Lista de Exercícios Resolvidos e Propostos sobre Integrais: Cálculo Avançado

LISTA 1 calcule LISTA 2 calcule 21 EXEMPLOS 1 Encontre o valor da integral indefinida 10x4 2 sec2 x dx 2 Calcule a cos θsin2 θ dx b 4 cos x dx c x x2 dx d t2 2 t4t4 dx 31 EXEMPLOS 1 Calcule as seguintes integrais a x3 cos x4 2 dx b 2x 1 dx c x1 4x2 dx d ex dx e x5 1 x2 dx f tan x dx g 11 3x2 dx h x2 x 1 dx i cos3 x dx 41 EXEMPLOS 1 Calcule a 0 to 4 2x 1 dx b 1 to 13 5x2 dx c 1 to e ℓn xx dx d 0 to 2 x x2 13 dx e 2 to 5 2x 5x 39 dx f 0 to π8 sin5 2x cos 2x dx 51 EXEMPLOS 1 Encontre a área da região delimitada pelas parábolas y x2 e y 2x x2 2 Encontre a área da região delimitada pelas curvas y sin x y cos x x 0 e x π2 3 Encontre a área delimitada pela reta y x 1 e pela parábola y2 2x 6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Calcule as seguintes integrais a x1 x3 dx b x3 2 x2 dx c x5 2x2 1x4 dx d 2x 3 ex dx e sec θcos θ dθ f sin xcos2 x dx g 12 1 x2 31 x2 dx h 11 sin x dx i 3 sin x 2 sec2 x dx j sec x sec x tan x dx 2 Calcule as integrais usando a substituição indicada a cos 3x dx u 3x b x 4 x210 dx u 4 x2 c x2 x3 1 dx u x3 1 d 11 6t4 dt u 1 6t e cos3 θ sin θ dθ u cos θ f sec2 1xx2 dx u 1x g 2x x2 123 dx u x2 1 h cos3 x sin x dx u cos x i sec2 x 4x 1 dx u 4x 1 j y 1 2y2 dx u 1 2y2 k cot x csc2 x dx u cot x l 1 sin t9 cos t dt u 1 sin t m x2 1 x dx u 1 x n csc sin x2 cos x dx u sin x o 1x ℓn x dx u ℓn x p e5x dx u 5x LISTA 3 calcule EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Calcule as seguintes integrais a x cos 5x dx b x ex dx c r er2 dr d t sin 2t dt e p5 ℓn p d p f z3 ez dz g 0 to 12 x cos πx dx h 0 to 1 ye2y dy 2 Calcule as integrais a sin3 x cos2 x dx b sin6 x cos3 x dx c sin2 πx cos5 πx dx d cos2 x dx e sin2 x cos4 x dx 3 Calcule as integrais usando uma substituição apropriada a 1x2 x2 9 dx x 3 sec θ b x3 9 x2 dx x 3 sin θ c x3x2 x2 9 dx x 3 tan θ 4 Calcule as integrais a 0 to 1 x3 1 x2 dx b 2 to 2 1t3 t2 1 dt c 0 to 3 x36 x2 dx d 1x2 16 dx Lista 1 Calcule 4 3𝑥2 1 0 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 4 1 0 𝑑𝑥 3𝑥2 1 0 𝑑𝑥 Integrando 4𝑥0 1 𝑥30 1 Aplicando os limites 41 13 5 1 Calcule a integral 𝑒𝑥 3 1 𝑑𝑥 Resolução 𝑒𝑥 3 1 𝑑𝑥 Integrando 𝑒𝑥1 3 Aplicando os limites 𝑒3 𝑒1 2 Encontre a área sob a parábola 𝑦 𝑥2 de 0 a 1 Resolução O enunciado nos deu a função e os limites montando a integral 𝑥2 1 0 𝑑𝑥 Integrando 𝑥3 3 0 1 Aplicando os limites 13 3 1 3 3 Calcule 𝑑𝑥 𝑥 6 1 Resolução Reorganizando a integral 1 𝑥 6 1 𝑑𝑥 Integrando ln𝑥1 6 Aplicando os limites ln6 ln1 ln6 0 ln6 4 Encontre a área sob a curva cosseno de 0 a 𝜋2 Resolução O enunciado nos deu a função que no caso é cos𝑥 e os limites Montando a integral cos𝑥 𝜋2 0 𝑑𝑥 Integrando 𝑠𝑒𝑛𝑥0 𝜋2 Aplicando os limites 𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛0 1 0 1 5 1 3𝑥 5 1 𝑑𝑥 Resolução 1 3𝑥 5 1 𝑑𝑥 Separando os temos 1 5 1 𝑑𝑥 3𝑥 5 1 𝑑𝑥 Integrando 𝑥1 5 3𝑥2 2 1 5 Aplicando os limites 5 1 352 2 312 2 6 72 2 42 5 Exercícios propostos 1 Calcule a integral a 𝑥2 2𝑥 5 4 1 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 𝑥2 4 1 𝑑𝑥 2𝑥 4 1 𝑑𝑥 5 4 1 𝑑𝑥 Integrando 𝑥3 3 𝑥2 5𝑥 1 4 Aplicando os limites 43 3 42 54 13 3 12 51 21 b 2𝑥 𝑥3 2 0 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 2𝑥 2 0 𝑑𝑥 𝑥3 2 0 𝑑𝑥 Integrando 𝑥2 𝑥4 4 0 2 Aplicando os limites 22 24 4 02 04 4 0 c 𝑥3 3𝑥2 1 0 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 𝑥3 1 0 𝑑𝑥 3𝑥2 1 0 𝑑𝑥 Integrando 𝑥4 4 𝑥3 0 1 Aplicando os limites 14 4 13 04 4 03 3 4 d 1 𝑥 2 1 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 1 2 1 𝑑𝑥 𝑥 2 1 𝑑𝑥 Integrando 𝑥 𝑥2 2 1 2 Aplicando os limites 2 22 2 1 12 2 3 2 e 1 3 𝑥 2 9 0 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 1 3 𝑥 9 0 𝑑𝑥 2 9 0 𝑑𝑥 Integrando 1 6 𝑥2 2𝑥 0 9 Aplicando os limites 1 6 92 29 9 2 f 𝑥4 3𝑥 4 0 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 𝑥4 4 0 𝑑𝑥 3𝑥 4 0 𝑑𝑥 Integrando 𝑥5 5 3𝑥2 2 0 4 Aplicando os limites 45 5 342 2 904 5 g 6𝑥2 4𝑥 5 2 0 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 6𝑥2 2 0 𝑑𝑥 4𝑥 2 0 𝑑𝑥 5 2 0 𝑑𝑥 Integrando 2𝑥3 2𝑥2 5𝑥0 2 Aplicando os limites 223 222 52 10 h 1 2𝑥 4𝑥3 3 1 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 1 3 1 𝑑𝑥 2𝑥 3 1 𝑑𝑥 4𝑥3 3 1 𝑑𝑥 Integrando 𝑥 𝑥2 𝑥41 3 Aplicando os limites 3 32 34 1 12 14 70 i 1 2 𝑡2 1 4 𝑡3 𝑡 0 2 𝑑𝑡 Resolução Separando os termos 1 2 𝑡2 0 2 𝑑𝑡 1 4 𝑡3 0 2 𝑑𝑡 𝑡 0 2 𝑑𝑡 Integrando 1 6 𝑡3 1 16 𝑡4 𝑡2 2 2 0 Aplicando os limites 1 6 23 1 16 24 22 2 7 3 j 1 6𝑤2 10𝑤4 3 0 𝑑𝑤 Resolução Separando os termos 1 3 0 𝑑𝑤 6𝑤2 3 0 𝑑𝑤 10𝑤4 3 0 𝑑𝑤 Integrando 𝑤 2𝑤3 2𝑤50 3 Aplicando os limites 3 233 235 429 k 5𝑒𝑥 3𝑠𝑒𝑛𝑥 𝜋 0 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 5𝑒𝑥 3 0 𝑑𝑤 3𝑠𝑒𝑛𝑥 3 0 𝑑𝑥 Integrando 5𝑒𝑥 3 cos𝑥0 𝜋 Aplicando os limites 5𝑒𝜋 3 cos𝜋 5𝑒0 3 cos0 5𝑒𝜋 31 5 3 5𝑒𝜋 1 l 1 𝑥2 4 𝑥3 2 1 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos e reorganizando as integrais 𝑥2 2 1 𝑑𝑥 4𝑥3 2 1 𝑑𝑥 Integrando 𝑥1 2𝑥21 2 Aplicando os limites 1 2 2 22 1 1 2 12 1 m 2𝑥 34𝑥2 1 2 0 𝑑𝑥 Resolução Distribuindo os termos e separando 8𝑥3 2 0 𝑑𝑥 2𝑥 2 0 𝑑𝑥 12𝑥2 2 0 𝑑𝑥 3 2 0 𝑑𝑥 Integrando 2𝑥4 𝑥2 4𝑥3 3𝑥0 2 Aplicando os limites 224 22 423 32 2 m 𝑡1 𝑡2 1 1 𝑑𝑡 Resolução Reorganizando a integral 𝑡1 𝑡1 𝑡 1 1 𝑑𝑡 𝑡1 2𝑡 𝑡2 