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Química ·
Cálculo 1
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Disciplina Calculo I Professor MSc Elton Felix eltonfelixifscedubr Alunoa Exercícios P2 Cálculo A Engenharia Civil 1 Derive as seguintes funções a y 3ex 4x f y x sinx tanx k x4xy y23xy b ht 4t 4et g x21x213 l y arctanx 1x2 c y x3 2xex h Gy y14y22y5 m y x lnx x d Fy 12 34y 5y3 i y x x sin2x34 n Gy ln2y15y21 e y cosx1sinx j x2 xy y2 4 o y xex2x x 113 2 Encontre equações para a reta tangente e normal à curva no ponto dado a y 4x P 11 e y ex cosx P 0 1 b y 3x2 x3 P 12 f y 1 2x10 P 0 1 c y x21x2x1 P 10 g x2 xy y2 3 P 1 1 d y 2xx21 P 11 h y lnx3 3x 1 P 3 0 3 Ache os pontos sobre a curva dada onde a reta tangente é horizontal a y 2x3 3x2 12x 1 b fx 2 sinx sin2x 4 Encontre os números críticos da função a y 5x2 4x c gy y1y2y1 b y t4 t3 t2 1 d x35x 42 5 Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado a fx 3x2 12x 5 03 c y xx2x1 0 3 b fx x3 6x2 5 3 5 d ft 3t8 t 0 8 6 Para as funções abaixo 61 fx 2x3 3x2 12x 62 hx x 15 5x 2 63 fx x6 x 64 y x12x 4 65 fx lnx4 27 a Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente b Encontre os valores máximos ou mínimos locais c Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão d Use as informações das partes a c para esboçar o gráfico 1 Disciplina Calculo I Professor MSc Elton Felix eltonfelixifscedubr Alunoa Exercícios P2 Cálculo A Engenharia Civil 1 Derive as seguintes funções a y 3ex 4x f y x sinx tanx k x4xy y23xy b ht 4t 4et g x21x213 l y arctanx 1x2 c y x3 2xex h Gy y14y22y5 m y x lnx x d Fy 12 34y 5y3 i y x x sin2x34 n Gy ln2y15y21 e y cosx1sinx j x2 xy y2 4 o y xex2x x 113 2 Encontre equações para a reta tangente e normal à curva no ponto dado a y 4x P 11 e y ex cosx P 0 1 b y 3x2 x3 P 12 f y 1 2x10 P 0 1 c y x21x2x1 P 10 g x2 xy y2 3 P 1 1 d y 2xx21 P 11 h y lnx3 3x 1 P 3 0 3 Ache os pontos sobre a curva dada onde a reta tangente é horizontal a y 2x3 3x2 12x 1 b fx 2 sinx sin2x 4 Encontre os números críticos da função a y 5x2 4x c gy y1y2y1 b y t4 t3 t2 1 d x35x 42 5 Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado a fx 3x2 12x 5 03 c y xx2x1 0 3 b fx x3 6x2 5 3 5 d ft 3t8 t 0 8 6 Para as funções abaixo 61 fx 2x3 3x2 12x 62 hx x 15 5x 2 63 fx x6 x 64 y x12x 4 65 fx lnx4 27 a Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente b Encontre os valores máximos ou mínimos locais c Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão d Use as informações das partes a c para esboçar o gráfico 1 2 a y 4x P 1 1 y x14 Reta tangente yy0 fx0 xx0 fx 14 x34 14x3 f1 141 14 y1 14 x1 y 14 x 14 1 14 x 34 mt 14 coeficiente angular Como a reta normal é perpendicular à reta tangente mt mn 1 14 mn 1 mn 4 logo a reta normal tem coeficiente angular 4 y 1 4 x 1 y 4x 4 1 y 4x 5 Reta normal Digitalizado com CamScanner b y 3x2 x3 P 12 Reta tangente y y0 fx0 x x0 fx 6x 3x2 f1 61 312 6 3 3 y 2 3x 1 y 2 3x 3 y 3x 1 Reta tangente mt 3 mn 13 Reta normal y 2 13 x 1 y 13 x 13 2 13 x 73 Reta normal c y x2 1x2 x 1 Pc 1 0 y x2 1 x2 x 1 x2 1 x2 x 1 x2 x 12 y 2x x2 x 1 x2 1 2x 1 x2 x 12 y 2x3 2x2 2x 2x3 x2 2x 1 x2 x 12 y 2x3 2x2 2x 2x3 x2 2x 1 x2 x 12 y x2 4x 1 x2 x 12 y1 1 4 1 1 1 12 69 23 Reta tangente y y0 fx0 x x0 y 23 x 1 23 x 23 Reta normal Como mt 23 mn 32 y 32 x 1 32 x 32 d y 2x x2 1 P 11 y 2x x2 1 2x x2 1 x2 12 y 2 x2 1 2x 2x x2 12 y 2 2x2 x2 12 y1 2 2121 12 0 Reta tangente y y0 fx0 x x0 y 1 0 x 1 y 1 a reta tangente é horizontal Reta normal x 1 a y ex cosx P 01 y ex cosx ex cosx y ex cos x ex sen x ex cos x sen x y0 e0 cos 0 sen 0 1 1 0 1 Reta tangente y 1 y0 x 0 y 1 1 x y x 1 Reta normal mk 1 mn 1 y 1 1 x 0 y 1 x y x 1 b y 1 2x10 P 01 u 1 2x y u10 dudx 2 dydx 10 u9 yx 10 1 2x 2 20 1 2x9 y0 20 1 209 20 19 20 Reta tangente y y0 y0 x 0 y 1 20 x 0 y 20 x 1 Reta normal Como mk 20 mn 120 y 1 120 x y 120 x 1 a x2 xy y2 3 P 11 Aplicando Derivação Implícita ddx x2 xy y2 ddx 3 ddx x2 ddx xy ddx y2 0 2x ddx x y x dydx 2y dydx 0 2x y x dydx 2y dydx 0 x 2y dydx y 2x 0 x 2y dydx y 2x dydx y 2x x 2y dydx 11 1 2 1 2 33 1 Reta tangente y y0 dydx x x0 y 1 1 x 1 y 1 1 x y 2 x Reta normal Como mt 1 mn 1 y 1 1 x 1 y 1 x 1 y x h y ln x3 3x2 1 P 3 01 Precisa arrumar o enunciado O ponto 301 não pertence à curva dada u x3 3x2 1 dudx 3x2 6x y ln u dydu 1u yx 3x2 6x x3 3x2 1 y3 332 63 33 3 32 1 27 18 1 9 Reta tangente y y0 fx0 x x0 y 9 x 3 9x 27 Reta normal mt 9 mn 19 y 19 x 3 19 x 39 19 x 13 3 c y 2x3 3x2 12x 1 y ddx 2x3 ddx 3x2 ddx 12x ddx 1 y 6x2 6x 12 A reta é tangente horizontal nos pontos x tais que yx 0 6x2 6x 12 0 x2 x 2 0 Δ b2 4ac Δ 1 4 1 2 Δ 1 8 Δ 9 x b Δ 2a 1 3 2 32 1 42 2 quando x 1 y1 213 312 121 1 2 