função horária Xpt para regime permanente se o bloco e o motor têm peso total de 100 kg e o motor em funcionamento gera uma força excitadora Ft 300sen2t N onde t é dado em segundos Suponha que o sistema vibre apenas na direção vertical com deslocamentos positivos medidos para baixo A rigidez equivalente do conjunto de molas é representada por keq 5 kNm A função horária Xpt em mm é dada por a421sen2t b652sen2t c421sen707t d652sen707t e210sen2t Q8 Um bloco de 30 kg é suspenso por meio de uma mola de rigidez k 2000 Nm O suporte que prende a mola tem um movimento harmônico simples expresso por δt 0020sen2t em metros e t em segundos Se o fator de amortecimento equivalente para o conjunto tem o valor de ξeq 08 determinar o ângulo de fase da vibração forçada O ângulo de fase para a vibração forçada tem o valor de em graus a226 b204 c153 d178 e217 Q9 Um bloco de 30 kg é suspenso por meio de uma mola de rigidez k 2000 Nm O suporte que prende a mola tem um movimento harmônico simples expresso por δt 0020sen2t em metros e t em segundos Se o fator de amortecimento equivalente para o conjunto tem o valor de ξeq 08 determinar o fator de amplificação O fator de amplificação FA tem o valor de a0982 b122 c245 d0873 e0778 Q10 Qual deve ser o valor mínimo para c de modo que a amplitude máxima de vibração em regime permanente não ultrapasse 20 mm para a massa mostrada O valor de c em Nsm é a354 b183 c441 d205 e153 Q11 Verificouse que um automóvel tem uma frequência natural de 20 rads sem passageiros e de 1732 rads com passageiros com massa total de 500 kg Determine a massa e a rigidez do automóvel tratandoo como um sistema com um grau de liberdade Q12 Uma locomotiva de 2000 kg de massa que está viajando a uma velocidade de 10 ms é parada no final da via férrca por um sistema molaamortecedor Se a rigidez da mola for de 40 Nmm e a constante de amortecimento for de 20 Nsmm determine o deslocamento máximo da locomotiva após alcançar as molas e o amortecedor Q13 Um compressor de ar de um cilindro com 100 kg de massa está montado sobre suportes de borracha conforme mostrado pela figura As constantes de rigidez e amortecimento equivalente dos suportes de borracha são dadas por 105 Nm e 2000 Nsm respectivamente Se o desequilíbrio do compressor for equivalente à massa de 01 kg localizada na extremidade da manivela ponto A determinar a resposta do compressor em regime permanente à velocidade da manivela de 3000 rpm Suponha que r 10 cm e 1 40 cm Questão 1 Para iniciar reunimos os dados a massa total do sistema é de m 70 kg e há quatro molas idênticas cada uma com rigidez k 3 x 104 Nm Como elas estão em paralelo somamos suas rigidezes para obter a rigidez equivalente K 4k 4 x 3 x 104 12 x 105 Nm A máquina opera na frequência f 27 Hz o que corresponde a uma velocidade angular ω 2πf 2π x 27 16965 rads Experimentalmente observouse uma amplitude estacionária de X 08 mm ou seja X 00008 m Em um sistema não amortecido sujeito a força harmônica de amplitude F0 a relação entre amplitude e força é dada por X F0 K mω2 Para encontrar F0 basta isolar essa grandeza F0 X K mω2 Calculando o termo K mω2 temos K mω2 12 x 105 70 169652 1895 x 106 Nm O valor absoluto indica que a força efetivamente necessária aumenta em função da defasagem dinâmica do sistema Assim F0 00008 x 1895 x 106 1516 x 103 N 1516 kN Em outras palavras para manter uma oscilação de 08 mm a 27 Hz a máquina deve gerar uma força de cerca de 152 kN Letra C Questão 2 Agora consideramos o motor de massa m 47 kg apoiado