1 1 𝑑𝑡 𝑡 2𝑡2 𝑡3 1 1 𝑑𝑡 Separando os termos 𝑡 1 1 𝑑𝑡 2𝑡2 1 1 𝑑𝑡 𝑡3 1 1 𝑑𝑡 Integrando 𝑡2 2 2𝑡3 3 𝑡4 4 1 1 Aplicando os limites 12 2 213 3 14 4 12 2 213 3 14 4 4 3 o 46𝑢 𝑢 4 1 𝑑𝑢 Resolução Separando os termos 4 𝑢 4 1 𝑑𝑢 6𝑢 𝑢 4 1 𝑑𝑢 4𝑢12 4 1 𝑑𝑢 6𝑢12 4 1 𝑑𝑢 Integrando 8𝑢12 4𝑢321 4 Aplicando os limites 84 4432 81 4132 36 p 3𝑡 2𝑒𝑡 4 0 𝑑𝑡 Resolução Separando os termos 3𝑡12 4 0 𝑑𝑡 2𝑒𝑡 4 0 𝑑𝑡 Integrando 2𝑡32 2𝑒𝑡0 4 Aplicando os limites 2432 2𝑒4 2032 2𝑒0 16 2𝑒4 2 18 2𝑒4 q 𝑥2 6𝑥 12 1 2 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 𝑥2 1 2 𝑑𝑥 6𝑥 1 2 𝑑𝑥 12 1 2 𝑑𝑥 Integrando 𝑥3 3 3𝑥2 12𝑥 2 1 Aplicando os limites 13 3 312 121 23 3 322 122 48 r 2𝑥𝑥 9 4 𝑑𝑥 Resolução Reorganizando a integral 2𝑥𝑥12 9 4 𝑑𝑥 2𝑥32 9 4 𝑑𝑥 Integrando 4 5 𝑥52 4 9 Aplicando os limites 4 5 952 4 5 452 844 5 s 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜋2 𝜋2 𝑑𝜃 Resolução 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜋2 𝜋2 𝑑𝜃 Integrando cos𝜃𝜋2 𝜋2 Aplicando os limites cos 𝜋 2 cos 𝜋 2 0 t 5𝑒𝑥 3 ln2 𝑑𝑥 Resolução 5𝑒𝑥 3 ln2 𝑑𝑥 Integrando 5𝑒𝑥ln2 3 Aplicando os limites 5𝑒3 5𝑒ln2 5𝑒3 10 Lista 2 1 Encontre o valor da integral indefinida 10𝑥4 2 sec2 𝑥 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 10𝑥4 𝑑𝑥 sec2𝑥 𝑑𝑥 Integrando pela tabela de integração sec2𝑥 𝑑𝑥 tan𝑥 𝑐1 2𝑥5 tan𝑥 𝑐1 2 Calcule a cos𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 Resolução Usando a substituição 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜃 nós temos que 𝑑𝜃 será 𝑑𝑢 𝑑𝜃 cos𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑢 cos𝜃 Substituindo cos𝜃 𝑢2 𝑑𝑢 cos𝜃 𝑢2 𝑑𝑢 Integrando 𝑢1 𝑐1 1 𝑢 𝑐1 Voltando a substituição 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐1 b 4 cos𝑥 𝑑𝑥 Resolução Pela tabela de integração trigonométrica 4𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐1 c 𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 Integrando 𝑥2 2 𝑥3 3 𝑐1 d 𝑡22𝑡4 𝑡4 𝑑𝑡 Resolução Separando os termos 𝑡2 𝑡4 𝑑𝑡 2𝑡4 𝑡4 𝑑𝑡 𝑡2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 Integrando 𝑡1 2𝑡 𝑐1 1 𝑡 2𝑡 𝑐 Calcule as integrais a 𝑥3 cos𝑥4 2 𝑑𝑥 Resolução Vamos usar a substituição 𝑢 𝑥4 2 com isso o valor de 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 3𝑥3 𝑑𝑥 𝑑𝑢 3𝑥3 Substituindo 𝑥3 cos𝑢 𝑑𝑢 3𝑥3 1 3 cos𝑢 𝑑𝑢 Integrando 1 3 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑐1 Voltando a substituição 1 3 𝑠𝑒𝑛𝑥4 2 𝑐1 b 2𝑥 1 𝑑𝑥 Resolução Vamos usar a substituição 𝑢 2𝑥 1 com isso o valor de 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2 Substituindo 𝑢 𝑑𝑢 2 1 2 𝑢 𝑑𝑢 Integrando 1 3 𝑢32 𝑐1 Voltando a substituição 1 3 2𝑥 132 𝑐1 c 𝑥 14𝑥2 𝑑𝑥 Resolução Vamos usar a substituição 𝑢 1 4𝑥2 com isso o valor de 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 8𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 8𝑥 Substituindo 𝑥 𝑢 𝑑𝑢 8𝑥 1 8 𝑢12 𝑑𝑢 Integrando 1 4 𝑢12 𝑐1 Voltando a substituição 1 4 1 4𝑥2 𝑐1 d 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 Resolução Vamos usar a substituição 𝑢 5𝑥 com isso o valor de 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 5 𝑑𝑥 𝑑𝑢 5 Substituindo 𝑒𝑢 𝑑𝑢 5 1 5 𝑒𝑢 𝑑𝑢 Integrando 1 5 𝑒𝑢 𝑐1 Voltando a substituição 1 5 𝑒5𝑥 𝑐1 d 𝑥51 𝑥2 𝑑𝑥 Resolução Reorganizando a integral 𝑥2𝑥2𝑥1 𝑥2 𝑑𝑥 Vamos usar a substituição 𝑢 1 𝑥2 com isso o valor de 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2𝑥 Substituindo 𝑥2𝑥2𝑥𝑢 𝑑𝑢 2𝑥 1 2 𝑥2𝑥2𝑢 𝑑𝑢 Pela substituição que nós fizemos 𝑥2 𝑢 1 substituindo 1 2 𝑢 1𝑢 1𝑢 𝑑𝑢 1 2 𝑢2 2𝑢 1𝑢 𝑑𝑢 1 2 𝑢2𝑢 𝑑𝑢 𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑢 𝑑𝑢 1 2 𝑢52 𝑑𝑢 𝑢32 𝑑𝑢 1 2 𝑢12 𝑑𝑢 Integrando 1 7 𝑢72 2 5 𝑢52 1 3 𝑢32 𝑐1 Voltando a substituição 1 7 1 𝑥272 2 5 1 𝑥252 1 3 1 𝑥232 𝑐1 f tan𝑥 𝑑𝑥 Resolução Usando propriedade trigonométrica tan𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 Agora podemos usar a substituição 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 logo o 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 senx 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 Substituindo 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑢 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 𝑢 𝑑𝑢 Integrando ln𝑢 𝑐1 Voltando a substituição lncos𝑥 𝑐1 g 1 13𝑥2 𝑑𝑥 Resolução 1 1 3𝑥2 𝑑𝑥 Quando nós temos um denominados da seguinte forma 𝑏𝑥2 𝑎 nós iremos fazer a seguinte substituição 𝑥 𝑎 𝑏 𝑢 Nesse caso 𝑎 1 e 𝑏 3 então 𝑥 1 3 𝑢 E 𝑑𝑥 assume o seguinte valor 𝑑𝑥 𝑑𝑢 1 3 𝑑𝑥 𝑑𝑢 3 Substituindo 1 1 3 𝑢 3 2 𝑑𝑢 3 Simplificando 1 3 1 1 𝑢2 𝑑𝑢 Pela regra de integração 1 1𝑥2 𝑑𝑥 arctan𝑥 logo 1 3 arctan𝑢 𝑐1 Voltando a substituição 1 3 arctan3𝑥 𝑐1 h 𝑥2 𝑥 1𝑑𝑥 Resolução 𝑥2 𝑥 1𝑑𝑥 Aqui vamos usar a substituição 𝑢 𝑥 1 Logo o 𝑑𝑥 vale 𝑑𝑢 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 𝑑𝑢 Substituindo 𝑥2𝑢 𝑑𝑢 Pela nossa substituição 𝑥 𝑢 1 Então 𝑢 12𝑢 𝑑𝑢 Distribuindo 𝑢2𝑢 𝑑𝑢 2 𝑢𝑢 𝑑𝑢 𝑢 𝑑𝑢 𝑢52 𝑑𝑢 2 𝑢32 𝑑𝑢 𝑢12 𝑑𝑢 Integrando 2 7 𝑢72 4 5 𝑢52 2 3 𝑢32 𝑐1 Voltando a substituição 2 7 𝑥 172 4 5 𝑥 152 2 3 𝑥 132 𝑐1 i cos3𝑥 𝑑𝑥 Resolução Reorganizando a integral cos2𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 Usando propriedade trigonométrica cos2𝑥 1 𝑠𝑒𝑛2𝑥 1 𝑠𝑒𝑛2𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 Aplicando substituição 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 então