Álgebra Linear - Lista de Exercícios 6 - Diagonalização, Formas Quadráticas e Equações Diferenciais

ÁLGEBRA LINEAR II 2º semestre2023 Lista de Exercícios 6 Diagonalização de formas quadráticas Potência de Matrizes Aplicação em Equações Diferenciais 1 Identificar as seguintes cônicas a x2 y2 1 b x2 y2 1 c x2 y 1 d x2 y2 0 2 Expresse a forma quadrática na notação matricial a 3x2 8y2 5xy b xy c 2x2 2y2 4xy d 8y2 2xy 3 As seguintes cônicas nãodegeneradas foram rodadas para fora da posição padrão Em cada item expresse a forma quadrática ax2 2bxy cy2 dx ey f 0 na forma matricial xtAx Kx f 0 identifique a cônica e dê a equação no sistema de coordenadas rodado a 2x2 4xy y2 8 0 b 11x2 24xy 4y2 15 0 c 5x2 4xy 5y2 9 0 d 2x2 8y2 4xy 8 0 e xy 3 f 17x2 8y2 12xy 10x 20y 5 0 g 1x2 1y2 2xy 5 0 4 Dada a matriz Anxn e a matriz Pnxn invertível sabendo que A é diagonalizável D P1AP expresse a késima potência da matriz A Ak onde k é um número inteiro em termos da matriz diagonal D 5 Use o método do exercício anterior para calcular A10 onde A 1 0 1 2 6 Dado o sistema de equações diferenciais lineares y1 y1 4y2 y2 2y1 3y2 a Escreva o sistema de forma matricial y Ay b Resolva o sistema c Encontre a solução que satisfaz as condições iniciais y10 0 e y20 0 7 Dada a equação diferencial linear de segunda ordem y y 6y 0 a Faça as substituições y1 y e y2 y e obtenha um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem b Escreva o sistema de forma matricial y Ay c Resolva o sistema Respostas 4 Ak PDkP1 5 A10 1 0 1023 1024 7a y1 y2 y2 6y1 y2