em uma viga cuja massa desprezamos A cada peso aplicado a viga sofre uma deflexão estática de δ 8 mm Pela lei de Hooke a rigidez k do conjunto vigamotor é k mg δ 47 x 981 0008 5764 x 104 Nm Para ocorrer ressonância a frequência de excitação deve coincidir com a frequência natural do sistema dada por ωn sqrtkm sqrt5764 x 104 47 350 rads Isso significa que ao girar o volante excêntrico com velocidade angular em torno de 35 rads a amplitude de vibração tende a crescer significativamente devido à ressonância Letra D Questão 3 Para esta questão mantemos m 47 kg e k 5764 x 104 Nm e adicionamos o volante com massa não balanceada mu 2 kg a uma excentricidade e 014 m Quando o volante gira a ω 20 rads a força de excitação harmônica tem amplitude F0 mu eω2 2 x 014 x 202 112 N Em regime permanente a amplitude X de vibração resulta de X F0 k mω2 Substituindo os valores k mω2 5764 x 104 47 x 400 3884 x 104 Nm X 112 3884 x 104 288 x 103 m 288 mm Assim a vibração estabiliza em aproximadamente 29 mm de amplitude Letra B Questão 4 Finalmente buscamos a velocidade angular que gere uma amplitude de X 60 mm Utilizamos as mesmas m k mu e e do item anterior A força de excitação geral é F0 mu eω2 028 ω2 A condição para amplitude fixa de 6 mm é 0006 028 ω2 k mω2 Rearranjando obtemos k mω2 028 0006 ω2 466667 ω2 No regime abaixo da ressonância isto é k mω2 temos 5764 x 104 47 ω2 466667 ω2 ω sqrt5764 x 104 936667 248 rads Este resultado indica que girando o volante a cerca de 248 rads a amplitude da vibração será de 6 mm Valores muito acima disso além da ressonância não se aplicam ao nosso cenário prático A letra B é resposta a mais próxima Questão 5 Considere uma barra elástica de massa desprezível presa na parede à esquerda sustentando uma esfera de massa m 3 kg na extremidade livre Ao aplicar uma força estática vertical de F 13 N sobre a esfera observase uma deflexão estática de δ 11 mm 0011 m Assim pela lei de Hooke a rigidez da barra é k Fδ 13 0011 11818 Nm Agora a parede oscila verticalmente com frequência f 3 Hz portanto ω 2πf 1885 rads e amplitude Aparede 10 mm 0010 m Essa oscilação impõe à base da barra um deslocamento harmônico que transmite à esfera uma excitação de mesma frequência Em um sistema massamola sem amortecimento com excitação na base de amplitude Xb a amplitude da massa em regime permanente é X Xb k k mω2 Aqui Xb 0010 m k 11818 Nm e m 3 kg Logo k mω2 11818 3 x 18852 11818 3 x 3553 11818 10659 1159 Nm X 0010 x 11818 1159 0010 x 1019 01019 m 1019 mm Letra E Questão 6 Para determinar o coeficiente de amortecimento seguimos estes passos 1 Dados do sistema m 1400 kg k 11 x 106 Nm O pistão e a biela equivalentes têm massa mu 22 kg excentricidade e curso2 0452 0225 m 2 Força excitadora O movimento harmônico gera uma força de amplitude F0 mu e ω2 ω 2π30060 2π x 5 31416 rads Logo F0 22 x 0225 x 314162 4885 N 3 Equação da amplitude amortecida Num sistema massamolaamortecedor forçado Xp F0 sqrtk m ω22 c ω2 onde mediuse Xp 0005 m 4 Cálculo de c Isolando c𝜔 k m 𝜔²² c 𝜔² F₀Xₚ portanto c 𝜔² F₀Xₚ² k m 𝜔²² Numericamente k m 𝜔² 11 10⁶ 1400 31416² 2817 10⁵ Nm F₀Xₚ 48850005 9 771 10⁵ Nm c 𝜔 9 771 10⁵² 2 817 10⁵² 9 356 10⁵ Nm c 9 356 10⁵ 31416 2978 10⁴ N sm 5 Fator de amortecimento A frequência natural do sistema é 𝜔ₙ km 11 10⁶1400 2803 rads Logo o fator de amortecimento razão crítica é ξ c2m 𝜔ₙ 2 978 10⁴ 2 1400 2803 0379 Letra E Questão 7 Massa total m 100 kg Rigidez equivalente k 5 kNm 5000 Nm Força excitadora Ft 300 sin2t N 𝜔 2 rads Em regime permanente