o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 cos𝑥 Substituindo 1 𝑢2 cos𝑥 𝑑𝑢 cos𝑥 1 𝑢2 𝑑𝑢 Integrando 𝑢 𝑢3 3 𝑐1 Voltando a substituição 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 3 𝑐1 1 Calcule a 2𝑥 1 4 0 𝑑𝑥 Resolução 2𝑥 1 4 0 𝑑𝑥 Vamos usar a substituição 𝑢 2𝑥 1 logo o valor de 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2 O limite superior fica 𝑢 24 1 9 e o inferior 𝑢 20 1 1 Então substituindo 𝑢 𝑑𝑢 2 9 1 1 2 𝑢12 9 1 𝑑𝑢 Integrando 1 2 2 3 𝑢32 1 9 Aplicando os limites 1 2 2 3 932 2 3 132 1 2 18 2 3 26 3 b 1 35𝑥2 2 1 𝑑𝑥 Resolução 1 3 5𝑥2 2 1 𝑑𝑥 Vamos usar a substituição 𝑢 3 5𝑥 então o valor de 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 5 𝑑𝑥 𝑑𝑢 5 O limite superior fica 𝑢 3 52 7 e o inferior 𝑢 3 51 2 Então substituindo 1 𝑢2 𝑑𝑢 5 7 2 Como o limite superior é maior que o inferior nós os invertemos invertendo também o sinal da integral 1 𝑢2 𝑑𝑢 5 2 7 1 5 𝑢2 2 7 𝑑𝑢 Integrando 1 5 1 𝑢 7 2 Aplicando os limites 1 5 1 2 1 7 1 5 5 14 1 14 c ln𝑥 𝑥 𝑒 1 𝑑𝑥 Resolução ln𝑥 𝑥 𝑒 1 𝑑𝑥 Nós vamos substituir 𝑢 ln𝑥 então o valor de 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑢 Logo o valor do limite superior é 𝑢 ln𝑒 1 e o inferior 𝑢 ln1 0 Substituindo 𝑢 𝑥 1 0 𝑥𝑑𝑢 𝑢 1 0 𝑑𝑢 Integrando 𝑢2 2 0 1 Aplicando os limites 1 2 d 𝑥𝑥2 13 2 1 𝑑𝑥 Resolução 𝑥𝑥2 13 2 1 𝑑𝑥 A substituição que vamos usar é 𝑢 𝑥2 1 Logo o valor de 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2𝑥 E o valor do limite superior fica 𝑢 22 1 5 e o limite inferior 𝑢 12 1 2 Substituindo 𝑥𝑢3 𝑑𝑢 2𝑥 5 2 1 2 𝑢3 5 2 𝑑𝑢 Integrando 1 2 𝑢4 4 2 5 Aplicando os limites 1 2 54 4 24 4 609 8 e 2𝑥 5𝑥 39 5 2 𝑑𝑥 Resolução 2𝑥 5𝑥 39 5 2 𝑑𝑥 Nós vamos fazer a seguinte substituição 𝑢 𝑥 3 logo o valor de 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 1𝑑𝑢 E o limite superior é 𝑢 5 3 2 e o inferior 𝑢 2 3 1 Substituindo 2𝑥 5𝑢9 2 1 𝑑𝑢 Pela nossa substituição 𝑥 𝑢 3 portanto 2𝑢 6 5𝑢9 2 1 𝑑𝑢 2𝑢 1𝑢9 2 1 𝑑𝑢 Distribuindo 2𝑢10 𝑢9 2 1 𝑑𝑢 Integrando 2𝑢11 11 𝑢10 10 1 2 Aplicando os limites 2211 11 210 10 2111 11 110 10 52233 110 f 𝑠𝑒𝑛52𝑥 cos2𝑥 𝜋8 0 𝑑𝑥 Resolução Vamos substituir 𝑢 𝑠𝑒𝑛2𝑥 com isso o valor de 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 cos2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2 cos2𝑥 E o limite superior é 𝑢 𝑠𝑒𝑛2𝜋8 22 e o limite inferior 𝑢 𝑠𝑒𝑛0 0 Substituindo 𝑢5 cos2𝑥 𝑑𝑢 2 cos2𝑥 22 0 1 2 𝑢5 22 0 𝑑𝑢 Integrando 1 2 𝑢6 6 0 22 Aplicando os limites 1 2 22 6 6 1 96 1 Encontre a área da região delimitada pelas parábolas 𝑦 𝑥2 e 𝑦 2𝑥 𝑥2 Resolução Primeiro nós precisamos encontrar as intersecções das duas parábolas afim de definir os limites da integral Para isso nós igualamos as duas parábolas 𝑥2 2𝑥 𝑥2 2𝑥2 2𝑥 0 Colocando em evidência 2𝑥𝑥 1 0 Sendo assim as intersecções das parábolas são 𝑥1 0 e 𝑥2 1 E a área que estamos nos referindo é 2𝑥 𝑥2 𝑥2 1 0 𝑑𝑥 A função que é integrada é a parábola que limita a área pela parte superior menos parábola que limita parte inferior 2𝑥 2𝑥2 1 0 𝑑𝑥 Integrando 𝑥2 2𝑥3 3 0 1 Aplicando os limites 1 2 3 1 3 2 Encontre a área da região delimitada pelas curvas 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 cos𝑥 𝑥 0 e 𝑥 𝜋2 Resolução O enunciado já nos deu os limites da integral Então para encontrarmos a área a integral é cos𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝜋2 0 𝑑𝑥 A área que queremos encontrar é a abaixo Então temos que dividir a integral em duas cos𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝜋4 0 𝑑𝑥 sen𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝜋2 𝜋4 𝑑𝑥 Integrando 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos𝑥0 𝜋4 cos𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥𝜋4 𝜋2 Aplicando os limites 𝑠𝑒𝑛𝜋4 cos𝜋4 𝑠𝑒𝑛0 cos0 cos𝜋2 𝑠𝑒𝑛𝜋2 cos𝜋4 𝑠𝑒𝑛𝜋4 22 2 3 Encontre a área delimitada pela reta 𝑦 𝑥 1 e pela parábola 𝑦2 2𝑥 6 Resolução Primeiro precisamos encontrar as intersecções das funções reorganizandoas 𝑦 𝑥 1 𝑦 2𝑥 6 Logo podemos encontrar as intersecções 𝑥 1 2𝑥 6 𝑥 12 2𝑥 6 𝑥2 2𝑥 1 2𝑥 6 𝑥2 4𝑥 5 0 Usando Bhaskara encontramos 𝑥1 5 e 𝑥2 1 𝑥 1 2𝑥 6 Elevando os dois lados ao quadrado encontramos as mesmas raízes do passo anterior Falta encontrarmos última intersecção 2𝑥 6 2𝑥 6 22𝑥 6 0 𝑥 3 Sendo assim a integral que descreve a área é 2𝑥 6 2𝑥 6 1 3 𝑑𝑥 2𝑥 6 𝑥 1 5 1 𝑑𝑥 22𝑥 6 1 3 𝑑𝑥 2𝑥 6 𝑥 1 5 1 𝑑𝑥 Integrando 2 3 2 2𝑥 632 3 1 3 2 2𝑥 632 𝑥2 2 𝑥 1 5 Aplicando os limites 16 3 38 3 18 1 Calcule as integrais a 𝑥1 𝑥3 𝑑𝑥 Resolução Distribuindo os termos 𝑥 𝑑𝑥 𝑥4 𝑑𝑥 Integrando 𝑥2 2 𝑥5 5 𝑐1 b 𝑥122 𝑥2 𝑑𝑥 Resolução Expandindo o termo 𝑥12𝑥2 4𝑥 4 𝑑𝑥 Multiplicando os termos 4𝑥12 𝑑𝑥 4𝑥32 𝑑𝑥 𝑥52 𝑑𝑥 Integrando 8 3 𝑥32 8 5 𝑥52 2 7 𝑥72 𝑐1 c 𝑥52𝑥21 𝑥4 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 𝑥5 𝑥4 𝑑𝑥 2𝑥2 𝑥4 𝑑𝑥 1 𝑥4 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 2𝑥2 𝑑𝑥 𝑥4 𝑑𝑥 Integrando 𝑥2 2 2𝑥1 𝑥3 3 𝑐1 𝑥2 2 2 𝑥 1 3𝑥3 𝑐1 d 2 𝑥 3𝑒𝑥 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 2 𝑥 𝑑𝑥 3 𝑒𝑥 𝑑𝑥 Usando as regras de integração e integrando 2 ln𝑥 3𝑒𝑥 𝑐1 e sec𝜃 cos𝜃 𝑑𝜃 Resolução Por identidade trigonométrica nós temos que 1 cos𝑥 sec𝑥 Logo usandoa sec2𝑥 𝑑𝑥 Usando regra de integração tan𝑥 𝑐1 f 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 cos𝑥 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 