3 12 1 6 quando y 2 y2 223 322 122 1 16 12 24 1 21 A reta tangente é horizontal nos pontos 1 6 e 2 21 b fx 2 senx sen²x fx ddx 2 sen x ddx sen² x ddx 2 sen x 2 cos x ddx sen² x 2 sen x cos x Regra da Cadeia u sen x ddu u² 2u dudx cos x fx 2 cos x 2 sen x cos x A reta tangente é horizontal nos pontos x tais que fx 0 fx 0 2 cos x 2 sen x cos x 0 2 cos x 1 sen x 0 2 cos x 0 cos x 0 1 sen x 0 sen x 1 cos x 0 x π2 nπ n Z sen x 1 x 3π2 n2π n Z fπ2 2 senπ2 sen²π2 21 1² 2 1 3 f3π2 2 sen3π2 sen²3π2 21 1² 2 1 1 π2 nπ 3 3π2 n2π 1 são os pontos onde a reta tangente é horizontal 4 a y 5x² 4x dydx ddx 5x² ddx 4x 10x 4 Ponto crítico dydx 0 10x 4 0 10x 4 x 410 25 4 b y t⁴ t³ t² 1 dydt ddt t⁴ ddt t³ ddt t² ddt 1 dydt 4t³ 3t² 2t Número crítico dydt 0 4t³ 3t² 2t 0 t4t² 3t 2 0 t 0 4t² 3t 2 0 Δ b² 4ac Δ 9 442 Δ 9 32 Δ 23 não há soluções reais Portanto t0 é o único número crítico c gy y 1 y2 y 1 Aplicando a Regra do Quociente gy y 1 y2 y 1 y 1 y2 y 1 y2 y 12 gy 1 y2 y 1 y 1 2y 1 y2 y 12 gy y2 y 1 2y2 2y 1 y2 y 12 gy y2 y 1 2y2 2y 1 y2 y 12 gy y2 2y y2 y 12 gy 0 y2 2y y2 y 12 0 y2 2y 0 yy 2 0 y 0 ou y 2 4 d x45 x 42 y x45 x 42 Aplicando a Regra do Produto y x45 x 42 x45 x 42 x45 45 x15 x 42 2x 4 u x 4 ddxu2 2u dudx 1 y 45 x15 x 42 2 x45 x 4 y x 4 x15 45x 4 2x y x 4 x15 45x 4 2x x 0 x 4 x15 0 x 4 0 x 4 45x 4 2x 0 45x 165 2x 0 45x 105x 165 0 14x5 165 x 1614 87 5 a fx 3x2 12x 5 0 3 número crítico fx 6x 12 fx 0 6x 12 0 6x 12 x 126 2 Calcular o valor de fx no número crítico e nos extremos do intervalo f0 302 120 5 5 f2 322 122 5 12 24 5 7 f3 332 123 5 27 36 5 5 valor máximo absoluto 5 valor mínimo absoluto 76 b fx x³ 6x² 5 3 5 fx 3x² 12x 3x² 12x 0 3xx 4 0 x 0 x 4 0 x 4 f3 3³ 63² 5 27 69 5 76 f0 0³ 60² 5 5 f4 4³ 64² 5 64 96 5 27 f5 5³ 65² 5 125 150 5 20 mínimo absoluto 76 máximo absoluto 5 c y x x2 x 1 0 3 yx x x2 x 1 x x2 x 1 x2 x 12 yx 1 x2 x 1 x 2x 1 x2 x 12 yx x2 x 1 2x2 x x2 x 12 yx x2 1 x2 x 12 yx 0 x2 1 x2 x 12 0 1 x2 0 x2 1 x 1 1 não está no intervalo 03 f0 0 02 0 1 0 f3 3 32 3 1 37 f1 1 1 1 1 1 máximo absoluto 1 mínimo absoluto 0 d ft ³t 8 t 0 8 ft ³t 8 t ³t 8 t ft t13 8 t ³t ft 13 t23 8 t ³t ft 1 3³t² 8 t ³t ft 8 t ³t ³t2 3³t2 8 t ³t3 3³t2 8 t 3t 3³t2 8 4t 3³t2 ft 0 8 4t 3³t2 0 8 4t 0 4t 8 t 2 t0 30 80 0 t8 38 88 0 t2 62 mínimo absoluto 0 máximo absoluto 62 61 fx 2x³ 3x² 12x a fx 6x² 6x 12 Fazemos