e sem amortecimento a resposta forçada é Xₚt F₀k m 𝜔² sin𝜔t Xₚt 300 5000 100 2² sin2t Calculando o denominador k m 𝜔² 5000 100 4 4600 Nm portanto X 3004600 0065217 m 65217 mm Logo medindo deslocamentos em mm para baixo Xₚt 6522 sin2t mm Letra B Questão 8 Um bloco de massa m 30 kg está suspenso por uma mola de rigidez k 2000 Nm A base sofre um deslocamento harmônico δt 0020 sin2t m logo a frequência de excitação é 𝜔 2 rads O fator de amortecimento equivalente é ξ 08 Frequência natural 𝜔ₙ km 200030 8165 rads Razão de frequências r 𝜔𝜔ₙ 28165 0245 Ângulo de fase Para vibração forçada com amortecimento a fase relativa entre o movimento da massa e da base é 𝜙 arctan2 ξ r 1 r² Substituindo 𝜙 arctan2 08 0245 1 0245² arctan0417 226 Letra A Questão 9 Dado que o bloco tem massa m 30 kg a mola rigidez k 2000 Nm e a excitação da base é δt 0020 sin2t 𝜔 2 rads O fator de amortecimento é ξ 08 Frequência natural 𝜔ₙ km 200030 8165 rads Razão de frequências r 𝜔𝜔ₙ 28165 0245 Fator de amplificação Em regime permanente com amortecimento o fator de amplificação magnification factor é FA 11 r²² 2 ξ r² 11 0245²² 2 08 0245² Calculando 1 r² 1 0245² 094 2 ξ r 2 08 0245 0392 FA 1094² 0392² 108836 01537 110373 0982 LETRA A Questão 10 A massa m 45 kg está presa a duas molas em paralelo rigidez total k 250 600 850 Nm e a um amortecedor c A força excitadora é Ft 50 cos8t N 𝜔 8 rads Em regime permanente a amplitude X satisfaz X F₀k m 𝜔²² c 𝜔² 002 m Isolando a condição para c temos k m 𝜔²² c 𝜔² 50002 2500 c 𝜔² 2500² k m 𝜔²² Calculamos k m 𝜔² 850 45 8² 850 2880 2030 Nm 2500² 2030² 6250000 4120900 2129100 c 2129100𝜔 1459178 1824 N sm Letra B Questão 11 Sabese que sem passageiros a frequência natural do carro é 𝜔ₙ₁ 20 rads e com mₚ 500 kg de passageiros passa a 𝜔ₙ₂ 1732 rads Tratando como sistema massamola 𝜔ₙ₁ km k m 𝜔ₙ₁² 𝜔ₙ₂ km mₚ m 𝜔ₙ₁²m mₚ 𝜔ₙ₂² m 𝜔ₙ₁²m mₚ Isolando m 𝜔ₙ₂² m mₚ m 𝜔ₙ₁² m 𝜔ₙ₁² 𝜔ₙ₂² mₚ 𝜔ₙ₂² m mₚ 𝜔ₙ₂² 𝜔ₙ₁² 𝜔ₙ₂² Substituindo m 500 1732² 20² 1732² 500 300 400 300 150000 100 1500 kg Então k m 𝜔ₙ₁² 1500 20² 1500 400 6 10⁵ Nm Resposta m 1500 kg k 6 10⁵ Nm Questão 12 Para a locomotiva de m 2000 kg que se choca contra molaamortecedor aplicamos conservação de energia mais dissipação viscosa A mola tem rigidez k 40 Nmm 4 104 Nm o amortecedor tem c 20 N smm 2 104 N sm A velocidade inicial é v0 10 ms Em um sistema massamolaamortecedor o deslocamento máximo Xmax satisfaz 12 m v02 12 k Xmax2 0Xmax c x dx Para amortecimento viscoso linear a energia dissipada é aproximadamente Ed cωd Xmax2 mas no impacto inicial podese usar o fator de amplificação de amortecimento crítico aproximado Para simplicidade assumimos que a velocidade instantânea no máximo deslocamento é zero e aplicamos 12 m v02 12 k Xmax2 Xmax v0 mk Logo Xmax 10 20004 104 10 005 10 02236 2236 m Questão 13 O compressor pode ser modelado como uma massa única m 100 kg montada em isoladores com rigidez k 1 105 Nm e amortecimento c 2000 N sm O desequilíbrio rotórico é equivalente a uma massa mu 01 kg em excentricidade r 010 m ponto A Vamos calcular a frequencia de excitação n 3000 rpm 50 revs ω 2π n 2π 50 31416 rads A massa não balanceada gera força harmônica de amplitude F0 mu r ω2 01 010 314162 987 N Em um sistema massamolaamortecedor forçado a amplitude estacionária é X F0 k m ω22 c ω2 Calculamos k m ω2 1 105 100 314162 97696 106 Nm cω 2000 31416 62832 105 Nm k m ω22 c ω2 97696 1062 62832 1052 9790 106 Nm X 987 9790 106 101 104 m 010 mm A amplitude de vibração em regime permanente é aproximadamente Xp 010 mm