Substituindo 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑢2 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 𝑢2 𝑑𝑢 Integrando 1 𝑢 𝑐1 Voltando a substituição 1 cos𝑥 𝑐1 g 1 21𝑥2 3 1𝑥2 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 1 2 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 3 1 1 𝑥2 𝑑𝑥 Aplicando regra de integração e integrando 1 2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 3 arctan𝑥 𝑐1 h 1 1𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 Resolução Aqui nós temos que usar a substituição de Weierstrass 𝑢 tan 𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑢 1 𝑢2 Então o valor de 𝑑𝑥 é 𝑑𝑥 2 1 𝑢2 𝑑𝑢 Substituindo 1 1 2𝑢 1 𝑢2 2 1 𝑢2 𝑑𝑢 2 1 𝑢2 2𝑢 𝑑𝑢 2 𝑢 12 𝑑𝑢 Integrando 2 𝑢 1 𝑐1 Voltando a substituição 2 tan𝑥2 1 𝑐1 i 3𝑠𝑒𝑛𝑥 2 sec2𝑥 𝑑𝑥 Resolução Separando os termos 3 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 2 sec2𝑥 𝑑𝑥 Usando regra de integração 3 cos𝑥 2 tan𝑥 𝑐1 j sec𝑥 sec𝑥 tan𝑥 𝑑𝑥 Resolução Distribuindo e separando os termos sec2𝑥 𝑑𝑥 sec𝑥 tan𝑥 𝑑𝑥 tan𝑥 𝑐1 sec𝑥 tan𝑥 𝑑𝑥 Usando substituição 𝑢 sec𝑥 logo o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 sec𝑥 tan𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 sec𝑥 tan𝑥 Substituindo tan𝑥 𝑐1 sec𝑥 tan𝑥 𝑑𝑢 sec𝑥 tan𝑥 tan𝑥 𝑐1 𝑑𝑢 Integrando tan𝑥 𝑢 𝑐2 Voltando a substituição tan𝑥 sec𝑥 𝑐2 2 Calcule as integrais usando a substituição indicada a cos3𝑥 𝑑𝑥 𝑢 3𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 3𝑥 o valor de 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥 𝑑𝑢 3 Substituindo cos𝑢 𝑑𝑢 3 1 3 cos𝑢 𝑑𝑢 Integrando 1 3 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑐1 Voltando a substituição 1 3 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑐1 b 𝑥4 𝑥210 𝑑𝑥 𝑢 4 𝑥2 Resolução Usando a substituição 𝑢 4 𝑥2 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2𝑥 Substituindo 𝑥𝑢10 𝑑𝑢 2𝑥 1 2 𝑢10 𝑑𝑢 Integrando 1 2 𝑢11 11 𝑐1 Voltando a substituição 4 𝑥211 22 𝑐1 c 𝑥2𝑥3 1 𝑑𝑥 𝑢 𝑥3 1 Resolução Usando a substituição 𝑢 𝑥3 1 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 3𝑥2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 3𝑥2 Substituindo 𝑥2𝑢12 𝑑𝑢 3𝑥2 1 3 𝑢12 𝑑𝑢 Integrando 1 3 2 3 𝑢32 𝑐1 Voltando a substituição 2 9 𝑥3 132 𝑐1 d 1 16𝑡4 𝑑𝑡 𝑢 1 6𝑡 Resolução Usando a substituição 𝑢 1 6𝑡 o valor de 𝑑𝑡 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑡 6 𝑑𝑡 𝑑𝑢 6 Substituindo 1 𝑢4 𝑑𝑢 6 1 6 𝑢4 𝑑𝑢 Integrando 1 6 𝑢3 3 𝑐1 Voltando a substituição 1 181 6𝑡3 𝑐1 e d cos3𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑢 cos𝜃 Resolução Usando a substituição 𝑢 cos𝜃 o valor de 𝑑𝜃 fica 𝑑𝑢 𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜃 Substituindo 𝑢3𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑢3 𝑑𝑢 Integrando 𝑢4 4 𝑐1 Voltando a substituição cos4𝜃 4 𝑐1 f sec21𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 𝑢 1𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 1𝑥 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 1 𝑥2 𝑑𝑡 𝑥2𝑑𝑢 Substituindo sec2𝑢 𝑥2 𝑥2𝑑𝑢 sec2𝑢 𝑑𝑢 Integrando tan𝑢 𝑐1 Voltando a substituição tan 1 𝑥 𝑐1 g 2𝑥𝑥2 123 𝑑𝑥 𝑢 𝑥2 1 Resolução Usando a substituição 𝑢 𝑥2 1 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2𝑥 Substituindo 2𝑥𝑢23 𝑑𝑢 2𝑥 𝑢23 𝑑𝑢 Integrando 𝑢24 24 𝑐1 Voltando a substituição 𝑥2 124 24 𝑐1 h cos3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑢 cos𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 cos𝑥 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 Substituindo 𝑢3𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑢3 𝑑𝑢 Integrando 𝑢4 4 𝑐1 Voltando a substituição cos4𝑥 4 𝑐1 i sec24𝑥 1 𝑑𝑥 𝑢 4𝑥 1 Resolução Usando a substituição 𝑢 4𝑥 1 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 4 𝑑𝑥 𝑑𝑢 4 Substituindo sec2𝑢 𝑑𝑢 4 1 4 sec2𝑢 𝑑𝑢 Integrando 1 4 tan𝑢 𝑐1 Voltando a substituição 1 4 tan4𝑥 1 𝑐1 OBS Essa questão foi digitada errada não é possível integrar pela substituição mencionada do jeito que estava no enunciado j 𝑦1 2𝑦2 𝑑𝑥 𝑢 1 2𝑦2 Resolução Usando a substituição 𝑢 1 2𝑦2 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 4𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑢 4𝑦 Substituindo 𝑦𝑢12 𝑑𝑢 4𝑦 1 4 𝑢12 𝑑𝑢 Integrando 1 4 2 3 𝑢32 𝑐1 Voltando a substituição 1 6 1 2𝑦232 𝑐1 k cot𝑥 csc2𝑥 𝑑𝑥 𝑢 cot𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 cot𝑥 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 csc2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 csc2𝑥 Substituindo 𝑢𝑐𝑠𝑐2𝑥 𝑑𝑢 csc2𝑥 u 𝑑𝑢 Integrando 1 2 𝑢2 𝑐1 Voltando a substituição 1 2 cot2𝑥 𝑐1 l 1 𝑠𝑒𝑛𝑡 9 cos𝑡 𝑑𝑡 𝑢 1 𝑠𝑒𝑛𝑡 Resolução Usando a substituição 𝑢 1 𝑠𝑒𝑛𝑡 o valor de 𝑑𝑡 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑡 cos𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑢 cos𝑡 Substituindo 𝑢9 cos𝑡 𝑑𝑢 cos𝑡 𝑢9 𝑑𝑢 Integrando 𝑢10 10 𝑐1 Voltando a substituição 1 𝑠𝑒𝑛𝑡 10 10 𝑐1 m 𝑥21 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 1 𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 1 𝑥 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 𝑑𝑢 Substituindo 𝑥2𝑢 𝑑𝑢 Pela nossa substituição 𝑥 𝑢 1 𝑢 12𝑢 𝑑𝑢 𝑢2 2𝑢 1𝑢 𝑑𝑢 𝑢52 𝑑𝑢 2 𝑢32 𝑢12 𝑑𝑢 Integrando 2 7 𝑢72 4 5 𝑢52 2 3 𝑢32 𝑐1 Voltando a substituição 2 7 1 𝑥72 4 5 1 𝑥52 2 3 1 