o estudo do sinal de fx para encontrarmos o intervalo de crescimento e decrescimento da função fx 0 6x² 6x 12 0 x² x 2 0 S 1 x 1 P 2 x 2 fx quando fx 0 a função é crescente quando fx 0 a função é decrescente crescente 1 2 decrescente 1 2 b Em x 1 fx troca de sinal para Portanto há um máximo em x 1 Em x 2 fx troca de sinal para Portanto há um mínimo em x 2 c fx 12x 6 12x 6 0 12x 6 x 12 f1 6 f0 6 Estudo do sinal de f 12 fx 0 côncava para cima fx 0 côncava para baixo Côncava para cima 12 Côncava para baixo 12 Ponto de inflexão x 12 d Esboço gráfico a fx x raíz6 x Dt x R x 6 fx raíz6 x x 1 2 raíz6 x 1 fx raíz6 x x 2 raíz6 x fx 2raíz6 x2 x 2 raíz6 x 26 x x 2 raíz6 x fx 12 3x 2 raíz6 x Estudo do sinal de fx 4 6 12 3x 4 6 2 raíz6 x 4 6 12 3x 2 raíz6 x fx 0 f é crescente em 4 fx 0 f é decrescente em 4 6 b Em x 4 fx troca de sinal de para Portanto há um máximo em x 4 c fx 12 3x 2 raíz6 x 12 3x 2 raíz6 x 2 raíz6 x2 fx 3 2 raíz6 x 12 3x 2 1 2 raíz6 x 1 46 x fx 6 raíz6 x 12 3x 1 raíz6 x 46 x fx 6 raíz6 x 12 3x raíz6 x 46 x fx 6 6 x 12 3x raíz6 x 46 x fx 36 6x 12 3x 46 x raíz6 x 3x 24 46 x raíz6 x fx 0 3x 24 46 x raíz6 x 0 3x 24 0 x 8 x 8 não está no domínio da função não há ponto de inflexão Estudo do sinal de fx 6 3x 24 46 x raíz6 x fx 0 em 6 f é côncava para baixo em todo domínio d 64 y x x 4 D x R x 0 y x x 4 x x 4 y 1 2x x 4 x y x 4 2x x x 4 2x 2x 3x 4 2x Estudo do sinal de y 3x 4 2x 43 0 3x 4 F 2x 43 0 43 0 3x 4 x A partir do estudo do sinal de y temos que em 0 a função é crescente b Como y não troca de sinal não há extremos c y 3x 4 2x 3x 4 2x 2x2 y 3 2x 3x 4 1 2x 4x y 6x 3x 4 x 4x 6x 3x 4 4x 3x 4 4xx y 2x 4 4xx Estudo do sinal de y 0 43 3x 4 0 43 0 43 3x 4 4xx y troca de sinal em x 4 3 Em x 4 3 há ponto de inflexão f é concava para baixo em 0 4 3 f é concava para cima em 4 3 d 65 fx ln x4 27 a u x4 27 fu lnu dudx 4x3 fu 1u fx 4x3 1x4 27 4x3x4 27 Estudo do sinal de f 0 4x3 0 x4 27 0 4x3x4 27 fx 0 em 0 é crescente fx 0 em 0 é decrescente b Em x 0 fx troca de sinal de para Portanto há um mínimo em x 0 c fx 4x³ x4 27 4x³ x4 27 x4 272 fx 12x2 x4 27 4x3 4x3 x4 272 fx 12x2 324x2 16x6 x4 272 fx 4x6 324x2 x4 272 4x2 81 x4x4 272 Estudo do sinal de f 3 0 3 3 0 3 3 0 3 4x2 81 x4 x4 272 é côncava para cima em 3 3 é côncava para baixo em 3 e 3 f muda de sinal em x 3 e em x 3 Portanto há pontos de inflexão em x 3 e x 3 d Esboço