𝑥32 𝑐1 n csc𝑠𝑒𝑛𝑥 2 cos𝑥 𝑑𝑥 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 cos𝑥 Substituindo csc2𝑢 cos𝑥 𝑑𝑢 cos𝑥 csc2𝑢 𝑑𝑢 Integrando cot𝑢 𝑐1 Voltando a substituição cot𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐1 o 1 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑢 ln𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 ln𝑥 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑢 Substituindo 1 𝑥𝑢 𝑥𝑑𝑢 1 𝑢 𝑑𝑢 Integrando ln𝑢 𝑐1 Voltando a substituição ln𝑙𝑛𝑥 𝑐1 p 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 𝑢 5𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 ln𝑥 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 5 𝑑𝑥 𝑑𝑢 5 Substituindo 𝑒𝑢 𝑑𝑢 5 1 5 𝑒𝑢 𝑑𝑢 Integrando 1 5 𝑒𝑢 𝑐1 Voltando a substituição 1 5 𝑒5𝑥 𝑐1 3 Calcule as integrais usando uma substituição apropriada a 4𝑥 39 𝑑𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 4𝑥 3 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 4 𝑑𝑥 𝑑𝑢 4 Substituindo 𝑢9 𝑑𝑢 4 1 4 𝑢9 𝑑𝑢 Integrando 1 4 𝑢10 10 𝑐1 Voltando a substituição 1 40 4𝑥 310 𝑐1 b 𝑠𝑒𝑛7𝑥 𝑑𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 7𝑥 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 7 𝑑𝑥 𝑑𝑢 7 Substituindo 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑢 7 1 7 𝑠𝑒𝑛𝑢 𝑑𝑢 Integrando 1 7 cos𝑢 𝑐1 Voltando a substituição 1 7 cos7𝑥 𝑐1 c 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 2𝑥 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2 Substituindo 𝑒𝑢 𝑑𝑢 2 1 2 𝑒𝑢 𝑑𝑢 Integrando 1 2 𝑒𝑢 𝑐1 Voltando a substituição 1 2 𝑒2𝑥 𝑐1 d 1 14𝑥2 𝑑𝑥 Resolução Quando nós temos um denominador com a forma 𝑏𝑥2 𝑎 nós usamos a substituição 𝑥 𝑎 𝑏 𝑢 Nesse caso nossa substituição é 𝑥 1 2 𝑢 E o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑥 𝑑𝑢 1 2 𝑑𝑥 1 2 𝑑𝑢 Substituindo 1 1 4 1 2 𝑢 2 1 2 𝑑𝑢 1 2 1 1 𝑢2 𝑑𝑢 Usando regra de integração e integrando ln𝑢 1 2 ln𝑢 1 2 𝑐1 Voltando a substituição 𝑢 2𝑥 ln2𝑥 1 ln2𝑥 1 2 𝑐1 e 𝑡7𝑡2 12 𝑑𝑡 Resolução Usando a substituição 𝑢 7𝑡2 12 o valor de 𝑑𝑡 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑡 14𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑢 14𝑡 Substituindo 𝑡𝑢 𝑑𝑢 7𝑡 1 14 𝑢12 𝑑𝑢 Integrando 1 14 2 3 𝑢32 𝑐1 Voltando a substituição 1 21 7𝑡2 1232 𝑐1 f 6 12𝑥3 𝑑𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 1 2𝑥 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2 Substituindo 6 𝑢3 𝑑𝑢 2 3 𝑢3 𝑑𝑢 Integrando 3 𝑢2 2 𝑐1 Voltando a substituição 3 21 2𝑥2 𝑐1 g 𝑥3 5𝑥423 𝑑𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 5𝑥4 2 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 20𝑥3 𝑑𝑥 𝑑𝑢 20𝑥3 Substituindo 𝑥3 𝑢3 𝑑𝑢 20𝑥3 1 20 𝑢3 𝑑𝑢 Integrando 1 20 𝑢2 2 𝑐1 Voltando a substituição 1 405𝑥4 22 𝑐1 h 𝑒𝑥 1𝑒2𝑥 𝑑𝑥 Resolução Usando a substituição 𝑢 𝑒𝑥 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑒𝑥 Substituindo 𝑢 1 𝑒2𝑥 𝑑𝑢 𝑢 1 1 𝑒2𝑥 𝑑𝑢 Como nós substituímos 𝑢 𝑒𝑥 então temos que 𝑢2 𝑒2𝑥 1 1 𝑢2 𝑑𝑢 Usando regra de integração arctan𝑢 𝑐1 Voltando a substituição arctan𝑒𝑥 𝑐1 4 Calcule a área da região sombreada a Resolução Para calcularmos essa área nós fazemos a integral da função que limita a parte superior menos a função que limita a parte inferior e os limites da integral estão na própria imagem 𝑥2 1 𝑥 2 1 𝑑𝑥 Integrando 𝑥3 3 𝑥 𝑥2 2 1 2 Aplicando os limites 23 3 2 22 2 13 3 1 12 2 9 2 b Resolução Para calcularmos essa área nós fazemos a integral da função que limita a parte superior menos a função que limita a parte inferior e os limites da integral estão na própria imagem 𝑥 1 4 𝑥 4 0 𝑑𝑥 Integrando 2 3 𝑥32 1 8 𝑥2 0 4 Aplicando os limites 2 3 432 1 8 42 0 22 3 c Resolução Para calcularmos essa área nós fazemos a integral da função que limita a parte superior menos a função que limita a parte inferior e um dos limites estão na imagem o outro pode ser encontrado igualando as funções 𝑦 1 𝑦2 𝑦3 1 𝑦 1 Sendo assim os limites da integral que calcula essa área são 𝑦1 1 e 𝑦2 2 𝑦 1 𝑦2 2 1 𝑑𝑥 Integrando 𝑦2 2 1 𝑦 1 2 Aplicando os limites 22 2 1 2 1 2 1 1 d Resolução Para calcularmos essa área nós fazemos a integral da função que limita a parte superior menos a função que limita a parte inferior e os limites da integral estão na própria imagem em função de 𝑦 a área varia de 𝑦1 2 até 𝑦2 0 2 𝑦2 𝑦 2 0 𝑑𝑥 Integrando 2𝑦 𝑦3 3 𝑦2 2 0 2 Aplicando os limites 4 8 3 2 0 10 3 e Para calcularmos essa área nós fazemos a integral da função que limita a parte superior menos a função que limita a parte inferior e os limites da integral estão na própria imagem em função de 𝑥 a área varia de 𝑥1 0 até 𝑥2 4 5𝑥 𝑥2 𝑥 4 0 𝑑𝑥 Integrando 2𝑥2 𝑥3 3 0 4 Aplicando os limites 32 64 3 0 32 3 f Resolução Para calcularmos essa área nós fazemos a integral da função que limita a parte superior menos a função que limita a parte inferior e os limites da integral estão na própria imagem em função de 𝑥 a área varia de 𝑥1 0 até 𝑥2 2 𝑥 2 1 𝑥 1 2 0 𝑑𝑥 Separando as integrais 𝑥 2 2 0 𝑑𝑥 1 𝑥 1 2 0 𝑑𝑥 Na primeira integral vamos substituir 𝑢 𝑥 2 logo o valor de 𝑑𝑥 é 𝑑𝑢 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 𝑑𝑢 E o limite superior é 𝑢 2 2 4 já o limite inferior 𝑢 0 2 2 𝑢 4 2 𝑑𝑥 1 𝑥 1 2 0 𝑑𝑥 Integrando 2 3 𝑢32 2 4 ln𝑥 10 2 Aplicando os limites 16 3 42 3 ln3 16 42 3 ln3 g Resolução Para calcularmos essa área nós fazemos a integral da função que limita a parte superior menos a função que limita a parte inferior e os limites da integral estão na própria imagem em função de 𝑦 a área varia de 𝑦1 1 até 𝑦2 1 𝑦2 2 𝑒𝑦 1 1 𝑑𝑥 Integrando 𝑦3 3 2𝑦 𝑒𝑦 1 1 Aplicando os limites 1 3 2 𝑒1 1 3 2 𝑒1 𝑒 1 𝑒 10 3 f Resolução Para calcularmos essa área nós fazemos a integral da função que limita a parte superior menos a função que limita a parte inferior e os limites da integral estão na própria imagem em função de 𝑦 a área varia de 𝑦1 0 até 𝑦2 3 2𝑦 𝑦2 𝑦2 4𝑦 3 0 𝑑𝑥 Integrando 2𝑦3 3 3𝑦2 0 3 Aplicando os limites 233 3 332 0 9 5 Esboce a região englobada pelas curvas e encontre a área a 𝑦 𝑥2 𝑦 𝑥 𝑥 14 𝑥 1 Resolução O enunciado já nos deu os limites da integral e a região que representa a área é E a integral é 𝑥2 𝑥 1 14 𝑑𝑥 Integrando 𝑥3 3 2 3 𝑥32 14 1 Aplicando os limites 1 3 2 3 1 192 1 12 49 192 b 𝑦 𝑥3 4𝑥 𝑦 0 𝑥 0 𝑥 2 Resolução O enunciado já nos deu os limites da integral e a região que representa a área é E a integral é 𝑥3 4𝑥 2 0 𝑑𝑥 Integrando 𝑥4 4 2𝑥2 0 2 Aplicando os limites 24 4 222 0 4 c 𝑥2 𝑦 𝑥 𝑦 2 Resolução Reorganizando a funções 𝑦 𝑥2 𝑦 𝑥 2 Encontrando os limites igualando as funções 𝑥2 𝑥 2 𝑥2 𝑥 2 0 Usando Bhaskara encontramos que as intersecções são 𝑥1 1 e 𝑥2 2 E a região que representa a área é E a integral é 𝑥 2 𝑥2 2 1 𝑑𝑥 Integrando 𝑥2 2 2𝑥 𝑥3 3 1 2 Aplicando os limites 22 2 4 23 3 12 2 21 13 3 9 2 c 𝑦 𝑒𝑥 𝑦 𝑥2 1 𝑥 1 𝑥 1 Resolução O enunciado já nos deu os limites da integral e a região que representa a área é E a integral é 𝑒𝑥 𝑥2 1 1 1 𝑑𝑥 Integrando 𝑒𝑥 𝑥3 3 𝑥 1 1 Aplicando os limites 𝑒 1 3 1 1 𝑒 1 3 1 𝑒 4 3 1 𝑒 d 𝑦 𝑒𝑥 𝑦 𝑒2𝑥 𝑥 0 𝑥 ln2 Resolução O enunciado já nos deu os limites da integral e a região que representa a área é E a integral é 𝑒2𝑥 𝑒𝑥 ln2 0 𝑑𝑥 Integrando 𝑒2𝑥 2 𝑒𝑥 0 ln2 Aplicando os limites 𝑒2 ln2 𝑒ln2 𝑒0 2 𝑒0 1 2 f 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 𝜋2 𝑥 𝜋 Resolução O enunciado já nos deu os limites da integral e a região que representa a área é E a integral é 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝜋 𝜋2 𝑑𝑥 Integrando 𝑥2 2 cos𝑥 𝜋2 𝜋 Aplicando os limites 𝜋2 2 cos𝜋 𝜋2 8 cos 𝜋 2 3𝜋2 8 1 g 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥2 Resolução Encontrando os limites igualando as funções 𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑥 0 𝑥𝑥 1 0 Sendo assim as intersecções são 𝑥1 0 e 𝑥2 1 E a região que representa a área é E a integral é 𝑥 𝑥2 1 0 𝑑𝑥 Integrando 𝑥2 2 𝑥3 3 0 1 Aplicando os limites 1 2 1 3 0 1 6 h 𝑦 𝑥2 2𝑥 𝑦 𝑥 4 Resolução Encontrando os limites igualando as funções 𝑥2 2𝑥 𝑥 4 𝑥2 3𝑥 4 0 Sendo assim usando Bhaskara encontrarmos 𝑥1 1 e 𝑥2 4 E a região que representa a área é E a integral é 𝑥 4 𝑥2 2𝑥 4 1 𝑑𝑥 Integrando 𝑥3 3 3 2 𝑥2 4𝑥 1 4 Aplicando os limites 43 3 3 2 42 44 13 3 3 2 12 41 125 6 i 𝑦 1𝑥 𝑦 1𝑥2 𝑥 2 Resolução O enunciado só nos deu um dos limites então temos que igualar as funções para encontrar o outro 1 𝑥 1 𝑥2 𝑥2 𝑥 𝑥2 𝑥 0 𝑥𝑥 1 0 Sendo assim os limites da integral para calcular a área são 𝑥1 1 e 𝑥2 2 E a área que representa a região A integral é 1 𝑥 1 𝑥2 2 1 𝑑𝑥 Integrando ln𝑥 1 𝑥 1 2 Aplicando os limites ln2 1 2 ln1 1 1 ln2 1 2 j 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 2𝑥𝜋 𝑥 0 Resolução O enunciado só nos deu um dos limites então temos que igualar as funções para encontrar o outro 𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑥 𝜋 𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑥 𝜋 0 Por métodos analíticos podemos notar que a função irá zerar quando 𝑥 𝜋2 Logo os limites são 𝑥1 𝜋2 e 𝑥2 0 E a área que representa a região A integral é 𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑥 𝜋 𝜋2 0 𝑑𝑥 Integrando cos𝑥 𝑥2 𝜋 0 𝜋2 Aplicando os limites 0 𝜋 4 1 1 𝜋 4 k 𝑥 1 𝑦2 𝑥 𝑦2 1 Resolução Encontrando os limites igualando as funções 1 𝑦2 𝑦2 1 2𝑦2 2 0 𝑦 1 Sendo assim concluímos que as intersecções são 𝑦1 1 e 𝑦2 1 E a região que representa a área é E a integral é 1 𝑦2 𝑦2 1 1 1 𝑑𝑦 Integrando 2𝑦3 3 2𝑦 1 1 Aplicando os limites 2 3 2 213 3 21 8 3 l 4𝑥 𝑦2 12 𝑥 𝑦 Resolução Reorganizando as funções 𝑥 𝑦2 4 3 𝑥 𝑦 Igualando elas para encontrar as intersecções 𝑥2 4 3 𝑥 𝑥2 4𝑥 12 0 Usando Bhaskara encontramos 𝑥1 6 e 𝑥2 2 E a área que representa a região é E a integral é 𝑦2 4 3 𝑦 2 6 𝑑𝑦 Integrando 𝑦3 12 3𝑦 𝑦2 2 6 2 Aplicando os limites 23 12 32 22 2 63 12 36 62 2 64 3 1 Encontre o valor da integral indefinida 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 Resolução Aplicando integral por partes 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Onde no nosso caso 𝑢 𝑥 e 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝑥 Então 𝑢 1 𝑣 cos𝑥 Sendo assim nossa integral fica 𝑥 cos𝑥 1 cos𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐1 2 Calcule 𝑥𝑒𝑥 2 0 𝑑𝑥 Resolução 𝑥𝑒𝑥 2 0 𝑑𝑥 Primeiro vamos resolver a integral indefinida depois aplicamos os limites Aplicando integral por partes 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Onde no nosso caso 𝑢 𝑥 e 𝑣 𝑒𝑥 Então 𝑢 1 𝑣 𝑒𝑥 Sendo assim nossa integral fica 𝑥𝑒𝑥 1𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥 Agora aplicando os limites 𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥0 