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Disciplina Calculo I Professor MSc Elton Felix eltonfelixifscedubr Alunoa Exercícios P2 Cálculo A Engenharia Civil 1 Derive as seguintes funções a y 3ex 4x f y x sinx tanx k x4xy y23xy b ht 4t 4et g x21x213 l y arctanx 1x2 c y x3 2xex h Gy y14y22y5 m y x lnx x d Fy 12 34y 5y3 i y x x sin2x34 n Gy ln2y15y21 e y cosx1sinx j x2 xy y2 4 o y xex2x x 113 2 Encontre equações para a reta tangente e normal à curva no ponto dado a y 4x P 11 e y ex cosx P 0 1 b y 3x2 x3 P 12 f y 1 2x10 P 0 1 c y x21x2x1 P 10 g x2 xy y2 3 P 1 1 d y 2xx21 P 11 h y lnx3 3x 1 P 3 0 3 Ache os pontos sobre a curva dada onde a reta tangente é horizontal a y 2x3 3x2 12x 1 b fx 2 sinx sin2x 4 Encontre os números críticos da função a y 5x2 4x c gy y1y2y1 b y t4 t3 t2 1 d x35x 42 5 Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado a fx 3x2 12x 5 03 c y xx2x1 0 3 b fx x3 6x2 5 3 5 d ft 3t8 t 0 8 6 Para as funções abaixo 61 fx 2x3 3x2 12x 62 hx x 15 5x 2 63 fx x6 x 64 y x12x 4 65 fx lnx4 27 a Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente b Encontre os valores máximos ou mínimos locais c Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão d Use as informações das partes a c para esboçar o gráfico 1 Disciplina Calculo I Professor MSc Elton Felix eltonfelixifscedubr Alunoa Exercícios P2 Cálculo A Engenharia Civil 1 Derive as seguintes funções a y 3ex 4x f y x sinx tanx k x4xy y23xy b ht 4t 4et g x21x213 l y arctanx 1x2 c y x3 2xex h Gy y14y22y5 m y x lnx x d Fy 12 34y 5y3 i y x x sin2x34 n Gy ln2y15y21 e y cosx1sinx j x2 xy y2 4 o y xex2x x 113 2 Encontre equações para a reta tangente e normal à curva no ponto dado a y 4x P 11 e y ex cosx P 0 1 b y 3x2 x3 P 12 f y 1 2x10 P 0 1 c y x21x2x1 P 10 g x2 xy y2 3 P 1 1 d y 2xx21 P 11 h y lnx3 3x 1 P 3 0 3 Ache os pontos sobre a curva dada onde a reta tangente é horizontal a y 2x3 3x2 12x 1 b fx 2 sinx sin2x 4 Encontre os números críticos da função a y 5x2 4x c gy y1y2y1 b y t4 t3 t2 1 d x35x 42 5 Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado a fx 3x2 12x 5 03 c y xx2x1 0 3 b fx x3 6x2 5 3 5 d ft 3t8 t 0 8 6 Para as funções abaixo 61 fx 2x3 3x2 12x 62 hx x 15 5x 2 63 fx x6 x 64 y x12x 4 65 fx lnx4 27 a Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente b Encontre os valores máximos ou mínimos locais c Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão d Use as informações das partes a c para esboçar o gráfico 1 2 a y 4x P 1 1 y x14 Reta tangente yy0 fx0 xx0 fx 14 x34 14x3 f1 141 14 y1 14 x1 y 14 x 14 1 14 x 34 mt 14 coeficiente angular Como a reta normal é perpendicular à reta tangente mt mn 1 14 mn 1 mn 4 logo a reta normal tem coeficiente angular 4 y 1 4 x 1 y 4x 4 1 y 4x 5 Reta normal Digitalizado com CamScanner b y 3x2 x3 P 12 Reta tangente y y0 fx0 x x0 fx 6x 3x2 f1 61 312 6 3 3 y 2 3x 1 y 2 3x 3 y 3x 1 Reta tangente mt 3 mn 13 Reta normal y 2 13 x 1 y 13 x 13 2 13 x 73 Reta normal c y x2 1x2 x 1 Pc 1 0 y x2 1 x2 x 1 x2 1 x2 x 1 x2 x 12 y 2x x2 x 1 x2 1 2x 1 x2 x 12 y 2x3 2x2 2x 2x3 x2 2x 1 x2 x 12 y 2x3 2x2 2x 2x3 x2 2x 1 x2 x 12 y x2 4x 1 x2 x 12 y1 1 4 1 1 1 12 69 23 Reta tangente y y0 fx0 x x0 y 23 x 1 23 x 23 Reta normal Como mt 23 mn 32 y 32 x 1 32 x 32 d y 2x x2 1 P 11 y 2x x2 1 2x x2 1 x2 12 y 2 x2 1 2x 2x x2 12 y 2 2x2 x2 12 y1 2 2121 12 0 Reta tangente y y0 fx0 x x0 y 1 0 x 1 y 1 a reta tangente é horizontal Reta normal x 1 a y ex cosx P 01 y ex cosx ex cosx y ex cos x ex sen x ex cos x sen x y0 e0 cos 0 sen 0 1 1 0 1 Reta tangente y 1 y0 x 0 y 1 1 x y x 1 Reta normal mk 1 mn 1 y 1 1 x 0 y 1 x y x 1 b y 1 2x10 P 01 u 1 2x y u10 dudx 2 dydx 10 u9 yx 10 1 2x 2 20 1 2x9 y0 20 1 209 20 19 20 Reta tangente y y0 y0 x 0 y 1 20 x 0 y 20 x 1 Reta normal Como mk 20 mn 120 y 1 120 x y 120 x 1 a x2 xy y2 3 P 11 Aplicando Derivação Implícita ddx x2 xy y2 ddx 3 ddx x2 ddx xy ddx y2 0 2x ddx x y x dydx 2y dydx 0 2x y x dydx 2y dydx 0 x 2y dydx y 2x 0 x 2y dydx y 2x dydx y 2x x 2y dydx 11 1 2 1 2 33 1 Reta tangente y y0 dydx x x0 y 1 1 x 1 y 1 1 x y 2 x Reta normal Como mt 1 mn 1 y 1 1 x 1 y 1 x 1 y x h y ln x3 3x2 1 P 3 01 Precisa arrumar o enunciado O ponto 301 não pertence à curva dada u x3 3x2 1 dudx 3x2 6x y ln u dydu 1u yx 3x2 6x x3 3x2 1 y3 332 63 33 3 32 1 27 18 1 9 Reta tangente y y0 fx0 x x0 y 9 x 3 9x 27 Reta normal mt 9 mn 19 y 19 x 3 19 x 39 19 x 13 3 c y 2x3 3x2 12x 1 y ddx 2x3 ddx 3x2 ddx 12x ddx 1 y 6x2 6x 12 A reta é tangente horizontal nos pontos x tais que yx 0 6x2 6x 12 0 x2 x 2 0 Δ b2 4ac Δ 1 4 1 2 Δ 1 8 Δ 9 x b Δ 2a 1 3 2 32 1 42 2 quando x 1 y1 213 312 121 1 2 3 12 1 6 quando y 2 y2 223 322 122 1 16 12 24 1 21 A reta tangente é horizontal nos pontos 1 6 e 2 21 b fx 2 senx sen²x fx ddx 2 sen x ddx sen² x ddx 2 sen x 2 cos x ddx sen² x 2 sen x cos x Regra da Cadeia u sen x ddu u² 2u dudx cos x fx 2 cos x 2 sen x cos x A reta tangente é horizontal nos pontos x tais que fx 0 fx 0 2 cos x 2 sen x cos x 0 2 cos x 1 sen x 0 2 cos x 0 cos x 0 1 sen x 0 sen x 1 cos x 0 x π2 nπ n Z sen x 1 x 3π2 n2π n Z fπ2 2 senπ2 sen²π2 21 1² 2 1 3 f3π2 2 sen3π2 sen²3π2 21 1² 2 1 1 π2 nπ 3 3π2 n2π 1 são os pontos onde a reta tangente é horizontal 4 a y 5x² 4x dydx ddx 5x² ddx 4x 10x 4 Ponto crítico dydx 0 10x 4 0 10x 4 x 410 25 4 b y t⁴ t³ t² 1 dydt ddt t⁴ ddt t³ ddt t² ddt 1 dydt 4t³ 3t² 2t Número crítico dydt 0 4t³ 3t² 2t 0 t4t² 3t 2 0 t 0 4t² 3t 2 0 Δ b² 4ac Δ 9 442 Δ 9 32 Δ 23 não há soluções reais Portanto t0 é o único número crítico c gy y 1 y2 y 1 Aplicando a Regra do Quociente gy y 1 y2 y 1 y 1 y2 y 1 y2 y 12 gy 1 y2 y 1 y 1 2y 1 y2 y 12 gy y2 y 1 2y2 2y 1 y2 y 12 gy y2 y 1 2y2 2y 1 y2 y 12 gy y2 2y y2 y 12 gy 0 y2 2y y2 y 12 0 y2 2y 0 yy 2 0 y 0 ou y 2 4 d x45 x 42 y x45 x 42 Aplicando a Regra do Produto y x45 x 42 x45 x 42 x45 45 x15 x 42 2x 4 u x 4 ddxu2 2u dudx 1 y 45 x15 x 42 2 x45 x 4 y x 4 x15 45x 4 2x y x 4 x15 45x 4 2x x 0 x 4 x15 0 x 4 0 x 4 45x 4 2x 0 45x 165 2x 0 45x 105x 165 0 14x5 165 x 1614 87 5 a fx 3x2 12x 5 0 3 número crítico fx 6x 12 fx 0 6x 12 0 6x 12 x 126 2 Calcular o valor de fx no número crítico e nos extremos do intervalo f0 302 120 5 5 f2 322 122 5 12 24 5 7 f3 332 123 5 27 36 5 5 valor máximo absoluto 5 valor mínimo absoluto 76 b fx x³ 6x² 5 3 5 fx 3x² 12x 3x² 12x 0 3xx 4 0 x 0 x 4 0 x 4 f3 3³ 63² 5 27 69 5 76 f0 0³ 60² 5 5 f4 4³ 64² 5 64 96 5 27 f5 5³ 65² 5 125 150 5 20 mínimo absoluto 76 máximo absoluto 5 c y x x2 x 1 0 3 yx x x2 x 1 x x2 x 1 x2 x 12 yx 1 x2 x 1 x 2x 1 x2 x 12 yx x2 x 1 2x2 x x2 x 12 yx x2 1 x2 x 12 yx 0 x2 1 x2 x 12 0 1 x2 0 x2 1 x 1 1 não está no intervalo 03 f0 0 02 0 1 0 f3 3 32 3 1 37 f1 1 1 1 1 1 máximo absoluto 1 mínimo absoluto 0 d ft ³t 8 t 0 8 ft ³t 8 t ³t 8 t ft t13 8 t ³t ft 13 t23 8 t ³t ft 1 3³t² 8 t ³t ft 8 t ³t ³t2 3³t2 8 t ³t3 3³t2 8 t 3t 3³t2 8 4t 3³t2 ft 0 8 4t 3³t2 0 8 4t 0 4t 8 t 2 t0 30 80 0 t8 38 88 0 t2 62 mínimo absoluto 0 máximo absoluto 62 61 fx 2x³ 3x² 12x a fx 6x² 6x 12 Fazemos o estudo do sinal de fx para