2 2𝑒2 𝑒2 0 𝑒0 𝑒2 1 3 Calcule ln𝑥 𝑑𝑥 Resolução Aplicando integral por partes 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Onde no nosso caso 𝑢 ln𝑥 e 𝑣 1 Então 𝑢 1 𝑥 𝑣 𝑥 Sendo assim nossa integral fica ln𝑥 𝑥 1 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑥 𝑐1 4 Calcule 𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 Resolução Aplicando integral por partes 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Onde no nosso caso 𝑢 𝑥2 e 𝑣 𝑒𝑥 Então 𝑢 2𝑥 𝑣 𝑒𝑥 Sendo assim nossa integral fica 𝑥2𝑒𝑥 2𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 Aplicando integral por partes de novo dessa vez 𝑢 2𝑥 e 𝑣 𝑒𝑥 então 𝑢 2 𝑣 𝑒𝑥 Logo a integral fica 𝑥2𝑒𝑥 2𝑥𝑒𝑥 2𝑒𝑥 𝑑𝑥 Integrando 𝑥2𝑒𝑥 2𝑥𝑒𝑥 2𝑒𝑥 𝑐1 5 Calcule 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 Resolução Aplicando integral por partes 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Onde no nosso caso 𝑢 𝑒𝑥 e 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝑥 Então 𝑢 𝑒𝑥 𝑣 cos𝑥 Sendo assim nossa integral fica 𝑒𝑥 cos𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 Aplicando integral por partes de novo agora 𝑢 𝑒𝑥 e 𝑣 cos𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 Então nós temos que 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 Isolando a integral inicial 2 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥 2 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 2 𝑐1 1 Calcule as seguintes integrais a 𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 Resolução Aplicando integral por partes 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Onde no nosso caso 𝑢 𝑥 e 𝑣 cos5𝑥 Então 𝑢 1 𝑣 𝑠𝑒𝑛5𝑥 5 Sendo assim nossa integral fica 𝑥𝑠𝑒𝑛5𝑥 5 1 𝑠𝑒𝑛5𝑥 5 𝑑𝑥 𝑥𝑠𝑒𝑛5𝑥 5 1 5 𝑠𝑒𝑛5𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑠𝑒𝑛5𝑥 5 1 25 cos5𝑥 𝑐1 b 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 Resolução Aplicando integral por partes 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Onde no nosso caso 𝑢 𝑥 e 𝑣 𝑒𝑥 Então 𝑢 1 𝑣 𝑒𝑥 Logo nossa integral fica 𝑥𝑒𝑥 1𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑐1 c 𝑟𝑒𝑟2 𝑑𝑟 Resolução Aplicando integral por partes 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Onde no nosso caso 𝑢 𝑟 e 𝑣 𝑒𝑟2 Então 𝑢 1 𝑣 2𝑒𝑟2 Logo nossa integral fica 2𝑟𝑒𝑟2 12𝑒𝑟2 𝑑𝑟 2𝑟𝑒𝑟2 2𝑒𝑟2 𝑑𝑥 2𝑟𝑒𝑟2 4𝑒𝑟2 𝑐1 d 𝑡𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑑𝑡 Resolução Aplicando integral por partes 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Onde no nosso caso 𝑢 𝑡 e 𝑣 sen2𝑡 Então 𝑢 1 𝑣 𝑐𝑜𝑠2𝑡 2 Sendo assim nossa integral fica 𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑡 2 1 𝑐𝑜𝑠2𝑡 2 𝑑𝑡 𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑡 2 1 2 cos2𝑡 𝑑𝑡 𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑡 2 1 4 sen2𝑡 𝑐1 e 𝑝5 ln𝑝 𝑑𝑝 Resolução Aplicando integral por partes 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Onde no nosso caso 𝑢 ln𝑝 e 𝑣 𝑝5 Então 𝑢 1 𝑝 𝑣 𝑝6 6 Logo nossa integral fica 𝑝6 6 ln𝑝 1 𝑝 𝑝6 6 𝑑𝑝 𝑝6 ln𝑝 6 1 6 𝑝5 𝑑𝑝 𝑝6 ln𝑝 6 𝑝6 36 𝑐1 f 𝑧3𝑒𝑧 𝑑𝑧 Resolução Aplicando integral por partes 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Onde no nosso caso 𝑢 𝑥3 e 𝑣 𝑒𝑥 Então 𝑢 3𝑥2 𝑣 𝑒𝑥 Logo nossa integral fica 𝑥3𝑒𝑥 3𝑥2𝑒𝑥 𝑑𝑥 Usando integral por partes de novo 𝑥3𝑒𝑥 3𝑥2𝑒𝑥 6𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 Usando integral por partes de novo 𝑥3𝑒𝑥 3𝑥2𝑒𝑥 6𝑥𝑒𝑥 6𝑒𝑥 𝑑𝑥 𝑥3𝑒𝑥 3𝑥2𝑒𝑥 6𝑥𝑒𝑥 6𝑒𝑥 𝑐1 g 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥 12 0 𝑑𝑥 Resolução Primeiro vamos resolver a integral indefinida Aplicando integral por partes 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Onde no nosso caso 𝑢 𝑥 e 𝑣 cos𝜋𝑥 Então 𝑢 1 𝑣 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥 𝜋 Sendo assim nossa integral fica 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥 𝜋 1 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥 𝜋 𝑑𝑥 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥 𝜋 1 𝜋 𝑠𝑒𝑛5𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥 𝜋 1 𝜋2 cos𝜋𝑥 Agora podemos aplicar os limites 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜋𝑥 𝜋 1 𝜋2 cos𝜋𝑥 0 12 Aplicando os limites 1 2𝜋 0 0 1 𝜋2 1 1 2𝜋 1 𝜋2 h 𝑦 𝑒2𝑦 1 0 𝑑𝑦 Resolução Primeiro vamos resolver a integral indefinida 𝑦𝑒2𝑦 𝑑𝑦 Aplicando integral por partes 𝑢𝑣 𝑢𝑣 𝑢𝑣 Onde no nosso caso 𝑢 𝑦 e 𝑣 𝑒2𝑦 Então 𝑢 1 𝑣 𝑒2𝑦 2 Sendo assim nossa integral fica 𝑦𝑒2𝑦 2 𝑒2𝑦 2 𝑑𝑦 𝑦𝑒2𝑦 2 𝑒2𝑦 4 Agora podemos aplicar os limites 𝑦𝑒2𝑦 2 𝑒2𝑦 4 0 1 𝑒2 2 𝑒2 4 1 4 3 4 𝑒2 1 4 2 Calcule as integrais a 𝑠𝑒𝑛3𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥 Resolução Aplicando identidade trigonométrica 1 cos2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 cos2𝑥 𝑑𝑥 Aplicando substituição onde 𝑢 cos𝑥 então 𝑑𝑥 assume o valor 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 Substituindo 1 𝑢2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑢2 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 𝑢2𝑢2 𝑑𝑢 𝑢2 𝑢4 𝑑𝑢 Integrando 𝑢3 3 𝑢5 5 𝑐1 Voltando a substituição cos3𝑥 3 cos5𝑥 5 𝑐1 b 𝑠𝑒𝑛6𝑥 cos3𝑥 𝑑𝑥 Resolução Aplicando identidade trigonométrica 𝑠𝑒𝑛6𝑥 cos𝑥 1 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 Aplicando substituição onde 𝑢 sen𝑥 então 𝑑𝑥 assume o valor 