encontrarmos o intervalo de crescimento e decrescimento da função fx 0 6x² 6x 12 0 x² x 2 0 S 1 x 1 P 2 x 2 fx quando fx 0 a função é crescente quando fx 0 a função é decrescente crescente 1 2 decrescente 1 2 b Em x 1 fx troca de sinal para Portanto há um máximo em x 1 Em x 2 fx troca de sinal para Portanto há um mínimo em x 2 c fx 12x 6 12x 6 0 12x 6 x 12 f1 6 f0 6 Estudo do sinal de f 12 fx 0 côncava para cima fx 0 côncava para baixo Côncava para cima 12 Côncava para baixo 12 Ponto de inflexão x 12 d Esboço gráfico a fx x raíz6 x Dt x R x 6 fx raíz6 x x 1 2 raíz6 x 1 fx raíz6 x x 2 raíz6 x fx 2raíz6 x2 x 2 raíz6 x 26 x x 2 raíz6 x fx 12 3x 2 raíz6 x Estudo do sinal de fx 4 6 12 3x 4 6 2 raíz6 x 4 6 12 3x 2 raíz6 x fx 0 f é crescente em 4 fx 0 f é decrescente em 4 6 b Em x 4 fx troca de sinal de para Portanto há um máximo em x 4 c fx 12 3x 2 raíz6 x 12 3x 2 raíz6 x 2 raíz6 x2 fx 3 2 raíz6 x 12 3x 2 1 2 raíz6 x 1 46 x fx 6 raíz6 x 12 3x 1 raíz6 x 46 x fx 6 raíz6 x 12 3x raíz6 x 46 x fx 6 6 x 12 3x raíz6 x 46 x fx 36 6x 12 3x 46 x raíz6 x 3x 24 46 x raíz6 x fx 0 3x 24 46 x raíz6 x 0 3x 24 0 x 8 x 8 não está no domínio da função não há ponto de inflexão Estudo do sinal de fx 6 3x 24 46 x raíz6 x fx 0 em 6 f é côncava para baixo em todo domínio d 64 y x x 4 D x R x 0 y x x 4 x x 4 y 1 2x x 4 x y x 4 2x x x 4 2x 2x 3x 4 2x Estudo do sinal de y 3x 4 2x 43 0 3x 4 F 2x 43 0 43 0 3x 4 x A partir do estudo do sinal de y temos que em 0 a função é crescente b Como y não troca de sinal não há extremos c y 3x 4 2x 3x 4 2x 2x2 y 3 2x 3x 4 1 2x 4x y 6x 3x 4 x 4x 6x 3x 4 4x 3x 4 4xx y 2x 4 4xx Estudo do sinal de y 0 43 3x 4 0 43 0 43 3x 4 4xx y troca de sinal em x 4 3 Em x 4 3 há ponto de inflexão f é concava para baixo em 0 4 3 f é concava para cima em 4 3 d 65 fx ln x4 27 a u x4 27 fu lnu dudx 4x3 fu 1u fx 4x3 1x4 27 4x3x4 27 Estudo do sinal de f 0 4x3 0 x4 27 0 4x3x4 27 fx 0 em 0 é crescente fx 0 em 0 é decrescente b Em x 0 fx troca de sinal de para Portanto há um mínimo em x 0 c fx 4x³ x4 27 4x³ x4 27 x4 272 fx 12x2 x4 27 4x3 4x3 x4 272 fx 12x2 324x2 16x6 x4 272 fx 4x6 324x2 x4 272 4x2 81 x4x4 272 Estudo do sinal de f 3 0 3 3 0 3 3 0 3 4x2 81 x4 x4 272 é côncava para cima em 3 3 é côncava para baixo em 3 e 3 f muda de sinal em x 3 e em x 3 Portanto há pontos de inflexão em x 3 e x 3 d Esboço