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 cos𝑥 Substituindo 𝑢6 cos𝑥 1 𝑢2 𝑑𝑢 cos𝑥 𝑢6 𝑢8 𝑑𝑢 Integrando 𝑢7 7 𝑢9 9 𝑐1 Voltando a substituição sen7𝑥 7 sen9𝑥 9 𝑐1 c 𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑥cos5𝜋𝑥 𝑑𝑥 Resolução Aplicando identidade trigonométrica 𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑥 cos𝜋𝑥 1 𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑥 2 𝑑𝑥 Aplicando substituição onde 𝑢 sen𝜋𝑥 então 𝑑𝑥 assume o valor 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝜋𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝜋 cos𝑥 Substituindo 𝑢2 cos𝑥 1 𝑢22 𝑑𝑢 𝜋 cos𝜋𝑥 1 𝜋 𝑢2 2𝑢4 𝑢6 𝑑𝑢 Integrando 1 𝜋 𝑢3 3 2𝑢5 5 𝑢7 7 𝑐1 Voltando a substituição 1 𝜋 𝑠𝑒𝑛3𝑥 3 2𝑠𝑒𝑛5𝑥 5 𝑠𝑒𝑛7𝑥 7 𝑐1 d cos2𝑥 𝑑𝑥 Resolução Usando propriedade trigonométrica 1 cos2𝑥 2 𝑑𝑥 1 2 cos2𝑥 2 𝑑𝑥 Integrando 1 2 𝑥 sen2𝑥 4 𝑐1 e 𝑠𝑒𝑛2𝑥 cos4𝑥 𝑑𝑥 Resolução Usando propriedade trigonométrica 1 cos2𝑥 cos4𝑥 𝑑𝑥 cos4𝑥 cos6𝑥 𝑑𝑥 Vamos resolver uma integral por vez depois fazemos a soma delas cos4𝑥 𝑑𝑥 Aplicando integral por partes onde 𝑢 cos3𝑥 e 𝑣 cos𝑥 encontramos cos3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 3 cos2𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 Usando propriedade trigonométrica cos3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 3 1 cos4𝑥 8 𝑑𝑥 Integrando cos3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 3 8 𝑥 1 4 𝑠𝑒𝑛4𝑥 Agora vamos integrar cos6𝑥 cos6𝑥 𝑑𝑥 Aplicando redução de integrais 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos5𝑥 6 5 6 cos4𝑥 Como já calculamos a integral de cos4𝑥 a integral aqui é 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos5𝑥 6 5 6 cos3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 3 8 𝑥 1 4 𝑠𝑒𝑛4𝑥 Por fim o resultado da integral do enunciado é cos3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 3 8 𝑥 1 4 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos5𝑥 6 5 6 cos3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 3 8 𝑥 1 4 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑐1 Simplificando 3 8 𝑥 3 32 𝑠𝑒𝑛4𝑥 19 24 cos3𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 6 cos5𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 5 32 2𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐1 3 Calcule as integrais usando uma substituição apropriada a 1 𝑥2𝑥29 𝑑𝑥 𝑥 3 sec𝜃 Resolução Como o enunciado nos indicou vamos substituir 𝑥 3 sec𝜃 Logo o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑥 𝑑𝜃 3 sec𝜃 tan𝜃 𝑑𝑥 3 sec𝜃 tan𝜃 𝑑𝜃 Substituindo 1 9sec2𝜃 9 sec2𝜃 9 3 sec𝜃 tan𝜃 𝑑𝜃 tan𝜃 3 𝑠𝑒𝑐𝜃3sec2𝜃 1 𝑑𝜃 tan𝜃 9 sec𝜃 sec2𝜃 1 𝑑𝜃 Usando identidade trigonométrica tan𝜃 9 sec𝜃 tan2𝜃 𝑑𝜃 1 9 sec𝜃 𝑑𝜃 Usando identidade trigonométrica 1 9 cos𝜃 𝑑𝜃 1 9 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐1 Pela substituição 𝜃 arcsec 𝑥 3 logo 1 9 𝑠𝑒𝑛 arcsec 𝑥 3 𝑐1 b 𝑥39 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥 3𝑠𝑒𝑛𝜃 Resolução Vamos substituir 𝑢 9 𝑥2 então o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑥 9 𝑥2 𝑑𝑥 9 𝑥2 𝑥 𝑑𝑢 Logo a integral fica 𝑥3𝑢 𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑥2𝑢2 𝑑𝑢 Pela nossa substituição 𝑥2 9 𝑢2 9 𝑢2𝑢2 𝑑𝑢 𝑢4 9𝑢2 𝑑𝑢 Integrando 𝑢5 5 3𝑢3 𝑐1 Voltando a substituição 1 5 9 𝑥252 39 𝑥232 𝑐1 c 𝑥3 𝑥2𝑥29 𝑑𝑥 𝑥 3 tan𝜃 Resolução 𝑥3 𝑥2𝑥2 9 𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 9 𝑑𝑥 Vamos substituir 𝑢 𝑥2 9 logo o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2𝑥 Substituindo 𝑥 𝑢 𝑑𝑢 2𝑥 1 2 𝑢12 𝑑𝑢 Integrando 𝑢12 𝑐1 Voltando a substituição 𝑥2 9 𝑐1 4 Calcule as integrais a 𝑥31 𝑥2 1 0 𝑑𝑥 Resolução Primeiro vamos resolver a integral indefinida 𝑥31 𝑥2 𝑑𝑥 Vamos usar a substituição 𝑢 1 𝑥2 logo 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2𝑥 Substituindo 𝑥3𝑢 𝑑𝑢 2𝑥 1 2 𝑥2𝑢 𝑑𝑢 Pela substituição que fizemos 𝑥2 1 𝑢 1 2 1 𝑢𝑢 𝑑𝑢 1 2 𝑢12 𝑢32 𝑑𝑢 Integrando 1 2 2 3 𝑢32 2 5 𝑢52 1 3 𝑢32 1 5 𝑢52 Voltando a substituição 1 3 1 𝑥232 1 5 1 𝑥252 Aplicando os limites 1 3 1 𝑥2 3 2 1 5 1 𝑥2 5 2 0 1 1 3 1 1232 1 5 1 1252 1 3 1 032 1 5 1 052 2 15 b 1 𝑡3𝑡21 2 2 𝑑𝑡 Resolução Aqui vamos aplicar substituição trigonométrica 𝑥 sec𝑢 Portanto o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑥 𝑑𝑢 sec𝑢 tan𝑢 𝑑𝑥 sec𝑢 tan𝑢 𝑑𝑢 Logo o limite superior fica 𝑢 sec12 𝜋3 e o limite inferior 𝑢 sec12 𝜋4 Substituindo 1 sec3𝑢 sec2𝑢 1 sec𝑢 tan𝑢 𝑑𝑢 𝜋3 𝜋4 1 sec2𝑢 sec2𝑢 1 tan𝑢 𝑑𝑢 𝜋3 𝜋4 1 sec2𝑢 tan2𝑢 tan𝑢 𝑑𝑢 𝜋3 𝜋4 1 sec2𝑢 𝑑𝑢 𝜋3 𝜋4 cos2𝑢 𝑑𝑢 𝜋3 𝜋4 Aplicando propriedade trigonométrica 1 cos2𝑢 2 𝑑𝑢 𝜋3 𝜋4 Integrando 𝑢 2 sen2u 4 𝜋4 𝜋3 Aplicando os limites 𝜋 33 2 24 c 𝑥 36𝑥2 3 0 𝑑𝑥 Resolução Aplicando substituição 𝑢 36 𝑥2 o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2𝑥 O valor do limite superior fica 𝑢 36 32 27 e o inferior 𝑢 36 02 36 Substituindo 𝑥 𝑢 27 36 𝑑𝑢 2𝑥 1 2 1 𝑢 27 36 𝑑𝑢 Como o limite superior ficou maior que o inferior invertermos eles invertendo o sinal da integral também 1 2 1 𝑢 36 27 𝑑𝑢 Integrando 1 2 ln𝑢27 36 Aplicando os limites 1 2 ln36 ln27 1 2 ln62 ln33 1 2 2 ln6 3 ln3 ln6 3 2 ln3 d 1 𝑥216 𝑑𝑥 Resolução Aplicando substituição 𝑥 4𝑢 logo o valor de 𝑑𝑥 fica 𝑑𝑥 𝑑𝑢 4 𝑑𝑥 4𝑑𝑢 Substituindo 1 4𝑢2 16 4𝑑𝑢 1 4𝑢2 1 𝑑𝑢 1 4 1 𝑢2 1 𝑑𝑢 Aplicando regra de integração 1 4 arctan𝑢 𝑐1 Voltando a substituição 1 4 arctan 𝑥 4 𝑐1